复变函数积分(练习题)
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一）一、填空(３分×10)１.得模ﻩﻩ、幅角ﻩ。
２.-8i得三个单根分别为：、、。
3.Lｎz在得区域内连续。
4．得解极域为:ﻩﻩﻩﻩﻩ。
５.得导数ﻩﻩﻩﻩﻩ。
6. ﻩﻩ。
７.指数函数得映照特点就是:ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
8．幂函数得映照特点就是: ﻩﻩﻩﻩﻩﻩﻩ。
9.若=F [f(t)]、则= F ﻩﻩﻩﻩ。
１０.若f(ｔ)满足拉氏积分存在条件、则L [f(ｔ)］= ﻩﻩﻩ。
二、(10分)已知、求函数使函数为解析函数、且f(0)＝0。
三、(10分)应用留数得相关定理计算四、计算积分(5分×2)1.2．C:绕点ｉ一周正向任意简单闭曲线。
五、(1０分)求函数在以下各圆环内得罗朗展式。
1.2.六、证明以下命题：（5分×2)(1)与构成一对傅氏变换对。
（2）七、(10分)应用拉氏变换求方程组满足x （0)＝y （０)=z (0)＝0得解y (t )。
八、(１0分)就书中内容、函数在某区域内解析得具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案(一)一、1．ﻩﻩ、ﻩ ﻩ２、ﻩ-i ﻩﻩ2ｉﻩ-i ﻩ3、ﻩZ 不取原点与负实轴 ４、 空集５、ﻩ2z ﻩ6.０ 7、将常形域映为角形域ﻩ８、 角形域映为角形域 9、ﻩ ﻩ1０、 二、解:∵ﻩ ∴ ﻩ(5分)∵f (0）=0ﻩﻩﻩﻩc =0(３分)∴ﻩﻩ(2分)三、解：原式＝(2分)ﻩ（2分）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（=0∴原式=(2分) =四、1.解:原式ﻩ(３分) z 1=0 ﻩｚ2=１ﻩ=0ﻩﻩ(2分)2．解:原式=五、1.解:nn i i z i i z ii z ii z i i z i z z f ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛--⋅-=-+⋅⋅-=+-⋅-=0111111)(111)(11)(分）（分）（分）（ ﻩﻩ(2分) ﻩ２.解: （1分)ﻩ(2分）六、1.解:∵ﻩ(3分）ﻩ∴结论成立 （２)解:∵ﻩ(２分)ﻩ ∴与1构成傅氏对∴（2分)七、解:∵ﻩﻩ（3分)S (２)-（1):∴ （3分)∴八、解：①定义;②C-R 充要条件Th ; ③v 为u 得共扼函数ﻩ1０分复变函数与积分变换试题（二)一、填空(3分×10)1.函数f (z )在区域D 内可导就是ｆ(ｚ）在D 内解析得（ﻩ ﻩ）条件。
《复变函数与积分变换》习题册
第一章 复数与复变函数本章知识点和基本要求掌握复数的概念和它的各种表示方法及运算； 熟悉复平面、模与辐角的概念；熟练掌握乘积与商的模、隶莫弗公式、方根运算公式； 了解区域的概念；理解复变函数的概念； 理解复变函数的极限和连续的概念。
一、填空题1、若等式))(()75(i y i x i i -+=-成立，则=x ______, =y _______.2、设(12)(35)13i x i y i ++-=-，则x = ，y =3、若1231iz i i+=--，则z =4、若(3)(25)2i i z i+-=，则Re z =5、若421iz i i+=-+，则z = 6、设(2)(2)z i i =+-+，则arg z =7复数1z i =-的三角表示式为 ，指数表示式为 。
8、复数i z 212--=的三角表示式为 _________________，指数表示式为_________________.9、设i z 21=,i z -=12，则)(21z z Arg = _ _____.10、设4i e 2z π=,则Rez=____________. Im()z = 。
z = 11、.方程0273=+z 的根为_________________________________.12、一曲线的复数方程是2z i -=，则此曲线的直角坐标方程为 。
13、方程3)Im(=-z i 表示的曲线是__________________________. 14、复变函数12+-=z z w 的实部=),(y x u _________,虚部=),(y x v _________.15、不等式114z z -++<所表示的区域是曲线 的内部。
16=二、判断题（正确打√，错误打⨯）1、复数7613i i +>+. ( )2、若z 为纯虚数，则z z ≠. ( )3、若 a 为实常数，则a a = （ ）4、复数0的辐角为0.5、()f z u iv =+在000iy x z +=点连续的充分必要条件是(,),(,)u x y v x y 在00(,)x y 点连续。
复变函数与积分变换五套试题及答案
复变函数与积分变换试题（一）一、填空（3分×10）1．的模 ，幅角 。
