高一数学三角函数化简与求值教案
高中数学_三角函数式的化简求值教学设计学情分析教材分析课后反思
5、学生犯错误的过程，及其他学生进行纠正的过程加深了学生对知识的理解，增强了应用的自如性，提高了学习的兴趣。
课题名称：三角函数式的化简求值 人教版·必修4
主讲人：学校：
教材分析
纵观近几年的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数考题，他们形式独特、背景鲜明、
知识回顾：第三章的公式
出示自主检测
展台展示第三章公式
口头展示自主检测答案及解题方法
教师读课标分析、学习目标，更深入了解要学习的内容，从高考题入手说明这一部分重要性
让学生回顾公式，归纳总结
让学生解决自主检测
引导学生展示并给予鼓励
培养学生掌握学习的方法，以达到事半功倍的效果。
培养学生自主探究的能力的能力，培养归纳总结的能力
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人： 学校：
课标分析
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简求值和恒等式证明。
自主检测
当堂检测
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人： 学校：
课后反思
由于近几年三角函数知识和向量在高考题中呈现形式精彩纷呈，题目在高考题中属于中低档题，学生还是不易拿到分，三角函数的化简与求值要求学生会灵活运用，能准确地进行计算，所以选定本课题。
在教学中创新之处：
1、以学生为主体、教师为主导教学。
课题名称： 三角函数式的化简和求值 人教版·必修4
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。
下面店铺为你整理了高中数学三角函数教案，希望对你有帮助。
高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
高考数学 第28课时—三角函数式的化简与证明教案
三角函数式的化简与证明二．教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．三．教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．四．教学过程：（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析：例1．化简：（1212-； （2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅； （3(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：（1）原式13sin12cos12)22sin 24cos 24-==sin 482==- （2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=． （3）原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022<<，∴|cos |cos 22θ=， ∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x +++===--右边，∴得证． 说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+= sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ）()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x 53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 （ D ）()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．五．课后作业：《高考A 计划》考点28，智能训练7，8，9，11，12，14，15．。
三角函数的化简与求值(教学案)
三角函数的化简与求值（教学案）【热身训练】1．计算sin 16°cos 134°＋sin 74°sin 46°＝________.解析：原式＝－sin 16°cos 46°＋cos 16°sin 46°＝sin(46°－16°)＝sin 30°＝12.2．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则cos(α－β)＝________.3．已知cos(75°＋α)＝13，则c os(30°－2α)的值为________．解析：设75°＋α＝t ，则α＝t －75°，且cos t ＝13，所以cos(30°－2α)＝cos(30°－2t ＋150°)＝cos(180°－2t )＝－cos 2t ＝－(2cos 2t －1)＝79.4．(2017·江苏卷)若tan(α－π4)＝16，则tan α＝________.解析：tan α＝tan[(α－π4)＋π4]＝α－π4＋tan π41－α－π4π4＝16＋11－16＝75.【热点追踪】在数学高考中，三角函数的化简与求值问题一直是必考内容之一，其中三角函数的恒等变形更是高考考查的重点．三角的化简与求值有时还会与三角函数的图象与性质、平面向量、解三角形、应用题等相融合，体现高考在知识交汇处命题这一理念. （一）给值求值问题例1. 已知sin(α＋π6)＋cos α＝－33，求cos(π6－α)的值．解析：由sin(α＋π6)＋cos α＝－33，展开化简可得sin(α＋π3)＝－13，所以cos (π6－α)＝cos[π2－(α＋π3)]＝sin(α＋π3)＝－13.变式1 已知tan(π6－α)＝33，则tan(5π6＋α)＝________.解析：tan(5π6＋α)＝tan[π－(π6－α)]＝－tan(π6－α)＝－33.变式2 已知θ为锐角，sin(θ＋15°)＝45，则cos(2θ－15°)＝________.解析：设θ＋15°＝t ，则θ＝t －15°，且sin t ＝45，cos t ＝35，所以cos2t ＝2cos 2t －1＝－725，sin 2t ＝2sin t cos t ＝2425，所以2θ－15°＝2t －45°，所以cos(2θ－15°)＝cos(2t －45°)＝22(cos 2t ＋sin 2t )＝17250. （二）三角恒等变换的有关应用例2. 