高中数学奥林匹克竞赛中的不变量技巧

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高中数学奥赛的技巧(上篇)(20190821210812)

y( x y z) xz 时， ( x y) ( y z取) 最小值 2 ，如 x z 1 , y 2 1时，
(x y) ( y z) 。2
2-7-2 映射它的基本形式是 RMI 原理。
令 R 表示一组原像的关系结构（或原像系统），其中包含着待确定的原像 x ，令 M 表示一种映射，通过它的作用把原像结构 R被映成映象关系结构 R*，其中自然包含着未知原像 x 的
axy b y z ，则其面积为 c zx
( p( p a)( p b)( p c) (x y z) xyz 1
2
另方面 (x y)( y z) ab
2
sin C
故知，当且仅当∠ C=90°时，取值得最小值
2，亦即 ( x
2
y)
(y
2
z)
(x
2
z)
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
小学 +初中 +高中 +努力 =大学
映象 x * 。如果有办法把 x* 确定下来，则通过反演即逆映射 I M 1 也就相应地把 x 确定下来。
取对数计算、换元、引进坐标系、设计数学模型，构造发生函数等都体现了这种原理。
建立对应来解题，也属于这一技巧。
例 2-129 甲乙两队各出 7 名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由 1 号
队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方
2 号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另
一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为
。
解
设甲、乙两队的队员按出场顺序分别为
A1， A2，…， A7 和 B1，B2，… B7。

