椭圆的解题方法和技巧

椭圆的解题方法和技巧

安徽省宿州市褚兰中学海平

一、椭圆的定义的应用椭圆的定义是用椭圆上的点到焦点的距离来描述的，因此在解题中凡涉及曲线上的点到焦点的距离时，应先想到用定义求解，常会有事半功倍之效。

例1 的三边、、成等差数列且满足，、两点的坐标分别是、。求顶点的轨迹。

分析：数列与解析几何相联系，往往构成综合性较大的题目，历来是高考考查的热点之一。

解析：∵ 、、成等差数列，∴ ，即，又，∴ 。

根据椭圆的定义，易得点的轨迹方程为。

又∵ ，∴ ，即，

∴ ，∴ 。

故点的轨迹是椭圆的一半，方程为（）。又当时，

点、、在同一条直线上，不能构成三角形，∴ 。

∴点的轨迹方程为。评注：该例是先由条件找到动点所满足的几何关系，寻找出满足椭圆定义的条件，然后确定椭圆的方程。解题时，易忽略这一条件，因此易漏掉这一限制；由于、、三点构成三角形，故应剔除使、、共线的点。

例2 、椭圆上一点到两焦点、的距离之差为2 ，试判断的形状。

分析：由椭圆定义知，的和为定值，且二者之差为题设条件，故可求出的两边。解析：由，解得。

又，故满足。

∴为直角三角形。

评注：由椭圆上一点与两个焦点构成的三角形，称作焦点三角形。利用焦点三角形能有意识地考查定义、三角形正（余）弦定理、内角和定理及面积公式能否灵活运用。

二、利用待定系数法确定椭圆的标准方程。

例3 、已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点

P1（ 6,1）, P2 （ 3, 2）,求椭圆的方程.

【解析】设椭圆方程为mx 2ny21（m>0,n>0 且m≠n）. ∵椭圆经过P1，P2点，∴ P1，P2点坐标适合椭圆方程，则① 6m+n=1 ，② 3m+2n=1 ，①②两式联立，解

得m= 1, n= 1.

93

22

∴所求椭圆方程为x y 1

93

评注：运用待定系数法求椭圆标准方程,即设法建立关于a，b 的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1 （m >0,n>0,m≠n），由题目所给条件求出m，n 即可.

x

1 所以x 2

y 1 y 2

uuur 则OP 1

uuur

(OA

2k

4 k 2.

8

.

4 k

2

O uu B ur) (x1 x2，y1 y2) ( k2，42)．

2 2 4 k2 4 k2

x

1

x

2 ，

y

1

y

2

三、利用向量解决椭圆问题几何中突出向量的工具作用成为高考命题的新亮点，向量本身具有

“数”与“形”的双重身份，常把向量的代数式转化为坐标表示或利用其几何关系求解．

例4、最值问题

2

设椭圆方程为x2 y 1，过点M 0,1 的直线l 交椭圆于A、B两点，O是坐标原点，4

uuur 1 uuur uuur 1 1

点P满足OP 1（OA OB），点N的坐标为（1，1）．当l绕点M旋转时，

2 2 2

求：1 动点P的轨迹方程；

uuur

2 | NP | 的最大值与最小值．

解析：1 直线l过点M 0,1 ，当斜率存在时，设其斜率为k，则l的方程为y kx 1. 记A（x1，y1），B（x2，y2），

y kx 1 由 2 y2

x

4

，得(4 k2 )x2 2kx 3 0，

2

设点 P 的坐标为(x ，y)，则，

消去 k 得4x 2 y 3 y 0.

当斜率不存在时， AB 的中点为原点 0,0 ，也满足上述 方程．所以 点P 的轨迹方程为 4x 2 y 2 y 0.

2 由点P 的轨迹方程知 x 2 1 ，即 1 x 1.

16 4 4

uuur 2 1 2 1 2 1 2 7

所以| NP |2 (x 1)2 (y 1)2 3(x 1)2 7 .

2 2 6 12

1 uuur 21

故当x 1时，| NP| 取得最大值为 21；

66 1 uuur 1 当x 1时，| NP |取得最小值为 1

. 44

评注： 由向量作为载体的解析几何问题一要利用向量的几何意义，

二要熟悉向量的坐标运算． 而与椭圆有关的求最值问题则常与求函数 的值域相联系．

例 5、参数范围问题

已知点G 是 ABC 的重心， A(0， 1)， B 0,1 ，在x 轴上有一点 M ，满足 |MA MC |， uuuur uuur GM AB( R)．

1 求点 C 的轨迹方程； uuur uuur

2 若斜率为 k 的直线 l 与点C 的轨迹交于不同的两点 P 、Q ，且满足 | AP AQ | ，试求 k 的取值

解析：1 设C(x ，y)，G 为 ABC 的重心，则 G( x ，y )．

uuuur uuur 3 3 因为GM AB( R)，所以 GM PAB ，

x 而点M 在x 轴上，则 M ( ，0)．

uuur uuuur 3

由|MA MC |，得

( 3x )2 (0 1)2 (x

3 x)2 y 2， 2

整理得 x y 2 1(x 0)．

2

所以点C 的轨迹方程为 x y 2 1(x 0) 3