已知α，β∈(0，π2)，且sin(α＋2β)＝75sin α.(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β； (2)若tan α＝3tan β，求α的值．变式1 若tan β＝2tan α，且cos αsin β＝23，则sin(α－β)的值为________．解析：因为tan β＝2tan α，所以sin βcos β＝2sin αcos α，即sin αcos β＝12sin βcos α＝13，所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝－13. 变式2 若tan α＋1tan α＝103，α∈(π4，π2)，求sin(2α＋π4)＋2cos π4cos 2α的值．解析：由tan α＋1tan α＝103，得(tan α－3)(3tan α－1)＝0，所以tan α＝3或tan α＝13.因为α∈(π4，π2)，所以tan α＝3.sin(2α＋π4)＋2cosπ4cos 2α＝22sin 2α＋22cos 2α＋22(1＋cos 2α)＝22sin 2α＋2cos 2α＋22＝22·2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2·cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＋22＝22·2tan αtan 2α＋1＋2·1－tan 2α1＋tan 2α＋22＝22·2×332＋1＋2·1－321＋32＋22＝0.（三）三角函数中求角问题例3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于点A，B.若点A的横坐标．．．是31010，点B的纵坐标．．．是255.(1)求cos(α－β)的值；(2)求α＋β的值．变式1 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边分别交于A，B两点，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是2 10.(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角α，其终边与单位圆交于点A.以OA为始边作锐角β，其终边与单位圆交于点B，AB＝255.(1)求cos β的值；(2)若点A的横坐标为513，求点B的坐标．解析：(1)在△AOB中，由余弦定理得，cos∠AOB＝OA2＋OB2－AB22OA·OB＝12＋12－25522×1×1＝35，即cos β＝35. (2)因为cos β＝35，β∈(0，π2)，所以sin β＝1－cos 2β＝1－352＝45.因为点A 的横坐标为513，由三角函数定义可得，cos α＝513，因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2α＝1－5132＝1213.所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝513×35－1213×45＝－3365，sin(α＋β)＝sinαcos β＋cos αsin β＝1213×35＋513×45＝5665.所以点B (－3365，5665)．【乘热打铁】1．已知α∈(π，3π2)，且cos α＝－45，则tan(π4－α)＝________.解析：tan α＝34，tan(π4－α)＝1－tan α1＋tan a ＝1－341＋34＝17.2．已知θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，则sin θ＝________.解析：因为θ为锐角，cos(θ＋30°)＝45，所以sin(θ＋30°)＝35，所以sin θ＝sin[(θ＋30°－30°)]＝sin(θ＋30°)cos 30°－cos(θ＋30°)sin 30°＝35×32－45×12＝33－410.3．已知向量m ＝(cos α，－1)，n ＝(2，sin α)，其中α∈(0，π2)，且m ⊥n .(1)求cos 2α的值；(2)若sin(α－β)＝1010，且β∈(0，π2)，求角β.解析：(1)由m ⊥n 得，2cos α－s in α＝0，tan α＝2，故cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－41＋4＝－35.(2)由α∈(0，π2)，β∈(0，π2)得，α－β∈(－π2，π2)．因为sin(α－β)＝1010，则cos(α－β)＝31010.则sin β＝sin[(α－(a －β)]＝sinαcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝255×31010－55×1010＝22.因β∈(0，π2)，得β＝π4.4．(2017·苏州摸底考试)在平面直角坐标系中，设向量m ＝(3cos A ，sin A )，n ＝(cos B ，－3sin B )，其中A ，B 为△ABC 的两个内角．(1)若m ⊥n ，求证：C 为直角； (2)若m ∥n ，求证：B 为锐角．＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3tan B ＋tan B 1＋3tan 2B ＝－2tan B1＋3tan 2B<0，所以tan B >0，即证B 为锐角．。
三角函数教案优秀3篇
三角函数教案优秀3篇角函数教学设计篇一教材分析：本章包括锐角三角函数的概念(主要是正弦、余弦和正切的概念)，以及利用锐角三角函数解直角三角形等内容。
锐角三角函数为解直角三角形提供了有效的工具，解直角三角形在实际当中有着广泛的应用，这也为锐角三角函数提供了与实际联系的机会。
研究锐角三角函数的直接基础是相似三角形的一些结论，解直角三角形主要依赖锐角三角函数和勾股定理等内容，因此相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础。