)31ln(i --2．-8i 的三个单根分别为： ，，。
3．Ln z 在 的区域内连续。
4．的解极域为：。
z z f =)(5．的导数。
xyi y x z f 2)(22+-==')(z f 6．。
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0,sin Re 3z z s 7．指数函数的映照特点是：。
8．幂函数的映照特点是：。
9．若=F [f (t )]，则= F 。
)(ωF )(t f )][(1ω-f 10．若f （t ）满足拉氏积分存在条件，则L [f (t )]=。
二、(10分)已知，求函数使函数为解析函222121),(y x y x v +-=),(y x u ),(),()(y x iv y x u z f +=数，且f (0)=0。
三、（10分）应用留数的相关定理计算⎰=--2||6)3)(1(z z z z dz四、计算积分（5分×2）1．⎰=-2||)1(z z z dz2． C ：绕点i 一周正向任意简单闭曲线。
⎰-c i z z3)(cos 五、（10分）求函数在以下各圆环内的罗朗展式。
)(1)(i z z z f -=1．1||0<-<i z 2．+∞<-<||1i z 六、证明以下命题：（5分×2）（1）与构成一对傅氏变换对。
)(0t t -δo iwt e -（2）)(2ωπδ=⎰∞+∞-ω-dt e t i 七、（10分）应用拉氏变换求方程组满足x (0)=y (0)=z (0)=0的解y (t )。
⎪⎩⎪⎨⎧='+=+'+='++'0401z y z y x z y x 八、（10分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）一、1．， 2.-i 2i -i22942ln π+ππk arctg 22ln 32+-333.Z 不取原点和负实轴 4. 空集5.2z 6．07.将常形域映为角形域8.角形域映为角形域9.10.⎰∞+∞-ωωπωωd e F i )(21⎰∞+-0)(dte tf st 二、解：∵∴（5分）yu x x v ∂∂-=-=∂∂xuy y v ∂∂==∂∂c xy u +=cxy y x i z f ++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=222121)(∵f (0)=0c =0（3分）∴（2分）222222)2(2)(2)(z ixyi y x i y x i xy z f -=+--=--=三、解：原式=（2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2621π01=z 12=z （2分）⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∑=k k z z z z s i ,)3)(1(1Re 2643π33=z ∞=4z 2312(3,)3)(1(1Re 66⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--分）z z z s =0⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∞--0,1)31)(11(11Re 2,)3)(1(1Re 266z z z z s z z z s 分）（∴原式=（2分） =23126⨯⨯i πi 63π-四、1．解：原式（3分）z 1=0z 2=1⎥⎦⎤⎢⎣⎡-π=∑=k k z z z s i ,)1(1Re 221=0（2分）]11[2+-=i π2．解：原式=iz z i=''=s co !22πi z z i =-π=）（cos i i cos π-=1ich π-五、1．解：ni z z f ∑∞⎪⎫⎛--⋅=⋅⋅=⋅=1111111111)(分）（分）（分）（（2分）11)(--∞=-=∑n n n i z in nn i z i )(1-=∑∞-=2．解：⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅-=-+⋅-=i z i i z i z i i z z f 11)(11)(1)(11)(2分）（分）（（1分）（2分）nn i z i i z ∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=02)(120)(11+∞=-=∑n n n i z i 20)(--∞=-=∑n n n i z i 六、1．