相似三角形的判定讲义全
《相似三角形》最全讲义(完整版)
相似三角形基本知识知识点一：放缩与相似形1. 图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。
2. 把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者就说是相似性注意：⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关。
⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况。
⑶我们可以这样理解相似两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩到的．⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．3. 相似多边形的性质：如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。
注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的对应边的长度的比值是 1.知识点二：比例线段有关概念及性质（1）有关概念1、比：选用同一长度单位量得两条线段。
a、 b 的长度分别是m、n，那么就说这两条线段am 的比是a：b＝m：n（或 b n ）2、比的前项，比的后项：两条线段的比a：b中。
a叫做比的前项，b叫做比的后项。
说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。
ac3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如 b dac4、比例外项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中a、d叫做比例外项。
ac5、比例内项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中b、c 叫做比例内项。
ac6、第四比例项：在比例 b d（或a：b＝c：d）中， d 叫a、b、 c 的第四比例项。
ab7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为 b a（或a:b ＝b:c 时，我们把b叫做 a 和 d 的比例中项。
8. 比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即 a c（或a：b=c：d），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线bd 段。
（注意：在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位）2）比例性质acad bc1. 基本性质 :bd（两外项的积等于两内项积）a cb d2. 反比性b d a c （ 把比的前项、后项交换 ）3.更比性质 （交换比例的内项或外项 ） ：a b，（交换内项 ） cdcd c，（交换外项 ） db a d b．（同时交换内外项 ） ca4.合比性质 ：a c abc d（分子加（减）分母 ,分母不变） b d b d注意 ：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间注意：（1） 此性质的证明运用了“设 k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． （2） 应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．（3） 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成 立．AC1）定义：在线段 AB 上，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和BC （AC>BC ），如果AB2）黄金分割的几何作图 ：已知：线段 AB.求作：点 C 使 C 是线段 AB 的黄金分割点发生同样和差变化比例仍成立．如：acbd5. 等比性质： 如果badc a ab c cd abcd分子分母分别相加，比值不变.）e m(b d f fnn 0） ，那么知识点三： 黄金分割BC ，AC，AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割2即 AC 2=AB ×BC ，那么称线段点，AC 与 AB 的比叫做黄金比。
相似三角形的性质与判定讲义)
相似三角形的性质与判定讲义)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比．(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．(2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用．(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
相似三角形的判定及性质 课件
条.
错解:如图,过点 D 作 DE1∥BC,此时∠AE1D=∠B,∠A=∠A,所以△ABC
∽△AE1D;过点 D 作 DE2∥AB,此时∠CE2D=∠B,∠C=∠C,所以△ABC∽
△DE2C.
答案:2
错因分析:本题为探索性题目,由于对应元素不确定,因而存在多种情况,
形相似,因此共有 4 条直线符合要求.
答案:4
思路分析:由于这两个三角形都是直角三角形,且已知条件是线段间的
关系,故考虑证明对应边成比例,即只需证明
=
即可.
证明:在正方形 ABCD 中,
∵Q 是 CD 的中点,∴ =2.
∵ =3,∴ =4.
又 BC=2DQ,∴ =2.
在△ADQ 和△QCP 中,
两角对应相等,两
个三角形相似
两边对应成比例
且夹角相等Hale Waihona Puke 两个三角形相似作用
判定
两个
三
角形
相似
判定
两个
三角
形
相似
引
理
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延
长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线
平行于三角形的第三边
判定
定理
3
对于任意两个三角形,如果一个三角形的三
条边和另一个三角形的三条边对应成比例,
那么这两个三角形相似
=
=2,∠C=∠D=90°,
∴△ADQ∽△QCP.
