生物统计学 第4讲 数字特征

n=10;p=0.3
4
6
8
10
n=10;p=0.4,n=k
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2 4 6 8 10 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 2
n=10;p=0.5
4
6
8
10
• 二项分布的方差随p的变化（李新飞）
23
X ~ B ( n, p )
0.6 0.5
D( X ) = np(1 − p )
p=0.05
0.4
p=0.4
0.3
0.2
0.1
0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
• 二项分布的方差随p的变化
24
X ~ B ( n, p )
0.6
D( X ) = np(1 − p )
0.6
n=5, p=0.2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.6 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
D( X ) = 1.32 ×0.1 + 0.32 × 0.7 + 1.7 2 ×0.2 = 0.81
例2
9
−1 0 2 X : 0.1 0.7 0.2
D( X ) = E ( X − E ( X )) 2 = E ( X ) − ( E ( X ))
2 2
D( X ) = (−1 − 0.3) 2 ×0.1 + ( 0 − 0.3) 2 ×0.7 + (2 − 0.3) 2 ×0.2 = 0.81
例2
10
在一个人数为N的人群中普查某种疾病，为此要抽 验N个人的血.如果将每个人的血分别检验，则共需检 验N次. 为减少工作量，一位统计学家提出新的方案：k个人 为一组，把同组k个人的血样混合后检验. • 如果混合血样呈阴性反应，就说明这k个人都无此 疾病，这k个人只要检验这1次就够了； • 如果混合血样呈阳性反应，说明这k个人中至少有 一个人有此疾病，则此k个人的血样再分别进行检 验，这k个人检验k＋1次. k=? 例3 最佳普查方案（P54，例2.7）
例3
12Hale Waihona Puke Baidu
1 E ( X ) = 1 − (1 − p ) + k
k
p=0.1
2 E (X ) 0.6900 k 3 0.6043 4 0.5939 5 0.6095 8 0.6945 10 0.7513 30 0.9909 33 0.9994 34 1.0016
p=0.01
2 E (X ) 0.5199 k 5 0.2490 10 0.1956 11 0.1956 12 0.1969 100 0.6440 635 0.9999 650 1.0001
n=15, p=0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
n=20, p=0.2
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0
11
X为该人群中每个人需要的验血次数. 假设此疾病的患病率为p. X 概率 1/k
(1 − p)k
1＋1/k
1 − (1 − p)k
1 1 k E ( X ) = × (1 − p ) + (1 + ) × (1 − (1 − p ) k ) k k 1 k = 1 − (1 − p ) + k 1 1 k k 1 − (1 − p ) + < 1 (1 − p ) > k k
p=
1 2
三、常见随机变量的期望、方差
19
X ~ B ( n, p )
P ( X = k ) = C p (1 − p )
k n k
n− k
E ( X ) = ∑ xk pk
n
= ∑ kC p (1 − p )
k n k k =0
n−k
2.二项分布
20
X ~ B ( n, p )
1 Yi = 0
i
+∞ −∞
xf ( x )dx
连续型随机变量的数学期望
14
D( X ) = E ( X − E ( X )) = ∫
2
+∞ −∞
( x − E ( X )) f ( x )dx
2
= E ( X ) − ( E ( X )) = ∫
2 2
+∞ −∞
x f ( x )dx − ( E ( X ) )
E ( X ) = −1× 0.1 + 0× 0.7 + 2× 0.2 = 0.3
( X − E ( X )) 2 :
(−1 − 0.3) 2 0.1 (0 − 0.3) 2 0.7 1.32 (2 − 0.3) 2 = 0.2 0.1 0.32 1.7 2 0.7 0.2
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) Q P ( AB ) = P ( A) P ( B )
0.7 = 0.4 + P ( B ) − 0.4 P ( B )
P ( A B ) = P ( A)
课堂练习key2
5
•位置：期望 中位数 众数 •变异：方差（标准差） 全距 变异系数
X P
0 1 -p
1 p
E ( X ) = 0 × (1 − p ) + 1 × p = p
D( X ) = E ( X − E ( X ))
2
2
= (0 − p ) × q + (1 − p ) × p
2
= p q + q p = pq
2 2
1 1 max ( p(1 − p ) ) = (1 − ) 2 2
课堂练习
2
1：假设男生女生出生机会相同。已知一个家庭 有3个孩子，其中一个是女孩。求该家庭中 至少有一个男孩的概率 6/7 .
男男男 女男男 男女男 男男女 男女女 女男女 女女男 女女女
课堂练习key1
3
2：已知P(A)=0.4，P (A∪B)=0.7 (1)若A、B互不相容，则P (B) = 0.3 ； P ( A B) = 1 ；
n=25, p=0.2
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
• 二项分布的方差随n的变化
25
X ~ B ( n, p )
0.6 0.5
D( X ) = np(1 − p )
n=5
0.4
n=20
0.3
0.2
1
1：假设男生女生出生机会相同。已知一个家庭有3个 孩子，其中一个是女孩。求该家庭中至少有一个男孩 . 的概率 2：已知P(A)=0.4，P (A∪B)=0.7 (1)若A、B互不相容，则P (B) =
P ( A B) =
； ； ； .