解：∵（3分）∴结论成立0)(0t i e t t ti t i e dt e t t ωωωδ-==--∞+∞-=-⎰（2）解：∵（2分）1)(2210==ωπδπ=ωω-ω-∞+∞-⎰t i t i e dw e ∴与1构成傅氏对)(2w πδ∴（2分）)(2ωπδω=-∞+∞-⎰dt e t i 七、解：∵（3分）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=++)3(0)(4)()2(0)()()()1(1)()()(s sZ s Y s Z s sY s X S s sZ s Y s sX S （2）-（1）：∴（3分）⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=s s s Y 111)(2⎪⎭⎫ ⎝⎛++--=--=1111211112s s s s s s ∴cht e e t Y t t -=--=-121211)(八、解：①定义；②C-R 充要条件Th ；③v 为u 的共扼函数10分复变函数与积分变换试题（二）一、填空（3分×10）1．函数f (z )在区域D 内可导是f (z )在D 内解析的（）条件。
复变函数与积分变换试卷
复变函数与积分变换试卷一、填空题（每空3分，共30分）1. 设z = x+iy，则| z|=_√(x^2)+y^{2}。
2. 复数z = 3 - 4i的共轭复数¯z=_3 + 4i。
3. 函数f(z)=(1)/(z)在z = 1处的泰勒展开式为∑_n = 0^∞(- 1)^n(z - 1)^n，收敛半径R=_1。
4. 设C为正向圆周| z|=2，则∫_C(dz)/(z - 1)=_2π i。
5. 拉普拉斯变换L[sin at]=_(a)/(s^2)+a^{2}（s>0）。
6. 已知F(s)=(1)/(s(s + 1))，其拉普拉斯逆变换f(t)=_1 - e^-t（t≥slant0）。
7. 设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析，则u与v满足柯西 - 黎曼方程(∂ u)/(∂ x)=_(∂ v)/(∂ y)，(∂ u)/(∂ y)=-_(∂ v)/(∂ x)。
二、选择题（每题4分，共20分）1. 下列复数中，位于第三象限的是（）A. - 1 + iB. 1 - iC. -1 - iD. 1 + i2. 函数f(z)=(1)/(z^2)+1的奇点是（）A. z = i和z=-iB. z = 0C. z = 1和z=-1D. 无奇点。
3. 设C是从z_1=0到z_2=1 + i的直线段，则∫_C(x - iy)dz=（）A. (1)/(2)(1 + i)B. (1)/(2)(1 - i)C. (1 + i)D. (1 - i)4. 拉普拉斯变换L[t^n]=（）（n为正整数，s>0）A. (n!)/(s^n)B. (n)/(s^n)C. (n!)/(s^n+1)D. (n)/(s^n+1)5. 若F(s)是f(t)的拉普拉斯变换，则L[f'(t)]=（）（s满足一定条件）A. sF(s)B. F(s)-f(0)C. sF(s)-f(0)D. F(s)三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数f(z)=(z)/((z - 1)(z - 2))在1<| z|<2内的洛朗级数展开式。
复变函数与积分变换(习题)
1. 设t 是实参数，则下列方程中表示圆周的是（ ）A 、(1)z i t =+B 、cos sin (0,0,)z a t b t a b a b =+>>≠C 、i z t t=+ D 、(0)it z a e b a =+≠2. i i 的辐角主值是（ ）A 、0B 、2π C 、2π- D 、π 3. 设210z z ++=，则1173z z z ++=( )A 、0B 、iC 、i -D 、1 4. 11(1)n i nn ∞=+∑的敛散性为（ ） A .发散 B .条件收敛 C .绝对收敛 D . 无法确定5．设C 是任意实常数，那么由调和函数22(,)v x y x xy y =+-确定的解析函数()f z u iv =+是（ ）A 、2122i z C ++B 、2122i z iC ++ C 、222i z C -+ D 、222i z iC -+ 6.(- )A 、无定义 B、等于3 C、是复数，其实部等于3 D、是复数，其模等于37. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，5()C dz z i π=-⎰（ ） A .i 12π B .1 C .0 D .π1. 在复数范围内，方程30z z +=的根的个数是 .2. 31z =的全部解是： ， ， .3. 复数()1Ln -的主值为 .4. ()()()()20142015201320142013201420152014i i z i i +-=+-，则=z _________ . 5. 若曲线C 为|z|=1的正向圆周，则3(2)C dz z =-⎰________. 6. 级数212!!n z z z n +++++在|z |<1时的和函数是________.7.