球壳和球体的转动惯量求解

薄球壳转动惯量

令薄球壳质量为m 质量面密度为24R m πρ= 球壳可被看作由许多个小圆环构成

如右图所示选取其中一小圆环考虑，该小圆环的质量 θθπρρRd R dS dm ⨯⨯==)sin (2

则该质量元的转动惯量

θθπρθd R dm R dJ 342sin 2)sin (==

整个球壳的转动惯量

2

40340

343

24/)cos 33/3(cos 2sin 2sin 2m R R d R d R dJ J =-====⎰⎰⎰ππ

πθθπρθ

θπρθ

θπρ

球体转动惯量

如右图所示的球面坐标系中选取任一体积元作为质量元，该体积元的体积

φθφφθφd drd r dr rd d r dV sin sin 2=⋅⋅= 其质量：

φθφππd drd r R

m dV R m

dm sin 3434233== 对OZ 轴的转动惯量：

φθφπφd drd r R

m dm r dJ 3432sin 34)sin (== 整个球体的转动惯量： ⎰⎰⎰⎰⎰⎰===V R mR d r R m d dr dJ J ππ

φφπθ023*******sin 34 θθ

d