抓不变量解题技巧

抓不变量解题技巧
抓不变量是解题中重要的技巧之一。

不变量是指在问题的求解过程中保持不变的性质或条件。

通过抓住不变量，可以帮助我们更好地理解问题，分析问题，以及找到解决问题的方法。

以下是一些抓不变量的技巧：
1. 观察问题的性质：仔细观察问题，找出其中保持不变的性质。

这可能涉及到数据结构的变化、某种关系的变化或者特定的条件。

2. 列举特例：通过列举一些特殊情况，观察问题的变化规律。

这可以帮助我们找到问题保持不变的部分，并推导出通用的规律。

3. 使用归纳法：如果可以证明某种性质在问题的每一步都得以保持，那么该性质就是一个不变量。

使用归纳法来证明问题中的不变量，可以帮助我们更好地理解问题的解决过程。

4. 分析问题的关键步骤：将问题的求解过程分解为多个步骤，分析每个步骤中保持不变的性质。

这有助于我们更好地理解问题的解决方法，并指导我们进行下一步的求解。

5. 使用反证法：如果可以证明存在某个假设，使得问题的不变量被破坏，那么这个假设就是错误的。

通过使用反证法，可以帮助我们找到问题的不变量，并排除一些错误的假设。

6. 运用数学技巧：对于一些数学问题，我们可以使用一些数学技巧来抓住不变量。

例如，使用数学归纳法，找到问题中递推的关系等。

以上是一些常用的抓不变量的技巧，通过运用这些技巧，我们可以更好地分析和解决问题。

探索中学数学奥林匹克竞赛的五大技巧

探索中学数学奥林匹克竞赛的五大技巧数学奥林匹克竞赛是一项全球性的数学竞赛，旨在培养中学生的数学思维、创造力和解决问题的能力。

参加数学奥林匹克竞赛可以为学生提供一个发展潜力和展示才华的平台。

然而，这项竞赛对学生的数学能力提出了更高的要求。

在探索中学数学奥林匹克竞赛的过程中，以下是五大技巧，将帮助学生更好地应对挑战，提高比赛成绩。

一、深入理解数学基础要在数学奥林匹克竞赛中取得优异成绩，深入理解数学基础是必不可少的。

学生们应掌握扎实的数学知识，包括数论、代数、几何和组合数学等。

了解各个领域的基本概念和定理，并且能够熟练运用它们解决问题。

通过不断练习和思考，建立起与数学理论之间的联系，进而形成自己的解题思路。

二、灵活运用数学方法数学奥林匹克竞赛注重解题方法和思路的创新。

学生们应该学会灵活运用各种数学方法，不拘泥于传统的解题思路。

常见的数学方法包括数学归纳法、反证法、构造法和递推法等。

灵活运用这些方法，能够帮助学生从不同角度思考问题，发现一些与众不同的解决方法，从而增加在竞赛中取得好成绩的机会。

三、培养问题解决能力数学奥林匹克竞赛强调的不仅仅是数学知识的运用，更注重学生的问题解决能力。

学生们应该经常面对陌生的数学问题，并且要有勇气去尝试解决。

解题过程中，要学会分析问题、拆分问题、归纳问题的关键点，找到规律并逐步推导出结论。

通过不断锻炼问题解决能力，学生们能够在竞赛中从容应对各类难题，并迅速找到解决办法。

四、合理规划备考时间为了在数学奥林匹克竞赛中取得好成绩，学生们需要合理规划备考时间。

要有系统性地学习和练习，并将时间合理分配到各个知识点上。

定期进行模拟考试，查漏补缺，发现和弥补自己在某个领域的薄弱环节。

在备考期间，要关注数学奥林匹克竞赛的历年试题，熟悉题型和考点，增加对竞赛的了解和熟悉度。

五、参加团队合作训练参加团队合作训练是提高数学奥林匹克竞赛成绩的有效途径之一。

通过与队友共同探讨解题思路、分享解题方法和经验，能够不断开拓思路，提高解题效率。

全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法

全国高中数学联赛一试常用解题方法八、基本不等式法方法介绍基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式；(4)函数的单调性的应用. 例题精讲例1设P 是椭圆192522=+x y 的任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，试求||||21PF PF ⋅的取值范围.注：设n PF m PF ==||,||21，则10=+n m ，由焦半径公式得9,1≤≤n m ，所以25)10(||||21≤-==⋅m m mn PF PF ，当5==n m 时等号成立. 例2数列}{n a 定义如下：1,51,2411≥+==+n a a a a nn n .求证：对任意1>n ，均有251<<n a . 注：由条件可知对任意0,1>≥n a n ，51155145154331>⨯≥+=+n n n a a a . 另一方面，当2=n 时，210172<=a .设k n =时，有2<k a .若21<≤k a ，则1+k a 21515815153<⨯+<+=k k a a ；若151<<k a ，则25151********<⨯+<+=+k k k a a a .所以总有21<+k a .下略.例3已知523≤≤x ，求证：1923153212<-+-++x x x .注：利用公式151521522211521a a a a a a +++≤+++ （平方平均值），可得左边15931531632441815331534324418x x x x x x -⨯+-⨯++⨯≤-⨯+-⨯++⨯= 1921541915<⨯==右边. 另法1：利用公式33232221321a a a a a a ++≤++，可得左边193963913)315()32()1(31<+<++=-+-++++≤x x x x x ，下略.另法2：利用公式22222121a a a a +≤+，可得左边2)315()32(212)31532(12x x x x x x -+-++≤-+-++=1921422)26()1(42612≤+=-++≤-++=x xx x x . 另法3：利用柯西不等式，可得左边192)14(4)3153211)(1111(≤+=-+-+++++++x x x x x .例4设λ是给定的正数，若对所有非负实数y x ,均有222)(y x c xy y x +≥++λ，求实数c的最大值.注：(1)若2≥λ，则22222)(2y x xy y x xy y x +=++≥++λ，当0=x 或0=y 时取等号，此时c 的最大值为1； (2)若20<<λ，则222222)2(42)2)(2()()2()(y x y x y x xy y x xy y x ++=+--+≥--+=++λλλλ，当y x =取等号，此时c 的最大值为42λ+. 例5设实数c b a ,,满足2332222=++c b a ，求证：12793≥++---c b a .注：由柯西不等式得[]9)3()2()1()321()32(2222222=⋅+⋅+⋅++≤++c b a c b a ，所以332≤++c b a ，故133332793333)32(=≥≥++-++----c b a c b a . 例6设βα,为锐角，且)sin(sin sin 22βαβα+=+，求证：2πβα=+.注：由βα,为锐角得0)cos(>-βα，又=+)sin(βα)cos()cos(1sin sin 22βαβαβα-+-=+（*）于是0)cos()sin(1)cos(≥-+-=+βαβαβα，故)cos()cos(0,2||0βαβαπβα-<+≤≤-≤，代入（*）式得，)(sin )(cos 1)sin(022βαβαβα+=+-≤+≤，所以1)sin(≥+βα，只能是2,1)sin(πβαβα=+=+.另法：若2πβα>+，则0c o s )2s i n (s i n ,2>=->->ββπαβπα，同理0cos sin >>αβ，故)sin(sin cos cos sin sin sin 22βαβαβαβα+=+>+，与)si n(si n si n 22βαβα+=+矛盾，所以2πβα=+.例7已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos()32(2+<-++-+a a θθθπθ对于]2,0[πθ∈恒成立，求a 的取值范围.注：设x =+θθcos sin ，则x x x 22)4cos(,12sin ],2,1[2=--=∈πθθ，从而原不等式可化为0436322,63)1(26)32(22>++---+<--++a xx ax x a x x x a ，也即为 0)2(3)2(2>-+--+a x x a x x x ，故0)2)(32(>-+-a x x x ，故02,032<-+<-a xx x ，即02<-+a xx 对]2,1[∈x 恒成立，从而只要max )2(x x a +>，又容易证明x x x f 2)(+=在]2,1[∈x 上递减，所以3,3)2(max >=+a xx .例8设1,0,,=++≥z y x z y x .求证：311)2(11)2(11)2(11827222≤+-++-++-≤x z z y y x .注：因为z z z z z y x ++-=+-=--=+-1131)1)(3(4)1(44)2(1122，所以原不等式等价于311)313131()111111(827≤-+-+-++++++≤z y x z y x ，由柯西不等式得 []49111111,9)1()1()1()111111(≥+++++≥++++++++++z y x z y x z y x ； []89313131,9)3()3()3()313131(≥-+-+-≥-+-+--+-+-z y x z y x z y x . 又z z y y x x 21111,21111,21111-≤+-≤+-≤+，故25)(213111111=++-≤+++++z y x z y x . 又)2(6131),2(6131),2(6131z z y y x x +≤-+≤-+≤-，故67)(611313131=+++≤-+-+-z y x z y x . 下略.例9求函数25501022+++-=x x x y 的值域.注：222255)5(+++-=x x y ，设),5,(),5,5(x OB x OA =-=由55||||||=+≥+知，55≥y ，等号当,同向取到，此时25=x . 说明：本题亦可构造距离求解.例10已知c b a ,,为实数，函数c bx ax x f ++=2)(，当10≤≤x 时，1|)(|≤x f . 求||||||c b a ++的最大值.注：因c b a f c b a f c f ++=++==)1(,42)21(4,)0(，故)0(3)1()21(4),0(2)21(4)1(2f f f b f f f a --=+-=，=++||||||c b a |)0(||)0(3)1()21(4||)0(2)21(4)1(2|f f f f f f f +--++-|)0(||)0(|3|)1(||)21(|4|)0(|2|)21(|4|)1(2|f f f f f f f ++++++≤17|)0(|6|)21(|8|)1(|3≤++≤f f f .