矩阵正交化的新方法_田凤华

0
0 0 dn ,n )
设 βj =( βj 1 ,
,βjn ) ( j =1 ,
收稿日期 : 2002 -07 -15 作者简介 : 田凤华( 1957 ～ ) , 女 , 副教授 .
第 1 期 田凤华
57 : 矩阵正交化的一种新方法
从以上的计算过程中可以看出 : 新的正交化 方法比施密特正交化方法简单得多 。
3 结 论
本文给出的矩阵正交化算法 , 比原有方法运 算量明显减小 , 有实用价值 。
参考文献 :
[ 1] RICE J R.Numerical M ethods , So ftw are, and Analysis [ M] . N ew York :M cGraw-Hill Book Company , 1983 . 366 .
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Novel method for matrix orthogonalization
TI AN Fenghua
( Info rma tio n Professional Technology Institute of Liaoning Province , , Liaoyang , 111000 , China )
1 1 ( , - ,0 , 0 ) 2 2 β2 1 1 1 η 2= = ( 1 , 1 , -1 , 0 ) =( , , ‖ β2 ‖ 3 3 3 1 - ,0 ) 3 β3 1 , 1 , 1 , -1 ) η = 1 ( =( 1 , 3= ‖ β3 ‖ 2 2 5 10 2 1 , 2 ,- 2 ) 10 10 10 β4 3 1 1 2 1 = ( , , ,1 ) =( , ‖ β4 ‖ 15 3 3 3 15 1 2 3 , , ) 15 15 15 则矩阵 A 可以化为正交矩阵 η 4=
C =AA T =
58 第 22 卷 大 连 轻 工 业 学 院 学 报
2 0 0 0
0 3 0
0 0 0
0 0 0 5/ 3 6 0 0 6 0 0
1 0 0 1 0 0 0 0 3 0 6 0 2 0
1/ 2 0 0 1/ 3 1 0 0 1
T
根据以上证明 , 这种正交化方法是 : ① 设方阵 A =( α 1 ,α 2 , AT ; ② 用初等变换方法求 T , 使 T T CT 是对角阵 ; β1 , 组。 ④ 取 η i =
T
③ 作向 量组 ( β1 , ,βn ) 是一由( α 1 ,
,βn ) =( α ,α T,则 1 , n) ,α 线性表示的正交向量 n
0 1 3
0 0 2 10 3 15 .
将方阵 A =
正交化 。
1 10 1 15
1 10 1 15
2 10 2 15
0 0 1 解法 1 : 用施密特正交化方法
设α 1 =( 1 , -1 ,0 , 0 ) , α 2 =( 1 ,1 , -1 ,0 ) , α 3 =( 0 , 1 ,1 , -1 ) ,α 0 ,0 , 1 ,1 ) , 则 A =α 4 =( 1 ,α 2 ,
T ( η 1 ,η 2 ,η 3 ,η 4 )=
0 5/ 2
1 2 1 3 1 10 1 15
-1 2 1 3 1 10 1 15
0 -1 3 2 10 2 15
0 0 - 2 10 3 15 是一正交矩阵 。
取 T=
,
0 0 0 6 ( β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 ) =( α T 1 ,α 2 ,α 3 ,α 4) 所以 β 1 = 6α 1 =( 6 , -6 ,0 , 0 ) β2 =6 α 6 , 6 , -6 ,0 ) 2 =( β3 =3 α 6α 3 ,3 , 6 , 6) 1+ 3 =( β4 =2 α 6α 2 ,2 , 4 ,6 ) 2+ 4 =( 其中 β 1 ,β 2 ,β 3 ,β 4 是一正交化向量组 。 将 β1 ,β2 , ,βn 单位化 : β1 1 = ( 6 , -6 , 0 , 0 ) , η 2 = ‖ β1 ‖ 6 2 β2 β3 1 1 = ( 6 , 6 , -6 , 0 ) ,η = 3= ‖ β2 ‖ 6 3 ‖ β 3 ‖ 3 10 β4 1 ( 3 ,3 , 6 , -6 ) ,η = ( 2 , 2 ,4 , 6 ) ,则 4= ‖ β4 ‖ 2 15 η 1 =
Key words : mat ri x ; o rt hogonalization Abstract : The Modified Gram-Schmidt method is generally em ployed for matrix orthogonalization . Probably , ow ing to t he simplicity , t here is lit tle information about it s furt her improvement . T his article presents a new method f or m at rix orthogonalization . Numerical example demonst rates that it is preferable in computation speed t han that of the conventional method . 矩阵正交化是每一本关于数值计算的教材都 要涉及的问题 。 