整除的6个基本性质

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整除的性质和特征

整除的性质和特征整除是数论中的一个重要概念，它描述了一个整数能够被另一个整数整除，也就是除法运算的结果是整数。

整除有着许多重要的性质和特征，下面将详细介绍。

1.定义：整数a能够被整数b整除，即b是a的因数，记作b，a，当且仅当存在一个整数c，使得a=b·c。

其中，c称为a除以b的商，b称为a的约数，a称为b的倍数。

2.可加性：如果c是a的一个约数，那么c也是a的倍数。

换句话说，如果一个整数能够整除a，那么它也能够整除a的倍数。

3.可乘性：如果b，a且c，a，那么b·c也，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a与b的乘积。

4.整除的传递性：如果b，a且c，b，那么c，a。

换句话说，如果一个整数能够整除a和b，那么它也能够整除a。

5.算术基本定理：任意一个大于1的整数，都可以表达为多个质数的积。

这意味着，如果一个整数可以整除另一个整数，那么它必然可以整除这个整数的所有质因数。

6. 两个非零整数的最大公约数和最小公倍数：两个非零整数a和b的最大公约数（记作gcd(a,b)）是能够同时整除a和b的最大正整数。

两个非零整数a和b的最小公倍数（记作lcm(a,b)）是能够同时被a和b整除的最小正整数。

于是有gcd(a,b)·lcm(a,b)=a·b。

7.唯一分解定理：任何一个整数都能够唯一地分解为几个质数的乘积。

这个定理也说明了一个数的因数有限，不会无限增多。

8. 整除与除法的关系：一个整数a能够被b整除，相当于a除以b 的余数为0。

对于任意的整数a和b，总能够找到唯一的两个整数商q和余数r，使得a=bq+r，其中r满足0≤r<，b。

9. 整除与模运算的关系：一个整数a能够被b整除，等价于a除以b的余数为0，即a mod b = 0。

在模运算中，a mod b表示a除以b的余数。

10. 除法的消去律：如果一个整数a能够被b整除，那么对于任意的整数c，ac也能够被bc整除。

整除

整除整除（一）基础知识：1.整除的定义、性质.定义：如果a、b、c 是整数并且，a÷b=c。

则称a能被b整除或者b能整除a ，记做，否则称为a不能被b整除或者b不能整除a，记做.性质1：如果a、b都能被c整除，那么他们的和与差也能被c整除.性质2：如果b与c的乘积能够整除a，那么b、c都能整除a.性质3：如果b、c都能整除a，并且b、c互质，那么b、c的乘积也能够整除a.性质4：如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a.性质5：如果b和c的乘积能够被a整除，并且a，b互质，那么c能够被a整除.2.被2（5）整除特征：以2，4，6，8，0（5，0）结尾.3.被3，9整除特征：数字和被3，9整除.4.被4（25）整除的特征：后2位能被4（25）整除；被8（125）整除的特征：后3位能被8（125）整除.5.被11整除特征：奇数位数字和与偶数位数字和之差能被11整除. （“奇偶位差法”）.6.被7、11、13整除特征：末三位与末三位之前的数之差能被7、11、113整除.7.整除性质、特征的综合应用，末尾0的个数问题的处理，运用设未知量求解整除问题.例题：例1、如果六位数能够被105整除，那么后两位数是多少？[答疑编号5721130101]【解答】设六位数为，105=3×5×7，依次考虑被3，5，7整除得到得到唯一解a＝8，b＝5.故后两位为85.例2、求所有的x，y ，使得 .[答疑编号5721130102]【解答】72＝8×9，根据整除9性质易得x＋y＝8或17，根据整除4 的性质y＝2或6，分别可以得到5位数32652、32256，检验可知只有32256满足题意.例3、一本陈年旧账上写的：购入143只羽毛球共花费元，其中处字迹已经模糊不清，请你补上中的数字并且算出每只羽毛球的单价.2[答疑编号5721130103]【解答】解得：a=7，b=1所以方框处的数字是7和1，单价5.37元.例4、要使六位数能够被63整除，那么商最小是多少？[答疑编号5721130104]【解答】63=7×9.再考虑该数能被9整除，有a＋b＋c＝2或11或20. 由于要求最小的商也就是最小的被除数，先希望a＝0. 此时，易验证b＝0，b＝1无解，而在b＝2时，有解c＝9，所以最小的被除数是100296，最小的商是1592.3例5、请用数字6、7、8各两次组成一个六位数使得这个六位数能够被168整除.[答疑编号5721130105]【解答】168=3×7×8，用6，7，8各两次，数字和42，是3的倍数.而用6、7、8组成的3位数是8的倍数的只有768，776 .当后三位是768，776时，前三位只有12种取法，经实验只有数768768符合题目要求。

