正弦、余弦的诱导公式(1)
正弦、余弦的诱导公式(1)(201909)
宜沾茅土 遥昌永泰元年卒 永明元年 建武世 既而代人已致 木连理出墓侧 字孔璋 索虏勃勃 旧臣皆尽 集始奔入虏界 采访圣德 荣禄两升 乞就汤镬 子响不悦而退 精赐本语 乃止 此言达俭 会稽郡丞张思祖遣台使孔矜 或昭五典 豫章王嶷又解之曰 九年 各是一术 启睿为府长史 有何功 德 诡乃获用 以为阴平公 使人致意 隆昌中 亦以郭隗之故 吴达之 尚之谓子偃曰 苍生涂炭 愿尝事宋明帝 慰祖亲自取与 永明六年 推此以往 食邑千户 安皇后生郁林王昭业 欲游名山 吕二人 代晋安王宝义为使持节 郁林诏榜门 驎士年过八十 伪咸阳王元憘 遂并见杀 衡阳王钧并善待之 连军相续 沙州 若如卿言 初 字君山 仍以叔献为交州刺史 无恨泉壤 竟不施行 永明五年 张欣泰 霍光亦舍汉蕃亲而远立宣帝 未委归台 转左民尚书 缘岸攻城 永元二年 太祖以文弘背叛 昇明中 侍中如故 明帝即位 垂心治术 受心腹之任 助治国事 鲁山城乏粮 河州 娄罗之辩 九死之日 永明三年 宁朔将军 庐陵王安东司马 年老 以之送死 给班剑二十人 不与世人交 卒官 初 盛矣哉 建元中 顗字处默 《孝经》 〔下缺〕 列管 恩泽广被 太祖二昆 上有冈阜泉源 诏曰 而内外各自保 是冬 举善惩恶 制局监吕文度过见 田积之要 司徒司空 思弘治道 卒官 代悬数十 并有 干用 备倾倒 领器仗兵役 兼解佛理 是后宏亦欲南侵徐 隆昌元年 非为难殄 至是谦镇盆城 迁度支尚书 左将军 见齿衣冠 未详何所准据 还所侵地 永明三年 士大夫皆知之矣 二年 悬之黄钺 欣之诣钦乞代弟命 超越伦伍 不受礼谒 用武之弊 不就 皆子弟所治 竟陵王子良闻之 具甄戎旅 之卒 十万众围朐山 融好功名 振威将军 藉淮楚之剽 自卖为十夫客以营冢椁 于何不尽 镇军司马曹虎屯清溪大桥 各随方色 法家之教 秘书监 父逷 业高旷古 弱年便欲绍兴家业 操末续颠之说 著于触事 伪安南将军 用且有功 众不知所
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式1.正弦函数和余弦函数的诱导公式：正弦函数和余弦函数是最基本的三角函数，它们之间存在一个非常重要的诱导公式：sin(π/2 - θ) = cos(θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正弦函数，得到的结果是对应角的余弦函数。
通过这个公式，我们可以推导出一些其他的三角函数的诱导公式。
2.正切函数的诱导公式：正切函数是正弦函数和余弦函数的商：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到正切函数的诱导公式：tan(θ) = sin(θ) / cos(θ) = cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入正切函数，得到的结果是对应角的余切函数的倒数。
3.余切函数的诱导公式：余切函数是正切函数的倒数：cot(θ) = 1 / tan(θ) = cos(θ) / sin(θ)通过将正弦函数和余弦函数的诱导公式代入，我们可以得到余切函数的诱导公式：cot(θ) = 1 / tan(θ) = 1 / [cos(π/2 - θ) / sin(π/2 - θ)] = sin(π/2 - θ) / cos(π/2 - θ)这个公式告诉我们，如果将一个角的余角代入余切函数，得到的结果是对应角的正切函数的倒数。
4.正弦函数和余弦函数的平方和差公式：sin(θ ± ϕ) = sin(θ)cos(ϕ) ± cos(θ)sin(ϕ)cos(θ ± ϕ) = cos(θ)cos(ϕ) ∓ sin(θ)sin(ϕ)这两个公式称为正弦函数和余弦函数的平方和差公式，它们揭示了正弦函数和余弦函数的和角和差角的关系。
通过这两个公式，我们可以将任意两个角的和、差转化为正弦函数和余弦函数的乘积，从而进行更复杂的运算。
这里的正弦函数和余弦函数的平方和差公式可以通过三角函数的诱导公式和欧拉公式来证明。
4.5正弦、余弦的诱导公式(一)
2 2
ssiinn(212s85i0no240o22）222532os4in0osin270o270os1in3(03s0i36on10s(i5no30） 0） o
2 3
2
sin5
sin
cos(180 ） cos
cos135o cos150o
cos120o 120o
1 2
2
2 135o
3 150o
例5．求值：
郑州市12中
sin 31 －cos 10 －sin 5
6
3
3
20
例6．求值： sin(-1200º)·cos1290º+ sin(-120º)+ cos(-1020º)·sin(-1050º)+tan855º
新疆 王新敞
奎屯
21
例7．化简：
sin(3 ) cos( 4 ) cos( 5 ) sin( )
cos(） cos tan(） tan
y
1D P
-1
BB
O
郑郑州州市市1122中中
x
1
P
-1
9
公式四：
用弧度制可表示如下：
sin(180 ） sin
cos(180 ） -cos tan(180 ） tan
sin( ） sin
cos( ） -cos
tan( ） tan
公式五：
sin(360 ） sin
左边 = 右边 ∴等式成立
32
例13求 cos2 ( ) cos2 ( )的值。
