七年级数学上册难点专题四线段中的动点问题习题课件新版新人教版
专题4.1 线段的计算-七年级数学上册课件(人教版)
强化 训练
当堂训练
线段的计算
查漏补缺
1.如图.点C是线段AB的中点.点D是线段BC的中点.若AB＝10 cm.则线段CD
的长为( B )
A.1.5 cm B.2.5 cm
C.3 cm
D.5 cm
2.如图,点C是线段AB上的一点,AC＝1/5AB,点D是线段BC的中点,若AB＝15，
则AD的长为( B )
A.80º
B.90º
C.40º
D.不能确定
5.如图,点C是线段AB上的一点,点D是AC的中点,若AB=8 cm,BC=2 cm,则
AC=__6_cm,BD=_5__cm.
6.延长线段AB到C,使BC=1/2AB,点D是AC的中点,点E是BC的中点,若CE=2
cm，则DE=_4__cm. 7.如图,点C,D是线段AB上的两点,AC=7 cm,BD=5 cm,E是CD的中点,若
人教版七年级(上)数学教学课件
第4章 几何图形初步
专题4.1
线段的计算
情境导入 探究新知 知识归纳 典例精讲 当堂训练
01 线段中的方程思想 知识要点 02 线段中的分类讨论思想 精讲精练
03 线段中的动态问题
知识点一
线段中的方程思想
基础训练
1.如图,C,D是线段AB上两点,若CB=4cm,DB=7cm,且D是AC的中点,则AC的长
线段中的分类讨论思想
基础训练
15.线段AB=10,C,D为直线AB上的两点,且AC=6,BD=8,求线段CD的长.
解：分四种情况：
①当C,D都在线段AB上时,则AD=AB-BD=10-8=2,∴CD=AC-AD=6-2=4；
②当点C在线段AB上,点D在线段AB的延长线上时,BC=AB-AC=10-6=4,
第六章 几何图形初步 重点题型 线段、角的运动问题 (课件)人教版(2024)数学七年级上册
1 2
n)cm
或MN=(30
－ 12n)cm.
满分题溯源
角度2 角的翻折问题 例4 [期末·漳州] O，E 分别是长方形纸片ABCD边AB，AD
上的点，沿OE，OC翻折，点A 落在点A′处，点B 落 在点B′处.
满分题溯源
(1)如图11，当点B′恰好落在线段OA′上时，求∠COE 的度数； 解：由折叠可得∠AOE= ∠A′OE， ∠BOC= ∠B′OC. 因为∠AOE＋ ∠A′OE＋ ∠BOC＋ ∠B′OC=180°， 所以2 ∠A′OE＋2 ∠B′OC=1 80°. 所以∠A′OE＋ ∠B′OC=9 0°，即∠COE=9 0°.
满分题溯源
①因为∠ AOB=130°，∠ COD=18°， 所以2α ＋2β ＋θ =13 0°，θ =18°. 所以α ＋β =56°.所以∠ EOF=56°＋18°=74°.
满分题溯源
②试猜想∠ EOF，∠ AOB 和∠COD三个角之间有怎样的
数量关系，并说明你的理由.
②∠EOF，∠AOB和∠COD三个角之间 的数量关系是：∠ EOF=12(∠ AOB＋ ∠COD). 理由如下： 因为∠ AOB＋ ∠COD=2α ＋2β ＋θ ＋θ = 2α ＋2β ＋2θ ，所以12(∠ AOB＋ ∠ COD)=α ＋β ＋θ . 又因为∠ EOF=α ＋β ＋θ ， 所以∠ EOF= 12(∠ AOB＋ ∠ COD).
满分题溯源
角度2 线的旋转问题 例2 [期末·柳州] 【阅读理解】射线OC 是∠AOB 内部的一条射线，若
∠COA= 13∠AOB，则我们称射线OC 是射线OA 的“友好线”. 例 如，如图4，∠AOB=60°，∠AOC= ∠COD= ∠BOD=20°，则
∠AOC= 13∠AOB，称射线OC是射线OA 的友
初一数学专题四：线段动态问题(含详解答案)
线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．模块一：线段的动点问题1．主要分析步骤：（1）数形结合，画图；（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．2．动点问题求解的几个辅助工具：（1）数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；②两点间的距离=右端点表示的数-左端点表示的数．例如：a ，b 两点的距离可表示为b a -，也可表示为||a b -或者||b a -．特别地，||a 可以看成a 和0两点的距离，||b 可以看成b 和0两点的距离，如果||||a b =，那么有a b =或a b =-．（2）点在数轴上运动时，满足左减右加一个点表示的数为a ，若向左运动b 个单位后表示的数为a b -；一个点表示的数为a ，若向右运动b 个单位后所表示的数为a b +．（3）数轴上线段中点公式：如图，线段ab 的中点所表示的数是a b +2．模块二：动线段问题模块一线段的动点问题已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一动点，对应数为x.（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 值，若不存在，请说明理由．（3）若A 、B 点和P 点（P 点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为线段AB 的中点？第几分钟的时候P 到A 和B 的距离相等？学习是件很有意思的事（1）∵点P 为线段AB 的三等分点，∴AP AB 1=3或BP AB 1=3①当AP AB 1=3时，得到2=2x+，得x =0②当BP AB 1=3时，得到x 4-=2，得x =2∴P 对应的数为0或2．（2）假设存在点P ，则PA =+2x ，PB x =-4，∴||||x x +2+-4=10解得，x =-4或x =6．（3）①设经过t 分钟后，P 为AB 的中点则A 表示的数为t -2-，B 表示的数为t 4-2，P 表示的数为t -，则由题意得，t t t -2-+4-2=-2，得到t =2.②设经过x 分钟后，P 到A 和B 的距离相等.则A 表示的数为x -2-，B 表示的数为x 4-2，P 表示的数为x -，∴PA x x =-2-+=2，PB x x x=4-2+=4-∴||x 4-=2解得x =2或x =6．已知数轴上顺次有A 、B 、C 三点，分别表示数a 、b 、c ，并且满足()2a +|b +|=+1250，b 与c 互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A ，C 两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．（1）求A 、B 、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示A 、B 、C 三点（2）运动多少秒时，甲、乙到点B 的距离相等？（3）当点B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B 点到点A 、点C的距离相等？（1）∵()2a +|b +|=+1250，∴a +12=0，b +5=0，解得a =-12，b =-5.又∵b 与c 互为相反数，∴c =5，∴A 、B 、C 三点分别表示的数是-12，-5，5．表示在数轴上是：学习是件很有意思的事（2）设运动x 秒时，甲、乙到点B 的距离相等．则甲所表示的数为x -12+2，乙所表示的数为x5-3则依题意，得x x 72=10-3-，解得x =3或x 17=5．答：运动3s 或者s 175时，甲、乙到点B 的距离相等．（3）设t 分钟后点B 到点A 和点C 的距离相等．则点A 所表示的数为t -12-5，点B 所表示的数为t -5-，点C 所表示的数为t 5-20．则由题意得，t t t t5-20+5+=-5-+12+5解得：t 3=23或者t 17=15．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点，点C 表示的数为6，BC =4，AB =12.（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN CQ 1=3，设运动时间为()t t >0秒.t 为何值时，OM=2BN．（1）C Q 表示的数为6，4BC =，OB ∴=6-4=2，∴B 点表示2.AB =12Q ，AO ∴=12-2=10，A ∴点表示-10；（2）由题意得，点P 表示的数为t -10+6，点Q 表示的数为t 6-3，则点M 表示的数为t t -10-10+6=-10+32，又∵CN CQ 1=3，∴点N 表示的数为t 6-，由题意可得t t -10+3=24-，即t t -10+3=8-2，解得t 18=5或t =2．如图，A 是数轴上表示-30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点A 、B 、C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒.设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC =6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求PM PN 2-=2时t的值．