第十四讲 线性空间的同构;商空间 ;总结_wlkc-14
1-5 线性空间的同构
dimV dimV .
证 设 dimV n, 1 , 2 ,, n 为V 中任意一组基.
由2，3 知， ( 1 ), ( 2 ),, ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定 一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标: 向量的坐标是F上的n元数组，因此属于 F n ,这样 对于V中每一个向量 ,令 在这组基下的坐标为 (a1 , a2 ,, an ), 则 (a1 , a2 ,, an )与 对应，就得到V 到 一来，取定了V 的一组基 1 , 2 ,, n ,
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
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作业要求
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《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
其他辅导类参考书（自选） 矩阵论网站 /
( ) (a1 , a2 ,, an ),
这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.
定义
设 V ,V 都是数域F上的线性空间，如果映射
：V V 具有以下性质：
i) 为双射
ii) ( ) ( ) ( ),
iii) k k ,
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论
的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的
抽象化。
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
线性空间和欧式空间
第六章 线性空间和欧式空间§1 线性空间及其同构一 线性空间的定义设V 是一个非空集合，K 是一个数域，在集合V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V 中任意两个元素α和β，在V 中都有唯一的一个元素γ与他们对应，成为α与β的和，记为βαγ+=。
在数域K 与集合V 的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K 中任一数k 与V 中任一元素α，在V 中都有唯一的一个元素δ与他们对应，称为k 与α的数量乘积，记为αδk =，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V 称为数域K 上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1）αββα+=+；交换律2）)()(γβαγβα++=++；结合律3）在V 中有一个元素0，对于V 中任一元素α都有αα=+0（具有这个性质的元素0称为V 的零元素）； 存在零元4）对于V 中每一个元素α，都有V 中的元素，使得0=+βα（β称为α的负元素）.存在负元数量乘法满足下面两条规则：5）αα=1； 存在1元6）αα)()(kl l k =. 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7）αααl k l k +=+)(； 数的分配律8）βαβαk k k +=+)(. 元的分配律在以上规则中，l k ,表示数域中的任意数；γβα,,等表示集合V 中任意元素。
例1． 元素属于数域K 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K 上的一个线性空间，记为,()m n M K 。
例2． 全体实函数（连续实函数），按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3． n 维向量空间n K 是线性空间。
例4． 向量空间的线性映射的集合(,)m n K Hom K K 是线性空间。
二．简单性质1．零元素是唯一的。
2．负元素唯一。
3．00=α，00=k ，αα-=-)1(。
4．若0=αk ，则0=k 或者0=α。
6.1 线性空间及其同构
证明: 作线性映射
由同构的传递性得到结论.
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 10
基本性质的证明, 减法
1. 零向量是唯一的. 证明:
2. 一个向量的负向量是唯一的. 证明:
减法定义为
18:14
线性空间与欧几里得空间
11
基本性质的证明(2)
证明:
证明:
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 12
example
线性空间的同构是一种等价关系，即具有自反性、对称性 和传递性。 proof
18:14
线性空间与欧几里得空间
7
同构的例子: 例1.6
证明：作线性映射
把基向量映到基向量
18:14
线性空间与欧几里得空间
8
同构的例子: 例 1.7
证明: 作线性映射
18:14
线性空间与欧几里得空间
9
同构的例子: 例 1.8
§1 线性空间及其同构
线性空间的概念(向量空间的推广) 若干例子 一些基本性质 线性空间的同构
18:14
线性空间与欧几里得空间
1
线性空间的概念
设 V 是一个非空集合，K 是一个数域.
在集合 V 和 K 中定义了加法和数乘两种代数运算，如果它们 满足若干条件，就称 V 是数域 K 上的线性空间, V 中的元素 称为向量．具体如下：
定理 1.1 的证明
证明：
定义映射:
back
18:14 线性空间与欧几里得空间 13
7) 分配律一:
18:14
线性空间与欧几里得空间
4
基与维数
解:使得18:源自4线性空间与欧几里得空间5
基与维数: 例子
线性空间PPT课件
( 1 , … , n ) B = ( 1 , … , n ) A B 即 { j } 能线性表出 V = < 1 , … , n > . 又向量组 { j } 的向量个数 = n = dim V , 故 { j } 也是 V 的一组基 .