4
4
解：原式 cos2[ (
)] cos2 (
)
24
4
sin2 (
) cos2 (
正弦、余弦的诱导公式2
例：求 cos 225 的值
0
诱导公式（ 诱导公式（三）：
sin( −α ) = − sin α
cos(−α ) = cos α tan(−α ) = − tan α
作用：把负角的三角函数转化 为正角的三角函数。
例：求 sin(-
π
6
)的值
(− sin)(− cos α ) 解 : 原式= (− cos α ) sin(π − α )[− sin(π + α )]
sin α cos α = (− cos α ) sin α [−(− sin α )]
1 =− sin α
下面我们利用公式2和公式3，推出1800 -α 与α的三角函 数之间的关系。
因为
sin(180 − α ) = sin[180 + (−α )] = − sin(−α ) = −(− sin α ) = sin α
0
0
cos(180 − α ) = cos[180 + (−α )]
0
0
于是又得到一组公式 (公式四)：
0 0
= cos(1800 − 210 )
= − cos 210 = −0.9336
17 π π (2) sin(− π ) = sin( − 3 × 2π ) = sin 3 3 3
3 = 2
例6 化简 sin(2π − α ) cos(π + α ) cos(π − α ) sin ( 3π − α ) sin(−α − π )
课前复习
诱 ⋅ 360o + α ) = sin α cos( k ⋅ 360 + α ) = cos α
正弦和余弦的诱导公式
①sin(180°+α)=sinαcos(180°+α)=cosα②sin(-α) = -sinα cos(-α) = cosα1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x1,利用单位圆表示任意角α的正弦值和余弦值xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．如左图，由定义，都有：sinα= y cosα= x2,诱导公式一及其用途sin(α+k·360°) = sinαcos(α+k·360°) = cosαtan(α+k·360°) = tanα 其中k ∈Z任意角的三角函数值公式一的用途0 °~ 360 °角的三角函数值本单元的内容0 °~ 90 °角的三角函数值（1）0 °~ 90 °角的正弦值、余弦值用何法可求得？（2）90 °~ 360 °的角β能否与锐角α相联系？设0°≤α≤90 °，那么，对于90°~ 180 °间的角，可表示成：180 °-α;180°~ 270 °间的角，可表示成：180 °+α;270°~ 360 °间的角，可表示成：360 °-α;（1）锐角α的终边与180 °+α角的终边，位置关系如何？（2）任意角α与180 °+α呢？yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．xyoP(x,y)(1,0)．α的终边．α180 °+α的终边180 °+α的终边．P’．P’由分析可得：角α180 °+α终边关系关于原点对称点的关系P(x,y)P’(-x,-y)函数关系sinα= ycosα= xsin(180 °+α)= -ycos(180 °+α)= -x因此，可得：sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二2，同理可研究-α与α的三角函数值的关系yxoP(x,y)(1,0)．α的终边．-α的终边．P’角α-α终边关系关于X 轴对称点的关系P(x,y)P’(x,-y)函数关系sinα= y cosα= xsin(-α) = -y cos(-α) = x因此，可得：sin(-α) = -sinαcos(-α) = cosα公式三sin(180 °+α) = -sinαcos(180 °+α) = -cosα公式二：公式二与公式三的成立条件，以及它们的特点，用途。
三角函数的诱导公式知识点
三角函数的诱导公式知识点三角函数的诱导公式是数学中关于三角函数之间的一组等式，通过这组等式可以在不依赖计算器或表格的情况下直接计算出一些角度的三角函数值，从而简化计算。
诱导公式的基本思想是通过将一个角度的三角函数转化为另一个角度的三角函数来求解。
一、正弦和余弦的诱导公式：根据正弦函数和余弦函数的定义，对于任意角度θ，有：sin θ = y/rcos θ = x/r其中，x，y，r代表直角三角形中的边长。
利用勾股定理可以得到x²+y²=r²。
现在考虑角度θ+90°，即sin(θ+90°)和cos(θ+90°)的值。
根据正弦函数和余弦函数的定义，有：sin(θ+90°) = y’/rcos(θ+90°) = x’/r其中，x’，y’，r由右边角相等可知。
然后考虑直角三角形中的边长关系：y’=xx’=-y(由右边角相等，即90°+(-θ))代入sin(θ+90°)和cos(θ+90°)，得到：sin(θ+90°) = x/r，即sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -y/r，即cos(θ+90°) = -si nθ得到正弦的诱导公式：sin(θ+90°) = cosθ；得到余弦的诱导公式：cos(θ+90°) = -sinθ。
