2018南平质检数学试题与答案
【南平一检数学答案】南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学评分标准
22. 解：连接 HB，
∵AE⊥EO，
D
∴∠AEO=90º，
∵△AEO 绕点 O 顺时针旋转得到△DHO， ∴△AEO≌△DHO，
E
H
∴∠A=∠D，
∠DHO=∠AEO=90º ， ∠DOH=∠AOE ，
A
O
B
第 22 题答题图
…………………………………………………………………3 分
∵D、H、B 在一条直线上，
求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给 分．
（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 1．C； 2．B； 3．C； 4．D； 5．D； 6．A； 7．C； 8．B； 9．A； 10．B． 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
∴ m=1或m 2 .……………………………………………………………………8 分
19．（1）解：食堂早餐的食品一共有 8 种不同的可能.……………………………………2 分
(2) 方法一：
肉包
馒头
鸡蛋
油饼
牛奶
豆浆 牛奶
豆浆 牛奶 豆浆 牛奶 豆浆 ………………………………………………6 分
∴（肉包，牛奶）（肉包，豆浆）（馒头，牛奶）（馒头，豆浆） （鸡蛋，牛奶）（鸡蛋，豆浆）（油饼，牛奶）（油饼，豆浆），………………7 分
南平市 2018-2019 学年第一学期九年级期末质量检测 数学试题参考答案及评分说明
说明：
（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分 150 分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题 的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要
2018届福建省南平市高三第二次(5月)综合质量检查数学理试题(word版)含答案
2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数()2i z a =-，a ∈R ，若复数z 是纯虚数，则z =（ ）A ．1B ．2 D ．4 2．若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则sin 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ． C ．- D3．命题:,sin cos p x x x ∀∈+≥R :0,e 1xq x -∃<<，真命题的是（ ）A ．p q ∧B ．()p q ⌝∨C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝4．如图，半径为R 的圆O 内有四个半径相等的小圆，其圆心分别为,,,A B C D ，这四个小圆都与圆O 内切，且相邻两小圆外切，则在圆O 内任取一点，该点恰好取自阴影部分的概率为（ ）A ．12-．6-．9-．3-5．过双曲线22:1x y Γ-=上任意点P 作双曲线Γ的切线，交双曲线Γ两条渐近线分别交于,A B 两点，若O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16．5112x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中的常数项为（ ）A ．20B ．-20C ．40D ．-407．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱（侧棱垂直于底面的三棱柱）称之为“堑堵”．现有一块底面两直角边长为3和4，侧棱长为12的“堑堵”形石材，将之切削、打磨，加工成若干个相同的石球，并让石球的体积最大，则所剩余的石料体积为（ ） A ．7216π- B ．7212π- C ．728π- D ．726π- 8．已知函数()()()cos 30f x x ϕϕπ=+<<，将()f x 的图象向右平移6π个单位后所得图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，将()f x 的图象向左平移()0θθ>个单位后所得图象关于y 轴对称，则θ的值不可能是（ ）A ．4πB ．512π C ．712π D ．1112π9．在ABC ∆中，若8BC =，BC 边上中线长为3，则AB AC ⋅=uu u r uu u r（ ）A ．-7B ．7C ．-28D ．28 10．执行如图所示的程序框图，输出s 的值为（ ）A ．-1008B ．-1010C ．1009D ．100711．已知顶点在同一球面O 上的某三棱锥三视图中的正视图，俯视图如图所示．若球O 的体积为，则图中的a 的值是（ ）A ．． D ．12．若函数()sin e xxg x mx =+在区间()0,2π有一个极大值和一个极小值，则实数m 的取值范围是（ ） A ．22e ,e ππ--⎛⎫- ⎪⎝⎭ B ．()2e ,e ππ--- C ．52e ,e ππ-⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()3e ,e ππ-- 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若实数,x y 满足,22,0,x y x y y ≥⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，且()0,0z mx ny m n =+>>的最大值为4，则11m n +的最小值为 ．14．已知实数,x y 满足2sin 1x y -=，则sin y x -的取值范围是 ．15．直线l 与椭圆22:142x y Γ+=相交于,P Q 两点，若OP OQ ⊥（O 为坐标原点），则以O 点为圆心且与直线l 相切的圆方程为 ．16．在ABC ∆中，若222sin 3sin 3sin sin sin C A B A B C =+-，则角C = ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知0n a >，11a =()2,n a n n =≥∈*N ．（Ⅰ）求证：是等差数列；（Ⅱ）设12n n n b a -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 18． 某地区某农产品近五年的产量统计如下表：（Ⅰ）根据表中数据，建立y 关于t 的线性回归方程ˆˆˆybt a =+，并由所建立的回归方程预测该地区2018年该农产品的产量；（Ⅱ）若近五年该农产品每千克的价格V （单位：元）与年产量y （单位：万吨）满足的函数关系式为3.780.3V y =-，且每年该农产品都能售完．求年销售额S 最大时相应的年份代码t 的值，附：对于一组数据(),,1,2,,i i t y i n =L ，其回归直线ˆˆˆybt a =+的斜率和截距的计算公式：()()()121ˆniii ni i t t y y bt t==--=-∑∑，ˆˆay b t =-⋅． 19． 如图，在四棱锥S ABCD -中，侧面SCD 为钝角三角形且垂直于底面ABCD ，CD SD =，点M 是SA 的中点，AD BC ∥，90ABC ∠=︒，12AB AD BC ==. （Ⅰ）求证：平面MBD ⊥平面SCD ；（Ⅱ）若直线SD 与底面ABCD 所成的角为60°，求二面角B MD C --余弦值．20． 过点()1,2D 任作一直线交抛物线24x y =于,A B 两点，过,A B 两点分别作抛物线的切线12,l l ． （Ⅰ）记12,l l 的交点M 的轨迹为Γ，求Γ的方程；（Ⅱ）设Γ与直线AB 交于点E （异于点,A B ），且1EA AD λ=uu r uuu r ，2EB BD λ=uu r uu u r．问12λλ+是否为定值？若为定值，请求出定值．若不为定值，请说明理由. 21． 己知函数()()1ln 2f x x m m x ⎛⎫=+-∈⎪⎝⎭R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 的最小值为-1，m ∈*N ，数列{}n b 满足11b =，()()13n n b f b n +=+∈*N ，记[][][]12n n S b b b =+++L ，[]t 表示不超过t 的最大整数．证明：11112ni i i S S =+<∑． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的方程为2212x y +=，曲线2C 的参数方程为cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），曲线3C 的方程为tan y x α=，（0,02x πα<<>），曲线3C 与曲线12C C 、分别交于,P Q 两点．（Ⅰ）求曲线12C C 、的极坐标方程； （Ⅱ）求22OP OQ ⋅的取值范围． 23．选修4-5：不等式选讲已知函数()32f x x a x =--+，()0a >． （Ⅰ）当1a =时，解不等式()1f x x >-；（Ⅱ）若关于x 的不等式()4f x >有解，求a 的取值范围.2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学试题 参考答案及评分标准一、选择题1-5:CDCAD 6-10:CCBAC 11、12：BA二、填空题13．2 14．5,14⎡-+⎢⎣ 15．2243x y += 16．23π三、解答题17．（Ⅰ）证：当2n ≥时，1n n n a S S -=-，1n n S S --，=，因为0n a >0≠，()12,n n =≥∈*N ，故是等差数列；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知是以1为首项，1为公差的等差数列，()111n n=+-⋅=从而2nS n=，当2,n n≥∈*N时，121na n n n==+-=-，又11a=适合上式，所以21na n=-．所以()112212n nn nb a n--=⋅=-⋅012123252nT=⨯+⨯+⨯+L()()21232212n nn n---⨯+-⨯①1232123252nT=⨯+⨯+⨯+L()()1232212n nn n--⨯+-⨯②()123122222222nnT-=-⨯+⨯+⨯++⨯L()2121nn+-⨯-()()232222121n nn=-++++-⨯-=L()()1412212112nnn---+-⨯--1124221n n nn++=-++⋅--=12323n nn+⋅-⋅+18．解：（Ⅰ）由题意可知：1234535t++++==，5.6 5.766.2 6.565y++++==，()()()()()()5120.410.3i iit t y y=--=-⨯-+-⨯-∑010.220.5 2.3++⨯+⨯=()()()25222212101210iit t=-=-+-+++=∑()()()1212.3ˆ0.2310ni iiniit t y ybt t==--===-∑∑，ˆˆ60.233 5.31a b=-⋅=-⨯=，∴y关于t的线性回归方程为ˆ0.23 5.31y t=+；当6t=时，ˆ0.236 5.31 6.69y=⨯+=，即2018年该农产品的产量为6.69万吨（Ⅱ）当年产量为y时，年销售额()33.780.310S y y=-⋅⨯()230012.6y y=-（万元），因为二次函数图像的对称轴为 6.3y=，又因为{}5.6,5.7,6,6.2,6.5y∈，所以当 6.2y =时，即2016年销售额最大，于是4t =.19．（Ⅰ）证明：取BC 中点E ，连接DE ，设AB AD a ==，2BC a =，依题意得，四边形ABED 为正方形，且有BE DE CE a ===，BD CD ==， 所以222BD CD BC +=，所以BD CD ⊥，又平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，BD ⊂底面ABCD ， 所以BD ⊥平面SCD .又BD ⊂平面MBD ，所以平面MBD ⊥平面SCD（Ⅱ）过点S 作CD 的垂线，交CD 延长线于点H ，连接AH ，因为平面SCD ⊥底面ABCD ，平面SCD I 底面ABCD CD =，SH CD ⊥SH ⊂平面SCD ，所以SH ⊥底面ABCD ，故DH 为斜线SD 在底面ABCD 内的射影， SDH ∠为斜线SD 与底面ABCD 所成的角，即60SDH ∠=︒由（Ⅰ）得，SD =，所以在Rt SHD ∆中，SD =，2DH =，2SH a =，在ADH ∆中，45ADH ∠=︒，AD a =，2DH a =，由余弦定理得2AH a =， 所以222AH DH AD +=，从而90AHD ∠=︒， 过点D 作DF SH ∥，所以DF ⊥底面ABCD ，所以,,DB DC DF 两两垂直，如图，以点D 为坐标原点，DB uu u r 为x 轴正方向，DC u u u r 为y 轴正方向，DF uuu r为z 轴正方向建立空间直角坐标系，则),0,0B，(),0C ，0,2S a a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,,0A ⎫⎪⎪⎝⎭，,M ⎫⎪⎪⎝⎭， 设平面MBD 的法向量(),,n x y z =r00n DB n DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r uu u r r uuu u r得00x y z =-+= 取1z =得n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭r ，设平面MCD 的法向量(),,m x y z '''=u r00m DC m DM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuu u r得0042x y z '='''-+=⎩， 取1z '=得，()m =u r，所以cos ,n mn m n m⋅===⋅r u rr u r r u r 故所求的二面角B MD C --的余弦值为7. 20．解（Ⅰ）设切点()11,A x y ，()22,B x y ，12,l l 交点(),M x y '' 由题意得切线AM 的方程为()112x x y y =+， 切线BM 的方程为()222x x y y =+， 又因为点(),M x y ''分别在直线,AM BM 上， 所以()112x x y y ''=+,()222x x y y ''=+则直线AB 的方程为()2x x y y ''=+，又因为点()1,2D 在直线AB 上， 所以()22x y ''=+，即切线交点M 的轨迹Γ的方程是240x y --=.（Ⅱ）设点()00,E x y ，()1010,EA x x y y =--uu r()111,2AD x y =--uuu r ，因为1EA AD λ=uu r uuu r ，所以()()1010111,1,2x x y y x y λ--=--， 因此()10111x x x λ-=-，()10112y y y λ-=-，即01111x x λλ+=+，011121y y λλ+=+，又因为点()11,A x y 在抛物线24x y =上，所以2010*******x y λλλλ⎛⎫⎛⎫++= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()22100100722440y x y x λλ⇒++-+-=（1）由于点()00,E x y 在直线上，所以00240x y --=，把此式代入（1）式并化简得：22100740y x λ+-=（2），同理由条件2EB BD λ=uu r uu u r 可得：22200740y x λ+-=（3），由（2），（3）得12,λλ是关于λ的方程2200740y x λ+-=的两根，由韦达定理得120λλ+=.即12λλ+为定值.21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()0,+∞.()221m x mf x x x x-'=-= 1、当0m ≤时，()0f x '>，即()f x 在()0,+∞上为增函数；2、当0m >时，令()0f x '>得x m >，即()f x 在(),m +∞上为增函数； 同理可得()f x 在()0,m 上为减函数.()f x 有最小值为-1()f x 的最小值点为x m =，即()1f m =-，则ln 121m m +-=-， 令()()ln 22,1g m m m m =-+≥()12g m m'=- 当1m >时，()120g m m'=-<，故()g m 在()1,+∞上是减函数 所以当1m >时()()10g m g <=∵m ∈*N ，∴1m =.（未证明，直接得出不扣分）则11ln 1n n nb b b +=++.由11b =得22b =， 从而33ln 22b =+.∵1ln 212<<，∴323b <<.猜想当3,n n ≥∈*N 时，23n b <<. 下面用数学归纳法证明猜想正确. 1、当3n =时，猜想正确.2、假设()3,n k k k =≥∈*N 时，猜想正确.即3,k k ≥∈*N 时，23k b <<. 当1n k =+时，有11ln 1k k kb b b +=++， 由（Ⅰ）知()1ln 1h x x x =++是()2,3上的增函数， 则()()()23k h h b h <<，即134ln 2ln 323k b ++<<+，由15ln 2,ln 323><得123k b +<<.综合1、2得：对一切3,n n ≥∈*N ，猜想正确. 即3,n n ≥∈*N 时，23n b <<.于是，[][]()11,22n b b n ==≥，则[][][]1221n n S b b b n =+++=-L .故()()111112121nni i i i S S i i ==+==-+∑∑111111123352121n n ⎛⎫-+-++- ⎪-+⎝⎭L 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭22．解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线1C 的极坐标方程为2222cos sin 12ρθρθ+=，即2221sin ρθ=+由cos 1sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数），消去ϕ，即得曲线2C 直角坐标方程为()2211x y +-=将cos x ρθ=，sin y ρθ=，代入化简， 可得曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=（Ⅱ）曲线3C 的极坐标方程为θα=，0,02πρα⎛⎫><< ⎪⎝⎭由（1）得2221sin OP α=+，224sin OQ α=即22228sin 1sin OP OQ αα=+2811sin α=+ 因为02πα<<，所以0sin 1α<<， 所以()220,4OP OQ ∈23．解：（Ⅰ）当1a =时，即解不等式1321x x x --+>-当1x >时，不等式可化为231x x -->-，即23x <-，与1x >矛盾无解 当213x -≤≤时，不等式可化为411x x -->-， 即0x <，所以解得203x -≤< 当23x <-时，不等式可化为231x x +>-， 即4x >-，所以解得243x -<<- 综上所述，不等式的解集为()4,0-（Ⅱ）()222,3242,322,x a x f x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--+-≤≤⎨⎪--->⎪⎪⎩因为函数()f x 在2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭上单调递增，在2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以当23x =-时，()max 23f x a =+ 不等式()4f x >有解等价于()max 243f x a =+>， 故a 的取值范围为10,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭。
2018届福建省南平市高三5月质量检查理科数学试题及答