探究三 证明两直线平行
常利用引理来证明两直线平行,其关键是证明其对应线段成比例,这样
相似三角形的性质与判定专题讲义
相似三角形的性质与判定专题讲义一、知识梳理（一）、相似三角形的性质：1、相似三角形的对应角，对应边。
2、相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于。
3、相似三角形对应周长的比等于。
4、相似三角形对应面积的比等于。
注意：在运用相似三角形的性质解题时，一定要确定好对应边、对应角；若果不能确定，则应当进行分类讨论。
（二）、相似三角形的判定：1、判定两个三角形相似的条件：（1）平行截割： _____（2）两角对应相等：（3）两边夹：（4）三边比：_____________________________________2、判定两个三角形相似的一般步骤：（1）先通过已知或平行、对顶角、公共边、寻找是否存在两对相等的角（2）若只能找到一对对应角相等，则再找到一对对应角相等,或找夹这个角的两边是否对应成比例。
（3）若找不到相等的角，就分析三边是否3、等积式的证明思路遇等积，化等比；横找、竖找定相似；不相似，莫生气，等线等比来代替；平行线转比例，两端各自拉关系。
二、基础练习1．（2013•重庆）已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3：4，则△ABC与△DEF的面积比为（）A．4：3 B．3：4 C．16：9 D．9：162．两相似三角形的最短边分别是5cm和3cm，它们的面积之差为32cm2，那么小三角形的面积为（）A．10cm2B．14cm2C．16cm2D．18cm23．如图，已知△ABC，AB=6，AC=4，D为AB边上一点，且AD=2，E为AC边上一点（不与A、C重合），若△ADE与△ABC相似，则AE=（）A．2 B．34C．3或43D．3或344．（2008•毕节地区）已知△ABC的三条长分别为2cm，5cm，6cm，现将要利用长度为30cm和60cm的细木条各一根，做一个三角形木架与△ABC相似，要求以其中一根作为这个三角形木架的一边，将另一根截成两段（允许有余料，接头及损耗忽略不计）作为这个三角形木架的另外两边，那么这个三角形木架的三边长度分别为（）A．10cm，25cm，30cmB ．10cm ，30cm ，36cm 或10cm ，12cm ，30cmC ．10cm ，30cm ，36cmD ．10cm ，25cm ，30cm 或12cm ，30cm ，36cm 5．（2010•淄博）在一块长为8、宽为32的矩形中，恰好截出三块形状相同、大小不等的直角三角形，且三角形的顶点都在矩形的边上．其中面积最小的直角三角形的较短直角边的长是．6．如图，D 、E 分别是AC ，AB 上的点，∠ADE ＝∠B ，AG ⊥BC 于点G ，AF ⊥DE 于点F.若AD ＝3，AB＝5，求： （1）AGAF；（2）△ADE 与△ABC 的周长之比；三、 重难点高效突破专题一：计算线段的长度或线段之间的比在几何中线段长度计算常用的方法是：1、运用勾股定理计算；2、运用相似三角形对应边成比例计算；3、综合运用进行计算。
相似三角形的判定完整版课件
相似三角形的判定完整版课件一、教学内容1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定两个三角形相似的方法，包括：SSS（三边对应相等）、SAS（两边及夹角对应相等）、AA（两角对应相等）。
二、教学目标1. 理解并掌握相似三角形的定义及性质；2. 学会使用SSS、SAS、AA三种方法判定两个三角形相似；3. 能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：相似三角形的判定方法及性质的理解和应用。
教学重点：掌握相似三角形的判定方法，并能运用其解决实际问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、三角板、量角器；2. 学具：三角板、量角器、直尺、圆规。
五、教学过程1. 实践情景引入：展示实际生活中相似三角形的例子（如：电视屏幕与实际画面、三角形放大镜等），引导学生观察并思考相似三角形的特点。
2. 例题讲解：（1）讲解相似三角形的定义及性质；（2）通过例题讲解SSS、SAS、AA三种判定方法；3. 随堂练习：（1）让学生独立完成教材课后练习题；（2）针对学生完成情况进行讲解，纠正错误，巩固知识点；（3）拓展练习：给出一些实际生活中的相似三角形问题，让学生运用所学知识解决。
六、板书设计1. 相似三角形的定义及性质；2. 判定方法：SSS、SAS、AA；3. 例题解题步骤及思路；4. 课后练习题。
七、作业设计1. 作业题目：（1）已知三角形ABC与三角形DEF相似，其中AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，求三角形DEF的周长；（2）已知三角形ABC与三角形DEF相似，且相似比为2：3，求三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值。
2. 答案：（1）三角形DEF的周长为18cm；（2）三角形DEF的面积与三角形ABC的面积的比值为9：4。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对相似三角形的判定方法掌握较好，但对性质的理解和应用还需加强。
