整除的6个基本性质

介绍一个基本符号：（以下所有的数都是整数）

a∣b，它的意思是：b能被a整除，b=ka。注意：规定a≠0。当b=0时，对于任意a，取k=0，就有0=0a，即是说0能被任意整数整除。

这个符号就读作：b能被a整除。

如果a∣b，

性质1：a∣b⇔﹣a∣b⇔a∣﹣b⇔|a|∣|b|

因为b=ka，则b=-k（-a），又-b=-ka，且|b|=|k||a|

从而又推出b=ma（m与k仅有符号上的差别）

性质2：如果a∣b，b∣c，那么a∣c。

因为b=ka，c=mb，所以c=m ka

性质3：a∣b且a∣c⇔对任意两个整数x，y都有a∣bx+cy。

左边推出右边：

因为b=ka，c=ma，对于任意两个整数都有

bx=kxa，cy=mya，相加得：bx+cy=（kx+my）a

右边推出左边：

对任意两个整数x，y都有bx+cy=ka，

当x=1，y=0时，b=ka

当x=0，y=1时，c=ka

性质4：m≠0，则a∣b⇔a m∣b m

左边推出右边：

因为b=ka，所以b m=ka m

右边推出左边：

因为b m=ka m，m≠0，所以b=ka

性质5：如果a∣b且b∣a，则b=±a

根据定义，这里暗含着ab≠0。

由于b=ka，a=mb，有a=（mk）a，

因为a≠0，有1=mk。m和k同时为+1或-1。

所以b=±a

性质6：设b≠0，如果a∣b，则|a|≤|b|

因为b=ka，所以|b|=|k||a|，因b≠0，知k≠0

所以|k|≥1，|a|=|b|÷|k|，|b|除以了比1大的数，缩小了。于是|a|≤|b|