高一秋季物理竞赛班第14讲_万有引力定律应用_学生版

第14讲 万有引力定律应用本讲提示：1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。

2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。

3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。

借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。

万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。

我们下一讲依然会安排一次总复习。

知识点睛上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：（ 两质点间相互吸引对方的力： 2rGMmF =万） 显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。

通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。

比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图：（不计自转，引力即重力）（考虑自转引力分解为重力与指向O'的向心力）上述表达中R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。

这样就得到行星表面重力加速度为：2Mg G R=当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。

上面右图中，向心力指向O'。

极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。

所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。

如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球对我们的引力。

公式记为：2内内球万R m GM F =（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）例题精讲【例1】 新发现一行星，其星球半径为6400km ，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km 。

学者们对该行星进行探查时发现。

当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。

已知万有引力常数为（221110676kg m N .G ⋅⨯=-）【例2】 某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝0.5g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R ＝6.4×103km,g 取10m/s 2）知识点睛二．引力作用下的轨道有了力，可以从力的角度理解运动了。

引力作用下最简单的模型是引圆周运动，如果产生引力之间的天体其中一个远小于另一个天体质量（比如地球围绕太阳转，人造卫星围绕地球转）可以近似认为大物体不动。

万有引力提供小天体向心力，通过这个理解可以中心天体的质量，以及圆周运动天体的运动参数。

比如人类发射的同步卫星，轨道在赤道上方，固定的高度，固定的速度绕着地球运动。

当轨道时椭圆时，计算轨道就不是仅仅从受力分析能解决的。

这时候我们就得引入角动量的概念。

势能的概念，以及总能的概念。

一个行星围绕太阳运动，或者人造地球卫星围绕地球做椭圆轨道运动时，轨道示意图如下：（S 是中心天体，位于椭圆一个焦点）图中有我们要初步掌握的椭圆的几何规律：222c b a += 图中还有行星运动满足的方程：1.角动量守恒（开普勒行星第二定律）即： 111222sin sin v r v r θθ=2.能量守恒：aGMm r GMm mv 222-=-+）（有时候我们还得考虑周期公式：2234πGMT a =利用开氏第二定律的面积速度表达式我们还能计算部分轨道的时间：单位时间转动面积为：11sin sin 22A r r rv C t t θθ∆∆===∆∆ 总的来说就这么点东西，如果我们上讲从做题的角度给大家介绍这章的知识体系，课程的内容其实我国发射的"东方红3号"同步通信卫星，定点于东经赤道上空。

所有的同步卫星高度都为35,786km ，轨道都在赤道上方。

可想而知这个轨道将来会有多繁理论上至少用三颗同步卫星，才能实现对全球范围绝大部分地区的通信覆盖，只在极不多，脉络也会很清晰。

不过，学习物理的目的不是为了做题，我们也希望大家本讲学习的时候也不是光把注意力落在做题上。

而是多注意一个物理原理在发现过程中对人类认知造成的困扰，以及科学家解决困扰的突破点，同时更要了解这个原理在将来的学习中的发展。

例题精讲【例3】设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？已知：、返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r；不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．rR【例4】地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求（1)地球同步卫星离地心的距离(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。

（3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θOθ【例5】2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。

研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50⨯102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。

观测得到S2星的运行周期为15.2年。

(1)若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50⨯102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s的多少倍(结果保留一位有效数字)；(2) 黑洞的第二宇宙速度极大，处于黑洞表面的粒子即使以光速运动，其具有的动能也不足以克服黑洞对它的引力束缚。

由于引力的作用，黑洞表面处质量为m 的粒子具有势能为E p =-GMmR，式中M 、R 分别表示黑洞的质量和半径。

已知引力常量G =6.7⨯10-11N·m 2/kg 2，光速c =3.0⨯108m/s ，太阳质量M s =2.0⨯1030kg ，太阳半径R s =7.0⨯108m ，不考虑相对论效应，利用上问结果，在经典力学范围内求人马座A*的半径R A 与太阳半径g R 之比应小于多少（结果按四舍五入保留整数）。

