完整20192020高中数学专题汇编十八——圆锥曲线与方程,文档.docx

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(精品讲义)第2部分复习课(二)圆锥曲线与方程word版含答案2

复习课(二) 圆锥曲线与方程圆锥曲线的定义及标准方程会涉及，是高考解析几何的必考内容．椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程椭圆双曲线抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|且大于零)的点的轨迹平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程x 2a 2＋y 2b 2＝1或 y 2a 2＋x 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1或 y 2a 2－x 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px 或 y 2＝－2px 或 x 2＝2py 或 x 2＝－2py (p >0)关系式a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2[典例] (1)已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为F (1，0)，离心率等于12，则C 的方程是( )A ．x 23＋y 24＝1B ．x 24＋y 23＝1C ．x 24＋y 22＝1D ．x 24＋y 23＝1(2)已知抛物线y 2＝8x的准线过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为________________．[解析] (1)右焦点为F (1,0)说明两层含义：椭圆的焦点在x 轴上；c ＝1．又离心率为c a ＝12，故a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，故椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，故选D ． (2)由题意可知抛物线的准线方程为x ＝－2，∴双曲线的半焦距c ＝2．又双曲线的离心率为2，∴a ＝1，b ＝3，∴双曲线的方程为x 2－y 23＝1． [答案] (1)D (2)x 2－y 23＝1 [类题通法]求圆锥曲线方程的一般步骤一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤． (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置．(2)定式——根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)．(3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小． 1．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线过点(2，3)，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为( )A ．x 221－y 228＝1B ．x 228－y 221＝1C ．x 23－y 24＝1D ．x 24－y 23＝1解析：选D 由双曲线的渐近线y ＝ba x 过点(2，3)，可得3＝ba×2．①由双曲线的焦点(－a 2＋b 2，0)在抛物线y 2＝47x 的准线x ＝－7上，可得 a 2＋b 2＝7．②由①②解得a ＝2，b ＝3，所以双曲线的方程为x 24－y 23＝1．2．(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x 216＋y 24＝1的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a ＝4，b ＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x 轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x －m )2＋y 2＝r 2(0<m <4，r >0)，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋4＝r 2，?4－m ?2＝r 2，解得⎩⎨⎧m ＝32，r 2＝254.所以圆的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254．答案：⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝2543．方程x 24－t ＋y 2t －1＝1表示曲线C ，给出以下命题：①曲线C 不可能为圆； ②若1<t <4，则曲线C 为椭圆； ③若曲线C 为双曲线，则t <1或t >4；④若曲线C 为焦点在x 轴上的椭圆，则1<t <52．其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号)．解析：显然当t ＝52时，曲线为x 2＋y 2＝32，方程表示一个圆；而当1<t <4，且t ≠52时，方程表示椭圆；当t <1或t >4时，方程表示双曲线；而当1<t <52时，4－t >t －1>0，方程表示焦点在x 轴上的椭圆，故③④为真命题．答案：③④圆锥曲线的几何性质试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线的离心率)，在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质椭圆双曲线抛物线标准方程 x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0) x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0) y 2＝2px (p >0)关系式 a 2－b 2＝c 2 a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展，有渐近线无限延展，没有渐近线对称性对称中心为原点无对称中心两条对称轴一条对称轴顶点四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程x ＝－p 2决定形状的因素e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定开口大小[典例] (1)(山东高考)已知双曲线E ：x a 2－y b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．(2)已知a >b >0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，C 1与C 2的离心率之积为32，则C 2的渐近线方程为________． [解析] (1)如图，由题意知|AB |＝2b 2a ，|BC |＝2c ．又2|AB |＝3|BC |，∴2×2b 2a ＝3×2c ，即2b 2＝3ac ，∴2(c 2－a 2)＝3ac ，两边同除以a 2并整理得2e 2－3e －2＝0，解得e ＝2(负值舍去)．(2)设椭圆C 1和双曲线C 2的离心率分别为e 1和e 2，则e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a ．因为e 1·e 2＝32，所以a 4－b 4a 2＝32，即⎝⎛⎭⎫b a 4＝14，∴b a ＝22．故双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，即x ±2y ＝0．[答案] (1)2 (2)x ±2y ＝0 [类题通法]求解离心率三种方法(1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x 轴上还是y 轴上都有关系式a 2－b 2＝c 2(a 2＋b 2＝c 2)以及e ＝ca ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的参数，这是基本且常用的方法．(2)方程法：建立参数a 与c 之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分重要的思路及方法．(3)几何法：求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线)的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更形象、直观．1．如图，F 1，F 2是椭圆C 1：x 24＋y 2＝1与双曲线C 2的公共焦点，A ，B 分别是C 1，C 2在第二、四象限的公共点．其四边形AF 1BF 2为矩形，则C 2的离心率是( )A ． 2B ． 3C ．32D ．62解析：选D 焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，在Rt △AF 1F 2中，|AF 1|＋|AF 2|＝4， |AF 1|2＋|AF 2|2＝12，所以可解得|AF 2|－|AF 1|＝22，故a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝32＝62，选D ． 2．设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点为F 1，F 2，过F 2作x 轴的垂线与C 相交于A ，B 两点，F 1B 与y 轴相交于点D ，若AD ⊥F 1B ，则椭圆C 的离心率等于________．解析：不妨设A 在x 轴上方，由于AB 过F 2且垂直于x 轴，因此可得A ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，B ⎝⎛⎭⎫c ，－b2a ，由OD ∥F 2B ，O 为F 1F 2的中点可得D ⎝⎛⎭⎫0，－b 22a ，所以AD ＝⎝⎛⎭⎫－c ，－3b 22a ，F B 1＝⎝⎛⎭⎫2c ，－b2a ，又AD ⊥F 1B ，所以AD ·F B 1＝－2c 2＋3b 42a 2＝0，即3b 4＝4a 2c 2，又b 2＝a 2－c 2，所以可得3(a 2－c 2)＝2ac ，两边同时除以a 2，得3e 2＋2e －3＝0，解得e ＝33或－3，又e ∈(0,1)，故椭圆C 的离心率为33．答案：333．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ．若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：c 2＝a 2＋b 2，①由双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c 知，双曲线过点⎝⎛⎭⎫c ，－p 2，即c 2a 2－p24b2＝1．② 由|FA |＝c ，得c 2＝a 2＋p 24，③ 由①③得p 2＝4b 2．④ 将④代入②，得c 2a 2＝2．∴a 2＋b 2a2＝2，即ba ＝1，故双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，即x ±y ＝0．答案：x ±y ＝0直线与圆锥曲线的位置关系这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如：直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，则有：Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点；Δ＝0?直线与圆锥曲线相切于一点；Δ<0?直线与圆锥曲线无交点．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝?1＋k 2??x 1－x 2?2或⎝⎛⎭⎫1＋1k 2?y 1－y 2?2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．[典例] 已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上，若右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3．(1)求椭圆的方程；(2)设椭圆与直线y ＝kx ＋m (k ≠0)相交于不同的两点M ，N ，当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围． [解] (1)依题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2＝1(a >1)，则右焦点F (a 2－1，0)，由题设，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3，故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1．(2)设点P 为弦MN 的中点，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0，由于直线与椭圆有两个交点，所以Δ>0，即m 2<3k 2＋1， ① 所以x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，所以k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk ，又|AM |＝|AN |，所以AP ⊥MN ，则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1， ②把②代入①得2m >m 2，解得0<m <2，由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，2． [类题通法]有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，化简后得到关于x (或y )的一元二次方程，则直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：①相交：Δ>0?直线与椭圆相交；Δ>0?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有Δ>0，如当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故Δ>0是直线与双曲线相交的充分不必要条件；Δ>0?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有Δ>0，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故Δ>0也仅是直线与抛物线相交的充分条件，而不是必要条件．②相切：Δ＝0?直线与椭圆相切；Δ＝0?直线与双曲线相切；Δ＝0?直线与抛物线相切． ③相离：Δ<0?直线与椭圆相离；Δ<0?直线与双曲线相离；Δ<0?直线与抛物线相离．(2)直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识，形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题．解决此类问题应注意数形结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等．1．平面上一机器人在行进中始终保持与点F (1,0)的距离和到直线x ＝－1的距离相等．若机器人接触不到过点P (－1,0)且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是________．解析：设机器人所在位置为A (x ，y )，依题意得点A 在以F (1,0)为焦点，x ＝－1为准线的抛物线上，该抛物线的标准方程为y 2＝4x ．过点P (－1,0)，斜率为k 的直线为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋k 得ky 2－4y ＋4k ＝0．当k ＝0时，显然不符合题意；当k ≠0时，依题意得Δ＝(－4)2－4k ·4k <0，化简得k 2－1>0，解得k >1或k <－1，因此k 的取值范围为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)2．平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)右焦点的直线x ＋y －3＝0交M 于A ，B两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．(1)求M 的方程；(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，y 2－y 1x 2－x 1＝－1，由此可得b 2?x 2＋x 1?a 2?y 2＋y 1?＝－y 2－y 1x 2－x 1＝1．因为x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0，y 0x 0＝12，所以a 2＝2b 2．又由题意知，M 的右焦点为(3，0)，故a 2－b 2＝3．因此a 2＝6，b 2＝3．所以M 的方程为x 26＋y 23＝1．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，x 26＋y 23＝1解得⎩⎨⎧x ＝433，y ＝－33或⎩⎨⎧x ＝0，y ＝ 3.因此|AB |＝463．由题意可设直线CD 的方程为y ＝x ＋n ⎝⎛⎭⎫－533<n <3，设C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋n ，x 26＋y 23＝1得3x 2＋4nx ＋2n 2－6＝0．于是x 3,4＝－2n ±2?9－n 2?3．因为直线CD 的斜率为1，所以|CD |＝2|x 4－x 3|＝439－n 2．由已知，四边形ACBD 的面积S ＝12|CD |·|AB |＝8699－n 2．当n ＝0时，S 取得最大值，最大值为863．所以四边形ACBD 面积的最大值为863．1．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率是( )A ．2B ． 3C ． 2D ．32解析：选C 由题可知y ＝b a x 与y ＝－b a x 互相垂直，可得－b a ·ba ＝－1，则a ＝b ．由离心率的计算公式，可得e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a2＝2，e ＝2． 2．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选B 由题可知抛物线的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0，于是过焦点且斜率为2的直线的方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0，可得点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2，所以S △OAF ＝12×|a |4×|a |2＝4，得a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x ．3．已知一动圆P 与圆O ：x 2＋y 2＝1外切，而与圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8＝0内切，则动圆的圆心P 的轨迹是( )A ．双曲线的一支B ．椭圆C ．抛物线D ．圆解析：选A 由题意，知圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝1，则圆C 与圆O 相离，设动圆P 的半径为R ．∵圆P 与圆O 外切而与圆C 内切，∴R >1，且|PO |＝R ＋1，|PC |＝R －1．又|OC |＝3，∴|PO |－|PC |＝2<|OC |，即点P 在以O ，C 为焦点的双曲线的右支上．4．我们把由半椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(x ≥0)与半椭圆y 2b 2＋x 2c 2＝1(x <0)合成的曲线称作“果圆”(其中a 2＝b 2＋c 2，a >b >c >0)，如图所示，其中点F 0，F 1，F 2是相应椭圆的焦点．若△F 0F 1F 2是边长为1的等边三角形，则a ，b 的值分别为( )A ．72，1 B ．3，1 C ．5,3D ．5,4解析：选A ∵|OF 2|＝b 2－c 2＝12，|OF 0|＝c ＝3|OF 2|＝32，∴b ＝1，∴a 2＝b 2＋c 2＝1＋34＝74，得a＝72． 5．已知抛物线的方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d 1，到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为( )A ．522＋2 B ．522＋1C ．522－2 D ．522－1 解析：选D 因为抛物线的方程为y 2＝4x ，所以焦点坐标为F (1,0)，准线方程为x ＝－1．因为点P 到y 轴的距离为d 1，所以到准线的距离为d 1＋1．又d 1＋1＝|PF |，所以d 1＋d 2＝d 1＋1＋d 2－1＝|PF |＋d 2－1．焦点F 到直线l 的距离记为d ，则d ＝|1－0＋4|2＝52＝522，而|PF |＋d 2≥d ＝522，所以d 1＋d 2＝|PF |＋d 2－1≥522－1，即d 1＋d 2的最小值为522－1．6．双曲线与椭圆4x 2＋y 2＝64有公共焦点，它们的离心率互为倒数，则双曲线方程为( ) A ．y 2－3x 2＝36 B ．x 2－3y 2＝36 C ．3y 2－x 2＝36 D ．3x 2－y 2＝36解析：选A 由4x 2＋y 2＝64得x 216＋y 264＝1， c 2＝64－16＝48， ∴c ＝43，e ＝438＝32． ∴双曲线中，c ′＝43，e ′＝23＝c ′a ′． ∴a ′＝32c ′＝6，b ′2＝48－36＝12． ∴双曲线方程为y 236－x 212＝1，即y 2－3x 2＝36．7．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，其上一点P (3，y )到两焦点的距离分别是6．5和3．5，则该椭圆的标准方程为________．解析：由椭圆的定义，知2a ＝6．5＋3．5＝10，a ＝5．又⎩⎪⎨⎪⎧?3＋c ?2＋y 2＝6.52，?3－c ?2＋y 2＝3.52，解得c ＝52，从而b 2＝a 2－c 2＝754，所以椭圆的标准方程为x 225＋4y 275＝1．答案：x 225＋4y 275＝18．已知直线l 与抛物线y 2＝4x 交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若OA ·OB ＝－4，则直线l 恒过的定点M 的坐标是________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＋y 1y 2＝－4．当直线l 的斜率不存在时，设其方程为x ＝x 0(x 0>0)，则x 20－4x 0＝－4，解得x 0＝2；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，y 2＝4x ，得ky 2－4y ＋4b ＝0，得y 1y 2＝4b k ，则x 1x 2＝y 21y 2216＝b 2k 2，得b 2k2＋4b k ＝－4，∴b k ＝－2，有b ＝－2k ，直线y ＝kx －2k ＝k (x －2)恒过定点(2,0)．又直线x ＝2也恒过定点(2,0)，得点M 的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．已知A (0，－4)，B (3,2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________．解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝?t －1?2＋35≥35＝355．答案：35510．如图，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的长、短轴端点分别为A ，B ，F 1，F 2分别是点F 1，且AB其左、右焦点．从椭圆上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦与OM 是共线向量．(1)求椭圆的离心率e ；(2)设Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，求∠F 1QF 2的取值范围．解：(1)∵F 1(－c,0)，则x M ＝－c ，y M ＝b 2a ， ∴k OM ＝－b 2ac ．由题意，知k AB ＝－b a， ∵OM 与AB 是共线向量，∴－b 2ac ＝－b a ，∴b ＝c ，得e ＝22． (2)设|F 1Q |＝r 1，|F 2Q |＝r 2，∠F 1QF 2＝θ，∴r 1＋r 2＝2a ．又|F 1F 2|＝2c ，由余弦定理，得cos θ＝r 21＋r 22－4c 22r 1r 2＝?r 1＋r 2?2－2r 1r 2－4c 22r 1r 2＝a 2r 1r 2－1≥a 2⎝⎛⎭⎫r 1＋r 222－1＝0，当且仅当r 1＝r 2时等号成立，∴cos θ≥0，∴θ∈⎝⎛⎦⎤0，π2． 11．如图，焦距为2的椭圆E 的两个顶点分别为A ，B ，且AB 与n＝(2，－1)共线．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线y ＝kx ＋m 与椭圆E 有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．解：(1)因为2c ＝2，所以c ＝1，又AB ＝(－a ，b )，且AB ∥n ，所以2b ＝a ，所以2b 2＝b 2＋1，所以b 2＝1，a 2＝2，所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1． (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，把直线方程y ＝kx ＋m 代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，消去y ，得(2k 2＋1)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4km 2k 2＋1，x 1x 2＝2m 2－22k 2＋1， Δ＝16k 2－8m 2＋8>0，即m 2<2k 2＋1，(*)因为原点O 总在以PQ 为直径的圆的内部，所以OP ·OQ <0，即x 1x 2＋y 1y 2<0，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－2k 22k 2＋1，由2m 2－22k 2＋1＋m 2－2k 22k 2＋1<0得m 2<23k 2＋23，依题意且满足(*)得m 2<23，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－63，63． 12．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝32，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4． (1)求椭圆的方程；(2)设直线l 与椭圆相交于不同的两点A ，B ．已知点A 的坐标为(－a,0)，点Q (0，y 0)在线段AB 的垂4，求y 0的值．解：(1)由e ＝c a ＝32，得3a 2＝4c 2．再由c 2＝a 2－b 2，得a ＝2b ．由题意可知12×2a ×2b ＝4，即ab ＝2．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2b ，ab ＝2，得a ＝2，b ＝1．所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1． (2)由(1)可知A (－2,0)．设B 点的坐标为(x 1，y 1)，直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ?x ＋2?，x 24＋y 2＝1消去y 并整理，得 (1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋(16k 2－4)＝0．由－2x 1＝16k 2－41＋4k 2，得x 1＝2－8k 21＋4k 2．从而y 1＝4k 1＋4k 2．设线段AB 的中点为M ，则M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－8k 21＋4k 2，2k 1＋4k 2．以下分两种情况：①当k ＝0时，点B 的坐标为(2,0)，线段AB 的垂直平分线为y 轴，(－2，－y 0)(2，－y 0)．4，得y 0＝±22．②当k ≠0时，线段AB 的垂直平分线方程为y －2k 1＋4k 2＝－1k ⎝⎛⎭⎫x ＋8k 21＋4k 2．令x ＝0，解得y 0＝－6k 1＋4k 2．由＝(－2，－y 0)，＝(x 1，y 1－y 0)． ·＝－2x 1－y 0(y 1－y 0)＝－2×?2－8k 2?1＋4k 2＋6k 1＋4k 2⎝⎛⎭⎫4k 1＋4k 2＋6k 1＋4k 2 ＝4×?16k 4＋15k 2－1??1＋4k 2?2＝4，整理得7k 2＝2，故k ＝±147．所以y 0＝±2145．综上，y 0＝±22或y 0＝±2145．。