本章内容与已学#39;相似三角形#39;#39;勾股定理#39;等内容联系紧密，并为高中数学中三角函数等知识的学习作好准备。
学情分析：锐角三角函数的概念既是本章的难点，也是学习本章的关键。
难点在于，锐角三角函数的概念反映了角度与数值之间对应的函数关系，这种角与数之间的对应关系，以及用含有几个字母的符号sinA、cosA、tanA表示函数等，学生过去没有接触过，因此对学生来讲有一定的难度。
至于关键，因为只有正确掌握了锐角三角函数的概念，才能真正理解直角三角形中边、角之间的关系，从而才能利用这些关系解直角三角形。
第一课时教学目标：知识与技能：1、通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定(即正弦值不变)这一事实。
2、能根据正弦概念正确进行计算3、经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力。
情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯。
重难点：1.重点：理解认识正弦(sinA)概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实。
2.难点与关键：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
高一数学三角函数教案
高一数学三角函数教案在一年的数学教学任务中，作为高一数学老师的你知道如何写一篇高一数学三角函数教案吗？来写一篇高一数学三角函数教案吧，它会对你的教学工作起到不菲的帮助。
下面是为大家收集有关于高一数学三角函数教案，希望你喜欢。
高一数学三角函数教案1一、教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。
从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法讨论点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、教学目标(一)知识与技能目标能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标激发求知欲和学习爱好，锻炼乐观探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、教学重难点(一)重点用解析法讨论直线与圆的位置关系。
(二)难点体会用解析法解决问题的数学思想。
五、教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采纳小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，老师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
高考数学一轮复习 第1讲 三角函数的化简与求值教学案
第1课时 三角函数的化简与求值【学习目标】1.理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义, 理解同角三角函数的基本关系式.2.掌握两角和与差的三角函数公式，掌握二倍角公式（正弦、余弦、正切），能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.【知识要点】 1.设α的终边上任意一点P 的坐标为),(y x ,它与原点的距离r y x OP =+=22||(1)正弦=αsin (2)余弦=αcos (3)正切=αtan2. 同角三角函数的基本关系式：3. 两角和（差）的正弦、余弦及正切公式：sin(βα±)= ；cos(βα±)= ；tan(βα±)= ．4. 二倍角的正弦、余弦、正切公式:cos 2α= = = ，sin 2α= ，tan 2α= ．【自主学习】1. (必修4 P23习题9改编)已知cos θ=-513，θ为第二象限角， 则tan θ= .2. (必修4 P118复习题9改编)求值：(tan3°+1)(tan42°+1)= .3. (必修4 P45习题7改编)函数y =sin π2-4x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，x ∈π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，的值域是 . 4. (必修4 P23习题17改编)若sin π6x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=14，则sin 5π-6x ⎛⎫ ⎪⎝⎭+sin 2π-3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭= . 5. (必修4 P40练习3改编)将函数y =3sin 2x 的图象向左平移π8个单位长度后，所得图象的函数解析式为 .【课堂探究】例1.(2015·苏州调研)如图，在平面直角坐标系x O y 中，点A ，B ，C 均在单位圆上，已知点A 在第一象限且横坐标是35，点B 在第二象限，点C(1，0).(1) 设∠COA=θ，求sin 2θ的值；(2) 若△AOB 为正三角形，求点B 的坐标.例2 (2015·广东卷)已知tan α=2.(1) 求tan π4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2) 求2sin2sin sin cos -cos2-1ααααα+的值.例3.(2015·扬泰南淮三调)已知函数f (x )=Asin(ωx +φ) ππ0022A A ωϕωϕ⎛⎫>>-<< ⎪⎝⎭其中，，为常数，且，，的部分图象如图所示. (1) 求函数f (x )的解析式；(2) 若=)(αf =32，求sin π26α⎛⎫+⎪⎝⎭的值.【针对训练】1. (2015·江苏卷)已知tan α=-2，tan(α+β)=17，那么tan β的值为.2. (2015·宿迁一模)若cosπ-3α⎛⎫⎪⎝⎭=13，则sinπ2-6α⎛⎫⎪⎝⎭= .3. (2015·南通期末)已知函数f(x)=sinπ26x⎛⎫+⎪⎝⎭，若y=f(x-φ)π2ϕ⎛⎫<<⎪⎝⎭是偶函数，则φ= .4. (2015·泰州期末)在平面直角坐标系x O y中，已知角α的终边经过点P(3，4).(1) 求sinπ4α⎛⎫+⎪⎝⎭的值；(2) 若P关于x轴的对称点为Q，求OP·OQ的值.【巩固提升】1. 如图，在平面直角坐标系x O y中，以O x轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别交单位圆于A，B两点.已知A，B.(1) 求tan(α+β)的值； (2) 求α+2β的值.2. (2015·安徽卷)设函数f(x)=(sin x+cos x)2+cos 2x.(1) 求函数f(x)最小正周期；(2) 求f(x)在区间π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值和最小值.。