2018年南平市普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．3．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知∈y x ，R ，i 为虚数单位，且i y 1yi x i -=-+ i ，则(1)x y i +-i )xyi +-的值为 A ．2 B ．-2i C ．-4D ．2i2．已知直线1=+y x 与圆122=+y x 相交B A ，两点，则=||AB A ．22B ． 2C ．23D ．3 3．等比数列{}n a 的各项均为正数，且87465=+a a a a ，则12log a +22log a +…+102log a =A ．10B ． 8C ． 6D ． 44．当α为锐角时，“⎰=α21cos xdx ”是“6π=α”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+. 若//AB OC ，则实数m 的值为 A ．35B ．35-C ．3D ．3-6．如图给出了一个程序框图，其作用是输入x输出相应的y 值，若要使输入的x 值相等，则这样的x 值的个数是第6题图A ．4B ．2C ．1D ．37A ．16π+B ．4πC ．24π+D ．24 8．已知O 为坐标原点，点A 的坐标是()2,3，点(,)P x y 在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+++62623y x y x y x ，，所确定的平面区域内（包括边界）运动，则OA OP ⋅的取值范围是A ．[]4,10B ．[]6,9C ．[]6,10D ．[]9,109．已知P 是抛物线24y x =上的一个动点，则P 到直线1l ：0634=+-y x 和2l ：20x +=的距离之和的最小值是 A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知R ∈b a ，，函数bx x ax x f ++-=23231)(有两个极值点)(2121x x x x <，，12)(x x f =，则方程0)()(2=--b x af x f 的实根个数A ．4B ．3C ．2D ．0正视图侧视图俯视图第7题图≥ ≤≤第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置． 11．为估计图中阴影部分的面积，现采用随机模拟的方法，从边长为1的正方形ABCD 中产生200个点，经统计，其中落入阴影部分的点共有134个，则估计阴影部分的面积是________．12．已知βααβαβα，53sin )cos(cos )sin(=---是第三象限角，则)4πtan(+β=________．13．102)1)(1(x x x -++展开式中4x 的系数是________． 14．已知()yx y x ⎪⎭⎫⎝⎛=∞+∈-31302，，，，则12xy+的最小值为________．15．若实数c b a ，，成等差数列，点)01(，-P 在动直线0=++c by ax 上的射影为点M ， 已知点)33(，N ，则线段MN 长度的最大值与最小值的和为________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题满分13分）B第11题图已知函数()cos cos2,R f x x x x x =-∈，2,R f x x x x x -∈． (Ⅰ) 求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ) 在ABC ∆中，角A B C 、、所对边的长分别是a b c 、、，若()2,C 4f A c π===，4π=C ， ,24f A c π===，求ABC ∆的面积．17．（本题满分13分）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和3个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．(Ⅰ) 求取出的4个球均为黑球的概率； (Ⅱ) 求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(Ⅲ) 设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望．18．（本题满分13分）如图，在四面体P -ABC 中，PAM 是PA 的中点，E 是BM 的中点，F 是线段PC 上的点，且EF ∥面(Ⅰ) 求证：BC AF ⊥； (Ⅱ) 求CF CP；(Ⅲ) 若异面直线EF 与CA 求EF 与面PAB 所成角θ的正弦值.19．（本题满分13分）已知椭圆Γ的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率33=e ，点)126(，P 在 椭圆Γ上.(Ⅰ) 求椭圆Γ的方程；(Ⅱ) 过Γ的右焦点F 作两条垂直的弦CD AB ，，设CD AB ，的中点分别为N M ，，证明：直线MN 必过定点，并求此定点.20．（本题满分14分）已知函数x b a x f --=e )(（e 是自然对数的底数，e =2.71828…）的图像在0=x 处的切线方程为x y =. (Ⅰ) 求b a ，的值；(Ⅱ) 若)0(1)1(21e ln )(2>++-+-=-m x m x x m x g x ，求函数)()()(x f x g x h -=的单调区间； (Ⅲ) 若正项数列}{n a 满足)(e 2111n an a f a a n ==+-，，证明：数列}{n a 是递减数列.21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．（1）（本小题满分7分）选修4－2：矩阵与变换已知矩阵11m M n ⎛⎫=⎪⎝⎭，若向量⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12在矩阵M 的变换下得到向量13⎛⎫ ⎪⎝⎭. (Ⅰ) 求矩阵M ； (Ⅱ) 设矩阵1021N ⎛⎫=⎪⎝⎭，求直线10x y -+=在矩阵NM 的对应变换作用下得到的曲线C 的方程.（2）（本小题满分7分）选修4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 曲线1C：sin()4πρθ+=2C ：12sin 12cos x y αα=--⎧⎨=-+⎩，（α为参数）.(Ⅰ) 求曲线1C 的直角坐标方程与曲线2C 的普通方程； (Ⅱ) 求曲线2C 上的点到曲线1C 上的点的最小距离.（3）（本小题满分7分）选修4－5：不等式选讲已知函数()1222=--+.f x x x(Ⅰ) 解不等式)(xf≥1；(Ⅱ) 若22()+>恒成立，求实数a的取值范围.a a f x2018年南平市普通高中毕业班质量检查 理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分50分．1．B ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．D ； 6．D ； 7．A ； 8．C ； 9．C ； 10．B ．二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题4分，满分20分．11．67.0； 12．7； 13．135； 14．223+； 15．10.三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．本题满分13分．解：(Ⅰ)∵x x x x f 2cos cos sin 32)(-=，R (∈x ) 3=x x 2cos 2sin - ………………… 1分∴)62sin(2)(π-=x x f . ………………… 3分由222,262k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-≤≤+∈. …………………… 5分 ∴函数()f x 的单调递增区间是[,],63k k k Z ππππ-+∈.……………………6分(Ⅱ)∵在ABC ∆中，()2,,24f A C c π===，∴2sin(2)2,6A π-=解得,3A k k Z ππ=+∈.……………………8分又0A π<<，∴3A π=. …………………… 9分依据正弦定理，有,sinsin34a c a ππ==解得 (10)分∴512B AC ππ=--=. ……………………11分∴113sin 22242ABCS ac B ∆+==⋅=. ……………………13分17．本题满分13分．解：（Ⅰ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件B .由于事件A 、B 相互独立，21)(2423==C C A P , 103)(2523==C C B P . (2)分∴取出的4个球均为黑球的概率为203)()()(=⋅=⋅B P A P B A P ……………………3分（Ⅱ）设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D .由于事件C 、D 互斥，且103)(2513122423=⋅=C C C C C C P ,203)(25232413=⋅=C C C C D P ……………………5分所以取出的4个球中恰有1个红球的概率为209)()()(=+=+D P C P D C P . …………………… 6分（Ⅲ）设ξ可能的取值为0,1,2,3. 由（Ⅰ）、（Ⅱ）得203)0(==ξP , 209)1(==ξP ,. 207)2(252224232513122413=⋅+⋅==C C C C C C C C C P ξ,201)3(25222413=⋅==C C C C P ξ……………10分ξ的分布列为 (11)∴ξ的数学期望10132013207220912030=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ………………… 13分18．本题满分13分．解：（Ⅰ）ACB PA 面⊥ ，ACB BC 面⊂，BC PA ⊥∴ (1)分又AC BC ⊥，A AC PA =PAC BC 面⊥∴ (2)分而PAC AF 面⊂AF BC ⊥∴ (3)分（Ⅱ）解法一：如图以C CA 、CB 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系，则)002(，，A 、)000(，，C 、)402(，，P 、)202(，，M (4)分设λ=CPCF，)0,,0(m B ,可得)1,2,1(mE ，)4,0,2(λλF , 则)14,2,12(---=λλm……………………5分因为)4,0,0(=是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥0)14(4)14,2,12()400(=-=---⋅=⋅∴λλλm，，……………………6分41=λ 即41=CP CF ……………………7分(Ⅲ) 解法一：由（Ⅱ）知)0,2,21(m EF --=，)0,0,2(=CA 22112441145cos 22=+=⋅+-==∴mm………………8分解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(--=EF，)0,1,0(B ,又)002(，，A 、)402(，，P )0,1,2(-=,)4,1,2(-=设面PAB 的一个法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BP n 可得⎩⎨⎧=-⋅=-⋅0)0,1,2(),,(0)4,1,2(),,(z y x z y x ……………………11分即⎩⎨⎧=-=+-02042y x z y x ，可取)0,2,1(=n (12)分 EF与面PAB所成角θ的正弦值：1010321523sin ===θ…………13分（Ⅱ）解法二：如图以A 为原点，过A 且与CB 平行的直线为x轴，AC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系，则)000(，，A 、)020(，，C 、)400(，，P)200(，，M (4)分设λ=CPCF,)0,2,(m B ,可得：)1,1,2(mE )4,22,0(λλ-F ,则)14,21,2(---=λλmEF (5)分 因为)4,0,0(=AP 是ACB 平面的一个法向量，ACB EF 面∥ 0)14(4)14,21,2()400(=-=---⋅=⋅∴λλλmEF AP ，， ……………………6分41=λ 即41=CP CF ……………………7分(Ⅲ) 解法二：由（Ⅱ）知)0,21,2(--=m ，)0,2,0(-=CAB22112441145cos 22=+=⋅+-==∴mm ……………………8分解得1=m ……………………9分 由此)0,21,21(-=EF ，)0,2,1(B又)000(，，A 、)400(，，P 、)0,2,1(--=,)4,2,1(--= 设面PAB 的一个法向量为),,(z y x =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00BP n 可得⎩⎨⎧=--⋅=--⋅0)0,2,1(),,(0)4,2,1(),,(z y x z y x ， (11)分 即⎩⎨⎧=--=+--02042y x z y x ， 可取)0,1,2(-= (12)分 EF与面PAB所成角θ的正弦值1010321523sin ===θ……………13分（Ⅱ）解法三：取MA 中点G ，连结EG ，FG ， ∵E 是MB 中点，∴EG 是△MAB 的中位线．∴∥EG AB ……………………4分 而ABC EG ABC AB 面面⊄⊂,∴EG ∥面ABC ……………………5分 又EF ∥面ABC ,E EG EF = ∴面EFG ∥面ABC , 而EFG FG 面⊂ ∴FG ∥面ABC ……………………6分PB∵AC ABC PAC PAC FG =⊂面面面 , ∴FG ∥AC,41==∴AP AG CPCF ……………………7分解：(Ⅰ)由题意可设所求椭圆方程为)0,0(12222>>=+b a by a x .则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+31114622222ab a b a ……………………3分解得2,322==b a 即椭圆Γ的方程为12322=+y x (5)分(Ⅱ)由题意得)0,1(F .（1）当弦CD AB ,的斜率均存在时，设AB 的斜率为k ，则CD 的斜率为k1-.……………………6分令),(),,(2211y x B y x A ，线段AB 中点),(00y x M .将直线AB 方程代入椭圆方程12322=+y x ,并化简得.0)63(6)23(2222=-+-+k x k x k ……………………7分则233222210+=+=k k x x x ,232)1(200+-=-=k k x k y ,于是,)232,233(222+-+k kk k M .因为AB CD ⊥，所以，将点M 坐标中的k 换为k1-，即得点).322,323(22++k kk N …………………9分 ① 当1±≠k 时，直线MN 的方程为).323(335322222+---=+-k x k k k k y 令0=y 得53=x ，则直线MN 过定点).0,53(……………………10分② 当1±=k 时，易得直线MN 的方程53=x ,也过点).0,53(……………………11分 （2）当弦CD AB 或的斜率不存在时，易知，直线MN 为x 轴，也过点).0,53(综上，直线MN 必过定点).0,53(……………………13分解：（Ⅰ）由题意得1)0(,0)0(='=f f ，则1,0==-b b a ，……………………2分解得1,1==b a .……………………3分（Ⅱ）由题意得x m mx x m x h )1(21ln )(2+-+=,),0(+∞∈x .xx m x x m x m x m x x m x h )1)(()1()1()(2--=++-=+-+=' (5)分（1）当10<<m 时, 令0)(>'x h ，并注意到函数的定义域),0(+∞ 得m x <<0或1>x ，则)(x h 的增区间是),1(),,0(+∞m ； 同理可求)(x h 的减区间是)1,(m ………………6分 （2）当1=m 时,)(≥'x h ,则)(x h 是定义域),0(+∞内的增函数……………………7分（3）当1>m 时, 令0)(>'x h ,并注意到函数的定义域),0(+∞得10<<x 或m x >， 则)(x h 的增区间是),(),1,0(+∞m ; 同理可求)(x h 的减区间是),1(m …………………8分（Ⅲ）证明: 因为正项数列}{n a 满足),(,2111n an a f e a a n ==+-所以)1ln()ln(1nn a a n eea ---=+,即na n a e a n-+--=1ln1……………………10分要证数列}{n a 是递减数列n n a a <⇐+1⇐n n a a a e n <---1ln ⇐n na na e a e -->-1⇐1+>n a a e n (12)分设1)(--=x e x u x ,),0(+∞∈x . 01)(>-='x e x u ，∴)(x u 是),0(+∞上的增函数，则0)0()(=>u x u ，即1+>x e x ，故1+>n a a e n ， 则数列}{n a 是递减数列……………………14分21．本题满分14分． (1) 解：（Ⅰ）由121113m n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………1分得21213m n -+=⎧⎨-+=⎩ 解得13n m =-⎧⎨=⎩……………………2分1311M ⎛⎫∴= ⎪-⎝⎭……………………3分（Ⅱ）101313211117NM ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………………4分设点(,)x y 是直线10x y -+=上1一点，在矩阵NM 的对应变换作用下得到的 点''(,)x y ，则''1317x x y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭可得''37x y xx y y⎧+=⎪⎨+=⎪⎩……………………5分''''4734y x y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入10x y -+=得''210x y -+=……………………6分∴曲线C 的方程210x y -+=……………………7分(2) 解：（Ⅰ）由曲线1C 的极坐标方程，得sin cos cos sin 44ππρθρθ+=分即：sin cos 2ρθρθ+= ………………………2分∴曲线1C 的直角坐标方程为2y x +=,即20x y +-= (3)分由曲线2C 的参数方程得2C 的普通方程为：22(1)(1)4x y -+-=……………………4分（Ⅱ） 2C 表示圆心为(1,1)--，半径2r =的圆， 因为圆心(1,1)--到直线20x y +-=的距离2d ==………6分所以圆上的点到直线20x y +-=的距离的最小值为2 (7)分(3) 解：（Ⅰ）()1f x ≥可化为：21221x x --+≥……………………1分即212211x x x -+++≥⎧⎨<-⎩或21221112x x x -+--≥⎧⎪⎨-≤≤⎪⎩或2122112x x x ---≥⎧⎪⎨>⎪⎩……………3分 解得12x ≤-，所以不等式()1f x ≥的解集为1(,2⎤-∞-⎥⎦ (4)分（Ⅱ）22()a a f x +>恒成立⇔2max 2()a a f x +>122212223x x x x --+≤-++=Q （当1x ≤-时取等号）……………………5分max ()3f x ∴= 由223a a +>，解得3a <-或1a >……………………6分即a 的取值范围是(,3)(1,)-∞-⋃+∞……………………7分。
2018年5月份福建省南平市高三毕业班第二次综合质量检查试卷理科数学试题参考答案
