线性整数规划习题(隐枚举法)
运筹学_第4章__整数规划习题
运筹学_第4章__整数规划习题第四章整数规划4.1 某⼯⼚⽣产甲、⼄两种设备，已知⽣产这两种设备需要消耗材料A 、材料B ，有关数据如下，问这两种设备各⽣产多少使⼯⼚利润最⼤？（只建模不求解）解：设⽣产甲、⼄这两种设备的数量分别为x 1、x 2，由于是设备台数，则其变量都要求为整数，建⽴模型如下：2123max x x z +=≥≤+≤+为整数21212121,0,5.45.01432x x x x x x x x4.2 2197max x x z +=≥≤+≤+-且为整数0,35763.212121x x x x x x t s割平⾯法求解。
（下表为最优表）线性规划的最优解为：63max ,0,2/7,2/94321=====z x x x x由最终表中得：27221227432=++x x x ④将系数和常数项分解成整数和⾮负真分式之和，上式化为；2132********+=++x x x移项后得：①②③④①②③即：21221227212212274343-≤--→≥+x x x x只要把增加的约束条件加到B 问题的最优单纯形表中。
表4－3表4－4由x 1⾏得：7327171541=-+x x x 将系数和常数项分解成整数和⾮负真分数之和：74476715541+=+-+x x x x得到新的约束条件： 74767154-≤--x x747671654-=+--x x x 在的最优单纯形表中加上此约束，⽤对偶单纯形法求解：则最优解为3,421==x x ，最优⽬标函数值为z =55。
4.3 max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥+≥++≤+-10,,13344352.32132321321或x x x x x x x x x x x t s隐枚举法解：（1）先⽤试探的⽅法找出⼀个初始可⾏解，如x 1＝x 2＝0，x 3＝1。
满⾜约束条件，选其作为初始可⾏解，⽬标函数z 0＝2。
（2）附加过滤条件以⽬标函数0z z ≥作为过滤约束：2234321≥++x x x原模型变为：max z ＝4x 1＋3x 2＋2x 3=≥++≥+≥++≤+-10,,22341334435232132132321321或x x x x x x x x x x x x x x 求解过程如表所⽰。
线性整数规划习题(隐枚举法)
三、线形整数规划习题（隐枚举法）某长输管道泵站配有6台输油泵，串联使用。
现要求泵站工作点为Q=2000m 3/h,H=550m.当输量Q=2000m 3/h 时，各台泵的扬程及相应的电耗见下表：试确定一个最优泵组合方案，使所耗的总功率最小。
解 ：该问题的数学模型如下：6543211150110010201000530365m in x x x x x x s +++++=⎩⎨⎧-==≥+++++611,05502002001801809060..654321j x x x x x x x t s j 按约束条件的系数由达到小的顺序将相应的变量排列起来：6543213655301000102011001150m in x x x x x x s +++++=⎩⎨⎧-==≥+++++611,055060901801802000200..123456j x x x x x x x t s j用隐枚举法求解，步骤如下：1. NFREE={+6}，FREE={5,4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,0,1)T,S=1150,R(X)=200<550,X 不可行。
令S =+∞2. NFREE={+6,+5}，FREE={4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250,R(X)=400<550,X 不可行。
3. NFREE={+6,+5,+4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,1,1,1)T,S=3270,R(X)=580>550, X 可行。
因S<S ,故令S =S=3270.从这可知,每一个可行的泵组合中至少应有三台泵. 4. 因已得到可行解,故应从NFREE 中退出+4,则:NFREE={+6,+5-4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250, Bound=S -S=10205. 因C 3=1000<Bound,故将+3进入到NFREE:NFREE={+6,+5,-4,+3},FREE={2,1},X=(0,0,1,0,1,1)T,S=3250,R(X)=580>550,X可行。
例析0-1整数规划及隐枚举法的应用
例析0-1整数规划及隐枚举法的应用自主招生近年来成为各大高校又一招纳人才的举措,面试在自主招生中扮演着越来越重要的角色,考生面试的成绩不容忽视。
因此如何确定面试专家的分配方案,使录取工作真正公平合理的进行,是各大高校积极考虑的问题。
本文通过采用0-1整数规划及隐枚举法建立相关模型,较好地解决了这一问题。
1 预备知识简介1.1 线性规划[1]在人们的生产实践中,经常会遇到如何利用现有资源来安排生产,以取得最大经济效益的问题。
此类问题构成了运筹学的一个重要分支——数学规划,而线性规划则是数学规划的一个重要分支。
若在线性规划模型中,变量限制为整数,则为整数线性规划。
0-1整数规划是整数规划中的特殊情形,它的变量仅取0或1。
合理地引用0-1规划能够容易且高效率地求解相关问题。
1.2 隐枚举法[2]隐枚举法是Balas E在1965年提出的,是求解0-1规划问题的一种有效方法。
它只检查一部分变量组合,在这过程中根据已有信息自动舍弃许多不可能成为最优解的组合,求得最优解,从而大大减少了工作量。
隐枚举法只需比较目标函数在小部分组合点上的取值大小,就能求得最优解和最优值。
2 问题描述与建模2.1 问题描述某高校采用通过专家面试的方式进行自主招生,经过初选合格进入面试的考生有N人,拟聘请老师M人进行面试。
每位学生要分别接收“面试组”每位老师的单独面试,每个面试组由4名老师组成。
已知要求面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同。
试求在考生数N已知的条件下,聘请老师数M至少应为多大,才能做到任两位学生的“面试组”都没有两位面试老师相同。
2.2 数学建模该问题是一个单目标规划问题,解决的是满足一定约束条件要求,计算在给出一定的学生人数下,所需要教师的最少人数。
根据实际情况分析,一般面试学生的个数要远大于教师的个数。
因为教师人数较少,容易进行分组(即按照约束条件将教师每4人分成一组),满足约束条件的情况下,所能组合的最大组数目即可面试学生的最大人数[3～4]。
运筹学与最优化方法习题集
