中考数学综合题专题复习【圆的综合】专题解析附详细答案

一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系xoy中，E（8,0），F(0 , 6)．

（1）当G(4，8)时，则∠FGE= °

（2）在图中的网格区域内找一点P，使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．

要求：写出点P点坐标，画出过P点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）．

【答案】（1）90；（2）作图见解析，P（7，7），PH是分割线．

【解析】

试题分析：（1）根据勾股定理求出△FEG的三边长，根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形，且∠FGE="90" °．

（2）一方面，由于∠FPE=90°，从而根据直径所对圆周角直角的性质，点P在以EF为直径的圆上；另一方面，由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形，从而OP是正方形的对角线，即点P在∠FOE的角平分线上，因此可得P（7，7），PH是分割线．

试题解析：（1）连接FE，

∵E（8,0），F(0 , 6)，G(4，8)，

∴根据勾股定理，得FG=，EG=，FE=10．

∵，即．

∴△FEG是直角三角形，且∠FGE=90 °．

（2）作图如下：

P （7，7），PH 是分割线．

考点：1．网格问题；2．勾股定理和逆定理；3．作图（设计）；4．圆周角定理．

2．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒

2,AB AC == AD BC ⊥，垂足为D ，过,A D

的⊙O 分别与,AB AC 交于点,E F ，连接,,EF DE DF ．

（1）求证：ADE ∆≌CDF ∆；

（2）当BC 与⊙O 相切时，求⊙O 的面积．

【答案】(1)见解析;(2)2

4

π.

【解析】

分析：（1）由等腰直角三角形的性质知AD =CD 、∠1=∠C =45°，由∠EAF =90°知EF 是⊙O 的直径，据此知∠2+∠4=∠3+∠4=90°，得∠2=∠3，利用“ASA”证明即可得；

（2）当BC 与⊙O 相切时，AD 是直径，根据∠C =45°、AC 2可得AD =1，利用圆的面积公式可得答案．

详解：（1）如图，∵AB =AC ，∠BAC =90°，∴∠C =45°．

又∵AD ⊥BC ，AB =AC ，∴∠1=

1

2

∠BAC =45°，BD =CD ，∠ADC =90°． 又∵∠BAC =90°，BD =CD ，∴AD =CD ．

又∵∠EAF =90°，∴EF 是⊙O 的直径，∴∠EDF =90°，∴∠2+∠4=90°． 又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠3．在△ADE 和△CDF 中．

∵123C AD CD ∠=∠⎧⎪

=⎨⎪∠=∠⎩

，∴△ADE ≌△CDF （ASA ）．

（2）当BC与⊙O相切时，AD是直径．在Rt△ADC中，∠C=45°，AC=2，

∴sin∠C=AD

AC ，∴AD=AC sin∠C=1，∴⊙O的半径为

1

2

，∴⊙O的面积为

2

4

π

．

点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是熟练掌握等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、与圆有关的位置关系等知识点．

3．如图，O是△ABC的内心，BO的延长线和△ABC的外接圆相交于D，连结DC、DA、OA、OC，四边形OADC为平行四边形．

（1）求证：△BOC≌△CDA．

（2）若AB=2，求阴影部分的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）433

9

π-

.

【解析】

分析: （1）根据内心性质得∠1=∠2，∠3=∠4，则AD=CD，于是可判断四边形OADC为菱形，则BD垂直平分AC，∠4=∠5=∠6，易得OA=OC，∠2=∠3，所以OB=OC，可判断点O 为△ABC的外心，则可判断△ABC为等边三角形，所以∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，

BC=AC，再根据平行四边形的性质得∠ADC=∠AOC=120°，AD=OC，CD=OA=OB，则根据“SAS”证明△BOC≌△CDA；

（2）作OH⊥AB于H，如图，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到

∠BOH=30°，根据垂径定理得到BH=AH=1

2

AB=1，再利用含30度的直角三角形三边的关系

得到OH=

3

3

3

3

，OB=2OH=

3

3

，然后根据三角形面积公式和扇形面积公式，利用

S阴影部分=S扇形AOB-S△AOB进行计算即可.详解:

（1）证明：∵O是△ABC的内心，

∴∠2=∠3，∠5=∠6， ∵∠1=∠2，∴∠1=∠3， 由AD ∥CO ,AD =CO ，∴∠4=∠6， ∴△BOC ≌△CDA （AAS ）

(2)由（1）得，BC =AC ,∠3=∠4=∠6， ∴∠ABC =∠ACB ∴AB =AC

∴△ABC 是等边三角形 ∴O 是△ABC 的内心也是外心 ∴OA =OB =OC

设E 为BD 与AC 的交点，BE 垂直平分AC . 在Rt △OCE 中，CE=12AC=1

2

AB=1，∠OCE=30°， ∴OA=OB=OC=

33

∵∠AOC=120°， ∴=AOB

AOB S S S -阴影扇

=21202313

23602π-⨯ =

433

π- 点睛: 本题考查了三角形的内切圆与内心：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．也考查了等边三角形的判定与性质和扇形面积的计算.

4．阅读：圆是最完美的图形，它具有一些特殊的性质：同弧或等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半……先构造“辅助圆”，再利用圆的性质将问题进行转化，往往能化隐为显、化难为易。

解决问题：如图，点A 与点B 的坐标分别是（1，0），（5，0），点P 是该直角坐标系内的一个动点．

（1）使∠APB=30°的点P 有_______个；