学习是件很有意思的事（1）A 表示的数为t -30+6，B 表示的数为t 10+3，C 表示的数为t18+3||AC t =48-3=6，解得t =18或t =14（2）P 表示的数为t -15+3，M 表示的数为t 35+2，N 表示的数为t 39+2则PM t 3=-202，PN t 3=-242由题意得，PM PN 2-||t t 3=3-40--24=22解得，t 28=3或443．如图5-1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）如果点P 是AB 的中点，则x =________；（2）如图5-2，点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB OP MN-的值是否发生变化？请说明理由.图5-1图5-2（1）x =1；（2）AB OP MN-的值不发生变化.由题意，O 为原点，设运动时间为t 分钟.则P 表示的数为t ，A 表示的数为t -1-5，B 表示的数为t 20+3，则M 表示的数为t -1-42，N 表示的数为t 20+32．则AB t =25+4，OP t =，MN t =12+2，则AB OP MN-=2为定值．如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20cm OA =，60cm AB =，10cm BC =（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.学习是件很有意思的事（1）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E ，F ，求OB AP EF -的值．（1）设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90，设经过的时间t 秒后，PA =2PB.则P 表示的数为t ，PA t =20-，PB t =-80，∴t t 20-=2-80，可得t =60或t =140当t =60秒时，可得Q 的速度为550÷60=6（cm/s ）或者130÷60=2（cm/s ）当t =140秒时，可得Q 的速度为550÷140=14（cm/s ）或者330÷140=14（cm/s ）（2）设经过t 秒，P 、Q 两点相距70cm ，则P 表示的数为t ，Q 表示的数为903t -，∴PQ t =90-4=70，解得t =5或t =40∴t =5或t =40时，满足P 、Q 两点相距70cm（3）P 表示的数为t ，E 表示的数为t 2，F 表示的数为50，EF 的长度为()t t 50-20<<802OB =80，AP t =-20，所以OB AP EF-=2．模块二动线段问题如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.（1）问运动多少时8BC =（单位长度）；（2）当运动到8BC =（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式BD AP PC-=3，若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由．（1）A 表示的数为t -10+6，B 表示的数为t -8+6，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2由BC=8得到t t t-8+6-16+2=8⇒=4或t=2.（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.（3）存在关系式BD AP PC-=3.设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x，A表示的数为t6-10，B表示的数为t6-8，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2，P表示的数为x t+6BD t=28-8，AP x=+10，PC t x=8+-16代入BD APPC-=3，解得x t=15-8或者x t33=-82，所以PC t x=8+-16=1或12．模块一线段的动点问题已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为-20，B 点对应的数为100.（1）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．（1）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20+4，由题得，t t 100-6=-20+4，可得t =12，此时C 对应的数为28（2）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20-4，由题得，t t 100-6=-20-4，可得t =60s ，此时D表示的数为-260．如图2-1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且OA OB 1+50=3，点B 对应数是90．（1）求A 点对应的数；（2）如图2-2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；（3）如图2-3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求RQ RO PN 22-28-5．图2-1图2-2图2-3（1）A 对应的数为-120．（2）M 表示的数为2t ，N 表示的数为t -120+7，P 表示的数为t90-8||MN t =-120+5||PM t t s =10-90⇒=14．（3）N 表示的数为t -120-7，M 表示的数为t -2，P 表示的数为t 90+8，Q 表示的数为t 9-60-2，R 表示的数为t 45+4(.)()()RQ RO PN t t t 22-28-5=105+85⨯22-2845+4-5210+15=0．如图3-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB AC 1=2，点C 对应的数是200．（1）若300BC =，求点A 对应的数；（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足4MR RN =（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32QC AM -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．图3-1图3-2图3-3（1）∵BC AC 1=300=2∴AC =600∵C 对应的数是200，则A 对应的数为200-600=-400（2）设t 秒时，MR RN =4则P 表示的数为t -400-10，R 表示的数为t -400+2，Q 表示的数为t 200-5，∵M 为PR 的中点，∴M 表示的数为t-400-4∵N 为RQ 的中点，∴N 表示的数为t 3-100-2()MR t t t =-400+2--400-4=6（M 在左，R 在右）()RN t t t 37=-100---400+2=300-22（N 在右，R 在左）MR RN t t t s 7⎛⎫=4⇒6=4⨯300-⇒=60 ⎪2⎝⎭.∴经过s 60时满足MR RN =4（3）设运动时间为t 秒，则P 表示的数为t -800-10，Q 表示的数为t -5.M 为PQ 的中点，则M 表示的数为t t t -800-10-515=-400-22.()QC t t =200--5=200+5，t AM 1515⎛⎫=-400--400-= ⎪22⎝⎭∴()QC AM t 3315-=200+5⨯-=300222为定值.模块二动线段问题如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点同时从P 、B 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）．已知C 、D 运动到任一时刻时，总有PD AC =2．（1）线段AP 与线段AB 的数量关系是______________；（2）若Q 是线段AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求证：AP PQ =；（3）若C 、D 运动5秒后，恰好有CD AB 1=2，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB 的值．（1）根据C 、D 的运动速度知：2BD PC =，PD AC =2Q ，∴()BD PD PC AC +=2+，即2PB AP =，∴点P 在线段AB 上的13处，即AB AP =3.故答案为：AB AP =3；（2）证明：如图1，由题意得AQ BQ >，AQ AP PQ ∴=+，又AQ BQ PQ -=Q ，AQ BQ PQ ∴=+，AP BQ ∴=.由（1）得，AP AB 1=3，PQ AB AP BQ AB 1∴=--=3.（3）运动5秒时，cm PC =5，cm BD =10.由（1）可知AP AB 1=3设AP x =，则AC AP PC x =-=-5，PB x =2，PD PB BD x =-=2-10.CD AB 1=2Q ，()x x x x 1∴+2-10=⨯3⇒=102则D 仍为动点，设A 为原点AB AP =3=30Q ∴B 表示的数为30，设运动了t 秒（t >5）则D 表示的数为t 30-2，因为M 为CD 的中点，所以M 表示的数为t 5+30-22因为N 为PD 的中点，所以N 表示的数为t 10+30-22t t MN 10+30-25+30-25=-=222MN AB 512∴==3012为定值.。
