流体力学 2 1讲解

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(2)? ?V ? 0 ? 流体体积减小 ? d? / dt ? 0 ? 流体密度增大；
?
(3)? ?V ? 0 ? 流体体积不变 ? d? / dt ? 0 ? 流体密度不变。 流体的密度变化是由于流体的辐合辐散所造成的，以上 约束条件能保证了流体的连续介质假设。
对于不可压缩流体，它在流动过程中每个流点的密度始 终保持不变，应有，此时流体的连续性方程为：
欧拉型连续方程的物理意义
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?V
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0
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单位体积的流体质量通量
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? V
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? V
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(1)? ? ?V ? 0 ? 有流体流出? ?? / ?t ? 0 ? 流体局地密度减小；
?
(2)? ? ?V ? 0 ? 有流体流入 ? ?? / ?t ? 0 ? 流体局地密度增大；
大气流体力学
大气科学学院，王伟
课程内容
? 第一章 流体力学基础
? 第二章 流体运动方程组
? 第三章 大气运动坐标系与方程组 ? 第四章 尺度分析和方程组的简化 ? 第五章 量纲分析与π定理 ? 第六章 环流定理与涡度方程
第二章 流体运动方程组
流体运动同其他物体的运动一样，同样遵循 质量守恒、动量守恒和能量守恒 等基本物理 定律。本章将导出描述流体运动的 连续方程、 运动方程和能量方程 。
内容
? 第一节 连续方程 ? 第二节 作用于流体上的力、应力张量 ? 第三节 运动方程及其简化 ? 第四节 能量方程 ? 第五节 纳维-斯托克斯方程的简单解
内容
? 第一节 连续方程
? 第二节 作用于流体上的力、应力张量 ? 第三节 运动方程及其简化 ? 第四节 能量方程 ? 第五节 纳维-斯托克斯方程的简单解
单位时间内通过左侧面
z
流入控制体的流体质量为：
? u? y? z
?u
单位时间内通过右侧面
流出控制体的流体质量为：
y
?z
?u ? ? (?u)?x
?x
?y
[?
u
?
? ?x
(?
u)?
x]?
y?
z
?x
x
单位时间内x方向上流体通过控制体的质量净流出量为：
[? u ? ? (? u)? x]? y? z ? ? u? y? z= ? (? u)? x? y? z
3、具有自由表面的流体连续方程
通常把自然界中水与空气的交界面称为水面或水表面。
实际物理现象：
空气
交界面
水
当水面向某处汇集时，该处水面将被拥挤而升高；反之， 当该处有水向四周流散开时，将使得那里的水面降低。
这种因流动而伴随出现的可以升降的水面，在流体力学中 称之为自由表面。
自由表面的流体连续方程的导出：
?? ? ? (?u) ? ? (?v) ? ? (? w) ? 0
?t ?x
?y
?z
或者 ?? ? ? (? V ) ? 0
?t
拉格郎日型连续方程
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? ?V ?
0
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P355
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?V来自百度文库
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A.13 ?t
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?V
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0
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欧拉型连续方程
假设流团密度为 ? ? ? ?x , y, z, t ?，考虑流体运动为二维
的，即满足： w ? 0,? / ?z ? 0 ，取流向方向为 x 轴。
设流体自由表面高度为 h ? h?x , y, t ?，即 h 在各处高低
不同且可以随时间变化。
在流体中，选取一个以?x?y 为底的方形柱体，该柱体 是一固定不动的空间区域， 称为控制区--欧拉观点。
?x
?x
类似可得到y、z方向上的表达式，单位时间内 通过整个控制体的流体净流出量为：
[ ? (?u) ? ? (?v) ? ? (? w)]? x? y? z
?x
?y
?z
单位时间内，该控制体内的质量减少为： ? ?? ? x? y? z
?t
根据质量守恒定律，对于固定的控制体，单位时间内流出控制体的流体质量 应等于单位时间内该控制体内质量的减少，由此得到：
x
z O
?y
h y
?x
流体可以通过控制区的侧面，流出、流入该柱体。
考虑柱体内流体的质量为：?m
?
h
?0
???
x ?y ??z
经流体柱后侧流入的流体质量应为：
流入质量=
h
?0
??
u
?y
??
z
z
同时，经流体柱前侧流出的质量为：
流出质量=
h
?0
?? u ?y ??z
?
? ?x
?? h
?0
?? u ?y ??z ???x
拉格郎日(Lagrange) 观点：某一流体块（流点）在运动过 程中，尽管其体积和形状可以发生变化，但其质量是守 恒不变的。
d(? m) ? 0
dt
d?
?
??
? ?V
?
0
dt
?z
?y ?x
拉格郎日型连续方程
Lagrange 观点下连续方程的物理意义
d?
?
??
? ?V ?
0
dt
m V?
?
?
(1)? ?V ? 0 ? 流体体积增大 ? d? / dt ? 0 ? 流体密度减小；
第一节 连续方程
连续方程是流体力学的基本方程之一，流体运动 的连续方程，反映流体运动和流体质量分布的关系， 它是在质量守恒定律在流体力学中的应用。
重点讨论不同表现形式的流体连续方程。
首先回忆一下描写流体运动的两种观点： 拉格朗日观点和欧拉观点
1、拉格郎日(Lagrange) 观点下的流体连续方程
d? ? 0
dt
? V?0
例2-1-1判断下列流体运动是否为不可压缩？
?u ? xt ? 2y (1)??v ? xt2 ? yt
? ?u=y2 ? 2xz
(2)??v ? ?2yz ? xy2z
? ?w ?
1
x2z2
?
x3 y 4
?2
2、欧拉(Euler)观点下的流体连续方程
利用欧拉控制体积法导出流体的连续方程的微分形式。 在空间上选取一无限小的控制体，如图所示。
?
(3)? ? ?V ? 0 ? 流体无出入 ? ?? / ?t ? 0 ? 流体局地密度不变。
?? ? ?? ?t
??V ?
对于流体的定常运动，有
?? ? 0 ?t 流体的连续性方程可写为：
? ??V ?? 0
可知，在定常运动中，通过任意控制体表面流体质量 的净流入量等于零，即单位时间内流出控制体表面的 质量等于流进控制体表面的质量。
O
x u ? ?u ?x
?x
?y
u h y
?x
流出质量减去流入质量 ＝柱体内质量的减少。
柱体内的净流出量
（流入质量减去流出质量 柱体内的净流入量
＝柱体内质量的增加）
流入质量=
h
?0
??
u
?
y
??
z
即有：
流出质量=
h
?0
??