在今后的教学中，应注重引导学生运用性质解决实际问题。
相似三角形的判定 完整版课件
已知：如图， △A'B'C'和 △ABC中，∠A ' =∠A，A'B'：AB＝A'C'：AC 求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB、AC（或它们的延长线）上别截取AD＝A'B'， AE＝A'C'，连结DE，因∠A ' =∠A，这样△A'B'C' ≌ △ADE
A'
A
∴ DE//BC ∴ △ADE ∽ △ABC ∴ △A'B'C' ∽ △ABC
A'
B
C
D
E
A' D DE A' E A' B' B'C' A'C'
B'
C'
又 AB BC AC , A' D AB
A' B' B'C' A'C'
A' E AC A'C' A'C'
∴ A' E AC
同理 DE＝BC
∴△A'DE≌△ABC
要证明△ABC∽△A'B'C'， 可以先作一个与△ABC全 等的三角形，证明它与 △A'B'C'相似，这里所作
创设情景 明确目标
学习三角形全等时，我们知道，除了可以通过证明对应角相等．对应边
相等来判定两个三角形全等外，还有判定的简便方法（SSS、SAS、 ASA、AAS）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是对所有的对应
角和对应边都要一一验证呢？ 不需要
相似三角形的判定讲义
相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应例1 （11A 、1对2A C 例2 1A 、∠2∽△MCP 例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ） 变式练习：1、在△ABC和△A＇B＇C＇中，AB=3cm，BC=6cm，CA=5cm，A＇B＇=3cm，B＇C＇=2.5cm，A＇C＇=1.5cm，则下列说法中，错误的是（）A、△ABC与△A＇B＇C＇相似B、AB与A＇B＇是对应边C、相似比为2：1D、AB与A＇C＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格点，试证明：△ABC∽△DEF。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，连接EC，过点E作直线EF交AB于点F。
当EF 与CE满足什么条件时，△AEF与△DCE相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC中，∠ADE=∠C，则下列等式成立的是（）ADAB23。
求证：FD2=FG1是（A、1个2点E，则3BCD；②AB：）A、1个4A、∠5A、△6A、∠B、∠C、∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cmD、∠A=∠A＇，且AB·A＇C＇=AC·A＇B＇7、如图，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是线段BD的中点，且AC⊥CE，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形。
第7题第8题第9题第10题第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为。
相似三角形的判定定理完整版课件-2024鲜版
与向量结合应用
向量是数学中的重要工具之一，而相似三角形与向量也有着紧密的联系。在解决一些与向量 相关的问题时，可以利用相似三角形的性质来简化计算或证明过程。
2024/3/28
与不等式结合应用
在一些复杂的数学问题中，可能需要将相似三角形的性质与不等式知识结合起来应用。例如， 在证明一些与线段长度或面积相关的不等式时，可以利用相似三角形的性质来构造不等式并 进行证明。
14
练习题与答案
答案
1. 是。因为$frac{DE}{D'E'} = frac{4}{2} = 2$，$frac{EF}{E'F'} = frac{5}{3}$且 $frac{DF}{D'F'} = frac{6}{4} = frac{3}{2}$，三边对应比例相等。
2. 是。因为$frac{GH}{G'H'} = frac{7.5}{6} = frac{5}{4}$，$frac{HI}{H'I'} = frac{10}{8} = frac{5}{4}$且$frac{GI}{G'I'} = frac{12.5}{10} = frac{5}{4}$，三边对应比例相等。
相似三角形定义及性质
2024/3/28
定义
对应角相等，对应边成比例的两个 三角形叫做相似三角形。
性质
相似三角形的对应角相等，对应边 成比例，且对应高、对应中线、对 应角平分线等也成比例。
4
对应角与对应边关系
对应角
两个相似三角形中，相等的角是对应 角。
对应边
两个相似三角形中，成比例的边是对应 边。在写对应边成比例时，要注意写清 对应边的顺序。
2024/3/28
相似三角形的判定-完整版PPT课件
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
A′ A
B
C
B′
C′
AB A'B'
=
BC B'C'
= CA C'A'
△ABC∽△A'B'C'
课程讲授
1 三边成比例的两个三角形相似
问题2：运用所学知识，证明你的结论.