1.3 整除及其性质

§ 1.3 整除及其性质一、数的整除性在带余除法算式a=bq+r(0≤r<|b|)中，r=0的情况非常重要。

定义 1 设a,b是两个整数，其中b≠0，若存在一个整数q，使q满足a=bq，则称b整除a（或a被b整除）.这时我们也称b为a的约数，a为b的倍数，记作b|a.若不存在这样的整数q，则称a不能被b整除（或b不能整除a），记作b不整除a.性质一（传递性）若c|b，b|a，则c|a.性质二（可加性）若c|a，c|b，则c|(a±b).（请读者自己写出证明过程）性质三（可乘性）若b|a，d|c，则bd|ac.性质四若b能整除a，则|b|能整除|a|.（请读者自己写出证明过程）二、整除的奇偶性不能定义 2 能被2整除的整数叫做偶数；不能被2整除的整数叫做奇数.性质五偶数±偶数=偶数；偶数±奇数=奇数；奇数±奇数=偶数.推论: 若干个偶数之和为偶数；正偶数个奇数之和为偶数；正奇数个奇数之和为奇数.性质六奇数×奇数=奇数；整数×偶数=偶数.推论若干个奇数之积为奇数；若干个偶数之积为偶数.性质七设a为整，n为正整数，则a n与a奇偶性相同.例一求证：7│abcabc（a≠0）.证明：因为abcabc=abc×1000+abc=abc×1001，所以1001│abcabc.又因为7│1001，于是7│abcabc.例2 求证：37│（333777+777333）.证明：因为37×3=111，所以333777=（111×3）777=（37×9）777=37×（37776×9777），那么：37│333777.同理可证：37│777333，所以37│（333777+777333）.例3 若n>1,(n-1)│（n+11)，求n.解：因为（n+11)=(n-1)+12，且(n-1)│（n+11)，所以(n-1)│12.又因为n>1，所以n=2, 3, 4，5,7,13.例4求证：⑴若一个数的末尾数字能被2整除，则这个数能被2整除；⑵若一个数的末尾两位数字能被4整除，则这个数能被,4整除. 证明：⑴设a=10b+c(b是整数，c∈{0,1,2，…，9}）.因为2│10，故2│10b（为什么？）；又因为2│c，所以2│a.⑵设a=100b+cd(b是整数，c,d∈{0,1,2，…，9}).因为4│100，故4│100b；又因为4│cd，所以4│a.例5设9｜62ab427 11｜62ab427，求62ab427解：因为9｜62ab427，故9｜（6+2+a+b+4+2+7）(为什么？)即9｜（a+b+21）,所以9｜（a+b+3）.因为11｜ 62ab427，所以11｜（7+4+a+6-2-b-2）(为什么？) 即11｜(a-b+13),所以11｜(a-b+2).由0≤a,b ≥9,知3≤a+b+3≤21.因为9｜（a+b+3），所以a+b+3=9，或a+b+3=18.于是a+b=6,① 或 a+b=15.②同理a-b=-2,③ 或 a-b=9.④由①，②之一与③，④之一两两搭配成的四个方程组中，只有①和③搭配的方程组的解a=2,b=4符合题意，所以 62ab427=6 224 427.“例6 对正整数a,若存在正整数b,使b 2=a,则a 叫做完全平均数.类似地，可定义完全立方数等.求证：下列各数都是完全平方数4 356, 443 556，44 435 556， 4 444 355 556， … 证明：设an= 444n ⋯个 3 555n ⋯个6（n ∈N*),则an=6+5×10+5×102+…+5×10n +3×101+n+4×102+n +4×103+n +…4×12+n=6+50（1+10+…+101n -）+3×101n ++4×102+n （1+10+…+101n -）=6+50×110110n --+3×10（n+1）+4×10(n+2)×110110n --=（2×31101-+n ）2 显然3│（101+n －1）,故2×31101-+n 是正整数.所以an 是完全平方数.例7 7个茶杯，杯口全朝下，每次同时翻转4个茶杯称为一次运动.可否经若干次运动，使杯口全朝下？解：容易知道，一个茶杯由口朝上翻转为口朝下，需经奇数次翻转.设经k 次运动可使杯口全朝下.此时，每个茶杯翻转的次数依次为：a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7.因为杯口全朝下，所以 a 1,a 2,a 3,a 4,a 5,a 6,a 7均为奇数，于是7个茶杯翻转的总次数 a 1 +a 2+a 3+ a 4+ a 5+a 6+a 7=s 必为奇数.另一方面，由每次同时翻转4个茶杯为一次运动，得s=4k ，这与s 为奇数矛盾.所以不可能经过若干次运动使杯口全朝下.例 8 设a 1，a 2...a n 是1,2,3....，n 的任一排列，n 为正奇数，求证：（a 1-1)(a 2-2)....(a n -n ）为偶数。