一．单纯性法一．单纯性法1.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 122121212max 25156224..5,0z x x x x x s t x x x x =+£ìï+£ïí+£ïï³î 2.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 2322..2210,0z x x x x s t x x x x =+-³-ìï+£íï³î 3.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1234123412341234max 24564282..2341,,,z x x x x x x x x s t x x x x x x x x =-+-+-+£ìï-+++£íï³î4.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 123123123123123max 2360210..20,,0z x x x x x x x x x s t x x x x x x =-+++£ìï-+£ïí+-£ïï³î 5.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12312312123max 224..26,,0z x x x x x x s t x x x x x =-++++£ìï+£íï³î6.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 12121212max 105349..528,0z x x x x s t x x x x =++£ìï+£íï³î7.用单纯形法求解下列线性规划问题（共用单纯形法求解下列线性规划问题（共 16 分）分） 12121212max 254212..3218,0z x x x x s t x x x x =+£ìï£ïí+£ïï³î二．对偶单纯性法二．对偶单纯性法1.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分）12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î 2.灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活利用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 121212212max 3510501..4,0z x x x x x x s t x x x =++£ìï+³ïí£ïï³î 3.用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共用对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 1212121212min 232330210..050z x x x x x x s t x x x x =++£ìï+³ïï-³íï³ïï³î4.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分）分） 124123412341234min 262335,,,0z x x x x x x x s t x x x x x x x x =+-+++£ìï-+-³íï³î5.运用对偶单纯形法解下列问题（共运用对偶单纯形法解下列问题（共 16 分）分） 12121212max 24..77,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+³íï³î6.灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分）分） 12121212max 62..33,0z x x x x s t x x x x =++³ìï+£íï³î三．0-1整数规划整数规划1.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345123345max 567893223220..32,,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x x or =++++-++-³ìï+--+³ïí--+++³ï=î 2.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 12312312323123min 4322534433..1,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x or =++-+£ì++³ïí+³ïï=î 3.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共 10 分） 1234512345123451234512345max 20402015305437825794625..81021025,,,,01z x x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =++++++++£ìï++++£ïí++++£ïï=î或 4.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12345123451234512345max 2534327546..2420,,,,01z x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x x =-+-+-+-+£ìï-+-+£íï=î或 5.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 12341234123412341234min 25344024244..1,,,01z x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x =+++-+++³ì-+++³ïí+-+³ïï=î或6.7.用隐枚举法解下列0-1型整数规划问题（共型整数规划问题（共10 分） 123451234513451245max 325232473438..116333z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x =+--+++++£ìï+-+£ïí-+-³ï 1231231231223max 3252244..346z x x x x x x x x x s t x x x x =-++-£ìï++£ïï+£íï+£ïï=四.K-T 条件条件1.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共）条件求解以下问题（共 15 分）分）22121122121212max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+£ìï+£íï³î2.利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下非线性规划问题。