初一数学专题四：线段动态问题(含详解答案)
线段的动态问题为各个学校期末考试的重难点，主要包括动点问题和动线段问题．模块一：线段的动点问题1．主要分析步骤：（1）数形结合，画图；（2）设元，看清楚动点的速度和方向，表示线段长度；（3）根据题中的等量关系列方程，并解方程．2．动点问题求解的几个辅助工具：（1）数轴上两点的距离①两点间的距离=这两点分别所表示的数的差的绝对值；②两点间的距离=右端点表示的数-左端点表示的数．例如：a ，b 两点的距离可表示为b a -，也可表示为||a b -或者||b a -．特别地，||a 可以看成a 和0两点的距离，||b 可以看成b 和0两点的距离，如果||||a b =，那么有a b =或a b =-．（2）点在数轴上运动时，满足左减右加一个点表示的数为a ，若向左运动b 个单位后表示的数为a b -；一个点表示的数为a ，若向右运动b 个单位后所表示的数为a b +．（3）数轴上线段中点公式：如图，线段ab 的中点所表示的数是a b +2．模块二：动线段问题模块一线段的动点问题已知数轴上A 、B 两点对应数分别为-2和4，P 为数轴上一动点，对应数为x.（1）若P 为线段AB 的三等分点，求P 对应的数；（2）数轴上是否存在点P ，使P 点到A 点、B 点距离和为10？若存在，求出x 值，若不存在，请说明理由．（3）若A 、B 点和P 点（P 点在原点）同时向左运动，它们的运动速度分别为1、2、1个单位长度/分，则第几分钟时，P 为线段AB 的中点？第几分钟的时候P 到A 和B 的距离相等？学习是件很有意思的事（1）∵点P 为线段AB 的三等分点，∴AP AB 1=3或BP AB 1=3①当AP AB 1=3时，得到2=2x+，得x =0②当BP AB 1=3时，得到x 4-=2，得x =2∴P 对应的数为0或2．（2）假设存在点P ，则PA =+2x ，PB x =-4，∴||||x x +2+-4=10解得，x =-4或x =6．（3）①设经过t 分钟后，P 为AB 的中点则A 表示的数为t -2-，B 表示的数为t 4-2，P 表示的数为t -，则由题意得，t t t -2-+4-2=-2，得到t =2.②设经过x 分钟后，P 到A 和B 的距离相等.则A 表示的数为x -2-，B 表示的数为x 4-2，P 表示的数为x -，∴PA x x =-2-+=2，PB x x x=4-2+=4-∴||x 4-=2解得x =2或x =6．已知数轴上顺次有A 、B 、C 三点，分别表示数a 、b 、c ，并且满足()2a +|b +|=+1250，b 与c 互为相反数．两只电子小蜗牛甲、乙分别从A ，C 两点同时相向而行，甲的速度为2个单位/秒，乙的速度为3个单位/秒．（1）求A 、B 、C 三点分别表示的数，并在数轴上表示A 、B 、C 三点（2）运动多少秒时，甲、乙到点B 的距离相等？（3）当点B 以每分钟一个单位长度的速度向左运动时，点A 以每分钟5个单位长度向左运动，点C 以每分钟20个单位长度向左运动，问它们同时出发，几分钟后B 点到点A 、点C的距离相等？（1）∵()2a +|b +|=+1250，∴a +12=0，b +5=0，解得a =-12，b =-5.又∵b 与c 互为相反数，∴c =5，∴A 、B 、C 三点分别表示的数是-12，-5，5．表示在数轴上是：学习是件很有意思的事（2）设运动x 秒时，甲、乙到点B 的距离相等．则甲所表示的数为x -12+2，乙所表示的数为x5-3则依题意，得x x 72=10-3-，解得x =3或x 17=5．答：运动3s 或者s 175时，甲、乙到点B 的距离相等．（3）设t 分钟后点B 到点A 和点C 的距离相等．则点A 所表示的数为t -12-5，点B 所表示的数为t -5-，点C 所表示的数为t 5-20．则由题意得，t t t t5-20+5+=-5-+12+5解得：t 3=23或者t 17=15．如图，已知A 、B 、C 是数轴上三点，O 为原点，点C 表示的数为6，BC =4，AB =12.（1）写出数轴上点A 、B 表示的数；（2）动点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，点P 以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒3个单位长度的速度沿数轴左匀速运动，M 为AP 的中点，点N 在线段CQ 上，且CN CQ 1=3，设运动时间为()t t >0秒.t 为何值时，OM=2BN．（1）C Q 表示的数为6，4BC =，OB ∴=6-4=2，∴B 点表示2.AB =12Q ，AO ∴=12-2=10，A ∴点表示-10；（2）由题意得，点P 表示的数为t -10+6，点Q 表示的数为t 6-3，则点M 表示的数为t t -10-10+6=-10+32，又∵CN CQ 1=3，∴点N 表示的数为t 6-，由题意可得t t -10+3=24-，即t t -10+3=8-2，解得t 18=5或t =2．如图，A 是数轴上表示-30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点A 、B 、C 在数轴上同时向数轴的正方向运动，点A 运动的速度是6个单位长度每秒，点B 和C 运动的速度是3个单位长度每秒.设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC =6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求PM PN 2-=2时t的值．学习是件很有意思的事（1）A 表示的数为t -30+6，B 表示的数为t 10+3，C 表示的数为t18+3||AC t =48-3=6，解得t =18或t =14（2）P 表示的数为t -15+3，M 表示的数为t 35+2，N 表示的数为t 39+2则PM t 3=-202，PN t 3=-242由题意得，PM PN 2-||t t 3=3-40--24=22解得，t 28=3或443．如图5-1，已知数轴上两点A 、B 对应的数分别为-1、3，点P 为数轴上的一动点，其对应的数为x ．（1）如果点P 是AB 的中点，则x =________；（2）如图5-2，点P 以1个单位长度/s 的速度从点O 向右运动，同时点A 以5个单位/s 的速度向左运动，点B 以20个单位/s 的速度向右运动，在运动过程中，M 、N 分别是AP 、OB 的中点，问：AB OP MN-的值是否发生变化？请说明理由.图5-1图5-2（1）x =1；（2）AB OP MN-的值不发生变化.由题意，O 为原点，设运动时间为t 分钟.则P 表示的数为t ，A 表示的数为t -1-5，B 表示的数为t 20+3，则M 表示的数为t -1-42，N 表示的数为t 20+32．则AB t =25+4，OP t =，MN t =12+2，则AB OP MN-=2为定值．如图，在射线OM 上有三点A 、B 、C ，满足20cm OA =，60cm AB =，10cm BC =（如图所示），点P 从点O 出发，沿OM 方向以1cm/s 的速度匀速运动，点Q 从点C 出发在线段CO 上向点O 匀速运动，两点同时出发.学习是件很有意思的事（1）当2PA PB =时，点Q 运动到的位置恰好是线段AB 的三等分点，求点Q 的速度；（2）若点Q 运动速度为3cm/秒，经过多长时间P 、Q 两点相距70cm ？（3）当点P 运动到线段AB 上时，取OP 和AB 的中点E ，F ，求OB AP EF -的值．（1）设O 为原点，则A 表示的数为20，B 表示的数为80，C 表示的数为90，设经过的时间t 秒后，PA =2PB.则P 表示的数为t ，PA t =20-，PB t =-80，∴t t 20-=2-80，可得t =60或t =140当t =60秒时，可得Q 的速度为550÷60=6（cm/s ）或者130÷60=2（cm/s ）当t =140秒时，可得Q 的速度为550÷140=14（cm/s ）或者330÷140=14（cm/s ）（2）设经过t 秒，P 、Q 两点相距70cm ，则P 表示的数为t ，Q 表示的数为903t -，∴PQ t =90-4=70，解得t =5或t =40∴t =5或t =40时，满足P 、Q 两点相距70cm（3）P 表示的数为t ，E 表示的数为t 2，F 表示的数为50，EF 的长度为()t t 50-20<<802OB =80，AP t =-20，所以OB AP EF-=2．模块二动线段问题如图，数轴上线段2AB =（单位长度），4CD =（单位长度），点A 在数轴上表示的数是-10，点C 在数轴上表示的数是16.若线段AB 以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD 以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动.