2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试理科数学试题参考答案及评分标准说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则.2、对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分.3、只给整数分数. 选择题和填空题不给中间分.一、选择题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分60分．(1)C (2)D (3)C (4)A (5)D (6)C(7)C (8)B (9)A (10)C (11)B (12)A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算,每小题5分,满分20分．(13)2 (14)]21,45[+- (15)3422=+y x (16)32π 三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．(17)(Ⅰ)证：当2≥n 时,1n n n a S S -=-,代入已知得1n n S S -=-,…………2分=,因为0n a >,0≠,……………4分1=*(2)，N n n ≥∈,故是等差数列；………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知是以1为首项,1为公差的等差数列,所以1(1)1n n =+-⋅=……………6分从而2n S n =,当*2，Nn n ≥∈时,121n a n n n ==+-=-, ………………7分又11a =适合上式,所以21n a n =-．所以112(21)2n n n n b a n --=⋅=-⋅ ……………………………8分01221123252(23)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ①12312123252(23)2(21)2n n n T n n -=⨯+⨯+⨯+-⨯+-⨯ ② ………10分 ②-①得,1231(22222222)(21)21n n n T n -=-⨯+⨯+⨯++⨯+-⨯-1234(12)(222)(21)21(21)2112n n nn n n ---=-++++-⨯-=+-⨯-- 111242212323n n n n n n n +++=-++⋅--=⋅-⋅+…………………………12分 (18)解：(Ⅰ)由题意可知：3554321=++++=t ,655.62.667.56.5=++++=y ,…………1分 3.25.022.010)3.0()1()4.0()2())((51=⨯+⨯++-⨯-+-⨯-=--∑=i i i y y t t…2分 10210)1()2()(2222512=+++-+-=-∑=i it t …………3分23.0103.2)())((ˆ51251==---=∑∑==i i i i i t ty y t t b ,31.5323.06ˆˆ=⨯-=⋅-=t b y a ,…5分 ∴y 关于t 的线性回归方程为31.523.0ˆ+=t y；…………6分 当6=t 时,69.631.5623.0ˆ=+⨯=y, 即2018年该农产品的产量为6.69万吨……………………8分(Ⅱ)当年产量为y 时,年销售额)6.12(30010)3.078.3(23y y y y S -=⨯⋅-=(万元),…………10分因为二次函数图像的对称轴为3.6=y ,又因为},5.6,2.6,6,7.5,6.5{∈y ,所以当2.6=y 时,即2016年销售额最大,于是4=t .………… 12分(说明：①第(Ⅱ)小题中,求S 与y 的关系式时,如果单位原因出错,此步骤不给分,但后续步骤可以按标准正常给分；②如果考生计算出每一年的年销售额S 的值,可以相应给分。
福建省南平市2017-2018学年高二下学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)
南平市2017-2018学年第二学期高二年级期末质量检测理科数学第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设集合，，则下列运算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：解出集合B的元素，根据集合内的元素得到A，从而做出判断.详解：，A，故A不正确，B不正确；C正确，D错误.故答案为：C.点睛：考查集合间的包含关系，以及对数不等式的解法.2. 已知点，则点在（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】分析：根据特殊角的三角函数值化简点坐标，从而得到点的象限.详解：点，化简为，对应第四象限的点.故答案为：D.点睛：这个题目考查了特殊角的三角函数的应用.属于基础简单题.3. 已知为第二象限角，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：根据角的象限得到再由正切的两角和差公式得到结果.详解：为第二象限角，故得到解得结果为.故答案为：A.点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于中档题．三角函数求值化简常用的还有三姐妹的应用，一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三.4. “”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：因为，所以“”是“”的充分不必要条件；故选B．考点：1．二倍角公式；2．充分条件和必要条件的判定．视频5. 若点在角的终边上，则实数的值是（）A. 4B. 2C. -2D. -4【答案】D【解析】分析：由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得实数a的值．详解：由于点P（）在角-150°的终边上，∴tan-150°=-tan150°==，∴m=﹣4，故选：D．点睛：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式的应用，属于基础题．6. 为了得到函数的图象，可将函数的图象（）A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位【答案】C【解析】分析：根据两角和差的正弦公式，将函数化一，向右平移得到要求的函数.详解：函数，将函数向右平移，，故向右平移个单位. 故答案为：C.点睛：本题考查的是三角函数的平移问题，首先保证三角函数同名，不是同名通过诱导公式化为同名，在平移中符合左加右减的原则，在写解析式时保证要将x的系数提出来，针对x本身进行加减和伸缩.A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：对函数求导研究函数的单调性，得到函数的极值点，进而得到abc的具体值.详解：函数，，极小值点为x=2，故，，=故.故答案为：D.点睛：这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.8. 已知，则不等式的解集为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：分段解不等式，最终将解集并到一起即可.详解：已知，则不等式等价于故解集为：.故答案为：A.点睛：这个题目考查了分段函数的性质的应用，对数不等式解法，指数不等式的解法；分段函数的值域，是将两段的值域并到一起，定义域也是将两段的定义域并到一起。
南平市2017-2018学年第一学期八年级期末质量检测数学试题(含答案)
南平市2017-2018学年第一学期八年级期末质量检测数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应位置上，答在本试卷上一律无效.②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算.一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂）1.下列以长城为背景的标志设计中，不是轴对称图形的是2．下列各式计算正确的是A.326(3)9x x-=B．222()a b a b-=-C．623aaa=⋅D．224x x x+= 3．在平面直角坐标系xOy中，点M（1，2）关于x轴对称点的坐标为A．（1，－2） B. （－1，2） C. （－1，－2） D. （2，－1）4．在△ABC中，作BC边上的高，以下作图正确的是A．B．C．D．5．已知一个三角形两边的长分别为3和7，那么第三边的边长可能是下列各数中的A．10 B．7 C．4 D．36．在ABC∆、DEF∆中，已知AB=DE，BC=EF，那么添加下列条件后，仍然无法判定ABC∆≌DEF∆的是A．AC=DF B．∠B=∠EC．∠C=∠F D．∠A=∠D=90oE CBAD．C．A．B．AA7．如果一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是A ．4B ．5C ．6D ．78．若23y x =，则x y x +的值为 A ．53B ．52C ．35D ．23 9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，以顶点A 为圆心，适当长 为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线 AP 交边BC 于点D ，若CD =2，AB =6，则△ABD 的面积是 A ．4 B ．6C ．8D ．1210．如图，在55⨯格的正方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等（不与△ABC 重合）的格点三角形（顶点在格点上的三角形）共有 A ．5个 B ．6 个C ．7个D ．8 个二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题卡．．．的相应位置）11．()2- = ．12．用科学记数法表示0.002 18= ． 13．要使分式22xx -有意义，则x 的取值范围是 ． 14．已知等腰三角形的底角为70°，则它的顶角为 °．15．已知122+=n m ，142+=m n ，若2m n ≠，则n m 2+= ．16．如图，△ABC 中，∠BAC =75°，BC =7，△ABC的面积为14，D 为 BC 边上一动点（不与B ，C 重合），将△ABD 和△ACD 分别沿直线AB ，AC 翻折得到△ABE 与△ACF ，那么△AEF 的面积最小值为 ．（第16题图）D FECB A（第9题图）NBC三、解答题（本大题共9小题，共86分．请在答题卡．．．的相应位置作答） 17．（每小题4分，共8分）分解因式：（1）3x x -； （2）221218ax ax a -+． 18．（每小题4分，共8分）计算：（1）2(4)a a a +-（+2)； （2）532a b aa b a b----．19．（8分）先化简，再求值：xx x x x 22)242(2+÷-+-，其中x =13.20．（8分）如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，BF =CE ，AB ∥DE ，∠A =∠D ．求证：AC =DF ．21．（8分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的中线，E 是AC 边上的一点，且∠CBE =∠CAD ．求证：BE ⊥AC ．22．（10分）某商场家电专柜购进一批甲，乙两种电器，甲种电器共用了10 350元，乙种电器共用了9 600元，甲种电器的件数是乙种电器的1.5倍，甲种电器每件的进价比乙种电器每件的进价少90元．（1）甲、乙两种电器各购进多少件？（2）商场购进两种电器后，按进价提高40%后标价销售，很快全部售完，求售完这批电器商场共获利多少元？23．（10分）如图，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，∠C=30°． （1）请在图中用尺规作图的方法作出AC 的垂直平分线交BC 于点D ，并标出D 点 (不写作法，保留作图痕迹) ．（2）在（1）的条件下，连接AD ，求证：△ABD 是等边三角形．FEDCBA（第20题图） BCA（第23题图）DEA（第21题图）24．（12分）阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式245x x -+的最小值时，利用公式2222()a ab b a b ±+=±，对式子作如下变形：22245441(2)1x x x x x -+=-++=-+，因为2(2)0x -≥≥0， 所以2(2)11x -+≥≥， 当2=x 时，22)1x -+（=1，因此22)1x -+（有最小值1，即245x x -+的最小值为1． 通过阅读，解下列问题：（1）代数式2612x x ++的最小值为 ； （2）求代数式229x x -++的最大或最小值；（3）试比较代数式2232237x x x x -+-与的大小，并说明理由．25．（14分）如图，在平面直角坐标系中，点 A ，B 的坐标分别为（0，3），（1，0），△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC ＝90°． （1）图1中，点C 的坐标为 ；（2）如图2，点D 的坐标为（0，1），点E 在射线CD 上，过点B 作BF ⊥BE 交y 轴于点F ．① 当点E 为线段CD 的中点时，求点F 的坐标；② 当点E 在第二象限时，请直接写出F 点纵坐标y 的取值范围．南平市2017-2018学年第一学期八年级期末质量检测（第25题图）数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分.（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅.当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分。
2018南平一模】福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月)+数学(理)含答案
2018南平一模】福建省南平市2018届高三上学期第一次综合质量检查(2月)+数学(理)含答案2018年南平市普通高中毕业班第一次综合质量检查试卷理科数学参考答案及评分标准本解答提供了一种或多种解法，供参考。
如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。
对于计算题，如果考生的解答在某一步出现错误，但后继部分的解答未改变该题的内容和难度，则可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，则不再给分。
只给整数分数。
选择题和填空题不给中间分。
一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分60分。
1）D（2）C（3）B（4）D（5）C（6）B7）D（8）C（9）A（10）D（11）A（12）A二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题5分，满分20分。
13）-1（14）120°（15）[4,16]（16）12π/3三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17）解：Ⅰ）因为B=π/3，c=4，b=6，所以在△ABC中，由正弦定理得：XXX×3/2=3/6=1/2sinC=3/2又b>c，所以B>C，因此C为锐角，所以cosC=√(1-sin^2C)=√(1-9/4)=1/2则sinA=sin(B+C)=sinB cosC+cosBsinC=√3/2×1/2+1/2×3/2=√3/2所以bcsinA=12×√3/2=6√3因此S△ABC=1/2×bc×sinA=1/2×4×6×√3/2=6√3Ⅱ）设BD=x，则BE=2x，AE=2/3x。
因为B=π/3，c=4，所以在△ABE中，由余弦定理得：12x^2=16+4x^2-2×4×2x×cosB即8x^2=16-8x，解得x=1（取正）则BE=2，AE=2/3，AB=4，所以∠AEB=π/3AD=AE+DE=2/3+1=5/3在直角△ADE中，由勾股定理得：DE^2=AD^2-AE^2=(5/3)^2-(2/3)^2=21/9=7/3因此DE=√(7/3)18）（Ⅰ）证明：因为BA=BC，E为AC的中点，所以BE⊥AC。
南平市2018第一学期九年级期末质量检测数学试卷
南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.2. 用配方法解方程2210x x--=，配方结果正确的是A. ()222x-= B. ()212x-=C. ()2+12x= D.()210x-=3. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，每个骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个点数，下列事件为必然事件的是A. 朝上一面点数之和为12B. 朝上一面点数之和等于6C. 朝上一面点数之和小于13D. 朝上一面点数之和小于等于64. 如图，点A、B、C在⊙O上，过点C作⊙O的切线与OA的延长线交于点D，若32D∠=，则B∠的大小为A. 58B. 34C.32D.295. 关于二次函数()212y x=+-的图象，下列说法正确的是A. 对称轴是1x= B. 开口向下C. 顶点坐标是（1，-2）D. 与x轴有两个交点6. 1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 设阔（宽）为x 步，则所列方程正确的是A. 864)12(=+xx B. 864)12(=-xxC. 864)12)(12(=+-xx D. 86412=x第4题图7. 已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为3，则⊙O 上到直线l 的距离为2的点共有 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如果点A ),3(1y -，B ),2(2y -，C ),2(3y 都在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，那么 1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是A. 3y <2y <1yB. 2y <1y <3yC. 1y <2y <3y D .1y <3y <2y9. 若正方形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A. ，2B. 4，2C. 4，D.，10.已知k 为非零的实数，则抛物线kk kx x y 1222++-=的顶点 A. 在一条直线上 B. 在某双曲线上C. 在一条抛物线上D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡．．．的相应位置）11. 一元二次方程22=x 的根是 ．12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是0.3，摸到白球的概率是0.4，那么摸到黑球的概率 是 ．13. 若点P (m ，-3)与点Q （2，n ）关于原点对称，则m n += ．14. 一个扇形的圆心角为80，面积是2cm 2π，则此扇形的半径是 cm ．15．已知反比例函数xky =（0≠k ），当1≤x ≤2时，函数的 最大值与最小值之差是1，则k 的值为 ． 16. 如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，若∠BAC =39°，则∠BDC= °.ADC第16题图三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答题卡．．．的相应位置作答） 17．解方程（每小题4分，共8分）（1）x x 22=； （2）2550x x --=.18．（8分）已知关于x 的一元二次方程032=++m x x 有两个不相等的实数根，且m 为正整数，求m 的值.19．（8分）某中学食堂开设了两个窗口，窗口一提供四种食品：肉包、馒头、鸡蛋、油饼；窗口二提供两种食品：牛奶、豆浆. 约定：学生在一个窗口领一种食品后，再到另一个窗口领一种食品.（1）问：学生早餐领到的食品一共有几种不同的可能?（2）如果某天食堂师傅在两个窗口随机发放食品，请用列表或画树状图的方法，求出小王同学该天早餐刚好得到牛奶和馒头的概率.20．（8分）如图，△APB 内接于⊙O .（1）作∠APB 的平分线PC ，交⊙O 于点C （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若∠APB =120º，连接AC ，BC ，求证：△ABC 是等边三角形.第20题图21．（8分）如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x 米，花园的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.22．（10分）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，连接OD ，AE ⊥OD 于点E ，设∠AOE =α，将△AEO 绕点O 顺时针旋转α角，得到△DHO ，若点D ，H ，B 在一条直线上，求α的值.23．