当1)21(,1)0()1(-===f f f ，或1)21(,1)0()1(=-==f f f ，即1,8,8=-==c b a 或1,8,8==-=c b a 或1,8,8=-=-=c b a 时，上式中的两个""≤同时取到.例11将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和为S ，求S 达到最小值的方法的概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）.注：九个编号不同的小球放在圆周的九个等分点上，每点放一个，相当于九个不同元素在圆周上的一个圆形排列，故共有!8种放法，考虑到翻转因素，则本质不同的放法有2!8种.下求使S 达到最小值的放法数：在圆周上，从1到9有优弧与劣统两条路径，对其中任一条路径，设k x x x ,,,21 是依次排列于这段弧上的小球号码，则8|91||)9()()1(||9||||1|211211=-=-++-+-≥-++-+-k k x x x x x x x x ，取等号当且仅当9121<<<<<k x x x ，即每一段弧上的小球编号都是由1到9递增排列，因此1682min =⨯=S .由上知，当每个弧段上的球号}9,,,,,1{21k x x x 确定之后，达到最小值的排列方案便惟一确定.在1，2，…，9中，除1与9外，剩下7个球号2，3，…，8，将它们对应为两个子集，元素较少的一个子集共有6372717072=+++C C C C 种情况，每种情况对应圆周上使S 达到最小的惟一排法，即有利事件总数有62种，故所求概率为31512!826==P . 同步操练1．设0,|,lg |)(>=b a x x f ，且b a ≠，则下列关系中不可能成立的是（）A.)2()()2(b a ab f ab f b a f +>>+ B. )()2()2(ab f ba fb a ab f >+>+ C. 2()()2(b a f ab f b a ab f +>>+ D. )2()2()(b a f b a ab f ab f +>+>注：利用函数|lg |)(x x f =的图象及ba abab b a +>>+2)2，选D . 2．使关于x 的不等式k x x ≥-+-63有解的实数k 的最大值是 .注：由柯西不等式得6)63)(11()63(2=-+-+≤-+-x x x x ，当29=x 时取到等号，因原不等式有解，故6≤k .3．给定正数c b a q p ,,,,，其中q p ≠，若q a p ,,是等比数列，q c b p ,,,是等差数列，则一元二次方程022=+-c ax bx 的根的情况是 .注：由题意得b q c c p b a pq +=+==2,2,2，于是32,32q p c q p b +=+=，进而可得232323232a pq pq q p q p q p bc ==⋅≥+⋅+=，于是0,2<∆>a bc ，无实根.4．直线134=+yx 与椭圆191622=+y x 相交于B A ,两点，该椭圆上点P 使得ABP ∆的面积等于3，则这样的点P 共有个.注：设)20)(sin 3,cos 4(πααα<<P ，即点P 在第一象限的椭圆上，考虑四边形PAOB 的面积)4sin(26)cos (sin 6)sin 4(321)sin 3(421πααααα+=+=⨯+⨯=+=∆∆OBP OAP S S S ，所以)4(26max π==x S ，因64321=⨯⨯=∆AOB S ，所以PAB S ∆的最大值为3)12(6<-，故点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P 满足条件.5．已知y x ,都在区间)2,2(-内，且1-=xy ，则函数229944yx u -+-=的最小值为 . 注：消去y 之后，可得)49(3735122xx u +-+=，求得函数u 的最小值为512.6．已知正实数b a ,满足1=+b a ，则b a M 2112+++=的整数部分是 . 注：因10<<a ，故8)42(2)211(2)211(2222<+-=+++≤+++a a b a b a ，又22112>+++b a ，所以M 的整数部分是2.7．用一张长16厘米、宽10厘米的矩形铁皮，四角各截去一个正方形，折成一个无盖铁盒，由此铁盒的最大容积是 .注：设正方形边长为)50(<<x x （单位：厘米），则x x x V 3)210)(8(32⋅--=，于是144]33)210()8([323=+-+-≤x x x V ，当2,32108==-=-x x x x 时等等号成立，故最大容积为144立方厘米.8．已知)(x f 是定义在R 上的函数，1)1(=f ，且对任意R x ∈，都有1)()1(,5)()5(+≤++≥+x f x f x f x f ，若x x f x g -+=1)()(，则=)2012(g . 注：由x x f x g -+=1)()(得1)()(-+=x x g x f ，所以,1)1()()1()1(,5)1()(1)5()5(+-+≤-++++-+≥-+++x x g x x g x x g x x g 即)()1(),()5(x g x g x g x g ≤+≥+，所以)()2()3()4()5()(x g x g x g x g x g x g ≤+≤+≤+≤+≤，所以)()1(x g x g =+，即)(x g 是以1为周期的周期函数，又1)1(=g ，故1)2012(=g .9．函数112424+--++=x x x x y 的值域为 .注：构造向量)23,21(),23,21(22-=+=x x ，则||||y -=，而)0,1(=-，又q p ,不同向，所以11,1||||||||<<-=-<-=y q p q p y ；另一方面222222)23()21()23()21(+-≥++x x ，故0≥y ，于是值域为]1,0[.10．过定点)1,2(P 作直线l 分别交x 轴正向和y 轴正向于B A ,，使A O B ∆的面积最小，则l的方程为 .注：设直线1=+bya x ，则ab b a 22121≥+=，等号在2,4==b a 时取到，所以使AOB ∆面积最小的直线方程为042=-+y x .11．在ABC ∆中，c b a ,,是角C B A ,,的对边，且满足2222c b a =+，则角C 的最大值是 .注：2142cos 22222≤+=-+=ab b a ab c b a C ，当c b a ==时，等号成立，故3π≤∠C .12．设1122)(----=x x x f ，若20πθ≤≤时，0)22()sin 2(cos 2<--++m f m f θθ恒成立，则实数m 的取值范围是 .注：易知)(x f 为奇函数，又)(x f 在R 上是增函数，故22sin 2cos 2+<+m m θθ，令θsin =t ，则)10(0)12(22≤≤>++-t m mt t 恒成立，即)1()1(22+->-t t m . 当1=t 时，R m ∈；当10<≤t 时，]12)1[(2)(2t t t h m -+--=>，由函数x x x g 2)(+=在]1,0(上递减，知当0=t 时1)(max -=x h ，于是得21->m .综上所述，21->m .13．设*,321N n n S n ∈++++= ，求1)32()(++=n n S n S n f 的最大值为 .注：)8(50134641)2)(32()32()(1f nn n n n S n S n f n n =≤++=++=+=+. 14．设椭圆16222=+y x 有一个内接PAB ∆，射线OP 与x 轴正向成3π角，直线BP AP ,的斜率适合条件0=+BP AP k k .(1)求证：过B A ,的直线的斜率k 是定值； (2)求PAB ∆面积的最大值.注：(1)直线x y OP 3:=，代入6322=+y x ，得)3,1(P ，设直线PB PA ,的方程分别为)1(3),1(3-=---=-x k y x k y ，得3332,33322222+--=+-+=k k k x k k k x B A ，从而3)632(,3)632(22+---=+--=k k k y k k k y B A ，于是3=AB k 为定值. (2)设直线AB 方程为b x y +=3，故0)6(32622=-++b bx x ，1634||22+-=b AB ，而点P 到直线AB 的距离为2||b d =，于是3)12(12222≤-=∆b b S PAB ，当2212b b -=，即6±=b 时，取到最大值3.15．已知βα,是方程)(01442R t tx x ∈=--的两个不等实根，函数12)(2+-=x t x x f 的定义域为],[βα.(1)求)(min )(max )(x f x f t g -=；(2)证明：对于)3,2,1)(2,0(=∈i u i π，若1sin sin sin 321=++u u u ，则643)(tan 1)(tan 1)(tan 1321<++u g u g u g .注：(1)设βα≤<≤21x x ，则0144,0144222121≤--≤--tx x tx x ，因此021)(2,02)(4)(42121212221<-+-≤-+-+x x t x x x x t x x ，又0212)(22)(21212121>+-+>+-+x x x x t x x x x t ，于是0)1)(1(]22)()[()()(212221211212>+++-+-=-x x x x x x t x x x f x f ，故函数)(x f 在区间],[βα上是增函数.因41,-==+αββαt ，故)()()(min )(max )(αβf f x f x f t g -=-=，即2516)52(181625)25(11)]22()[()(2222222222+++=+++=++++-+-=t t t t t t t t g αβαββααβαβ. (2)因ii i i i i i i i u u u u u u u u u g 222222cos 916616cos 91624162cos 916cos 24cos 1625tan 16)5tan 2(1tan 8)(tan +=+⨯≥++=+++= 故∑=+≤++312321)cos 916(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1i i u u g u g u g )sin 939316(6161312∑=-⨯+⨯=i i u . 因)2,0(,1sin312π∈=∑=i i i u u ，故1)sin (sin 3231312=≥∑∑==i i i i u u ，而均值不等式与柯西不等式中，等号不能同时成立，所以643)31975(6161)(tan 1)(tan 1)(tan 1321=⨯-<++u g u g u g .。