高中数学_三角函数求值教学设计学情分析教材分析课后反思
三角函数求值教学设计一、教学目标：1、知识与技能：掌握三角函数求值的各种公式，并对不同类型的问题，能选择正确的公式进行计算。
2、过程与方法：通过探究学习和小组合作交流学习，培养学生的归纳总结和合作互助的精神与能力。
3、情感态度价值观:通过问题情境的设置，培养学生用数学的眼光看世界，通过数学思维认知世界，从而提升学生的数学素养，培养学生善于思考、勤于动手的良好品质和扎实严谨的科学观。
二、教学重点、难点重点：掌握各种三角函数的求值公式；难点：综合运用三角函数求值公式进行恒等变换解决相关求值问题。
三、教学方法本节课采用探究、归纳、小组合作、启发诱导、讲练结合的教学方法，以学生为主体，以三角求值为主线，从问题出发，放手让学生探究思索，得出方法和技巧，再应用到实际解决问题中去。
以现代信息技术为教学辅助手段，使学生体会到各种三角求值题目对本节知识和公式的考察方式，加深学生对三角函数求值的理解。
的值。
10),10βα-=且课后 限时训练A.-B.C.D.- 2.tan(-570°)+sin240°= ( ) A.- B. C. D. 3．已知3sin()42πα+=，则3sin()4πα-值为（ ）A.21 B. —21C. 23D. —234.=-+0tan50tan703tan50tan70 （ ） A. 3 B.33 C. 33- D. 3- 5.5310,cos ,+510αβαβαβ==-设，为钝角，且sin 求的值. B 、提高组已知71tan ,21)tan(),,0(,-==-∈ββαπβα且，求)2tan(βα-的值及角βα-2．关注学生差异，注重分层设计题目。
1、板书设计：2、时间安排：课题引入：1分钟 复习回顾：5分钟例1及变式1：6分钟 例2及变式2：15分钟 例3及变式：15分钟三角函数求值 常见题型与公式 例1 1、三角函数定义 例1小结 2、知角求值 3、知值求值（角） 例2 4、化简求值 例2小结 例3 例3小结 屏幕投影课堂总结：3分钟学情分析：本节课面对的是高一学生，与高三学生相比，虽然在前面学生已经掌握了三角函数定义，同角三角函数基本关系式，诱导公式，简单的三角恒等变换公式，并能通过这些公式进行求值、化简、证明，但学生的推理、运算能力仍有不足，在数学的应用意识和应用能力方面尚需进一步培养。
三角函数化简与求值教案
三角函数的化简与求值（教研活动教案）数学组 刘焕 11.3课题：三角函数化简与求值目的：熟练掌握三角函数的所有公式，并灵活利用公式准确的化简和求值。
重点：利用公式进行化简和求值。
难点：众多的公式的灵活运用和解题突破口的选择，认真分析所给式子的整体结构，分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础，是恰当寻找解题思维起点的关键所在。
课型：复习课 教法：启发式教学 教程：一、 知识梳理：1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少； ② 项数尽可能少； ③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值． 2．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角． 二、 典型例题：例1：若0tan sin ,0cos sin <<αααα，化简2sin12sin 12sin12sin1αααα+---+ 【点拨】化异分母为同分母，脱去根式符号化简解：由已知可知，α在第Ⅱ象限，所以2α在Ⅱ、Ⅲ象限。
∴原式=2sin1)2sin 1(2sin1)2sin12222αααα+---+（=2cos)2sin 1(2cos)2sin1(αααα--+=2cos2sin2αα=2tan2α±例2：已知,91)2cos(-=-βα32)2sin(=-βα，且20,2πβπαπ<<<<，求2cos βα+的值。
【点拨】注意)2()2(2βαβαβα---=+这一特点，准确变角。
例3：设40,135)4sin(ππ<<=-x x ，求)4cos(2cos x x+π的值【点拨】可利用已知条件分别求出x 2cos 与)4cos(x +π，也可先将原式化简后在求值。
三角函数的求值化简与证明(教案)
三角函数的求值、化简与证明教学目标1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值；2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。
教学重点掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。
掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
教学难点能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值教学过程一、知识归纳1、两角和与差公式：()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22tan tan 21tan ααα=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=-公式变形：1sin cos sin 22ααα=21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求：①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数4、求值问题的基本类型及方法：(1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的关系。