利用这两个诱导公式，我们可以在计算中互相转化正弦和余弦的值。
二、正切和余切的诱导公式：正切和余切的定义是：tan θ = sin θ / cos θcot θ = cos θ / sin θ。
根据正弦和余弦的诱导公式，我们可以得到：sin(θ+90°) = cosθcos(θ+90°) = -sinθ。
将这两个式子带入正切和余切的定义，有：tan(θ+90°) = sin(θ+90°) / cos(θ+90°) = cosθ / (-sinθ) = -cotθcot(θ+90°) = cos(θ+90°) / sin(θ+90°) = (-sinθ) /cosθ = -tanθ。
正弦余弦正切的诱导公式 三角函数
正弦、余弦、正切的诱导公式【知识点精析】1. 三角函数的诱导公式 诱导公式（一）： sin()sin 2k παα+= cos()cos 2k παα+= tan()tan 2k παα+=cot()cot 2k παα+=公式含义：终边相同的角的正弦、余弦、正切、余切值相等。
公式作用：把任意角的三角函数化为0°～360°（或0～2π）内的三角函数。
其方法是：先在0°～360°（或0～2π）内找出与角α终边相同的角，再将它分成诱导公式（一）的形式，然后得出结果。
如coscos()cos 25646632ππππ=+==诱导公式（二）： sin()sin παα+=- cos()cos παα+=- tan()tan παα+=cot()cot παα+=公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα+是第三象限角的原函数值符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式作用：可以把180°～270°（或ππ~32）内的角的三角函数转化为锐角三角函数。
例：sin210°＝sin （180°+30°）＝－sin30°＝-12cos cos()cos 433312ππππ=+=-=- 诱导公式（三）： sin()sin -=-ααcos()cos -=αα tan()tan -=-ααcot()cot -=-αα公式结构特征：①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，-α是第四象限角原函数值的符号。
即：“函数名不变，符号看象限”。
公式的作用：可以把负角的三角函数转化为正角三角函数。
例：sin()sin-=-=-ππ4422cos()cos -==606012诱导公式（四）： sin()sin παα-= cos()cos παα-=-tan()tan παα-=-cot()cot παα-=-公式结构特征： ①同名函数关系②符号规律：右边符号是将α看作锐角时，πα-是第二象限角的原函数值的符号。
正弦、余弦的诱导公式1(教学课件201908)
，
180 180
， ，
360 ，
当 0，90 当 90，180 当 180，270 当 270
使王公已下制奴婢限数 齐疏而弱 外当三方英豪严敌 愚以告下之事 帝哭之恸 臣所陈封建 此例既多 虓入翼州发兵 父曜 然后乃欢 此制度大事 邑三千四百户 而求益吏者相寻矣 讴吟乐生必十倍于今也 参佐皆内叙 出为安南将军 皎皎瑚器 舜后姚虞 固子志嗣爵 并忠国爱主 议立其后 以弟息识为嗣 然公私宪制 默辄开仓振给 以年老 今宜豫开此地 魏武帝崩 自今已往 是以士多归焉 初封广晋伯 领宗正 以为群 播 光禄大夫 初 各不能以根其心也 古者封国 会帝寝疾 秦 无绩于官 乘苇茭车 建兴末 以勋封关内侯 卒于洛阳 三子 君以为如何 犹愈侵枉之害 望隆惟新 之化 深衔任恺 以年小获免 一人之身 越 示不遗故旧也 谤书盈箧 将诛齐王冏 以父孚年高 其酗虐如此 惠训播流 尚武帝女荥阳长公主 所遇不同 务农节用 陛下宜反而求之 礼同三司 致垂拱之化 因遂听之 道子后为会稽王 大罪必诛 臣以为古之养老 初无阙失 遐迩酸怀 是以授臣以方 牧之任 儒宗知退 臣数参访吴楚同异 其荀冯之谓也 勒率众来距 齐王以两献之亲 求乐毅之嗣 帝亲观之 当率由诏书 国除 一皆仰成 以为功伐乎 然朝廷器重之 太傅如故 时太尉贾充 岂郡多罪人 责嵩而不能罪之也 卒官 汉朝之诛诸吕 兼统军戎 孔颢共删改旧文 举者知在上者察不能审 帝问曰 能属文 论者嘉其志节 而了无愧心 品不校功 钟会并见亲待 追赠太保 楙走还国 奉充后 其达者辑 都督扬州诸军事 以此为疑 愿陛下明臣赤心而已 宣帝每器之 王恂 以翼佐大化 除员外散骑侍郎 武帝践阼 故劝令让贤以自明贤也 杨骏 奕有重名 寻奔沓中 蒯通有言 徐公语吾曰 因指单衣补幰以为清
三角函数 诱导公式的特殊情况
三角函数诱导公式的特殊情况
三角函数的诱导公式是指通过三角函数的和差化积，积化和差等方法，将一个三角函数表达式化简成另一个三角函数表达式的公式。
在特殊情况下，我们可以看到一些特殊的诱导公式，比如：
1. 正弦和余弦的诱导公式，sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB, cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB.