2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1.1曲线与方程2.1.2求曲线的方程课件新人教A版选修2_1

2.求曲线的方程的步骤
■名师点拨如果题目中没有确定平面直角坐标系,应首先建立适当的平面直角坐标系,坐标系建立适当,所得方程也较为简单.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)x2＋y2＝1(x＞0)表示的曲线是单位圆.( × ) (2)若点 M(x,y)的坐标是方程 f(x,y)＝0 的解,则点 M 在曲线 f(x,y) ＝0 上.( √ ) (3)方程 y＝x 与方程 y＝xx2表示同一曲线.( × )
第二章圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程 2.1.2 求曲线的方程
第二章圆锥曲线与方程
考点
学习目标
核心素养
Байду номын сангаас
了解曲线与方程的概念,
理解曲线上的点与方程的解之间的曲线与
一一对应关系, 方程
领会“曲线的方程”与“方程的曲
数学抽象
线”的含义
求曲线掌握求轨迹方程建立坐标系的一般逻辑推理、
即xy00＝＝4－－2y－，x，(* *) 将(* *)代入(*),得(－2－x)－2(4－y)＋3＝0, 即 x－2y＋7＝0. 答案：x－2y＋7＝0
1.下列各组方程表示相同曲线的是( ) A.y＝x 与 y＝ x2 B.y＝x2 与 y＝|x| C.(x－1)2＋(y＋2)2＝0 与(x－1)(y＋2)＝0 D.y＝ x2与 y＝|x| 解析：选 D.A 中 y＝x 表示直线,y＝ x2＝|x|表示两条射线；B 中 y＝x2 表示抛物线,y＝|x|表示两条射线；C 中前者表示一个点,后者表示两条直线 x＝1 和 y＝－2.故选 D.
(2)相关点法(代入法) 有些问题中,其动点满足的条件不便用等式列出,但动点是随着另一动点(称之为相关点)而运动的.如果相关点所满足的条件是明显的,或是可分析的,这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标,根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程,这种求轨迹的方法叫做相关点法或代入法.

高考圆锥曲线与方程-打印版

高考：圆锥曲线与方程类型一：圆锥曲线的方程与性质1. 已知两定点A 、B ，且||4AB =，动点M 到A 与到B 的距离比为常数35，求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.2.设Ｆ１、Ｆ２是双曲线x 2－y 2＝4的两焦点，Ｑ是双曲线上任意一点，从Ｆ１引 ∠Ｆ１ＱＦ２平分线的垂线，垂足为Ｐ，则点Ｐ的轨迹方程是．3.过原点的直线l 与曲线y=x 2-2x+2交于A ，B 两点，求弦AB 中点的轨迹.4.设双曲线191622=-y x 的两个焦点分别是F 1和F 2, A 、B 分别是双曲线两条渐进线上的动点, 且213F F AB =, 求线段AB 中点的轨迹方程.5.设直线x-y=4a 与抛物线y 2=4ax 交于两点A ，B (a 为定值)，C 为抛物线上任意一点，求ΔABC 的重心的轨迹方程.6.以抛物线214y x =的弦AB 为直径的圆经过原点O, 过点O 作OM ⊥AB, M 为垂足, 求点M 的轨迹方程.类型二：直线与圆锥曲线相交 --- 弦的有关问题：7.已知直线y=(a+1)x －1与曲线y 2=ax 恰有一个公共点，求实数a 的值.8．设直线l 过双曲线2213y x -=的一个焦点，交双曲线于A 、B 两点，O 为坐标原点，若0OA OB ⋅= ，求|AB|的值。

9.已知点A ()0,3-和B ()0,3，动点A 、B 两点的距离之差的绝对值为2，点C 的轨迹与直线y ＝x －２交于D 、E 两点，求线段DE 的长.10.设椭圆)0(12:222>=+a y a x C 的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 是椭圆C 上的一点，且0212=⋅F F AF ，坐标原点O 到直线1AF 的距离为||311OF ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点)0,1(-P ，较y 轴于点M ，若2=，求直线l 的方程．类型三：求取值范围或最值：11. (2015 浙江) 已知椭圆2212x y +=上两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称．（1）求实数m 的取值范围；（2）求△AOB 面积的最大值（O 为坐标原点）．12. (2015 江苏)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2=1右支上的一个动点。

2019_2020版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质课件新人教A版选修

��4��2=1.
(2)由双曲线的渐近线方程为 y=±12x,可设双曲线方程为
2��22-y2=λ(λ≠0).
因为 A(2,-3)在双曲线上,所以2222-(-3)2=λ,即 λ=-8,所求双曲线的标
准方程为��2
8
−
3��22=1.
探究堂篇探究学习
的离心率为
.
解析因为 a2=2,所以 a= 2.又 b2=14,所以 c2=a2+b2=16,所以 c=4, 故 e=��=2 2.
答案 2 2
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
探究一双曲线的几何性质
例1 求双曲线9y2-4x2=-36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚
轴长、离心率和渐近线方程.
答案(1)C (2)y=±2x 或 y=±12x
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
当堂检测
反思感悟双曲线的离心率与渐近线的求法及其关系
1.求双曲线的离心率,就是求a和c的值或a和c的关系,然后根据离
心率的定义求得.但在多数情况下,由于受到题目已知条件的限制,
实轴长 2a=6,虚轴长 2b=4,
离心率 e=�� = 313,渐近线方程为 y=±23x.
探究一
探究二
探究三
当堂检测
课堂篇探究学习
延伸探究若将方程9y2-4x2=-36改为9y2-4x2=36,其结果又将如何?
解双曲线的方程化为标准形式是��2
4
−
��9��2=1,∴a2=4,b2=9,∴
��2+��2 ��2

2019-2020学年高考数学一轮复习《圆锥曲线与方程》教案.doc

2019-2020学年高考数学一轮复习《圆锥曲线与方程》教案1．掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质、了解椭圆的参数方程． 2．掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 3．掌握抛物线的定义、标准方程、简单的几何性质．第1课时椭圆1．椭圆的两种定义(1) 平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于21F F )的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的，之间的距离叫做焦距．注：①当2a ＝|F 1F 2|时，P 点的轨迹是． ②当2a ＜|F 1F 2|时，P 点的轨迹不存在．(2) 椭圆的第二定义：到的距离与到的距离之比是常数e ，且∈e 的点的轨迹叫椭圆．定点F 是椭圆的，定直线l 是，常数e 是． 2．椭圆的标准方程(1) 焦点在x 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是：12222=+b y a x ，其中( > >0，且=2a ) (2) 焦点在y 轴上，中心在原点的椭圆标准方程是12222=+bx ay ，其中a ，b 满足：．(2) 余弦定理：21r ＋22r －2r 1r 2cos θ＝(2c )2(3) 面积：21F PF S ∆＝21r 1r 2 sin θ＝21·2c | y 0 |(其中P(00,y x )为椭圆上一点，|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，∠F 1PF 2＝θ)（1）两个焦点的坐标分别是（－4，0），（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离之和等于10；（2）两个焦点的坐标分别是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点)25,23(-；（3）长轴长是短轴长的3倍，并且椭圆经过点A （-3）解：192522=+y x （2）161022=+x y （3）22221,128364843x y x y +=+= 变式训练1：根据下列条件求椭圆的标准方程(1) 和椭圆1202422=+y x 共准线，且离心率为21．(2) 已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为534和532，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点解：(1) 设椭圆方程)0,0(12222>>=+b a by ax ，则其准线为12±=x ．∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+==22222112c b a a c c a 解得⎪⎩⎪⎨⎧==336b a∴所求椭圆方程为1273622=+y x． (2) 52221=+=PF PF a ，5=∴a ．由5322=a b ，得3102=b ． ∴所求椭圆方程为1103522=+y x 或1103522=+x y ．例2. 已知点P(3, 4)是椭圆2222b y a x +＝1 (a >b >0) 上的一点，F 1、F 2是它的两焦点，若PF 1⊥PF 2，求：(1) 椭圆的方程；(2) △PF 1F 2的面积．解：（1）法一：令F 1(－C ，0)，F 2(C ，0) ∵ PF 1⊥PF 2，∴ 21P F P F k k ⋅＝－1 即13434-=-⋅+cc ，解得c ＝5 ∴ 椭圆的方程为1252222=-+a y a x ∵ 点P （3，4）在椭圆上，∴125922=-+a ba 解得a 2＝45或a 2＝5 又a ＞c ，∴ a 2＝5舍去.故所求椭圆的方程为1204522=+y x .法二：利用△PF 1F 2是直角三角形，求得c ＝5(以下同方法一) （2）由焦半径公式： | PF 1 |＝a ＋ex ＝35＋535×3＝45 | PF 2 |＝a －ex ＝35－535×3＝25∴ 21F P F S ∆＝21| PF 1 |·| PF 2 |＝21×45×25＝20变式训练2：已知P （x 0,y 0）是椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）上的任意一点，F 1、F 2是焦点，求证：以PF 2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.证明设以PF 2为直径的圆心为A ，半径为r .∵F 1、F 2为焦点，所以由椭圆定义知|PF 1|+|PF 2|=2a ，|PF 2|=2r∴|PF 1|+2r =2a ，即|PF 1|=2（a －r ）连结OA ，由三角形中位线定理，知 |OA |=.)(221||211r a r a PF -=-⨯= 故以PF 2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理，使题目得证。

