固体物理第三章总结

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因为长光学波是极化波，且只有长光学纵波才伴随着宏观
的极化电场，所以长光学纵波声子称为极化声子。
长光学横波与电磁场相耦合，它具有电磁性质，称长光学
横波声子为电磁声子。
1.已知模式密度 () 求:
(1)~+d间隔内的振动模式数;
(2) ~+d间隔内的声子数及晶体中总的声子数;
(3) ~+d间隔内的谐振子的能量及晶体的能量;
一维无限长原子链，m，a，
n-2 n-1 n n+1 n+2
mm
a
..
m x n x n x n 1 x n x n 1
xnAeitnaq
2 sinaq
m2
2 m
π q π
a
a
xn xnN
π a
o
πa
晶格振动波矢的数
目=晶体的原胞数
一维双原子链振动
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2
π q π
2a
2a
x x , 2n
2(nN)
三维晶格振动、声子
晶格振动的波矢数目 =晶体的原胞数N， 格波振动频率数目=晶体的自由度数mNn， 独立的振动模式数=晶体的自由度数mNn。
N是晶体的原胞个数，n是原胞内原子个数，m是维数。
声子：晶格振动的能量量子。能量为 , 准动量为 q 。
3nN个振动模式 3nN种声子 3N种声学声子， (3n-3)N种光学声子。
eu d kBT
3 4
g c2
kBT
1 3
CV
v
高温时:
1 T
低温时: T3
长波近似
长声学支格波可以看成连续波，晶体可以看成连续介质。
1.黄昆方程
离子晶体的长光学波
W b1W 1 b12E
( 1)
---黄昆方程
Pb2W 1 b22E (2)
(1)式代表振动方程，右边第一项 b11W为准弹性恢复力，
M
m
a
..
x M 2 n x 2 n 1 x 2 n 1 2 x 2 n
x ..
m 2n1 x 2 n 2 x 2 n 2 x 2 n 1
x 2 n 1A ie t 2 n 1 aq
O
A
x2n Biet2naq
π
o
πq
2a
2a
2 {m ( M )m 2 M 2 2 m cM 2 o a}s q mM
第二项表示电场 E 附加了恢复力。 (2)式代表极化方程，b21W表示离子位移引起的极化，第
二项表示电场 E 附加了极化。
2.LST关系
2 T
0
2 L0
s
光频介电常量
---著名的LST关系
静电介电常量
(1 )s , L o To
(2)铁电软模(光学软模) 1/2
S
TO 0,
3.极化声子和电磁声子
kBE
局限性
E
kB
D
D
kB
晶体的非简谐效应
1.非简谐效应：
U (R 0)U (R 0)2 1 ! R 2U 2 R 023 1 ! R 3U 3 R 03 c2 g3
2.声子与声子相互作用：
q11q22q 33Kh
Kh Kh
0 正常过程 0 反常过程
eu kBT d
3.晶体的热膨胀现象： 4.晶体的热传导现象：
Cv
3NTkB3
高温 0 低温
E
3N i1
E
i
3N
i
i
e i1
kBT
3N
1 i1
1 2
i
i
CV
E T
3N
kB
i1
e kBT
i e
kBT
2 1
i
kBT2
CV 0mkBe ekBTkB T12kBT2()d
2.频率分布函数
定义：
()
n
li m 0
计算： 3 n 12 V π c3
第三章 晶格振动 ❖一维晶格振动
格波、光学支格波、声学支格波、简谐近似、 色散关系（晶格振动谱）、B－K边界条件 方程、试探解、求色散关系及画曲线、波矢取值及范围
❖三维晶格振动
声子、格波支数、振动模式数、频率数、波矢数、声子种数
❖确定晶格振动谱的实验方法 能量守恒和准动量守恒
❖晶体比热
模式密度（频率分布函数）、爱因斯坦模型、德拜模型
❖晶体的非简谐效应 非简谐近似、正常过程、反常过程、 ❖长波近似
黄昆方程、铁电软模（光学软模）、极化声子、电磁声子
一维晶格振动 格波：晶体中的原子在其平衡位置附近作微振动， 由于原子间的相互作用，原子振动在晶体中传播，形 成波。由于晶体中原子排列的周期性，相邻原子间存 在着固定的位相关系，这种波称为格波。
确定晶格振动谱的实验方法
1.方法： 中子的非弹性散射、光子散射、X射线散射。
2.原理(中子的非弹性散射) 由能量守恒和准动量守恒得：
P'2
P2
(q)
2Mn 2Mn
“+”表示吸收一个声子
P ' P q K h “-”表示发射一个声子
3.仪器： 三轴中子谱仪。
晶体比热
1.固体比热的实验规律
振动很微弱时，势能展式中只保留到2项,3次方
以上的高次项均忽略掉的近似为简谐近似(忽略掉作
用力中非线性项的近似)。
fnkd dr2u2r0 xnknkxnk
nk
d2u dr 2
r0
在简谐近似下，格波可以分解成许多简谐平面波的
线性叠加。
模型 运动方程
试探解
色散关系
波矢q范围 B--K条件
波矢q取值
L
,
L
2
,
Lຫໍສະໝຸດ Baidu
3
2 2 2
中q的~q波矢dq数目：2 L d q, 2 L 22 qq d , 2 L 34 q 2d q
中的振~ 动 模d式数目：2 L cv 2d, 2 S cv 2d, 2 V c2 v3 2d
(D为德拜频率)。
E0De kB T112()d
9N2
D3
爱因斯坦模型
德拜模型
CV
3NkBfETE
f
E
T
E
T
2
E
eT
eET
2
1
高温时与实验相吻合，低温
CV
3NkB
f
D
T
fTD3TD3
D
T
0
exex12x4dx
高低温时均与实验相吻合，且
时以比T3更快的速度趋于零。 温度越低，与实验吻合的越好。
ds
s qq
3.晶体比热的爱因斯坦模型和德拜模型
爱因斯坦模型
德拜模型
(1)晶体中原子的振动相互独立；(1)晶体视为连续介质,格波视
为弹性波（vq）；
(2)所有原子具有同一频率； (2)有一支纵波两支横波；
(3)设晶体由N个原子组成,共
有3N个频率为的振动。
E3NekBT 112
(3)晶格振动频率在 0~D之间
解:(1) ()d
(2)
1
()d
e 1 kBT
d 0
1
e kBT
()d
1
(3) ekB 1T 112 ()d
D 0
ekB 1T 112
()d
2.应用德拜模型计算一维、二维和三维情况下晶格振 动的模式密度、德拜频率、德拜温度、零点能、平均
晶格能、晶格比热及其高低温极限。
解：（1）模式密度：
波矢空间波矢密度：