（10分）如图，直线(0)y kxk =<与反比例函数(0,0)my m x x=<<的图象交于点A ，直线与y 轴正半轴的夹角为60，OA =2． （1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出mkx x>的自变量的取值范围．xDCBA第21题图AOBHED第22题图第23题图24．（12分）如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段DE =2，将线段EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，连接AF . （1）如图1，当BE =2时，求线段AF 的长； （2）如图2，① 求证：AF =CE ；② 求线段AF 的取值范围.25．（14分）我们把（a ，b ，c ）称为抛物线c bx ax y ++=2的三维特征值.已知抛物线1y 所对应的三维特征值为)031(，，b -，且顶点在直线2=x 上. （1）求抛物线1y 的解析式；（2）若直线t y =与抛物线1y 交于P 、Q 两点，当PQ <1≤2时，求t 的取值范围；（3）已知直线2=x 与x 轴交于点A ，将抛物线1y向右平移1）个单位得到抛物线2y ，且抛物线2y 与直线1=y 分别相交于M 、N 两点（M 点在N 点的左侧），与x轴交于C 、D 两点（C 点在D 点的左侧），求证：射线AN 平分∠MAD .第24题图1第24题图2南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分． （2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分． （3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分． （4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．D ； 6．A ； 7．C ； 8．B ； 9．A ； 10．B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．x = 12．0.3； 13．1； 14．3； 15．2±； 16．19.5°． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17．（1）解：2-20x x =…………………………………………………………………1分()2=0x x -…………………………………………………………………2分12=0=2x x ，…………………………………………………………………4分（2）解：∵5,5,1-=-==c b a ， ……………………………………………………1分()254552⨯+-±=x ……………………………………………………2分2535±=x ， .2535,253521-=+=x x …………………………………………………4分 18．解：∵一元二次方程032=++m x x 有两个不相等的实数根，2=3-40m ∆>， …………………………………………………………4分∴94m < ，………………………………………………………………6分∵m 为正整数，∴=12m m =或.……………………………………………………………………8分19．（1）解：食堂早餐的食品一共有8种不同的可能.……………………………………2分(2) 方法一：肉包 馒头 鸡蛋 油饼牛奶豆浆 牛奶豆浆 牛奶豆浆牛奶豆浆………………………………………………6分∴（肉包，牛奶）（肉包，豆浆）（馒头，牛奶）（馒头，豆浆）（鸡蛋，牛奶）（鸡蛋，豆浆）（油饼，牛奶）（油饼，豆浆），………………7分∴()1=8P 得到牛奶和馒头. ………………………………………………………8分方法二：7分∴()1=8P 得到牛奶和馒头. ………………………………………………………8分 20． (1)作图………………………………………………………………………………3分(2)证明：∵PC 平分∠APB ，∠APB =120º，∴∠APC=∠CPB =60º ， ……………………………………………………4分 ∵∠ABC 与∠APC 同对弧AC ， ∴∠ABC=∠APC =60º ， ………………………………………………………5分 ∵∠CAB 与∠CPB 同对弧BCACP BO第20题答题图2第20题答题图1∴∠CAB=∠CPB =60º ，…………………………………………………………6分 ∴∠ACB=180º-∠ABC-∠CAB =60º，∴∠ACB=∠ABC=∠CAB ，……………………………………………………7分 ∴△ABC 是等边三角形. ………………………………………………………8分21．解：（1）∵()4803x x s -=，…………………………………………………………2分 ∴()21-160203s x x x =+<≤. ……………………………………………………3分 （2）花园面积可以达到180平方米， ……………………………………………4分 ∵ 21-161803x x +=， …………………………………………………………5分∴1218,30x x ==， ………………………………………………………………6分∵院墙的最大长度为m 20 ∴()230x =不符合题意舍去∴18x =. ……………………………………………………………………………7分 答：当18x =时，花园面积可以达到2180m . …………………………………………8分 22. 解：连接HB ，∵AE ⊥EO ， ∴∠AEO=90º，∵△AEO 绕点O 顺时针旋转得到△DHO ， ∴△AEO ≌△DHO ， ∴∠A=∠D ，∠DHO=∠AEO=90º ， ∠DOH=∠AOE ， …………………………………………………………………3分∵D 、H 、B 在一条直线上， ∴OH ⊥DB ，证法一：∵OD =OB ，∴∠B=∠D ，………………………………………………………………………4分 ∴∠A=∠B ，………………………………………………………………………5分 ∵∠AOE 与∠B 同对弧AD ，∴∠AOE =2∠B ，∴∠AOE =2∠A ， …………………………………………………………………7分 在Rt △AOE 中, ∠AOE +∠A=90º， ∴2∠A+∠A=90º，……………………………………………………………………8分 ∴∠A=30º， ……………………………………………………………………9分 ∴∠AOE=60º 即α=60º. ………………………………………………………10分 证法二：∵OD =OB ，OH ⊥DB ，O 第22题答题图∴OH平分∠BOD即∠BOH =∠DOH∵∠DOH=∠AOE ，∴∠DOH=∠AOE=∠BOH=60º………9分∴α=60º.………………………………10分23．解：（1）过A作AB⊥x轴垂足为B， (1)∵直线与y轴正半轴的夹角为60，∴∠AOB=30°，…………………………2分∴112AB OA==，……………………3分∴在Rt△AOB中，2O B=…………………4分∴()A， (5)∴m=， (6)∴y= (7)(2) 0x<< (10)24．解：(1)作AG⊥BC于G点，延长FE交AG于H∵AB=AC，∴∠BAG=30º，……………………1分∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴∠BEF=60º，∴∠BEF=∠B，∴EF∥BC，…………………………2分∵AG⊥BC，∴AG⊥FH，…………………………3分在Rt△AEH中,∵AE=6,∠EAH=30º，∴132EH AE==,AH=在Rt△AFH中，AF===.……………………4分方法二：(1)连接FB,作FP⊥AB于P点，∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴△EBF是等边三角形，…………………………1分又∵FP⊥AB，∴∠EFP=30º，（第24题答题图1）GFACAC第23题图xAOB∴112EP EF == ，……………………………2分 ∴AP =7，在Rt △EFP 中, PF ==………3分 在Rt △APF 中,AF ===…………………4分(2) ①连接FB ， ∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ， ∴△EBF 是等边三角形，∴FB =EB , ∴∠FBE=∠ABC=60º…………………………………………………………6分 ∴∠FBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA即∠FBA=∠EBC ，…………………………………………………………………………7分 又∵AB =BC ，∴△FBA ≌△EBC ，.................................................................................8分 ∴AF =CE ， (9)分②22AF ≤≤. ………………………………………………………12分 ∵DE =2,∴E 点在以D 为圆心，2为半径的圆上，且2342-34+≤≤CE ∵AF =CE∴22AF ≤≤.(回答合理均得分）25．解：（1）依题意可得211=-3y x bx +，………………………………………………1分 ∵1y 顶点在直线2=x 上， ∴-2123b=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭， FC∴43b =， ………………………………2分 ∴2114=-33y x x +.……………………3分 （2） 设直线PQ 与直线2=x 相交与E 点， ∴2PQ PE =， ………………………………………………………………………………4分 ∵PQ <1≤2，∴112PE <≤， …………………………………………………………5分 ∴当12PE =时，1352,224p p x y =-==，………………………………………………6分 当 1PE =时 ，211,1p p x y =-==， …………………………………………………7分 ∴ 514t ≤<. ………………………………………………………………………………9分 方法2：设214-=33x x t +， ∴ ()22=-34x t -+，∴122,2x x ==，…………………………………………………5分 ∴12PQ x x =-=6分 ∴ 1PQ =时，14-34t =，54t =， 2PQ =时，4-31t =，1t =，……………………………………………………………8分 ∴ 514t ≤<.…………………………………………………………………………………9分（3）设直线1=y 与1y 依次相交11,M N 于两点，由（2）可得11M N ,1M x ，∴()11,1M ，………………………………………………………………………10分由平移的性质可得11=2MN M N =,()2M ，…………………………11分∴2MA ==根据勾股定理可得………………………12分 证法一：∴=2MA MN =，∴∠MAN=∠MNA ，………………………………………………………………13分 ∵MN ∥CD ，∴∠MNA=∠NAD ,∴∠MAN=∠NAD ,∴射线AN 平分∠MAD . …………………………………………………………14分 证法二：过N 点作NP ⊥AM 于P 点, NQ ⊥CD 于Q 点, ∴NQ=1,∵.11=122AMN S AM NP MN ∆⋅=⋅， ∴NP =1 , ………………………………………………………………13分 ∴NP = NQ ,∵NP ⊥AM 于P 点, NQ ⊥CD ，∴射线AN 平分∠MAD . ………………………………………………14分。
福建省南平市2018届高三第二次(5月)综合质量检查数学文试题(解析版)
2018年南平市普通高中毕业班第二次综合质量检查考试文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：由解不等式，解得A集合，再两集合做交运算可得结果。
解析：由题意可得，解得，所以，选B.点睛：集合运算题型，先要化简集合，如本题的解不等式得到集合B,再进行集合的结合运算。
2. 己知为虚数单位，若复数满足，则（）A. B. C. 1 D. -1【答案】A【解析】分析：先解出复数z，再利用复数的模运算及复数的除法与乘方运算化简可得复数z。
解析：由题意可得，所以选A.点睛：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2)＝i；(3)＝－i；(4)－b＋a i＝i(a＋b i)；(5)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i(n∈N)．3. 已知双曲线的焦点在圆上，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：由题意焦点在圆上，且焦点x轴，得到c=5,再解得a,b，可求得双曲线的渐近线方程。
解析：由题意可得双曲线的焦点在x轴，由焦点在圆上，所以焦点坐标为，即c=5,所以，所以，则双曲线的渐近线方程为，选C.点睛:解圆锥曲线的题，要先定位再定量，本题考查的是双曲线基本量的计算，较易。
4. 五四青年节活动中，高三(1)、(2)班都进行了3场知识辩论赛，比赛得分情况的茎叶图如图所示（单位：分），其中高三(2)班得分有一个数字被污损，无法确认，假设这个数字具有随机性()，那么高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分的概率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：由高三(2)班的平均得分大于高三(1)班的平均得分，求得x取值范围，再根据古典概形求得概率。
解析：由径叶图可得高三（1）班的平均分为，高三（2）的平均分为，由，得10>x>5,又，所以x可取，6，7，8，9，概率为，选D.点睛：求古典概型的概率，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件总数.常常用到排列、组合的有关知识，计数时要正确分类，做到不重不漏.5. 为了得到函数的图象，只需将函数的图象（）A. 向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位【答案】C【解析】分析：选把变形为，再由图像平移到函数的图象，可得结果。
福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题(解析版)
福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由抛物线方程直接求解。
【详解】由抛物线得：，所以，所以抛物线的焦点坐标是：故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。
2.若，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出,由充分、必要条件概念判断即可【详解】因为，所以,所以且，所以是的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，属于基础题。
3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A. 1B.C. -1D.【答案】B【解析】【分析】求出与的坐标，利用它们互相垂直列方程即可求解。
【详解】因为向量，，所以=，=，又与互相垂直，所以，即：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，属于基础题。
5.一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件次品和全是正品，其中互斥事件为（）A. ①B. ①②C. ②③D. ①③【答案】D【解析】【分析】由互斥事件的概念直接判断即可。
【详解】由互斥事件的概念可知①中两个事件互斥，对于②中，至少有1件次品包括全是次品，所以②中两个事件不互斥。
对于③中，至少有1件次品包括：一件次品一件正品，两件都是次品，所以至少有1件次品和全是正品是互斥事件。
故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的概念，属于基础题。
2018南平质检数学试题与答案
2018年南平市初三质检数学试题一、选择题（共40分）(1)下列各数中，比-2小3的数是( )．(A)1 (B)1- (C) 5- (D) 6-(2)我国南海总面积有3 500 000平方千米，数据3 500 000用科学记数法表示为( )． (A)3.5×106 (B)3.5×107 (C)35×105 (D)0.35×108 (3)如图，在2×2网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置1枚棋子， 使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是( )．(A) 32 (B) 21 (C) 31 (D) 41(4)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( )． (A)6 (B) 7 (C)8 (D)9(5)已知一次函数y 1=-2x ，二次函数y 2=x 2+1，对于x 的同一个值，这两个函数所对 应的函数值为y 1和y 2，则下列关系正确的是( )．(A)y 1>y 2 (B)y 1≥y 2 (C) y 1<y 2 (D) y 1≤y 2(6)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=4，以C 点为圆心，2为半径作⊙C ，则AB 的中点 O 与⊙C 的位 置关系是( )．(A) 点O 在⊙C 外 (B) 点O 在⊙C 上 (C) 点O 在⊙C 内 (D) 不能确定 (7)下列说法正确的是( )．(A)为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 (B)为了了解某电视剧的收视率，选择全面调查 (C)“射击运动员射一次，命中靶心”是随机事件 (D)“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件(8)某学校为绿化环境，计划植树220棵，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多10%，结果提前2小时完成任务．设原计划每小时植树x 棵，依据题意,可列方程( )．(A)2220%)101(220+=+x x (B) 2220%)101(220-=+x x(C) 2220%10220=-x x (D) 2220%101220-=+xx(9)如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面 展开图的圆心角的度数为( )． (A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 135°第3题第5题ABO第9题(10)已知一组数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…其中a 1=1，对于任意的正整数n ，满足a n+1 a n ，+ a n+1 n a -=0， 通过计算a 2，a 3，a 4的值，猜想a n 可能是( )． (A)n1(B)n (C)n 2 (D)1 二、填空题（共24分）(11)写出一个正比例函数y =x 象上点的坐标__________．(12)关于x 的一元二次方程x 24-x +3m =0有两个实数根，则m =__________． (13)一组数据：3，4，4，6，6，6的中位数是__________． (14)将抛物线2)1(32-+=x y 向右平移3个单位，再向上平 移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________．(15)如图，正方形ABCD 的面积为18，菱形AECF 的面积为6，则菱形的边长__________． (16)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=BD=2，AD=1，则AC=__________． 三、解答题(共86分)(17)(8分)先化简，再求值：()()a b a b a --+422，其中a =2，b=3，(18)(8分)解不等式组：()⎩⎨⎧-≥-<-212063x x x(19)( 8分)如图，A ，B ，D 三点在同一直线上，△ABC ≌△BDE ，其中点A ，B ，C 的对应点分别是B ，D ，E ，连接CE ． 求证：四边形ABEC 是平行四边形．