整数规划习题
（2）max z 3x2 3x1 2x2 7 x x 1－ 2 －2 x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
3. 用隐枚举法求解下列 0-1规划问题:
（1）max z 2x1－x2＋5x3 3x4 4x5 3x1 2x2 7x3 5x4 4x5 6 x1 x2 2x3 4x4 2x5 0 xj 0 或（1 j 1,2,3,4,5)
（2）min z 2x1 5x2＋3x3 4x4 4x1 x2 x3 x4 0 2x1 4x2 2x3 4x4 4 x1 x2 x3 x4 1 xj 0 或（1 j 1,2,3,4)
4. 有四个工人，要分别指派他们完成四项 不同的工作，每人做各项工作所消耗的 时间如表题2.4。问应该如何指派，才 能使总的消耗时间为最少？
• 什么是隐枚举法,为什么说分支定界法也是一种隐枚举 法。
判断题
• 整数规划解的目标函数值一般优于其相应的线性规划 问题的解的目标函数值;
• 用分枝定界法求解一个极大化的整数规划问题时,任何 一个可行解的目标函数值是该问题目标函数值的下界;
• 用分支定界法求解一个极大化的整数规划问题,当得到 多于一个可行解时,通常任取其中一个作为下界值,再 进行比较剪枝;
x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
（2）max z 5x1 8x2 x1 x2 6 5x1 9x2 45 x1 0,x2 0
x1、x 2 均是整数
2．分别用穷举法和割平面法求解下列整数规划 问题:
（1）max z x1 x2 2x1 x2 6 4x1 5x2 20 x1 0,x2 0
运筹学作业参考答案
《运筹学》作业参考答案作业一一、是非题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（√）2.线性规划问题的每一个基解对应可行解域的一个顶点。
（╳）3.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
（√）4.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
（√）5.单纯形法计算中，如果不按最小比值规划选出基变量，则在下一个解中至少有一个基变量的值为负。
（√）6.线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
（╳）7.若线性规划问题具有可行解，且可行解域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解。
（╳）8.对一个有n个变量，m个约束的标准型线性规划问题，其可行域的顶点数恰好为mnC个。
（╳）9.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（√）10.求Max型的单纯形法的迭代过程是从一个可行解转换到目标函数值更大的另一个可行解。
（√）二、线性规划建模题：1.某公司一营业部每天需从A、B两仓库提货用于销售，需提取的商品有：甲商品不少于240件，乙商品不少于80台，丙商品不少于120吨。
已知：从A仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品4件，乙商品2台，丙商品6吨，运费200元/每部；从B仓库每部汽车每天能运回营业部甲商品7件，乙商品2台，丙商品2吨，运费160元/每部。
问：为满足销售量需要，营业部每天应发往A、B两仓库各多少部汽车，并使总运费最少？解：设营业部每天应发往A、B两仓库各x1，x2部汽车,则有：12 121212min200160 47240 2280 621200(1,2)jW x xx xx xx xx j=++≥⎧⎪+≥⎪⎨+≥⎪⎪≥=⎩2.现有一家公司准备制定一个广告宣传计划来宣传开发的新产品，以使尽可能多的未来顾客特别是女顾客得知。
ch5-40-1规划与隐枚举法
c1x1 c2 x2 cn xn Z0
(*)
当求最小值时，上式改为小于等于约束；
3. 列出所有可能解，对每个可能解先检验式（*），若满足再检 验其它约束，若不满足式（*），则认为不可行，若所有约束都 满足，则认为此解是可行解，求出目标值；
4. 目标函数值最大（最小）的解就是最优解。
作业：教材P135 T5.6
指派问题 Exit
(1) (2) (3)
x j 0或1 j 1,2,3
【解】容易求得X＝(1,0,0)是一可行解，Z0＝6。加一个约束
6x1 2x2 3x3 6
(0)
由于3个变量每个变量取0或1，共有8种组合，用列表的方法检验每 种组合解是否可行解，满足约束打上记号“√”，不满足约束打上 记号“ ×”，计算如表5－3所示。
（1，0，0） √
√
√
√
6
（1，0，1） √ （1，1，0） √
√
√
√
9
√
×
（1，1，1） √
×
由表5－3知，X＝（1，0，1）是最优解，最优值Z＝9。
§5.4 0－1规划
Ch5Integer Programming
Binary Integer Programming
2019年5月1日星期三 Page 4 of 4
§5.4 0－1规划
Ch5Integer Programming
Binary Integer Programming
2019年5月1日星期三 Page 1 of 4
求解0－1整数规划的隐枚举法(Implicit Enumeration Method)
隐枚举法的步骤：
1.找出任意一可行解，目标函数值为Z0； 2. 原问题求最大值时，则增加一个约束
第四章整数规划与分配问题习题
1
0
X1 32/7 1 0 0 1/7 -1/7 0
X3 11/7 0 0 1 1/7 -22/7 0
S1 -4/7 0 0 0 [-1/7] -6/7 1
Cj—Zj
0 0 0 -1
-8
0
X2 3
0
00
1
0
X1 4 1 0 0 0
-1 1
X3 1 0 0 1 0
-4 1
X4 4 Cj—Zj
0001 0000
解：
（1）
LP（1）
1 x1 = 39
7 x2 = 29
5 Z1 = 329
z = 32 5 9
z = 28
x1≤3 LP（4） x1 = 3 x2 = 2 z4 = 28
剪去
x2≤2
x2≥3
LP（2） 1
x1 = 32 x2 = 2
z2 = 31
LP（3） 2
x1 = 25
x2 = 3 4
z3= 315
x3* = (1,2)T , z * = 3 由于表 3(b)中一非基变量x5的检验数为 0，故让x5进量，用单纯形法迭代一次，得另一最优解
（见表 4）：
x3* = (2,1)T , z * = 3
8、 用完全枚举法求解 0—1 规划问题.