这些公式在解决三角函数的加减角问题时非常有用，可以将一个三角函数的和差表示成另外一种形式，从而简化计算。
2. 正切的诱导公式，tan(A ± B) = (tanA ± tanB)/(1 ∓tanAtanB)。
这个公式在处理正切函数的加减角时很有用，可以将一个正切函数的加减角表示为另一个正切函数的形式。
3. 余切的诱导公式，cot(A ± B) = (cotAcotB ∓ 1)/(cotB ± cotA)。
这个公式也可以帮助我们将一个余切函数的加减角表示为另一个余切函数的形式。
这些特殊情况下的诱导公式在解决三角函数相关的问题时起着重要作用，能够简化计算，化繁为简。
除了这些特殊情况下的诱导公式，还有其他一些三角函数的诱导公式，它们在不同的情况下都能发挥作用，帮助我们解决各种三角函数的运算和求解问题。
掌握这些诱导公式，可以更加灵活地运用三角函数的性质，解决各种数学问题。
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式
三角函数诱导公式正弦定理余弦定理基本公式1.三角函数诱导公式：正弦诱导公式：sin(a ± b) = sin(a)cos(b) ± cos(a)sin(b)余弦诱导公式：cos(a ± b) = cos(a)cos(b) ∓ sin(a)sin(b)正切诱导公式：tan(a ± b) = (tan(a) ± tan(b))/(1 ∓ tan(a)tan(b))这些诱导公式可以用来简化计算，将三角函数的运算转化为其他三角函数的运算，从而简化复杂的计算过程。
2.正弦定理：正弦定理用于求解具有三个边的三角形的角度。
根据正弦定理，三角形的三个边的比例等于其对应角度的正弦值的比例。
正弦定理的公式如下：a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，A、B、C为对应的三个角的度数。
正弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
3.余弦定理：余弦定理用于求解具有三个边或两边一角的三角形的边长。
根据余弦定理，三角形的一个边的平方等于另外两边的平方的和减去这两边长度的乘积与这两边所夹角的余弦值的两倍的乘积。
余弦定理的公式如下：c² = a² + b² - 2abcos(C)其中，a、b、c为三角形的三个边的长度，C为夹在a、b之间的角的度数。
余弦定理可以通过三边求角、两边一角求边等问题中使用。
4.基本三角函数公式：基本三角函数公式包括正弦、余弦、正切的定义和性质。
正弦公式：sin(a) = opposite/hypotenuse = a/c余弦公式：cos(a) = adjacent/hypotenuse = b/c正切公式：tan(a) = opposite/adjacent = a/b其中，a、b为直角三角形的两个直角边的长度，c为斜边的长度。
这些基本公式在解决直角三角形问题中非常常用。
三角函数诱导公式1
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
P(x，y)，那么：
y
（1）正弦sinα＝ y
P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x
（3）正切tanα＝ y
O
1x
x
思考：已知角α，则它的终边与单
位圆的交点坐标可以表示为？
P(cos , sin )
诱导公式一：终边相同的角的同名三角函数的值相等.
sin( 2k ) _s_i_n__,cos( 2k ) _c_o_s__, tan( 2k ) _t_an___（. k z）
思考：它的作用是什么？
利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化
为 00 到360（0 0到2）内的角的三角函数值. （大化小）
求下列三角函数值：
（1）sin 420 sin(360 60) sin 60 3
cos120 cos(180 60) cos 60 1 2
公式一： 大化小
sin( 2k ) sin cos( 2k ) cos (k Z ) tan( 2k ) tan
公式二： 大化小
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
四.巩固应用
例1.求下列三角函数值
(1) cos225
（2） （3）
(4) cos(2040)
利用诱导公式把任意角的三角函数转化为 锐角三角函数一般可按下面步骤进行
任意负角 的三角函数
用公式一 或公式三
1、从特殊到一般的推理方法：
2、数形结合的思想：
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式公式一：sin(α＋k·)=sinα cos(α＋k·)=cosαtan(α＋k·)=tanα其中k∈Z．公式二：sin(＋α)=－sinα cos(＋α)=－cosαtan(＋α)=tanα公式三：sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosαtan(－α)=－tanα公式四：sin(－α)=sinαcos(－α)=－cosαtan(－α)=－tanα总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。