7) 右分配律
k(+) = k+k
8) 结合律
k(l)=(kl)
公理的推论:
1) 对 α V, 0α 0
2) k 0 0, k K 3) k α 0 k 0或 α 0
4) (1) α α , α V
简单推论:
1) V , 有 0 = 0 . 证: 0 = 0 + 0
例: 将实数域 R 看成 Q-线性空间, 证明: 1, 2 , 3 , 6 Q-线性无关.
想法: 先取空间的一组基底 记 = 2 3 . 首先证明向量组
1 , , 2, 3 Q -线性无关.
注意到 是 f ( x ) = ( x 2 3 )(x 2 3 ) ( x 2 3 )(x 2 3 )
x2
yn
xn
坐标同构 V K n
线性空间 V 取定基底 1 , 2 , … , n 后, V 中每个元素
= k1 1 + k2 2 + … + kn n 与其坐标列向量 [ k1 , k2 , … , kn ]T Kn 一一对应. 这种对应保持两个空间的运算.
线性空间的元素是抽象的向量. 对这样的 向量做计算 (例如判断相关性, 求极大无关组), 先取定空间的一组基. 基底一旦取定, 向量 都用坐标表示, 线性空间的计算问题就转化 成我们熟悉的向量空间的计算.
线性空间的同构
τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
(优选)第八节线性空间的同构
k1 (1) + k2 (2) + … + kr (r) = 0 .
于是有
( k11+ k22 + … + krr ) = 0 ,
由于 是 双射，只有 (0) = 0，所以
k11+ k22 + … + krr = 0 , 即 1, 2 , … , r 线性相关.
证毕
3. V 中向量组 1, 2 , … , r 线性相关的充分 必要条件是，它们的像 (1) , (2) , … , (r)
线性相关.
证明 必要性 设 1, 2 , … , r 线性相关，
即有不全为零的数 k1 , k2 , … , kr 使
k11+ k22 + … + krr = 0 .
（优选）第八节线性空间的同 构
§6.8 线性空间的同构
一、引入
设 1 , 2 , … , n 是线性空间 V 的一个基，在
这个基下， V 中每个向量都有确定的坐标，而向 量的坐标可以看成 P n 的元素. 因此，向量与它的 坐标之间的对应实质上就是 V 到 P n 的一个映射. 这个映射既是单射又是满射， 换句话说，坐标给 出了线性空间 V 与 P n 的一个双射. 这个对应的重 要性表现在它与运算的关系上.
-1 (k ) = -1 ( -1 ( k ) ) = -1 (k -1 ( ) ) = -1 ( ( k -1 ( ) ) )
= -1 ( k -1 ( ) ) = k -1 ( ). 故 -1满足定义1中的条件1) 与 2) ，因而是同构映射.