已知：如图，△ABC和△A'B'C'中，AB = BC = CA A'B' B'C' C'A'
BD BC DC 3 A
∴ △ABD∽△BDC， ∴∠ABD=∠BDC，
∴AB∥DC.
14 B
D
31.5 21
42
C
课堂小结
判定定理1
三边成比例的两个三角形相似．
相似三角形 的判定
判定定理2
两边成比例且夹角相等的两个三 角形相似．
练一练：如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，
要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ C ）
A. AC AB
AD AE
B. AC BC
AD DE
C. AC AB
AD DE
D. AC BC
AD AE
随堂练习
1.已知△ABC的三边长分别为6 cm,7.5 cm,9 cm，△DEF的一 边长为4 cm，当另两边的长是下列哪一组时，这两个三角形
=
AB AD
=
BC DE
，
∴△ABC∽△ADE.
随堂练习
5.如图，已知AD·AC=AB·AE. （1）求证：△ADE∽△ABC;
证明：∵AD·AC=AB·AE，
相似三角形的性质与判定讲义
ABC D E相似三角形的性质和判定（讲义）一、 知识点睛1. 相似三角形的性质：______________、_______________．2. 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；对应面积的比等于_____________． 3. 相似三角形的判定：① __________________________________________； ② __________________________________________； ③ __________________________________________．二、 精讲精练1. 两个三角形相似，其中一个三角形的两个内角分别是40°,60°，那么另一个三角形的最大内角是 ， 最小内角是 ．2. 若△ABC ∽△DEF ，AB =6cm ，BC =4cm ，AC =9cm ，且△DEF 的最短边为8cm ，则最长边为（ ） A ．16cm B ．18cm C ．4.5cmD ．13cm3. 如图，△ADE ∽△ABC ，AD =3BD ,S △ABC =48，则S △ADE = ．第3题图 第4题图4. 将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B ′，折痕为EF ,AB =AC =3，BC =4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则 BF = ． 5. 如图，给出下列条件：①B ACD ∠=∠；②ADC ACB ∠=∠；③AC ABCD BC=； ④AC 2=AD ·AB ．其中能够判定△ABC ∽△ACD 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4B′FB EA第5题图BCDA6. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．7. 某种三角形架子由钢条焊接而成.在这种三角形架子的设计图上，其三边长分别为4cm ，3cm ，5cm .现有两根钢条，一根长60cm ，另一根长180cm ，若用其中一根作为三角形架子的一边，在另一根上截取两段，作为三角形架子的另外两边，使做成的三角形架子与图纸上的形状相同（即相似），则共有_____种不同的做法.（焊接用料忽略不计）8. 如图，AB ∥DE ，若AB :DE =1:2，AC =2，BC =3，则CE = ，CD = ．第8题 第9题9. 如图，若AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED =1，BD =4，则AB = ．10. 如图，D ,E 分别是△ABC 的边AB ,AC 上的点，∠1=∠B ，若AE =EC =4，BC =10，AB =12，则△ADE 和△ACB 的周长之比为 ．CBAE DCBAEBCD A1ED CBA11. 如图，△PMN 是等边三角形，∠APB =120°．求证：AM ·PB =PN ·AP ．21BNMAP12. 如图，M 为线段AB 上一点，AE 与BD 交于点C ， ∠DME =∠A =∠B =α，且DM 交AC 于点F ，ME 交BD 于点G ．求证：△AMF ∽△BGM ．GFMEDC BA13. 