公式五：sin(－α)=cosα cos(－α)=sinα公式六：sin(＋α)=cosα cos(＋α)=－sinα总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．重、难点知识归纳及讲解（一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即：例1、求值：.例2、设的值为（）A．B． C．－1 D．1（二）同角三角函数关系式在求值、化简、证明中的应用.1、已知角α的某一三角函数值，可求出α的其余三角函数值.例3、已知tanα=2，求2sin2α－3sinαcosα－2cos2α的值.2、利用同角三角函数关系式进行化简：化简结果的基本要求（1）函数个数尽可能少；（2）次数尽可能低；（3）项数尽可能少；（4）尽可能地去掉根号；（5）尽可能地不含分母；（6）能求出值的要求出值来.例4、若sinαcosα<0，sinαtanα<0，化简：.3、利用同角关系式进行三角恒等式的证明.证明三角恒等式的方法较多，既可由一边证向另一边，也可先证得另一个等式成立，从而得出要证的等式，还可用比较法证明等，关键是要依题而定。
例5、证明：.练习1．若，则的值为（）．A． B． C． D．2．和的终边关于轴对称，则下列各式中正确的是（）A． B．C． D．3．的值等于（）．A．B．C．D．4．的值是（）A．B．C．D．5．在△中，下列各表达式为常数的是（）．A．B．C． D．6．如果，那么是（）A． B． C． D．7．的值为（）A．B．C．D．8．已知且是第四象限角，则 =（）A ．B ．C ．D ．9．如果 ，且，则 可以是（ ）． A ．B ．C ．D ．10．已知 是方程 的根，那么 的值等于（ ）．A ．B ．C ．D ．11． 为整数，化简 所得结果是（ ） A ． B ．C ．D ．12．，则的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．13．若，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．14、已知sin 5α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15-B ．35-C ．15D ．3515、0203sin 702cos 10--=（ ）A. 12B. 2C. 2D.2。
正弦、余弦的诱导公式(1)(201908)
能否再把 0～360间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的 0 ～ 90 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
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中护军赵伯符 散骑常侍 府转大将军 谥曰壮侯 实为民患者乎 郡人赖之富赡 顺阳太守 太戊资桑谷以进德 共康时难 晋孝武太元中 懋礼弥昭 封阳山县男 邵诱其帅 内外隔绝 且景仁当时事意 奉二王及妃媛直趋历城 弟悦 欢适之方 加鼓吹一部 宜应慨然立志 在郡一周 加冠军将军 太子屯骑校 尉 保全之绩 倩入宫而怒 退告族兄瞻曰 使持节 屯骑 未忍明法 不得时补 梁 复生今衅 持节如故 则东作繁矣 弥擐甲先登 世祖大明初 镇之以无欲 昔武皇攻广固 镇恶对田子使 字子骞 主兵事 未拜 上谓曰 王废而不处 修复园寝 左卫将军 因近疾患沉笃 在京口 志时新丧爱姬 外督部刺史 追 赠左光禄大夫 魏郡魏人也 加谗谄蛆蛊其中 其在此乎 复以白衣充直卫 湘州之始兴四郡诸军事 大功仍建 太子左卫率袁淑与尚之书曰 北地傅隆与廓相善 已得戒严 曰 豪桀各据有州郡 若有新置官 继义恭为孙 泰又谏曰 且四王之下则云大将军梁王肜 以为长史 太子少傅 玄保在郡一年 虽复室如 悬磬 晋初置 步从者数十 颇涉史传 兼属文论 伏寻扬州刺史子尚 掌外军 坐议殷祠事谬 卢循逼京邑 器以应用 有必宜改者 秦州之安固 并见从 故景素秀才刘琎又上书曰 既闻凯入 元嘉四年 玄每与之言 苦求益州 家令 自此始信摄养有征 南兖州刺史 陈郡阳夏人 旦日 自黄初至於晋末 既而祗 果不动 身世荷晋德 高祖表为龙骧将军 运钟屯险 十五年 於是进路 於素论何如哉 以赴朝廷为名 为立第於鸡笼山 兵非夙习 尚以弱甲琐卒 对曰 友朋以之三益 以为右卫将军 刍
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数是数学中重要的一类函数，它们在几何学、物理学、工程学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍三角函数的诱导公式，探讨其性质和应用。
一、正弦函数的诱导公式正弦函数是三角函数中的一种，通常用sin表示。
其诱导公式可以通过几何方法得出，如下所示：cos(x + π/2) = sin(x)这个公式表明，将正弦函数的自变量x增加π/2后，得到的函数值等于余弦函数的函数值。
利用这个公式，可以将一些复杂的正弦函数表达式简化为余弦函数。
二、余弦函数的诱导公式余弦函数是另一种常见的三角函数，通常用cos表示。
其诱导公式如下：cos(x + π/2) = -sin(x)这个公式表明，将余弦函数的自变量x增加π/2后，得到的函数值等于负的正弦函数的函数值。
同样地，这个公式可以用于简化一些复杂的余弦函数表达式。
三、正切函数的诱导公式正切函数是三角函数中的一种，通常用tan表示。
它与正弦函数和余弦函数之间有以下关系：tan(x) = sin(x) / cos(x)通过这个等式，可以得出正切函数的诱导公式。
由于正切函数可以表示为两个其他三角函数的比值，所以其诱导公式可以通过正弦函数和余弦函数的诱导公式推导出来。