【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程2

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程2撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等简单性质.2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.知识点一抛物线的范围思考观察下列图形，思考以下问题：(1)观察焦点在x轴的抛物线与椭圆的图形，分析其几何图形存在哪些区别？(2)根据图形及抛物线方程y2＝2px(p>0)如何确定横坐标x的范围？梳理抛物线y2＝2px(p>0)中，x∈______________，y∈____________.抛物线y2＝－2px(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.抛物线x2＝2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.抛物线x2＝－2py(p>0)中，x∈__________________，y∈____________.知识点二四种形式的抛物线的简单性质知识点三直线与抛物线的位置关系直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x的方程组解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的个数.当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有____个不同的公共点；若Δ＝0，直线与抛物线有____个公共点；若Δ<0，直线与抛物线______公共点.当k＝0时，直线与抛物线的轴__________，此时直线与抛物线有____个公共点.类型一依据抛物线的简单性质求标准方程例1 抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.引申探究将本例改为“若抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积等于4”，求此抛物线的标准方程.反思与感悟用待定系数法求抛物线方程的步骤跟踪训练1 已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，|AB|＝2，求抛物线方程.类型二抛物线的焦半径和焦点弦问题例2 (1)过抛物线y2＝8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为________.(2) 直线l过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，若|AB|＝8，则直线l的方程为________________.(3)过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，若|AB|＝7，则AB的中点M到抛物线准线的距离为________________.反思与感悟(1)抛物线上任一点P(x0，y0)与焦点F的连线得到的线段叫作抛物线的焦半径，对于四种形式的抛物线来说其焦半径的长分别为：①抛物线y2＝2px(p>0)，|PF|＝|x0＋|＝＋x0；②抛物线y2＝－2px(p>0)，|PF|＝|x0－|＝－x0；③抛物线x2＝2py(p>0)，|PF|＝|y0＋|＝＋y0；④抛物线x2＝－2py(p>0)，|PF|＝|y0－|＝－y0.(2)已知AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的弦，F为抛物线的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则：①y1·y2＝－p2，x1·x2＝；②|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ为直线AB的倾斜角)；③S△ABO＝(θ为直线AB的倾斜角)；④＋＝；⑤以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.(3)当直线经过抛物线的焦点，且与抛物线的对称轴垂直时，直线被抛物线截得的线段称为抛物线的通径，显然通径长等于2p.跟踪训练2 已知直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点.(1)若直线l的倾斜角为60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离.类型三抛物线综合问题命题角度1 与抛物线有关的最值问题例3 抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(－1,0)，求的最小值.反思与感悟(1)若曲线和直线相离，在曲线上求一点到直线的距离最小问题，可找到与已知直线平行的直线，使其与曲线相切，则切点为所要求的点.(2)以上问题一般转化为“两点之间线段最短”或“点到直线的垂线段最短”来解决.跟踪训练3 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) A.2 B.3 C. D.3716命题角度2 定值或定点问题例4 抛物线y2＝2px(p>0)上有两动点A，B及一个定点M，F为抛物线的焦点，若|AF|，|MF|，|BF|成等差数列.(1)求证：线段AB的垂直平分线过定点Q；(2)若|MF|＝4，|OQ|＝6(O为坐标原点)，求抛物线的方程.反思与感悟在抛物线的综合性问题中，存在着许多定值问题，我们不需要记忆关于这些定值的结论，但必须牢牢掌握研究这些定值问题的基本方法，如设直线的点斜式方程、根与系数的关系的利用、焦半径的转化等.跟踪训练4 在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点，·＝－4，求证：直线l必过一定点.1.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )A.－B.－1C.－D.－122.已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A. B.3 C. D.923.过抛物线y2＝4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则|AB|＝________.4.已知过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的长为8，则p＝________.5.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线与x轴的交点为K，点A在抛物线C上，且|AK|＝|AF|，则△AFK的面积为________.1.抛物线的中点弦问题用点差法较简便.2.轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系.3.在直线和抛物线的综合问题中，经常遇到求定值、过定点问题.解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等.解决这些问题的关键是代换和转化.提醒：完成作业第三章§2 2.2答案精析问题导学知识点一思考(1)抛物线与椭圆相比较，有明显的不同，椭圆是封闭曲线，有四个顶点，有两个焦点，有中心；抛物线只有一条曲线，一个顶点，一个焦点，无中心.(2)由抛物线y2＝2px(p>0)有所以x≥0.所以抛物线x的范围为x≥0.抛物线在y轴的右侧，当x的值增大时，︱y︱也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸.梳理[0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0] (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)[0，＋∞)(－∞，＋∞)(－∞，0]知识点三两一没有平行或重合1题型探究例1 解椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3,∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.引申探究解由题意，设抛物线方程为y2＝2mx(m≠0)，焦点F(，0)，直线l：x＝，所以A，B两点坐标为(，m)，(，－m)，所以|AB|＝2|m|.因为△OAB的面积为4，所以·||·2|m|＝4，所以m＝±2.所以抛物线的标准方程为y2＝±4x.跟踪训练1 解由已知，抛物线的焦点可能在x轴正半轴上，也可能在负半轴上.故可设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).设抛物线与圆x2＋y2＝4的交点A(x1，y1)，B(x2，y2).∵抛物线y2＝ax(a≠0)与圆x2＋y2＝4都关于x轴对称，∴点A与B关于x轴对称，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2，∴|y1|＝|y2|＝，代入圆x2＋y2＝4，得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，)或A(±1，－)，代入抛物线方程，得()2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.例2 (1)16 (2)x＋y－1＝0或x－y－1＝0 (3)72跟踪训练2 解(1)因为直线l的倾斜角为60°，所以其斜率k＝tan 60°＝.又F，所以直线l的方程为y＝.联立消去y得x2－5x＋＝0.若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋p2＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3，所以x1＋x2＝6.于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x ＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.例3 解抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，如图，过点P作PN垂直x＝－1于点N，由抛物线的定义可知|PF|＝|PN|，连接PA，在Rt△PAN中，sin∠PAN＝，当＝最小时，sin∠PAN 最小，即∠PAN 最小，即∠PAF 最大，此时，PA 为抛物线的切线，设PA 的方程为y ＝k(x ＋1)，联立⎩⎨⎧ y2＝4x，得k2x2＋(2k2－4)x ＋k2＝0，所以Δ＝(2k2－4)2－4k4＝0，解得k ＝±1，所以∠PAF＝∠NPA＝45°，|PF||PA|＝＝cos∠NPA＝. 跟踪训练3 A例4 (1)证明设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，|MF|＝x0＋，x0为已知值.由题意得x0＝，∴线段AB 的中点坐标可设为(x0，t)，其中t ＝≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|⇒p ＝0).而kAB ＝＝y1－y212p 21－y 2＝＝，故线段AB的垂直平分线的方程为y－t＝－(x－x0)，即t(x－x0－p)＋yp＝0，可知线段AB的垂直平分线过定点Q(x0＋p,0).(2)解由(1)知|MF|＝4，|OQ|＝6，得x0＋＝4，x0＋p＝6，联立解得p＝4，x0＝2.∴抛物线方程为y2＝8x.跟踪训练4 证明设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝4x，消去x得y2－4ty－4b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.又∵·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b，又∵·＝－4，∴b2－4b＝－4，解得b＝2，故直线过定点(2,0).当堂训练1.C2.A3.84.25.8。