如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为k ，AD ，A′D′分别是边BC ，B′C′上的中线，求证：ADk A'D'=.D'DC'B'A'C BA14.如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止运动,设运动时间为t秒．当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．【参考答案】一、知识点睛1.相似三角形的性质：对应角相等、对应边成比例．2.相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比；对应面积的比等于相似比的平方．3.相似三角形的判定：④两组角对应相等的两个三角形相似；⑤两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；⑥三边对应成比例的两个三角形相似．二、精讲精练1.80°；40°2. B3.274.127或25. C6. A7. 38.4；69. 410.1:311.证明略（提示：通过∠A=∠2，∠AMP=∠PNB=120°，证明△AMP∽△PNB）12.证明略（提示：通过∠A=∠B，∠AFM=∠BMG，证明△AMF∽△BGM）13.证明略（提示：证明△ABD∽△A′B′D′）14.当△DBE∽△ABC时，t=125；当△DBE∽△CBA时，t=32 11．相似三角形的性质和判定（随堂测试）1. 将两个等腰直角三角形摆成如图所示的样子，所有的点都在同一平面内． （1）求证：△ABE ∽△DAE ； （2）求证：△DCA ∽△DAE ； （3）求证：△ABE ∽△DCA .2. 如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DE ∥BC ．求证：E 是AC 的中点．【参考答案】1. 证明略【提示：（1）（2）利用两组角对应相等来判定相似；由（1）（2）的结论推出对应角相等来证明（3）】2. 证明略（提示:证明△ADE ∽△ABC ）EDBAABDCEF G相似三角形的性质和判定（作业）1. 在下面的两组图形中，各有一对相似三角形，则x =______，y =______，m =______，n =______．（2） （1）m°50°60°y 3a n °1070°50°4a 4830332022x2. 将三角形纸片△ABC 按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点B′，折痕为EF ，AB =AC =4，BC =5，若以点B′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，则CF =______．第2题图 第3题图 3. 如图，在△ABC 中，点P 为边AB 上一点，则下列四个 条件：①∠ACP =∠B ；②∠APC =∠ACB ；③2AC AP AB =⋅；④AB CP AP CB ⋅=⋅．其中能判定△APC 和△ACB 相似的是________． 4. 下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC 相似的三角形所在的网格图形是（ ）A ．B ．C ．D ．B PCAB′CF EA5. 如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于点O ，13AD BC =，若OA =1，OD =32，则OB =______，OC =______．6. 如图，在△ABC 中，CD =CE ，∠A =∠ECB ．求证：CD 2=AD ·BE ．ED CBA7. 如图，在Rt △ABC 中，AB =3cm ，AC =6cm ．动点M 从点A 出发沿AB 方向以1cm/s 的速度向点B 匀速运动；同时动点N 从点C 出发沿CA 方向以2cm/s 的速度向点A 匀速运动，当一个动点到达端点时，另一个动点随之停止运动．是否存在时刻t ，使以A ，M ，N 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．MCBA O D AB C【参考答案】1.32；152；70；602.259或523.①②③4. B5.92；36.证明略（提示：证明△ADC∽△CEB）7.当△MAN∽△BAC时，t=32；当△MAN∽△CAB时，t=12 5。
相似三角形的判定- 完整版课件
A′ 即 在△ABC和△A′B′C′中，
B
C
如果 ∠A =∠A′ ，∠B =∠B′ ，
B′
C′ 那么 △ABC∽△ A′B′C′.