现设 和 分别是线性空间 V 到 V 和 V 到 V 的同构映射， 下面证明乘积 是 V 到 V 的
高等代数(线性空间)
例子
例 1 所有平面向量的集合 V = {( x, y ) x, y ∈ R} 构成实 数域 R 上的线性空间，其加法运算和数量乘积就是 普通的向量的加法和数乘运算。
例 2 集合 V 加法和数乘运算
k ( x1 , x 2 ,
= {( x 1 , x 2 , , x n ) x1 , x 2 , , x n ∈ R}
推出 k 1
= k2 == ks = 来自 。例3 向量组0,α 1 ,α 2 , ,α s 是线性相关的。 例 4 对只由一个向量 α 组成的向量组来说，若 α = 0 ，则是线性相关的；否则，是线性无关。 例 5 在三维空间 R 3 中，向量e1 = (1,0,0) ，e2 = (0,1,0) ， e3 = (0,0,1) 是线性无关的。 任何一个三维向量α = (a1,a2 ,a3 ) 都可写成e1 , e2 , e3 的线性组 合a = a1e1 + a 2 e2 + a 3 e3 。
全为零的实数 k 1 , k 2 ,
k1 ≠ 0
, k s 使得 ∑ k iα i = 0 。不妨设
i =1
s
，则有
⎛ k2 ⎞ ⎛ k3 ⎞ α1 = ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 2 + ⎜ ⎜− k ⎟ ⎟α 3 + ⎝ 1⎠ ⎝ 1⎠
+ li−1αi−1 + li+1αi+1 +
充分性: 如 果 αi = l1α1 + 即α 1 ,α 2 ,
α s + 1 能用向量组 B
线性表出，因此也能用向量组 C
线性表出，即
α s +1 = ∑ k jα j +
j =1 s j = s +1
线性空间的同构商空间总结
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
2 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,
线性空间的基与维数及线性同构
有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使
线性空间和欧式空间
第六章线性空间和欧式空间§ 1线性空间及其同构线性空间的定义设V是一个非空集合，K是一个数域，在集合V的元素之间定义了一种代数运算，叫做加法；这就是说，给出了一个法则，对于V中任意两个元素和，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，成为与的和，记为。
在数域K与集合V的元素之间还定义了一种运算，叫做数量乘法，即对于数域K中任一数k与V中任一元素，在V中都有唯一的一个元素与他们对应，称为k与的数量乘积，记为k ，如果加法与数量乘法满足下述规则，那么V称为数域K上的线性空间。
加法满足下面四条规则：1)；交换律2)( ) ( )；结合律3)在V中有一个元素0，对于V中任一元素都有0 (具有这个性质的元素0称为V的零元素)；存在零元4)对于V中每一个元素，都有V中的元素，使得0( 称为的负元素)•存在负元数量乘法满足下面两条规则：5) 1 ；存在1元6)k(l ) (kl). 数的结合律数量乘法与加法满足下面两条规则：7)(k l) k l ；数的分配律8)k( ) k k .元的分配律在以上规则中，k,l表示数域中的任意数；，，等表示集合V中任意元素。
例1. 元素属于数域K的m n矩阵，按矩阵的加法和矩阵的与数的数量乘法，构成数域K上的一个线性空间，记为M m,n(K)。
例2. 全体实函数(连续实函数)，按函数的加法和数与函数的数量乘法，构成一个实数域上的线性空间。
例3. n维向量空间K n是线性空间。
例4. 向量空间的线性映射的集合Hom K(K m, K n)是线性空间。
二.简单性质1.零元素是唯一的。
2.负元素唯一。
3. 0 0, k0 0 , ( 1) 。
4.若k 0，则k 0或者0。
三•同构映射定义：设V,V是数域K上的线性空间• A Hom K(V,V )是一个线性映射•如果A是一- 映射，则称A是线性空间的同构映射，简称同构。
线性空间V与V'称为同构的线性空间。
定理数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是他们有相同的维数。
线性空间总结
线性空间与线性变换总结线性空间（向量空间）定义：设集合V ≠f, F 是一个数域，在V 上定义加法与数乘：若对任意a ∈ V, b ∈ V , 有 a+b ∈ V;若对任意a ∈ V , l ∈ F, 有 la ∈ V; 则称集合V 为数域F 上的线性空间。
在这么个空间内存在无数个向量，我们希望有限的向量刻画整个V ，描述V 内的所有向量。
这里有限的向量构成一个向量组，用m m k k k ααα+⋯++2211表示向量组的一个线性组合，m k k k , 21⋯，，称为该线性组合的系数。
如果m λλλ,21⋯，，存在一组数使m m b αλαλαλ+⋯++=2211，则称b 能由向量组线性表示。
若给定n 维向量组 A :α1, α2,···, αm , 如果存在不全为零的一组数λ1, λ 2,···, λ m , 使得λ1 α1 +λ 2 α2 + ··· +λ m αm= O ，则称向量组A 线性相关，否则称向量组A 线性无关.如何判定线性相关：线性维向量组)3(,...,,:21≥m A n m ααα必要...12211=+++m m x x x ααα齐次线性方程组：定理有非零解。
),...,,(:221m A A m 向量个数的秩小于所构成的矩阵定理ααα=个向量线性表示。