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx

（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。

其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。

2019高考数学(文)精讲二轮第二讲圆锥曲线的方程与性质

第二讲圆锥曲线的方程与性质考点一圆锥曲线的定义与标准方程圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF 1|＋|PF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . [对点训练]1．(2018·江西九江模拟)F 1，F 2是椭圆x 29＋y 27＝1的左、右焦点，A 为椭圆上一点，且∠AF 1F 2＝45°，则△AF 1F 2的面积为( )A ．7 B.74 C.72 D.752[解析] 由题意可得，a ＝3，b ＝7，c ＝2，|AF 1|＋|AF 2|＝6. ∴|AF 2|＝6－|AF 1|.在△AF 1F 2中，|AF 2|2＝|AF 1|2＋|F 1F 2|2－2|AF 1|·|F 1F 2|·cos45°＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，∴(6－|AF 1|)2＝|AF 1|2－4|AF 1|＋8，解得|AF 1|＝72，∴△AF 1F 2的面积S ＝12×72×22×22＝72，故选C.[答案] C2．(2018·河南新乡二模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA →＝2AF →，且|BF →|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1 [解析] 不妨设B (0，b )，由BA →＝2AF →，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C 的方程可得49×c 2a 2－19＝1，即49·a 2＋b 2a 2＝109，∴b 2a 2＝32，①又|BF →|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16，②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6，∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1，故选D. [答案] D3．抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6xB ．y 2＝8xC ．y 2＝16x D ．y 2＝152x[解析] 设M (x ，y )，因为|OF |＝p2，|MF |＝4|OF |，所以|MF |＝2p ，由抛物线定义知x ＋p2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p ，又△MFO的面积为43，所以12×p2×3p＝43，解得p＝4(p＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x，故选B.[答案] B4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线x24－y22＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，2)，则△APF周长的最小值为( ) A．4＋ 2 B．4(1＋2)C．2(2＋6) D.6＋3 2[解析] 由题意知F(6，0)，设左焦点为F0，则F0(－6，0)，由题可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝(0＋6)2＋(2－0)2＋(6－0)2＋(0－2)2＋2×2＝42＋4＝4(2＋1)，当且仅当A、F0、P三点共线时取得“＝”，故选B.[答案] B[快速审题] 看到求圆锥曲线方程，想到待定系数法、定义法；看到椭圆和双曲线上一点与两焦点构成的三角形，想到定义的应用．求解圆锥曲线标准方程的思路方法(1)定型，就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程．(2)计算，即利用定义或待定系数法求出方程中的a2，b2或p.考点二圆锥曲线的几何性质1．在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝ca＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 2．在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2. 3．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .[解析] (1)解法一：由题意知，e ＝ca ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以ba＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±bax ＝±2x ，故选A.解法二：由e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得ba ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，故选A.(2)设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m .由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ，所以4a ＝2m ＋2m ，m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a .因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2，所以e 2＝9－62，e ＝6－3，故选D. [答案] (1)A (2)D[探究追问1] 本例(2)中若椭圆改为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)过F 2的直线与双曲线交于A ，B 两点，其他条件不变，则双曲线离心率e 的值为________．[解析] 如图所示：因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a .所以|AF 1|＝22a ，|AF 2|＝22a －2a . 因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2，所以e 2＝5－22，e ＝5－2 2. [答案]5－2 2[探究追问2] 在本例(2)中若条件变为“在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，A 1，A 2是左、右顶点，F 是右焦点，B 是虚轴的上端点，若在线段BF 上存在点P ，使得△PA 1A 2构成以A 1A 2为斜边的直角三角形”，则双曲线离心率e 的取值范围是________．[解析] 由题意知以线段A 1A 2为直径的圆和线段BF 有公共点，则原点到直线BF 的距离小于或等于a ，又直线BF 的方程为x c ＋yb＝1，即bx ＋cy －bc ＝0，所以|－bc |b 2＋c2≤a ，整理得a 4－3a 2c 2＋c 4≤0，即e 4－3e 2＋1≤0，解得3－52≤e 2≤3＋52，又e >1，所以1<e ≤5＋12.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤1，5＋12应用圆锥曲线性质的2个要点(1)确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式．建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．(2)求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到．[对点训练]1．(2018·临汾二模)若直线y ＝－3x 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)交于A ，B 两点，以线段AB 为直径的圆恰好经过椭圆的右焦点，则椭圆C 的离心率为( )A.32B.3－12C.3－1 D ．4－2 3[解析] 设椭圆的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，由题意可得|OF 2|＝|OA |＝|OB |＝|OF 1|＝c .由y ＝－3x 得∠AOF 2＝2π3，∠AOF 1＝π3，∴|AF 2|＝3c ，|AF 1|＝c .由椭圆的定义知，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，∴c ＋3c ＝2a ，∴e ＝ca＝3－1，故选C.[答案] C2．(2018·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，P 是C 上一点，若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△PF 1F 2最小内角的大小为30°，则双曲线C 的渐近线方程是( )A.2x ±y ＝0 B ．x ±2y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0[解析] 由题意，不妨设|PF 1|>|PF 2|，则根据双曲线的定义得， |PF 1|－|PF 2|＝2a ，又|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，解得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a . 在△PF 1F 2中，|F 1F 2|＝2c ，而c >a ，所以|PF 2|<|F 1F 2|，所以∠PF 1F 2＝30°，所以(2a )2＝(2c )2＋(4a )2－2×2c ×4a cos30°，得c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ＝±2x ，即2x ±y ＝0，故选A.[答案] A考点三抛物线中的最值问题抛物线中的最值问题一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．[解题指导]⎦⎥⎤(1)|PQ |≥|PC |－1 |PF |＝d―→|PQ |＋d 的最值―→|PC |＋|PF |的最值―→利用三角形法则求解 (2)作图形―→|PF |转化为P 到准线的距离―→利用三角形法则求解[解析] (1)由题意得圆x 2＋(y －4)2＝1的圆心C (0,4)，半径r ＝1，抛物线的焦点F (1,0)．由抛物线的几何性质可得：点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是|CF |－r ＝1＋16－1＝17－1，故选C.(2)过P 作PM ⊥l 于M ，则由抛物线定义知|PM |＝|PF |，故|PA |＋|PF |＝|PA |＋|PM |. 当A 、P 、M 三点共线时，|PA |＋|PM |最小，此时点P 坐标为(2,2)，故选C.[答案] (1)C (2)C与抛物线最值有关问题的两种转化(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决．[对点训练]1．(2018·郑州检测)已知抛物线x 2＝4y 上有一条长为6的动弦AB ，则AB 的中点到x 轴的最短距离为( )A.34B.32C ．1D ．2 [解析] 由题意知，抛物线的准线l ：y ＝－1，过点A 作AA 1⊥l 交l 于点A 1，过点B 作BB 1⊥l 交l 于点B 1，设弦AB 的中点为M ，过点M 作MM 1⊥l 交l 于点M 1，则|MM 1|＝|AA 1|＋|BB 1|2.因为|AB |≤|AF |＋|BF |(F 为抛物线的焦点)，即|AF |＋|BF |≥6，所以|AA 1|＋|BB 1|≥6，2|MM 1|≥6，|MM 1|≥3，故点M 到x 轴的距离d ≥2，故选D.[答案] D2．已知点F 为抛物线y 2＝－8x 的焦点，O 为坐标原点，点P 是抛物线准线上一动点，点A 在抛物线上，且|AF |＝4，则|PA |＋|PO |的最小值为( )A ．6B ．2＋4 2C ．213D ．4 3[解析] 由已知可得抛物线y 2＝－8x 的焦点为F (－2,0)，准线方程为x ＝2.设点A 的坐标为(x 0，y 0)，根据抛物线的定义可得2－x 0＝4，所以x 0＝－2，y 0＝±4.O 关于准线的对称点为O ′(4,0)，则当点P 为AO ′与准线x ＝2的交点时，|PA |＋|PO |有最小值，且最小值为|AO ′|＝213，故选C.[答案] C1．(2018·浙江卷)双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是( )A ．(－2，0)，(2，0)B ．(－2,0)，(2,0)C ．(0，－2)，(0，2)D ．(0，－2)，(0,2)[解析] ∵a 2＝3，b 2＝1，∴c ＝a 2＋b 2＝2.又∵焦点在x 轴上，∴双曲线的焦点坐标为(－2,0)，(2,0)，故选B.[答案] B2．(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点．设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 212＝1B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1 D.x 29－y 23＝1 [解析] ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，∴e 2＝1＋b 2a 2＝4，∴b 2a2＝3，即b 2＝3a 2，∴c 2＝a 2＋b 2＝4a 2，由题意可设A (2a,3a )，B (2a ，－3a )，∵b 2a2＝3，∴渐近线方程为y ＝±3x ，则点A 与点B 到直线3x －y ＝0的距离分别为d 1＝|23a －3a |2＝23－32a ，d 2＝|23a ＋3a |2＝23＋32a ，又∵d 1＋d 2＝6，∴23－32a ＋23＋32a ＝6，解得a ＝3，∴b 2＝9，∴双曲线的方程为x 23－y 29＝1，故选C.[答案] C3．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23B.12C.13D.14[解析] 由题意易知直线AP 的方程为y ＝36(x ＋a )，①直线PF 2的方程为y ＝3(x －c )．② 联立①②得y ＝35(a ＋c )，如图，过P 向x 轴引垂线，垂足为H ，则PH ＝35(a ＋c )．因为∠PF 2H ＝60°，PF 2＝F 1F 2＝2c ，PH ＝35(a ＋c )，所以sin60°＝PHPF 2＝35(a ＋c )2c ＝32，即a ＋c ＝5c ，即a ＝4c ，所以e ＝c a ＝14，故选D.[答案] D4．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c,0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________．[解析] 双曲线的一条渐近线方程为bx －ay ＝0，则F (c,0)到这条渐近线的距离为|bc |b 2＋(－a )2＝32c ，∴b ＝32c ，∴b 2＝34c 2，又b2＝c 2－a 2，∴c 2＝4a 2，∴e ＝ca＝2.[答案] 25．(2018·北京卷)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________；双曲线N 的离心率为________．[解析]解法一：如图是一个正六边形，A ，B ，C ，D 是双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点，F 1，F 2为椭圆M 的两个焦点．∵直线AC 是双曲线N 的一条渐近线，且其方程为y ＝3x ，∴nm＝ 3.设m ＝k ，则n ＝3k ，则双曲线N 的离心率e 2＝k 2＋(3k )2k＝2. 连接F 1C ，在正六边形ABF 2CDF 1中，可得∠F 1CF 2＝90°，∠CF 1F 2＝30°.设椭圆的焦距为2c ，则|CF 2|＝c ，|CF 1|＝3c ，再由椭圆的定义得|CF 1|＋|CF 2|＝2a ，即(3＋1)c ＝2a ，∴椭圆M 的离心率e 1＝ca＝23＋1＝2(3－1)(3＋1)(3－1)＝3－1. 解法二：双曲线N 的离心率同解法一．由题意可得C 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c 2，32c ，代入椭圆M 的方程，并结合a ，b ，c 的关系，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32c 2b 2＝1，a 2－b 2＝c 2，解得ca ＝3－1⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＝3＋1舍去.[答案]3－1 2圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择、填空题的形式考查，常出现在第4～11或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．热点课题15 几何情境下的圆锥曲线问题[感悟体验]1．(2018·福建福州质检)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，|F1F2|＝6，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝3，则E的离心率是( )A．2 3 B. 5 C. 3 D. 2[解析] 如图所示，设PF 1、PF 2分别与△PAF 2的内切圆切于M 、N ，依题意，有|MA |＝|AQ |，|NP |＝|MP |，|NF 2|＝|QF 2|，|AF 1|＝|AF 2|＝|QA |＋|QF 2|，2a ＝|PF 1|－|PF 2|＝(|AF 1|＋|MA |＋|MP |)－(|NP |＋|NF 2|)＝2|QA |＝23，故a ＝3，从而e ＝c a ＝33＝3，故选C.[答案] C 2.(2018·贵阳监测)已知点P 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)左支上一点，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M 、N 两点(如图)，点N 恰好平分线段PF 2，则双曲线的离心率是________．[解析] 由题意可知，ON 为△PF 1F 2的中位线，∴PF 1∥ON ，∴tan ∠PF 1F 2＝tan ∠NOF 2＝k ON ＝ba，∴⎩⎪⎨⎪⎧|PF 2||PF 1|＝b a ，|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝4c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|＝2a ，|PF 2|＝2b .又|PF 2|－|PF 1|＝2a ，∴2b －2a ＝2a ，b ＝2a ，c ＝a 2＋b 2＝5a ，e ＝ca＝ 5. [答案]5专题跟踪训练(二十五)一、选择题1．(2018·广西三市第一次联合调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上的点A (x 0，2)到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于( )A.12 B ．1 C.32D ．2 [解析] 由题意3x 0＝x 0＋p 2，x 0＝p 4，则p 22＝2，∵p >0，∴p ＝2，故选D.[答案] D2．(2018·深圳一模)过点(3,2)且与椭圆3x 2＋8y 2＝24有相同焦点的椭圆方程为( )A.x 25＋y 210＝1B.x 210＋y 215＝1C.x 215＋y 210＝1D.x 210＋y 25＝1 [解析] 椭圆3x 2＋8y 2＝24的焦点为(±5，0)，可得c ＝5，设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，可得9a 2＋4b2＝1，又a 2－b 2＝5，得b 2＝10，a 2＝15，所以所求的椭圆方程为x 215＋y 210＝1，故选C.[答案] C3．(2018·福州模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右顶点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，且其离心率e ＝32，则该双曲线的方程为( )A.x 24－y 25＝1B.x 25－y 24＝1C.y 24－x 25＝1 D.y 25－x 24＝1 [解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线的右顶点是(2,0)，所以a ＝2.又双曲线的离心率e ＝32，所以c ＝3，b 2＝c 2－a 2＝5，所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1，故选A.[答案] A4．(2018·合肥二模)若中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线离心率为3，则此双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±xB ．y ＝±22xC ．y ＝±2xD ．y ＝±12x[解析] 根据题意，该双曲线的离心率为3，即e ＝ca＝3，则有c ＝3a ，进而b ＝c 2－a 2＝2a .又由该双曲线的焦点在y 轴上，则其渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.[答案] B5．(2018·郑州一模)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若△OAB的面积为1，则p 的值为( )A ．1 B. 2 C ．2 2 D ．4[解析] 双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线方程是y ＝±2x ，抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程是x ＝－p2，故A ，B 两点的纵坐标分别是y＝±p .又△AOB 的面积为1，∴12·p2·2p ＝1.∵p >0，∴得p ＝2，故选B.[答案] B6．(2018·东北三校联考)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1的直线l 与E 的左支交于P ，Q 两点，若|PF 1|＝2|F 1Q |，且F 2Q ⊥PQ ，则E 的离心率是( )A.52B.72C.153D.173[解析] 设|F 1Q |＝t (t >0)，则|PF 1|＝2t ，由双曲线的定义有，|F 2Q |＝t ＋2a ，|PF 2|＝2t ＋2a ，又F 2Q ⊥PQ ，所以△F 1F 2Q ，△PQF 2都为直角三角形．由勾股定理有⎩⎪⎨⎪⎧|F 1Q |2＋|QF 2|2＝|F 1F 2|2，|PQ |2＋|QF 2|2＝|PF 2|2，即⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋(t ＋2a )2＝4c 2，(3t )2＋(t ＋2a )2＝(2t ＋2a )2，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2a 3，c ＝173a .故离心率e ＝c a ＝173，故选D. [答案] D7．(2018·长沙一模)A 是抛物线y 2＝2px (p >0)上一点，F 是抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF |＝4时，∠OFA ＝120°，则抛物线的准线方程是( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－2D ．y ＝－2[解析] 过A 向准线作垂线，设垂足为B ，准线与x 轴的交点为D .因为∠OFA ＝120°，所以△ABF 为等边三角形，∠DBF ＝30°，从而p ＝|DF |＝2，因此抛物线的准线方程为x ＝－1，故选A.[答案] A8．(2018·陕西西安三模)已知圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0与双曲线x2a2－y 2b 2＝1的渐近线相切，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B ．2 3 C ．2 2 D.233[解析] 将圆的一般方程x 2＋y 2－4x ＋3＝0化为标准方程(x －2)2＋y 2＝1.由圆心(2,0)到直线bax －y ＝0的距离为1，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪2b a 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1，解得⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝13，所以双曲线的离心率为e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝233，故选D.[答案] D9．(2018·宁夏银川一中二模)已知直线y ＝233x 和椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点M ，N ，若M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率为( )A.22B.32C.33D.23[解析] 由题意可知，M ，N 在x 轴上的射影恰好为椭圆的两个焦点，则M 点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，则b 2a ＝233c ，则3b 2＝23ac ，即3c 2＋23ac －3a 2＝0.上式两边同除以a 2，整理得3e 2＋23e －3＝0，解得e ＝－3或e ＝33.由0<e <1，得e ＝33，故选C.[答案] C10．(2018·杭州第一次质检)设双曲线x 24－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线l 交双曲线左支于A ，B 两点，则|BF 2|＋|AF 2|的最小值为( )A.192B ．11C ．12D ．16 [解析] 由双曲线定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝4，|BF 2|－|BF 1|＝2a ＝4，两式相加可得|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8，由于AB 为经过双曲线的左焦点与左支相交的弦，而|AB |min ＝2b 2a＝3，故|AF 2|＋|BF 2|＝|AB |＋8≥3＋8＝11，故选B.[答案] B11．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3 D ．4 [解析]由双曲线C ：x 23－y 2＝1可知其渐近线方程为y ＝±33x ，∴∠MOx＝30°，∴∠MON ＝60°，不妨设∠OMN ＝90°，则易知焦点F 到渐近线的距离为b ，即|MF |＝b ＝1，又知|OF |＝c ＝2，∴|OM |＝3，则在Rt △OMN 中，|MN |＝|OM |·tan∠MON ＝3，故选B.[答案] B12．(2018·济宁模拟)如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，5＋14B.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5＋14，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，5－12D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5－12，1 [解析] 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2→，F 2B 1→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )<0，得b 2<ac ，即a 2－c 2<ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1>0，即e 2＋e －1>0，e >5－12或e <－5－12，又0<e <1，∴5－12<e <1，故选D. [答案] D 二、填空题13．(2018·成都摸底测试)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a >0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．[解析] 易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y22＝1的焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e＝c a ＝22＝ 2. [答案]214．(2018·湖北八校联考)如图所示，已知椭圆C 的中心为原点O ，F (－5,0)为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足|OP |＝|OF |且|PF |＝6，则椭圆C 的方程为________．[解析] 由题意可得c ＝5，设右焦点为F ′，连接PF ′，由|OP |＝|OF |＝|OF ′|知，∠PFF ′＝∠FPO ，∠OF ′P ＝∠OPF ′，∴∠PFF ′＋∠OF ′P ＝∠FPO ＋∠OPF ′，∴∠FPO ＋∠OPF ′＝90°，即PF ⊥PF ′.在Rt △PFF ′中，由勾股定理，得|PF ′|＝|FF ′|2－|PF |2＝102－62＝8，由椭圆的定义，得|PF |＋|PF ′|＝2a ＝6＋8＝14，从而a ＝7，a 2＝49，于是b 2＝a 2－c 2＝49－52＝24，∴椭圆C 的方程为x 249＋y 224＝1.[答案]x 249＋y 224＝1 15．(2018·西安四校联考)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，过F 1的直线分别交双曲线的两条渐近线于P 、Q 两点，若P 恰为线段F 1Q 的中点，且QF 1⊥QF 2，则此双曲线的渐近线方程为____________．[解析] 根据题意，P 是线段F 1Q 的中点，QF 1⊥QF 2，且O 是线段F 1F 2的中点，故OP ⊥F 1Q ，而两条渐近线关于y 轴对称，故∠POF 1＝∠QOF 2，又∠POF 1＝∠POQ ，所以∠QOF 2＝60°，渐近线的斜率为±3，故渐近线方程为y ＝±3x .[答案] y ＝±3x 16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________．[解析] 由已知条件易得B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32a ，b 2，F (c,0)，∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋32a ，－b 2，CF →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫c －32a ，－b 2，由∠BFC ＝90°，可得BF →·CF →＝0，所以⎝⎛⎭⎪⎪⎫c －32a ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫c ＋32a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 22＝0，c 2－34a 2＋14b 2＝0，即4c 2－3a 2＋(a 2－c 2)＝0，亦即3c 2＝2a 2，所以c 2a 2＝23，则e ＝c a ＝63.[答案] 63。