（2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键在于变角，使其角相同。
（3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。
5、证明三角恒等式的思路和方法：①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。
②证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用单位圆三角函数线及判别法等。
二、典例分析：题型一：三角函数式的化简例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22αβαβαβ•+•-• 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
高中数学《三角函数中的求值问题》教案
课题：三角函数中的求值问题(高三复习课)教 材： 人教版大纲教材1.教学目标：立足教材中的三角函数公式，借助有代表性的例题使学生掌握三角函数中求值的一些常用方法，正确灵活地运用教材中的公式解决三角函数中的求值问题。
注重化归思想和整体思想的培养。
2.教学重点、难点：复习所学过的三角函数公式，正确灵活地使用三角函数公式解决求值问题，以及对变角、变名、弦切互化、讨论角的范围等技巧的训练。
3.教学过程：回忆公式：同角三角函数基本关系式；诱导公式；两角和与差的三角函数公式；二倍角公式。
要回忆各公式的推导过程，向学生介绍各公式间的关系及使用价值。
例1．(04年湖南卷)已知tan(4π+)=2，求ααα2cos cos sin 21+的值.这是一道“给值求值”问题，主要技巧是“1的巧用”将1换为αα22cos +,其次是弦化切。
例2．求值 ：︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin这是一道“给角求值”问题，解决此题的关键是“变角”，提醒同学们注意观察题中各角间的关系。
其中“ 7°=15°-8°”。
例3.求值 tan20°+tan40°+tan20°·tan40°.分析：观察问题结构，可联想两角和的正切公式，逆向思维。
解后思考：这是“给角求值”的题目，注意所给角20°与40°的和是特殊角60°。
另外，从试题结构上与两角和正切公式相似，因此，解题时要多注意联想。
例4．（2005江苏卷）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos =（） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 注意：角απαπ+-36与的和是2π 。
例5：（2006年四川卷）已知,,A B C 是三角形ABC ∆三内角，向量((),cos ,sin m n A A =-=u r r ，且1m n ⋅=u r r （Ⅰ）求角； （Ⅱ）若221sin 23cos sin B B B+=--，求tan B本小题主要考察三角函数概念、同角三角函数的关系、两角和与差的三角函数的公式以及二倍角公式，考察应用、分析和计算能力。
三角函数教案
三角函数教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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高考数学难点归纳16 三角函数式的化简与求值教案
难点16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.●案例探究［例1］不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° =21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80°=1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)故－22a－2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值.命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识.错解分析：在求f -－1(1)的值时易走弯路. 技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π (2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2.(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］, ∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f-－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34 D.21或－2二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)=21，则tan(α－2β)=_________. 3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求xxx tan 1sin22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin2csc)cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场 解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π,∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯= 解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a ,整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2.