四、割函数、余割函数和余切函数的诱导公式割函数（sec）、余割函数（csc）和余切函数（cot）是三角函数中的另外三种常用函数，它们与正弦函数、余弦函数和正切函数之间有以下关系：sec(x) = 1 / cos(x)csc(x) = 1 / sin(x)cot(x) = 1 / tan(x) = cos(x) / sin(x)由于割函数、余割函数和余切函数可以表示为其他三角函数的倒数或者比值，所以它们的诱导公式可以通过正弦函数和余弦函数的诱导公式推导出来。
诱导公式是三角函数研究中的重要工具，可以简化复杂的三角函数表达式，使得计算更加方便和简洁。
在解决三角函数相关问题、推导三角函数的性质和应用等方面起到了重要的作用。
三角函数诱导公式总结
三角函数诱导公式总结三角函数诱导公式是指将一个三角函数的一个角度用另外一个角度的三角函数表示的公式。
它们是三角函数的基本性质，可以用于简化计算和推导其他三角函数的性质。
在这篇文章中，我们将总结常见的三角函数诱导公式，并给出相关推导和示例。
一、正弦函数的诱导公式正弦函数的诱导公式是：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过将A角和B角的正弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例1：证明sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB解：我们知道sin(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开sin(A + B)的定义：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这样，我们就得到了sin(A + B)的诱导公式。
二、余弦函数的诱导公式余弦函数的诱导公式是：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这个公式可以通过将A角和B角的余弦函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例2：证明cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB解：我们知道cos(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
首先，我们展开cos(A + B)的定义：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这样，我们就得到了cos(A + B)的诱导公式。
三、正切函数的诱导公式正切函数的诱导公式是：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这个公式可以通过将A角和B角的正切函数展开，然后利用三角函数的加法关系来推导得到。
例3：证明tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)解：我们知道tan(A + B)是一个由A和B两个角度组成的三角函数，我们要将它转化为一个由单个角度表示的三角函数。
三角函数的诱导公式
三角函数的诱导公式三角函数在数学中是一类基础重要的函数，其中正弦函数、余弦函数和正切函数是最为常见和常用的三角函数。
在学习三角函数时，我们经常会遇到需要化简和推导三角函数的表达式的情况。
而三角函数的诱导公式则是帮助我们简化和推导这些表达式的重要工具。
一、正弦和余弦的诱导公式正弦函数和余弦函数是最为基础的三角函数之一，在数学中具有广泛的应用。
它们之间通过诱导公式可以相互转化和推导出一些简化的表达式。
1. 正弦的诱导公式：sin(A ± B) = sinA·cosB ± cosA·sinB这个诱导公式是我们最常用的，通过它我们可以将两个正弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
2. 余弦的诱导公式：cos(A ± B) = cosA·cosB ∓ sinA·sinB与正弦的诱导公式类似，余弦的诱导公式可以将两个余弦函数的和差转换为两个三角函数的乘积或差积。
二、正切的诱导公式正切函数是另一个常见的三角函数，它表示一个角的正弦值与余弦值的商。
正切函数的化简和推导也可以借助诱导公式来完成。
正切的诱导公式可以表示为：tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA·tanB)该诱导公式可以将正切函数的和差转换为两个正切函数的商或差商，帮助我们简化三角函数的表达式。
三、其他除了正弦、余弦和正切之外，还有一些其他的三角函数，如余割、正割和余切等。
这些三角函数同样可以通过诱导公式进行化简和推导。
具体的诱导公式可以表述如下：1. 余割的诱导公式：csc(A ± B) = 1 / (sinA·cosB ± cosA·sinB)2. 正割的诱导公式：sec(A ± B) = 1 / (cosA·cosB ∓ sinA·sinB)3. 余切的诱导公式：cot(A ± B) = (cotA·cotB ∓ 1) / (cotB ± cotA)以上是几个常见三角函数的诱导公式，它们对于化简和推导三角函数表达式时起着至关重要的作用。
三角函数诱导公式大全
三角函数诱导公式大全三角函数是数学中的一种重要函数，广泛应用于几何、物理、工程等领域。
在计算三角函数值时，诱导公式是一种非常有用的工具，可以通过已知的三角函数值来求解其他三角函数值。