(20)( 8分)如图，已知∠AOC 内一点D ．(1)按要求面出图形：画一条射线DP ，使得∠DOC=∠ODP 交射线OA 于点P ，以P 点为圆心DP 半径画弧，交射线OA 于E 点，画直线ED 交射线OC 于F 点，得到△OEF ； (2)求证：OE=OF ．第15题AABCD第16题① ②CD AC(21)( 8分)为了有效地落实国家精准扶贫政策，切实关爱贫困家庭学生．某校对全校各班贫困家庭学生的 人数情况进行了调查．.发现每个班级都有贫困家庭学生，经统计班上贫困家庭学生人数分别有1名、 2名、3名、5名，共四种情况，井将其制成了如下两幅不完整的统计图： (1)填空：a =_______，b=_______； (2)求这所学校平均每班贫困学生人数； (3)某爱心人士决定从2名贫困家庭学 生的这些班级中，任选两名进行帮扶， 请用列表或画树状图的方法，求出被 选中的两名学生来自同一班级的概率．(22)如图，反比例函数xky =(k ≠0)与一次函数)0(≠+=a b ax y 相交于点A(1，3)，B(c ，1-) (1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)在反比例函数图象上存在点C ，使△AOC 为等腰三角形，这样的点有几个，请直接写出一个以 AC 为底边的等腰三角形顶点C 的坐标．(23)( 10分)如图，AB 为半圆O 的直径，弦CD 与AB 的延长线相交于点E ． (1)求证：∠COE=2∠BDE ；(2)当OB=BE=2，且∠BDE=60°时，求tan E ．贫困学生人数 班级数 1名 5 2名 2 3名 a 5名1ABO xym %1名 20% 2名 20%3名 5名 b %(24)( 12分)已知两条线段AC 和BC ，连接AB ，分别以AB 、BC 为底边向上画等腰△ABD 和等腰△BCE ，∠ADB=∠BEC=α．(1)如图1，当α=60°时，求证：△DBE ≌△ABC ； (2)如图2，当α=90°时，且BC=5，AC=2， ①求DE 的长；②如图3，将线段CA 绕点C 旋转，点D 也随之运动，请直接写出C 、D 两点之间距离的取值范围．(25)( 14分)已知抛物线421+-=x y (x >0)与44122+-=x y (x >0)有公共的顶点M(0，4)，直线 x =p (p >0)分别与掀物线y 1、y 2交于点A 、B ，过点A 作直线AE ⊥y 轴于点E ，交y 2于点C ． 过点B 作直线BF ⊥y 轴于点F ，交y 1于点D ． (1)当p =2时，求AC 的长；图1图2D(2)求BDMACM S S∆∆的值；(3)直线AD 与BC 的交点N(m ，n )， 求证：m 为常数．参考答案及评分说明（1）C ； （2）A ； （3）C ； （4）D ； （5）D ；（6）B ； （7）C ； （8）B ； （9）C ； （10）A ． （11）如：（1，1）（答案不唯一）； （12）34； （13）5； （14）()2232+-=x y ； （15）10； （16）15． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） （17）（本小题满分8分）解：原式2224444a ab b ab a +-++=………………………… 2分 2245b a +=， ……………………………………………4分当32==b a ，时，原式22)3(425⨯+⨯=………………………………………6分321220=+=． ………………………………………8分（18）（本小题满分8分）解：由①得，2<x ， ………………………………………3分由②得，22-x ≥2-x ，……………………………………5分x ≥0 ， …………………………………… 6分 所以不等式组的解集是0≤x ＜2． ……………………………8分O yx y 1y 2C E BD F M x=p（19）（本小题满分8分）证明：∵△ABC ≌△BDE ，∴∠DBE=∠A , BE = AC ， …………………4分 ∵∠DBE=∠A ，∴BE ∥AC ，…………………………………6分 又∵BE = AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形． …………8分（20）（本小题满分8分）（Ⅰ）确定点P ，E ，F ，各得1分，图形完整得1分，共4分；（Ⅱ）证明：∵∠DOC=∠ODP ，∴PD ∥OC ，∴∠EDP=∠EFO ， …………………………5分∵PD =PE ，∴∠PED=∠EDP ， …………………………6分 ∴∠PED=∠EFO ， …………………………7分 ∴OE=OF ． …………………………………8分（21）（本小题满分8分）（Ⅰ）填空：a =2，b =10； …………………………………2分（Ⅱ）21015232251=⨯+⨯+⨯+⨯………………4分答：这所学校平均每班贫困学生人数为2；（Ⅲ）设有2名贫困家庭学生的2个班级分别记为A 班和B 班， 方法一： 列表：准确列表……………………………………………………………6分 方法二： 树状图：CBEAEP ODA C（第20题（Ⅰ）答题图）A212A11B 2121B221B准确画出树状图 ……………………………………………………6分 ∴P （两名学生来自同一班级）＝31124=． ………………8分 （22）（本小题满分10分）解：（Ⅰ）把A （1，3）代入xy 12=中得，313=⨯=k ，∴反比例函数的解析式为x y 3=， ……3分把B （c ，-1）代入xy 3=中，得3-=c ，把A （1，3）,B （-3，-1）代入b ax y +=中得， ⎩⎨⎧-=+-=+133b a b a ，∴⎩⎨⎧==21b a ， ∴一次函数的解析式为2+=x y ； ……6分（Ⅱ）这样的点有4个，………………………8分C 2（3，1）或C 4（-3，-1）． …………10分（23）（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：连接AC ，∵∠A+∠CDB =180， ………1分∠BDE+∠CDB =180°，………2分∴∠A=∠BDE ， ……………3分 ∵∠COE=2∠A ， ……………4分∴∠COE=2∠BDE ；…………5分（Ⅱ）解：过C 点作CF ⊥AE 于F 点，∵∠BDE =60°，∴∠A =60°， …………………………………………………………6分 又∵OA =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∵OB =2，∴OA =AC =2，∴121===AO FO AF ， …………………………………………7分 在Rt △AFC 中，∴ ，…………………………8分在Rt △CEF 中，EF =FO +OB +BE =5， ∴53tan ==EF CF E ． (10)分 （24）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵∠ADB=∠BEC=60°，∴等腰△ADB 和等腰△BEC 是等边三角形，………1分 ∴BD =BA ，BE=BC ，∠DBA=∠EBC=60°，………2分312222=-=-=AF AC CF EAO B C D （第23题答题图） F （第22题（Ⅱ）答题图）ED∴∠DBA -∠EBA=∠EBC -∠EBA ，∴∠DBE=∠ABC ， …………………3分 ∴△DBE ≌△ABC （SAS ）；……………4分 （Ⅱ）解：（i ）∵∠ADB=90°， DB =DA ， ∴∠DBA=45°，同理∠EBC=45°， ∴∠DBA=∠EBC ，∴∠DBA -∠EBA=∠EBC -∠EBA ， ∴∠DBE=∠ABC ，……………………5分 又∵cos ∠DBA = cos ∠EBC ， ∴22==BC BE AB DB ， ……………6分 ∴△DBE ∽△ABC ， …………………7分∴BCBEAC DE =，即222=DE ， ∴ ； ……………………8分（ii ）223≤CD ≤227． ………12分（25）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当p =2时，把x =2带入421+-=x y 中得，01=y ， ∴A （2，0），……………………………………………………1分 把y 2=2带入44122+-=x y （x >0）中得，x =4， ∴C （4，0），……………………………………………………2分 ∴AC =2； ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：设)441,(),4,(22+-+-p p B p p A ， 则)441,0(),4,0(22+-+-p F p E ， ∵M （0，4），∴22)4(4p p ME =+--=，4)441(422p p MF =+--=，……………………………5分2=DE E DCBA（第24题图2）EDCBA（第24题（ii ）答题图1）ED CBA（第24题（ii ）答题图2）当44121+-=p y 时，444122+-=+-x p ，∴p x D 21=， 当422+-=p y 时，441422+-=+-x p ， ， ∴p x C 2=， ∴)4,2(2+-p p C ,)441,2(2+-p p D ， ∴221p p p BD =-=， p p p AC =-=2， ……………………………………7分∴8412212122=⋅⋅=⋅⋅=∆∆p p p p MF BD MEAC S S BDMACM ；………………8分 （Ⅲ）证明：方法一：设直线AD ：b kx y +=，把)441,21(),4,(22+-+-p p D p p A 代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧+-=++-=+44121422p b kp p b kp ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=421232p b p k ， ∴直线AD ：421232++-=p px y ；……………………10分 设直线BC ：b x k y '+'=，把)441,(),4,2(22+-+-p p B p p C 代入得： ⎪⎩⎪⎨⎧+-='+'+-='+'4414222p b k p p b k p ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='-='421432p b p k ， ∴直线BC ：421432++-=p px y ；………………………12分 ∵直线AD 与BC 的交点为N(m,n)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++-=++-=421234214322p pm n p pm n ， ………13分∴043=pm ， ∵p >0，∴m=0，即m 为常数．…………………14分方法二： 设直线AD 交y 轴于G 点，直线BC 交y 轴于H 点， ∵BF ∥CE ，∴△GFD ∽△GEA ，△HFB ∽△HEC ，…10分∴2121===p pAE DF GE GF ， 212===p p CE BF HE HF ， ∴HE HFGE GF =，………………………11分 ∴FEHF HF FE GF GF +=+， ∴HF GF =，…………………………13分∴G 、H 点重合，∴G 、H 点就是直线AD 与直线BC 的交点N ， ∴m=0，即m 为常数． ………………14分。
南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学试卷(含答案)
南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学试题（满分：150分；考试时间：120分钟）★友情提示：①所有答案都必须填在答题卡相应的位置上，答在本试卷上一律无效；②试题未要求对结果取近似值的，不得采取近似计算．一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．每小题只有一个正确的选项，请在答题卡．．．的相应位置填涂）1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是A. B. C. D.2. 用配方法解方程2210x x--=，配方结果正确的是A. ()222x-= B. ()212x-=C. ()2+12x= D.()210x-=3. 同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，每个骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6这六个点数，下列事件为必然事件的是A. 朝上一面点数之和为12B. 朝上一面点数之和等于6C. 朝上一面点数之和小于13D. 朝上一面点数之和小于等于64. 如图，点A、B、C在⊙O上，过点C作⊙O的切线与OA的延长线交于点D，若32D∠=，则B∠的大小为A.58 B.34C.32 D.295. 关于二次函数()212y x=+-的图象，下列说法正确的是A. 对称轴是1x= B. 开口向下C. 顶点坐标是（1，-2）D. 与x轴有两个交点6. 1275年我国南宋数学家杨辉提出一个问题：直田积（矩形面积）八百六十四步（平方步），只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步），问阔及长各几步. 设阔（宽）为x 步，则所列方程正确的是A. 864)12(=+xx B. 864)12(=-xxC. 864)12)(12(=+-xx D. 86412=x第4题图7. 已知⊙O 的半径为5，直线l 与⊙O 相交，点O 到直线l 的距离为3，则⊙O 上到直线l 的距离为2的点共有 A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 如果点A ),3(1y -，B ),2(2y -，C ),2(3y 都在反比例函数)0(>=k xky 的图象上，那么 1y ，2y ，3y 的大小关系正确的是A. 3y <2y <1yB. 2y <1y <3yC. 1y <2y <3y D .1y <3y <2y9. 若正方形的边长为4，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为A. 2B. 4，2C. 4，D.10.已知k 为非零的实数，则抛物线kk kx x y 1222++-=的顶点 A. 在一条直线上 B. 在某双曲线上C. 在一条抛物线上D. 无法确定二、填空题（本大题共6小题，每空4分，共24分．将答案填入答题卡．．．的相应位置）11. 一元二次方程22=x 的根是 ．12. 在一个不透明的口袋内只装有一些除颜色外完全相同的红球、白球和黑球，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是0.3，摸到白球的概率是0.4，那么摸到黑球的概率 是 ．13. 若点P (m ，-3)与点Q （2，n ）关于原点对称，则m n += ． 14. 一个扇形的圆心角为80，面积是2cm 2π，则此扇形的半径是 cm ．15．已知反比例函数xky =（0≠k ），当1≤x ≤2时，函数的 最大值与最小值之差是1，则k 的值为 ． 16. 如图，四边形ABCD 中，AB =AC =AD ，若∠BAC =39°，则∠BDC= °.ADC第16题图三、解答题（本大题共9小题，共86分．在答题卡．．．的相应位置作答） 17．解方程（每小题4分，共8分）（1）x x 22=； （2）2550x x --=.18．（8分）已知关于x 的一元二次方程032=++m x x 有两个不相等的实数根，且m 为正整数，求m 的值.19．（8分）某中学食堂开设了两个窗口，窗口一提供四种食品：肉包、馒头、鸡蛋、油饼；窗口二提供两种食品：牛奶、豆浆. 约定：学生在一个窗口领一种食品后，再到另一个窗口领一种食品.（1）问：学生早餐领到的食品一共有几种不同的可能?（2）如果某天食堂师傅在两个窗口随机发放食品，请用列表或画树状图的方法，求出小王同学该天早餐刚好得到牛奶和馒头的概率.20．（8分）如图，△APB 内接于⊙O .（1）作∠APB 的平分线PC ，交⊙O 于点C （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若∠APB =120º，连接AC ，BC ，求证：△ABC 是等边三角形.第20题图21．（8分）如图，用48米篱笆围成一个外形为矩形的花园，花园一面利用院墙，中间用一道篱笆间隔成两个小矩形，院墙的长度为20米，平行于院墙的一边长为x 米，花园的面积为S 平方米．（1）求S 与x 之间的函数关系式；（2）问花园面积可以达到180平方米吗？如果能，花园的长和宽各是多少？如果不能，请说明理由.22．（10分）如图，AB 是半圆O 的直径，点D 是半圆上一点，连接OD ，AE ⊥OD 于点E ，设∠AOE =α，将△AEO 绕点O 顺时针旋转α角，得到△DHO ，若点D ，H ，B 在一条直线上，求α的值.23．（10分）如图，直线(0)y kxk =<与反比例函数(0,0)my m x x=<<的图象交于点A ，直线与y 轴正半轴的夹角为60，OA =2． （1）求反比例函数的解析式；（2）根据图象直接写出mkx x>的自变量的取值范围．xDCBA第21题图AOBHED第22题图第23题图24．（12分）如图，在边长为8的等边△ABC 中，点D 是AB 的中点，点E 是平面上一点，且线段DE =2，将线段EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，连接AF . （1）如图1，当BE =2时，求线段AF 的长； （2）如图2，① 求证：AF =CE ；② 求线段AF 的取值范围.25．（14分）我们把（a ，b ，c ）称为抛物线c bx ax y ++=2的三维特征值.已知抛物线1y 所对应的三维特征值为)031(，，b -，且顶点在直线2=x 上. （1）求抛物线1y 的解析式；（2）若直线t y =与抛物线1y 交于P 、Q 两点，当PQ <1≤2时，求t 的取值范围； （3）已知直线2=x 与x 轴交于点A ，将抛物线1y向右平移1）个单位得到抛物线2y ，且抛物线2y 与直线1=y 分别相交于M 、N 两点（M 点在N 点的左侧），与x 轴交于C 、D 两点（C 点在D 点的左侧），求证：射线AN 平分∠MAD .第24题图1第24题图2南平市2018-2019学年第一学期九年级期末质量检测数学试题参考答案及评分说明说明：（1）解答右端所注分数为考生正确做完该步应得的累计分数，全卷满分150分．（2）对于解答题，评卷时要坚持每题评阅到底，勿因考生解答中出现错误而中断本题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的考试要求，可酌情给分，但原则上不超过后面应得分数的一半，如果有较严重的错误，就不给分．（3）若考生的解法与本参考答案不同，可参照本参考答案的评分标准相应评分．（4）评分只给整数分．选择题和填空题不给中间分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．D ； 6．A ； 7．C ； 8．B ； 9．A ； 10．B ． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）11．x = 12．0.3； 13．1； 14．3； 15．2±； 16．19.5°． 三、解答题（本大题共9小题，共86分）17．（1）解：2-20x x =…………………………………………………………………1分()2=0x x -…………………………………………………………………2分12=0=2x x ，…………………………………………………………………4分（2）解：∵5,5,1-=-==c b a ， ……………………………………………………1分()254552⨯+-±=x ……………………………………………………2分2535±=x .2535,253521-=+=x x ……………………………4分 18．解：∵一元二次方程032=++m x x 有两个不相等的实数根，2=3-40m ∆>， …………………………………………………………4分∴94m < ，………………………………………………………………6分∵m 为正整数，∴=12m m =或.……………………………………………………………………8分19．（1）解：食堂早餐的食品一共有8种不同的可能.