【提示】：我们可以利用万有引力定律推导航天器的宇宙速度．脱离引力的束缚，飞向浩瀚的宇宙一直是人类几千年的梦想，那么要实现这个梦想，在地面上发射航天器的时候，至少需要多大速度才够呢？推导可能用到的参数：地球质量约245.9810kg ⨯，地球半径约6371km ，太阳质量301.9810kg ⨯，地球到太阳的平均距离81.49610km ⨯，万有引力常数11226.6710N m /kg G -=⨯⋅．（地球上的三种宇宙速度）【例6】 ⑴ 我们知道，围绕地球有周期轨道的航天器中，贴着地面做圆周运动的必然具有最低能量，我们把这种航天器的速度叫第一宇宙速度（又叫环绕速度），这个速度是人类不会“掉”到地面的最低速度，推导其数值．⑵ 如果我们希望航天器能脱离地球引力的束缚，不再围绕地球运转，那么发射时至少需要多大速度呢？我们把这个速度叫做第二宇宙速度，又叫逃逸速度．自学材料： 关于第三宇宙速度第三宇宙速度定义为在地球上发射航天器能飞出太阳系所必须的最小速度．公认的推导方法是这样的．地球绕太阳转，转速由：F F =万向．即：22GM m m v R R=地太地地得GM v R=太地，其中R为地太距离，代入数据得： 29.8km/s v =地． 要离开太阳系，必须相对太阳在离地球后获得地球轨道的逃逸速度 242.2km/s v v ==逃地，其相对地球的速度 ()2112.4km/s v v ∆=-=地．现以地球为参考系，设发射时速度3v 能刚好让航天器相对地球无尽远处还剩下v ∆的速度．由机械能守恒：2231122Gm m mv mv r -=地，r 为地球半径． 沿地球公转方向代入得：316.7km/s v =就是第三宇宙速度，从推导知发射必须沿着地球公转速度方向发射才行．这个推导一直让很多不理解的人感到吃不消．第一步是以太阳为参考系，第二步又是以地球为参考系,思维显得有些混乱。

所以很多人应该一直以太阳系为系，列方程。

设3v 则航天器发射时对太阳速度为：3v v +地．且必须能飞到无尽远处，那么：()23102GM m Gm m m v v r R +--=太地地． 这样解得313.8km/s v =以上观点在历史上一直有人支持，直到今天，我们去查期刊网．从2001~2010年中国大学校刊上，仍有近十篇论文仍支持此观点．在这我们只做几句简单的提示．大家可以非常清晰的看出哪种推导是对的．我们知道“大小”作用中，虽大物体速度几乎不变，但是其动能变化相对于小物体是不能忽略的．而以大物体为系．由于加速度小，小物体惯性力可忽略不计．所以计算结果虽不严格符合事实．但误差很小．上面第一种推导法看起来有点不严密但仅仅有些小误差．而第二种方法就是严重的原理错误．从下面示意可看出，探测器出发后，以太阳为系探测器对地球引力是对地球做了正功的．地球把探测器的动能“吸”走了一部分．所以后一种方法等号右边也必须加入地球动能增加量．为计算此项必须设地球速度增加了一点点，再列个角动量守恒．计算量会增加10倍！但结果一定和第一种方法几乎一样．所以我们不得已使用了近似推导．【例7】 一个质量为M 、半径为R 的星球以速度V 通过质量密度为ρ的非常稀薄的气体, 由于它的引力场，此星球将吸引迎面接近它的粒子，并俘获撞在它表面上的所有的气体分子. 设相对于速度V ，分子的热运动速度可忽略. 分子间的相互作用不计. 求作用在星体上的阻力.只要探测器在地球轨道上离开地球引力范围时达到地球所在轨道的“逃逸速度”—【例8】 利用力学知识计算椭圆在4个端点处的曲率半径【例9】 已知地球半径R ，地面附近重力加速度g ，在距地面高R 处静止释放一个物体，经过多少时间该物体落地？忽略空气阻力．选讲内容：参考系变换：说到参考系，不得不提的问题，我们之前所有的计算都是假设中心天体M 质量远远大于旋转天体的，把中心天体当成了相对于绝对空间静止处理的，当我们考虑中心天体引力进动，并以中心天体为参考系时，问题就变复杂了．一般的质点参考系只需要根据质点加速度反一个惯性力就可，但是转动参考系需要考虑的惯性力比较多。