电影院座位设计问题

电影院座位设计问题

一、问题的提出

下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o

30。

设影院屏幕高h , 上边缘距地面高H ，地板线倾角θ，第一排和最后一排座位与屏幕水平距离分别为d 和D , 观众平均坐高为c （指眼睛到地面的距离）。已知参数 h =， H =5，d = ，D =19，c =（单位：m ）。(如图所示)

(1) 地板线倾角θ＝o

10，试问最佳的座位在什么地方。

(2) 求地板线倾角θ（一般不超过o

20），使所有观众的平均满意程度最大。

(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

二、问题的分析

观众在电影院观赏电影，感觉是否满意不仅取决于电影的精彩与否，而且还取决于座位设计的舒适程度. 座位的设计应满足什么要求，是一个非常现实的问题.根据题意观众对座位的满意程度主要取决于观看时的视角和仰角. 经调查可知这两者都要满足一定的条件.但在实际生活中又不可能同时满足，只能在二者兼顾的条件下求出使平均满意度最大的那种情况. 根据题意很容易得知α和β的正切值呈递减趋势，这对问题的解决很有帮助.下文针对题目提出的三个问题逐一进行分析.

针对问题1：为方便求解，可以以屏幕所在的墙壁的剖面为y 轴，向上为正方向，以与之垂直的地面为x 轴，以交点为原点O,建立直角坐标系.当地板线倾角o 10=θ时，根据已知条件通过计算得知，最前排视角α和仰角β的值均为最大，最后排视角α和仰角β的值均为最小.那么仰角030=β时的位置是否是最佳位置呢我们可以先将离散的座位连续化，根据条件求出αtg 的表达式，作出

α对x 的变化图象以及其变化率图象，计算αtg 的最大值，找到最佳座位点，然

后再将问题离散化，对求得的最佳座位点进行优化.

针对问题2： 一般地，人们对某件事物看法的心理变化是一个模糊的概念.本文观众对座位是否满意也是一个模糊概念.根据模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，我们可以引入满意度函数的概念，构造一个满意度函数，通过这一函数来度量观众满意程度随其座位离屏幕的距离x 的变化趋势.在倾斜角θ固定的情况下，满意度函数值随x 的变化而变化，不同的x 有不同的满意度.有了满意度函数这一衡量标准后，我们可以求出所有座位的平均满意度.当平均满意度最大时，求出此时对应的倾斜角θ，即为所要求的平均满意度最大时地板线的倾斜角度.

三.模型的假设

1. 假设座位在地板线上严格等距，且均匀分布；

2. 假设观众的满意度可以用一连续函数来衡量，因而可将离散问题连续化；

3. 假设视角对观众的满意度影响较大；

四.符号说明

α

当人坐下时眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角 β

当人坐下时眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角

),(y x p 当人坐下时眼睛所处在坐标系中的位置坐标

）

（x F α关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 ）

（x G β关于距离x 和倾斜角θ的正切函数 )(x M 满意度函数

)(i x M 第i 个位置的满意程度

M 平均满意程度

λ

满意度函数的相关因子（即满意因子）

五.模型的建立 1.建模的准备

建立坐标系

为了建立合适的数学模型，我们先建立如下坐标系：

由题意及坐标图得，直线L 的方程：c d x tg y +-=)(θ （1） 直线L 上任意一点),(y x P 的仰角β的正切值为： x

tg d x c H tg θ

β)(---=

（2）

又由图可知： x

tg d x h c H tg θ

αβ)()(----=- （3）

由（2）（3）得：

x

dtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg h

tg )

()()1()(22

2θθθθθα+--+-+

+++--=

构造满意度函数

一般说来，人们的心理变化是一个模糊的概念.本文中观众对某个座位是否满意的看法就是一个典型的模糊概念.由模糊数学隶属度的概念和心理学的相关知识，根据人们通常对一件事物评价的心理变化应遵循一定规律，不妨定义观众对座位的满意度为：

)0()(2

0)(>=--λλ

x x e

x M （4）

其中λ表示观众满意度的相关因子，称为满意因子，一般为常数. 0x 表示最佳座位点，即最佳座位处的横坐标值.

2.模型的建立

问题1的模型

座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β.α越大越好，β太大使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过o

30.要确定最佳座位，必须同时兼顾视角α和仰角β.

由上文不难发现αtg 和βtg 均是x 的函数，这里不妨令αtg x F =)(，

βtg x G =)(，则可得到：

x

dtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg h

x F )

()()1()(2)(2

2θθθθθ+--+-+

+++--=

（5）

x

tg d x c H x G θ

)()(---=

（6）

由030≤β，即030tg tg ≤β得：θ

π

θtg tg

dtg c H x ++-≥

6

又由题意知：D x ≤ 则

x

的

取

值

范

围

为

：

D x tg tg

dtg c H ≤≤++-θ

π

θ6

（7）

从而得到求解最佳座位的数学模型：

x

dtg c H h dtg c H x tg dtg c H htg h

x MaxF )

()()1()(2)(22

θθθθθ+--+-+

+++--=

t s .

D x tg tg

dtg c H ≤≤++-θ

π

θ6

（8）

当θ=10度时求得模型的解

观众的满意度随位置变化曲线如图：