(完整word版)圆锥曲线专题

圆锥曲线的综合问题直线和圆锥曲线问题解法的一般规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．【一】．直线与圆锥曲线的位置关系(1）从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点．（2）从代数角度看,可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1。

设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0,圆锥曲线方程f (x ，y )＝0.由Ax+0(,)0{By c f x y +==,消元。

如消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0,当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时,直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac 。

a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点;b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点；c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点．2。

“点差法”的常见题型求中点弦方程、求（过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性,即要考虑判别式Δ〉0是否成立．3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题（1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1（x 1，y 1），P 2(x 2，y 2)，则所得弦长｜P 1P 2｜＝或|P 1P 2｜＝ .(2）当斜率k 不存在时,可求出交点坐标，直接运算（利用轴上两点间距离公式)．1＋k 2|x 1－x 2|1＋1k 2|y 1－y 2|4．圆锥曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆错误!＋错误!＝1中，以P(x0，y0）为中点的弦所在直线的斜率k＝－错误!;在双曲线错误!－错误!＝1中，以P（x0,y0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝错误!；在抛物线y2＝2px (p〉0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝错误!.题型一圆锥曲线中的范围、最值问题【例1】已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设错误!＝λ错误!.（1）若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；（2)若λ∈错误!，求｜PQ|的最大值．[思维启迪］（1)可利用向量共线证明直线MQ过F；(2)建立|PQ|和λ的关系,然后求最值．解析：（1)证明设P(x1，y1),Q（x2,y2），M（x1,－y1）．∵错误!＝λ错误!，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，∴y错误!＝λ2y错误!，y错误!＝4x1,y错误!＝4x2，x1＝λ2x2，∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1），λx2（λ－1)＝λ－1，∵λ≠1，∴x2＝错误!，x1＝λ,又F(1，0），∴错误!＝（1－x1，y1）＝(1－λ，λy2）＝λ错误!＝λ错误!，∴直线MQ经过抛物线C的焦点F。

2020学年度普通高等学校招生全国统一考试知识汇编(圆锥曲线方程)新课标人教版

2020年普通高等学校招生全国统一考试知识汇编圆锥曲线方程一、选择题：1. (2020浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( B )(A)18 (B)41 (C) 21(D)1 2．（ 2020年浙江卷）若双曲线221x y m -=上的点到左准线的距离是到左焦点距离的13，则m = ( C)(A)21 (B)23 (C)81 (D)893. （2020天津卷）设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ C ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±4．（2020天津卷）从集合{1,2,3…，11}中任选两个元素作为椭圆方程12222=+ny m x 中的m和n,则能组成落在矩形区域B={(x ,y)| |x |<11且|y|<9}内的椭圆个数为（B ）A ．43B ． 72C ． 86D ． 905．（2020年天津卷）如果双曲线的两个焦点分别为)0,3(1-F 、)0,3(2F ，一条渐近线方程为x y 2=，那么它的两条准线间的距离是（ C ）A ．36B ．4C ．2D ．16. （2020上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ B ）A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在 7．（2020年上海春卷）抛物线x y 42=的焦点坐标为( B )（A ）)1,0(. （B ）)0,1(. （C ）)2,0(. （D ）)0,2(.8．（2020年上海春卷）若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( A ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.9. （2020山东卷）设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ B ）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 10．(2020年山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为 (B)(A)2 (B)22 (C) 21(D)42 11．(2020年山东卷）某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是 (C) (A)80 (B) 85 (C) 90 (D)9512 (2020全国卷Ⅰ)已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（A）（A ）23（B ）23 （C ）26 （D ）332A ．)22,22(-B ．)2,2(-C ．)42,42(D ．)81,81(-13．（2020年全国卷I ）双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =A ．14-B ．4-C ．4D ．1414．（2020年全国卷I ）抛物线2y x =-上的点到直线4380x y +-=距离的最小值是A ．43B ．75C ．85D ．315．（2020年全国卷I ）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的5根细木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为A．2B．2C．2D ．220cm16.( 2020全国卷II) 双曲线22149x y -=的渐近线方程是( C)(A) 23y x =± (B) 49y x =± (C) 32y x =± (D) 94y x =±17. (2020全国卷II)已知双曲线22163x y-=的焦点为1F 、2F ，点M 在双曲线上且1MF x ⊥轴，则1F 到直线2F M 的距离为(C )(A)(B) (C) 65 (D) 5618. (2020全国卷III)设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（D ）（A）2 （B）12（C）2 （D1- 19．（2020年全国卷II ）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 23＋y 2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 (C )（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）1220．（2020年全国卷II ）已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线方程为y ＝43x ，则双曲线的离心率为 (A )（A ）53 (B )43 (C )54 (D )3221. （2020辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是（ B ）A ．23+6B ．21C ．21218+D ．2122．（2020年辽宁卷）曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同 (D)准线相同【解析】由221(6)106x y m m m+=<--知该方程表示焦点在x 轴上的椭圆，由221(59)59x y m m m+=<<--知该方程表示焦点在y 轴上的双曲线，故只能选择答案A 。

【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程1

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程1撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.进一步巩固椭圆的简单性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识.知识点一点与椭圆的位置关系思考1 判断点P(1,2)与椭圆＋y2＝1的位置关系.思考2 类比点与圆的位置关系的判定，你能给出点P(x0，y0)与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系的判定吗？梳理设P(x0，y0)，椭圆＋＝1(a>b>0)，则点P与椭圆的位置关系如下表所示：知识点二直线与椭圆的位置关系思考1 直线与椭圆有几种位置关系？思考2 如何判断y＝kx＋m与椭圆＋＝1(a>b>0)的位置关系？梳理(1)判断直线和椭圆位置关系的方法将直线的方程和椭圆的方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程.若Δ>0，则直线和椭圆______；若Δ＝0，则直线和椭圆______；若Δ<0，则直线和椭圆______.(2)根与系数的关系及弦长公式设直线l：y＝kx＋m(k≠0，m为常数)与椭圆＋＝1(a>b>0)相交，两个交点为A(x1，y1)、B(x2，y2)，则线段AB叫作直线l截椭圆所得的弦，线段AB的长度叫作______.下面我们推导弦长公式：由两点间的距离公式，得|AB|＝，将y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m代入上式，得|AB|＝＝＝|x1－x2|，而|x1－x2|＝，所以|AB|＝·，其中x1＋x2与x1x2均可由根与系数的关系得到.(3)直线和椭圆相交是三种位置关系中最重要的，判断直线和椭圆相交可利用Δ>0.例如，直线l：y＝k(x－2)＋1和椭圆＋＝1.无论k取何值，直线l恒过定点(2,1)，而定点(2,1)在椭圆内部，所以直线l必与椭圆相交.类型一点、直线与椭圆位置关系的判断命题角度1 点与椭圆位置关系的判断例1 已知点P(k,1)，椭圆＋＝1，点在椭圆外，则实数k的取值范围为____________.引申探究若将本例中P点坐标改为“(1，k)”呢？反思与感悟处理点与椭圆位置关系问题时，紧扣判定条件，然后转化为解不等式等问题，注意求解过程与结果的准确性.跟踪训练1 已知点(3,2)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，则( )A.点(－3，－2)不在椭圆上B.点(3，－2)不在椭圆上C.点(－3,2)在椭圆上D.以上都不正确命题角度2 直线与椭圆位置关系的判断例2 (1)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)在平面直角坐标系xOy中，经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.求k的取值范围.反思与感悟直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法)联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程(1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点.(2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点.(3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点.跟踪训练2 (1)已知直线l过点(3，－1)，且椭圆C：＋＝1，则直线l与椭圆C的公共点的个数为( )A.1B.1或2C.2D.0(2)若直线y＝kx＋2与椭圆＋＝1相切，则斜率k的值是( )A. B.－63C.±D.±33类型二弦长及中点问题例3 已知椭圆＋＝1的弦AB的中点M的坐标为(2,1)，求直线AB的方程.引申探究在本例中求弦AB的长.反思与感悟直线与椭圆的交点问题，一般考虑直线方程与椭圆方程组成的方程组的解的问题，即判断消元后所得的一元二次方程的根的判别式Δ.解决弦长问题，一般应用弦长公式.而用弦长公式时，若能结合根与系数的关系“设而不求”，可大大简化运算过程.跟踪训练3 已知椭圆＋＝1和点P(4,2)，直线l经过点P且与椭圆交于A、B两点.(1)当直线l的斜率为时，求线段AB的长度；(2)当点P恰好为线段AB的中点时，求l的方程.类型三椭圆中的最值(或范围)问题例4 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.反思与感悟求最值问题的基本策略(1)求解形如|PA|＋|PB|的最值问题，一般通过椭圆的定义把折线转化为直线，当且仅当三点共线时|PA|＋|PB|取得最值.(2)求解形如|PA|的最值问题，一般通过二次函数的最值求解，此时一定要注意自变量的取值范围.(3)求解形如ax＋by的最值问题，一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决.(4)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围.跟踪训练4 已知动点P(x，y)在椭圆＋＝1上，若点A的坐标为(3,0)，||＝1，且·＝0，求||的最小值.1.若点A(a,1)在椭圆＋＝1的内部，则a的取值范围是( )A.－<a<B.a<－或a> 2C.－2<a<2D.－1<a<12.已知直线l：x＋y－3＝0，椭圆＋y2＝1，则直线与椭圆的位置关系是( )A.相交B.相切C.相离D.相切或相交3.已知以F1(－2,0)，F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x＋y＋4＝0有且仅有一个公共点，则椭圆的长轴长为______________.4.若直线y＝kx＋b与椭圆＋＝1恒有两个公共点，则b的取值范围为________.5.直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M，N两点，且|MN|＝，求直线l的方程.1.直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长.(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式.设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则有|AB|＝＝＝·＝1k2＝·(k为直线斜率).(3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况.2.解决椭圆中点弦问题的三种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决.(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)共线法：利用中点坐标公式，如果弦的中点为P(x0，y0)，设其一交点为A(x ，y)，则另一交点为B(2x0－x,2y0－y)，则⎩⎪⎨⎪⎧x2a2＋y2b2＝1，a2＋b2＝1，两式作差即得所求直线方程.特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错.提醒：完成作业第三章 §1 1.2(二)答案精析问题导学知识点一思考1 当x＝1时，得y2＝，故y＝±，而2>，故点在椭圆外.思考2 当P在椭圆外时，＋>1；当P在椭圆上时，＋＝1；当P在椭圆内时，＋<1.知识点二思考1 有三种位置关系，分别有相交、相切、相离.思考2 联立消去y得关于x的一元二次方程梳理(1)相交相切相离(2)弦长题型探究例1 (－∞，－)∪(，＋∞)引申探究(－∞，－)∪(，＋∞)跟踪训练1 C例2 (1)A(2)解由已知条件知直线l的方程为y＝kx＋，代入椭圆方程得＋(kx ＋)2＝1.整理得x2＋2kx＋1＝0.直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4＝4k2－2>0，解得k<－或k>.即k的取值范围为∪.跟踪训练2 (1)C (2)C例3 解方法一根与系数的关系、中点坐标公式法由椭圆的对称性，知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y－1＝k(x－2).将其代入椭圆方程并整理，得(4k2＋1)x2－8(2k2－k)x＋4(2k－1)2－16＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根，于是x1＋x2＝.又M为线段AB的中点，∴＝＝2，解得k＝－.故所求直线的方程为x＋2y－4＝0.方法二点差法设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x1≠x2.∵M(2,1)为线段AB的中点，∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2.又A，B两点在椭圆上，则x＋4y＝16，x＋4y＝16，两式相减，得(x－x)＋4(y－y)＝0，于是(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0.∴＝－＝－＝－，即kAB ＝－.故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 方法三对称点法(或共线法) 设所求直线与椭圆的一个交点为A(x ，y)，由于点M(2,1)为线段AB 的中点，则另一个交点为B(4－x,2－y). ∵A，B 两点都在椭圆上，∴⎩⎨⎧x2＋4y2＝16， ①①－②，得x ＋2y －4＝0.即点A 的坐标满足这个方程，根据对称性，点B 的坐标也满足这个方程，而过A ，B 两点的直线只有一条，故所求直线的方程为x ＋2y －4＝0. 引申探究解由上例得直线AB 方程为x ＋2y －4＝0.联立方程组消去y 并整理，得x(x －4)＝0，得x ＝0或x ＝4，得两交点坐标A(0,2)，B(4,0)，故|AB|＝＝2.跟踪训练3 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝(x －4)，即y ＝x.由消去y 可得x2－18＝0，若设A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1＋x2＝0，x1x2＝－18. 于是|AB|＝＝14＝＝×6＝3.所以线段AB 的长度为3.(2)方法一设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k(x －4).联立消去y 得(1＋4k2)x2－(32k2－16k)x ＋(64k2－64k －20)＝0. 若设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，由于AB 的中点恰好为P(4,2)，所以＝＝4，解得k ＝－，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x2136＋y219＝1，x2236＋y229＝1，两式相减得＋＝0，整理得kAB ＝＝－由于P(4,2)是AB 的中点， ∴x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，于是kAB ＝－＝－，于是直线AB 的方程为y －2＝－(x －4)，即x ＋2y －8＝0.例4 解 (1)由得5x2＋2mx ＋m2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m2－20(m2－1)≥0，解得－≤m≤.(2)设直线与椭圆交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由(1)知：5x2＋2mx ＋m2－1＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝(m2－1)，所以|AB|＝＝＝＝ 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m225－45＝ .所以当m ＝0时，|AB|最大，此时直线方程为y ＝x. 跟踪训练4 解由||＝1，A(3,0)，知点M 在以A(3,0)为圆心， 1为半径的圆上运动， ∵·＝0且P 在椭圆上运动，∴PM⊥AM，即PM 为⊙A 的切线，连接PA(如图)，则||＝|PA →|2－|A M →|2＝，∴当||min＝a－c＝5－3＝2时，||min＝.当堂训练1.A2.C3.274.(－2,2)5.解设直线l与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，由消去y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝0.由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，所以(1＋k2)(x1－x2)2＝，所以(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝，即(1＋k2)(－)2＝，化简得k4＋k2－2＝0，所以k2＝1，所以k＝±1.所以所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.。

