反函数题型分析.

1 1 例3.已知y x m和y nx 互为反函数, 求m和n. 2 3
1 解 :由y x m得x 2 y 2m. 2 1 y x m的反函数是y 2 x 2m( x R) 2
1 n 2 m 6 1即 2m 3 n 2.
1 a . 2
二.反函数的求法
如果原函数有反函数，求反函数可分三步：
(1)由y f ( x)出发, 用y表示x, 求出x f ( y);
1
(2)将x, y互换, 得y f ( x);
(3)指出反函数的定义域 (即原函数的值域 )
例1.函数y 1 x (1 x 0) 的反函数是( B ).
解法一:由题设知g ( x)是f ( x 1)的反函数 .
1
设y f ( x 1),则它的反函数为 x f ( y 1)
而f ( x) f [ f ( y 1)] y 1
即y f ( x) 1, 故 : g ( x) f ( x) 1.
7 g (3) f (3) 1 2 小结 :由对称关系, 等价于g ( x)与f 1 ( x 1)互为反函数.
1 x 0, 1 y 0 2 x 1 y (1 y 0),
y 1 x 2 (1 x 0). 应选B.
解法2: 排除法
y 1 x (1 x 0), 可得 1 y 0. 据此可知函数 y 1 x 2 (1 x 0)的反函数的 定义域和值域都是 1 x 0.由此可排除 A, C , D.
解 :由已知可知 y f ( x)的反函数是它自身 .
1
by 1 2ax 1 即f ( x) f ( x) y x 2 y 2a 2x b bx 1 1 f ( x) 2 x 2a
2ax 1 bx 1 由 得b 2a. 2 x b 2 x 2a
2
y x 1(1 x 0)
当 1 x 0时, y x 的值域为0,1,
2
解出x y
x 0, 舍去非负值 .
函数y x (1 x 0)的反函数是
2
y x (0 x 1)
x 1 y x
(1 x 0) (0 x 1)
1 1
0 x 1,
3 3 x 1 x 1 2 2 3 1 1 f ( ) 1 2 2
1 , ] 则a的取值范围是( ____ 2
2
例5.若函数y x x 1在区间(, a)上有反函数,
2
1 解 : y x x 1在区间 , 上具有单调性. 2
原函数值域为 { y | y 2}
f 1 ( x) 2 x 1, x 2,
1
例5.求函数y x | x | 2 x的反函数.
解 : x 0时, y x 2x ( x 1) 1, x 0,
2 2
x 0时, y x 2x ( x 1) 1, x ,0
(2) (4) 以上命题中,正确命题的序号是_______.
解 : (1)可举反例y x .
2
(3)如函数f ( x) 7 3x. 2 7 x f 1 ( x) ( x 0)显然(2,1)与点(1,2)既在函数y f ( x) 3 图象上, 又在反函数的图象上 , 但不在直线y x上.
解法一 : 2x x y ( x (1, ))的反函数为y ( x 2) 1 x 2 x
2x x 由 可得 3 x 2 3 x 0 1 x 2 x
x 1 1 y2 ,
f ( x) 1 1 x
1
1
2
(0 x 1)
1 1 2 3 f ( ) 1 1 ( ) 1 . 2 2 2
例4.已知函数f ( x) 1 ( x 1)2 , (0 x 1) 1 1 3 的反函数为y f ( x), 则f ( ) ____ 2 2 1 3 2 2 解法二 : 令 1 ( x 1) , 则( x 1) 2 4
f ( x) 0
f ( x) x 1, ( x 0)
1
例7.已知f ( x) 2x 3, 求f ( x 1).
1
解: f ( x) 2 x 3 1 1 f ( x) ( x 3) 2
1
1 f ( x 1) ( x 4) 2
x2 例5.函数f ( x) 的图象关于直线y x对称, xa 则a值是（ B ） .
A.1 B.－1 C.2 D.－2
解: 点(2,0)在函数f ( x)的图象上
点(0,2)也在f ( x)的图象上 .