角A 角A 边S 角A 角A 边S
你能证明吗？ 角A 角A
已知：∠A =∠A1，∠B =∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1. A1
A
B
C B1
C1
思考
H
已知：Rt△ABC 和 Rt△ A′B′C′ ，
解：∵ CD，C′D′分别是两个三角形斜边上的高，
∴∠ADC=∠A′D′C′=90°, ∵CD∶C′D′=AC∶A′C′， ∴ Rt△ACD∽Rt△A′C′D′, ∴∠A=∠A′ 又∠ACB=∠A′C′B′=90°， ∴△ABC∽△A′B′C′.
检测
6.如图所示，∠C=∠E=90°，AC=3，BC=4，AE=2，求AD. 解：在Rt△ABC中， ∵ ∠C=90°，
∵ ∠C=∠E=90°， ∠BAC=∠DAE， ∴ △ABC∽△ADE.
The end
THANKS
谢谢观赏
（HL）
检测
1. 如图，在△ABC中，AB≠AC，D，E分别为边AB，AC 上的点.AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加 一个条件: DF∥AC ，可以使得△FDB与△ADE相似.( 只需写出一个)
检测
2.如图，△ABC中，AD是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则 线段AC的长为( B )
探究
与同伴合作，一人先画△ABC，另一人再画△A′B′C′ ，使得∠A= ∠A′， ∠B= ∠B′.比较你们所画的两个三 角形， ∠C= ∠C′ 吗？对应边之比相等吗？这样的两 个三角形相似吗？
相似三角形的性质与判定讲义)讲解学习
相似三角形的性质与判定讲义【知识点拨】一、相似三角形性质(1)相似三角形对应角相等，对应边成比例．(2)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (3)相似三角形周长的比等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方．(5)相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等 二、 相似三角形的等价关系(1)反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆． (2)对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．(3)传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆． 三、三角形相似的判定方法1、定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．6、判定直角三角形相似的方法： (1)以上各种判定均适用． EDCBA(2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．(3)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
《相似三角形的判定》相似PPT教学课件(第1课时)
AE AC
DE
BC.
∴△ADE∽△ABC .
探究新知
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成 的三角形与原三角形相似.
符号语言： ∵ DE//BC,
“A”型
A
∴△ADE∽△ABC．D
E
“X”型
D
E
O
B （图1） C B
（图2） C
探究新知
【讨论】过点D作与AC平行的直线与BC相交，可否证 明△ADE∽△ABC？如果在三角形中出现一边的平行 线，那么你应该联想到什么？
BC 3
EF
3
想
若
AB 3 BC 4
，
那么
DE ? EF
3 4
l1
A
B
l2
D
l3
E l4
即 AB DE
BC EF
除此之外，
还有其他对应线
C
段成比例吗？
F l5
探究新知
事实上，当l3
//l4
//
l5时，都可以得到
AB BC
DE EF
，
BC
还可以得到AB
EF DE
AB
，AC
DE DF
BC
，AC
EF DF
人教版 数学 九年级 下册
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第1课时
导入新知
1.相似多边形的特征是什么？
A
A1
2.怎样判定两个多边形相似？
3.什么叫相似比？
B
C B1
C1
4.相似多边形中，最简单的就是相似三角形．如果∠A ＝∠A1，
∠B＝∠B1，∠C＝∠C1，
AB A1B1
相似三角形的判定全PPT课件
G H I
C
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
第14页/共56页
第15页/共56页
1. 对应角___相__等__, 对应边—成——比—例——的两个三角形, 叫做相似三角形 .
2. 相似三角形的—对—应——角—相——等, 各对应边——成—比——例—。 3.如何识别两三角形是否相似?
F
A
B E
第29页/共56页
（1）∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm, ∠A`=120°,A`B`=3cm,A`C`=6cm;
(2) ∠A＝45°，AB=12cm， AC=15cm ∠A’＝45°，A’B’＝16cm，A’C’＝20cm
第30页/共56页
2、判断图中△AEB和△FEC是否相似？
∴△ADE∽△ABC
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
A E C
第6页/共56页
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由.