高中数学奥林匹克竞赛知识讲座-不等式

. . . A B
n n
B
1 + i
aibi1
i 1
n
nk 2 (n 2) sec 2 ，其中约定 bn 1 b1 。 4 2n
A
A
1 + i
n
B
1
B
证明如图 1，作边长为 k 的正 n 边形 A1 A2 ... An ，易证
i
A
A
. . .
i
2
sn边形A1 A2 ... An
2
此外,阿贝尔恒等式也是许多有关和式的不等式的导出恒等式：
aibi bn ai ( ai ) bk bk 1 .
i 1 i 1 k 1 i 1
n
n 1
k
2.3
一些著名不等式的应用例5. 设 a, b, c 为正数且各不相等,求证:
2 2 2 9 . ab bc ca abc

x(
=
x 1 1 4 y 1 1 4 z 1 1 4 ( ) ( ) ( )6 6 , 2 y z yz 2 z x zx 2 x y x y
当且仅当 x y z ,即 a b c 时,等号成立. 评注换元法常用来去分母、去根号,从而化简数式,对于条件 abc 1 ，常用代换
n
a1a2 ...an 作代换
xi
ai ,1 i n ，则 x1 x2 ...xn 1 . G
以下证明：一定存在正整数 p ，对任意的 s ，均有 x p 1 x p 2 ...x p 3 1 。鉴于 x1 x2 ...xn 1 。那么可取 p n .若它只需对 s n 进行证明。如果 x1 , x1 x2 ..., x1 x2 ...xn 这 n 个乘积值均不大于 1，们之中至少有一个大于 1 ，则不妨设 x1 x2 ...x p 是其中的最大值，有