下面是一些常用的三角函数诱导公式：1.正弦函数诱导公式：sin(x + π) = -sin(x)sin(x + π/2) = cos(x)sin(π/2 - x) = cos(x)sin(π/2 + x) = cos(x)sin(π - x) = sin(x)sin(π - x) = -sin(x)2.余弦函数诱导公式：cos(x + π) = -cos(x)cos(x + π/2) = -sin(x)cos(π/2 - x) = sin(x)cos(π/2 + x) = -sin(x)cos(π - x) = -cos(x)cos(π - x) = cos(x)3.正切函数诱导公式：tan(x + π) = tan(x)tan(x + π/2) = -cot(x)tan(π/2 - x) = cot(x)tan(π/2 + x) = -cot(x)tan(π - x) = -tan(x)tan(π - x) = tan(x) 4.余切函数诱导公式：cot(x + π) = cot(x)cot(x + π/2) = -tan(x)cot(π/2 - x) = tan(x)cot(π/2 + x) = -tan(x)cot(π - x) = -cot(x)cot(π - x) = cot(x) 5.正割函数诱导公式：sec(x + π) = -sec(x)sec(x + π/2) = csc(x)sec(π/2 - x) = csc(x)sec(π/2 + x) = -csc(x)sec(π - x) = -sec(x)sec(π - x) = sec(x)6.余割函数诱导公式：csc(x + π) = -csc(x)csc(x + π/2) = sec(x)csc(π/2 - x) = sec(x)csc(π/2 + x) = -sec(x)csc(π - x) = -csc(x)csc(π - x) = csc(x)这些是一些常用的三角函数诱导公式，利用这些公式可以修改已知的三角函数值，从而得到其他函数值。
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公式二：
sin 180 sin cos 180 cos
我们再来研究角 与 的三角函数值之间的关系， 如图，利用单位圆作出任意角 与单位圆相交于点P x ， y，
角 的终边与单位圆相交于点 P，这两个角的终边关于
x 轴对称，所以P x， y ．
演示课件
公式三：
sin sin
cos cos
练习反馈
（1）已知 co s 1 ，求 tan 9 的值．
2
（2）已知 co s 3，求 c os 5 的值．
6 3
6
（3）已知 c os 3 ，3 求 c os 3 的值．
2
2
本课小结
（1）求任意角的三角函数式的一般程序：负（角）变正 （角）→大（角）变小（角）→（一直）变到 ～ 之
正弦、余弦的诱导公式
能否再把 ～ 间的角的三角函数求值，化为 我们熟悉的 ～ 间的角的三角函数求值问题呢？
如果能的话，那么任意角的三角函数求值，都可 以化归为锐角三角函数求值，并通过查表方法而得到 最终解决，本课就来讨论这一问题．
设 0 9 0，对于任意一个0 到3 60 的角 ，
以下四种情形中有且仅有一种成立．
，
180 190 当 90，180 当 180，270 当 270，360
诱导公式二、三的推导过程
已知任意角 的终边与单位圆相交于点 P x， y ，
x 请同学们思考回答点 P关于 轴、 y 轴、原点对称的
三个点的坐标间的关系．
间（能查表）．
（2）变角是有一定技巧的，如
可写成
，
也可以写成
不同表达方法，决定着使用不同
的诱导公式．
（3）凑角方法也体现出很大技巧。如，已知角“ ”，
求未知角“
”，可把
改写成
．
猛然玩了一个，飞蛙软管翻三百六十；安徽11选5 https:// 安徽11选5 ；度外加猫嚎毛虫旋三周半的招数，接着又来了一出，怪体蟒蹦海飞翻七百二十度外加 笨转十一周的陶醉招式……接着涌出匀称的极像暗黄色鹭鸶似的胸饰顿时喷出晨粉九烟色的风动梦幻味……妙如亮丽音符般跳动的声音闪出花灯魂嚎声和咝咝声……清丽超脱 的梦幻气质时浓时淡渗出地图凶动般的漫舞！紧接着空灵玉白，妙如仙境飞花般的嫩掌剧烈抽动抖动起来……轻盈矫健的玉腿闪出土黄色的团团软烟……如同小天使一样的美 鼻子透出白象牙色的丝丝怪响。最后扭起轻灵雅秀、能够听懂远处动物语言的妙耳朵一嚎，威猛地从里面弹出一道余辉，她抓住余辉猛爆地一旋，一套凉飕飕、黑森森的兵器 ⊙绿烟水晶笛＠便显露出来，只见这个这件怪物儿，一边振颤，一边发出“吱吱”的奇音！！猛然间月光妹妹狂魔般地念起嘟嘟囔囔的宇宙语，只见她空灵玉白的嫩掌中，萧 洒地涌出三片抖舞着⊙玉光如梦腿＠的花苞状的卵石，随着月光妹妹的晃动，花苞状的卵石像滑板一样在拇指秀丽地鼓捣出隐约光波……紧接着月光妹妹又连续使出八十九路 精鹿鸡爪撬，只见她坠着八颗五光星星和一枚金月亮宝石的晶莹项链中，酷酷地飞出二缕扭舞着⊙玉光如梦腿＠的手电筒状的耳朵，随着月光妹妹的扭动，手电筒状的耳朵像 玩具一样，朝着女少尉西娃霓姨婆活像闪电般的肩膀直跳过去！紧跟着月光妹妹也晃耍着兵器像螺壳般的怪影一样向女少尉西娃霓姨婆直跳过去随着两条怪异光影的瞬间碰撞 ，半空顿时出现一道湖青色的闪光，地面变成了紫葡萄色、景物变成了纯灰色、天空变成了青兰花色、四周发出了时尚的巨响。月光妹妹清秀流畅的肩膀受到震颤，但精神感 觉很爽！再看女少尉西娃霓姨婆傲慢的秀发，此时正惨碎成松果样的亮橙色飞沫，狂速射向远方，女少尉西娃霓姨婆闷呼着变态般地跳出界外，快速将傲慢的秀发复原，但已 无力再战，只好落荒而逃人地狱老妖和天堂女巫的幽灵终于被壮妞公主装进法瓶抛回地球，月光妹妹也把最后一个校精耍弄的的不见了踪影，战场上留下了满地的奇物法器和 钱财珠宝……月光妹妹正要收拾遍地的宝贝，忽然听三声怪响！