Gram-Schmidt 最初提出矩阵正交 化方 法 。 后 来 他们 自 己 又 做 了改 进 , 通 常称 为 M odified Gram-Schmidt 方法[ 1] 。 可能由于这个问 题并不复杂 , 人们多年来沿用他们的算法 , 没有考 虑进一步改进 。 本文介绍一种新的方法 , 以定理证 明为基础 , 给出简单明了的算法 。 比原有方法可以 显著地减少运算量 , 也有利于初学者的理解 。 一般的方阵 a11 A= a21 a12 a22 a1n a2n = α 1 α 2 α n =( α ,2 , α , n) 1α =C 所以 C 是对称阵 根据对称阵的合同定理 , 存在 n 阶可逆阵 T , 使 d1 T CT =T AA T = 0 令( β1 , ,βn ) =( α 1 , 0 0 ,α T n)
0 0
0 0 dn d i ( i =j)
T
T
1 2 , ,1 ) 3 3 β1 1 标准 化 : η 1 = 1 , -1 , 0 , 0 ) = ‖ β1 ‖ = 2 (
[βi , βj] =∑ bikbjk = k -1 所以 β 1 ,
0 ( i ≠j) ,βn 是一正交向量组 。 ,α n) , 求 C =A ·
β1 =α 1 , -1 ,0 , 0 ) 1 =( α 2·β1 β 1 =( 1 , 1 , -1 , 0 ) -0 ( 1, 2 ‖ β1 ‖2 1 , 0 ,0 ) =( 1 , 1 , -1 ,0 ) β2 =α 2α 3 ·β1 α 3·β2 β3 =α 30 ,1 ,1 , 2 β1 2 β2 =( ‖ β1 ‖ ‖ β2 ‖ -1 0 1) ( 1 , -1 , 0 , 0 ) - ( 1 , 1 , -1 , 0 ) =( 0, 2 3 1 ,1 , -1 ) +( 1/ 2 , -1 / 2 , 0 ,0 ) =( 1/ 2 ,1 / 2 ,1 , 1) α α α 4·β1 4 ·β2 4·β3 β4 =α 4 2 β1 2 β2 ‖ β1 ‖ ‖β 2 ‖ ‖ β3 ‖2 0 -1 β3 =( 0 ,0 , 1 , 1 ) -2 ( 1 , -1 , 0 , 0 ) - 3 ( 1 ,1 ,
T T T T
1 定理及其证明
定理 : 设α α i =( i1 , ,α ( i =1 , in ) ,n ) 是R
n
空间里一组线性无关向量 , 则可以用初等变换的 方法求得 n 阶可逆阵 T 作为从( α 1 , ,βn ) 的过渡阵 , 使 β 1 , 证明 : α 11 设A= α n1
T α 3 ,α 4 )。
解法 2 : 用新正交化法 1 -1 0 0 A= 1 0 0 1 1 0 2 0 1 0 作初等变换 2 0 1 0 0 3 0 -1 -1 0 3 0 0 -1 0 2 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 -1 1 1 0 3 0 -1 0 1 1 -1 0 3 0 0 -1 0 2 ,
矩阵正交化的新方法
田凤华
( 辽宁信息职业技术学院 , 辽宁 辽阳 111000)
关键词 : 矩阵 ; 正交化
矩阵正交化 , 普遍采用的是 G ram-Schmidt 的改进方法 。 也许由于这是一个并不复 杂的问题 , 摘要 : 很少见到进一步的探讨 。 本文介绍一种新的矩阵正交 化算法 , 比原来算法简单快捷 。 O151 . 21 文献标识码 : A 中图分类号 :
T
,α 到( β1 , n)
,βn 是正交向量组 。 α 1n , 作 C =A ·A T α nn
ห้องสมุดไป่ตู้
an1 an2 ann
T T T 因为 C =( A ·A T ) =( AT) A =A ·A T
正交化通常采用施密特方法 , 该方法需用公 α α k · β1 k · β2 式 βk = α · β1 · β2 k ‖ β1 ‖ 2 ‖β 2 ‖2 α k · βk 1 · βk -1 ( k = 1 ,2 , ,n) , 先将 α 1 , ‖βk -1 ‖ 2 α ,α ,βn , 然后将 βk ( k = 1, 2 , n 正交化得 β1 ,β2 , 2 , ,n ) 标准化 。 用这种方法计算繁琐 , 运算量较 大。 本文给出正交化的一种新方法 , 简单实用 。
b 11 B=
b 1n
b n1 b nn 由上式有 BT = A T T , B =T T A , 所 以 BB T d1 =T AA T = 0 0
n
1 0 1 ,0 ) - 1 ( 2 2 2 1 1 1 , - ,0 ) =( 3 3 3
1 1 , 2 ,1 , 1) =( 0 ,0 , 1 , 1 ) +( 3 , ,
第 22 卷第 1 期 2 00 3年3 月
大 连 轻 工 业 学 院 学 报 Vol . 22 ,
Journal of Dalian Institute of Light Industry
No . 1 M ar . 20 03
文章编号 : 1005-4014( 2003) 01-0056 -03
T ( η 1 ,η 2 ,η 3 ,η 4 )=
βi ( i =1 , 2 , ‖ βi ‖
,n ) ,则η 1 ,η 2 ,
,η n ) 为正交矩阵 。
2 与 G ram-Schmidt 方法的比较
例题 : 1 1 0 -1 1 1 0 -1 1 0 0 1 1
1 2 1 3
-
1 2 1 3 -