奥林匹克数学竞赛答题技巧方法

奥林匹克数学竞赛答题技巧方法奥林匹克数学竞赛答题技巧(一)1、对比法如何正确地理解与运用数学概念?小学数学常用的方法就是对比法。

依照数学题意,对比概念、性质、定律、法则、公式、名词、术语的含义与实质,依靠对数学知识的理解、记忆、辨识、再现、迁移来解题的方法叫做对比法。

这个方法的思维意义就在于,训练学生对数学知识的正确理解、牢固记忆、准确辨识、例1:三个连续自然数的与是18,则这三个自然数从小到大分别是多少？对比自然数的概念与连续自然数的性质能够明白:三个连续自然数与的平均数就是这三个连续自然数的中间那个数。

例2:判断题:能被2除尽的数一定是偶数。

这个地方要对比“除尽”与“偶数”这两个数学概念。

只有这两个概念全理解了,才能做出正确判断。

２、公式法运用定律、公式、规则、法则来解决问题的方法。

它体现的是由一般到特别的演绎思维。

公式法简便、有效,也是小学生学习数学必须学会与掌握的一种方法。

但一定要让学生对公式、定律、规则、法则有一个正确而深刻的理解,并能准确运用。

例3:计算５9×３7+12&tｉmｅs;5９+5９５9&timｅs;37＋1２＆times;59+59=59＆tｉｍeｓ;(37+1２+1)…………运用乘法分配律＝5９＆tｉmes;５0…………运用加法计算法则 =(60-1)＆times;５0…………运用数的组成规则＝60＆tiｍes;５０-1&tｉmｅs;5０…………运用乘法分配律=3000－50…………运用乘法计算法则=2９50…………运用减法计算法则3、比较法通过对比数学条件及问题的异同点,研究产生异同点的原因,从而发现解决问题的方法,叫比较法、比较法要注意:(1)找相同点必找相异点,找相异点必找相同点,不可或缺,也就是说,比较要完整。

(2)找联系与区别,这是比较的实质、(3)必须在同一种关系下(同一种标准)进行比较,这是“比较”的基本条件。

(4)要抓住主要内容进行比较,尽量少用“穷举法"进行比较,那样会使重点不突出、(５)因为数学的严密性,决定了比较必须要精细,往往一个字,一个符号就决定了比较结论的对或错。

奥林匹克数学的技巧(中篇)

奥林匹克数学的技巧（中篇）2-7-8 配对配对的形式是多样的，有数字的凑整配对或共轭配对，有解析式的对称配对对或整体配对，有子集与其补集的配对，也有集合间象与原象的配对。

凡此种种，都体现了数学和谐美的追求与力量，小高斯求和（1+2+…+99+100）首创了配对，163IMO -也用到了配对。

例2-143 求5020305[]503n n=∑之值。

解作配对处理 502251251011305305305(503)304503[]([][])30425176304503503503503n n n n n n ===-⨯=+==⨯=∑∑∑ 例2-144 求和 122k nn n n n n a C C kC nC =+++++……解一由k n kn n C C -=把n a 倒排，有012012k n n n n n n n a C C C kC nC =++++++…… 1(1)()0n n n k nn n n n n a nC n C n k C C --=+-++-++…… 相加 012()2n n n n n n a n C C C n =+++∙… 得 12n n a n -=∙解二设集合{}1,2,,S n =…，注意到 ,,1,2,,kn A S A kk C A k n⊂===∑… 有n A Sa A ⊂=∑为了求得A SA ⊂∑把每一A S ⊂，让它与补集A 配对，共有12n -对，且每对中均有A A n += 于是12n n A Sa A n n n n -⊂==++=∙∑…这两种解法形式上虽有不同，但本质上是完全一样的，还有一个解法见例2-149。

例2-145 设12,,,n x x x …是给定的实数，证明存在实数x 使得{}{}{}1212n n x x x x x x --+-++-≤… 这里的{}y 表示y 的小数部分。

证明有 {}{}1,0,y Zy y y Z⎧∈⎪+-=⎨∈⎪⎩ 知{}{}1y y +-≤下面利用这一配对式的结论。

不变量解题四种方法

不变量解题四种方法一、引言不变量是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种问题。

在解题过程中，我们可以根据不变量的特性来判断某些事物是否发生了改变，从而得出结论。

本文将介绍四种使用不变量解题的方法。

二、方法一：数学归纳法1. 定义不变量：在使用数学归纳法时，需要定义一个与题目相关的不变量。

2. 假设成立：假设当n=k时，不变量成立。

3. 证明当n=k+1时也成立：利用假设成立的条件和题目条件，证明当n=k+1时，不变量仍然成立。

4. 结论：由数学归纳法可知，在所有正整数下，该不变量均成立。

三、方法二：矛盾法1. 假设反面命题为真：在使用矛盾法时，需要先假设反面命题为真。

2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。

3. 得出结论：由于假设反面命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。

四、方法三：最值法1. 寻找最值：在使用最值法时，需要寻找一个与题目相关的最值。

2. 证明不变量：通过对最值的分析，得出一个与题目相关的不变量。

3. 利用不变量解题：根据不变量的特性，可以得出结论。

五、方法四：反证法1. 假设反命题为真：在使用反证法时，需要假设反命题为真。

2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。

3. 得出结论：由于假设反命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。

六、总结以上四种方法都是基于不变量的思想来解决问题。

在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法。

同时，在使用这些方法时也需要注意分析问题、定义不变量等细节问题。

数学奥林匹克不等式证明方法和技巧

数学奥林匹克不等式证明方法和技巧嘿，咱今儿就来聊聊数学奥林匹克里那让人又爱又恨的不等式证明方法和技巧！你说这不等式啊，就像是一个调皮的小精灵，有时候藏得可深啦！但咱可不能怕它呀。

