(时间管理)时间序列分析方法第章谱分析

（时间管理）时间序列分析方法第章谱分析

第六章谱分析SpectralAnalysis

到目前为止,时刻变量的数值壹般均表示成为壹系列随机扰动的函数形式,壹般的模型形式为：

我们研究的重点于于,这个结构对不同时点和上的变量和的协方差具有什么样的启示。这种方法被称为于时间域(timedomain)上分析时间序列的性质。

于本章中,我们讨论如何利用型如和的周期函数的加权组合来描述时间序列数值的方法, 这里表示特定的频率,表示形式为：

上述分析的目的于于判断不同频率的周期于解释时间序列性质时所发挥的重要程度如何。如此方法被称为频域分析(frequencydomainanalysis)或者谱分析(spectralanalysis)。

我们将要见到,时域分析和频域分析之间不是相互排斥的,任何协方差平稳过程既有时域表示,也有频域表示,由壹种表示能够描述的任何数据性质,均能够利用另壹种表示来加以体现。对某些性质来说,时域表示可能简单壹些；而对另外壹些性质,可能频域表示更为简单。

§6.1 母体谱

我们首先介绍母体谱,然后讨论它的性质。

6.1.1 母体谱及性质

假设是壹个具有均值的协方差平稳过程,第个自协方差为：

假设这些自协方差函数是绝对可加的,则自协方差生成函数为：

这里表示复变量。将上述函数除以,且将复数表示成为指数虚数形式,,则得到的结果(表达式)称为变量的母体谱：

注意到谱是的函数：给定任何特定的值和自协方差的序列,原则上均能够计算的数值。

利用DeMoivre 定理,我们能够将表示成为：

因此,谱函数能够等价地表示成为：

注意到对于协方差平稳过程而言,有：,因此上述谱函数化简为：

利用三角函数的奇偶性,能够得到：

假设自协方差序列是绝对可加的,则能够证明上述谱函数存于,且且是的实值、对称、连续函数。由于对任意,有：,因此是周期函数,如果我们知道了内的所有的值,我们能够获得任意时的值。

§6.2 不同过程下母体谱的计算

假设随机过程服从过程：

这里：

,

根据前面关于过程自协方差生成函数的推导：

因此得到过程的母体谱为：

例如,对白噪声过程而言,,这时它的母体谱函数是常数：下面

我们考虑过程,

此时：,则母体谱为：

能够化简成为：

显然,当时,谱函数于内是的单调递减函数；当时,谱函数于内是的单调递增函数。对过程而言,有：

这时只要,则有：,因此谱函数为：

该谱函数的性质为：当时,谱函数于内是的单调递增函数；当时,谱函数于内是的单调递减函数。

壹般地,对过程而言：

则母体谱函数为：

如果移动平均和自回归算子多项式能够进行下述因式分解：

则母体谱函数能够表示为：

从母体谱函数中计算自协方差

如果我们知道了自协方差序列,原则上我们就能够计算ft任意的谱函数的数值。反过来也是对的：如果对所有于内的,已知谱函数的数值,则对任意给定的整数k,我们也能够计算k 阶自协方差。这意味着母体谱函数和自协方差序列包含着相同的信息。其中任何壹个均无法为我们提供另外壹个无法给ft的推断。

下面的命题为从谱函数计算自协方差提供了壹个有用的公式：

命题 6.1 假设是绝对可加的自协方差序列,则母体谱函数和自协方差之间的关系为：上述公式也能够等价地表示为：

利用上述谱公式,能够实现谱函数和自协方差函数之间的转换。

解释母体谱函数

假设,则利用命题 6.1 能够得到时间序列的方差,即,计算公式为：

根据定积分的几何意义,上式说明母体谱函数于区间内的面积就是,也就是过程的方差。更壹般的,由于谱函数是非负的,对任意,如果我们能够计算：

这个积分结果也是壹个正的数值,能够解释为的方差中和频率的绝对值小于的成分关联的部分。注意到谱函数也是对称的,因此也能够表示为：

这个积分表示频率小于的随机成分对方差的贡献。

可是,频率小于的随机成分对方差的贡献意味着什么？为了探索这个问题,我们考虑更为特殊壹些的时间序列模型：

这里和是零均值的随机变量,这意味着对所有时间t,有。进壹步假设序列和是序列不关联和相互不关联的：

,

,对所有的j 和k

这时的方差是：

因此,对这个过程来说,具有频率的周期成分对的方差的贡献部分是。如果频率是有顺序的：,则的方差中由频率小于或者等于的周期形成的部分是：。

这种情形下的k 阶自协方差为：

因为过程的均值和自协方差函数均不是时间的函数,因此这个过程是协方差平稳过程。可是,能够验证此时的自协方差序列不是绝对可加的。

虽然于上述过程中,我们已经过程的方差分解为频率低于某种程度的周期成分的贡献, 我们能够这样做的原因于于这个过程是比较特殊的。对于壹般的情形,著名的谱表示定理(thespectralrepresentationtheorem)说明：任何协方差平稳过程均能够表示成为不同频率周期成分的和形式。

对任意给定的固定频率,我们定义随机变量和,且假设能够将壹个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程表示为：

这里需要对随机变量和的关联性给ft更为具体的假设,可是上述公式便是谱表示定理的壹般形式。

§6.2 样本周期图SamplePeriodogram

对壹个具有绝对可加自协方差的协方差平稳过程,我们已经定义于频率处的谱函数值为：,

注意到母体谱是利用表示的,而表示的是母体的二阶矩性质。

给定由表示的T 个样本,我们能够利用下述公式计算直到阶的样本自协方差：

,

对于给定的,我们能够获得母体谱密度对应的样本情形,我们称其为样本周期图：