答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0,2π),又cos(α－4π)=53.6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答案：6556三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin2cos sin 2tan 1sin22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x xx x xx x x x x x x x ππππππππππ又解2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos2sin42)2sin 2(sin2)2sin 2121(42cos2cos22sin2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin2csc)cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ）∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sinθ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ.于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)=33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23). 8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log2log82log,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y Mt t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
高中数学教案三角函数式的化简与求值
高中数学教案三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系： .②商数关系： .③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°± ，360°－（共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；； .推论2（万能公式）：； .推论3（半角公式）：；； .其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得，∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，∴应填点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
三角函数的化简与求值
1．三角恒等变换的两原则（1）化繁为简：变复角为单角，变不同角为同角，化非同名函数为同名函数，化高次为低次，化多项式为单项式，化无理式为有理式。
（2）消除异差：消除已知与未知、条件与结论、左端与右端以及各项的次数、角、函数名称、结构式等方面的差异。
2．三角函数式的化简 （1）化简要求①三角函数名称尽量少；②次数尽量低；③能求值的尽量求值； ④尽量使分母不含三角函数；⑤使被开方数不含三角函数． （2）化简思路对于和式，基本思路是降次、消项和逆用公式；对于三角分式，基本思路是分子与分母约分或逆用公式；对于二次根式，注意二倍角公式的逆用，另外，还可以用切割化弦、变量代换、角度归一等方法 (3)化简的方法弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，和差化积，积化和差等。
3．三角恒等式的证明 (1)证明三角恒等式的方法观察等式两边的差异(角、函数、运算的差异)，从解决某一差异入手(同时消除其他差异)，确定从该等式的哪些证明(也可两边同时化简)，当从解决差异方面不易入手时，可采用转换命题法或用分析法等。
(2)证明三角条件等式的方法首先观察条件与结论的差异，从解决这一差异入手，确定从结论开始．通过变换，将已知表达式代入得出结论，或通过变换已知条件得出结论，如果这两种方法都证不出来，可采用分析法；如果已知条件含参数，可采用消去参数法；如果已知条件是连比的式子，可采用换元法等。
1. 三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。
即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。
基本的技巧有:（1）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等），如 （1）已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____ （答：322）；（2）已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求cos()αβ+的值（答：490729）； （3）已知,αβ为锐角，sin ,cos x y αβ==，3cos()5αβ+=-，则y 与x 的函数关系为______（答：43(1)55y x x =<<）(2)三角函数名互化(切化弦)，如 （1）求值sin 50(13tan10)+（答：1）；（2）已知sin cos 21,tan()1cos 23αααβα=-=--，求tan(2)βα-的值（答：18）(3)公式变形使用（tan tan αβ±()()tan 1tan tan αβαβ=±。
人教A版数学必修第一册期末复习：三角函数的化简与求值课件
变式训练
变式1 tan(-945°)的值为
tan(-945°)=-tan 945°
=-tan(225°+2×360°)
=-tan 225°
=-tan(180°+45°)
=-tan 45°=-1.