先来说说比较法，这就好比是咱找不同，左边和右边比一比，看看谁大谁小，一下子就清楚啦！这多直接，就像咱一眼就能看出苹果和橘子哪个大一样。

还有综合法，那就是把各种条件都综合起来，像搭积木一样，一点点堆积出最后的结果。

就好像盖房子，一块砖一块砖地垒起来，最后就成了坚固的大厦。

分析法呢，就像是顺藤摸瓜，从结论出发，一点点倒推回去，找到那个关键的线索。

这感觉就像侦探破案，一点点找出真相。

再说说构造法，这可厉害啦！就像是凭空创造出一个神奇的工具，专门来对付这个不等式。

比如构造一个函数，或者一个几何图形，让不等式变得清晰可见，乖乖就范。

放缩法就像是给不等式做按摩，把它松松筋骨，让它变得更听话。

但可得小心哦，别一不小心给放缩过头啦！咱举个例子吧，比如证明一个不等式，就像是要过一条河。

比较法就是直接摸着石头过河，一步一步稳稳当当；综合法是搭一座桥，顺顺利利地走过去；分析法是从对岸往回找路，找到过河的方法；构造法是给自己造一艘船，乘风破浪地过去；放缩法是把河变窄一点，让过河更容易。

哎呀，这数学奥林匹克不等式证明的方法和技巧可真是丰富多彩啊！它们就像是我们手中的武器，帮助我们攻克一个又一个难题。

在面对那些复杂的不等式时，我们不能慌乱，要冷静思考，看看哪种方法最合适。

有时候可能一种方法不行，那就换一种，就像钥匙开锁，这把不行换那把。

大家可别小瞧了这些方法和技巧哦，它们可是数学世界里的宝藏呢！掌握了它们，就像是拥有了打开数学大门的钥匙，能让我们在数学的海洋里畅游无阻。

所以啊，大家要多多练习，多多尝试，让这些方法和技巧成为我们的好朋友，帮助我们在数学奥林匹克的道路上越走越远！这不就是我们追求的吗？难道不是吗？。

高中数学竞赛讲义_组合

组合一、方法与例题1．抽屉原理。

例1 设整数n ≥4,a 1,a 2,…,a n 是区间(0,2n)内n 个不同的整数，证明：存在集合{a 1,a 2,…,a n }的一个子集，它的所有元素之和能被2n 整除。

[证明] （1）若n ∉{a 1,a 2,…,a n },则n 个不同的数属于n-1个集合{1,2n-1}，{2,2n-2},…,{n-1,n+1}。

由抽屉原理知其中必存在两个数a i ,a j (i ≠j)属于同一集合，从而a i +a j =2n 被2n 整除；（2）若n ∈{a 1,a 2,…,a n }，不妨设a n =n ，从a 1,a 2,…,a n -1(n-1≥3)中任意取3个数a i , a j , a k (a i ,<a j < a k )，则a j -a i 与a k -a i 中至少有一个不被n 整除，否则a k -a i =(a k -a j )+(a j -a i )≥2n ，这与a k ∈(0,2n)矛盾，故a 1,a 2,…,a n-1中必有两个数之差不被n 整除；不妨设a 1与a 2之差(a 2-a 1>0)不被n 整除，考虑n 个数a 1,a 2,a 1+a 2,a 1+a 2+a 3,…,a 1+a 2+…+a n-1。

ⅰ）若这n 个数中有一个被n 整除，设此数等于k n ，若k 为偶数，则结论成立；若k 为奇数，则加上a n =n 知结论成立。

ⅱ）若这n 个数中没有一个被n 整除，则它们除以n 的余数只能取1,2,…,n-1这n-1个值，由抽屉原理知其中必有两个数除以n 的余数相同，它们之差被n 整除，而a 2-a 1不被n 整除，故这个差必为a i , a j , a k-1中若干个数之和，同ⅰ）可知结论成立。

2．极端原理。

例2 在n ×n 的方格表的每个小方格内写有一个非负整数，并且在某一行和某一列的交叉点处如果写有0，那么该行与该列所填的所有数之和不小于n 。

竞赛中多变量分式不等式证明的常用方法

一
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Ｙ）（＋））（＋）（＝，＝３，＋，石＋＋），３（。＋一＋，）＋）（，＋＝４
（。）＋（）一（，＝４＋一４Ｙ＋ ’ ）＋）４￣ｙ十）ａ￣ｙ＋）２，．ｙ（：一ｙ（一，
的应用［］数学通报，０（３： —５Ｊ．２４０）２２．０４
极［张国良．限与极限思想在中学数学中的应４］
多方位地考查问题，增强创新意识和培养学生的创
用［］中学数学杂志，０３０）３，．Ｊ．２０（３：１５３
证明若口６ｃ，，都小于了则易证９
，
≤ ‘
ｌ
Ｖ — Ｉ
－６，
Ｚ— ｌ
－ｃ则＝＇
（０７年第七届西部数学奥林匹克竞赛试题）２０
＿＝｜ｙ，．题条ｚｌｉ＝。越件ｘ：，由设件ｙ得。
ａｃ口一１（ —１（ —１，ｂ＝（）ｂ）ｃ）
第７期
吕峰波：竞赛中多变量分式不等式证明的常用方法
・３・４
出点Ｐ的轨迹方程为
１，一、＇
新能力．参考文献
Ｙ寺（一）ｌ≠ ．＝３１寻Ｉ
－，、．，，
评注极限点、界点、殊点是轨迹上的临特 “ 静点” 其他点看成是 “ ，动点” 通过对 “ 点” ，静的
竞赛中多变量分式不等式证明的常用方法
●吕峰波（嘉兴市第一中学浙江嘉兴３４５）１００