（1）问运动多少时8BC =（单位长度）；（2）当运动到8BC =（单位长度）时，点B 在数轴上表示的数是_________；（3）P 是线段AB 上一点，当B 点运动到线段CD 上时，是否存在关系式BD AP PC-=3，若存在，求线段PC 的长；若不存在，请说明理由．（1）A 表示的数为t -10+6，B 表示的数为t -8+6，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2由BC=8得到t t t-8+6-16+2=8⇒=4或t=2.（2）当运动2秒时，点B在数轴上表示的数是4；当运动4秒时，点B在数轴上表示的数是16.（3）存在关系式BD AP PC-=3.设运动时间为t秒，设P原来表示的数为x，A表示的数为t6-10，B表示的数为t6-8，C表示的数为t16-2，D表示的数为t20-2，P表示的数为x t+6BD t=28-8，AP x=+10，PC t x=8+-16代入BD APPC-=3，解得x t=15-8或者x t33=-82，所以PC t x=8+-16=1或12．模块一线段的动点问题已知A 、B 分别为数轴上两点，A 点对应的数为-20，B 点对应的数为100.（1）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数；（2）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．（1）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20+4，由题得，t t 100-6=-20+4，可得t =12，此时C 对应的数为28（2）设运动的时间为t ，∴P 表示的数为t 100-6，Q 表示的数为t -20-4，由题得，t t 100-6=-20-4，可得t =60s ，此时D表示的数为-260．如图2-1，点A 、B 分别在数轴原点O 的左右两侧，且OA OB 1+50=3，点B 对应数是90．（1）求A 点对应的数；（2）如图2-2，动点M 、N 、P 分别从原点O 、A 、B 同时出发，其中M 、N 均向右运动，速度分别为2个单位长度/秒，7个单位长度/秒，点P 向左运动，速度为8个单位长度/秒，设它们运动时间为t 秒，问当t 为何值时，点M 、N 之间的距离等于P 、M 之间的距离；（3）如图2-3，将（2）中的三动点M 、N 、P 的运动方向改为与原来相反的方向，其余条件不变，设Q 为线段MN 的中点，R 为线段OP 的中点，求RQ RO PN 22-28-5．图2-1图2-2图2-3（1）A 对应的数为-120．（2）M 表示的数为2t ，N 表示的数为t -120+7，P 表示的数为t90-8||MN t =-120+5||PM t t s =10-90⇒=14．（3）N 表示的数为t -120-7，M 表示的数为t -2，P 表示的数为t 90+8，Q 表示的数为t 9-60-2，R 表示的数为t 45+4(.)()()RQ RO PN t t t 22-28-5=105+85⨯22-2845+4-5210+15=0．如图3-1，已知数轴上有三点A 、B 、C ，AB AC 1=2，点C 对应的数是200．（1）若300BC =，求点A 对应的数；（2）如图3-2，在（1）的条件下，动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发向左运动，同时动点R 从A 点出发向右运动，点P 、Q 、R 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒、2单位长度每秒，点M 为线段PR 的中点，点N 为线段RQ 的中点，多少秒时恰好满足4MR RN =（不考虑点R 与点Q 相遇之后的情形）；（3）如图3-3，在（1）的条件下，若点E 、D 对应的数分别为-800、0，动点P 、Q 分别从E 、D 两点同时出发向左运动，点P 、Q 的速度分别为10单位长度每秒、5单位长度每秒，点M 为线段PQ 的中点，点Q 在从是点D 运动到点A 的过程中，32QC AM -的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化，请说明理由．图3-1图3-2图3-3（1）∵BC AC 1=300=2∴AC =600∵C 对应的数是200，则A 对应的数为200-600=-400（2）设t 秒时，MR RN =4则P 表示的数为t -400-10，R 表示的数为t -400+2，Q 表示的数为t 200-5，∵M 为PR 的中点，∴M 表示的数为t-400-4∵N 为RQ 的中点，∴N 表示的数为t 3-100-2()MR t t t =-400+2--400-4=6（M 在左，R 在右）()RN t t t 37=-100---400+2=300-22（N 在右，R 在左）MR RN t t t s 7⎛⎫=4⇒6=4⨯300-⇒=60 ⎪2⎝⎭.∴经过s 60时满足MR RN =4（3）设运动时间为t 秒，则P 表示的数为t -800-10，Q 表示的数为t -5.M 为PQ 的中点，则M 表示的数为t t t -800-10-515=-400-22.()QC t t =200--5=200+5，t AM 1515⎛⎫=-400--400-= ⎪22⎝⎭∴()QC AM t 3315-=200+5⨯-=300222为定值.模块二动线段问题如图，P 是定长线段AB 上一点，C 、D 两点同时从P 、B 出发分别以1cm/s 和2cm/s 的速度沿直线AB 向左运动（C 在线段AP 上，D 在线段BP 上）．已知C 、D 运动到任一时刻时，总有PD AC =2．（1）线段AP 与线段AB 的数量关系是______________；（2）若Q 是线段AB 上一点，且AQ BQ PQ -=，求证：AP PQ =；（3）若C 、D 运动5秒后，恰好有CD AB 1=2，此时C 点停止运动，D 点在线段PB 上继续运动，M 、N 分别是CD 、PD 的中点，问MN AB 的值是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出MNAB 的值．（1）根据C 、D 的运动速度知：2BD PC =，PD AC =2Q ，∴()BD PD PC AC +=2+，即2PB AP =，∴点P 在线段AB 上的13处，即AB AP =3.故答案为：AB AP =3；（2）证明：如图1，由题意得AQ BQ >，AQ AP PQ ∴=+，又AQ BQ PQ -=Q ，AQ BQ PQ ∴=+，AP BQ ∴=.由（1）得，AP AB 1=3，PQ AB AP BQ AB 1∴=--=3.（3）运动5秒时，cm PC =5，cm BD =10.由（1）可知AP AB 1=3设AP x =，则AC AP PC x =-=-5，PB x =2，PD PB BD x =-=2-10.CD AB 1=2Q ，()x x x x 1∴+2-10=⨯3⇒=102则D 仍为动点，设A 为原点AB AP =3=30Q ∴B 表示的数为30，设运动了t 秒（t >5）则D 表示的数为t 30-2，因为M 为CD 的中点，所以M 表示的数为t 5+30-22因为N 为PD 的中点，所以N 表示的数为t 10+30-22t t MN 10+30-25+30-25=-=222MN AB 512∴==3012为定值.。
第四章第05讲难点探究专题：线段上的动点问题七年级数学上册同步学与练(北师大版2024)[含答案]
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第05讲 难点探究专题：线段上的动点问题（4类热点题型讲练）目录【考点一 线段上含动点求线段长问题】【考点二 线段上含动点求定值问题】【考点三 线段上含动点求时间问题】【考点四 线段上含动点的新定义型问题】【考点一 线段上含动点求线段长问题】例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）1．点C 在线段AB 上满足2AC BC =，点D 和点E 是线段AB 上的两动点（点D 在点E 的左侧）满足21cm DE =，36cm AB =．(1)当点E 是BC 的中点时，求AD 的长度；(2)当53AD CE =时，求CD 的长度．【变式训练】（2023七年级上·全国·专题练习）2．（1）如图，已知12cm AB =，点C 为线段AB 上的一个动点，D 、E 分别是AC 、BC 的中点；①若点C 恰为AB 的中点，则DE = cm ；②若4cm AC =，则DE = cm ；（2）如图，点C 为线段AB 上的一个动点，D 、E 分别是AC BC 、的中点；若AB a =，则DE = ；（23-24七年级上·浙江宁波·期末）3．如图，已知线段12AB =，点C 为线段AB 上一动点，点D 在线段CB 上且满足:1:2CD DB =．(1)当点C 为AB 中点时，求CD 的长．(2)若E 为AD 中点，当2DE CE =时，求AC 的长．（23-24七年级上·河北承德·期末）4．应用题：如图，已知线段12AB =cm ，点C 为线段AB 上的一个动点，点D 、E 分别是AC 和BC 的中点．