max z = 3x1 − 2x2 + 5x3 s.t. x1 + 2x2 − x3 ≤ 2
变换效益矩阵：
⎛0 1 2 3⎞⎛0 ⎞ ⎛0 1 2 3⎞ ⎛ⓞ Ø 2 3 ⎞
Ci'j
=
⎜ ⎜ ⎜
7 8
6 9
5 9
4 8
⎟ ⎟ ⎟
⎜ ⎜ ⎜
−4 −8
0—1型整数规划问题的求解方法
0—1型整数规划问题的求解方法1、一般来说，碰到了0-1规划的问题，怎么办？枚举，比较每个解对应的目标函数值。
为什么要枚举，是把每一个解都拿出来比较。
因此，有的叫法是显枚举法？2、有显枚举法，就有隐枚举法。
如果说，显枚举法是显式的枚举法，那么隐枚举法就是隐式的枚举法。
都是枚举法，都是要把所有的解带入到目标函数进行比较，对不对？理论上是这样的，可以参考其他的讲解。
但是，其他的地方讲解似乎没有把这个讲解到位，为什么叫隐枚举法。
有一种说法是：设计一种方法，只检查0-1变量组合的一部分，就能得到问题的最优解。
3、首先，如果你不把所有的解都判断一下，我怎么知道那个解是不是最优的解呢？回顾一下LP问题的求解，发现线性规划并不需要判断所有的解，确切的说，是所有的可行解。
只需要在所有的基本可行解里面去寻找最优的解。
因此，0-1规划求解的思路也是一样，是在所有的0-1可行解里面去寻找。
这样，就需要在约束条件里面去一个一个的判断，这个0-1组合是否可行。
所以，隐枚举法的思路，还是枚举法，但是我并不是要把每个解都要进行约束条件的判断，判断他是不是可行，可以只检查所有0-1变量组合的一部分约束条件的判断，这样还是可以得到问题的最优解。
4、接着，那怎么减少约束条件的检查判断呢？设置一个过滤条件，叫做过滤约束，如果这个不满足，那么其他的约束就不用判断了。
因此，隐的意思应该在这里。
问题来了，怎么添加这个过滤约束呢？通过一种方法（试探法），找到一个可行解，然后代入目标函数，得到目标值，这个就得到了一个过滤约束。
求最大值的时候，如果一个可行解的目标值不大于这个约束，那么直接排除。
5、继续。
怎么得到这个过滤约束。
比如下面的例子：一种说法是试探法，随便试探？或者可以从某一个解开始（比如0,0,0）开始递增，直到得到一个可行解，然后就得到了这个过滤约束了，比如上面的例子，我们可以从1,0,0开始递增，先看看这个解是不是可行解。
是在可行解，因此看目标函数值是3，因此得到一个约束，3x1-2x2+5x3>=3过滤约束。
规划数学（运筹学）第三版课后习题答案习题1（1）
规划数学（运筹学）第三版课后习题答案习题1（1）习题 11 ⽤图解法求解下列线性规划问题，并指出问题具有唯⼀最优解、⽆穷最优解、⽆界解还是⽆可⾏解。
≥≥+≥++=0x x 42x 4x 66x 4x 3x 2x minz )a (21212121， ??≥≥+≤++=0x ,x 124x 3x 2x 2x 2x 3x maxz )b (21212121≤≤≤≤≤++=8x 310x 512010x 6x x x maxz )c (212121≥≤+-≥-+=0x ,x 23x 2x 2x 2x 6x 5x maxz )d (21212121 答案： (a)唯⼀解3*,)5.0,75.0(*==z X T); (b)⽆可⾏解;(c)唯⼀解16*,)6,10(*==z X T); (d)⽆界解）2 ⽤单纯形法求解下列线性规划问题。
≥≤+≤++=0x ,x 82x 5x 94x 3x 5x 10x maxz )a (21212121≥≤+≤+≤+=0x ,x 5x x 242x 6x 155x x 2x maxz )b (212121221 答案：(a)唯⼀解5.17*,)5.1,1(*==z X T)，对偶问题5.17*,)786.1,357.0(*==w Y T; (b)唯⼀解5.8*,)5.1,5.3(*==z X T），5.8*,)5.0,25.0,0(*==w Y T3 ⽤⼤M 法和两阶段法求解下列线性规划问题，并指出属于哪⼀类解。
≥≥-≥+-≥+++-=0x x x 0x 2x 2x 2x 6x x x 2x x 2x maxz )a (3,2,13231321321 ≥≥+≥++++=0x ,x ,x 62x 3x 82x 4x xx 3x 2x minz )b (32121321321答案：(a)⽆界解；(b)唯⼀解8*,)0,8.1,8.0(*==z X T)，对偶问题8*,)0,1(*==w Y T4已知线性规划问题的初始单纯形表（如表1-54所⽰）和⽤单纯形法迭代后得到的表（如表1-55所⽰）如下，试求括弧中未知数a ～l 的值。
运筹学复习试题和参考题答案
中南大学网络教育课程考试复习题及参考答案运筹学一、判断题：1.图解法与单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
（）2.线性规划问题的每一个基本解对应可行解域的一个顶点。
（）3.任何线性规划问题存在并具有惟一的对偶问题。
（）4.已知y i*为线性规划的对偶问题的最优解,若y i*＞0,说明在最优生产计划中第i种资源已完全耗尽。
（）5.单纯形迭代中添加人工变量的目的是为了得到问题的一个基本可行解。
（）6.订购费为每订一次货所发生的费用，它同每次订货的数量无关。
（）7.如果线性规划问题存在最优解，则最优解一定可以在可行解域的顶点上获得。
（）8.用单纯形法求解Max型的线性规划问题时，检验数Rj＞0对应的变量都可以被选作入基变量。
（）9.对于原问题是求Min，若第i个约束是“＝”，则第i个对偶变量yi≤0。
（）10.用大M法或两阶段法单纯形迭代中若人工变量不能出基（人工变量的值不为0），则问题无可行解。
（）11.如图中某点vi有若干个相邻点,与其距离最远的相邻点为vj,则边[vi,vj]必不包含在最小支撑树内。
（）12.在允许缺货发生短缺的存贮模型中，订货批量的确定应使由于存贮量的减少带来的节约能抵消缺货时造成的损失。
（）13.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解，反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
（）14.在线性规划的最优解中，若某一变量xj为非基变量，则在原来问题中，改变其价值系数cj，反映到最终单纯形表中，除xj的检验数有变化外，对其它各数字无影响。
（）15.运输问题是一种特殊的线性规划问题，因而其求解结果也可能出现下列四种情况之一：有惟一最优解，有无穷多最优解，无界解，无可行解。
（）16.动态规划的最优性原理保证了从某一状态开始的未来决策独立于先前已做出的决策。
（）17.一个动态规划问题若能用网络表达时,节点代表各阶段的状态值,各条弧代表了可行方案的选择。
0–1型整数规划的解法
0–1型整数规划的解法
解0-1 型整数规划最容易想到的方法，和一般整数规划的情形一样，就是穷举法，即检查变量取值为0 或1 的每一种组合，比较目标函数值以求得最优解，这就需要检查变量取值的2的n次方个组合。
对于变量个数n 较大（例如
n>100），这几乎是不可能的。
因此常设计一些方法，只检查变量取值的组合的一部分，就能求到问题的最优解。
这样的方法称为隐枚举法（implicit enumeration ），分枝定界法也是一种隐枚举法。
当然，对有些问题隐枚举法并不适用，所以有时穷举法还是必要的。
下面举例说明一种解0-1 型整数规划的隐枚举法。
求解思路及改进措施：
（i ）先试探性求一个可行解，易看出满足约束条件，故为一
个可行解，且z=3。
（ii ）因为是求极大值问题，故求最优解时，凡是目标值z<3 的解不必检验是否满足约束条件即可删除，因它肯定不是最优解，于是应增加一个约束条件（目标值下界）.