若221()(1)f z z z =-，则Re [(),0]s f z =________. 1. 3232()m ()f z y nx y i x lxy =+++在全平面解析，求m n l 、、.（7分）2.计算积分arg CI zdz =⎰，其中C ：从原点到1+i 的直线段.（6分） 3. dz z ze z z⎰=-2||21（积分沿正向圆周进行）.（6分） 4. 3sin C z dz z ⎰（其中C 为正向圆周|z|=1）.（6分） 5. 求函数(,)2v x y xy =的共轭调和函数(,)u x y 和由它们构成的解析函数()f z ，使(0)1f =.（6分）1. 求函数0()sin f t t ω=的傅里叶变换.2. 在圆环1||z <<∞内将函数1()(1)f z z z =-展为洛朗级数.。
复变函数习题集(3) 复变函数的积分
第三章
复变函数的积分
c
1．设 c 为从原点沿 y 2 x 至 1 i 的弧段，则 ( x iy 2 )dz ( 2．设 c 为不经过点 1 与 1 的正向简单闭曲线，则
)
9．设 c 为正向圆周 z i 1, a i ，则
c
z cos z dz ( (a i ) 2
)
10．设 v( x, y ) 在区域 D 内为 u( x , y ) 的共轭调和函数，则下列函数中为 D 内解 析函数的是( )
u v B） ( x, y ) iu( x, y ) （C） ( x, y ) iv( x, y ) （D） i v u x x
（A） ( x, y ) iu( x, y ) v 二．计算题：
1．设 C 为正向圆周|ζ =2， f(z)
sin
3 d ，其中|z|<2，求 f′(1)
c
-z
e z 2．计算积分 I c (z-i)2 (z 3i)2 dz 的值，其中 C 为正向圆周|z-1|=3。
1 ，则 2 c
z 3 cos
1 z2 dz ( (1 z ) 2
)
6．设 f ( z )
e d ，其中 z 4 ，则 f (i） ( 4 z
)
7．设 c 是从 0 到 1
2
i 的直线段，则积分 ze z dz （
c
）
sin( z ) 8．设 c 为正向圆周 x 2 y 2 2 x 0 ，则 2 4 dz ( z 1 c
复变函数与积分变换模拟试题和答案
模拟试卷一一.填空题1. =⎪⎭⎫⎝⎛+-711i i . 2. I=()的正向为其中0,sin >=-⎰a z c dz z ez cz,则I= .3.z1tan 能否在R z <<0内展成Lraurent 级数？4．其中c 为2=z的正向：dz z z c1sin 2⎰=5. 已知()ωωωsin =F ，则()t f =二.选择题 1.()()z z z f Re =在何处解析(A) 0 (B)1 (C)2 (D)无2.沿正向圆周的积分.dz z zz ⎰=-221sin =(A)21sin i π. (B) 0. (C)1sin i π. (D)以上都不对.3．()∑+∞-∞=--n n nz 14的收敛域为(A) .4141<-<z . (B)e z <-<21 (C) 211<-<z . (D)无法确定 4. 设z =a 是()z f 的m 级极点,则()()z f z f '在点z =a 的留数是 .(A) m. (B) -2m. (C) -m. (D) 以上都不对. 三.计算题 1.()iv u z f +=为解析函数，322333y xy y x x v u --+=-，求u2．设函数()z f 与分别以z=a 为m 级与n 级极点，那么函数()()z g z f .在z=a 处极点如何？3．求下列函数在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
()1,102-==z zz f 4．求拉氏变换()t t f 6sin =（k 为实数）5. 求方程te y y y -=+'+''34满足条件()()100='=y y 的解.四.证明题1.利用e z的Taylor 展式，证明不等式zz ze z e e ≤-≤-112.若()=ϖF ℱ()[]t f (a 为非零常数) 证明：ℱ()[]⎪⎭⎫⎝⎛=a F a at f ϖ1 模拟试卷一答案一.填空题1. i2. 03.否 4．1/6- 5.()0.5,10,10.25,1t f t t t ⎧<⎪=>⎨⎪=⎩二.选择题1. (D)2. (A) 3．(A) 4. (C) 三.计算题1.233u x y y c =-+2．函数()()z g z f 在z=a 处极点为m+n 级3．()()121111n n f z n z R z ∞-===+=∑4．2636s +5.()3371442t t ty t e e te ---=-++.模拟试卷二一.填空题1. C 为1=z 正向，则⎰c dz z =2.()()2323lxy x i y nx my z f +++=为解析函数，则l, m, n 分别为 .3.2Re ,0shz s z ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦4. 