(1)若4AC =，求DE 的长；(2)若C 为AB 的中点，则AD 与AB 的数量关系是______；(3)试着说明，不论点C 在线段AB 上如何运动，只要不与点A 和B 重合，那么DE 的长不变．（2023七年级上·全国·专题练习）5．如图，P 是线段AB 上一点，18cm AB =，C ，D 两动点分别从点P ，B 同时出发沿射线BA 向左运动，到达点A 处即停止运动．(1)若点C ，D 的速度分别是1cm/s ，2cm/s ．①若2cm 14cm AP <<，当动点C ，D 运动了2s 时，求AC PD +的值；②若点C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点，求:AP PB ；(2)若动点C ，D 的速度分别是1cm/s ，3cm/s ，点C ，D 在运动时，总有3PD AC =，求AP 的长度．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）6．综合与实践已知数轴上A 、B 两点所表示的数分别为3-和9．(1)观察发现：直接写出线段AB=__________．(2)情境探究：情境①：当点P为线段AB的中点时，且M为PA的中点，N为PB的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段MN=__________；情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为PA的中点，N为PB的中点，试通过计算判断MN的长度是否发生变化？(3)迁移类比：当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为PA的中点，N为PB的中点，直接写出线段MN的长．【考点二线段上含动点求定值问题】例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）7．如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为6-，3，点P是射线AB上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段AP靠近点A的三等分点，N是线段BP靠近点B的三等分点．(1)若点P表示的有理数是0，那么MN的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么MN的长为___________．(2)点P在射线AB上运动（不与点A，B重合）的过程中，MN的长是否发生改变？若不改变，请写出求MN的长的过程；若改变，请说明理由．【变式训练】（23-24七年级上·湖南湘西·期末）8．如图，M 是线段AB 上一动点，沿A B A ®®以1cm/s 的速度往返运动1次，N 是线段BM 的中点，5cm AB =，设点M 运动时间为t 秒()010t ££．(1)当2t =时，①AM =______cm ，②此时线段BN 的长度=______cm ；(2)用含有t 的代数式表示运动过程中AM 的长；(3)在运动过程中，若AM 中点为C ，则CN 的长度是否变化？若不变，求出CN 的长；若变化，请说明理由．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）9．如图，B 是线段AD 上一动点，沿A D A ®®的路线以2cm /s 的速度往返运动1次，C 是线段BD 的中点，10cm AD =，设点B 的运动时间为()s 010t t ££．(1)当2t =时，则线段AB =________cm ，线段CD =________cm ；(2)当t 为何值时，AB CD =？(3)点B 从点A 出发的同时，点E 也从点A 出发，以cm /s(02)a a <<的速度向点D 运动，若当运动时间t 满足05t ££时，线段EC 的长度始终是一个定值，求这个定值和a 的值．（23-24七年级上·全国·单元测试）10．A ，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为4-，且10AB =．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t 秒（t 0>）．(1)当1t =时，AP 的长为 ，点 P 表示的有理数为 ；(2)当2PB =时，求t 的值；(3)M 为线段AP 的中点，N 为线段PB 的中点．在点 P 运动的过程中，线段MN 的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段MN 的长．（23-24七年级上·福建福州·期末）11．如图，线段24AB =，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB 运动，M 为AP 的中点．点P 的运动时间为x 秒．x=时，求BM的长；(1)若5(2)当P在线段AB上运动时，2BM PB-是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由；(3)当P在射线AB上运动时，N为BP的中点，求MN的长度．（23-24七年级上·河南南阳·期末）AB=，C、D是线段AB上的两个动点（点C在点D的左侧，且都12．如图，已知线段16不与端点A、B重合），2CD=，E为BC的中点．AC=时，求DE的长；(1)如图1，当4(2)如图2，F为AD的中点．、在线段AB上移动过程中，线段EF的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；①点C D若不会，请仅以图2为例求出EF的长；CF=时，请直接写出线段DE的长．②当0.5【考点三线段上含动点求时间问题】例题：（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）AE=，点B、C、D在线段AD上，且13．如图1，已知线段48cmAB BC CD DE=．:::1:2:1:2(1)BC =__________cm ，CD =__________cm ；(2)已知动点M 从点A 出发，以2cm /s 的速度沿A B C D E ----向点E 运动；同时动点N 从点E 出发，以1cm /s 的速度沿E D C B A ----向点A 运动，当点M 到达点E 后立即以原速返回，直到点N 到达点A ，运动停止；设运动的时间为t ．①求t 为何值，线段MN 的长为12cm ；②如图2，现将线段AE 折成一个长方形ABCD （点A 、E 重合），请问：是否存在某一时刻，以点A 、B 、M 、N 为顶点的四边形面积与以点C 、D 、M 、N 为顶点的四边形面积相等，若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【变式训练】（23-24七年级上·浙江宁波·期末）14．定义：在同一直线上有,,A B C 三点，若点C 到,A B 两点的距离呈2倍关系，即2AC BC =或2BC AC =，则称点C 是线段AB 的“倍距点”．(1)线段AB 的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”）(2)已知9AB =，点C 是线段AB 的“倍距点”，直接写出AC = ．(3)如图1，在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点．①现有一动点P 从原点O 出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为t 秒(0)t >，求当t 为何值时，点P 为AC 的“倍距点”？②现有一长度为2的线段MN （如图2，点M 起始位置在原点），从原点O 出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点N 为MC 的“倍距点”时，请直接写出t 的值．【考点四 线段上含动点的新定义型问题】例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）15．已知线段20AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =．(1)求线段AC，CB的长；=．(2)点P是线段AB上的动点，线段AP的中点为D，设AP a①请用含有a的式子表示线段PC，DC的长；②若三个点D，P，C中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称D，P，C三点为“和谐点”，求使得D，P，C三点为“和谐点”的a的值．【变式训练】（22-23七年级上·山东青岛·期末）AB AC和BC，若其中一条16．如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段,线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；AB=，点C为线段AB的“巧点”，则AC=_______；(2)若线段18cmAB=，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B运动，点(3)如图2，已知．18cmQ从点B出发，以1cm/s的速度沿BA向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段AQ的“巧点”？