（iii ）改进过滤条件。
（iv ）由于对每个组合首先计算目标值以验证过滤条件，故应优先计算目标值z 大的组合，这样可提前抬高过滤门槛，以减少计算量。
运筹学 考题与答案
一、填空题：1. 表1中给出某线性规划问题计算过程中的一个单纯形表，目标函数为654228max x x x z ++=，约束条件为≤，表中321,,x x x 为松弛变量，表中解的目标函数值为14=z 。
（1）a ＝______，b ＝______，c ＝______，d ＝______，e ＝______，f ＝______，g ＝______； （2）表中给出的解为___________（提示：最优解，满意解，可行解……）。
2.在单纯形法的计算中，按照最小比值θ来确定换出基的变量时，有时出现存在两个以上相同的最小比值，从而出现_______现象。
3.使用动态规划方法解决多阶段决策问题，首先要将实际问题写成动态规划模型，此时要用到5个概念：_______、_______、_______、状态转移方程和指标函数。
二、判断题1.图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的。
( )2.根据对偶问题的性质，当原问题为无界解时，其对偶问题无可行解；反之，当对偶问题无可行解时，其原问题具有无界解。
( )3.运输问题时一种特殊的线性规划模型，因而求解结果也可能出现下列四种情况之一：唯一最优解、无穷多最优解、无界解、无可行解。
( )4.动态规划中，定义状态时应保证在各个阶段中所作决策的相互独立性。
( )5.求图的最小支撑树以及求图中一点至另一点的最短路问题，都可以归结为求解整数规划问题。
( )三、简答题1.简述影子价格的经济意义。
2.简述不确定型决策方法中的悲观准则。
四、计算题1.用图解法求解下列线性规划问题，并指出问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。
（8分）⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≥++=0,5.14312.46min 21212121x x x x x x st x x z 2.已知表2为求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中4x ，5x 为松弛变量，问题的约束为≤形式。
整数规划
xj 0 j 1,2,3,4
(5.2.6) (5.2.7) (5.2.8) (5.2.9)
18
二、求解线性规划问题(1)
用单纯形法的表格形式求解，得最终表，见表5.2.1。 由表5.2.1及式max Z =一[min(一Z)]可知，问题(0)的
最优解A1点为
求解过程参见图5.3.1
30
2.判断无约束下最优解(0，0，0)T即节点1是否 是可行解?
显然，(0，0，0) T是无约束下的最优解，若它能使各 约束式得到满足，则它必是0-1规划原问题的最优解。
本例中把(0，0，0) T代入各约束式。得. Q1 = 4≥0 Q2 = －3 Q3 = －1
第五章
整数规划
1
线性规划问题中，最优解可能是整数，也可能不 是整数，而实际中有相当多的问题要求解答必须 是整数。
对于线性规划问题，如果增加部分变量或全部变 量为整数的要求，就构成了整数线性规划问题。 其中，要求全部变量为整数的问题称为纯整数规 划问题，要求部分变量为整数的问题称为混合整 数规划问题。
32
4.欲分枝，必须从某个不满足的约束的系数为 正值的变量中，选择一个自由变量Xj作非自由 变量。
求解问题(2)时，可以利用3.4节灵敏度分析中介 绍的增加一个新的约束条件的做法，尽快地得 到新的最优解。
21
五、例题的图解法结果
上述例题的 图解法结果示于 图 5.2.1中 。 图5.2.1中，各点的坐标及最优点的目标函数值列于
表5.2.3。
12
五、修改原来的上、下界
1．修改下界Z ：
– 从分支中，找出目标函数最大者为新的下界。
运筹学匈牙利法
满足约束条件（是∨ 否×） (1) (2) (3) (4)
过滤 条件
√√√ √ 0
√√√ √ 5
-2
3
3
√√√ √ 8
1
6
max Z 3 x 1 2 x 2 5 x 3
x 1 2 x 2 x 3 2 (1)
x1 x1
4
x2 x2
x3
4 3
(2) (3)
4 x 2 x 3 6 (4)
1 0 7
0 4 1
4
3
0 √
√
找(1到)对3没个有独独立立零零元元素素，的但行m打√= 号3 <；n = 4 (2)对已打√号的行中所有含划掉零元素的列打√号；
(3)再对打有√号的列中含独立零元素的行打√号；
(4)重复(2)，(3)直到得不出新的打√号的行、列为止；