级数()∑∞=-122n nnz .收敛半径为5. δ-函数的筛选性质是二.选择题 1．()()1-=-t u e t f t ，则ℒ()f t =⎡⎤⎣⎦(A) .()11---s e s (B)()11---s e s (C)2()11---s e s (D) 以上都不对2．ℱ()[]()ωF t f =，则ℱ()()[]=-t f t 2(A)()()ωϖF F 2-' . (B)()()ωϖF F 2-'-.(C)()()ωϖF F i 2-'. (D) 以上都不对3．C 为3=z 的正向，().2103⎰-c zz dz(A) .1 (B)2 (C)0 (D) 以上都不对4. 沿正向圆周的积分dzz zz ⎰=⎪⎭⎫ ⎝⎛-222sin π =(A).0. (B).2 (C).2+i. (D). 以上都不对.三.计算题1. 求sin(3+4i).2．计算()()⎰--cb z a z dz,其中a 、b 为不在简单闭曲线c 上的复常数，a ≠b.3．求函数()1,110=+-=z z z z f 在指定点z 0处的Taylor 级数及其收敛半径。
(完整版)第三章复变函数的积分(答案)
复变函数练习题 第三章 复变函数的积分系 专业 班 姓名 学号§1 复变函数积分的概念 §4 原函数与不定积分一．选择题1．设为从原点沿至的弧段，则[]C 2y x =1i +2()Cx iy dz +=⎰（A ）（B ） （C ） （D ）1566i -1566i -+1566i --1566i +2. 设是，从1到2的线段，则 []C (1)z i t =+t arg Czdz =⎰（A ）（B ）（C ）（D ）4π4i π(1)4i π+1i+3．设是从到的直线段，则[]C 012i π+z Cze dz =⎰（A ）（B ） （C ） （D ）12e π-12e π--12ei π+12eiπ-4．设在复平面处处解析且，则积分[]()f z ()2iif z dz i πππ-=⎰()iif z dz ππ--=⎰（A ） （B ）（C ）（D ）不能确定2i π2i π-0二．填空题1．设为沿原点到点的直线段，则2。
C 0z =1z i =+2Czdz =⎰2．设为正向圆周，则C |4|1z -=2232(4)A Cz z dz z -+=-⎰10.i π三．解答题1．计算下列积分。
（1）323262121()02iziiz i i i edzee e ππππππ---==-=⎰（2）22222sin 1cos2sin 2224sin 2.244iiiii i zdzz z z dz i e e e e i i i i ππππππππππππππ------⎛⎫==- ⎪⎝⎭⎛⎫--=-=-=+⎪⎝⎭⎰⎰（3）110sin (sin cos )sin1cos1.z zdzz z z =-=-⎰（4）20222cos sin 1sin sin().222iiz z dzz i ππππ==⋅=-⎰2．计算积分的值，其中为正向圆周：||C z dz z ⎰A C （1）2200||22,022224.2i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =（2）2200||44,024448.4i i i z Cz e e ie d id i θθππθθπθθπ-==≤≤⋅==⎰⎰积分曲线的方程为则原积分I =3．分别沿与算出积分的值。
复变函数与积分变换练习题带答案(1)
f (t) = 1 + F () eitd 建立的 F () 与 f (t) 之间的对应称作傅里叶逆变换。
2π −
22.傅里叶逆变换是指由表达式 f (t) = 1 + F () eitd 建立起来的 F () 到 f (t) 之间
2π −
的对应.
23．若
f
(t)
= 3t2
+ tet
+ sint ，则函数
z2 − 3z + (z − 4)2
2dz
=
10πi
.
8. 设 C 为单位圆周 z = 1，则 d z 2 Cz
9. 设 C 为从 z = 0到 z =1+ i 的直线段，则 z d z = i 。 C
10. 设 C 为从 (0,1) 到 (1,1) 的直线段，则 z Re(z) d z = 1 + 1 i
|z
+i|=
（√）
3. 设 C 是一条简单正向闭曲线, f (z) 在以 C 为边界的有界闭区域 D 上解析, z0 为 D 内任
一点，那么
C
f (z) z − z0
d
z
=
2 if
( z0
)
；
（√）
4. 设 f (z) 在简单正向闭曲线 C 及其所围区域 D 内处处解析, 那么 f (z) 在 D 内具有 2 阶
解:
C
的方程为
x y
= =
t， t，0
t
1
，即，
z
=
t
+ it，0
t
1
,
dz =（1+i）dt
于是,原式= 1t（1+ i）dt = 1+ i .