并说明理由．（23-24七年级上·安徽·期末）17．（1）【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中有3条线段，分别是AC，BC，AB，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点C是线段AB的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”）（2）【新知应用】-，点B对应的数为7，若点C在线段AB 如图2，A，B为数轴上的两点，点A对应的数为5上，且点C为线段AB的“妙点”，当点C在数轴的负半轴上时，点C对应的数为______．（3）【拓展探究】已知A，B为数轴上的两点，点A对应的数为a，点B对应的数为b，且a，b满足()2-++=，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，若点P的运动速度840a b为每秒2个单位长度，点Q的运动速度为每秒3个单位长度，当点P，Q相遇时，运动停止．求当点P恰好为线段AQ的“妙点”时，点P在数轴上对应的数．1．(1)9cm (2)33cm 2【分析】本题考查线段的和差，线段的中点．（1）由2AC BC =，36cm AC BC AB +==可得24cm AC =，12cm BC =，由点E 是BC 的中点，得到16cm 2CE BC ==，从而15cm CD DE CE =-=，9cm AD AC CD =-=；（2）设cm CE x =，则55cm 33AD CE x ==，()524cm 3CD AC AD x =-=-，根据21cm CD CE DE +==即可得到方程，求解即可解答．【详解】（1）∵2AC BC =，36cm AC BC AB +==，∴24cm AC =，12cm BC =，∵点E 是BC 的中点，∴()11126cm 22CE BC ==´=，∵21cm DE =，∴()21615cm CD DE CE =-=-=，∴()24159cm AD AC CD =-=-=；（2）设cm CE x =，则55cm 33AD CE x ==，()524cm 3CD AC AD x =-=-，∵21cm CD CE DE +==，∴524213x x -+=，解得92x =，∴()559332424cm 3322CD x =-=-´=．2．（1）①6；② 6；（2）2a【分析】本题考查了两点间的距离、线段的和差、线段的中点等知识点，掌握同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半成为解题的关键．（1）①根据线段的中点性质可得162AC CB AB ===、132CD AC ==、132CE CB ==,然后根据线段的和差即可解答；②由线段的和差可得1248CB =-=，再根据线段的和差可得122CD AC ==,142CE CB ==,然后根据线段的和差即可解答；（2）根据线段的中点性质可得AD DC CE EB ==，，再根据线段的和差即可解答．【详解】解：（1）①∵12cm AB =，点C 恰为AB 的中点，∴()162AC CB AB cm ===,∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴()132CD AC cm ==,()132CE CB cm ==,∴336(cm)DE =+=；②∵12cm AB =，4cm AC =，∴()1248CB cm =-=,∵D 、E 分别是AC 、BC 的中点,∴()122CD AC cm ==,()142CE CB cm ==,∴246(cm)DE =+=，故答案为：6，6；（2）∵点D 、E 分别是AC 、BC 的中点，∴AD DC CE EB ==，，∴()111222DE DC CE AC BC AB a =+=+==．故答案为：12a ．3．(1)2(2)6【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形．（1）根据线段中点的性质计算即可；（2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算．【详解】（1）解：∵点C 为AB 中点，12AB =∴162BC AB ==，∵:1:2CD DB =∴123CD BC ==；（2）解：如图，∵E 为AD 中点，∴12AE DE AD ==∵2DE CE =，∴CD CE =，∵12CD DB =：：，∴22BD CD CE DE ===，∴143AE DE BD AB ====，∴122CE DE ==，∴426AC AE CE =+=+=．4．(1)6cmDE =(2)14AD AB =(3)见解析【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系．（1）首先根据线段的和差关系求出8BC AB AC =-=，然后根据线段中点的概念求出2DC =，4CE =，进而求和可解；（2）根据线段中点的概念求解即可；（3）根据线段中点的概念求解即可．【详解】（1）Q 4AC =，\8BC AB AC =-=，Q 点D 是AC 的中点，\2DC =，Q 点E 是BC 的中点，\4CE =，\6DE DC CE =+=(cm )；（2）Q C 为AB 的中点，\12AC AB =，Q 点D 是AC 的中点，\11112224AD AC AB AB ==´=；（3）Q 点D 是AC 的中点，\12DC AC =，Q 点E 是BC 的中点，\12CE CB =，\1116222DE DC CE AC CB AB =+=+==(cm )，\DE 的长不变．5．(1)①12cm ；②1:2；(2)9cm 2．【分析】（1）①先计算BD PC ，，再计算AC PD +即可；②利用中点的性质求解即可；（2）设运动时间为s t ，则cm PC t =，3cm BD t =，得到3BD PC =，又由3PD AC =，得到3PB AP =，进而得到14AP AB =即可求解；本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键．【详解】（1）解：①由题意得：()224cm BD =´=，()122cm PC =´=，()182412cm AC PD AB PC BD \+=--=--=；②∵点C 到达AP 中点时，点D 也刚好到达BP 的中点，设运动时间为t ，则：22AP PC t ==，24BP BD t ==，:2:41:2AP PB t t \==；（2）解：设运动时间为s t ，则cm PC t =，3cm BD t =，3BD PC \=，3PD AC=Q ()3333PB PD BD PC AC PC AC AP \=+=+=+=，()19cm 42AP AB \==．6．(1)12(2)情境①：图见解析，6；情境②：MN 的长度不变．(3)6【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键．（1）根据两点间的距离求解即可；（2）情境①：先根据点P 为线段AB 的中点求出6AP BP ==，再根据M 为PA 的中点，N 为PB 的中点求出3MP =，3NP =，然后相加即可；情境②：根据M 为PA 的中点，N 为PB 的中点求出12MP AP =，12NP BP =，然后相加即可；（3）根据中点的定义得12PM AP =，12PN BP =，然后根据MN PN PM =-求解即可．【详解】（1）()9312MN =--=．故答案为：12；（2）情境①：如图，∵点P 为线段AB 的中点，∴162AP BP AB ===．∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴132MP AP ==，132NP BP ==，∴6MN MP NP =+=．故答案为：6；情境②：∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴12MP AP =，12NP BP =，∴6MN MP NP =+=．∴()11622MN MP NP AP BP AB =+=+==，∴MN 的长度不变；（3）∵M 为PA 的中点，N 为PB 的中点，∴12PM AP =，12PN BP =，∴()11622MN PN PM PB PA AB =-=-==．7．(1)6；6(2)不会，MN 的长为定值6【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键．（1）根据题意求出AP BP 、的长度，根据三等分点的定义求出NP MP 、的长度，即可得到答案；（2）分63a -<<及3a >两种情况分类讨论即可得到答案．