数的整除性质

数的整除性质整数是我们日常生活中经常会接触到的概念，它们是自然数、负整数和零的总称。

在整数中，我们经常会遇到一种关系，那就是整除。

整除是指一个数能够被另一个数整除，也就是没有余数。

在本文中，我们将探讨数的整除性质，包括整除的定义、性质和应用。

一、整除的定义首先，我们需要明确整除的定义。

设a和b是两个整数，如果存在一个整数c，使得a=b×c，我们说a能被b整除，b能整除a，a是b的倍数，b是a的因数。

简而言之，整除就是没有余数。

例如，6能被3整除，因为6=3×2；而8不能被3整除，因为8÷3=2余2。

因此，8不是3的倍数，3不是8的因数。

二、整除的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

证明：假设a=b×m，b=c×n，其中m和n是整数。

将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(c×n)×m=c×(n×m)，即a能被c整除。

2. 反对称性：如果a能被b整除，且b能被a整除，则a等于b的相反数或零。

证明：假设a=b×m，b=a×n，其中m和n是整数。

将第一个等式代入第二个等式中，得到a=(a×n)×m=a×(n×m)。

那么，如果n×m等于1，也就是说a=a，那么a等于零；如果n×m等于-1，也就是说a=-a，那么a等于b的相反数。

3. 整除与加减法：如果a能被b整除，那么a加上或减去任意多个b后仍能被b整除。

证明：假设a=b×m，其中m是整数。

我们需要证明a+kb和a-kb都能被b整除，其中k是任意整数。

根据整数的加减法运算性质，a+kb=b×m+kb=b×(m+k)，a-kb=b×m-kb=b×(m-k)。

因此，a+kb和a-kb都能被b整除。

三、整除的应用整除的性质在数论和代数中有着广泛的应用。

数的整除性质技巧

数的整除性质技巧1.数的整除性质：1)若a整除b，b整除c，则a整除c。

（传递性）2)若a整除b且a整除c，则a整除b+c。

3)若a和b是正整数，且a整除b，那么a≤b。

4) 若a整除b，且c是任意整数，则a整除bc。

2.奇偶性质：1)若数a的个位数是偶数，则a整除22)若一个数是奇数，那么它的倍数一定是奇数。

3)若一个数是偶数，那么它的倍数一定是偶数。

3.除法性质：1) 若b整除a，且c是任意整数，则b整除ac。

2)若b整除a且b≠0，那么a除以b的商和余数唯一确定。

4.数位和性质：1)若数a的数位和是n，则a整除n。

2)若数a的数位和是9的倍数，那么a也是9的倍数。

3)若数a的数位和是3的倍数，那么a也是3的倍数。

5.数和运算性质：1)若a整除c且b整除c，则a+b整除c。

2)若a整除c且b整除c，则a-b整除c。

3)若a和b都整除c，则a+b也整除c。

4) 若a整除c且b整除c，则ax + by也整除c，其中x和y是任意整数。

6.乘法性质：1)若数a整除c且数b整除c，则a×b整除c。

2) 若数a整除bc且a和b互质，那么a整除c。

3)若数a整除b且数b整除a，则a和b的最大公约数等于其中的较小数。

7.倍数性质：1)若a整除b，并且b是a的倍数，那么a整除b的任意倍数。

2)一个数是另一个数的倍数时，它们的公倍数一定也是这个数的倍数。

8.整除和余数的关系：1)如果数a是数b的整数倍，那么a和b的余数相同。

2)如果数a和b除以数c的余数相同，那么a-b是c的倍数。

以上是一些常用的数的整除性质技巧，通过灵活运用这些技巧可以在解题过程中减少计算量，提高解题效率。

在实际运用中，我们可以根据题目的要求和条件选择相应的技巧，以求解问题。

同时，深入理解这些性质背后的原理，能够更好地理解数的整除关系，为数的整除性质的使用提供更大的帮助。

整除的性质和特征

整除的性质和特征整除问题是整数内容最基本的问题;理解掌握整除的概念、性质及某些特殊数的整除特征,可以简单快捷地解决许多整除问题,增强孩子的数感;一、整除的概念：如果整数a除以非0整数b,除得的商正好是整数而且余数是零,我们就说a能被b 整除或b能整除a,记作b/a,读作“b整除a”或“a能被b整除”;a叫做b的倍数,b叫做a 的约数或因数;整除属于除尽的一种特殊情况;二、整除的五条基本性质：1如果a与b都能被c整除,则a+b与a-b也能被c整除；2如果a能被b整除,c是任意整数,则积ac也能被b整除；3如果a能被b整除,b能被c整除,则积a也能被c整除；4如果a能同时被b、c整除,且b与c互质,那么a一定能被积bc整除,反之也成立；5任意整数都能被1整除,即1是任意整数的约数；0能被任意非0整数整除,即0是任意非0整数的倍数;三、一些特殊数的整除特征：根据整除的基本性质,可以推导出某些特殊数的整除特征,为解决整除问题带来方便;1如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的因数,可以通过被除数末尾几位数字确定这个数的整除特征;①若一个整数的个位数字是2的倍数0、2、4、6或8或5的倍数0、5,则这个数能被2或5整除；②若一个整数的十位和个位数字组成的两位数是4或25的倍数,则这个数能被4或25整除；③若一个整数的百位、十位和个位数字组成的三位数是8或125的倍数,则这个数能被8或125整除;推理过程：2、5都是10的因数,根据整除的基本性质2,可知所有整十数都能被10、2、5整除;任意一个整数都可以看作一个整十数和它的个位数的和,如果一个数的个位数字也能被2或5整除,根据整除的基本性质1,则这个数能被2或5整除;又因为4、25都是100的因数,8、125都是1000的因数,根据整除的基本性质2,可知任意整百数都能被4、25整除,任意整千数都能被8、125整除;同时,任意一个多位数都可以看作一个整百数和它末两位数的和或一个整千数和它的末三位数的和,根据整除的基本性质1,可以推导出上面第②条、第③条整除特征;同理可证,若一个数的末四位数能被16或625整除,则这个数能被16或625整除,依此类推;2若一个整数各位上数字和能被3或9整除,则这个数能被3或9整除;推理过程：因为10、100、1000……除以9都余1,所以几十、几百、几千……除以9就余几;因此,对于任意整数ABCDE…_______________都可以写成下面的形式n为任意整数：9n＋A＋B＋C＋D＋E＋……9n一定能被3或9整除,根据整除的基本性质1,只要这个数各位上的数字和A＋B ＋C＋D＋E＋……能被3或9整除,这个数就能被3或9整除;3用“截尾法”判断整除性;①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的2倍,差是7的倍数,则原数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的1倍,差是11的倍数,则原数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的4倍,差是13的倍数,则原数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,减去个位数字的5倍,差是17的倍数,则原数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后,再从所得的数中,加上个位数字的2倍,差是19的倍数,则原数能被19整除;根据整除的基本性质3,以上5条整除特征中,如果差太大,可以继续前面的“截尾翻倍相加”或“截尾翻倍相减”的过程,直到能直接判断为止;推理过程：设任意一个整数的个位数字为y,这个数可以表示成10x＋y的形式,其中x为任意整数;一个数截尾减2后,所得数为x－2y;因为截去这个数的个位数字后,所得数x减去个位数字y的2倍,实际上是在原数的十位数字上减去2个y,即减去了20个y,截尾一个y,总共减去了21个y,剩下了x－2y个10;如下式：10x－20y＋y－y﹦x－2y×10﹦10x ＋y－21y;根据整除的基本性质,如果x－2y能被7整除,则x－2y×10就能被7整除,即10x＋y－21y能被7整除,21y是7的倍数,可以推出原数10x＋y一定能被7整除;“截尾加4”就是原数截去1个y、加上40个y,总共加了39y13的倍数,得到x＋4y 个10,“截尾加4”所得x＋4y如果能被13整除,原数必能被13整除;同理,“截尾减1”就是原数减去了11个y11的倍数,原数剩下x－y个10,“截尾减1”所得x－y能被11整除,原数必能被11整除；“截尾减5”就是原数减去了51个y17的倍数,原数剩下x－5y个10,“截尾减5”所得x－5y能被17整除,原数必能被17整除；“截尾加2”就是原数加了19y19的倍数,得到x＋2y个10,“截尾加2” 所得x＋2y如果能被19整除,原数必能被19整除;依此类推,可以用“截尾加3”判断一个数能否被29整除,用“截尾减4”判断一个数能否被41整除等等;4 “截尾法”的推广使用;①若一个数的末三位数与末三位之前的数字组成的数相减之差大数减小数能被7、11或13整除,则这个数一定能被7、11或13整除；②若一个整数的末四位与之前数字组成数的5倍相减之差能被23或29整除,则这个数能被23或29整除;比较适合对五位数进行判断推理过程：①设任意一个整数的末三位数为y,则这个数可以表示成1000x＋y的形式,其中x 为任意整数;当x大于y时,这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y;这里x 减y实际上是在原数的千位上减去y,即减去了1000y,加上截去末三位数y,总共减去了1001y,原数剩下x－y个1000;如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000x－y﹦1000x＋y－1001y7×11×13﹦1001,7、11和13都是1001的因数;综上所述,如果这个数末三位之前的数字组成的数减去末三位数得到x－y能被7、11或13整除,即1000x＋y－1001y能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;当y大于x时,可得1000y－x﹦1001y－1000x＋y,如果y－x能被7、11或13整除,则原数必能被7、11或13整除;②设任意一个整数的末四位数为y,则这个数可以表示成10000x＋y的形式,其中x 为任意整数;末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x;10000y－5x﹦1005y－510000x＋y因为1005是23和29的公倍数,如果一个数末四位与之前数字组成数的5倍相减之差即y－5x能被23或29整除,即10000y－5x能被23或29整除,则原数必能被23或29整除;依此类推,如果一个数末两位数与之前数字相减之差能被101整除,则这个数必能被101整除等等;5若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除;推理过程：一个整数偶数位上每个计数单位除以11都余1,如1、100、10000……等,除以11都余1,因此每个偶数位上数字是几,它所表示的数值除以11就余几,所有偶数位上数字之和除以11余几,所有偶数位数字所表示的数值除以11就余几;一个整数奇数位上每个计数单位除以11都“缺1”余数为10,如10、1000、100000……等,除以11都“缺1”, 因此每个奇数位上数字是几,它所表示的数值要整除11就缺几,所有奇数位上数字之和除以11缺几,所有奇数位数字所表示的数值除以11就缺几;“移多补少”,只有一个整数所有奇位数字之和与偶位数字之和相减之差能被11整除,原数才能被11整除;。