(5)对没有打√号的行画横线，有打√号的列画纵线，这就 得到覆盖所有零元素的最少直线数
xij
n
0不分配i个 第人取完j成 项第 任务
x ij 1
( i 1 .2 . .n )
j1
n
x ij 1 ( j 1 . 2 . . n )
i1
x ij 0 或 1( i , j 1 . 2 . . n )
典型问题
例1：有一份说明书，要分别译成英、日、 德、俄四种文字，交与甲、乙、丙、丁四个 人去完成，因各人专长不同，他们完成翻译 不同文字所需要的时间（小时）如表所示。 规定每项工作只能交与其中的一个人完成， 每个人只能完成其中的一项工作。
工作 人 甲 乙 丙 丁
译英文 译日文 译德文 译俄文
2 10 15 4 13 14 4 15
97 14 8 16 11 13 9
最优化之0-1规划的隐枚举法考试题
最优化之0-1规划的隐枚举法考试题代码：function [intx,intf] = ZeroOneprog(c,A,b,x0)%目标函数系数向量，c%不等式约束矩阵，A%不等式约束右端向量，b%初始整数可行解，x0%目标函数取最小值时的自变量值，intx%目标函数的最小值，intfsz = size(A);if sz(2) < 3[intx,intf] = Allprog(c,A,b); %穷举法else[intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0); %隐枚举法endfunction [intx,intf] = Allprog(c,A,b)sz_A = size(A);rw = sz_A(1);col = sz_A(2);minf = inf;for i=0:(2^(col)-1) %枚举空间x1 = myDec2Bin(i,col); %十进制转化为二进制if A*x1 >= b %是否满足约束条件f_tmp = c*x1;if f_tmp < minfminf = f_tmp;intx = x1;intf = minf;elsecontinue;endelsecontinue;endendfunction [intx,intf] = Implicitprog(c,A,b,x0)%隐枚举法sz_A = size(A);rw = sz_A(1);col = sz_A(2);minf = c*x0;A = [A;-c];b = [b;-minf]; %增加了一个限制分量for i=0:(2^(col)-1)x1 = myDec2Bin(i,col);if A*x1 >= bf_tmp = c*x1;if f_tmp < minfminf = f_tmp;b(rw+1,1) = -minf; %隐枚举法与穷举法的区别在于此句 intx = x1;intf = minf;elsecontinue ;endelsecontinue ;endendfunction y = myDec2Bin(x,n) %十进制转化为二进制str = dec2bin(x,n);for j=1:ny(j) = str2num(str(j));endy = transpose(y);题目：求下列0-1线性规划1231231231213123max 3252244..346,,01z x x x x x x x x x s t x x x x x x x =-++-≤⎧⎪++≤⎪⎪+≤⎨⎪+≤⎪⎪⎩为或解：打开MATLAB 软件，编写程序中写到的m 文件并保存，其中：对于min,≤的题，不改数输入即可，对于max,≥的题，不改目标函数，将非等式约束所有数取负。
运筹学——0-1整数规划
(1,0,0) (1,0,1) (1,1,0) (1,1,1)
0’’ -2 3 1 6
1
.2
.3
Z .4 足 值 no no no no
最优解(X2,X1,X3) =（0，1，1） Z=8 实际只计算了16次
例2
求下列问题：
Max Z=3x1+ 4x2 + 5x3 + 6x4 s.t. 2x1+ 3x2 + 4x3 + 5x4 15
0-1规划应用
华美公司有5个项目被列入投资计划，各项目 的投资额和期望的投资收益见下表： 项目 投资额(万元) 投资收益(万元) 1 210 150
2
3 4 5
300
100 130 260
210
60 80 180
该公司只有600万元资金可用于投资， 由于技术原因，投资受到以下约束： 在项目1、2和3中必须有一项被选中；
0-1 规划及其解法
0-1 规划在线性整数规划中具有重要地位。 定理：任何整数规划都可以化成0-1规划。 一般地说，可把整数x变成(k+1)个0-1变量公 式为：x=y0+2y1+22y2+….2kyk 若x上界为U，则对0<x<U,要求k满足2k+1 U+1.