其余中至少有一个向量可由：定理1,...,,:321-m A m ααα 此外还有一个关于线性无关的定理：定理4：设m ααα,...,,21线性无关，如果向量组m ααα,...,,21β线性相关，则向量β能由m ααα,...,,21线性表示，并且唯一向量组等价：..,...,,:,...,,: 2121这两个向量组等价。
能相互线性表示，则称与向量组若向量组线性表示能由向量组则称向量组线性表示，向量组组中的每个向量都能由若及维向量组设有两个B A A B A B B A n s m βββααα用矩阵表示向量组.4..., 的行向量组线性表示能由的行向量组知，由定理故存在可逆矩阵，经初等行变换变成行等价，即矩阵与设矩阵A B PA B t s P B A B A =.4..,., B A 的行向量组线性表示量组能由的行向知，故由定理存在可逆矩阵，由初等变换可逆性可知行等价，故与又因为B A QB A t s Q =的行向量组等价的行向量组与于是B A线性相关性的判别定理：1. 若a1,a2,…,am 线性相关， 则a1,a2,…,am , am+1 也线性相关.。
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全面地理解这一概念。
一、线性空间的定义线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。
加法指的是将两个向量或数学对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元（零向量）存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的进一步研究提供了重要的基础。
下面介绍线性空间的一些主要性质：1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。
对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。
即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。
4. 线性空间中的元素满足数乘单位元的性质。
即对于线性空间V中的任意元素x，有1∙x=x。
5. 线性空间中的元素满足数乘交换律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有c(dx)=(cd)x。
6. 线性空间中的元素满足数乘结合律。
即对于线性空间V中的任意元素x和任意标量c、d，有(c+d)x=cx+dx。
线性空间的同构.ppt
由于W为子空间，所以 W , k W .
从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即
W W
故 dimW dim (W ).
注
由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
3）V中向量组 1,2 , ,r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1), (2 ), , (r )
线性相关（线性无关）. 4） dimV dimV .
5）：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
6） 若W是V的子空间，则W在 下的象集 (W ) { ( ) W }
(k ) (ka1, ka2 , kan )
k P
k(a1,a2 ,an ) k ( ),
这就是说，向量用坐标表示后，它们的运算可以
归结为它们的坐标的运算.
一、同构映射的定义
设 V ,V 都是数域P上的线性空间，如果映射 ：V V 具有以下性质：
i) 为双射 ii) ( ) ( ) ( ), , V
一、同构映射的定义 二、同构的有关结论
引入
我们知道，在数域P上的n维线性空间V中取定 一组基后，V中每一个向量 有唯一确定的坐标 (a1,a2 , ,an ) ，向量的坐标是P上的n元数组，因此
属于Pn. 这样一来，取定了V的一组基 1, 2 , , n 对于V中每一个向量 ，令 在这组基下的坐标 (a1,a2 , ,an )与 对应，就得到V到Pn的一个单射
( 1( )) 1( )
1() 1( ) ( 1()) ( 1( )) ( 1() 1( ))
再由 是单射，有 1( ) 1() 1( )
线性空间的定义与性质.ppt
证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ;
(2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ;
P[x]n,
p(x)
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+· · · +anxn) = 0+0x+· · · +0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合 S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间. 对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R,
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那么, 就称V为数域R上的线性空 间(或向量空间): 设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l .