2019_2020学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程课件新人教A版

[解] 圆 F1：(x＋5)2＋y2＝1，圆心 F1(－5，0)，半径 r1＝1. 圆 F2：(x－5)2＋y2＝42，圆心 F2(5，0)，半径 r2＝4. 设动圆 M 的半径为 R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4， ∴|MF2|－|MF1|＝3<10＝|F1F2|.
∴点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点的双曲线的左支，且 a＝32，c
1．(1)已知定点 F1(－2，0)，F2(2，0)，在平面内满足下列条件的动点 P 的轨迹中为双曲线的是( )
A．|PF1|－|PF2|＝±3 B．|PF1|－|PF2|＝±4 C．|PF1|－|PF2|＝±5 D．|PF1|2－|PF2|2＝±4 A [|F1F2|＝4，根据双曲线的定义知选 A.]
由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6， |F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°， ∴102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|， ∴|PF1|·|PF2|＝64， ∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|·sin ∠F1PF2 ＝12×64× 23＝16 3.
(2)法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20.① ∵双曲线经过点(3 2，2)，∴1a82－b42＝1.② 由①②得 a2＝12，b2＝8，∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.
法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)，∴161－8 λ－4＋4 λ＝1，解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1.

2019高考数学考点突破——圆锥曲线：曲线与方程+Word版含解析

顶点 A 的轨迹方程为 ________.
[ 答案 ] (1) A (2) (2，2)
xy [ 解析 ] 设 A(x，y)，由题意可知 D 2， 2 .
2
2
x 又∵ |CD|＝3，∴ 2－5
y ＋2
＝9，即 (x－10)2＋y2＝ 36，
由于 A，B，C 三点不共线，∴点 A 不能落在 x 轴上，即 y≠0， ∴点 A 的轨迹方程为 (x－10)2＋ y2＝36(y≠ 0). 【类题通法】直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，
要注意翻译的等价性．通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性．
【对点训练】在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(－1，1)关于原点 O 对称， P 是动点
曲线与方程
【考点梳理】 1．曲线与方程的定义一般地，在直角坐标系中，如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x， y)＝0
的实数解建立如下的对应关系：
那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线 . 2．求动点的轨迹方程的基本步骤
【考点突破】
考点一、直接法求轨迹方程
【例 1】已知△ ABC 的顶点 B(0，0)，C(5，0)，AB 边上的中线长 |CD|＝3，则
[ 解析 ] 设 M(x0,0)，P(0，y0)，N(x，y)， ∵―PM→⊥―P→F ，―P→M ＝(x0，－ y0)，―P→F ＝ (1，－ y0)， ∴(x0，－ y0) ·(1，－ y0)＝ 0， ∴x0＋ y20＝0. 由―M→N ＝2―M→P ，得 (x－ x0，y)＝2(－x0，y0)，

【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程3

教学资料参考范本【2019-2020】高中数学第三章圆锥曲线与方程3撰写人：__________________部门：__________________时间：__________________学习目标 1.了解双曲线的简单性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等).2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程.3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系.4.能用双曲线的简单性质解决一些简单问题.知识点一双曲线的范围、对称性思考观察下面的图形：(1)从图形上可以看出双曲线是向两端无限延伸的，那么是否与椭圆一样有范围限制？(2)是不是轴对称图形？对称轴是哪条直线？是不是中心对称图形？对称中心是哪个点？梳理(1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈______________，y∈______.双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈____________，y∈________________.(2)双曲线的对称轴为__________，对称中心为______.知识点二双曲线的顶点思考 (1)双曲线的顶点就是双曲线与坐标轴的交点，你认为对吗？为什么？(2)双曲线是否只有两个顶点？双曲线的顶点和焦点能在虚轴上吗？梳理双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为________，______；双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为______，______.知识点三渐近线与离心率思考1 能否和椭圆一样，用a，b表示双曲线的离心率？思考2 离心率对双曲线开口大小有影响吗？满足什么对应关系？梳理(1)渐近线：直线__________叫作双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线.(2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比______，叫作双曲线的离心率，用e表示(e>1).(3)双曲线的性质见下表：类型一已知双曲线的标准方程研究其简单性质例1 求双曲线nx2－my2＝mn(m>0，n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.引申探究将本例改为“求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程”，请给出解答.反思与感悟由双曲线的方程研究性质的解题步骤(1)把双曲线方程化为标准形式是解决本题的关键.(2)由标准方程确定焦点位置，确定a，b的值.(3)由c2＝a2＋b2求出c的值，从而写出双曲线的性质.跟踪训练1 求双曲线9y2－16x2＝144的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.类型二由双曲线的性质确定标准方程例2 求下列双曲线的标准方程.(1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)；(2)过点(3,9)，离心率e＝.反思与感悟(1)根据双曲线的某些性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程(组)，但要注意焦点的位置，从而正确选择方程的形式.(2)巧设双曲线方程的六种方法与技巧①焦点在x轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).②焦点在y轴上的双曲线的标准方程可设为－＝1(a>0，b>0).③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(λ≠0，－b2<λ<a2).④与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0).⑤渐近线为y＝kx的双曲线方程可设为k2x2－y2＝λ(λ≠0).⑥渐近线为ax±by＝0的双曲线方程可设为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0).跟踪训练2 (1)求与双曲线－＝1有共同的渐近线，且经过点M(3，－2)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的标准方程.类型三共轭双曲线与等轴双曲线命题角度1 共轭双曲线例3 已知双曲线E与双曲线－＝1共渐近线，且过点A(2，－3).若双曲线M以双曲线E的实轴为虚轴，虚轴为实轴，试求双曲线M的标准方程.反思与感悟双曲线－＝1(a>0，b>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)互为共轭双曲线，两者：(1)有共同的渐近线.(2)四个焦点共圆.(3)它们的离心率不同，设它们的离心率分别为e1，e2，则＋＝1.(4)焦点所在坐标轴不同，一个在x轴上，另一个在y轴上.跟踪训练3 与双曲线－＝1有共同渐近线，且过点(－3,2)的双曲线的共轭双曲线的方程为________.命题角度2 等轴双曲线例4 已知等轴双曲线的焦点在x轴上，且焦点到渐近线的距离是，求此双曲线的方程.反思与感悟(1)实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线.(2)等轴双曲线的性质：①渐近线方程为y＝±x；②渐近线互相垂直；③离心率e＝.(3)等轴双曲线的特征是a＝b，等轴双曲线的方程可以设为x2－y2＝λ(λ≠0).当λ>0时，双曲线的焦点在x轴上；当λ<0时，双曲线的焦点在y轴上.跟踪训练4 若双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率e为( )A. B.2 C. D. 5类型四直线与双曲线的位置关系命题角度1 直线与双曲线位置关系的判定与交点问题例5 已知直线y ＝kx －1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k 的取值范围； (2)若直线与双曲线有两个公共点，求k 的取值范围； (3)若直线与双曲线只有一个公共点，求k 的值.反思与感悟研究直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线方程与双曲线方程所组成的方程组⎩⎨⎧y＝kx＋m， ①x2a2－y2b2＝1 ②的解的个数进行判断.①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx －a2m2－a2b2＝0.当b2－a2k2＝0，即k ＝±时，直线与双曲线渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2).Δ>0⇔直线与双曲线有两个交点，称直线与双曲线相交； Δ＝0⇔直线与双曲线有一个交点，称直线与双曲线相切； Δ<0⇔直线与双曲线没有交点，称直线与双曲线相离.通过几何图形也可判定直线与双曲线的位置关系，一般通过直线与渐近线的位置关系进行判断(图中α为渐近线倾斜角，θ为直线l 倾斜角).如图①，θ＝α时，直线l 只与双曲线一支相交，交点只有一个；如图②，θ>α时，直线l只与双曲线一支相交，交点有两个；如图③，θ<α时，直线l与双曲线两支都相交，交点有两个.跟踪训练5 设双曲线C：－y2＝1(a>0)与直线l：x＋y＝1相交于A，B两个不同的点.(1)求双曲线的离心率e的取值范围；(2)设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.命题角度2 直线与双曲线的相交弦及弦长问题例6 (1)求直线y＝x＋1被双曲线x2－＝1截得的弦长；(2)求过定点(0,1)的直线被双曲线x2－＝1截得的弦中点的轨迹方程.反思与感悟(1)利用弦长公式|AB|＝|xA－xB|＝·，求解的关键是正确应用根与系数的关系，整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.(2)涉及弦长的中点问题，常用“点差法”，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系.其具体解题思路如下：设直线与双曲线相交所得弦AB端点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k，则|AB|＝|x1－x2|＝·.涉及弦长的问题，常常设而不求.中点弦问题：设A(x1，y1)，B(x2，y2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的两点，且x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为线段AB的中点，则两式相减可得·＝，即kAB·＝.跟踪训练6 已知双曲线的方程为2x2－y2＝2.(1)过定点P(2,1)作直线交双曲线于P1，P2两点，当点P(2,1)是弦P1P2的中点时，求此直线方程；(2)过定点Q(1,1)能否作直线l，使l与此双曲线相交于Q1，Q2两点，且Q是弦Q1Q2的中点？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.1.设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )A.－4B.－3C.2D.12.已知双曲线－＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于( )A. B. C. D.433.等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝14.若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________.5.设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为________.双曲线的综合问题常涉及其离心率、渐近线、范围等，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力.(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立关系求解.(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关关系求解.提醒：完成作业第三章§3 3.2答案精析问题导学知识点一思考(1)有限制，因为≥1，即x2≥a2，所以x≥a或x≤－a.(2)关于x轴、y轴和原点都是对称的，x轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心，又叫作双曲线的中心.梳理(1)(－∞，－a]∪[a，＋∞) R R (－∞，－a]∪[a，＋∞) (2)x轴、y轴原点知识点二思考 (1)不对，双曲线的顶点是双曲线与其对称轴的交点，只有在标准形式下，坐标轴才是双曲线的对称轴，此时双曲线与坐标轴的交点是双曲线的顶点.(2)是，只有两个顶点.双曲线的顶点和焦点都不能在虚轴上，只能在实轴上.梳理(－a,0) (a,0) (0，－a)(0，a)知识点三思考1 能，离心率e＝＝＝ .思考2 有影响，因为e＝＝＝，故当的值越大，渐近线y＝x的斜率越大，双曲线的开口越大，e也越大，所以e反映了双曲线开口的大小，即双曲线的离心率越大，它的开口就越大.梳理(1)y＝±x (2)ca(3)y＝±x y＝±x题型探究例1 解把方程nx2－my2＝mn(m>0，n>0)化为标准方程为－＝1(m>0，n>0)，由此可知，实半轴长a＝，虚半轴长b＝，c＝，焦点坐标为(，0)，(－，0)，离心率e＝＝＝，顶点坐标为(－，0)，(，0)，所以渐近线方程为y＝± x，即y＝±x.引申探究解将9y2－4x2＝－36变形为－＝1，即－＝1，所以a＝3，b＝2，c＝，因此顶点坐标为(－3,0)，(3,0)，焦点坐标为(－，0)，(，0)，实轴长是2a＝6，虚轴长是2b＝4，离心率e＝＝，渐近线方程为y＝±x＝±x.跟踪训练1 解把方程9y2－16x2＝144化为标准方程－＝1.由此可知，实半轴长a＝4，虚半轴长b＝3；c＝＝＝5，焦点坐标是(0，－5)，(0,5)；离心率e＝＝；渐近线方程为y＝±x.例2 解(1)方法一椭圆＋＝1的焦点为F1(0，－3)，F2(0,3)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，则有⎩⎨⎧10a2－4b2＝1，a2＋b2＝9，解得⎩⎨⎧a2＝5，b2＝4.故所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二由椭圆方程＋＝1知焦点在y 轴上，设所求双曲线的标准方程为－＝1(16<λ<25). ∵双曲线过点(－2，)， ∴－＝1，解得λ＝20或λ＝7(舍去)，故所求双曲线的标准方程为－＝1. (2)由e2＝，得＝，设a2＝9k(k>0)，则c2＝10k ，b2＝c2－a2＝k. 于是，设所求双曲线方程为x29k－＝1， ①或－＝1，②把(3,9)代入①，得k ＝－161与k>0矛盾，无解；把(3,9)代入②，得k ＝9，故所求双曲线的标准方程为－＝1.跟踪训练2 解 (1)设所求双曲线的方程为－＝λ(λ≠0). ∵点M(3，－2)在双曲线上， ∴－＝λ，即λ＝－2. ∴双曲线的标准方程为－＝1.(2)∵e＝，∴＝， ∴＝， ∴a2＝3b2.①又∵直线AB 的方程为bx －ay －ab ＝0， ∴d ＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2).②解①②组成的方程组，得a2＝3，b2＝1. ∴双曲线的标准方程为－y2＝1.例3 解由题意，设双曲线E 的方程为x216－＝t(t ≠0). ∵点A(2，－3)在双曲线上， ∴－＝t ， ∴t ＝－，∴双曲线E 的标准方程为－＝1.又双曲线M 与双曲线E 互为共轭双曲线，故双曲线M 的标准方程为－＝1. 跟踪训练3 －＝1例4 解设双曲线方程为x2－y2＝a2(a>0)，则它的渐近线方程为y ＝±x ，焦点坐标为(a,0)，(－a,0)， ∴＝，∴a ＝，∴双曲线的方程为x2－y2＝2. 跟踪训练4 A例5 解由⎩⎨⎧y＝kx－1，x2－y2＝4，得(1－k2)x2＋2kx －5＝0.①(1)直线与双曲线没有公共点，则①式方程无解.∴⎩⎨⎧1－k2≠0，Δ＝4k2＋20(1－k2)<0，解得k>或k<－，则k 的取值范围为k>或k<－.(2)直线与双曲线有两个公共点，则①式方程有两个不相等的根.∴⎩⎨⎧1－k2≠0，Δ＝4k2＋20(1－k2)>0，解得－<k<且k ≠±1.(3)直线与双曲线只有一个公共点，则①式方程只有一解. 当1－k2＝0，即k ＝±1时，①式方程只有一解；当1－k2≠0时，应满足Δ＝4k2＋20(1－k2)＝0，解得k ＝±，故k 的值为±1或±. 跟踪训练5 解(1)由⎩⎨⎧x2a2－y2＝1，x＋y＝1，得(1－a2)x2＋2a2x －2a2＝0，①由题意得得0<a<且a ≠1. 又双曲线的离心率e ＝＝，∴e>且e ≠.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知P(0,1)， ∵＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，故x1＝x2.又x1，x2是方程①的两个根， ∴x2＝－，x ＝－. 又a>0，∴a ＝. 例6 解(1)由⎩⎨⎧x2－y24＝1，y＝x＋1，得4x2－(x ＋1)2－4＝0. 化简得3x2－2x －5＝0.设此方程的解为x1，x2，则有x1＋x2 ＝，x1x2＝－.故所截得的弦长d ＝·|x1－x2| ＝·(x1＋x2)2－4x1x2 ＝·＝.(2)方法一 ∵该直线的斜率不存在时，直线与双曲线无交点，故可设直线的方程为y ＝kx ＋1，它被双曲线截得的弦AB 对应的中点为P(x ，y).由得(4－k2)x2－2kx －5＝0.设此方程的解为x1，x2，则4－k2≠0， Δ＝4k2＋20(4－k2)>0，∴16k2<80，即|k|<，k ≠±2，且x1＋x2＝，x1x2＝－， ∴x ＝(x1＋x2)＝，y ＝(y1＋y2)＝(x1＋x2)＋1＝. 由消去k ，得4x2－y2＋y ＝0(y<－4或y ≥1).方法二设弦的两个端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦的中点为P(x ，y)，则⎩⎨⎧4x21－y 21＝4， ①4x22－y 2＝4. ②①－②，得4(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)， ∴＝，即＝＝(k 为直线AB 的斜率)，整理得4x2－y2＋y ＝0(y<－4或y ≥1).跟踪训练6 解 (1)若直线斜率不存在，即P1P2垂直于x 轴，则由双曲线的对称性知弦P1P2的中点在x 轴上，不可能是点P(2,1)，所以直线l 斜率存在.故可设直线l 的方程为y －1＝k(x －2)，即y ＝kx －2k ＋1. 由消去y 并化简，得(2－k2)x2＋2k(2k －1)x －4k2＋4k －3＝0. 设直线l 与双曲线的交点P1(x1，y1)，P2(x2，y2).当2－k2≠0，即k2≠2时，有x1＋x2＝－.又点P(2,1)是弦P1P2的中点， ∴－＝4，解得k ＝4.当k ＝4时，Δ＝4k2(2k －1)2－4(2－k2)(－4k2＋4k －3)＝56×5>0. 当k2＝2，即k ＝±时，此时与渐近线的斜率相等，即k ＝±的直线l 与双曲线不可能有两个交点. 综上可知，所求直线的方程为4x －y －7＝0.(2)假设这样的直线l 存在，设Q1(x1，y1)，Q2(x2，y2)，则有＝1，＝1，∴x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，且⎩⎨⎧2x21－y 21＝2，2x22－y 2＝2，两式相减，得(2x －2x)－(y －y)＝0，∴2(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0， ∴2(x1－x2)－(y1－y2)＝0. 若直线Q1Q2垂直于x 轴，则线段Q1Q2中点不可能是点Q(1,1)， ∴直线Q1Q2斜率存在，于是k ＝＝2，∴直线Q1Q2的方程为y －1＝2(x －1)，即y ＝2x －1. 由得2x2－(2x －1)2＝2，即2x2－4x ＋3＝0，∴Δ＝16－24<0.∴直线l 与双曲线没有公共点，因此这样的直线不存在. 当堂训练1.A2.C3.D4.(±，0)5.y＝±x。