由于这个原因，数学界曾纷纷寻找“背包问 题”解的方法，但进展缓慢。
xi=1或0
• 点击这里进入 “指派问题”的 学习
解：由于目标函数中变量x1, x2 , x4 的系数均为负数， 可作如下变换：
令 x1 ＝1－ x1′ , x2 =1- x2′, x3= x3′, x4 =1- x4′带入原题 中，但需重新调整变量编号。令 x3′ = x1′, x4′ = x2′得到下式。
解0—1规划的隐枚举法
解0—1规划的隐枚举法a.模型转化为求极小的问题b.变量替换。
极小问题模型的目标函数中所有变量系数为负的0—1变量，可利用变量替换某k=1－某'k(某'k是引入的新的0—1变量)，将目标函数中所有变量系数化为正数。
c.目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整。
d.按目标函数值由小到大的顺序依次排列可能的解，并予以可行性检验。
e.发现求极小问题的最优解并停止。
f.转化为原问题的最优解。
例4用隐枚举法求解下列0—1规划问题Ma某Z=3某1＋2某2－5某3－2某4＋3某5某1＋某2＋某3＋2某4＋某5≤47某1＋3某3－4某4＋3某5≤811某1－6某2＋3某4＋5某5≥3某j=0,1,j=1,2,3,4,5.解：①转化为求极小的问题MinZ=－3某1－2某2＋5某3＋2某4－3某5－某1－某2－某3－2某4－某5≥－4－7某1－3某3＋4某4－3某5≥－811某1－6某2＋3某4＋5某5≥3某j=0,1,j=1,2,3,4,5.②令某'1=1－某1,某'2=1－某2,某'5=1－某5,带入极小问题模型中，得MinZ=3某'1＋2某'2＋5某3＋2某4＋3某'5－8某'1＋某'2－某3－2某4＋某'5≥－17某'1－3某3＋4某4＋3某'5≥2－11某'1＋6某'2＋3某4－5某'5≥－7某j=0,1,j=3,4;某'j=0,1,j=1,2,5.③目标函数中变量按系数大小排列，约束条件中变量排列顺序也相应调整，得MinZ=5某3＋3某'1＋3某'5＋2某'2＋2某4－8－某3＋某'1＋某'5＋某'2－2某4≥－1①－3某3＋7某'1＋3某'5＋4某4≥2②－11某'1－5某'5＋6某'2＋3某4≥－7③某j=0,1,j=3,4;某'j=0,1,j=1,2,5.④按目标函数值由小到大的顺序排列可能的解，并予以可行性检验。
01整数规划解法
任务 人员
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
0
0
0
0
M
指派问题与匈牙利法
用匈牙利法求出最优指派方案为：
0 1 0 0 0
0 0 0 1 0
0 0 0 0 1
1 0 0 0 0
0 0 1 0 0
即甲－B，乙－D，丙－E，丁－A, 任务C放弃。
任务
人员
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
指派问题与匈牙利法
解: 1) 这是不平衡的指派问题，首先转换为标准型，再用匈牙利 法求解。
2) 由于任务数多于人数，所以假定一名虚拟人，设为戊。因为工 作E必须完成，故设戊完成E的时间为M（M为非常大的数），其 余效率系数为0，则标准型的效率矩阵表示为：
的矩阵，重复2）步进行试指派
指派问题与匈牙利法
3 4 3 0
0
1
0
5
2 0 4 4
2
6
0
0
试指派
3 4 3◎ ◎ 1Ø 5 2◎ 4 4 2 6◎Ø
得到4个独立零元素， 所以最优解矩阵为：
【2018-2019】整数规划试题-范文模板 (19页)
本文部分内容来自网络整理，本司不为其真实性负责，如有异议或侵权请及时联系，本司将立即删除！== 本文为word格式，下载后可方便编辑和修改！ ==整数规划试题篇一：试题--整数规划第3章整数规划一、选择题（在下列各题中，从备选答案中选出1个或多个正确答案） 1. maxZ?3x1?2x2,2x1?3x2?14,x1?0.5x2?4.5,x1,x2?0且为整数，对应线性规划的最优解是（3.25，2.5），它的整数规划的最优解是( )A.(4，1) B.(4，3)C.(3，2) D.(2，4)2. 下列说法正确的是 ( )A.整数规划问题最优值优于其相应的线性规划问题的最优值B.用分枝定界法求解一个极大化的整数规划时，当得到多于一个可行解时，通常可任取其中一个作为下界，再进行比较剪枝C.分枝定界法在处理整数规划问题时，借用线性规划单纯形法的基本思想，在求相应的线性模型解的同时，逐步加入对各变量的整数要求限制，从而把原整数规划问题通过分枝迭代求出最优解。
D.以上说法都不对3. 分枝定界法中( )A. 最大值问题的目标值是各分枝的下界B. 最大值问题的目标值是各分枝的上界C. 最小值问题的目标值是各分枝的上界D. 以上结论都不对Z?3x1?x2,4x1?3x2?7,x1?2x2?4,x1,x2?0或1，最优解是( ) 4. maxA.(0,0）B.(0,1）C.(1,0）D.(1,1)二、填空题4x1?x2?18，5x1?x2?30至少一个满足，用0－1变量表示的一般1．x1?2x2?5，线性约束条件是（）2．求解纯整数规划的两种方法是（）3. 已知基变量x1=3.25，x1要求取整数，则添加分枝约束（）和（）。
三、判断题1. 整数规划的最优解是先求相应的线性规划的最优解然后取整得到；2. 部分变量要求是整数的规划问题称为纯整数规划；3. 求最大值问题的目标函数值是各分枝函数值的上界；4. 求最小值问题的目标函数值是各分枝函数值的下界；5. 变量取0或1的规划是整数规划；6. 整数规划的可行解集合是离散型集合；7. 将指派问题的效率矩阵每行分别加上一个数后最优解不变；8. 匈牙利法求解指派问题的条件是效率矩阵的元素非负；9. 匈牙利法可直接求解极大化的指派问题；参考答案：一、选择题 1. A ， 2. D ， 3. B ， 4 . D二、填空题 1.2. （分枝定界法和割平面法）3.（x1≤3），（x1≥4）三、判断题1.× 取整后不一定是原问题的最优解 2.× 称为混和整数规划3.√4.√5.√6.√7.√8.√9.× 是求解极小化的指派问题篇二：整数规划习题第五章整数规划习题5.1 考虑下列数学模型 min且满足约束条件z?f1(x1)?f2(x2)（1）或x1?10，或x2?10；（2）下列各不等式至少有一个成立：?2x1?x2?15??x1?x2?15?x?2x?152?1（3）x1?x2?0或5或10?0（4）x1其中?0，x2?20?5x1,如x1?0?,如x1?0f1(x1)?0=将此问题归结为混合整数规划的模型。
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三、线形整数规划习题（隐枚举法）
某长输管道泵站配有6台输油泵，串联使用。
现要求泵站工作点为Q=2000m 3
/h,H=550m.当输量Q=2000m 3