数的整除特征

数的整除性质主要有：（1）若甲数能被乙数整除,乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。

（2）若两个数能被一个自然数整除,那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。

（3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除.（4）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。

（5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。

（6）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。

（7）个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除.（8）个位上是0或者5的数都能被5整除.（9）若一个整数各位数字之和能被3（或9)整除，则这个整数能被3（或9）整除。

（10）若一个整数末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除.（11）若一个整数末尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（12）若一个整数各位数字之和能被9整除,则这个整数能被9整除.（13）一个三位以上的整数能否被7（11或13)整除，只须看这个数的末三位数字表示的三位数与末三位数字以前的数字所组成的数的差（以大减小)能否被7（11或13）整除（14）末位数字为零的整数必能被10整除（15）另外,一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差如果是11的倍数，那么这个整数也是11的倍数。

（一个整数的个位、百位、万位、…称为奇数位，十位、千位、百万位……称为偶数位.）（16）至于6和12的整除特性，通过以上的原则判断即可:各位数之和能被3整除的偶数能被6整除;各位数之和能被3整除且末两位数字组成的两位数能被4整除的整数能被12整除。

（17）能被7整除的数的特征：若一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中,减去个位数的2倍，如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。

方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0）,那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如:判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数,余类推.方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679,末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除,因此280679也能被7整除。

初等数论的性质与定理总结

初等数论的性质与定理总结初等数论是数论中的一个基础分支，研究整数的性质和整数运算规律。

本文将总结初等数论中的一些重要性质与定理。

一、整数的整除性质1. 整数的除法基本性质：对于任意整数a、b和非零整数c，存在唯一的整数q使得a = bq + c。

2. 整除关系的传递性：如果a能整除b，且b能整除c，则a能整除c。

3. 整除关系的辗转相除法：对于任意整数a和非零整数b，存在唯一的整数q和r使得a = bq + r（其中0 ≤ r < |b|）。

二、质数与合数1. 质数的定义：质数是指大于1且只能被1和自身整除的整数。

例如，2、3、5、7等都是质数。

2. 质因数分解定理：每个大于1的整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积。

3. 最大公约数与最小公倍数的性质：对于任意整数a和b，记a和b 的最大公约数为gcd(a, b)，最小公倍数为lcm(a, b)，则有以下性质： - gcd(a, b) = gcd(b, a)- gcd(a, 0) = |a|- lcm(a, b) = |ab| / gcd(a, b)三、模运算与同余1. 模运算的基本性质：对于任意整数a、b和正整数n，有以下性质：- (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n- (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n- (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n2. 同余关系的性质：对于任意整数a、b和正整数n，如果a与b模n同余（记作a ≡ b (mod n)），则有以下性质：- a + c ≡ b + c (mod n)- ac ≡ bc (mod n)- 如果a ≡ b (mod n)，则a^k ≡ b^k (mod n)对于任意正整数k四、费马小定理与欧拉定理1. 费马小定理：如果p是质数，a是任意正整数且p不整除a，则有a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。