6.8 线性空间的同构
（保持线性相关性Байду номын сангаас线性无关性不变）
5) V1 是 V 的子空间 f (V1) { f ( ) V1}是W的子空间 ，且 dimV1 dim f (V1) ； （保持子空间结构不变）
证明： 1) f (k ) kf ( ) 取 k 0 f (0) f (0 ) 0 f ( ) 0 . 2) f ( ) f ( ) f ( ()) f (0) 0 f () f () .
f ( ) (x x/ , y y/ , z z/ ) (x, y, z) (x/ , y/ , z/ ) f () f ( ) .
3) k k(xe1 ye2 ze3) kxe1 kye2 kze3 → f (k) (kx, ky, kz) k(x, y, z) kf () . 故 f 是 V3 到 R3 的同构映射，即
n
3) k P, V, xii f (k ) (kx11 kxnn ) i 1
(kx1, , kxn ) k(x1, , xn ) kf ( ) f ：V Pn 是同构映射，即
V Pn .
□
2. (命题 2) f ：V W是同构映射
2) , V, f () (x1, , xn ), f ( ) ( y1, , yn) →
f ( ) f ((x1 y1)1 (xn yn )n ) (x1 y1, , xn yn )
(x1, , xn ) ( y1, , yn ) f () f ( ) .
(e1
,
e
2
,
e3
)
线性空间的同构;商空间 ;总结_wlk
对任i Vn (F ),ki F
i1
i1
i 1,, n
(3)设1,,n 是V1中向量, 则
V2中向量 (1),, (n )线性相(无)关
1,,n线性相(无)关.
4
proof :是双射 （） 0仅当 0成立。 (k11 knn ) 0 k11 knn 0 k1(1) kn(n ) 0
i 1
(x1 y1,, xn yn )T X Y ( ) ( )
n
定(k理) 17(： kVxni(i )F )k同 X 构 k(于 ).F n.
3
i 1
同构映射的性质：
(1)（0） ， （0） （0 ） 0 （） ( ) （） （ ） （1） 1（） （）.
(2)同构映射保持线性关系不变.
4 1
1 3
123
1 0 0 0
1 1 0 0
13 00
这几列是否在R(A)中？是R(A)的基吗？
不在， PA B,
B的列不是A的列的线性组合.
19
向量 坐标X
(ax,ay,az ) axi ay j az k. 2
exp2:设1， ,n是Vn(F)的一组基，任 Vn(F)，
： V 11对应 F n
有
n
xii
令
i1
X
x1 xn
坐标是唯一
是V到F n的双射
（1 1对应）
且这个映射保持线性运算,
n
设 X , Y. 则( ) ( (xi yi )i )
则 11 22 33 11 22 0 利用（） 取 2 2， 1 1 又3 0, 2 1, 1 0, 1 22 （1，2，3，4） 2.
18
10.已知A
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故 W ( ym1m1 yn n ) W ym1(m1 W ) ym2 (m2 W ) yn (n W ),
m1 W , m2 W , , n W 可以表示任 W V /W , 且线性无关，
是V /W的一组基，dimV /W n m.
exp：V3(R)中，W z轴是V的子空间.
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
同理 W , 2 W，使 2
2 （2 ） W.
右 左， 左 右.
10
(2)若 ( W ) ( W ), 则由(1)知
W W W 与已知 W， W 矛盾.
线性空间V上按模W同余关系所得等价类
的集合 V { W V} 是V的商集.
在商集V 中定义加法和数乘如下：
传递性 如 (mod W ) (mod W ) 则 (mod W ).
( ) ( ) W
模 W 同余是线性空间 V 上的一种等价关系 8
定义13：设W是V的子空间， V ,
定义V的子集合 W { W }
称为模W的一个同余类, 而 叫做这个
同余类的一个代表.
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
则 11 22 33 11 22 0 利用（） 取 2 2， 1 1 又3 0, 2 1, 1 0, 1 22 （1，2，3，4） 2.