(2)若A、B相互独立，则P (B) = P ( A B) = 学号+姓名
2 2 i
= E ( X ) − ( E ( X )) = ∑ x pi − ( E ( X ) )
2 2 2 i i
2
X cm E(X) cm D(X) cm2
X kg E(X) kg D(X) kg2
一、数学期望和方差
7
0.8 0.7 0.7
X -1 1 P 0.7 0.3
0.6 0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 0 -2 -1
在第i次试验时事件A发生 在第i次试验时事件A不发生
Yi服从两点分布，相互独立 E(Yi)=p, D(Yi)=pq X=Y1+Y2+…+Yn
二项分布=n个独立的两点分布的和
21
X~B(n,p)
X=X1+X2+…+Xn E(X) =E (X1+X2+…+Xn) =E (X1) +E(X2 ) +…+E(Xn) =np D(X) =D(X1+X2+…+Xn) =D(X1) +D(X2 ) +…+D(Xn) =npq
p 0.14 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0.01 k 3 4 4 5 6 8 11 E (X ) 0.6973 0.5939 0.5336 0.4661 0.3839 0.2742 0.1956
例3
13
E ( X ) = ∑ xi pi = lim ∑ xi Si
i i
= lim ∑ xi f ( xi )∆x = ∫
2 ( − 1) X2 : 0.1
1 0 4 0 2 22 = 0.7 0.2 0.1 0.7 0.2
E ( X 2 ) = 1×0.1 + 0×0.7 + 4×0.2 = 0.9 E ( X 2 ) − ( E ( X )) 2 = 0.9 − 0.32 = 0.81
P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( AB ) Q P ( AB ) = 0
0.7 = 0.4 + P ( B ) − 0
P ( AB ) P ( B ) P ( A B) = = =1 P ( B) P ( B)
课堂练习key2
4
2：已知P(A)=0.4，P (A∪B)=0.7 (2)若A、B相互独立容，则P (B) = 0.5 ； P ( A B) = 0.6 .
Q D( X ) = E ( X − E ( X )) 2
= D( X ) ± 2COV ( X , Y ) + D(Y )
ρ XY
COV ( X , Y ) = D( X ) D(Y )
= D( X ) + D(Y ) ± 2 ρ XY D( X ) D(Y )
代数和的方差△
18
1.两点分布(0-1分布)
X P
0.5 0.4 0.4 0.3 0.3 0.2 0.2 0.1 0.1 0.0
0 0.008
1 0.076
2 0.265
3 0.411
4 0.240
2.1e −2.1 x f ( x) = 0
x≥0 x<0
0
1
2
3
4
第五节 随机变量的数字特征
6
E ( X ) = ∑ xi pi
i
D( X ) = E ( X − E ( X )) = ∑ ( xi − E ( X ) ) pi
D(Y ) = 2 D( X )
2
0.8 0.7 0.7 0.6 0.5
Y P
-2 2 0.7 0.3
0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 0 -2 -1 0 1 2
例4 2X的方差
17
D( X ± Y ) = E ( X ± Y − E ( X ± Y ) )
记：µ X = E ( X ), µY = E (Y )
2
2
连续型随机变量的方差
15
E(C)＝C E(aX＋b)＝aE(X)＋b E(X±Y)＝E(X)±E(Y) D(C)＝0 D(aX+b)＝a2D(X) X、Y独立：D(X±Y)=D(X)+D(Y)
二、期望、方差的性质
16
0.8
1 X -1 P 0.7 0.3
Y = 2X
0.7 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.3 0.2 0.1 0 -2 -1 0 1 2
二项分布的数学期望、方差
22
X ~ B ( n, p )
n=10;p=0.1
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0
D( X ) = np(1 − p )
n=10;p=0.9
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -0.1 0
2
4
6
8
10
2
4
6
8
10
n=10;p=0.2
0.5 0.3 0.1 -0.1 0 2 4 6 8 10 0.5 0.3 0.1 -0.1 0 2
2
= E ( ( X − E ( X )) ± (Y − E (Y )) )
2
= E ( ( X − µ X ) 2 ± 2( X − µ X )(Y − µY ) + (Y − µY ) 2 )
Q E ( X + Y ) = E ( X ) + E (Y )
= E ( X − µ X ) 2 ± 2 E ( ( X − µ X )(Y − µY ) ) + E (Y − µY ) 2
0.1
0.0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
• 二项分布的方差随n的变化
a
0
1
2
0.7(a − (−1)) = 0.3(1 − a )
a (0.7 + 0.3) = (−1) ⋅ 0.7 + 1 ⋅ 0.3
a = E( X )
数学期望=直方图质心的横坐标 例1
8
−1 0 2 X : 0.1 0.7 0.2
D( X ) = E ( X − E ( X )) 2