克莱姆法则的证明及应用

克莱姆法则及其应用前 言克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。

生于瑞士，卒于法国。

在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。

克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。

例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。

1. 预备知识若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。

现在就给介绍一下系数行列式。

设含有n 个未知量n 个方程的111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=+++=+++=（1-1）其系数构成的行列式111212122212n nn n nna a a a a a D a a a =称为方程组（1-1）的系数行列式。

1. 克莱姆法则的定义克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式0D ≠时，有且仅有一个解：1212,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）期中JD 是将D 的第j 列换成常数项21,,,nb b b 而其余列不变的行列式。

即111,111,11212,122,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nna ab a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=1122,(1,2,).j j n nj b A b A b A j n =+++=2. 克莱姆法则的证明方法克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是2.1克莱姆法则的一般证明方法2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。

现在就有一般方法来证明克莱姆法则。

证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把,(1,2,,)jj D x j n D == 代入（1-1）中第一个方程，得121112111112211()n nn n D D Da a a a D a D a D D D D D+++=+++[]()()()[]11111221112112222211122111111212112111112121111111212111211()()()1100n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A a b A b A b A D b a A a A a A b a A a A a A b a A a A a A D b D b b b D ++++++++++++++++++ +⋅++⋅=()()()[]1111122111211222221112211111121211211111212111111121211121()1()()1100n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A D a b A b A b A b a A a A a A b a A a A a A D b a A a A a A b D b b b D++ =++++ +++ ++=++++ +++ +⋅++⋅=这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。

同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。

因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。

其次，设11,22,,n n x k x k x k === 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得n 个恒等式，再用D 的第j 列元素12,,,j jnja a a 的代数余子式12,,,J J nj A A A 依次乘所得的n 个恒等式的两端再相加，得11111221112211222222112212:,::,00,j j j n n j j j n n nj n n nj j nn n n j nn n j A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b k k Dk a k D +++++=+++++=+++++=+++++=即,1,2,,.j j Dk D jn ==由0,D ≠知,1,2,,.jjD k j n D ==这就是说，如果()12,,,n k k k 是方程组（1-1）的一个解，则(),1,2,,.jj D k j n D == 即方程组只有一个解。

2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用例1 解线性方程组12341234123413433,4,227,2 6.x x x x x x x x x x x x x x x +−+=− −++= ++−= +=+=解 由于方程组的系数行列式31111112130,21211021D −−==−≠−故由Cramer 法则知此方程有唯一解，又因为131114112130,71216021D −−−==−≠−23311141226,27211621D −−==−33131114239,21711061D −−==−−43113111413,21271026D −−−==所以方程的唯一解是：312412341,2,13, 1.D D D D x x x x D D D D ====−====−在线性方程组中，有一种特殊而重要的方程组，即常数项为零的方程组：1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=称此为其次线性方程组。

这种方程组显然有解：120,0,,0,n x x x === 称其为零解。

其次线性方程组若有其他的解，即i x 不全为零的解，成为非零解。

对于方程个数与为质量的个数相同的其次线性方程组，利用Cramer 法则，有定理 若其次线性方程组1111221211222211220,0,0.n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++= （1-3）的系数行列式0,ij D a =≠则方程组（1-3）有唯一零解。