相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE A
AB AC
过E作EF//AB交BC于F 则 AE BF
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC
D
可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC ∴DE=BF,DE=FC DE 1
B
F
BC 2
AD AE DE 1 AB AC BC 2
(1)AB＝6 cm， BC＝8 cm，AC＝10 cm，
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
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面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
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02
相似三角形的判定全ppt课件
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目 录
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• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
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相似三角形基本概念及性质
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判定方法一：两边成比例且夹角 相等
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定理内容阐述
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定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
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定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
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综合运用及拓展延伸
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不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
相似三角形的判定及证明技巧课件讲义.doc
相似三角形（三）知识点（一）：相似三角形的证明技巧1.相似三角形的基本图形2.相似三角形判定定理（3条）3.相似三角形的具体解题方法1.“三点定形法”：即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1、已知:如图△ABC中,CE⊥AB,BF⊥AC.求证:AE•AB=AC•AF.（判断“横定”还是“竖定”？）例2、如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，∠BAC的平分线分别交BC、CD于点E、F，AC·AE=AF·AB 吗？说明理由。
分析方法：1）先将积式______________2）______________（“横定”还是“竖定”？）练习1.已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC延长线于F。
求证：CD2=DE·DF。
C2.过渡法（或叫代换法）有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用“过渡”，其主要类型有三种，下面分情况说明．(1)等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。
然后再应用三点定形法确定相似三角形。
只要代换得当，问题往往可以得到解决。
当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。
例1：如图3，△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线FE交BC的延长线于E．求证：DE2＝BE·CE．(2)等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。
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相似三角形的判定一、知识点讲解判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。
判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。
理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。
（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。
二、典例分析（一）运用判定定理判定三角形相似例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。
（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。
变式练习：1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）A 、1对B 、2对C 、3对D 、4对2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）A 、有一个角是40°两个等腰三角形B 、两个等腰直角三角形C 、有一个角为100°的两个等腰三角形D 、两个等边三角形例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217,求AD 的长。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）A 、∠AED=∠B B 、∠ADE=∠C C 、AB AC AE AD = D 、ACAE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：△ADM ∽△MCP 。
例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）变式练习：1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）A 、△ABC 与△A ＇B ＇C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1D 、AB 与A ＇C ＇是对应边2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。
（二）判定定理的运用例4 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作直线EF 交AB 于点F 。
当EF 与CE 满足什么条件时，△AEF 与△DCE 相似？并说明理由。
变式练习：1、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）A 、AC AB AB AD = B 、BD AD BC AE = C 、AB AE BC DE =D 、ABAD BC DE =第1题 第2题 第3题2、如图，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC= 。