数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的不等式题

数学竞赛的秘诀如何应对高中数学中的不等式题在高中数学中，不等式题是考察学生理解能力和解题技巧的重要内容之一。

不等式题考察的不仅仅是计算能力，更重要的是逻辑思维能力和推理能力。

因此，掌握一定的解题秘诀对于高中数学竞赛至关重要。

本文将介绍一些应对高中数学中的不等式题的秘诀和技巧。

首先，对于不等式题，我们需要注意检查等号。

不等式题中往往会出现“大于等于”或“小于等于”的不等式符号。

在解题过程中，我们要仔细检查不等式中是否存在等号，特别是在计算过程中是否有等号的情况。

因为等号的存在会影响后续的计算和推理，我们必须要将等号的情况纳入考虑范围之中。

其次，我们需要掌握一些基本的不等式性质。

例如，对于任意实数a和b，如果a>b，则有a+c>b+c；如果a>b且c>0，则有ac>bc。

这些基本的不等式性质可以帮助我们在解题过程中化简不等式，从而更好地理解和处理复杂的不等式题。

另外，我们需要灵活运用数学定理和公式。

在高中数学中，有一些重要的不等式定理，如柯西-施瓦茨不等式、均值不等式等。

这些不等式定理在解题过程中可以发挥重要的作用。

我们需要熟悉这些定理的假设条件和具体应用方式，从而能够在解题时运用到这些定理。

此外，解决不等式题的关键在于化繁为简。

在解题过程中，我们可以尝试将复杂的不等式化简为简单的形式，从而更好地理解题目和找到解题思路。

例如，可以尝试使用合理的变量替换、重新组合不等式的各个部分等方法来简化不等式。

通过化繁为简，我们可以更好地抓住不等式的本质，从而更高效地解决问题。

此外，我们还需要注重细节和边界条件。

在解题过程中，细节是十分重要的，一个小的细节错误可能导致整个解题过程出错。

因此，在解题过程中，我们需要仔细审题，注意各个条件的具体要求，并将这些细节纳入解题考虑范围之中。

同时，我们还需要注意边界条件，即考虑不等式中变量的取值范围，并针对不同的取值范围制定不同的解题策略。

最后，为了加强解题能力，我们需要大量练习。

高中数学奥赛讲义竞赛中常用的重要不等式

不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

而且，不论是几何、数论、函数或组合数学中的许多问题，都可能与不等式有关，这就使得不等式的问题（特别是有关不等式的证明）在数学竞赛中显得尤为重要。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

竞赛中常用的重要不等式【内容综述】本讲重点介绍柯西不等式、排序不等式、切比雪夫不等式的证明与应用【要点讲解】目录§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 切比雪夫不等式★ ★ ★§1。

柯西不等式定理1 对任意实数组恒有不等式“积和方不大于方和积”，即等式当且仅当时成立。

本不等式称为柯西不等式。

思路一证不等式最基本的方法是作差比较法，柯西不等式的证明也可首选此法。

证明1∴右-左=当且仅当定值时，等式成立。

思路2 注意到时不等式显然成立，当时，不等式左、右皆正，因此可考虑作商比较法。

证明2当时等式成立；当时，注意到=1故当且仅当且（两次放缩等式成立条件要一致）即同号且常数，亦即思路3 根据柯西不等式结构，也可利用构造二次函数来证明。

证明3 构造函数。

由于恒非负，故其判别式即有等式当且仅当常数时成立。

若柯西不等式显然成立。

例1 证明均值不等式链：调和平均数≤算术平均数≤均方平均数。

证设本题即是欲证：本题证法很多，现在我们介绍一种主要利用柯西不等式平证明的方法(1)先证①注意到欲证①,即需证②此即由柯西不等式,易知②成立,从而①真(11)再证, ③欲证③,只需证④而④即要证⑤(注意)由柯西不等式,知⑤成立.(Ⅰ)(Ⅱ)中等式成立的条件都是即各正数彼此相等.说明：若再利用熟知的关系(★)（其中，结合代换，即当且仅当时，等式成立，说明★的证明参见下节排序不证式或数学归纳法，这样就得到一个更完美的均值不等式链其中等式成产条件都是．§２．排序不等式定理２设有两组实数，满足则(例序积和)（乱序积和）（须序积和）其中是实数组一个排列，等式当且仅当或时成立。

高中数学奥林匹克竞赛讲座 16不等式

竞赛讲座16－不等式不等式是数学竞赛的热点之一。

由于不等式的证明难度大，灵活性强，要求很高的技巧，常常使它成为各类数学竞赛中的“高档”试题。

证明不等式同大多数高难度的数学竞赛问题一样，没有固定的模式，证法因题而异，灵活多变，技巧性强。

但它也有一些基本的常用方法，要熟练掌握不等式的证明技巧，必须从学习这些基本的常用方法开始。

一、不等式证明的基本方法1．比较法比较法可分为差值比较法和商值比较法。

（1）差值比较法原理 A－ B＞0A＞B．【例1】（l）m、n是奇偶性相同的自然数，求证：（a m＋b m）（a n＋b n）＜2（a m+n+b m+n）。

（2）证明：··≤。

【例2】设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n，j1,j2,…,j n是1,2,…,n的任意一个排列，令S=a1+ a2+…+ a n，S0=a1b n+a2b n-1+…+a n b1，S1=a1b1+a2b2+…+a n b n。