【详解】（1）解：若点P 表示的有理数是0，根据题意可知：6,3AP BP ==，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，224,233MP AP NP BP \====，6MN MP NP \=+=；若点P 表示的有理数是6，12,3AP BP \==，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，228,233MP AP NP BP \====，6MN MP NP \=-=；故答案为：6；6；（2）解：MN 的长不会发生改变；设点P 表示的有理数为a （6a >-且3a ¹），当63a -<<时，6AP a =+，3BP a =-，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，2222(6),(3)3333MP AP a NP BP a \==+==-，6MN MP NP \=+=；当3a >时，6AP a =+，3BP a =-，Q M 是线段AP 靠近点A 的三等分点，N 是线段BP 靠近点B 的三等分点，2222(6),(3)3333MP AP a NP BP a \==+==-，6MN MP NP \=-=；综上所述，点P 在射线AB 上运动（不与点A ，B 重合）的过程中，MN 的长不会发生改变，长是定值6．8．(1)①2，②1.5；(2)当05t ££时，cm AM t =，当510t <£时，()10cm AM t =-；(3)CN 的长度不变，为2.5cm【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式：（1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案；（2）分当05t ££时，当510t <£时，两种情况讨论求解即可；（3）根据线段中点的定义得到1122CM AM NM BM ==，，再由线段的和差关系可得1 2.5cm 2CN CM MN AB =+==．【详解】（1）解；①由题意得，212cm AM =´=；②∵5cm AB =，2cm AM =，∴3cm BM AB AM =-=，∵N 是线段BM 的中点，∴1 1.5cm 2BN BM ==；（2）解：当05t ££时，cm AM t =，当510t <£时，()10cm AM t =-；（3）解：∵点C 和点N 分别是AM BM ，的中点，∴1122CM AM NM BM ==，，∴111 2.5cm 222CN CM MN AM BM AB =+=+==，∴CN 的长度不变，为2.5cm ．9．(1)4；3(2)5S 3或25S 3(3)1a =，定值为5【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系（1）根据2t =可求出AB 的长以及BC 的长，再由C 是线段BD 的中点，即可求得；（2）分情况讨论，当A D ®时，存在AB CD =；当D A ®时，存在AB CD =，考虑两种情况即可；（3）根据点B 和点E 的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段EC ，即可求得．【详解】（1）解：∵10cm AD =，点B 以2cm /s 的速度运动，∴2t =时，4cm AB =，6cm BD =，∵C 是线段BD 的中点，∴3cmBC CD ==故答案为：43，（2）解：∵C 是线段BD 的中点，∴12BC CD BD ==，∵AB CD =，∴AB BC CD ==，∴310AB =，10cm 3AB CD ==，当点B 从A D ®时，()1052s 33t =¸=当点B 从D A ®时，∵点B 沿A D A ®®的路线需要()()1010210s +¸=故()52510s 33t =-=综上所述，当t 为5s 3或25s 3时，AB CD =．（3）解：如图，由题意得：点E 的速度是cm /s a ，点B 速度为2cm /s∵02a <<，∴点B 在点E 右侧，由题意可知2,,102AB t AE at BD t===-∴2EB t at=-∵C 是线段BD 的中点∴152BC BD t ==-即25EC EB BC t at t=+=-+-∵线段EC 的长度始终是一个定值∴()15EC a t =-+故10a -=解得1a =，定值为510．(1)2，2-；(2)4t =或6t =；(3)5MN =【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面．（1）根据点P 的运动速度，即可求出；（2）当2PB =时，要分两种情况讨论，点P 在点B 的左侧或是右侧；（3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变．【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度，所以当1t =时，AP 的长为2，因为点 A 对应的有理数为4-，2AP =，所以点P 表示的有理数为2-；（2）解：当2PB =，要分两种情况讨论，点P 在点B 的左侧时，因为10AB =，所以8AP =，所以4t =；点P 在点B 的是右侧时，12AP =，所以6t =；（3）解：MN 长度不变且长为5．理由如下：当P 在线段AB 上时，如图，∵M 为线段AP 的中点，N 为线段PB 的中点，∴12MP AP =，12NP BP =，∴ ()1122MN AP BP AB =+=，∵10AB =，∴5MN =．当P 在线段AB 的延长线上时，如图，同理可得：()11522MN MP NP AP BP AB =-=-==；综上：5MN =．11．(1)19cm(2)2BM PB -是定值，定值为24(3)12cm【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键．（1）当5x =时，2510AP =´=，则152AM AP ==，根据BM AB AM =-，计算求解即可；（2）由题意知，12AM AP =，BM AB AM =-，根据()()22BM PB AB AM AB AP AB -=---=，求解作答即可；（3）由题意知，分当P 在线段AB 上运动时，如图1，根据()1122MN MP NP AP BP AB =+=+=，计算求解即可；当P 在线段AB 的延长线上运动时，如图2，根据()1122MN MP NP AP BP AB =-=-=，计算求解即可．【详解】（1）解：当5x =时，2510AP =´=，∵M 为AP 的中点，∴152AM AP ==，∴19BM AB AM =-=，∴BM 的长为19．（2）解：当P 在线段AB 上运动时， 2BM PB -是定值；由题意知，12AM AP =，BM AB AM =-，∴()()22224BM PB AB AM AB AP AB AP AB AP AB -=---=--+==，∴2BM PB -是定值，定值为24；（3）解：当P 在线段AB 上运动时，如图1，图1由题意知，1122PN BP MP AP ==，，∴()1112cm 22MN MP NP AP BP AB =+=+==；当P 在线段AB 的延长线上运动时，如图2，图2由题意知，1122PN BP MP AP ==，，()1112cm 22MN MP NP AP BP AB =-=-==；综上所述，MN 的长度为12cm ．12．(1)4(2)①不会发生变化，EF 的长是7；②4.5或5.5【分析】本题考查两点间的距离，（1）先求出12BC =，再根据线段中点的定义得到6CE =，最后根据DE CE CD =-可得答案；（2）①根据()12EF AB AB CD =-+可得结论；②分两种情况讨论即可；熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键．【详解】（1）解：∵4AC =，16AB =，∴16412BC AB AC =-=-=，∵E 为BC 的中点，∴1112622CE BC ==´=，∵2CD =，∴624DE CE CD =-=-=，∴DE 的长为4；（2）①∵E 是BC 的中点，F 是AD 的中点，16AB =，2CD =，∴12AF FD AD ==，12CE BE BC ==，∴EF FD DE=+1122AD BC CD =+-()12AD BD CD CD =++-1122AB CD =-1116222=´-´7=，∴线段EF 的长度不会发生变化，7EF =；②当点F 在点C 的左侧时，∵0.5FC =，2CD =，∴ 2.5FD FC CD =+=，由①知：7EF =，∴7 2.5 4.5DE EF FD =-=-=；当点F 在点C 的右侧时，∵0.5FC =，CD =2，∴ 1.5FD CD FC =-=，由①知：7EF =，∴7 1.5 5.5DE EF FD =-=-=，综上所述，当0.5CF =时，线段DE 的长为4.5或5.5．13．(1)16，8(2)①12t s =或20s 或36s ；②存在，8t s=【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形．