复变函数与积分变换考试题
[试题分类]:复变函数与积分变换[题型]:单选[分数]:2分1.复数 3 – 2i的虚部为（）。
A. 3B.– 2iC.– 2D.–i[答案]:C2.算式(3 – 2i) – (–1 + i) 的值等于（）。
A. 4 –iB. 4 – 3iC. 2 –iD. 2 – 3i[答案]:B3.算式(–1 + i)2的值等于（）。
A. –2iB. 2 – 2iC. 2D. 2i[答案]:A4.算式的值等于（）A.B.C.D.[答案]:D5.已知z1和z2 是两个复数，以下关于共轭复数运算的式子（）是正确的。
A.B.C.D.[答案]:A6.方程组的解为（）。
A.B.C.D.[答案]:B7. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D8.复数z的主辐角在（）上不连续。
A. 负实轴B. 正实轴C. 原点及负实轴D. 原点及正实轴[答案]:C9. 复数的三角表示式为（）。
A.B.C.D.[答案]:D10. 的值等于（）。
A.8iB.–8iC. 8D.–8[答案]:B11. 圆周方程的复数形式为（）。
A.B.C.D.[答案]:A12.复数的模等于（）。
A.13B.49C.7D.[答案]:C13.复数6 – 8i的模等于（）。
A. 10B.–10C.D. 100[答案]:A14.复数2 + 3i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B15.复数–4 + 6i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:D16.复数–1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:B17.复数 1 – 2i的主辐角（）。
A.B.C.D.[答案]:C18.以下式子中，不正确的是（）。
（注：Re表示实部，Im表示虚部）A.2i > 0B.| 2i | > 1C.Re (2i) = 0D.Re (2i) < Im (2i)[答案]:A19.以下（）不是方程的根。
A.B.C. 2D. –2[答案]:C20. 以下复数中只有（）是方程的根。
复变函数与积分变换考试试卷
复变函数与积分变换考试试卷一. 填空题(每空 5 分，共 25 分)1．设100i)(1z +=，则Imz ＝ 。
2.方程lnz=i 3π的解为 。
3.)21(421lim z zi x +++→=_______________________________________。
4.导函数xv i x u x f ∂∂+∂∂=)('在区域D 内解析的充要条件为_________。
5.函数)Re()Im()(z z z x f -=仅在点z=____________________处可导。
二．选择题(每题 5 分，共 25 分)1．复数i 218-2116z =的辐角为 （ ） A.arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 2. 方程|z+2-3i|=2所代表的曲线（ ）A.中心为2-3i ，半径为2的圆周B. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周C. 中心为-2+3i ，半径为2的圆周D. 中心为2-3i ，半径为2的圆周3. 复数)2(tan πθπθ i z -=的三角表示式是（ ） A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i C.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ23sin 23cos sec i D.-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+θπθπθ2sin 2cos sec i 4. 若函数在复平面内处处解析，那么实常数a=（ ）A.0B.1C.2D. -25.设f(z)=sinz,则下列命题中，不正确的是（ ）A. f(z)在复平面上处处解析B.f(z)以 π2为周期C.2e f(z)iz ize --= D.|f(z)|是无界的 三．计算题(每题10 分，共 50 分)1.设)22(2)(22xy x i y y x z f ++--=，写出f(z)关于z 的表达式。
复变函数与积分变换考试题库
三．（8分）y e v px sin =为调和函数，求p 的值，并求出解析函数iv u z f +=)(。
三(8分) 解: 1)在2||1<<z 11000111111()()(()())()21222n nnn n n n n zzf z z z z z zz z +∞∞∞+====-=--=-+--∑∑∑-----4分 2) 在1|2|z <-<∞2111111()(1)(1)(1)122122(2)(2)(1)2nn n f z z z z z z z z ∞+==+=+=+---+----+-∑--4分四．（8分） 求())2)(1(--=z z z z f 在圆环域21<<z 和+∞<-<21z 内的洛朗展开式。
四.(8分) 解:被积函数分母最高次数比分子最高次数高二次,且在实轴上无奇点,在上半平面有一个一级极点 -2+i, 故]2,54[Re 25422i z z es i dx x x eizix+-++=++⎰∞+∞-π --------3分)2sin 2(cos 54))2((lim 222i ez z ei z i iziz -=+++--=+-→ππ --------6分故2cos 254Re 254cos 222edx x x edx x x x ixπ=++=++⎰⎰∞+∞-∞+∞- ---------8分五．（8分）计算积分dx x x x⎰∞+∞-++54cos 22。