-1
.
变式2
已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,
则f(202X)的值为
高一必修一
三角函数的化简与求值
考情分析
202X年
Ⅰ Ⅱ卷
三角函 卷
数的化
简与求
值
T6,T15
202X年
202X年
Ⅲ
Ⅰ
Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ
Ⅱ
Ⅲ卷 新高考Ⅰ
卷
卷
卷
卷
卷
T7 T10
T9
T9
本部分内容以两角和与差的三角函数公式、倍角公式为
基础，考查三角函数的化简与求值.利用同角三角函数基本关
系式、辅助角公式，结合诱导公式、和差角公式及倍角公式
真题再现
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
3
3
D.
2 5
5
例 (202X课标全国Ⅱ,10,5分)已知α∈
0,
2
, 2sin 2α=cos 2α+1,
则sin α=( B )
A.
1
5
B.
5
5
C.
高一数学《三角函数》教案
高一数学《三角函数》教案
高一数学《三角函数》教案
已知三角函数值求角（反正弦，反余弦函数）
目的：要求学生初步（了解）理解反正弦、反余弦函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值求出范围内的角，并能用反正弦，反余弦的符号表示角或角的集合。
过程：
一、简单理解反正弦，反余弦函数的意义。
由
1在R上无反函数。
2在上， x与y是一一对应的，且区间比较简单
在上，的反函数称作反正弦函数，
记作，（奇函数）。
同理，由
在上，的反函数称作反余弦函数，
记作
二、已知三角函数求角
首先应弄清：已知角求三角函数值是单值的。
已知三角函数值求角是多值的。
例一、1、已知，求x
解：在上正弦函数是单调递增的，且符合条件的角只有一个
（即）
四、作业：P76-77 练习 3
习题4.11 1，2，3，4中有关部分。
高三数学 第29课时 三角函数式的化简、求值与证明教案 教案
课题：三角函数式的化简、求值与证明教学目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 教学重点：有关公式的灵活应用及一些常规技巧的运用． （一） 主要知识：1.三角函数求值问题一般有三种基本类型：1.给角求值，即在不查表的前提下，求三角函数式的值；2.给值求值，即给出一些三角函数，而求与这些三角函数式有某种联系的三角式的值；3.给值求角，即给出三角函数值，求符合条件的角．2.三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．3.三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形，论证所给等式左、右相等. （二）主要方法：1.寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；2.正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；3.一些常规技巧：“1”的代换、切割化弦、和积互化、异角化同角等． 4.三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．5.三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等． （三）典例分析： 问题1．()1已知tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，求212sin cos cos ααα+的值；()2已知2sin sin 1θθ+=，求243cos cos 2sin 1θθθ+-+的值．问题2．()1；()2(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅；问题3． ()1求证：()()sin 2sin 2cos sin sin αββαβαα+-+=；()2 ()2223cos 4tan cot 1cos 4x x x x++=-问题4．已知()1tan 2αβ-=，1tan 7β=-，且(),0,αβπ∈，求2αβ-的值（四）巩固练习：1.化简1tan151tan15+︒-︒等于 .A .B .C 3.D 12.= .A sin 4-.B sin 4.C sin 42cos4-.D 2sin 4cos4-3.（06萍乡模拟）tan tan tan 6666ππππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.A .B .C .D4.已知3sin 5m m θ-=+，42cos 5m m θ-=+（2πθπ<<），则tan θ=5.tancot88ππ-= .A 1-.B 2-.C 1.D 26.tan 204sin 20︒+︒7.已知1tan 7α=，1tan 3β=，已知,αβ均为锐角，则2αβ+= .A 4π .B 54π .C 4π或54π .D π8.已知,αβ均为锐角，且满足223sin 2sin 1αβ+=，3sin 22sin 20αβ-=.求证：22παβ+=9.已知：22tan 2tan 1θϕ=+，求证：cos 212cos 2ϕθ=+（五）课后作业：10.1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- .A cot α；.B cot 2α；.C tan α；.D tan 2a11. (05全国Ⅲ文)22sin 2cos 1cos 2cos 2αααα⋅=+.A tan α；.B tan 2α；.C 1 ；.D 1212.222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+13.若21cos cos =+βα，31sin sin =+βα，则 ()βα-cos =14.已知()sin 22sin αββ+=，求证：()tan 3tan αβα+=15.(04全国) 已知α为锐角，且21tan =α，求ααααα2cos 2sin sin cos 2sin -的值（六）走向高考：16.（06安徽）已知34παπ<<，10tan cot 3αα+=- （Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求225sin 8sincos11cos 822222ααααπα++-⎛⎫- ⎪⎝⎭的值17.（05福建文）已知51cos sin ,02=+<<-x x x π. （Ⅰ）求x x cos sin -的值；（Ⅱ）求xxx tan 1sin 22sin 2-+的值.18.（05全国Ⅱ文）已知α为第二象限的角，3sin 5α=，β为第一象限的角，5cos 13β=．求tan(2)αβ-的值．。
