选修2-3第一章计数原理教材分析

选修2-3第一章：“计数原理”教材分析与教学建议

一、地位与作用

计数问题是数学中的重要研究象之一，分类加法计数原理与分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具。计数原理是学习统计与概率以及相关分支的基础。计数原理的思想方法独特灵活，有利于培养和发展学生的抽象能力和逻辑思维能力。

二、本章重点、难点

1．重点：（1）分类加法计数原理、分步乘法计数原理；（2）排列与组合的意义；（3）排列数公式与组合数公式；（4）二项式定理。

2．难点：（1）如何利用原理和有关公式解决应用问题。

三、课程标准

1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理

通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题。

2．排列与组合

通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题。

3．二项式定理

能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。四、教学安排与课时分配

这部分的内容与《大纲》没有太大的区别，在处理方式上，相对于排列、组合来说，《标准》更强调基本的计数原理，而把排列、组合、二项式定理的证明作为计数原理的应用实例。就计数原理本身而言，《标准》强调对计数思想的理解，

两个版本相比，A版更加注重体现课标的精神，比如：从内容编排上看，非常强调基本计数原理的思想及其应用，第一节安排了有梯度的9个例题，计划用4课时，让学生通过丰富的实例来熟悉原理及其基本应用，而同样内容B版为3个例题，2课时；注重学生对新概念、新公式的探究。

避免抽象的讨论计数原理，而且强调计数原理在实际中的应用。教学用时比《大纲》少了4课时。

六、教材分析

（一）计数原理

1．分类加法计数原理

（1）原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有N m n

=+种不同的方法．

（2）特点：两类方案中的任何一类的任何一种方法都可以完成这件事，并且两类方案中所有方法互不相同．

（3）一般结论：完成一件事有n 类不同方案，在第1类方案中有1m 种不同的方法，在第

2类方案中有2m 种不同的方法，…，在第n 类方案中有n m 种不同的方法．那么完成这件事

共有12n N m m m =+++ 种不同的方法．

（4）注意事项：完成这件事的任何一种方法必属于某一类，并且分别属于不同两类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，即做到“不重不漏”，才能用分类计数原理．

2．分步乘法计数原理

（1）原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m 种不同的方法，做第2步有n 种不同的方法．那么完成这件事共有N m n =⨯种不同的方法．

（2）特点：两个步骤缺一不可，并且经过两个步骤恰好完成这件事．

（3）一般结论：完成一件事需要n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法．

（4）注意事项：在分步乘法计数原理中，完成一件事分为若干个有联系的步骤，只有前一个步骤完成后，才能进行下一个步骤．当各个步骤都依次完成后，这件事才算完成．但每个步骤中可以有多种不同的方法，而这些方法之间是相互独立的．

3．区别与联系

（1）区别：在分类计数中，完成一件事，每一类中的每一种方法都可以达到目的，即都可以完成这件事．在分步计数中，完成一件事，只有各个步骤都完成，才算完成此事．

（2）联系：①都是探讨完成一件事情的方法种数，即计数问题．

②两个原理在处理问题时相互交织、互相渗透．

4.特别提示

（1）理解分类加法计数原理，要注意以下三点：

①清楚完成“一件事”的含意，即知道做“一件事”，或完成一个“事件”在每个题中的具体所指；

②解决“分类”问题用分类加法计数原理．需要分类的事件不妨叫做“独立事件”，即完成事件通过途径A ，就不必再通过途径B 就可以完成，每类办法都可以完成这件事．注意各类之间的独立性和并列性，否则，不独立会出现重复，不并列会出现遗漏；

③每个问题中，标准不同，分类也不同．分类的基本要求是，每一种方法必属于某一类（不漏），任意不同类的两种方法是不同的（不重复）．

（2）理解分步乘法计数原理，要注意以下三点：

①清楚完成“一件事”的含意，即知道完成一个事件，在每个题中需要经过哪几个步骤； ②“分步”用乘法原理，需要分成若干个步骤，每个步骤都完成了，才算完成了一个事件，

不妨称此为“相关事件”．要注意各步骤之间的连续性；

③每个问题中，标准不同，分步也不同．分步的基本要求是完成一件事，必须且只需连续做完几步，既不漏步也不重复，二是两个步骤的方法之间是无关的，不能互相替代．

（二）排列与组合

1．排列与组合的意义

排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.

2．两类基本公式

（1）排列数公式 !(1)(2)(1)()!

m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 （2）组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n m n

-== 特别地：10==n n n C C 3．两类基本性质

（1）排列性质：11-++=m n

m n m n mA A A （2）组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m n

m n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!

(!!m n m n -可得出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 中m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、；牢记：0！=1；

.1;!;;;1;11100======n n n n n n n n C n A n C n A C A

组合数派生性质：k n n k n n k k k C C C C C -+-++=++++122110

1121++++=++++k n k n k k k k k k C C C C C

4．排列组合的综合应用

排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有3

4A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题，有34C 个不同的三位数.

按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想