证 因为0,D =故由Cramer 法则知，方程组（1-3）有唯一解。

但零显然是其解，从而方程组（1-3）只有零解。

例2 如果n 阶行列式0,D =，而D 中元素ija 的代数余子式ij A ≠，则其次线性方程组（1-3）必有非零解。

证 因为0,D =，故D 的每一行元素的代数余子式都是方程组（1-3）的解。

又ij A ≠，故方程组（1-3）必有非零解。

参考文献：《高等代数》上东大学出版社2.2 克莱姆法则的一个简易证明在线性代数教学中, 一般是通过解二元和三元线性方程组引入行列式; 又为了完整和扣题, 是通过介绍克莱姆法则结束行列式教学的, 尽管在后面我们可以用逆阵的理论轻松地得到克莱姆法则. 由于此时, 我们还没有建立完整的线性方程组解的理论, 故一般我们是分解的存在性和唯一性两部分来证明克莱姆法则, 结果是讲的费劲, 学的迷惑. 特别是, 此刻只能指出(方程与未知数个数相同的)齐次方程的系数行列式为零是此方程组有非零解的必要条件, 很难说明充分性也成立. 在本文中, 我们用消元法轻松、自然地给出一个有关线性方程组的基本引理. 用此引理, 我们又可以轻松地证明克莱姆法则及齐次方程组有非零解的充要条件. 虽然我们多加了一个引理, 但此引理突显的是消元法, 而这也是线性代数中理应强调的.引理 线性方程组11112211211222221122(a) n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b +++=+++= +++=可以通过消元变换(将一方程的k 倍加到另一个上)变为同解方程组 1111221122222 (b) n n n n nn n nb x b x b xc b x b x c b x c +++=++== . 证明 首先, 通过消元法我们证明方程组(a)可化为下列形式的同解方程组 111122112222222(c) n n n n n nn n n b x b x b x c b x b x c b x b x c +++=++=++=. (1) 若110a ≠, 用111i aa −乘第1个方程加到第i 方程上, 方程组(a)就可以化为方程组(c)的形式;(2) 若110a =, 但某个10(1)i a i ≠>, 则先将第i 个方程加到第1个方程上, 再进行按上面的方法进行;(3) 若1110n a a === , 结论成立. 对于方程组(c)的后1n −个方程再进行同样的处理即知本引理成立.克莱姆法则 若线性方程组(a)的系数行列式||0ij n D a =≠, 则此方程组有唯一的一组解1212, , , nn D D D x x x D D D===, 这里i D 是将D 中的第i 列1,,i ni a a 换成1,,n b b 得到的行列式.证明 由上述引理, 方程组(a)与(b)同解, 且它们的系数行列式相等, 即110nn b b D =≠ . 再对方程组(b)从下向上逐步消元知, 方程组(a)与111222(c) n n na x d a x d a x d === 同解, 且10.n D a a =≠ 再由行列式的性质, 我们还有 122112 n n n d d a D d a a d a == , 112212 n n na d d D a d a d a == , ......, 111111n n n n n na d D a a d a d d −−−==.于是12211212, , , n n n n x x x d d D d D D a a a D D D====== .定理 齐次线性方程组11112212112222112200(d) 0n n n n n n nn n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=有非零解⇔系数行列式||0ij n a =.证明 ()⇒ 设齐次方程组(d)有非零解, 我们用反证法来证实||0ij n a =. 假设||0ij n a ≠, 由克莱姆法则知此方程组有唯一一组解; 又因为齐次方程组一定有零解, 故方程组(d)无非零解. 这与开始的假设矛盾.()⇐ 此时, 以||0ij n a =为已知条件, 来证明方程组(5)有非零解. 由引理知, 方程组(d)与方程组111122122220 0(e) 0n n n n nn n b x b x b x b x b x b x +++=++==同解, 且11||0nn ij n b b a == . 此刻, 至少有一个0ii b =. 设11,,b nn b 中第一个为0的是kk b . 现在, 取11,0k k nx x x +==== 代入方程组(e), 方程组(e)化为 1111221,1112222,1121,111(f ) k k k k k k k k b x b x b x d b x b x d b x d −−−−−−−−+++=++== . 此时, 方程组(f)的系数行列式等于111,10k k b b −−≠ . 由克莱姆法则, 此方程组有唯一一组解. 此解与11,0k k nx x x +==== 拼起来就是方程组(d)的一组非零解.2.3 克莱姆法则的一个新证明克莱姆法则是线性代数的一个基本定理，本文用一种简洁的的方法对该定理给出了一种新的证。