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题目 高中数学复习专题讲座三角函数式的化简与求值 高考要求三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一 通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍 重难点归纳1 求值问题的基本类型 ①给角求值，②给值求值，③给式求值，④求函数式的最值或值域，⑤化简求值2 技巧与方法 ①要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式 ②注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用 ③对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法 ④求最值问题，常用配方法、换元法来解决 典型题例示范讲解例1不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值命题意图 本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高知识依托 熟知三角公式并能灵活应用 错解分析 公式不熟，计算易出错技巧与方法 解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会解法一 sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41解法二 设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21， x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41， 即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°41 例2设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值命题意图 本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力知识依托 二次函数在给定区间上的最值问题错解分析 考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错 技巧与方法 利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等解 由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得f (a )＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2( 12a a a a a a∵f (a )=21, ∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞)或 －22a －2a －1=21，解得a =－1(2,2)∈-，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5例3已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值；(3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值 命题意图 本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力知识依托 熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识错解分析 在求f -－1(1)的值时易走弯路 技巧与方法 等价转化，逆向思维解 (1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x =2cos x (sin x cos 3π+cos x sin 3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π (k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2(3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f -－1(1)=4π例 4 已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________解法一 ∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β4π π＜α+β＜43π,∴54sin(),cos().135αβαβ-==+=- ∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二 ∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21=--学生巩固练习1 已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan 2βα+的值是( )A 21B －2C 34D 21或－22 已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=______3 设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________4 不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5 已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值6 已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ) 求)44(sin 42sin2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件7 如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积8 已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值参考答案1 解析 ∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0 tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0), 又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0 解得tan 2β+α=－2答案 B2 解析 ∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,2212()2tan 42tan 2.11tan 31()2βββ⨯-===---- 234()tan tan 743tan(2)341tan tan 2241()()43αβαβαβ-----===+⋅+-⨯- 答案247 3 解析 α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π53 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即答 6556 4 答案 2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解 π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－17 解 以OA 为x 轴 O 为原点，建立平面直角坐标系， 并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则 ｜PS ｜=sin θ 直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ 联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π ∴21＜sin(2θ+6π)≤1∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为AB 的中点，P (21,23)8 解 设u =sin α+cos β 则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4∴u 2≤1,－1≤u ≤1 即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤tx 232-t2max 0.5min 0.50.50.514410248242,,log 0,5log log log 8,821.2t M x t t tt t M t y M M y t x ∴===≤=+++====>∴======-当且仅当即在时是减函数时此时 课前后备注。