02 2 , 即a 1, 0a
2x 例6.(2002年全国)函数y [ x (1, )] 1 x 图象与其反函数图的交点坐标为 ____
例4.求y x 4x 5( x ,1)的反函数.
2
解: y x 4x 5 ( x 2) 1 2 ( x 2) y 1 x 2 y 1
2 2
x 1 x 2 y 1
f ( x) 2 x 1
2
1
A. y 1 x (1 x 0) B. y 1 x (1 x 0)
2 2
C. y 1 x (0 x 1) D. y 1 x (0 x 1)
2 2
解法1 : 直接法
由y 1 x 2 (1 x 0)得y 2 1 x 2 , x 2 1 y 2
1
x2 故所求函数的反函数为y 2 f ( ) 3
1
y2 即x 2 f ( ) 3
1
三.互为反函数的图象关于y = x 对称的应用
2ax 1 例1.若函数y f ( x) 的图象关于直线y x对称, 2x b 则a, b应满足的关系 _____ .a b2
C. y f ( x)
1
1
解法一 : 第二个函数为 y f 1 ( x), 第三个函数为 : x f ( y ), 两边同取 " f " 得y f ( x)
D. y f 1 ( x)
解法二: y = f(x) 互换x,y x = f(y) y = －x －y = f (－x) 即y = －f (－x) x = －y
反函数
1、反函数存在的判定: 决定原函数的映射是一一映射 (1)求原函数的值域； 2、求反函数的步骤： (2)反解出x;
(3)互换x，y； 3、反函数的定义域是原函数的值域； (4)写出反函数 反函数的值域是原函数的定义域。 (包括定义域)
4、反函数的图象与原函数的图象关于直线y=x对称。 点(a,b) 点(b,a)
一.与反函数概念有关的题：
例1.已知函数y = f (x)有反函数,则方程f (x) = 0 的根的情况是( C ). A.有且仅有一实根 B.至少有一实根 C.至多有一实根 D.0个,1个或1个以上实根. 解: 反函数确定的对应关系是一一对应, ∴f (x) = 0的根至多有1个,
例2.关于反函数有下列命题: (1)二次函数一定有反函数; (2)反比例函数一定有反函数; (3)若函数y = f (x)与其反函数y = f －1(x)有公共点, 则P点一定在直线y = x上; (4)单调函数在其单调区间上一定有反函数.
1
1
1
2x 3 x3 1 解法二 :由f ( x) 得, f ( x) ( x 2). x 1 x2
f
1
x4 7 令 3, 得x . x 1 2
7 g (3) . 2
x4 ( x 1) ( x 1). x 1
解法三: 设g (3) a, 则点(3, a)在函数y g ( x)的图象上 .
g ( x)与f ( x 1)的图象关于直线 y x对称.
1
点(a,3)在y f ( x 1)的图象上.
1
3 f (a 1), f (3) a 1
7 g (3) 2
63 7 a f (3) 1 1 3 1 2
1
例4.设有三个函数, 第一个函数是y f ( x), 它的反函数 就是第二个函数, 而第三个函数的图象与第二个函数 的图象关于直线x y 0对称, 那么第三个函数是（B ） . B. y f ( x) A. y f ( x)
例4.已知函数f ( x) 1 ( x 1) , x), 则f ( ) 1 ____ 2 2
1 1
解法一 : y 1 ( x 1) ,
2
( x 1) 1 y
2
2
又 0 x 1, x 1 0, x 1 1 y 2
1
注意: f ( x 1)不是f ( x 1)的反函数 .
例8.已知函数y f ( x)的反函数是f ( x), 求y 2 3 f ( x 2)的反函数.
1
解: y f ( x)的反函数是 f ( x)
y2 由y 2 3 f ( x 2)得f ( x 2) 3
2 2
2 x 2 x, x (,0) f ( x) 2 x 2 x, x 0,
例6.若f ( x 1) x 2 x ,( x 0), 求f ( x)
1
解 : 先求出f ( x) x 1, ( x 1)
2
x 1,
g ( x)是函数y f ( x)的反函数 .
2x 3 又 f ( x) x 1 x3 5 g ( x) g ( x 2) 1 . x2 x