……………………………………2分(2) 方法一：肉包 馒头 鸡蛋 油饼 ………………………………………………6分 ∴（肉包，牛奶）（肉包，豆浆）（馒头，牛奶）（馒头，豆浆）（鸡蛋，牛奶）（鸡蛋，豆浆）（油饼，牛奶）（油饼，豆浆），………………7分牛奶 豆浆 牛奶 豆浆 牛奶 豆浆 牛奶 豆浆∴()1=8P 得到牛奶和馒头. ………………………………………………………8分 方法二：7分∴()1=8P 得到牛奶和馒头. ………………………………………………………8分 20． (1)作图………………………………………………………………………………3分(2)证明：∵PC 平分∠APB ，∠APB =120º，∴∠APC=∠CPB =60º ， ……………………………………………………4分 ∵∠ABC 与∠APC 同对弧AC ， ∴∠ABC=∠APC =60º ， ………………………………………………………5分 ∵∠CAB 与∠CPB 同对弧BC ∴∠CAB=∠CPB =60º ，…………………………………………………………6分 ∴∠ACB=180º-∠ABC-∠CAB =60º，∴∠ACB=∠ABC=∠CAB ，……………………………………………………7分 ∴△ABC 是等边三角形. ………………………………………………………8分 21．解：（1）∵()4803x x s -=，…………………………………………………………2分 ACP BO第20题答题图2第20题答题图1∴()21-160203s x x x =+<≤. ……………………………………………………3分（2）花园面积可以达到180平方米， ……………………………………………4分∵ 21-161803x x +=， …………………………………………………………5分 ∴1218,30x x ==， ………………………………………………………………6分∵院墙的最大长度为m 20 ∴()230x =不符合题意舍去∴18x =. ……………………………………………………………………………7分 答：当18x =时，花园面积可以达到2180m . …………………………………………8分 22. 解：连接HB ，∵AE ⊥EO ， ∴∠AEO=90º，∵△AEO 绕点O 顺时针旋转得到△DHO ， ∴△AEO ≌△DHO ， ∴∠A=∠D ，∠DHO=∠AEO=90º ， ∠DOH=∠AOE ， …………………………………………………………………3分∵D 、H 、B 在一条直线上， ∴OH ⊥DB ，证法一：∵OD =OB ，∴∠B=∠D ，………………………………………………………………………4分 ∴∠A=∠B ，………………………………………………………………………5分 ∵∠AOE 与∠B 同对弧AD ，∴∠AOE =2∠B ，∴∠AOE =2∠A ， …………………………………………………………………7分 在Rt △AOE 中, ∠AOE +∠A=90º， ∴2∠A+∠A=90º，……………………………………………………………………8分 ∴∠A=30º， ……………………………………………………………………9分 ∴∠AOE=60º 即α=60º. ………………………………………………………10分 证法二：∵OD =OB ，OH ⊥DB ，∴OH 平分∠BOD 即∠BOH =∠DOH ，………………………………………7分∵∠DOH=∠AOE ，∴∠DOH=∠AOE=∠BOH=60º ………9分 ∴α=60º. ………………………………10分23．解：（1）过A 作AB ⊥x 轴垂足为B ，…………1分O 第22题答题图∵直线与y 轴正半轴的夹角为60，∴∠AOB =30°，…………………………2分 ∴112AB OA == ，……………………3分 ∴在Rt △AOB 中，O B = …………………4分∴()A ， …………………………5分∴m = ………………………………6分∴y =. ……………………………………7分(2) 0x < (10)24．解：(1)作AG ⊥BC 于G 点，延长FE 交AG 于H 点∵AB =AC ， ∴∠BAG=30º，……………………1分∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ， ∴∠BEF=60º， ∴∠BEF=∠B ，∴EF ∥BC ， …………………………2分 ∵AG ⊥BC ，∴AG ⊥FH ， …………………………3分 在Rt △AEH 中,∵AE=6,∠EAH=30º， ∴132EH AE ==,AH == 在Rt △AFH 中，AF ===方法二：(1)连接FB,作FP ⊥AB 于P 点， ∵EB 绕点E 顺时针旋转60º得到线段EF ，∴△EBF 是等边三角形，…………………………1分 又∵FP ⊥AB ，∴∠EFP=30º， ∴112EP EF == ，……………………………2分 GAC∴AP=7，在Rt△EFP中, PF=3分在Rt△APF中,AF===…………………4分(2) ①连接FB，∵EB绕点E顺时针旋转60º得到线段EF，∴△EBF是等边三角形，∴FB=EB, ∴∠FBE=∠ABC=60º…………………………………………………………6分∴∠FBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA即∠FBA=∠EBC，…………………………………………………………………………7分又∵AB=BC，∴△FBA≌△EBC，………………………………………………………………………8分∴AF=CE， (9)分②22AF≤≤. ………………………………………………………12分∵DE=2,∴E点在以D为圆心，2为半径的圆上，且2342-34+≤≤CE∵AF=CE∴22AF≤≤.(25．解：（1）依题意可得211=-3y x bx+∵1y顶点在直线2=x上，∴-2123b=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，FC（第24题答题图2）∴43b =， ………………………………2分 ∴2114=-33y x x +.……………………3分（2） 设直线PQ 与直线2=x 相交与E 点， ∴2PQPE =， ……………………………………………………………4分 ∵PQ <1≤2，∴112PE <≤， …………………………………………………………5分 ∴当12PE =时，1352,224p p x y =-==，………………………………………………6分 当 1PE =时 ，211,1p p x y =-==， …………………………………………………7分 ∴ 514t ≤<. ………………………………………………………………………………9分 方法2：设214-=33x x t +， ∴ ()22=-34x t -+，∴ 122,2x x ==，…………………………………………………5分∴ 12PQ x x =-=，………………………………………………………………6分 ∴ 1PQ =时，14-34t =，54t =，2PQ =时，4-31t =，1t =，……………………………………………………………8分∴ 514t ≤<.…………………………………………………………………………………9分（3）设直线1=y 与1y 依次相交11,M N 于两点，由（2）可得11M N,1M x ，∴()11,1M ，………………………………………………………………………10分 由平移的性质可得11=2MN M N =,()2M +，…………………………11分 ∴2MA ==根据勾股定理可得………………………12分证法一：∴=2MA MN =，∴∠MAN=∠MNA ，………………………………………………………………13分 ∵MN ∥CD ，∴∠MNA=∠NAD , ∴∠MAN=∠NAD ,∴射线AN 平分∠MAD . …………………………………………………………14分 证法二：过N 点作NP ⊥AM 于P 点, NQ ⊥CD 于Q 点,∴NQ=1,∵.11=122AMN S AM NP MN ∆⋅=⋅， ∴NP =1 , ………………………………………………………………13分∴NP = NQ ,∵NP ⊥AM 于P点, NQ ⊥CD ，∴射线AN平分∠MAD. ………………………………………………14分。
2018-2019福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（理）试题
2018-2019学年福建省南平市高二下学期期末质量检测数学（理）试题一、单选题1．已知集合A ＝{x ｜x ＜1}，B ＝{x ｜3x ＜1}，则A∩B ＝（ ） A ．{x ｜x ＜0} B ．（x ｜x ＞0}C ．{x ｜x ＞1}D ．{x ｜x ＜1}【答案】A【解析】分别求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 【详解】∵集合A ＝{x |x ＜1}，B ＝{x |3x ＜1}＝{x |x ＜0}， ∴A ∩B ＝{x |x ＜0}． 故选：A ． 【点睛】本题考查交集的求法及指数不等式的解法，考查运算求解能力，是基础题． 2．下列函数中既是奇函数又在区间（﹣∞，0）上单调递增的函数是（ ） A ．y ＝22x x -- B ．y ＝x 2+1 C ．y ＝x13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．y ＝1x【答案】A【解析】由函数的奇偶性的定义和常见函数的单调性，即可得到符合题意的函数． 【详解】对于A ，y ＝f （x ）＝2x ﹣2﹣x 定义域为R ，且f （﹣x ）＝﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数，当x ＜0时，由y ＝2x ，y ＝﹣2﹣x 递增，可得在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递增，故A 正确；y ＝f （x ）＝x 2+1满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故B 不满足条件； y ＝f （x ）＝（13）|x |满足f （﹣x ）＝f （x ），可得f （x ）为偶函数，故C 不满足题意； y 1x=为奇函数，且在区间（﹣∞，0）上f （x ）单调递减，故D 不满足题意． 故选：A ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用常见函数的奇偶性和单调性，考查判断能力，属于基础题．3．袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，则所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为（ ） A ．715B ．35C ．815D ．25【答案】C【解析】从袋中任取2个球，基本事件总数n 210C =．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m 1164C C =，利用古典概型公式可得所求． 【详解】袋中共有10个除了颜色外完全相同的球，其中有6个白球，4个红球，从袋中任取2个球，基本事件总数n 210C ==45．所取的2个球中恰有1个白球，1个红球包含的基本事件个数m 1164C C ==24，∴所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为p 2484515m n ===． 故选：C ． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．设f （x ）＝2x ＋x ﹣4，则函数f （x ）的零点位于区间（ ） A ．（﹣1，0） B ．（0，1）C ．（1，2）D ．（2，3）【答案】C【解析】根据零点的判定定理，结合单调性直接将选项的端点代入解析式判正负即可． 【详解】∵f （x ）＝2x +x ﹣4中，y ＝2x 单增，y=x-4也是增函数，∴f （x ）＝2x +x ﹣4是增函数，又f （1）＝﹣1＜0，f （2）＝2＞0， 故选：C ． 【点睛】本题考查了函数零点存在定理的应用，考查了函数单调性的判断，属于基础题． 5．命题p ：∀x ∈R ，ax 2﹣2ax+1＞0，命题q ：指数函数f （x ）＝a x （a ＞0且a≠1）为减函数，则P 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．【详解】命题p：∀x∈R，ax2﹣2ax+1＞0，解命题p：①当a≠0时，△＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）＜0，且a>0，∴解得：0＜a＜1，②当a＝0时，不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，∴不等式ax2﹣2ax+1＞0在R上恒成立，有：0≤a＜1；命题q：指数函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）为减函数，则0＜a＜1；所以当0≤a＜1；推不出0＜a＜1；当0＜a＜1；能推出0≤a＜1；故P是q的必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查了二次型函数恒成立的问题，考查了指数函数的单调性，属于基础题．6．将4名学生分配到5间宿舍中的任意2间住宿，每间宿舍2人，则不同的分配方法有（）A．240种B．120种C．90种D．60种【答案】D【解析】根据分步计数原理分两步：先安排宿舍，再分配学生，继而得到结果．【详解】根据题意可以分两步完成：第一步：选宿舍有25C=10种；第二步：分配学生有2242C C=6种；根据分步计数原理有：10×6＝60种．故选：D．【点睛】本题考查排列组合及计数原理的实际应用，考查了分析问题解决问题的能力，属于基础题．7．若x∈（0，1），a＝lnx，b＝ln12x⎛⎫⎪⎝⎭，c＝e lnx，则a，b，c的大小关系为（）A．b＞c＞a B．c＞b＞a C．a＞b＞c D．b＞a＞c【答案】A【解析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．【详解】∵x∈（0，1），∴a＝lnx＜0，b＝（12）lnx＞（12）0＝1，0＜c＝e lnx＜e0＝1，∴a，b，c的大小关系为b＞c＞a．故选：A．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．设函数f（x）＝xlnx的图象与直线y＝2x+m相切，则实数m的值为（）A．e B．﹣e C．﹣2e D．2e【答案】B【解析】设切点为（s，t），求得f（x）的导数，可得切线的斜率，由切线方程可得s，t，进而求得m．【详解】设切点为（s，t），f（x）＝xlnx的导数为f′（x）＝1+lnx，可得切线的斜率为1+lns＝2，解得s＝e，则t＝elne＝e＝2e+m，即m＝﹣e．故选：B．【点睛】本题考查导数的运用：求切线方程，考查直线方程的运用，属于基础题．9．函数的图象大致为（）A．B．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】 函数是偶函数，排除选项；当时，函数，可得，当时，，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C. 【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势． (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性． (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象10．设函数f （x ）＝222,1()log (1),1x x a x f x x x ⎧--+<=⎨-+≥⎩，若函数f （x ）的最大值为﹣1，则实数a 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，﹣2） B ．[2，+∞）C ．（﹣∞，﹣1]D ．（﹣∞，﹣2]【答案】D【解析】考虑x ≥1时，f （x ）递减，可得f （x ）≤﹣1，当x ＜1时，由二次函数的单调性可得f （x ）max ＝1+a ，由题意可得1+a ≤﹣1，可得a 的范围． 【详解】当x ≥1时，f （x ）＝﹣log 2（x +1）递减，可得f （x ）≤f （1）＝﹣1， 当且仅当x ＝1时，f （x ）取得最大值﹣1；当x ＜1时，f （x ）＝﹣（x +1）2+1+a ，当x ＝﹣1时，f （x ）取得最大值1+a ， 由题意可得1+a ≤﹣1，解得a ≤﹣2． 故选：D ．【点睛】本题考查分段函数的最值求法，注意运用对数函数和二次函数的单调性，考查运算能力，属于中档题．11．己知某物体的温度θ（单位：摄氏度）随时间t （单位：分钟）的变化规律是θ＝m·2t +12t -（t≥0，m ＞0），若物体的温度总不低于2摄氏度，则实数m 的取值范围是（ ） A ．[14，+∞） B ．[13，+∞） C ．[12，+∞） D ．（1，+∞]【答案】C【解析】直接利用基本不等式求解即可． 【详解】由基本不等式可知，122t t m -⋅+≥=， 当且仅当“m •2t ＝21﹣t ”时取等号，由题意有，2≥1≥，解得12m ≥． 故选：C ． 【点睛】本题考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于基础题． 12．定义在（0，+∞）上的函数f （x ）的导数'()f x 满足x 2'()f x ＜1，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．f （14）+1＜f （13）＜f （12）﹣1 B ．f （12）+1＜f （13）＜f （14）﹣1 C ．f （14）﹣1＜f （13）＜f （12）+1D ．f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1【答案】D【解析】构造函数g （x ）＝f （x ）1x+，利用导数可知函数在（0，+∞）上是减函数，则答案可求． 【详解】由x 2f ′（x ）＜1，得f ′（x ）21x ＜，即得f ′（x ）21x -＜0， 令g （x ）＝f （x ）1x +，则g ′（x ）＝f ′（x ）21x -＜0，∴g （x ）＝f （x ）1x+在（0，+∞）上为单调减函数，∴f （12）+2＜f （13）+3＜f （14）+4，则f （12）＜f （13）+1，即f （12）﹣1＜f （13）；f （13）＜f （14）+1． 综上，f （12）﹣1＜f （13）＜f （14）+1．故选：D ． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，正确构造函数是解题的关键，是中档题．二、填空题13．已知命题P ：∃x 0＞0，使得001x x +＜2，则￢p 是_____ 【答案】0,x 12x x+≥ 【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论． 【详解】命题为特称命题，由特称命题的定义，命题的否定就是对这个命题的结论进行否认． 全称特称命题即改变量词，再否定结论可得： 命题的否定为：∀x ＞0，x 1x+≥2， 故答案为：∀x ＞0，x 1x+≥2. 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，全（特）称命题的否定命题的格式和方法,要注意两点：1）全称命题变为特称命题；2）只对结论进行否定．属于基础题． 14．若()44324321021x a x a x a x a x a +++=-+，则a 4+a 2+a 0＝_____ 【答案】41【解析】利用特殊值法，令x ＝0，1，﹣1，将所得结果进行运算可得解． 【详解】令x ＝0，可得a 0＝1；令x ＝1，可得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4＝1， 即a 1+a 2+a 3+a 4＝0 ①；令x ＝﹣1，可得a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4＝81， 即﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4＝80 ②，将①和②相加可得，2（a 2+a 4）＝80， 所以a 2+a 4＝40，所以a 0+a 2+a 4＝41． 故答案为：41． 【点睛】本题考查二项式展开式的系数的求解方法：赋值法，对题目中的x 合理赋值是解题的关键，属于基础题．15．已知f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ﹣1，则f （log 23）＝_____ 【答案】13【解析】利用周期及奇偶性可将f （log 23）化为243f log ⎛⎫ ⎪⎝⎭，而2240213log log =＜＜，则答案可求． 