求证：S0≤S≤S1。

（2）商值比较法原理若>1，且B>0，则A>B。

【例3】已知a,b,c>0，求证：a2a b2b c2c≥a b+c b c+a c a+b。

2．分析法【例4】若x,y>0，求证：>。

【例5】若a,b,c是△ABC的三边长，求证：a4+b4+c4<2(a2b2+b2c2+c2a2)。

3．综合法【例6】若a,b,c>0，求证：abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)。

【例7】已知△ABC的外接圆半径R=1，S△ABC=，a,b,c是△ABC的三边长，令S=，t=。

求证：t>S。

4．反证法【例8】已知a3+b3=2，求证：a+b≤2。

5．数学归纳法【例9】证明对任意自然数n，。

高中竞赛不等式公式大全

高中竞赛不等式公式大全摘要：1.竞赛不等式的概念与重要性2.高中竞赛不等式的分类3.常见高中竞赛不等式公式4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧5.总结与展望正文：【1.竞赛不等式的概念与重要性】竞赛不等式是数学竞赛中常见的一种题型，它涉及到解决实际问题的能力，是高中数学竞赛的重要组成部分。

掌握竞赛不等式，对于提高数学竞赛成绩具有重要意义。

【2.高中竞赛不等式的分类】高中竞赛不等式主要分为以下几类：（1）代数不等式：涉及代数运算，如加减乘除、乘方、开方等。

（2）几何不等式：涉及几何概念，如线段、角度、面积、体积等。

（3）三角不等式：涉及三角函数，如正弦、余弦、正切等。

（4）对数不等式：涉及对数函数，如自然对数、常用对数等。

（5）指数不等式：涉及指数函数，如自然指数、幂指数等。

【3.常见高中竞赛不等式公式】（1）均值不等式：对于任意正实数a1, a2,..., an，有(a1^2 + a2^2 +...+ an^2) / n >= (a1 + a2 +...+ an) / n。

（2）柯西不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有(a1b1 + a2b2 +...+ anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 +...+ an^2)(b1^2 + b2^2 +...+ bn^2)。

（3）排序不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和b1, b2,..., bn，有a1b1 + a2b2 +...+ anbn <= (a1 + a2 +...+ an)(b1 + b2 +...+ bn)。

（4）赫尔德不等式：对于任意实数a1, a2,..., an 和正整数p，有(a1^p + a2^p +...+ an^p) / p >= (a1 + a2 +...+ an) / n。

【4.运用高中竞赛不等式公式的方法与技巧】（1）熟练掌握各种不等式的基本形式和特点，以便在解题过程中迅速识别和运用。

奥林匹克数学(奥数)的技巧(下篇)

奥林匹克数学的技巧（下篇）2-7-18 优化假设对已知条件中的多个量作有序化或最优化（最大、最小、最长、最短）的假定，叫做优化假设，常取“极端”、“限定”、“不妨设”的形式。

由于假设本身给题目增加了一个已知条件，求解也就常能变得容易。

求解104246296,,IMO IMO IMO ---都用到这一技巧。

例2-166 空间2(2)n n ≥个点，任4点不共面，连21n +条线段，证明其中至少有3条边组成一个三角形。

证明设其中任意三条线段都不能组成三角形，并设从A 1点引出的线段最多（优化假设），且这些线段为A 1B 1，A 1B 2，…A 1B k ，除A 1，B 1，B 2，…，B k 之外，其他点设为A 2，A 3，…，A 2n-k 。

显然{}12,,,k B B B …中任两点间无线段相连。

于是，每一个i B 发出的线段至多（2n k -）条，而每个j A 发出的线段至多k 条（1,2,,1,2,,2i kj n k -=-……），故线段总数最多为（图2-65）：221(2)[(2)(2)](2)[]22k n k l n k n k k k n k n +--+-=-≤= 这与已知条件连21n +条线段矛盾，故存在三条线段组成一个三角形。

例2-167 平面上的有限个圆盘盖住了面积为1的区域S ，求证可以从中选出一些互不相交的原盘来，使它们的面积之和不小于19。

证明将圆心为O ，半径为r 的原盘记为(,)C o r 。

首先取全体圆盘中面积最大的一个记为11(,)C o r ；然后在与11(,)C o r 不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为22(,)C o r ，接着在与11(,)C o r ，22(,)C o r 都不相交的圆盘中取面积最大的一个，记为33(,)C o r ，继续这一过程，直到无圆可取为止，设取得的圆盘依次为11(,)C o r ，22(,)C o r ，…，(,)n n C o r （1）则（1）中的圆盘互不相交，且剩下的圆盘均与（1）中的某一圆盘相交。

操作题中的不变量

操作题中的不变量
费茸
【期刊名称】《数理天地：高中版》
【年(卷),期】2007(000)001
【摘要】数学竞赛中有一类操作问题,如翻转硬币,分发糖果等等.它们表面上看包罗万象,无固定章法,其实仍是万变不离其宗.只要抓住问题中变量与不变量的关系,问题就好解决了.下面来看几个例子:
【总页数】1页(P)
【作者】费茸
【作者单位】南京大学数学系
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.例说不变量变换的操作技巧
2.也谈解决问题中的不变量
3.例说不变量变换的操作技巧
4.通过考虑不变量解操作题
5.抓住题中不变量解题
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