3、如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。
求证：FD ²=FG ·FE.反馈练习 基础夯实1、如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A 、23 B 、67 C 、625 D 、2 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 平分∠ABC ，则下列结论：①△ABC ∽△BCD ；②AB ：BC=BC ：CD ；③BC ²=AC ·CD ；④AD ：DC=AB ：BC ，其中正确的结论有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个4、如下图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）A 、∠ABD=∠ACB B 、∠ADB=∠ABC C 、AB ²=AD ·AC D 、BCAB AB AD 5、如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC ²=AD ·AB ，则（ ）A 、△ADC ∽△ACB B 、△BDC ∽△BCA C 、△ADC ∽△CDBD 、无相似三角形6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）A 、∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ＇=60°,A ＇B ＇=3cm ，A ＇C ＇=10cmB 、∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°,DE=2cm ，DF=3cmC 、∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cmD 、∠A=∠A ＇，且AB ·A ＇C ＇=AC ·A ＇B ＇7、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1,BD=4，那么AB= 。
8、如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形 。
第7题 第8题 第9题 第10题 第11题9、如图，在边长为9的正三角形ABC 中，BD=3，∠ADE=60°，则AE 的长为 。
10、如图，在△ABC 中，D 是ABA 边上一点，连接CD ，要使△ADC 与△ACB 相似，应添加的条件是 。
（写出一个即可）11、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 。
①∠A+∠B=90°；②AB ²=AC ²+BC ²；③BDCD AB AC =；④CD ²=AD ·BD 。
12、如图，已知，∠ACB=∠ABD=90°，BC=6，AC=8，当BD= 时，图中的两个直角三角形相似。
13、如图，∠1=∠2，∠B=∠D ，AB=DE=5，BC=4。
（1）求证：△ABC ∽△ADE ；（2）求AD 的长。
14、如图，△ABC 中，CD 是边AB 上的高，且BDCD CD AD =。
（1）求证：△ACD ∽△CBD ；（2）求∠ACB 的大小。
15、如图，矩形ABCD 为台球桌面，AD=260cm ，AB=130cm 。
球目前在点E 的位置，AE=60cm ，如果小丁瞄准BC 边上的点F 将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到点D 的位置。
（1）求证：△BEF ∽△CDF ； （2）求CF 的长。
16、已知，如图，正方形ABCD的边长为2,AE=EB，MN=1，线段MN的两端在BC、CD上滑动，在滑动过程中，以M、N、C为顶点的三角形与△AED可能相似吗？若能，求出相似时CM的长。
能力提升17、如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠C=90°,∠BDA=90°，AB=a，BD=b，CD=c，BC=d，AD=c，则下列等式成立的是（）A、b²=acB、b²=ceC、be=acD、bd=ae第17题第18题第19题18、如图，在钝角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，动点D从点A 出发到点B为止，动点E从点C 出发到点A止，点D运动的速度为1cm/s，点E运动的速度为2cm/s。
如果两点同时运动，那么当以点A、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是（ ）A 、3秒或4.8秒B 、3秒C 、4.5秒D 、4.5秒或4.8秒19、如图，D 是等边△ABC 边AB 上的一点，且AD ：DB=1：2，现将△ABC 折叠，使点C 与D 重合，折痕为EF ，点E 、F 分别在AC 和BC 上，则CE ：CF=（ ）A 、43B 、54C 、65D 、76 20、如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB=90°,OB=2OA ，点A 在反比例函数x y 1=的图像上，若点B 在反比例函数xk y =的图像上，则k 的值为（ ） A 、-4 B 、4 C 、-2 D 、2第20题 第21题 第22题21、如图，在平面直角坐标系中，有两点A(4，0)，B （0，2），如果点C 在x 轴上（点C 与点A 不重合），当点C 的坐标为 时，使得以点B 、O 、C 为顶点的三角形与△AOB 相似。
22、已知，如图，□ABCD 的对角线相交于点O ，点E 在边BC 上延长线上，且OE=OB ，连接DE 。
求证：（1）DE ⊥BE ；（2）如果OE ⊥CD ，求证：△CED ∽△DEB 。
23、如图，在□ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE=∠B 。
（1）求证：△ADF ∽△DEC ；（2）若AB=8，AD=36，AF=34，求AE 的长。
24、学习《图形的相似》后，我们可以根据探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。
（1）“充分于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似在，你可以得到“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”；（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”。
请结合下列所给图形，写出已知，并完成证明过程。
已知：如图， 。
求证：R t △ABC ∽R t △A ＇B ＇C ＇。
25、如图，E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，EF ⊥AE ，EF 分别交AC 、CD 于点M 、F ，BG ⊥AC ，垂足为G ，BG 交AE 于点H 。
（1）求证：△ABE ∽△ECF ；（2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明；（3）若E 是BC 中点，BC=2AB ，AB=2，求EM 的长。
思维拓展26、如图1，直线AB分别与两坐标轴将于点A(4，0)，B（0，8），点C的坐标为（2，0）。
（1）求直线AB的解析式；（2）在线段AB上有一动点P。
①如图2，过点P分别作x、y轴的垂线，垂足分别为点E、F，若矩形OEPF的面积为6，求点P的坐标；②连接CP，是否存在点P，使△ACP与△AOB相似，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
27、如图，矩形ABCD中，AD=3cm，AB=a cm(a>3)。
动点M、N同时从点B出发，分别沿运动，速度是1cm/s。