【详解】∵f （x ）是定义在（﹣∞，+∞）上周期为2的偶函数， ∴f （log 23）＝f （﹣log 23）＝f （﹣log 23+2）243f log ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∵2240213log log =＜＜，且当x ∈[0，1]时，f （x ）＝2x ﹣1， ∴2432441211333log f log ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭．故答案为：13． 【点睛】本题考查函数的奇偶性及周期性的应用，考查指数及对数的运算，属于基础题． 16．已知函数()32xxf x x x e e -=-+-+，若()()220f af a +-≥，则实数a 的取值范围是____ 【答案】[2,1]-【解析】先判断函数的奇偶性，再由导数可得函数f （x ）在R 上单调递减，然后把f （a 2）+f （a ﹣2）≥0转化为关于a 的一元二次不等式求解． 【详解】函数f （x ）＝﹣x 3+2x ﹣e x +e ﹣x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），则函数f （x ）在R 上为奇函数． f ′（x ）＝﹣3x 2+2﹣e x 1x e-≤-3x 2+2﹣2≤0．∴函数f（x）在R上单调递减．∵f（a2）+f（a﹣2）≥0，∴f（a2）≥﹣f（a﹣2）＝f（﹣a+2），∴a2≤﹣a+2，解得﹣2≤a≤1．则实数a的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题17．已知实数a＞0且a≠1．设命题p：函数f（x）＝log a x在定义域内单调递减；命题q：函数g（x）＝x2﹣2ax+1在（12，+∞）上为增函数，若“p∧q”为假，“p∨q”为真，求实数a的取值范围．【答案】112a a⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【解析】先分别求得p，q为真时的a的范围，再将问题转化为p，q一真一假时，分类讨论可得答案．【详解】∵函数f（x）＝log a x在定义域内单调递减，∴0＜a＜1．即：p：{a|0＜a＜1}．∵a＞0且a≠1，∴￢p：{a|a＞1}，∵g（x）＝x2﹣2ax+1在（12，+∞）上为增函数，∴a12≤．又∵a＞0且a≠1，即q：{a|0＜a12≤}．∴￢q：{a|a12＞且a≠1}．又∵“p∧q”为假，“p∨q”为真，∴“p真q假”或“p假q真”．①当p真q假时，{a|0＜a＜1}∩{a|a12＞且a≠1}＝{a|12＜a＜1}．．②当p假q真时，{a|a＞1}∩{a|0＜a12≤}＝∅，综上所述：实数a的取值范围是：{a|12＜a＜1}．【点睛】本题主要考查复合命题之间的关系，根据不等式的性质分别求得命题p，q为真时的参数的范围是解决本题的关键，考查分类讨论的思想，比较基础．18．某企业甲,乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为和,现安排甲组研发新产品,乙组研发新产品.设甲,乙两组的研发是相互独立的.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品研发成功,预计企业可获得万元,若新产品研发成功,预计企业可获得利润万元,求该企业可获得利润的分布列和数学期望.【答案】(1)(2)详见解析【解析】试题分析：(1)首先设出至少有一种新产品研发成功为事件A,包含情况较多,所以要求该事件的概率,考虑求其对立事件,即没有一种新产品研发成功,根据独立试验同时发生的概率计算方法即可求的对立事件的概率,再利用互为对立事件概率之间的关系,即和为,即可求的相应的概率.(2)根据题意,研发新产品的结果分为四种情况,利用独立试验同时发生的概率计算方法分别得到每种情况的概率,再根据题意算出此时的利润,即可得到关于利润的分布列,再利用概率与对应的利润成绩之和即可得到数学期望.(1)解:设至少有一组研发成功的事件为事件且事件为事件的对立事件,则事件为新产品都没有成功,因为甲,乙成功的概率分别为,则,再根据对立事件概率之间的概率公式可得,所以至少一种产品研发成功的概率为.(2)由题可得设该企业可获得利润为,则的取值有,,,,即,由独立试验同时发生的概率计算公式可得:;;;;所以的分布列如下:则数学期望.【考点】分布列数学期望概率19．某高校共有学生15000人，其中男生10500人，女生4500人．为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．（1）应收集多少位女生的样本数据？（2）根据这300个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据的分组区间为：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估计该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率．（3）在样本数据中，有60位女生的每周平均体育运动时间超过4小时，请完成每周平均体育运动时间与性别列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．附：【答案】（1）90；（2）0.75；（3）有95%的把握认为“该校学生的每周平均课外阅读时间与性别有关”【解析】（1）根据频率分布直方图进行求解即可．（2）由频率分布直方图先求出对应的频率，即可估计对应的概率．（3）利用独立性检验进行求解即可【详解】（1）300450015000⨯=90，所以应收集90位女生的样本数据．（2）由频率分布直方图得1﹣2×（0.100+0.025）＝0.75，所以该校学生每周平均体育运动时间超过4小时的概率的估计值为0.75．（3）由（2）知，300位学生中有300×0.75＝225人的每周平均体育运动时间超过4小时，75人的每周平均体育运动时间不超过4小时，又因为样本数据中有210份是关于男生的，90份是关于女生的，所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下：每周平均体育运动时间与性别列联表结合列联表可算得K22300(456016530)100210907522521⨯-⨯==≈⨯⨯⨯4.762＞3.841所以，有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”．【点睛】本题主要考查频率分布直方图以及独立性检验的应用，比较基础20．某高科技公司研究开发了一种新产品，生产这种新产品的每天固定成木为30000元，每生产x件，需另投入成本为t元，22002000?0903200000010200310000?90.x x xtxx⎧+<<⎪⎪=⎨⎪+≥⎪⎩ ，－，，每件产品售价为10000元．（该新产品在市场上供不应求可全部卖完．）（1）写出每天利润y关于每天产量x的函数解析式；（2）当每天产量为多少件时，该公司在这一新产品的生产中每天所获利润最大．【答案】（1）2200800030000? 090310000280000200?90.x x x y x x x ⎧-+-<<⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，，；（2）当每天产量为100件时，该公司在这一新产品生产中所获利润最大，最大利润为每天240000元 【解析】（1）由题意，分0＜x ＜90及x ≥90两种情况即可建立函数解析式； （2）由二次函数以及基本不等式求得各自的最值，再比较即可求得结论． 【详解】（1）因为每件商品售价为10000元，则x 件商品销售额为10000x 元， 依题意得：当0＜x ＜90时222002001000020003000080003000033y x x x x x =---=-+-， 当x ≥90时，200000010000100001020031000030000280000200y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭． 所以220080003000009031000028000020090x x x y x x x ⎧-+-⎪⎪=⎨⎛⎫⎪-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩，＜＜，．（2）当0＜x ＜90时，2200(60)2100003y x =--+， 此时，当x ＝60件时，y 取得最大值210000元． 当x ≥90时，1000028000020028000028000040000240000y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭，此时，当10000x x=时，即x ＝100件时，y 取得最大值240000元． 因为210000＜240000，所以当每天产量为100件时，该公司在这一新产品生产中所获利润最大，最大利润为每天240000元． 【点睛】本题考查分段函数模型的实际运用，考查利用基本不等式求函数的最值，属于中档题． 21．已知函数f （x ）＝alnx ﹣ex （a ∈R ）．其中e 是自然对数的底数． （1）讨论函数f （x ）的单调性并求极值；（2）令函数g （x ）＝f （x ）+e x ，若x ∈[1，+∞）时，g （x ）≥0，求实数a 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[0,)+∞【解析】（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）．求出函数的导函数，然后对a 分类讨论可得原函数的单调性并求得极值；（2）对g （x ）求导函数，对a 分类讨论，当a ≥0时，易得g （x ）为单调递增，有g （x ）≥g （1）＝0，符合题意．当a ＜0时，结合零点存在定理可得存在x 0∈（1，2e +）使g ′（x 0）＝0，再结合g （1）＝0，可得当x ∈（1，x 0）时，g （x ）＜0，不符合题意．由此可得实数a 的取值范围． 【详解】（1）函数f （x ）的定义域为（0，+∞）． f ′（x ）a ex ae x x-=-=-． ①当a ≤0时，f ′（x ）＜0，可得函数f （x ）在（0，+∞）上单调递减，f （x ）无极值；②当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得：0＜x a e ＜，可得函数f （x ）在（0，ae）上单调递增．由f ′（x ）＜0，得：x a e ＞，可得函数f （x ）在（ae ，+∞）单调递减，∴函数f （x ）在x a e =时取极大值为：f （ae）＝alna ﹣2a ；（2）由题意有g （x ）＝alnx ﹣ex +e x ，x ∈[1，+∞）． g ′（x ）xa e e x=+-． ①当a ≥0时，g ′（x ）0xa e e x=+-≥． 故当x ∈[1，+∞）时，g （x ）＝alnx ﹣ex +e x 为单调递增函数； g （x ）≥g （1）＝0，符合题意． ②当a ＜0时，g ′（x ）x a e e x =+-，令函数h （x ）x ae e x=+-， 由h ′（x ）2xae x =-＞0，c ∈[1，+∞）， 可知：g ′（x ）xa e e x=+-为单调递增函数，又g ′（1）＝a ＜0，g ′（x ）2x a a x ex ae e x e x x x-+=+-+-=＞，当x ≥时，g ′（x ）＞0．∴存在x 0∈（1）使g ′（x 0）＝0，因此函数g （x ）在（1，x 0）上单调递减，在（x 0，+∞）上单调递增， 又g （1）＝0，∴当x ∈（1，x 0）时，g （x ）＜0，不符合题意． 综上，所求实数a 的取值范围为[0，+∞）． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，考查数学转化思想方法及分类讨论的数学思想方法，考查了利用了x e x ＞进行放缩的技巧，是难题． 22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知线C 的极坐标方程为：ρ＝sin （θ+4π），过P （0，1）的直线l 的参数方程为：121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．（1）求出直线l 与曲线C 的直角坐标方程． （2）求｜PM ｜2+｜PN ｜2的值．【答案】（110y -+=，22220x y x y +--=；（2）3【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）将直线l 的参数方程代入圆C 的方程中，得到关于t 的方程，根据t 的几何意义可得222212||||PM PN t t +=+的值． 【详解】（1）直线l：121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t10y -+=直线l10y -+=， 曲线C的极坐标方程224sin cos πρθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 即ρ2＝2ρsinθ+2ρcosθ，可得直角坐标方程：x 2+y 2﹣2x ﹣2y ＝0；（2）把直线l的参数方程121x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）代入圆C 的方程，化简得：t 2﹣t ﹣1＝0，∴12121?1t t t t +==-，， ∴22222121212||||()2123PM PN t t t t t t +=+=+-=+=． 【点睛】本题主要考查了参数方程、直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了直线参数方程的几何意义，考查了学生的运算能力和转化能力，属中档题． 23．设函数f （x ）＝｜3﹣2x ｜+｜2x ﹣a ｜ （1）当a ＝1时，求不等式f （x ）≤3的解集； （2）若存在x ∈R 使得不等式f （x ）≤t+4t+2对任意t ＞0恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）39a -≤≤【解析】（1）解法一：利用分类讨论法去掉绝对值，解对应的不等式即可；解法二：利用分段函数表示f （x ），作出y ＝f （x ）和直线y ＝3的图象，利用图象求出不等式的解集；（2）由题意可得f （x ）的最小值不大于t 4t++2的最小值，利用绝对值不等式求出f （x ）的最小值，利用基本不等式求出t 4t++2的最小值， 再列不等式求得实数a 的取值范围． 【详解】（1）解法一：当a ＝1时，f （x ）＝|3﹣2x |+|2x ﹣1|；当x 12≤时，不等式f （x ）≤3可化为：﹣2x +1﹣2x +3≤3， 解得x 14≥，此时14≤x 12≤；当12＜x 32＜时，不等式f （x ）≤3可化为为：2x ﹣1﹣2x +3≤3， 此不等式恒成立，此时得12＜x 32＜；当x 32≥时，不等式f （x ）≤3可化为：2x ﹣1+2x ﹣3≤3，解得得x 74≤，此时32≤x 74≤，综上知，14≤x 74≤，即不等式的解集为[14，74]；解法二：利用分段函数表示f（x）1 442132223442x xxx x⎧-+≤⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-≥⎪⎩，，＜＜，；作出y＝f（x）和直线y＝3的图象，如图所示：由f（x）＝3解得：x14=或x74=，由图象可得不等式的解集为[14，74]；（2）由f（x）＝|3﹣2x|+|2x﹣a|≥|3﹣2x+2x﹣a|＝|3﹣a|＝|a﹣3|，即f（x）的最小值为|a﹣3|，由t4t++4tt⋅2＝6，当且仅当t4t=，即t＝2时，取等号，因为存在x∈R，使得不等式f（x）≤t4t++2对任意t＞0恒成立，所以|a﹣3|≤6，解得﹣3≤a≤9；所以实数a的取值范围是﹣3≤a≤9．【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式的解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。
福建省南平市2018届高三上学期第一次调研考试数学(理)试题(答案解析)
福建省南平市2018届高三上学期第一次调研考试 数学（理）试题、选择题1.设集合J={x|0<x<3}35={j|y=r+UE=4，则 AnB=（）A . （0,3）B . （2,5）C . （2,9）D . （2,3）2.已知i 为虚数单位，若复数 z 满足（3-取）"1-泯，则（）2 A.—B. 1C . 2D . 4 2525553.等差数列的前打项和为£ ,若£为一个确定的常数，下列各式中也为确定常数的是（）A •叫坷B .片+片+片C 片片D . % + %已知点M （x , y ）是圆C.i ：iy ? -21 0的内部任意一点，则点 M 满足y 汰的概率是（）1r-2 1 T -2-B.——C. —D.——442r4r£ 〒A . 3』B . ^C.环亍D. 2,56.公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时， 多边形面积可无限逼近圆的面枳，并创立了害恫术”利用 害胴术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的 徽率”如图是利用刘徽的 割圆术”思想设计的一个程序框图，则 输出的值为（）（参考数据： 鈕屮-UEKt,五'口口-心］椚）4. 5•已知F i,是双曲线三― 的左、右焦点，点P 在双曲线上，若2^=60°，则册缪的面积为（）A . 12 B. 24 C. 48 D. 967. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）8. 直线|与抛物线于=4工相交与A, B两点，若OA丄OB（O是坐标原点），则△ AOB面积的最小值为（）A . 32B . 24C . 16D . 89.若e是自然对数的底数，则（）1 hr ln2 1 b2 tar Inr 1 ln2Inr ln2 1A .-> — > —B .-> — > —C .一一D .—> — >-ff T 2ff 2 T r 2 e 2Y+1 ------- …10.已知函数满足若函数尸- 与皿）图像的交点为_____________ x山$）屈耳）广也厲1）,则迟（耳-为卜（）A . 10B . 20 C. —10 D . —20、填空题11. 已知数列轨｝满足RTT，则该数列的前 23项的和为A . 4194B . 4195C . 2046D . 204712.已知血0L［冷連,且卍+融圧一岁=0, X炒+ £曲0+"0，则ta[3-cos(fiE+3^)] =A . In2B . In3C . ll ，213. （屮件M 的展开式中含F的系数为50,则a的值为16. 在三棱锥卩欽中，沏必X13，"就/卩・迟屮人2,PA与平面ABC所成角的余弦值为迢，则三棱锥P - ABC外接球的表面积为3 ' I三、解答题17. 在厶ABC中,a, ,bc分别为角A,B,C的对边，且屈:工讯.（1 ）若b=6，求sinC 及£込;（2）若D,E在线段BC上，且切曲就「伸:KW，求AD的长.18. 如图，在三棱柱ABC - AEG中，平面AAQG丄平面ABC, AB=BC ,Z ACB=60°, E为AC的中点.（1 ）若BC丄AC,求证：AC丄平面CEB；:（2 ）若AA= AQ=AC,求二面角 A - BO- E的余弦值.19. 有甲、乙两个桔柚（球形水果）种植基地，已知所有采摘的桔柚的直径都在[59,101]范围内（单位：毫米，以下同），按规定直径在[71,89）内为优质品，现从甲、乙两基地所采摘的桔柚中各随机抽取500个，测量这些桔柚的直径，所得数据整理如下：直径分组[59,65)[65,71)[71,77)[77,83)[83,89)[89,95)[95,101]14.已知，向量归+可在向量帀可上的投影为15.2r-j>0已知实数满足x+2y-5<0，求的取值范围(1)根据以上统计数据完成下面2X2列联表，并回答是否有95%以上的把握认为桔柚直径与所在基地有关”(2)求优质品率较高的基地的500个桔柚直径的样本平均数卜|(同一组数据用该区间的中点值作代表)：(3)经计算，甲基地的500个桔柚直径的样本方差F瓷67?，乙基地的500个桔柚直径的样本方差?-7：%3，，并且可认为优质品率较高的基地采摘的桔柚直径直服从正态分布咻心,其中M近似为样本平均数丄，/近似为样本方差由优质品率较高的种植基地的抽样数据，估计该基地采摘的桔柚中，直径不低于86.78亳米的桔柚在总体中所占的比例.若川I川也新｝，则</!+()] 0娥加.帀<疋"+20■卜0JM4,艸衍衍卜0J974.20. 已知过点P(2,1)的椭圆K ； +曽1“皿训的离心率为(1)求椭圆方程；17. （2）不过坐标原点 O 的直线I 与椭圆E 交于A , B 两点（异于点P ,线段AB 的中点为D,直线 OD 的斜率为1•记直线PA ，PB 的斜率分别为k i，k 2.