整除特性

公务员考试数学运算考点汇总：整除特性（一）整除特性是公务员考试，考生必须掌握的一个知识点，这个知识看似简单，没有依托的题型，但是由于其灵活多变，隐藏在试题中间，所以掌握起来并不容易，不过当我们做题的题量达到一定程度的时候，就很容易的把握住里面的一些关键信息，找到整除的突破口，快速得到正确答案。

一、基本整除性质一般地，如果a、b、c为整数，b≠0，且a/b=c，那么称a能被b整除（或者说b能整除a）。

对于我们来说，通常会用到以下性质：（1）如果数a和数b能同时被数c整除，那么a±b也能被数c整除。

【例如】36/9=4，45/9=5，而36+45=81，且81/9=9；同时有45-36=9，且9/9=1，所以和差均能被9整除。

（2）如果数a能同时被数b和数c整除，那么数a能被数b与数c的最小公倍数整除。

【例如】84/21=4，84/42=2，而21、42的最小公倍数是42，且有84/42=2。

【注】由于数a能同时被数b和数c整除，则数a的约数中必然包括数b和数c，那肯定数b和数c的最小公倍数必然小于等于数a。

（3）如果数a能被数b整除，c是任意整数，那么积ac也能被数b整除。

【例如】18/9=2，而36/9=（18×2）/9=2×2=4，也同样可以被9整除。

二、常用数字整除性质（1）被2整除的数字的特性：末位数为0、2、4、6、8。

（2）被3（或9）整除的数字的特性：各位数字之和能被3（或9）整除。

（3）被4（或25）整除的数字的特性：末两位数字能被4（或25）整除。

（4）被8（或125）整除的数字的特性：末三位数字能被8（或125）整除。

（5）被5整除的数字的特性：末位数字是0或5。

（6）被7（或13）整除的数字的特性：末三位与末三位之前的数字之差能被7（或13）整除（对于位数较多的数字，可反复使用）。

（7）被11整除的数字的特性：奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能被11整除。

整除的性13质

整除定义：整除就是若整数“a” 除以大于0的整数“b”，商为整数，且余数为零。

我们就说a能被b整除（或说b能整除a），记作b|a，读作“b整除a”或“a能被b整除”．注意a or b作除数的其一为0则不叫整除整除的性质：（1）如果a与b都能被c整除，那么a+b与a-b也能被c整除；（2）如果a 能被b整除，c是任意整数，那么积ac也能被b整除；(3）如果a同时被b与c整除，并且b与c互质，那么a一定能被积bc整除．反过来也成立．整除与除尽的区别与联系整除与除尽既有区别又有联系．除尽是指数a除以数b（b≠0）所得的商是整数或有限小数而余数是零时，我们就说a能被b除尽（或说b能除尽a）．因此整除与除尽的区别是，整除只有当被除数、除数以及商都是整数，而余数是零．除尽并不局限于整数范围内，被除数、除数以及商可以是整数，也可以是有限小数，只要余数是零就可以了．它们之间的联系就是整除是除尽的特殊情况．整除有下列基本性质：①若a|b，a|c，则a|b±c。

（b>c）②若a|b，则对任意c（0除外），a|bc。

③对任意a，±1|a，±a|a。

④若a|b，b|a，则|a|=|b|。

对任意整数a，b，b>0，存在唯一的整数q，r，使a=bq+r，其中0≢r<b，这个事实称为带余除法定理，是整除理论的基础。

若c|a，c|b，则称c是a，b的公因数。

若d是a，b的公因数，且d可被a，b的任意公因数整除则称d是a，b的最大公因数。

当d≣0时，d是a，b公因数中最大者。

若a，b的最大公因数等于1，则称a，b互素。

累次利用带余除法可以求出a，b的最大公因数，这种方法常称为辗转相除法。

又称欧几里得算法。

整除的规律：整除规则第一条（1）：任何数都能被1整除。

整除规则第二条（2）：个位上是2、4、6、8、0的数都能被2整除。

整除规则第三条（3）：每一位上数字之和能被3整除，那么这个数就能被3整除。

数字的整除数字的整除运算

数字的整除数字的整除运算数字的整除运算是数学中常见且重要的概念，用于确定一个数字是否能被另一个数字整除，以及求得它们的商和余数。

整除运算在实际生活和各个学科领域中都具有广泛的应用。

本文将介绍数字的整除运算的定义、性质、应用以及相关的计算方法。

一、整除运算的定义整除运算是指当一个数字能够被另一个数字整除时，我们就说这两个数字之间存在整除关系。

具体来说，如果一个数字a能够被另一个数字b整除，我们可以用数学符号表示为a能被b整除，记作a|b。

当a能被b整除时，我们还可以说b是a的倍数，a是b的约数。

二、整除运算的性质1. 传递性：如果a能被b整除，b能被c整除，那么a能被c整除。

2. 自反性：任何一个数字a都能被自身整除。

3. 整除可以用乘法表示：如果a能被b整除，那么存在某个整数k，使得a=k*b。

三、整除运算的应用整除运算在许多学科领域中都有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 数论：整除运算是数论中的一个基本概念，用于研究整数的性质和规律。

