克莱姆法则的证明及应用

克莱姆法则及其应用

前 言

克莱姆法则是瑞士数学家克莱姆经过证明的出的，克莱姆 （Cramer,Gabriel,1704-1752）,瑞士数学家。生于瑞士，卒于法国。在巴塞尔时与与约翰·伯努利、欧拉多人学习交流，并成为挚友，，曾任教学和哲学教授，克莱姆对数学的贡献主要指在高等代数和解析几何方面。克莱姆法则是高等代数的重点内容之一，以及克莱姆法则在理论上和应用上都有着十分重要的意义。例如计算行列式，在生活中也有很多地方用到了克莱姆法则。

1. 预备知识

若想学习克莱姆法则，必须知道什么是系数行列式。现在就给介绍一下系数行列式。 设含有n 个未知量n 个方程的

111122112212222212n n n n nn n a x a x a b a x a x a b a a a b +++=

+++=

+++=

（1-1）

其系数构成的行列式

11

12121

22

212

n n

n n nn

a a a a a a D a a a =

称为方程组（1-1）的系数行列式。

1. 克莱姆法则的定义

克莱姆法则（Cramer Rule ）：一个含有n 个未知量n 个方程的线性方程组（1-1)当它的系数行列式

0D ≠时，有且仅有一个解：

12

1

2,,,.n n D D D x x x D D D === （1-2）

期中

J

D 是将D 的第j 列换成常数项21,,,n

b b b 而其余列不变的行列式。即

111,11

1,11212,12

2,121,1,1j j n j j n j n n j n n j nn

a a

b a a a a b a a D a a b a a −+−+−+=

1122,(1,2,).

j j n nj b A b A b A j n =

+++=

2. 克莱姆法则的证明方法

克莱姆法则有多种证明方法，在此我中立出三种证明方法，分别是

2.1克莱姆法则的一般证明方法

2.1.1 克莱姆法则的一般证明方法

在给 在第一节中已经给出克莱姆法则的定义，再次就不在家赘述。现在就有一般方法来证明克莱姆法则。

证 首先，证明（1-2）式确实是方程组（1-1）的解：把

,(1,2,,)j

j D x j n D == 代入（1-1）中第一个方程，得

1211

12111112211()n n

n n D D D

a a a a D a D a D D D D D

+++=+++

[]()()()[]11111221112112222211122111111212112111112121111111212111211

()()()1

1

00n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A a b A b A b A D b a A a A a A b a A a A a A b a A a A a A D b D b b b D ++++++++++++++++++ +⋅++⋅=

()()()[]1111122111211222221112211111121211211111212111111121211121()1()()11

00n n n n n n n n nn n n n n n n n n a b A b A b A a b A b A b A D a b A b A b A b a A a A a A b a A a A a A D b a A a A a A b D b b b D

++ =++++ +++ ++

=++++ +++ +⋅++⋅=

这就是说，（1-2）式满满足方程组（1-1）中的第一个方程。同理可证（1-2）式也满足方程组（1-1）中其余n-1个方程。因此，(1-2)式确为方程组（1-1）的解。

其次，设

11,2

2,,n n x k x k x k === 是方程组（1-1）的任意解，将其代入方程组（1-1）得n 个恒等式，再

用D 的第j 列元素12,,,j j

nj

a a a 的代数余子式12,,,J J nj A A A 依次乘所得的n 个恒等式的两端再相加，得

11111221112211222222112212:,::,00,

j j j n n j j j n n nj n n nj j nn n n j nn n j A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b A a k a k a k a k b k k Dk a k D +++++=+++++=+++++=+++++=

即

,1,2,,.j j Dk D j

n ==

由0,D ≠知

,1,2,,.j

j

D k j n D ==

这就是说，如果

()12,,,n k k k 是方程组（1-1）的一个解，则

(),1,2,,.j

j D k j n D == 即方程组只有一个解。

2.1.2 克莱姆法则的一般证明方法的应用

例1 解线性方程组

1

234123

4

12

3

41

34

33,

4,227,2 6.

x x x x x x x x x x x x x x x +

−+=− −+

+

= ++−= +

=+=

解 由于方程组的系数行列式

3111

1112130,

21211021D −−==−≠−

故由Cramer 法则知此方程有唯一解，又因为

131114112130,

71216021D −−−==−≠−