数学：2.2.1《椭圆及其标准方程》学案(新人教A版选修2-1)

《椭圆及其标准方程》学案

一、学习目标

1.知识目标：①掌握椭圆的定义及其标准方程；

②通过对椭圆标准方程的探求，熟悉求曲线方程的一般方法.

2.能力目标：通过自我探究、操作、数学思想（待定系数法）的运用等，从而提高学生

实际动手、合作学习以及运用知识解决实际问题的能力.

3.情感目标：在教学中充分揭示“数”与“形”的内在联系，体会形数美的统一，激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索，勇于创新的精神.

二、重点难点

1.重点：椭圆的定义及椭圆的标准方程；

2.难点：椭圆标准方程的建立和推导.

三、认真阅读“2.2.1椭圆及其标准方程”一节，回答下列问题。

（一）椭圆的定义

1、[动动手]：取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图版的两点处，套上铅笔拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

2、[问题]：①对比两条曲线，分别说出移动的笔尖满足的几何条件。

②能否说，椭圆为平面上一动点到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹呢？

为什么？

3、[讨论]：①平面上一动点到两个定点的距离之和等于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？

②平面上一动点到两个定点的距离之和小于这两个定点间的距离的点的轨迹是什么？

4、[概括归纳]椭圆的定义：

（二）椭圆的标准方程

1、[问题] ① 你能说出求轨迹方程的一般步骤吗？

② 我们是如何建系求圆的标准方程的？观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标

系才能使椭圆的方程简单？

2、[动动手]：根据椭圆定义完成标准方程的推导过程。

【注意】问题1 怎样化简方程22)(y c x +++a y c x 2)(22=+-

同桌合作： 相互检查化简的过程、结果是否正确？出现什么问题？如何更正？

分组讨论： 对a ²－b ²该如何处理？它有几何意义吗？画图说明。

问题２ 如果焦点F 1，F 2在y 轴上，坐标分别为（０，－c ）（０，c ），a ，b 的意义同上，那么椭圆的方程是什么？它和焦点在轴上的椭圆方程有什么区别？

3、[归纳总结] 椭圆的标准方程：

（1）焦点在x 轴上：

（2）焦点在y 轴上：

（三）例题解析

例1 已知椭圆两焦点的坐标分别是()()0,2,0,2-，并⎪⎭

⎫ ⎝⎛-23,25，求它的标准方程.（要求：用多种方法解题，同学间相互交流，看谁的方法最多最好！）

例2.在圆上任取一点P ，过点P 做X 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆上运动时，线段PD 的中点M 的轨迹是什么？（你能说出椭圆和圆的关系吗？）

（四）小结：（1）知识小结：

（2）求曲线方程的方法：

（3）数学思想：

（四）达标练习

1．到两定点F 1（-2，0）和Ｆ2（2，0）的距离之和为4的点M 的轨迹是（ ）

Ａ．椭圆 Ｂ．线段 Ｃ．圆 Ｄ．以上都不对

2．如果椭圆136

10022=+y x 上一点P 到焦点F 1的距离等于6, 那么点P 到另一个焦点F 2的距

离是（ ）

Ａ．13 Ｂ．14 Ｃ．15 Ｄ．16

3．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和︱PA ︱+︱PB ︱=2a （a ＞0，且a 是常数）；命题乙：P 点的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的（ ）

A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件

4．椭圆116

3222=+y x 的焦距等于（ ）

A.123 Ｂ．8 C.6 D.4

5. 椭圆两焦点的坐标分别是（0，8）（0,－8）且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此椭圆的方程是（ ） A.1100362

2=+y x Ｂ．133640022=+y x Ｃ．136

10022=+y x Ｄ．1400

3362

2=+y x

6.若方程12

22=-a

y a x 表示焦点在y 轴上的椭圆,则a 的取值范围是（ ） A. a ＜0 B.0 ＜ a ＜1 C.a ＜1 D.无法确定

7.已知圆C 1: （x －4）²+ y ²=13²,圆C 2：（x +4）²+ y ²=3²,动圆C 与圆C 1内切同时与圆C 2外切,求动圆圆心C 的轨迹方程是

8.已知经过椭圆116

2522=+y x 的右焦点F 2做垂直于x 轴的直线AB 交椭圆与A , B 两点, F 1是椭圆的左焦点.

（1）求△AF 1B 的周长

（2）如果AB 不垂直于x 轴, △AF 1B 的周长有变化吗?为什么?

9. 已知P 为椭圆164

1002

2=+y x 上的点,设F 1, F 2是椭圆的两个焦点,且∠F 1 PF 2=3π 求△F 1 PF 2的面积.

【学后记】：