/h 时，各台泵的扬程及相应的电耗见下表：
试确定一个最优泵组合方案，使所耗的总功率最小。
解 ：该问题的数学模型如下：
6543211150110010201000530365m in x x x x x x s +++++=
⎩
⎨
⎧-==≥+++++611,0550
2002001801809060..654321j x x x x x x x t s j 按约束条件的系数由达到小的顺序将相应的变量排列起来：
6543213655301000102011001150m in x x x x x x s +++++=
⎩
⎨
⎧-==≥+++++611,0550
60901801802000200..123456j x x x x x x x t s j
用隐枚举法求解，步骤如下：
1. NFREE={+6}，FREE={5,4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,0,1)T
,S=1150,R(X)=200<550,
X 不可行。
令S =+∞
2. NFREE={+6,+5}，FREE={4,3,2,1}，X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250,R(X)=400<550,
X 不可行。
3. NFREE={+6,+5,+4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,1,1,1)T
,S=3270,R(X)=580>550, X 可行。
因S<S ,故令S =S=3270.
从这可知,每一个可行的泵组合中至少应有三台泵. 4. 因已得到可行解,故应从NFREE 中退出+4,则:
NFREE={+6,+5-4},FREE={3,2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T ,S=2250, Bound=S -S=1020
5. 因C 3=1000<Bound,故将+3进入到NFREE:
NFREE={+6,+5,-4,+3},FREE={2,1},X=(0,0,1,0,1,1)T,S=3250,R(X)=580>550,
X可行。
因S<S,故令S-=S=3250.
6.因已得到可行解,故应从NFREE中退出+3,则:
NFREE={+6,+5,-4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,0,1,1)T,S=2250, Bound=S-S=1000 7.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={+6,+5,-4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,0,1,1)T,S=2780,R(X)=490<550,
X不可行。
8.NFREE={+6,+5,-4,-3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,0,0,1,1)T, S=3145,R(X)=550=550, X可行。
因S<S,故令S=S=3145.
9.因已得到可行解,故应从NFREE中退出+5,因要满足三台泵的要求则:
NFREE={+6,-5,+4,+3}，FREE={2,1}，X=(0,0,1,1,0,1)T,S=3170>S,X不可行. 10.故应从NFREE中退出+3:
NFREE={+6,-5,+4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,1,0,1)T,S=2170, Bound=S-S=1000 11.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={+6,-5,+4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,1,0,1)T,S=2900,R(X)=470<550,
X不可行.
12.NFREE={+6,-5,+4,-3,+2,+1}，FREE=Ф，X=(1,1,0,1,0,1)T,S=3265>S,
X不可行.
13.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={+6,-5,-4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,0,0,1)T,S=2680,R(X)=470<550,
X不可行.
14.NFREE={+6,-5,-4,+3,+2,+1},FREE=Ф，X=(1,1,1,0,0,1)T,S=3045,R(X)=530<550, X不可行.
故应从NFREE中退出+6, 因要满足三台泵的要求:
15.NFREE={-6,+5,+4,+3}，FREE={2,1}，X=(0,0,1,1,1,0)T,S=3120,R(X)=560>550,
X可行. 因S<S,故令S-=S=3120.
16.故应从NFREE中退出+3,
NFREE={-6,+5,+4,-3},FREE={2,1},X=(0,0,0,1,1,0)T,S=2120,
Bound=S-S=1000
17.因C2=530<Bound,故将+2进入到NFREE:
NFREE={-6,+5,+4,-3,+2},FREE={1},X=(0,1,0,1,1,0)T,S=2650,R(X)=470<550,
X不可行.
18.NFREE={-6,+5,+4,-3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,0,1,1,0)T,S=3015,R(X)=530<550, X不可行.
19.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={-6,+5,-4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,0,1,0)T,S=2630,R(X)=470<550,
X不可行.
20.NFREE={-6,+5,-4,+3,+2,+1}, FREE=Ф, X=(1,1,1,0,1,0)T,S=2995,R(X)=530<550, X不可行.
21.故应从NFREE中退出+4, 因要满足三台泵的要求:
NFREE={-6,-5,+4,+3,+2},FREE={1},X=(0,1,1,1,0,0)T,S=2550,R(X)=450<550,
X不可行.
22.NFREE={-6,-5,+4,+3,+2,+1},FREE=Ф, X=(1,1,1,1,0,0)T,S=2915,R(X)=510<550, X不可行.
综上:最优解为: X=(0,0,1,1,1,0)T S=3120。