例如，素数的定义就与整除运算密切相关。

2. 代数学：整除运算是代数学中一个重要的概念，用于定义整数环和整数域等代数结构。

3. 商业和经济学：整除运算在商业和经济学中的应用十分广泛，例如计算折扣、利润和成本等。

4. 计算机科学：整除运算在计算机科学中常用于算法设计和编程中，例如判断一个数字是否能被另一个数字整除。

四、整除运算的计算方法在进行整除运算时，我们常使用除法算法进行计算。

下面是一种常用的整除运算的步骤：1. 将被除数写在除号的左边，除数写在除号的右边。

2. 从被除数的最左边开始，用除数去除被除数的左边的数字，求得商的最高位数。

3. 用得到的商乘以除数，得到一个中间值。

4. 将中间值减去被除数的左边的数字，并将结果写在下一行的下方。

5. 将结果作为被除数的新值，重复步骤2-4，直到被除数的所有位数都被计算完。

6. 当被除数的所有位数都被计算完后，所得的商就是整除的商，余数为零。

整除数的性质和规律

整除数的性质和规律一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、整除规律⑴、能被1整除的数：任何数都能被1整除。

⑵、能被2整除的数：末位是0,2,4,6或8的数,都能被2整除。

⑶、能被5整除的数一个整数的末位是0或5,则这个整数能被5整除个位上是0的数，既能被2整除，又能被5整除，而且还能被10整除。

⑷、能被3或9整除的数：一个数只要各数位数字的和是3或9的倍数，就一定能被3或9整除。

例如：判断3576，2549能不能被3整除3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍数）∴3576能被3整除。

2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍数）∴2549不能被3整除。

检验：2549÷3=849 (2)又如：判4212、5282能不能被9整除4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍数）∴4212能被9整除。

5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍数）∴5282不能被9整除。

用上述方法不但能判断一个数能不能被3或9整除，而且还能判断不能整除时，余数是多少。

如：判断7485能不能被9整除7+4+8+5=24→2+4=6各位数字继续相加从结果看出：把7485的各位数字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485这个数不能被9整除。

最后得出的6，就是7485除以9的余数。

即：7485÷9=831 (6)能被9整除的数，一定能被3整除。

能被3整除的数，却不一定能被9整除。

⑸、能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的数。

①.首先看这个数是不是偶数，凡是偶数都能被2整除。

数的整除性及性质

数的整除性及性质数的整除性是指一个整数能够被另一个整数整除，即没有余数的除法运算。

整除性是数学中的一个重要概念，它有一些基本的性质。

性质1：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它也能够被这个整数的因子整除。

性质2：如果一个整数能够被两个整数整除，那么它也能够被这两个整数的公倍数整除。

性质3：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倍数也能够被这个整数整除。

性质4：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数也能够被这个整数整除。

性质5：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍也能够被这个整数整除。

性质6：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数也能够被这个整数整除。

性质7：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数也能够被这个整数整除。

性质8：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数也能够被这个整数整除。

性质9：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方也能够被这个整数整除。

性质10：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的倒数也能够被这个整数整除。

性质11：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的倒数也能够被这个整数整除。

性质12：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数倍数的倒数也能够被这个整数整除。

性质13：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数加减这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质14：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数乘以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质15：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数除以这个整数的倒数也能够被这个整数整除。

性质16：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的任意正整数次方的倒数也能够被这个整数整除。

性质17：如果一个整数能够被另一个整数整除，那么它的相反数的次方也能够被这个整数整除。

整除特性

数的整除检定1.被2整除特点：偶数；2.被3整除特点：每位数字相加的和是3的倍数;3.被4整除特点：末两位是4的倍数；4.被5整除特点：末位数字是0或5；5.被6整除特点：能同时被2和3整除;6.被8整除特点：末三位是8的倍数；7.被9整除特点：每位数字相加的和是9的倍数；8.被11整除特点：奇数位置上的数字和与偶数位置上的数字和之间的差是11的倍数；9.被25整除特点：末两位数是25的倍数；10.被7、11、13整除的特点：多位数的末三位与前面数字之差能否被7、11、13整除。

数的整除性质1.如果数a能被c整除，数b也能被c整除，那么它们的和（a+b）也能被c整除。

2.几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，则这几个数的积也能被这个数整除。

3.数a能被数b整除，数a也能被数c整除，如果b、c互质，那么数a能被数b与c的积（bc）整除。

余数和同余余数特性被除数（A）÷除数（B）=商（C）……余数（D），其中，余数总是小于除数，即：0≤余数（D）<除数（B）。

同余及其性质两个整数a和b，除以一个大于1的自然数m所得余数相同，就称a和b对于模m同余或称a和b在模m下同余，即a≡b(mod m)。

也就是说，如果a，b除以m的余数相同，就称a，b对于除数m 来说是同余的，且有a与b的差能被m整除。

（a，b，m均为自然数）1.两个数和的余数，同余与余数的和；两个数差的余数，同余与余数的差；两个数积的余数，同余与余数的积。

2.同余的重要性质同余的可传递性：若a≡b(mod m),b≡c(mod m),则a≡c(mod m)；同余的反身性：a≡a(mod m)(a为任意自然数)；同余的对称性：若a≡b(mod m),则b≡a(mod m)；同余的可乘性: 若a≡b(mod m)，则ac≡bc(mod m)；若a≡b(mod m)，c≡d(mod m),则ac≡bd(mod m)。

