相似三角形的判定讲义全

相似三角形的判定

一、知识点讲解

判定定理1：如果一个三角形的两个角与另外一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 判定定理2：两边对应相等且夹角对应相等的两个三角形相似。

判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似。

理解：（1）当给出的条件上角为主时，应考虑“两角对应相等”；当给出的条件有边有角时，应考虑“两边对应成比例，夹角相等”；当给出的条件全是边时应考虑“三边对应成比例”。

（2）在利用判定定理2时，一是两边的夹角相等，如果不是夹角则不成立。

二、典例分析

（一）运用判定定理判定三角形相似

例1 在矩形ABCD 中，E 为BC 上一点，DF ⊥AE 于点F 。

（1）求证：△ABE ∽△DFA ；（2）若AB=6，AD=12,AE=10,求DF 的长。

变式练习：

1、如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似的三角形一共有（ ）

A 、1对

B 、2对

C 、3对

D 、4对

2、具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）

A 、有一个角是40°两个等腰三角形

B 、两个等腰直角三角形

C 、有一个角为100°的两个等腰三角形

D 、两个等边三角形

例2 已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B=∠ACD ，AB=6,BC=4,AC=5,CD=217

,求AD 的长。

变式练习：

1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，下列条件中不能判定△ABC ∽△AED 的是（ ）

A 、∠AED=∠

B B 、∠ADE=∠

C C 、AB AC AE A

D = D 、AC

AE AB AD = 2、已知，P 是正方形ABCD 的边BC 上的点，且BP=3PC ，M 是CD 的中点，求证：

△ADM ∽△MCP 。

例3 如图，小正方形的边长为1，则下列选项中的三角形（阴影部分）与△ABC 相似的是（ ）

变式练习：

1、在△ABC 和△A ＇B ＇C ＇中，AB=3cm ，BC=6cm ，CA=5cm ，A ＇B ＇=3cm ，B ＇C ＇=2.5cm ，A ＇C ＇=1.5cm ，则下列说法中，错误的是（ ）

A 、△ABC 与△A ＇

B ＇

C ＇相似 B 、AB 与A ＇B ＇是对应边 C 、相似比为2：1

D 、AB 与A ＇C ＇是对应边

2、网格图中每个方格都是边长为1的小正方形，若A 、B 、C 、D 、E 、F 都是格点，试证明：△ABC ∽△DEF 。

（二）判定定理的运用

例4 如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接EC ，过点E 作直线EF 交AB 于点F 。当EF 与CE 满足什么条件时，△AEF 与△DCE 相似？并说明理由。

变式练习：

1、如图，在△ABC 中，∠ADE=∠C ，则下列等式成立的是（ ）

A 、AC A

B AB AD = B 、BD AD B

C AE = C 、AB AE BC DE =

D 、AB

AD BC DE =

第1题 第2题 第3题

2、如图，∠ABD=∠C ，AB=5，AD=3.5，则AC= 。

3、如图，D 是AC 上一点，BE ∥AC ，BE=AD ，AE 分别交BD 、BC 于点F 、G ，∠1=∠2。求证：FD ²=FG ·FE.

反馈练习 基础夯实

1、如图，AD ⊥BC 于点D ，CE ⊥AB 于点E 交AD 于点F ，则图中与△AEF 相似的三角形的个数是（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

2、如图，在R t △ABC 中，∠ACB=90°,BC=3，AC=4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A 、23 B 、67 C 、6

25 D 、2 3、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°,BD 平分∠ABC ，则下列结论：①△ABC ∽△BCD ；②AB ：BC=BC ：CD ；③BC ²=AC ·CD ；④AD ：DC=AB ：BC ，其中正确的结论有（ ）

A 、1个

B 、2个

C 、3个

D 、4个

4、如下图，下列条件不能判定△ADB ∽△ABC 的是（ ）

A 、∠ABD=∠AC

B B 、∠ADB=∠AB

C C 、AB ²=A

D ·AC D 、

BC

AB AB AD 5、如图，在△ABC 中，D 是AB 上一点，且AC ²=AD ·AB ，则（ ）

A 、△ADC ∽△AC

B B 、△BD

C ∽△BCA C 、△ADC ∽△CDB

D 、无相似三角形

6、满足下列条件的各对三角形中是相似三角形的是（ ）

A 、∠A=60°，AB=5cm ，AC=10cm ；∠A ＇=60°,A ＇

B ＇=3cm ，A ＇

C ＇=10cm

B 、∠A=45°，AB=4cm ，BC=6cm ；∠D=45°,DE=2cm ，DF=3cm

C 、∠C=∠E=30°，AB=8cm ，BC=4cm ；DF=6cm ，FE=3cm

D 、∠A=∠A ＇，且AB ·A ＇C ＇=AC ·A ＇B ＇

7、如图，已知AB ⊥BD ，ED ⊥BD ，C 是线段BD 的中点，且AC ⊥CE ，ED=1,BD=4，那么AB= 。

8、如图，在□ABCD 中，F 是BC 上的一点，直线DF 与AB 的延长线相交于点E ，BP ∥DF ，且与AD 相交于点P ，请从图中找出一组相似的三角形 。

第7题 第8题 第9题 第10题 第11题