17
10.已知A
2 1 3
2
1 1 1 3
9115,求R( A)的一组基
2 1
3 2
1 1 1 3
1 1
95
1 0 0 0
1 1
1 0 2
1 0 1
0 00
1 0 0
1 3 0
1 0 4
1 0 2
1 0 1
()
16
1, 2, 3,1是W1 W2的基，dim(W1 W2 ) 4. dimW1 3, dimW2 2
dimW1 W2 dimW1 dimW2 dim(W1 W2 ) 1 令 11 22 33 11 22
1 1 2 5 3 2 1 1 2 5 3 2
1
1 0
2 3 4
1 3 1
6 7 8
4 5 6
3 4 5
r1r2
r1r3
0 0 0
1 2 4
1 1 1
1 2 8
1 2 6
1
2 5
1 1 2 5 3 2 1 1 2 5 3 2
2r2 r3
4r2 r4
0 0 0
1 0 0
1 3 5
1 0 4
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
பைடு நூலகம் 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
同构的线性空间有相同的维数. (4)同构映射的逆映射,还是同构映射.
设() , 定义 1( ) . 记 (1) 1, (2 ) 2,
1(1 2 ) 1( (1) (2 )) 1( (1 2 )) 1 2 1(1) 1(2 ) 1(k ) 1(k ( )) 1 (k ) k k 1(5 ).
向量rr坐标rX
(ax,ay,az ) axi ay j az k. 2
exp2:设1，L ,n是Vn(F)的一组基，任 Vn(F)，
： V 11对应 F n
有
n
xii
令
i1
X
xxn1
坐标是唯一
是V到F n的双射
（1 1对应）
且这个映射保持线性运算,
n
设 X , Y. 则( ) ( (xi yi )i )
aa1n1n
在基Eii (i 1,2, , n)下. 1, , n 线性无关 X1, , X n 线性无关7 .
§6 商空间
定义12：设W是V的子空间，如, V ,满足 W , 则称与 模W同余,记作 ( modW )
自反性 (mod W ), V
对称性 如 (mod W ) 则 (mod W )
12
即有l11 l22 lmm km1m1 km2m2 kn n 0,
km1 km2 kn 0.
m1 W , m2 W , , n W线性无关。
又设 W V /W , 由于 V , x11 xm m ym1 m1 yn n
( ym1 m1 yn n ) W . 故 W ( ym1 m1 yn n ) W .
则商空间 V3(R) /W L L // Z轴 ：
14
Z
W
W
k1( W ) k2( W )
O
Y
X
对0xy平面上任两个不共线的向量，， 有 W， W是商空间 V3 (R) /W的基15 .
P98 9
W1 W2 L(1,2 ,3 , 1, 2 , 3 ),
1, 2, 3,1,2,3
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,
(km1m1 km2 m2 kn n ) W 0 W , km1 m1 km2 m2 kn n W ,
设 km1 m1 km2 m2 kn n
l11 l2 2 lm m
4 1
1 3
123
1 0 0 0
1 1 0 0
13 00
这几列是否在R(A)中？是R(A)的基吗？
不在， PA B, B的列不是A的列的线性组合.
18
i 1
(x1 y1, , xn yn )T X Y ( ) ( )
n
定(k理) 17(： kVxni(i )F )k同 X 构 k(于 ).F n.
3
i 1
同构映射的性质：
(1)（0） ， （0） （0 ） 0 （） ( ) （） （ ） （1） 1（） （）.
(2)同构映射保持线性关系不变.
6
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
n
n
( kii ) ki (i )
对任i Vn (F ),ki F
i1
i1
i 1, , n
(3)设1, ,n是V1中向量,则
V2中向量 (1), , (n )线性相(无)关
1, ,n线性相(无)关.
4
proof : 是双射 （） 0仅当 0成立。
(k11 knn ) 0 k11 knn 0 k1(1) kn(n ) 0
第十四讲
线性空间的同构； 商空间
总结讲评
1
§5 线性空间的同构 定义11：设V1与V2是域F上的两个线性空间，
如果存在从V1到V2的双射 , 满足
(1)( ) ( ) ( ), , V1 (2)(k ) k( ), V1, k F 则称是同构映射, 此时称V1与V2是同构的.
exp1: 三维几何空间 R3