同余的乘方性：若a≡b(mod m)，则a n≡b n(mod m)。

整除关系的基础概念和证明

整除关系的基础概念和证明整除关系是数学中非常基础且常见的一个概念。

从小学开始的学习，我们就会接触到整除的知识，但是它的具体定义和证明可能在初中甚至高中才能完全掌握。

在这篇文章中，我将从定义的基础入手，逐步介绍整除关系的概念和证明方法。

一、整除的定义在整数集合中，如果一个整数b除以另一个整数a得到整数，即b=ak(k为整数)，则称a是b的因数，b是a的倍数。

可以用数学公式来表示为：若存在整数k，使b＝ak，则称a整除b，表示为a|b。

例如，3|6表示3是6的因数，6是3的倍数。

二、整除的性质对于任意正整数a、b、c，有以下性质：1.自身整除：任何正整数a都能整除它本身，即a|a。

2.加减特性：如果a|b且a|c，那么a能整除它们的和、差，即a|(b+c)和a|(b-c)。

3.数乘特性：如果a|b，那么对于任意整数k，都有a|kb。

4.传递性：如果a|b且b|c，那么a也能整除c。

三、整除的证明方法1.因数分解法因数分解法指的是，将所要证的整除式分解成素因数的形式，然后通过分解式子得出结论。

例如，证明6|12的过程如下：12=2×2×36=2×3因为12能由2和3组成，而6中也含有2和3，因此6一定能整除12。

2.多次用到加减特性加减特性是整除关系中重要的性质，当所要证明的式子中有多个加减号时，可以运用加减特性将其化简，再根据因数的定义来证明。

例如，证明20|3a+9b-15c的过程如下：3a+9b-15c=3(a+3b-5c)将原式化为20|(a+3b-5c)×3此时需要证明(a+3b-5c)能被20整除，由于a、b、c都是整数，因此必有3a+9b-15c=20×k（k为整数），即a+3b-5c=20×k/3，因此20能整除a+3b-5c，即证毕。

3.数乘特性的应用数乘特性也是整除关系中常用的证明方法。

当证明式子中含有数乘时，可运用数乘特性将其化为不含数乘的形式，再利用因数的定义来证明。

整除性质及规律总结旭)

整除性质一、整除性质1：如果数a、b都能被c整除，则(a+b)与(a-b)也能被c整除；2：如果数a能被数b整除，c为整数，则积ac也能被数b整除；3：如果数a能被数b整除，b又能被c整除，则a也能被数c 整除；4：如果数a能同时被数b、c整除，且b，c互质，则a一定能被b和c的积整除；（例如：72=8*9, 24=3*8, 90=9*10）5：如果数a能被c整除，b不能被c整除，则(a+b)与(a-b)不能被c整除。

二、（2、3、4、5、8、9、25、125）若一个整数的末位是0、2、4、6、8，则这个数能被2整除。

若一个整数的各位数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

若一个整数的各位数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

若一个整数的末两位能被4或25整除，则这个数能被4或25整除.若一个整数的末三位能被8或125整除，则这个数能被8或125整除三、（7、11、13）能被七整除的数规律若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

能被11整除的数的规律(1)、把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除.奇位数字的和9+6+8=23 ，偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法".2、11的倍数检验法:去掉个位数，再从余下的数中，减去个位数，如果差是11的倍数，则原数能被11整除。