2019_2020学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程2.1.1曲线与方程讲义新人教A版选修2_1

2．1.1 曲线与方程曲线的方程与方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线C (看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f (x ，y )＝0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是□01这个方程的解； (2)以□02这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．那么，这个方程叫做□03曲线的方程，这条曲线叫做□04方程的曲线．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若以方程f (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上，则方程f (x ，y )＝0即为曲线C 的方程．( )(2)若曲线C 上的点满足方程F (x ，y )＝0，则坐标不满足方程F (x ，y )＝0的点不在曲线C 上．( )(3)方程x ＋y －2＝0是以A (2,0)，B (0,2)为端点的线段的方程．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)写出曲线xy ＋4x －3y ＝0与坐标轴的交点的坐标________． (2)直线C 1：x ＋y ＝0与直线C 2：x －y ＋2＝0的交点坐标为________．(3)(教材改编P 37T 2)点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m3，m 在方程x 2＋(y ＋1)2＝5表示的曲线上，则m ＝________.(4)x 2＋y 2＝1(x >0)表示的曲线是________．答案 (1)(0,0) (2)(－1,1) (3)－3或65 (4)以(0,0)为圆心，1为半径的圆在y 轴右侧的部分探究1 曲线与方程的概念例1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点A (2,0)平行于y 轴的直线与方程|x |＝2之间的关系； (2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy ＝5之间的关系； (3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程x ＋y ＝0之间的关系．[解] (1)过点A(2,0)平行于y轴的直线上的点的坐标都是方程|x|＝2的解；但以方程|x|＝2的解为坐标的点不一定都在过点A(2,0)且平行于y轴的直线上．因此，|x|＝2不是过点A(2,0)平行于y轴的直线的方程．(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点的坐标不一定满足方程xy＝5；但以方程xy＝5的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于5.因此，与两坐标轴的距离的积等于5的点的轨迹方程不是xy＝5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足x＋y＝0；反之，以方程x＋y＝0的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上．因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是x＋y＝0.拓展提升判断方程是否是曲线的方程的两个关键点一是检验点的坐标是否适合方程；二是检验以方程的解为坐标的点是否在曲线上．【跟踪训练1】设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，则下列命题正确的是( )A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程f(x，y)＝0答案 D解析命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C上”是不正确的，即“坐标满足方程f(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的，“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A，C错误，而B显然错误，选D.探究2 点与曲线的位置关系例2 已知方程x2＋(y－1)2＝10.(1)判断P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若曲线y2＝xy＋2x＋k通过点(a，－a)，a∈R，求k的取值范围．[解] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴P(1，－2)在方程x2＋(y－1)2＝10表示的曲线上，Q(2，3)不在此曲线上．(2)因为曲线y2＝xy＋2x＋k过点(a，－a)，所以a2＝－a2＋2a＋k.所以k ＝2a 2－2a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122－12，所以k ≥－12，所以k 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 拓展提升点与曲线位置关系问题的求解方法判断点与曲线的位置关系要从曲线与方程的定义入手．(1)要判断点是否在方程表示的曲线上，只需检验点的坐标是否满足方程即可； (2)若所给点在已知曲线上，则点的坐标适合已知曲线的方程，将所给点的坐标代入曲线的方程，可求点或方程中的参数．【跟踪训练2】已知0≤α<2π，若点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上，求α.解 ∵点P (cos α，sin α)在曲线(x －2)2＋y 2＝3上， ∴(cos α－2)2＋sin 2α＝3， ∴cos 2α－4cos α＋4＋sin 2α＝3， ∴cos α＝12.又∵0≤α<2π，∴α＝π3或5π3.探究3 由方程研究曲线的类型和性质例3 方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是( ) A ．一条直线和一个圆 B ．一条直线和半个圆 C ．两条射线和一个圆 D ．一条线段和半个圆[解析] 由题意方程(x ＋y －2)x 2＋y 2－9＝0可化为x 2＋y 2－9＝0或x ＋y －2＝0(x 2＋y 2－9≥0)，∴方程(x ＋y －2) x 2＋y 2－9＝0表示的曲线是两条射线和一个圆．故选C. [答案] C 拓展提升判断方程表示曲线的方法判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断．特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程表示的曲线．另外，当方程中含有绝对值时，常采用分类讨论的思想．【跟踪训练3】方程4x 2－y 2＋6x －3y ＝0表示的图形是( ) A ．直线2x －y ＝0 B ．直线2x ＋y ＋3＝0C ．直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0D ．直线2x ＋y ＝0和直线2x －y ＋3＝0 答案 C解析 ∵4x 2－y 2＋6x －3y ＝(2x ＋y )(2x －y )＋3(2x －y )＝(2x －y )(2x ＋y ＋3)＝0， ∴原方程表示直线2x －y ＝0或直线2x ＋y ＋3＝0. 探究4 两曲线的交点问题例4 已知直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－255，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－255，255D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，147 [解析] 直线y ＝m (x ＋3)过定点(－3,0)，曲线y ＝4－x 2即x 2＋y 2＝4(y ≥0)表示半圆，设直线y ＝mx ＋3m 与半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)相切时的倾斜角为α，sin α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝53，所以切线斜率m ＝tan α＝2353＝255.由图可知，为使直线y ＝mx ＋3m 和曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，255.[答案] A[条件探究] 如果直线方程改为“y ＝x ＋3m ”，其他条件不变，应该怎样解答？解直线y ＝x ＋3m 与直线y ＝x 平行，且在y 轴上的截距为3m ，当3m ＝2，即m ＝23时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2恰有两个不同的交点，当3m ＝22，即m ＝223时，直线y ＝x ＋3m 与半圆y ＝4－x 2相切．由图可知，为使直线y ＝x ＋3m 与曲线y ＝4－x 2有两个不同的交点，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，223. 拓展提升求曲线交点的三个步骤(1)联立：联立方程组把两条曲线的方程联立，构成方程组； (2)求解：求解联立的方程组；(3)得交点：根据方程组的解确定交点，解的个数决定两曲线交点的个数．【跟踪训练4】已知直线l ：x ＋y ＝a 及曲线C ：x 2＋y 2－4x －4＝0，则实数a 取何值时分别有一个交点，两个交点，无交点．解联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝a ，x 2＋y 2－4x －4＝0，消去y ，得2x 2－(2a ＋4)x ＋a 2－4＝0，则Δ＝(2a ＋4)2－8(a 2－4)＝－4a 2＋16a ＋48，当Δ＝0，即a 2－4a －12＝0，得a ＝6或a ＝－2，此时有两相等实根；当Δ>0，即a 2－4a －12<0，得－2<a <6，此时有两不相等实根；当Δ<0即a 2－4a －12>0得a <－2或a >6，此时无根．综上所述，当a ＝－2或a ＝6时有一个交点；当－2<a <6时有两个交点；当a <－2或a >6时无交点．1.判断曲线与方程关系的思路曲线与方程建立了对应，即把点和坐标的对应过渡到曲线和方程的对应，因此判断曲线与方程的关系时，需同时判断以方程的解为坐标的点是否都在曲线上，曲线上点的坐标是否都是方程的解.2.点与曲线位置关系问题的求解方法(1)判断点是否在某个方程表示的曲线上，就是检验该点的坐标是不是方程的解，是否适合方程．若适合方程，就说明点在曲线上；若不适合，就说明点不在曲线上.(2)已知点在某曲线上，可将点的坐标代入曲线的方程，从而可研究有关参数的值或范围问题.3.研究两曲线交点问题的方法关于曲线的交点问题，通常表现为两种类型：一是判定两曲线是否存在交点；二是求解交点及和交点有关的问题．在解决这些问题时，除要用到方程(组)的方法及相关知识外，有时还需综合应用各种曲线自身所具有的某些几何性质.1．下列选项中方程与其表示的曲线正确的是( )答案 C解析对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0表示两条相交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.2．已知直线l：x＋y－4＝0及曲线C：(x－3)2＋(y－2)2＝2，则点M(2,2)( )A．在直线l上，但不在曲线C上B．在直线l上，也在曲线C上C．不在直线l上，也不在曲线C上D．不在直线l上，但在曲线C上答案 A解析将点M(2,2)的坐标代入方程验证知M∈l，M∉C.3．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是( )A．两个点B．四个点C．两条直线D．四条直线答案 B解析由已知⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－4＝0，y 2－4＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝±2，y ＝±2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－2.4．方程(x －1)2＋y －2＝0表示的是________．答案点(1,2)解析由(x －1)2＋y －2＝0，知(x －1)2＝0且y －2＝0即x ＝1，且y ＝2，所以(x －1)2＋y －2＝0表示的是点(1,2)．5．证明：到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是y ＝±x . 证明 (1)如图所示，设M (x 0，y 0)是轨迹上任一点，因为点M 到x 轴的距离为|y 0|，到y 轴的距离为|x 0|，所以|x 0|＝|y 0|，即y 0＝±x 0，所以轨迹上任一点的坐标都是方程y ＝±x 的解．(2)设点M 1的坐标为(x 1，y 1)，且是方程y ＝±x 的解，则y 1＝±x 1，即|x 1|＝|y 1|，而|x 1|，|y 1|分别是点M 1到y 轴，x 轴的距离，因此点M 1到两坐标轴的距离相等，即点M 1是曲线上的点．由(1)(2)可知，y ＝±x 是到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程．。