问kk 是否为定值？若为定值，请求出定值•若不为定值，请说明理由•已知定义在区间［0,+ P ）的函数/⑴ J *1叩!町（扌训.参考答案一、 选择题1.D2.C3.B4.D5.C6.B7. D8.C9. A 10.D11.A 12.A二、 填空题 13. -114. 120 °三、解答题 21.(1) 求函数的单调区间;(2) 若不等式_j>0恒成立，求t 的取值范围.x=-2+2casa尸4十2血a 直线C 2的极坐标方程为22.在直角坐标系xOy 中，圆C 1的参数方程为*x 轴的正半轴（a 为参数）.以坐标原点为极点,(1 )求圆C 1的极坐标方程和直线C 2的直角坐标方程;设C 1与C 2的交点为P , Q ,求厶CFQ 的面积.23. 已知函数(1) 求不等式 皿(2) 若 八$卩酊■l -'i 对任意实数x 恒成立,求实数 m 的取值范围.5 / 11 17.在厶ABC 中，由正弦定理一sin B sin (?sin (------ = --------- -- =——6 6 3r —又.勺：，所以畀」，则C 为锐角，所以工3则拓匸！ II /■ - f 、-'73 V6 1 V3 3/2 + ^/3，23 2 3 6(n)设川〕—』，则汕 ).；.•’..,又川:，「— I,在厶ABE 中，由余弦定理得丨S 小、18. (I)证明：因为 BA=BC , E 为AC 的中点，所以 BE \ AC ,又平面 A1ACC1 |平面ABC ，平面 A1ACC1 ■平面ABC=AC ，刃［平面ABC , 所以BE |平面A1ACC1 ,又 A1C _ 平面 A1ACC1，所以 BE | A1C ，又 BC1 I A1C , BE BC1=B , 所以A1C |平面C1EB(n)连接 A1E ，因为A1A=A1C ，又E 为AC 的中点，所以 A1E | AC,又平面 A1ACC1 |平面ABC ,即|(1 ：；;■，解得「丨(取正)，在直角△ ADE 中,平面 A1ACC1 平面 ABC=AC ，A1E _ 平面 A1ACC1， 所以A1E |平面ABC ， 以E 点为原点，分别以射线 EB ，EC ，EA1为 丄轴，卩轴，一轴建立如图所示空间直角坐标系， 设丄」灯|，则片I 2二设平面A1BC1的一个法向量打；,:设平面C1EB 的一个法向量为.1，%・崩=r . 阻■ E(\ = 0—莒,19. （I ）由以上统计数据填写 2 X 2列联表如下:甲基地乙基地 合计 优质品 420 390 810 非优质品80110190取一 I 得斗小小，故所求的二面角 A1 — BC1 — E 的余弦值为<14 7取％ W 得“1000x(420x110-390 x80)71000上■' I ，500x500x810x190171所以,有95%的把握认为：“两个基地采摘的水果直径有差异” .420390(n)甲基地水果的优质品率为，甲基地水果的优质品率为 15005001 = ^(62x10 + 68x30 + 74x120 + 80x175 + 86x125 + 92x35 + 98x5) -L24 + 4.08 +1776 + 28.0 + 21.5 +6.44 + 0.98 =80(川)由(n)可知，甲基地的桔柚直径.1 r-,:r{80-6+78 <X< 80 + 6.78) P{73’22 < X < 86.78) 0W6 , A/U 2 86.78) = 573.22V 58) = ^06826 = 0 |5872 2所以，估计甲基地采摘的桔柚中， 直径不低于86.78毫米的桔柚在总体中所占的比例大约为| IX 「20. (I)由题意得“乜 + 丄—1“ 、、 ?x 快 ，解得肛"6护 3,则椭圆人的方程为 —+ — -1,［宀2沪63(n )由题意可设直线加方程为八步皿伽圭0),令龟』｝0(易则"「2 ‘2儿).T 直线U 的斜率为1- J ' I T ' > )1为,即.：山-:.⑴\X 1 +2)/ + 2/^^ + ^-6 = 0 (A>0)所以，甲基地水果的优质品率较高， 甲基 地 的500- 6 2lm (1-0^— + 2m - 0/z m t O t+J = -2 r + 2①当厂：时,：1「||•即门「是丨| r 上的增函数则jx;的增区间为. 减区间为（n ）由不等式| ' ；, 恒成立，得不等式：：】 恒成立•①当！、［时,由（I ）知 "T ；是1. ；上的增函数，一| ,「［门|「 「:门I '：1〕，即当！、；'时,不等式：；「 - ：•", 一门 T 恒成立•I - I _ °②当〕时:I 」.代入（1）式得 因此，心一：贰―W 二＞： 0 = -m. Azl 趟一 2 为一1 _ 山-0(此一1) 不 一 2 [―2_p ( + (zn - 2)(—2 片 + (锲—2)| 灿- 5+小] 4)也一 2(曲-2期 + >!)+(«-2)2 ,即仆为定值 *（心伽）2 一 2 (jr + l)2(zr+l) f(x) =(x+l)2(fx + l) 21. L ，令得「「必叽册)唱蚀叩+『)要使不等式T恒成立,令口⑴ 1 ( - i I I .'：'i I- ■：. I <■ : 「1"⑴.；：射1 +* - 2 2 2w 2u 2EIJF I — --------------- -- HI ---- -- ------ —--------- - -----(1 + M) 1+W l + M1(I 十沙I + F/…门“】是⑴.丨"［上的减函数，又叩—，，TT7.mu—^⑴,则,『丨，即.…：I,解得！1故I : ?.} t综合①,②得⑵ ,即t的取值范围是W)22. (I)直线f .•的直角坐标方程为'卜I)圆厂的普通方程为(*+2『+ 2-4)—4, 因为.■ ■■ L .W,所以J的极坐标方程为才+ 4pcos0-+16 = 03 兀，_ * ,(n)将H |代入」)：，：「■」■、」t」丨d "，得厂仁：一山 0 ,解得F 1 '【，「、亠■.二故＞\ - 一，即；1」2 一.由于圆「的半径为2，所以*PQ的面积为223. (I) '「小丨—4x +2, x < —1 -2x + 4, -1 < x<l4x-2, x> 1x<-l1，不合题意，舍去 x>~1X > 1 J■--4x + 2s x< - I（n ）由（i ）知./（x ） = <-2jr+4-l<z<l ,4x-2,x>\则一.'厂、亠」，解得— 2 2② 「「得'-2x+4<4 x>0即实数叫的取值范围是x< -1得- 一4工+27 综上不等式的解集为（吟则；。
福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学(理)试题 Word版含解析
福建省南平市2018-2019学年高二上学期期末质量检测数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的焦点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由抛物线方程直接求解。
【详解】由抛物线得：，所以，所以抛物线的焦点坐标是：故选：A【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质，属于基础题。
2.若，，则是的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】解出,由充分、必要条件概念判断即可【详解】因为，所以,所以且，所以是的充分不必要条件故选：A【点睛】本题主要考查了充分、必要条件的概念，属于基础题。
3. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】: 取出的2张卡片上的数字之和为奇数的抽取方法是一奇一偶，C C÷C=4.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A. 1B.C. -1D.【答案】B【解析】【分析】求出与的坐标，利用它们互相垂直列方程即可求解。
【详解】因为向量，，所以=，=，又与互相垂直，所以，即：，解得：故选：B【点睛】本题主要考查了向量垂直的坐标表示及向量的坐标运算，属于基础题。
5.一箱产品中有正品4件，次品2件，从中任取2件，以下事件：①恰有1件次品和恰有2件次品；②至少有1件次品和全是次品；③至少有1件次品和全是正品，其中互斥事件为（）A. ① B. ①② C. ②③ D. ①③【答案】D【解析】【分析】由互斥事件的概念直接判断即可。
【详解】由互斥事件的概念可知①中两个事件互斥，对于②中，至少有1件次品包括全是次品，所以②中两个事件不互斥。
对于③中，至少有1件次品包括：一件次品一件正品，两件都是次品，所以至少有1件次品和全是正品是互斥事件。
故选：D【点睛】本题主要考查了互斥事件的概念，属于基础题。
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2018年南平市初三质检数学试题一、选择题（共40分）(1)下列各数中，比-2小3的数是( )． (A)1 (B)(C)(D)(2)我国南海总面积有3 500 000平方千米，数据3 500 000用科学记数法表示为( )． (A)3.5×106 (B)3.5×107 (C)35×105 (D)0.35×108(3)如图，在2×2网格中放置了三枚棋子，在其他格点处再放置1枚棋子， 使图形中的四枚棋子成为轴对称图形的概率是( )．(A) (B) (C) (D)(4)已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是( )． (A)6 (B) 7 (C)8 (D)9(5)已知一次函数y 1=-2x ，二次函数y 2=x 2+1，对于x 的同一个值，这两个函数所对 应的函数值为y 1和y 2，则下列关系正确的是( )．(A)y 1>y 2 (B)y 1≥y 2 (C) y 1<y 2 (D) y 1≤y 2(6)如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=4，以C 点为圆心，2为半径作⊙C ，则AB 的中点 O 与⊙C 的位 置关系是( )．(A) 点O 在⊙C 外 (B) 点O 在⊙C 上 (C) 点O 在⊙C 内 (D) 不能确定 (7)下列说法正确的是( )．(A)为了审核书稿中的错别字，选择抽样调查 (B)为了了解某电视剧的收视率，选择全面调查 (C)“射击运动员射一次，命中靶心”是随机事件 (D)“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是必然事件(8)某学校为绿化环境，计划植树220棵，实际劳动中每小时植树的数量比原计划多10%，结果提前2小时完成任务．设原计划每小时植树x 棵，依据题意,可列方程( )． (A) (B)(C)(D)(9)如图，是一圆锥的左视图，根据图中所示数据，可得圆锥侧面 展开图的圆心角的度数为( )． (A) 60° (B) 90° (C) 120° (D) 135°第3题第5题ABO第9题(10)已知一组数a 1，a 2，a 3，…，a n ，…其中a 1=1，对于任意的正整数n ，满足a n+1 a n ，+ a n+1 =0，通过计算a 2，a 3，a 4的值，猜想a n 可能是( )． (A)(B)n (C)n 2 (D)1二、填空题（共24分）(11)写出一个正比例函数y =x 象上点的坐标__________． (12)关于x 的一元二次方程x 2x +3m =0有两个实数根，则m =__________．(13)一组数据：3，4，4，6，6，6的中位数是__________． (14)将抛物线向右平移3个单位，再向上平移4个单位，那么得到的抛物线的表达式为__________．(15)如图，正方形ABCD 的面积为18，菱形AECF 的面积为6，则菱形的边长__________． (16)如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=BC=BD=2，AD=1，则AC=__________． 三、解答题(共86分) (17)(8分)先化简，再求值：，其中a =2，b=，(18)(8分)解不等式组：(19)( 8分)如图，A ，B ，D 三点在同一直线上，△ABC ≌△BDE ，其中点A ，B ，C 的对应点分别是B ，D ，E ，连接CE ． 求证：四边形ABEC 是平行四边形．(20)( 8分)如图，已知∠AOC 内一点D ．(1)按要求面出图形：画一条射线DP ，使得∠DOC=∠ODP 交射线OA 于点P ，以P 点为圆心DP 半径画弧，交射线OA 于E 点，画直线ED 交射线OC 于F 点，得到△OEF ； (2)求证：OE=OF ．第15题AC EFABCD第16题①②B CD EADCO(21)( 8分)为了有效地落实国家精准扶贫政策，切实关爱贫困家庭学生．某校对全校各班贫困家庭学生的 人数情况进行了调查．.发现每个班级都有贫困家庭学生，经统计班上贫困家庭学生人数分别有1名、 2名、3名、5名，共四种情况，井将其制成了如下两幅不完整的统计图： (1)填空：a =_______，b=_______； (2)求这所学校平均每班贫困学生人数； (3)某爱心人士决定从2名贫困家庭学 生的这些班级中，任选两名进行帮扶， 请用列表或画树状图的方法，求出被 选中的两名学生来自同一班级的概率．(22)如图，反比例函数(k ≠0)与一次函数相交于点A(1，3)，B(c ，)(1)求反比例函数与一次函数的解析式；(2)在反比例函数图象上存在点C ，使△AOC 为等腰三角形，这样的点有几个，请直接写出一个以 AC 为底边的等腰三角形顶点C 的坐标．(23)( 10分)如图，AB 为半圆O 的直径，弦CD 与AB 的延长线相交于点E ． (1)求证：∠COE=2∠BDE ；(2)当OB=BE=2，且∠BDE=60°时，求tan E ．贫困学生人数 班级数 1名 5 2名 2 3名 a 5名1ABO xym %1名 20% 2名 20%3名 5名 b %(24)( 12分)已知两条线段AC 和BC ，连接AB ，分别以AB 、BC 为底边向上画等腰△ABD 和等腰△BCE ，∠ADB=∠BEC=．(1)如图1，当=60°时，求证：△DBE ≌△ABC ； (2)如图2，当=90°时，且BC=5，AC=2，①求DE 的长；②如图3，将线段CA 绕点C 旋转，点D 也随之运动，请直接写出C 、D 两点之间距离的取值范围．(25)( 14分)已知抛物线(x >0)与(x >0)有公共的顶点M(0，4)，直线x =p (p >0)分别与掀物线y 1、y 2交于点A 、B ，过点A 作直线AE ⊥y 轴于点E ，交y 2于点C ． 过点B 作直线BF ⊥y 轴于点F ，交y 1于点D ． (1)当p =2时，求AC 的长；ABCDE图1ABCDE图2A B CDE图3(2)求的值；(3)直线AD 与BC 的交点N(m ，n )， 求证：m 为常数．参考答案及评分说明（1）C ； （2）A ； （3）C ； （4）D ； （5）D ； （6）B ； （7）C ； （8）B ； （9）C ； （10）A ． （11）如：（1，1）（答案不唯一）； （12）； （13）5；（14）； （15）； （16）．三、解答题（本大题共9小题，共86分） （17）（本小题满分8分）解：原式………………………… 2分， ……………………………………………4分 当时，原式………………………………………6分 ． ………………………………………8分（18）（本小题满分8分）解：由①得，， ………………………………………3分 由②得，≥，……………………………………5分≥ ， …………………………………… 6分所以不等式组的解集是0≤x ＜2． ……………………………8分O y x y 1y 2C EBD F M x=p（19）（本小题满分8分）证明：∵△ABC ≌△BDE ，∴∠DBE=∠A , BE = AC ， …………………4分 ∵∠DBE=∠A ，∴BE ∥AC ，…………………………………6分 又∵BE = AC ，∴四边形ABEC 是平行四边形． …………8分（20）（本小题满分8分）（Ⅰ）确定点P ，E ，F ，各得1分，图形完整得1分，共4分；（Ⅱ）证明：∵∠DOC=∠ODP ，∴PD ∥OC ，∴∠EDP=∠EFO ， …………………………5分∵PD =PE ，∴∠PED=∠EDP ， …………………………6分 ∴∠PED=∠EFO ， …………………………7分 ∴OE=OF ． …………………………………8分（21）（本小题满分8分）（Ⅰ）填空：a =2，b =10； …………………………………2分（Ⅱ）………………4分答：这所学校平均每班贫困学生人数为2；（Ⅲ）设有2名贫困家庭学生的2个班级分别记为A 班和B 班， 方法一： 列表：准确列表……………………………………………………………6分 方法二： 树状图：A 1 A 2B 1 B 2A 1 （ A 1， A 2） （ A 1，B 1） （ A 1， B 2） A 2 （ A 2， A 1） （ A 2， B 1） （ A 2， B 2） B 1（ B 1， A 1） （ B 1， A 2） （ B 1， B 2）B 2（ B 2， A 1） （ B 2， A 2） （ B 2， B 1）CB DEA（第19题图）EP ODA C（第20题（Ⅰ）答题图）A 1212A 211B 2121B 2221B 1准确画出树状图 ……………………………………………………6分 ∴P （两名学生来自同一班级）＝． ………………8分（22）（本小题满分10分） 解：（Ⅰ）把A （1，3）代入中得，，∴反比例函数的解析式为， ……3分把B （c ，-1）代入中，得， 把A （1，3）,B （-3，-1）代入中得，，∴，∴一次函数的解析式为； ……6分 （Ⅱ）这样的点有4个，………………………8分C 2（3，1）或C 4（-3，-1）． …………10分（23）（本小题满分10分） （Ⅰ）证明：连接AC ，∵∠A+∠CDB =180， ………1分∠BDE+∠CDB =180°，………2分∴∠A=∠BDE ， ……………3分 ∵∠COE=2∠A ， ……………4分∴∠COE=2∠BDE ；…………5分（Ⅱ）解：过C 点作CF ⊥AE 于F 点，∵∠BDE =60°，∴∠A =60°， …………………………………………………………6分 又∵OA =OC ，∴△AOC 是等边三角形，∵OB =2，∴OA =AC =2，∴， …………………………………………7分在Rt △AFC 中，∴ ，…………………………8分在Rt △CEF 中，EF =FO +OB +BE =5， ∴． ………………………………………………10分（24）（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵∠ADB=∠BEC=60°，∴等腰△ADB 和等腰△BEC 是等边三角形，………1分 ∴BD =BA ，BE=BC ，∠DBA=∠EBC=60°，………2分E AO B C D （第23题答题图） F A y xOBC 1 C 2C 3（C 4） （第22题（Ⅱ）答题图）ED∴∠DBA -∠EBA=∠EBC -∠EBA ，∴∠DBE=∠ABC ， …………………3分 ∴△DBE ≌△ABC （SAS ）；……………4分 （Ⅱ）解：（i ）∵∠ADB=90°， DB =DA ， ∴∠DBA=45°，同理∠EBC=45°， ∴∠DBA=∠EBC ，∴∠DBA -∠EBA=∠EBC -∠EBA ， ∴∠DBE=∠ABC ，……………………5分 又∵cos ∠DBA = cos ∠EBC ， ∴， ……………6分∴△DBE ∽△ABC ， …………………7分 ∴，即，∴ ； ……………………8分 （ii ）≤≤． ………12分（25）（本小题满分14分）（Ⅰ）解：当p =2时，把x =2带入中得，，∴A （2，0），……………………………………………………1分 把y 2=2带入（x >0）中得，x =4，∴C （4，0），……………………………………………………2分 ∴AC =2； ……………………………………………………3分 （Ⅱ）解：设，则，∵M （0，4）， ∴，，……………………………5分 E DCBA（第24题图2）EDCBA（第24题（ii ）答题图1）ED CBA（第24题（ii ）答题图2）当时，，∴，当时，，，∴，∴,，∴，，……………………………………7分∴；………………8分（Ⅲ）证明：方法一：设直线AD ：，把代入得：，解得，∴直线AD ：；……………………10分设直线BC ：，把代入得：，解得，∴直线BC ：；………………………12分∵直线AD与BC的交点为N(m,n)，Array∴，………13分∴，∵p >0，∴m=0，即m为常数．…………………14分方法二：设直线AD交y轴于G点，直线BC交y轴于H点，∵BF∥CE，∴△GFD∽△GEA，△HFB∽△HEC，…10分∴，，∴，………………………11分∴，∴，…………………………13分∴G、H点重合，∴G、H点就是直线AD与直线BC的交点N，∴m=0，即m为常数．………………14分。