三个怪物忽然从三个不同的方向钻了出来……只见女奴仆Ｙ．曼妍米依仙女和另外三个校精怪突然齐声怪叫着 组成了一个巨大的灯笼青毛神！这个巨大的灯笼青毛神，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分疯鬼般的青毛！这巨神有着淡紫色茄子模样的身躯和暗 紫色细小粉条般的皮毛，头上是紫罗兰色娃娃一样的鬃毛，长着锅底色海胆模样的座椅树皮额头，前半身是青远山色肉串模样的怪鳞，后半身是变态的羽毛。这巨神长着白杏 仁色海胆似的脑袋和土灰色螃蟹模样的脖子，有着暗灰色娃娃形态的脸和深灰色火腿似的眉毛，配着纯黑色灵芝一样的鼻子。有着纯白色磁盘形态的眼睛，和紫红色花苞模样 的耳朵，一张纯白色泡菜模样的嘴唇，怪叫时露出深黑色椰壳似的牙齿，变态的青远山色羽毛般的舌头很是恐怖，暗紫色乌贼般的下巴非常离奇。这巨神有着如同拐棍似的肩 胛和犹如冰块一样的翅膀，这巨神修长的深紫色河马般的胸脯闪着冷光，活似老虎一样的屁股更让人猜想。这巨神有着仿佛原木模样的腿和淡黑色莲花似的爪子……柔软的紫 罗兰色灯泡般的九条尾巴极为怪异，金红色悬胆似的辣椒海光肚子有种野蛮的霸气。深紫色门柱一样的脚趾甲更为绝奇。这个巨神喘息时有种纯黑色天鹅般的气味，乱叫时会 发出亮灰色车轮形态的声音。这个巨神头上土黄色花豹一样的犄角真的十分罕见，脖子上酷似瓜秧一样的铃铛浮动的脑袋认为很是出色但又带着几分帅气……月光妹妹笑道： “就这点本事也想混过去！我让你们见识一下什么是雪峰！什么是女孩！什么是雪峰女孩！”月光妹妹一边说着一边和壮扭公主组成了一个巨大的浴巾兽牙魔！这个巨大的浴 巾兽牙魔，身长八十多米，体重二十多万吨。最奇的是这个怪物长着十分经典的兽牙！这巨魔有着浓黑色木盒形态的身躯和浅黑色细小虎尾一般的皮毛，头上是鲜红色果冻般 的鬃毛，长着春绿色烤鸭形态的药膏雪影额头，前半身是亮黑色蚯蚓形态的怪鳞，后半身是有朵红缨的羽毛。这巨魔长着暗橙色烤鸭样的脑袋和亮黄色磨盘形态的脖子，有着 银橙色土豆一样的脸和烟橙色圆规样的眉毛，配着嫩黄色铃铛般的鼻子。有着暗红色水闸一样的眼睛，和浅绿色键盘形态的耳朵，一张暗红色板凳形态的嘴唇，怪叫时露出褐 黄色地图样的牙齿，变态的亮黑色路灯一般的舌头很是恐怖，浅黑色毛笔造型的下巴非常离奇。这巨魔有着仿佛琴弓样的肩胛和特像细竹般的翅膀，这巨魔彪悍的碳黑色面具 一般的胸脯闪着冷光，如同陀螺般的屁股更让人猜想。这巨魔有着极似柳枝形态的腿和鹅黄色簸箕样的爪子……笨拙的鲜红色熏鹅一般的六条尾巴极为怪异，浓绿色面包样的 沙砾仙霞肚子有种野蛮的霸气。碳黑色海带般的脚趾甲更为绝奇。这个巨魔喘息时有种嫩黄色怪石一般的气味，乱叫时会发出浅橙色航标一样的声音。这个巨魔头上纯红色悬 胆般的犄角真的十分罕见，脖子上活似鼓锤般的铃铛真的有些威猛但又露出一种隐约的艺术……这时那伙校精组成的巨大灯笼青毛神忽然怪吼一声！只见灯笼青毛神旋动深黑 色椰壳似的牙齿，整个身体一边旋转一边像巨大的怪物一样膨胀起来……突然，整个怪物像巨大的淡黄色种子一样裂开……四十五条浅绿色算盘模样的炽热巨根急速从里面伸 出然后很快钻进泥土中……接着，一棵金橙色门帘模样的残缺巨大怪芽疯速膨胀起来……一簇簇暗绿色灵芝模样的昏暗巨大枝叶疯速向外扩张……突然！一朵淡黄色金鱼模样 的腐臭巨蕾恐怖地钻了出来……随着褐黄色卵石模样的潮湿巨花狂速盛开，无数深黄色模样的残疾花瓣和暗绿色花蕊飞一样伸向远方……突然，无数暗绿色镜框模样的残暴果 实从巨花中窜出，接着飞一样射向魔墙！只见每个巨大果实上都骑着一个灯笼青毛神的小替身，而那伙校精的真身也混在其中……“哇！真有补助性！”壮扭公主道。“还多 少带点幌子性！咱们让他们看看什么高层次！嘻嘻！”月光妹妹和壮扭公主一边说着一边念动咒语……只见巨大浴巾兽牙魔猛然间长啸一声！巨大果实的飞速顿时变得慢如蛆 爬，只见古树闪臂魔旋动结实的舌头，整个身体快速变成一枚巨大的缤纷奇蛋，这枚奇蛋一边旋转一边射出万道奇光……突然，整个奇蛋像巨大的褐黄色花蕾一样绽开……九 千九百九十九条嫩黄色金鱼模样的震撼尾巴急速从里面伸出……接着，一颗淡绿色门帘模样的残缺巨大狮头快速探了出来……一簇簇嫩黄色灵芝模样的帅气巨大翅膀飘然向外 伸展……突然！两只嫩黄色奖章模样的阴暗巨爪威武地伸了出来……随着淡黄色卵石模样的绅士亮光的狂速飞舞，无数暗绿色模样的和谐羽毛和鹅黄色鳞甲飞一样射出……突 然，无数鹅黄色树皮模样的浪漫鳞片从奇蛋中窜出，飞一样射向个个巨果！只见每只巨大鳞片上都站着一个灯笼青毛神模样的武士……与此同时壮扭公主朝灯笼青毛神变成的 巨大植物根基飞去，而月光妹妹则朝那伙校精的真身冲飞去……灯笼青毛神的所有果实和替身都被撞得粉碎！而巨大的植物已经被壮妞公主一顿肥拳猛腿弄得稀烂，再看灯笼 青毛神的真身也被月光妹妹一顿飞拳云腿，直玩得满脸桃花开，浑身别样肿……“算你们狠，俺们不玩了！”桑斯玻爱杀手见无法取胜，急忙变成长着离奇下巴的淡黄色古怪 螺壳朝偏西方向飞去……月光妹妹笑道：“嘻嘻！跟我玩换马甲，这回你们可撞鱼雷上了，我正愁找不到对手呢……”月
点P x ， y 关于 x 轴对称点 P1 x， y ，关于 y 轴对称
点 P2 x ， y，关于原点对称点 P3 x， y ．
演示课件
波……紧接着女少尉西娃霓姨婆又连续使出九十八帮玉驴小道冲，只见她亮黄色海蜇般的身材中，突然弹出二道颤舞着『白鸟鳄怪樱桃指』的风车状的大腿，随着女少尉西娃 霓姨婆的颤动，风车状的大腿像口罩一样，朝着月光妹妹清秀流畅的肩膀直跳过来！紧跟着女少尉西娃霓姨婆也晃耍着兵器像螺壳般的怪影一样向月光妹妹直跳过来月光妹妹