整除的性质和特征

整除的本量战特性之阳早格格创做整除问题是整数真量最基础的问题.明白掌握整除的观念、本量及某些特殊数的整除特性，不妨简朴快速天办理许多整除问题，巩固孩子的数感.一、整除的观念：如果整数a除以非0整数b，除得的商正佳是整数而且余数是整，咱们便道a能被b整除（或者b能整除a），记做b/a，读做“b整除a”或者“a能被b整除”.a喊搞b的倍数，b喊搞a的约数（或者果数）.整除属于除尽的一种特殊情况.二、整除的五条基赋本量：（1）如果a取b皆能被c整除，则a+b取a-b也能被c整除；（2）如果a能被b整除，c是任性整数，则积ac也能被b整除；（3）如果a能被b整除，b能被c整除，则积a也能被c整除；（4）如果a能共时被b、c整除，且b取c互量，那么a一定能被积bc整除，反之也创造；（5）任性整数皆能被1整除，即1是任性整数的约数；0能被任性非0整数整除，即0是任性非0整数的倍数.三、一些特殊数的整除特性：根据整除的基赋本量，不妨推导出某些特殊数的整除特性，为办理整除问题戴去便当.（1）如果一个数是整十数、整百数、整千数、……的果数，不妨通过被除数开端几位数字决定那个数的整除特性.①若一个整数的个位数字是2的倍数（0、2、4、6或者8）或者5的倍数（0、5），则那个数能被2或者5整除；②若一个整数的十位战个位数字组成的二位数是4或者25的倍数，则那个数能被4或者25整除；③若一个整数的百位、十位战个位数字组成的三位数是8或者125的倍数，则那个数能被8或者125整除.【推理历程】：2、5皆是10的果数，根据整除的基赋本量（2），可知所有整十数皆能被10、2、5整除.任性一个整数皆不妨瞅做一个整十数战它的个位数的战，如果一个数的个位数字也能被2或者5整除，根据整除的基赋本量（1），则那个数能被2或者5整除.又果为4、25皆是100的果数，8、125皆是1000的果数，根据整除的基赋本量（2），可知任性整百数皆能被4、25整除，任性整千数皆能被8、125整除.共时，任性一个多位数皆不妨瞅做一个整百数战它终二位数的战或者一个整千数战它的终三位数的战，根据整除的基赋本量（1），不妨推导出上头第②条、第③条整除特性.共理可证，若一个数的终四位数能被16或者625整除，则那个数能被16或者625整除，依此类推.（2）若一个整数诸位上数字战能被3或者9整除，则那个数能被3或者9整除.【推理历程】：果为10、100、1000……除以9皆余1，所以几十、几百、几千……除以9便余几.果此，对付于任性整数ABCDE…(_______________)皆不妨写成底下的形式（n为任性整数）：9n＋（A＋B＋C＋D＋E＋……）9n一定能被3或者9整除，根据整除的基赋本量（1），只消那个数诸位上的数字战（A ＋B＋C＋D＋E＋……）能被3或者9整除，那个数便能被3或者9整除.（3）用“截尾法”推断整除性.①截尾减2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的2倍，好是7的倍数，则本数能被7整除；②截尾减1法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的1倍，好是11的倍数，则本数能被11整除；③截尾加4法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的4倍，好是13的倍数，则本数能被13整除；④截尾减5法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，减去个位数字的5倍，好是17的倍数，则本数能被17整除；⑤截尾加2法：若一个整数截去个位数字后，再从所得的数中，加上个位数字的2倍，好是19的倍数，则本数能被19整除.根据整除的基赋本量（3），以上5条整除特性中，如果好太大，不妨继承前里的“截尾翻倍相加”或者“截尾翻倍相减”的历程，曲到能曲交推断为止.【推理历程】：设任性一个整数的个位数字为y，那个数不妨表示成10x＋y的形式，其中x为任性整数.一个数截尾减2后，所得数为（x－2y）.果为截去那个数的个位数字后，所得数x减去个位数字y的2倍，本量上是正在本数的十位数字上减去2个y，即减去了20个y，截尾一个y，总合减去了21个y，剩下了（x－2y）个10.如下式：10x－20y＋y－y﹦（x －2y）×10﹦（10x＋y）－21y.根据整除的基赋本量，如果（x－2y）能被7整除，则（x－2y）×10便能被7整除，即（10x＋y）－21y能被7整除，21y是7的倍数，不妨推出本数（10x＋y）一定能被7整除.“截尾加4”便是本数截去1个y、加上40个y，总合加了39y（13的倍数），得到（x＋4y）个10，“截尾加4”所得（x＋4y）如果能被13整除，本数必能被13整除.共理，“截尾减1”便是本数减去了11个y（11的倍数），本数剩下（x－y）个10，“截尾减1”所得（x－y）能被11整除，本数必能被11整除；“截尾减5”便是本数减去了51个y（17的倍数），本数剩下（x－5y）个10，“截尾减5”所得（x－5y）能被17整除，本数必能被17整除；“截尾加2”便是本数加了19y（19的倍数），得到（x＋2y）个10，“截尾加2” 所得（x ＋2y）如果能被19整除，本数必能被19整除.依此类推，不妨用“截尾加3”推断一个数是可被29整除，用“截尾减4”推断一个数是可被41整除等等.（4）“截尾法”的推广使用.①若一个数的终三位数取终三位之前的数字组成的数相减之好（大数减小数）能被7、11或者13整除，则那个数一定能被7、11或者13整除；②若一个整数的终四位取之前数字组成数的5倍相减之好能被23或者29整除，则那个数能被23或者29整除.（比较符合对付五位数举止推断）【推理历程】：①设任性一个整数的终三位数为y，则那个数不妨表示成1000x＋y的形式，其中x为任性整数.当x大于y时，那个数终三位之前的数字组成的数减去终三位数得到（x－y）.那里x减y本量上是正在本数的千位上减去y，即减去了1000y，加上截去终三位数y，总合减去了1001y，本数剩下（x－y）个1000.如下式：1000x－1000y＋y－y﹦1000（x－y）﹦（1000x＋y）－1001y7×11×13﹦1001，7、11战13皆是1001的果数.综上所述，如果那个数终三位之前的数字组成的数减去终三位数得到（x－y）能被7、11或者13整除，即（1000x＋y）－1001y能被7、11或者13整除，则本数必能被7、11或者13整除.当y大于x时，可得1000（y－x）﹦1001y－（1000x＋y），如果（y－x）能被7、11或者13整除，则本数必能被7、11或者13整除.②设任性一个整数的终四位数为y，则那个数不妨表示成10000x＋y的形式，其中x为任性整数.终四位取之前数字组成数的5倍相减之好即（y－5x）.10000（y－5x）﹦1005y－5（10000x＋y）果为1005是23战29的公倍数，如果一个数终四位取之前数字组成数的5倍相减之好即（y－5x）能被23或者29整除，即10000（y－5x）能被23或者29整除，则本数必能被23或者29整除.依此类推，如果一个数终二位数取之前数字相减之好能被101整除，则那个数必能被101整除等等.（5）若一个整数的奇位数字之战取奇位数字之战的好能被11整除，则那个数能被11整除.【推理历程】：一个整数奇数位上每个计数单位除以11皆余1，如1、100、10000……等，除以11皆余1，果此每个奇数位上数字是几，它所表示的数值除以11便余几，所有奇数位上数字之战除以11余几，所有奇数位数字所表示的数值除以11便余几.一个整数奇数位上每个计数单位除以11皆“缺1”（余数为10），如10、1000、100000……等，除以11皆“缺1”，果此每个奇数位上数字是几，它所表示的数值要整除11便缺几，所有奇数位上数字之战除以11缺几，所有奇数位数字所表示的数值除以11便缺几.“移多补少”，惟有一个整数所有奇位数字之战取奇位数字之战相减之好能被11整除，本数才搞被11整除.。

整除的6个基本性质

整除的性质和特征

整除

1.3 整除 及其性质

数的整除性质

数的整除性质技巧

整除的性质和特征

数的整除特征

初等数论的性质与定理总结

整除特性

整除的性13质

数字的整除数字的整除运算

整除数的性质和规律

数的整除性及性质

整除特性

整除关系的基础概念和证明

整除性质及规律总结旭)

整除的性质和特征

1.3 整除及其性质