五.(8分) 解: 22371()()Cf z d z ξξξξ++'=-⎰-------3分由于1+i 在3||=z 所围的圆域内, 故 i Ci d i i f +='++=+-++=+'⎰1222|)173(2))1((173)1(ξξξπξξξξ)136(2i +-=π -------8分六．（8分）设⎰-++=Cd zz f ξξξξ173)(2，其中C 为圆周3||=z 的正向，求(1)f i '+。
复变函数与积分变换试题和答案
复变函数与积分变换试题(一)1．一、填空(3 分×10)1．ln(-1- 3 i ) 的模 .幅角 。
2．-8i 的三个单根分别为： . . 。
3．Ln z 在的区域内连续。
4． f ( z ) = z 的解极域为： 。
5． f (z ) = x 2 - y 2 + 2xyi 的导数 f (z ) =。
7．指数函数的映照特点是： 。
8．幂函数的映照特点是： 。
9．若F () =F [f (t )].则 f (t )= F -1 f [()] 。
10．若f (t )满足拉氏积分存在条件.则 L [f (t )]=二、(10 分)-1x 2+ 1 y 2.求函数u (x ,y )使函数f (z )=u (x ,y )+iv (x ,y )为解析函数.且 f (0)=0。
、(10 分)应用留数的相关定理计算dz|z |=2 z 6(z -1)(z -3)四、计算积分(5 分×2)dz |z |=2 z ( z - 1)6． Re ssin 3z ,0 z 3已知v (x , y ) =2．c(z co-s i z)3 C：绕点i一周正向任意简单闭曲线。
五、(10 分)求函数f ( z) =z(z1-i)在以下各圆环内的罗朗展式。
1．0 | z - i | 12．1 | z - i | +六、证明以下命题：(5 分×2)(1)(t - t )与e-iwt o构成一对傅氏变换对。
+(2)+e-i t dt=2()-x + y + z = 1七、(10分)应用拉氏变换求方程组x + y+z = 0满足x(0)=y(0)=z(0)=0的解y + 4z = 0y(t)。
八、(10 分)就书中内容.函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
复变函数与积分变换试题答案（一）= 2i [-1+1] =02 分）一、1． 3. 8.二、解： 2 4 - ln 2 2 + 2. arctg 3 + 2k9 ln 2Z 不取原点和负实轴 角形域映为角形域 v u = - x = - x y 2. 2i 3 -i 、解： 四、 4. 空集 5. 2z 6． 1 +9. 1 +F ()e i d 2 -v =y =y f (z )=i - x + y +xy +c 7.将常形域映为角形域 10. 0+f (t )e -st dt ∵f (0)=0 c =0 ∴ f (z ) = xy - ( x - y ) = - ( x 2原式=(2 分) 2i Re s k =1 42 分)= -2i Re s k =3 Re sRe s,3z 6(z -1)(z -3),z 6(z -1)(z -3)u ∴ u = xy + c x 3 分） - y + 2xyi ) = z 6(z -1)(z -3) kz 6(z -1)(z -3) k(2分)3612= （2分）Re s 5 分） -2i z 2 2 分）z 3 z 1 = 0 z 2 =3 z 4 =1 = 1∴原式=(2分) 2i3 62=-36 i21．解：原式 = 2i Re s k =11 z (z -1),zk16(1-1)(1-3)z 2,0 z6 z z3 分) z 1=0z 2=1=0八、解：①定义； ②C-R 充要条件 Th ； ③v 为 u 的共扼函数 10 分1 +2)解：∵ 1+2()e -i t dw =e -i t2 -S （2）-（1）：∴Y (t )=1-12e t -12e -t =1-cht2．解： 原式 = cos z 2! z =i = i (- cos z ) = -i cos i = -ich 1 五、1．解：f ( z ) (1分)( z - i ) z - i + i 1分)(z 1-i ) 11 i 1+ z-iin =01分)z1- i1in - 1n = i (z -i )n -1 = i (z -i )n2 分）n =0 n =-12． 解： f (z )1分)=(z 1- i )i + ( z - i )1分）11+1 分）1 (z - i )2n =01 1=1n (z -1i )n +2n =0 i n -i n (z -i )n -2 (2 分) n =0六、1．+ +(t -t )e -i tdt = e--i t t =t =e -it3 分） ∴结论成立++e -i t dt = 2() -（2 分）sX (s )+Y (s )+sZ (s )= 1S (1)X (s )+sY (s )+Z (s ) = 0 （2） （3 分） Y (s )+4sZ (s ) = 0(3)∴ 2（ w ） 与 1 构成傅氏对七、解：∵∴Y (s )=s21-1s 2 -1= s - 2s -1+ s +13 分）=1=02 分）复变函数与积分变换试题(二)一、填空(3 分×10)7．若 z 0为 f (z )的 m 级极点.则Re s [ f (z ),z ]=( )。
