高一秋季物理竞赛班第14讲_万有引力定律应用_学生版

第14讲 万有引力定律应用

本讲提示：

1.归纳整理万有引力定律相关的知识体系，并能初步运用。

2.了解并能独立推导第一二三宇宙速度，领会近似计算的技巧。

3. 对于变换参考系处理问题的方法进一步熟练，通过阅读了解科里奥利力以及其算法。借助这个方法，对于潮汐等现象有量化的理解。

万有引力的现象确实对于计算能力与综合运用能力要求较高，希望同学们在期末考试结束后抽出时间针对复习。我们下一讲依然会安排一次总复习。

知识点睛

上讲貌似学了一火车皮的公式以及推论，我们为大家找个思路把它们串起来： 一．万有引力

有两个质点，它们由于有质量就会相互吸引，这个力我们叫万有引力，如图：

（ 两质点间相互吸引对方的力： 2

r

GMm

F =

万） 显然这个力有点麻烦，因为它的方向大小都会因为物体运动变化，还只能适合于质点。通过数学家的计算，这个公式可以拓展到均匀球体的外部，r 变为到球心的距离。比如我们生活在地球上，地球对我们的万有引力就是我们感受到的重力，如图：

（不计自转，引力即重力）

（考虑自转引力分解为重力与指向O'的向心力）

上述表达中R 为到地心的距离，如果研究对面附近的物体，R 近似恒定，为地球半径。这样就得到行星表面重力加速度为：

2M

g G R

=

当然以上结论是不考虑地球自转的近似，考虑自转，万有引力分解为向心力与重力之合力。上面右图中，向心力指向O'。极端的情况，星球自转到一定角速度赤道上的物质会解体。所以实际能观测的星球密度一定大于自转解体时密度。

如果我们打洞打到地球内部去，因为均匀球壳对内部引力为0，那么我们在星球内部受的万有引力等于内部小球对我们的引力。公式记为：2

内

内球万R m GM F =

（当物体在均匀球内时，只需考虑颜色较深部分质量对物体的引力）

例题精讲

【例1】 新发现一行星，其星球半径为6400km ，且由通常的水形成的海洋覆盖着它的所有表面，海洋的深度为10km 。学者们对该行星进行探查时发现。当把试验用的样品浸入行星海洋的不同深度时，各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变，试求这个行星表面处的自由落体加速度。已知万有引力常数为（2211

10

676kg m N .G ⋅⨯=-）

【例2】 某物体在地面上受到的重力为160 N ，将它放置在卫星中，在卫星以加速度a ＝0.5g 随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互压力为90 N 时，求此时卫星距地球表面有多远？（地球半径R ＝6.4×103km,g 取10m/s 2）

知识点睛

二．引力作用下的轨道

有了力，可以从力的角度理解运动了。引力作用下最简单的模型是引圆周运动，如果产生引力之间的天体其中一个远小于另一个天体质量（比如地球围绕太阳转，人造卫星围绕地球转）可以近似认为

大物体不动。万有引力提供小天体向心力，通过这个理解可以中心天体的质量，以及圆周运动天体的运动参数。比如人类发射的同步卫星，轨道在赤道上方，固定的高度，固定的速度绕着地球运动。

当轨道时椭圆时，计算轨道就不是仅仅从受力分析能解决的。这时候我们就得引入角动量的概念。

势能的概念，以及总能的概念。一个行星围绕太阳运动，或者人造地球卫星围绕地球做椭圆轨道运动时，轨道示意图如下：

（S 是中心天体，位于椭圆一个焦点）

图中有我们要初步掌握的椭圆的几何规律：222c b a += 图中还有行星运动满足的方程：

1.角动量守恒（开普勒行星第二定律）即： 111222

sin sin v r v r θθ=

2.能量守恒：

a

GMm r GMm mv 222-=-+）（

有时候我们还得考虑周期公式：

2

234πGM

T a =

利用开氏第二定律的面积速度表达式我们还能计算部分轨道的时间：

单位时间转动面积为：

11sin sin 22

A r r rv C t t θθ∆∆===∆∆ 总的来说就这么点东西，如果我们上讲从做题的角度给大家介绍这章的知识体系，课程的内容其实

我国发射的"东方红3号"同步通信卫星，定点于东经

赤道

上空。所有的同步卫星高度都为35,786km ，轨道都在赤道上方。可想而知这个轨道将来会有多繁

理论上至少用三颗同步卫星，才能实现对全球范围绝大部分地区的通信覆盖，只在极

不多，脉络也会很清晰。不过，学习物理的目的不是为了做题，我们也希望大家本讲学习的时候也不是光把注意力落在做题上。而是多注意一个物理原理在发现过程中对人类认知造成的困扰，以及科学家解决困扰的突破点，同时更要了解这个原理在将来的学习中的发展。

例题精讲

【例3】设想宇航员完成了对火星表面的科学考察任务，乘坐返回舱返回围绕火星做圆周运动的轨道舱，如图所示．为了安全，返回舱与轨道舱对接时，必须具有相同的速度．求该宇航员乘坐的返回舱至少需要获得多少能量，才能返回轨道舱？

已知：、返回舱与人的总质量为m，火星表面重力加速度为g，火星半径为R，轨道舱到火星中心的距离为r；不计火星表面大气对返回舱的阻力和火星自转的影响．

r

R

【例4】地球赤道上的N城市想实施一个“人造月亮”计划，在地球同步卫星上用一面平面镜将太阳光射到地球上，使这座城市在午夜时分有“日出”时的效果，若此时的N城市正值盛夏季节，地球的半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，太阳在非常遥远的地方．求

（1)地球同步卫星离地心的距离

(2)悬挂平面镜的同步卫星所在经度平面的经度与N城的经度差α。

（3)此时平面镜与卫星所在经度平面的夹角θ

O

θ

【例5】2008年12月，天文学家们通过观测的数据确认了银河系中央的黑洞“人马座A*”的质量与太阳质量的倍数关系。研究发现，有一星体S2绕人马座A*做椭圆运动，其轨道半长轴为9.50⨯102天文单位（地球公转轨道的半径为一个天文单位），人马座A*就处在该椭圆的一个焦点上。观测得到S2星的运行周期为15.2年。

(1)若将S2星的运行轨道视为半径r=9.50⨯102天文单位的圆轨道，试估算人马座A*的质量M A 是太阳质量M s的多少倍(结果保留一位有效数字)；