完整20192020高中数学专题汇编十八——圆锥曲线与方程,文档

2019-2020高中数学专题汇编（十八）——圆锥曲线与方程1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是（）。

A. B. C.或 D.2.曲线与曲线（）的（）。

A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为（）。

A.B. C.D.4.已知抛物线：的焦点为，点，不垂直于轴的直线与抛物线订交于、两点，若轴均分，则的面积的取值范围是（）。

A. B. C. D.5.如图，椭圆的中心在座标原点，为左焦点，，分别为长轴和短轴上的一个极点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”。

类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（）。

A.B.C.D.6. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则实数的值是（）。

A.B. C.D.7.下边给出四个命题：①若，则；②是一元二次方程有一个正根和一个负根的充足不用要条件；③在数列中，是数列为递加数列的必需不充足条件；④方程表示的曲线是一个圆和一条直线。

此中为真命题的是（）。

A. ①②③B. ①③④C.②④D.①②③④8. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形。

面面，在面内有一个动点。

记到面的距离为，若，则动点在面内的轨迹是（）。

A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分9. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线订交于、两点，且点恰为的中点，则（）。

A. B. C. D.10. 已知双曲线的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为（）。

A. B. C. D.11. 若，则对于，的方程所表示的曲线是（）。

A. 焦点在轴上的椭圆B. 焦点在轴上的椭圆C. 焦点在轴上的双曲线D. 焦点在轴上的双曲线12. 平面内有两定点、及动点，设命题甲：“是常数”，命题乙：“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”，那么甲是乙建立的（）。

A. 充足不用要条件B. 必需不充足条件C. 充要条件D. 非充足非必需条件13. 已知是双曲线（）上一点，、是左右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的离心率等于（）。

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2019-2020高中数学专题汇编（十八）——圆锥曲线与方程1.已知方程的图象是双曲线，那么的取值范围是（）。

A. B. C.或 D.2.曲线与曲线（）的（）。

A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3.双曲线的一条渐近线与直线垂直，则这双曲线的离心率为（）。

A.B. C.D.4.已知抛物线：的焦点为，点，不垂直于轴的直线与抛物线相交于、两点，若轴平分，则的面积的取值范围是（）。

A. B. C. D.5.如图，椭圆的中心在坐标原点，为左焦点，，分别为长轴和短轴上的一个顶点，当时，此类椭圆称为“黄金椭圆”。

类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（）。

A.B.C.D.6. 已知双曲线的虚轴长是实轴长的两倍，则实数的值是（）。

A.B. C.D.7.下面给出四个命题：①若，则；②是一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件；③在数列中，是数列为递增数列的必要不充分条件；④方程表示的曲线是一个圆和一条直线。

其中为真命题的是（）。

A. ①②③B. ①③④C.②④D.①②③④8. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形。

面面，在面内有一个动点。

记到面的距离为，若，则动点在面内的轨迹是（）。

A.圆的一部分B.椭圆的一部分C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分9. 设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线相交于、两点，且点恰为的中点，则（）。

A. B. C. D.10. 已知双曲线的焦点为、，为双曲线上一点，以为直径的圆与双曲线的一个交点为，且，则双曲线的离心率为（）。

A. B. C. D.11. 若，则关于，的方程所表示的曲线是（）。

A. 焦点在轴上的椭圆B. 焦点在轴上的椭圆C. 焦点在轴上的双曲线D. 焦点在轴上的双曲线12. 平面内有两定点、及动点，设命题甲：“是常数”，命题乙：“点的轨迹是以，为焦点的椭圆”，那么甲是乙成立的（）。

A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件13. 已知是双曲线（）上一点，、是左右焦点，的三边长成等差数列，且，则双曲线的离心率等于（）。

A. B. C. D.14.已知，，，当或时，点的轨迹为（）。

A. 双曲线和一条直线B. 双曲线和两条直线C. 双曲线的一支和一条直线D. 双曲线的一支和一条射线15.若顶点、的坐标分别为、，、边上的中线长之和为，则的重心的轨迹方程为（）。

A.（）B.（）C.（）D.（）16.已知，椭圆的方程为，双曲线的方程我为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为（）。

A. B. C. D.17. 正方体中，在底面内运动，到点的距离等于它到的距离，则点的轨迹为（）。

A. 圆的一部分B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分18. 到两坐标轴距离之和为的点的轨迹方程是（）。

A. B. C. D.19. 抛物线上两点，，已知的中点在直线上，为抛物线焦点，则（）。

A. B. C. D.20. 过椭圆：上任一点，作椭圆的右准线的垂线（为垂足），延长到点，使（），当点在椭圆上运动时，点的轨迹的离心率的取值范围为（）。

A. B. C. D.21. 已知抛物线，，，过的直线与抛物线交于点，，直线与抛物线交于另一点，则的最小值为（）。

C. D.A. B.22. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于、两点，、在准线上的射影分别为、，则（）。

A. 等于B. 大于C. 小于D. 不能确定23. 如图，，是双曲线：（，）的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于，两点。

若为等边三角形，则双曲线的离心率为（）。

A.B.C.D.24. 方程表示双曲线的必要不充分条件是（）。

A.且B.且C.D.25. 过椭圆：（）的左顶点且斜率为的直线交椭圆于另一个点，点在轴上的射影恰好为右焦点，若，则椭圆离心率的取值范围是（）。

A. B. C. D.26.椭圆上有个不同的点：，，，，椭圆的右焦点为，数列是公差大于的等差数列，则的最大值是（）。

A. B. C. D.27.与圆外切，又与轴相切的圆的圆心的轨迹方程是（）。

A. B.（）和C.（）D.（）和（）28.双曲线（）的焦点坐标为（）。

A. B. C. D.29.已知点是椭圆上一点，且在轴上方，、分别为椭圆的左、右焦点，直线的斜率为，则的面积为（）。

A. B. C. D.30.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左右焦点分别为，，两条曲线在第一象限的交点记为，是以为底边的等腰三角形，若，椭圆与双曲线的离心率分别为，，则的取值范围是（）。

A. B. C. D.31.已知抛物线：的焦点为，直线与交于，两点，则（）。

A. B. C. D.32.在平面斜坐标系中，点的斜坐标定义为：“若（其中，分别为与斜坐标系的轴，轴同方向的单位向量），则点的坐标为”。

若，，且动点满足，则点在斜坐标系中的轨迹方程为（）。

A. B. C. D.33.一个平整的操场上竖立着两根相距米的旗杆，旗杆高度分别为米和米，地面上动点满足：从处分别看两旗杆顶部，两个仰角总相等，则的轨迹是（）。

A. 直线B. 线段C. 圆D. 椭圆34. 已知斜率为的直线与双曲线：（，）交于，两点，若点是线段的中点，则的离心率等于（）。

A. B. C. D.35. 过抛物线（）的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于、两点，则的值等于（）。

A. B. C. D.36. 已知直线：和直线：，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（）。

A. B.C. D.37. 设为抛物线的焦点，，，为该抛物线上三点，若，则等于（）。

A. B. C. D.38. 已知点，分别是双曲线的左、右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于、两点，若是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）。

A. B. C. D.39. 椭圆的左、右焦点分别为，，弦过，若的内切圆周长为，，两点的坐标分别为，，则值为（）。

A. B. C. D.40. 由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆” ，如图所示，其中，。

由右椭圆的焦点和左椭圆的焦点，确定的叫做果圆的焦点三角形，若果圆的焦点三角形为锐角三角形，则右椭圆的离心率的取值范围为（）。

A.B.C.D.41. 点是双曲线在第一象限的某点，、为双曲线的焦点。

若在以为直径的圆上且满足，则双曲线的离心率为（）。

A.B. C. D.42. 设、分别为双曲线（，）的左、右焦点，双曲线上存在一点使得，，则该双曲线的离心率为（）。

A. B. C.D.43. 已知两点和，若直线上存在点，使，则称该直线为“型直线”。

给出下列直线：①；②；③；④，其中为“ 型直线”的是（）。

A. ①②B. ①③C.①④D. ③④44. 设，，常数，定义运算“ ”：，若，则动点的轨迹是（）。

A. 圆B. 椭圆的一部分C. 双曲线的一部分D. 抛物线的一部分45. 设点为坐标原点，已知点为抛物线：上与不重合的任意一点，直线为抛物线在点处的切线，过点且与垂直的直线与轴交于点，轴于点，则（）。

A.B. C. D.46. 已知点，分别为椭圆：的右顶点和上顶点，点在椭圆上，则使为等腰三角形的点的个数是（）。

A. B. C. D.47. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是（）。

B.C.D.A.48. 设抛物线：（）的焦点为，点在抛物线上，，线段中点的横坐标为，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线的距离为（）。

A.或B.或C.或D.或49. 设双曲线：（，）的上顶点为，直线与交于，两点，过，分别作，的垂线交于点，若到点的距离不超过，则的离心率的取值范围是（）。

A. B. C. D.50. 过双曲线（，）的焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，为虚轴上的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（）。

A. B.C. D.51.椭圆：（）的左右焦点分别为，，为椭圆上任意一点，且的最大值的取值范围是，其中，则椭圆的离心率的取值范围是。

52.若直线（）与抛物线相交于，两点，且，两点在抛物线的准线上的射影分别是，，若，则的值是。

53.是曲线上一个动点，，和关于点对称，则点的轨迹方程为。

54.直线与抛物线相交于、两点且的中点为，则的方程为。

55.在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足，当点在圆上运动时，线段的中点的轨迹方程是。

56.已知两定点，，若直线上存在点，使得，则实数的取值范围是。

57.过抛物线的焦点作直线与其交于、两点，作平行四边形，则点的轨迹方程为。

58.椭圆:（）的左、右焦点分别为，，过作轴的垂线与椭圆的一个交点为，若，则椭圆的离心率。

59.已知、分别为双曲线（，）的左右焦点，为双曲线左支上的一点，若，则双曲线的离心率的取值范围是。

60.已知命题：实数满足（），命题：实数满足方程表示焦点在轴上的椭圆，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为。

61. 椭圆：的左、右顶点分别为、，点在上，且直线斜率的取值范围是，那么直线斜率的取值范围是。

62.设，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，，则。

63.已知双曲线（，），若过右焦点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是。

64.已知，为双曲线：（，）的左右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交，两点，且，双曲线的渐近线方程为。

65.已知双曲线与椭圆有相同的焦点，，为它们的一个交点，且，则双曲线方程为。

66.在平面直角坐标系中，双曲线（，）的右支与焦点为的抛物线（）相交于，两个不同点，若，则该双曲线的离心率是。

67.抛物线的焦点为，过点的直线与该抛物线相交于，两点，直线，分别交抛物线于点，。

若直线，的斜率分别为，，则。

68.已知直线（）与抛物线：相交于，两点，为的焦点，若，则。

69. 平面与平面相交成锐角，面内一个圆在面上的射影是离心率为的椭圆，则角等于弧度。

70.若在抛物线上存在两个不同的点、关于直线对称，则实数的取值范围是。

71.（本小题满分 12 分）已知椭圆：（），离心率，短轴长为。

（ 1）求椭圆的标准方程；（ 2）如图，椭圆左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于，两点．试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论。

72.（本小题满分 12 分）已知抛物线：（）过点。

（ 1）求抛物线的方程，并求其准线的方程；（ 2）若点，求过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的方程。

73.（本小题满分 12 分）已知定点，，曲线是使得为定值（大于）的点的轨迹，且曲线过点。

（ 1）求曲线的方程；（ 2）若直线过点，且与曲线交于、两点，当的面积取得最大值时，求直线的方程。