（1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果；（2）①分为相遇前，相遇后以及M 点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M 在BC 上，N 在AD 上），此时CM AN =即可列出方程求得，当M 点返回时，点M 在AD 上，点N 在BC 上，此时AM CN =，列出方程求得，【详解】（1）解：248161212BC cm =´=+++，14881212CD cm =´=+++，故答案是：16，8；（2）①当M 、N 第一次相遇时，481612t s ==+，当M 到达E 点时，48242t s ==，如图1，当016t <<时，21248t t ++=，∴12t =，如图2，当1224t <<时，21248t t -+=，∴20t =，如图3，当2448t <<时，24812t t =-+，∴36t =，综上所述：12t s =或20s 或36s ；②如图4，当016t <<时，由AN CM =得，242t t -=，∴8t =，如图5，当2432t £<时，24824t t -=-，∴24t =，此时不构成四边形，舍去综上所述：8t s =．14．(1)不是(2)3或6或9或18(3)①52或4或10；②5t =或8或10或13【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差，（1）根据中点的意义可得AP BP =，不满足“倍距点”定义，即可作答；（2）分情况讨论当点C 在线段AB 上时，当点C 在线段AB 延长线上时，当点C 在线段BA 延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可；（3）①由题意得，2OP t =，表示出22,211AP t CP t =-=-，根据点P 为AC 的“倍距点”，可得2AP CP =或2CP AP =，得出222211t t -=-或211222t t -=-，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M 表示的数为t ，点N 表示的数为2t +，表示出2119NC t t =+-=-，根据点N 为MC 的“倍距点”，可得2NC MN =或2MN NC =，进而得出94t -=或91t -=，解绝对值方程求解即可；熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键．【详解】（1）假设点P 是线段AB 的中点，∴AP BP =，∴线段AB 的中点不是该线段的“倍距点”，故答案为：不是；（2）当点C 在线段AB 上时，9AB AC BC =+=，若2AC BC =，则6AC =，若2BC AC =，则3AC =；当点C 在线段AB 延长线上时，2AC BC =，则9AB BC ==，则18AC =当点C 在线段BA 延长线上时，2BC AC =，则9AB AC ==；故答案为：3或6或9或18；（3）∵在数轴上，点A 表示的数为2，点B 表示的数为20，点C 为线段AB 中点，∴点C 表示的数为11，①由题意得，2OP t =，∴22,211AP t CP t =-=-，若点P 为AC 的“倍距点”，则2AP CP =或2CP AP =，即222211t t -=-，解得4t =或10；或211222t t -=-，解得 2.5t =（负舍）；综上，t 的值为52或4或10；②由题意得点M 表示的数为t ，点N 表示的数为2t +，∴2119NC t t =+-=-，∵点N 为MC 的“倍距点”，∴则2NC MN =或2MN NC =，即94t -=或91t -=，解得5t =或8或10或13．15．(1)12cm AC =，8cmCB =(2)①当点P 在线段AC 上时，()12cm PC a =-，112cm 2DC a æö=-ç÷èø；当点P 在线段BC 上时，()12cm PC a =-，112cm 2DC a æö=-ç÷èø；②a 的值为8或16【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键．（1）由线段15cm AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =，可得答案；（2）①分当点P 在线段AC 上时和当点P 在线段BC 上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得a 的值．【详解】（1）解：解：∵线段20cm AB =，点C 在线段AB 上，且35AC AB =，∴32012cm 5AC =´=，2208cm 5CB =´=；（2）解：①当点P 在线段AC 上时，∵点D 是AP 的中点，∴1122AD AP a ==，()12cm PC AC AP a =-=-，112cm 2DC AC AD a æö=-=-ç÷èø；当点P 在线段BC 上时，∵点D 是AP 的中点，∴1122PD AP a ==，()12cm PC AP AC a =-=-，112cm 2DC AC AD a æö=-=-ç÷èø；②当点P 在线段AC 上时，则DP PC =，∴1122a a =-，解得：8a =，当点P 在线段BC 上时，则DC PC =，∴112122a a -=-，解得：16a =，综上：a 的值为8或16．16．(1)是；是(2)6cm 或9cm 或12cm (3)18s 7或18s 5或9s 2，理由见解析【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论．（1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可；（2）根据点C 为线段AB 的中点或三等分点时，点C 是线段AB 的“巧点”进行解答即可；（3）分三种情况：当13AP AQ =时，当12AP AQ =时，当23AP AQ =时，分别列出方程求出结果即可．【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”；故答案为：是；是．（2）解：∵当点C 为线段AB 的中点或三等分点时，点C 是线段AB 的“巧点”，∴()11189cm 22AC AB ==´=，或()11186cm 33AC AB ==´=，或()221812cm 33AC AB ==´=．故答案为：6cm 或9cm 或12cm ．（3）解：由题意得：2AP t =，BQ t =，18AQ t =-，t 的范围应该在0~9秒之间，∵点P 为AQ 的巧点，∴点P 应该在点Q 的左边，t 的范围应该在0~6秒之间，当13AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()1218t 3t =- ，解得：187t =；当12AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()t 21218t =-，解得：185t =；当23AP AQ =时，P 为AQ 的巧点，∴()2218t 3t =- ，解得：92t =；所以当t 为18s 7或18s 5或9s 2时，点Р为线段AQ 的“巧点”．17．（1）是；（2）1-；（3）163或4【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用．（1）根据“妙点”的定义即可判断；（2）根据点C 为线段AB 的“妙点”，且点C 在数轴的负半轴上，则2BC AC =，设C 为x ，建立方程求解即可；（3）设当点P 恰好为线段AQ 的“妙点”时，,P Q 的运动时间为t ，13AP AQ =或13PQ AQ =，利用方程的思想解得t ，继而求得点P 在数轴上对应的数．【详解】（1）如图1，∵C 为线段AB 的三等分点，∴2BC AC =，∴点C 为线段AB 的“妙点”故答案为：是（2）如图2，∵点A 对应的数为5-，点B 对应的数为7，∴7(5)12AB =--=，又点C 为线段AB 的“妙点”，当点C 在数轴的负半轴上时，设C 为x ，∵2BC AC =，∴72(5)x x -=+，解得：1x =-，点C 对应的数为1-，故答案为：1-（3）()2840a b -++=Q ，∴8,4a b ==-，∴8(4)12AB =--=设当点P 恰好为线段AQ 的“妙点”时，,P Q 的运动时间为t ，则2,3,123,125AP t BQ t AQ t PQ t ===-=-，依题意：13AP AQ =或13PQ AQ =，即12(123)3t t =-或1125(123)3t t -=-，解得：43t =或2t =，又当点P ，Q 相遇时，2312t t +=，得125t =，即1205t ££，当43t =时，48233AP =´=，故点P 在数轴上对应的数为816833-=，当2t =时，224AP =´=，故点P 在数轴上对应的数为844-=，故答案为：163或4。
人教(湖北专版)七年级数学上册课件：专题：线段中的简单动点问题
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月10日星期五2021/9/102021/9/102021/9/10 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/102021/9/102021/9/109/10/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/102021/9/10September 10, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/102021/9/102021/9/102021/9/10
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。