复变函数与积分变换期末试题(附有答案),DOC
复变函数与积分变换期末试题一．填空题（每小题3分，共计15分）1．231i -的幅角是（ 2,1,0,23±±=+-k k ππ）；2.)1(i Ln +-的主值是（i 432ln 21π+）；3.211)(z z f +=，=)0()5(f （0），4．0=z 是4sin z z z -的（一级）极点；5．zz f 1)(=，=∞]),([Re z f s （-1）； 二．选择题（每题3分，共15分）1．解析函数),(),()(y x iv y x u z f +=的导函数为（）；（A ）y x iu u z f +=')(；（B ）y x iu u z f -=')(；（C ）y x iv u z f +=')(；（D ）x y iv u z f +=')(.2．C 是正向圆周3=z ，如果函数=)(z f （），则0d )(=⎰Cz z f ． （A ）23-z ；（B ）2)1(3--z z ；（C ）2)2()1(3--z z ；（D ）2)2(3-z . 3．如果级数∑∞=1n n nz c 在2=z 点收敛，则级数在（A ）2-=z 点条件收敛；（B ）i z 2=点绝对收敛；（C ）i z +=1点绝对收敛；（D ）i z 21+=点一定发散．４．下列结论正确的是()（A ）如果函数)(z f 在0z 点可导，则)(z f 在0z 点一定解析； (B)如果)(z f 在C 所围成的区域内解析，则0)(=⎰C dz z f（C ）如果0)(=⎰C dz z f ，则函数)(z f 在C 所围成的区域内一定解析；（D ）函数),(),()(y x iv y x u z f +=在区域内解析的充分必要条件是),(y x u 、),(y x v 在该区域内均为调和函数．5．下列结论不正确的是（）．(A)的可去奇点；为z1sin ∞(B)的本性奇点；为z sin ∞ (C);1sin 1的孤立奇点为z ∞(D).sin 1的孤立奇点为z ∞ 三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）（1）．设)()(2222y dxy cx i by axy x z f +++++=是解析函数，求.,,,d c b a 解：因为)(z f 解析，由C-R 条件,2,2==d a ，,2,2d b c a -=-=,1,1-=-=b c给出C-R 条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。
复变函数积分复习题答案
复变函数积分复习题答案复变函数积分是复分析中的一个重要概念，它涉及到复数域上的积分运算。
以下是一些复变函数积分的复习题及其答案。
题目1：证明如果函数\( f(z) \)在简单闭曲线\( C \)内是解析的，则\( \oint_C f(z) \, dz = 0 \)。
答案：根据柯西积分定理，如果函数\( f(z) \)在简单闭曲线\( C \)内是解析的，那么沿\( C \)的积分\( \oint_C f(z) \, dz \)等于零。
这是因为\( f(z) \)在\( C \)内是全纯的，即它满足柯西-黎曼方程，并且没有奇点。
题目2：计算积分\( \oint_C \frac{1}{z-1} \, dz \)，其中\( C \)是单位圆\( |z| = 1 \)。
答案：这个积分可以看作是\( \frac{1}{z-a} \)形式的积分，其中\( a = 1 \)。
根据柯西积分公式，我们知道\( \oint_C \frac{1}{z-a} \, dz = 2\pi i \)，当\( a \)在\( C \)内部时。
因为\( a = 1 \)在单位圆\( C \)内部，所以\( \oint_C \frac{1}{z-1} \, dz =2\pi i \)。
题目3：证明如果\( f(z) \)在\( C \)内是解析的，并且\( C \)是简单闭曲线，那么\( \oint_C f(z) \, dz = 0 \)。
答案：这个结论是柯西积分定理的直接结果。
柯西积分定理指出，如果\( f(z) \)在\( C \)内是解析的，并且\( C \)是简单闭曲线，那么\( \oint_C f(z) \, dz \)等于零。
这是因为\( f(z) \)在\( C \)内没有奇点，积分的路径\( C \)可以被任意地收缩到一个点，而不改变积分的值。
题目4：计算积分\( \oint_C \frac{e^z}{z^2+1} \, dz \)，其中\( C \)是半径为2的圆。
复变函数练习题
复变函数练习题1. 求下列复变函数的导数：a) $f(z) = z^3 - 2z^2 + 4z - 3$b) $g(z) = e^z \sin(z)$c) $h(z) = \frac{1}{z^2+1}$2. 计算下列复变函数的积分：a) $\int_C (3z^2 - 2\bar{z}) \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \cos(z) \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=1$ 到 $z=i$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{z^2-4} \, dz$，其中 $C$ 是由两个阶梯型路径组成的，从 $z=-2$ 到 $z=-1$，然后从 $z=-1$ 到 $z=2$。
3. 求下列复变函数的奇点，并判断其类型（可去奇点、极点或本性奇点）：a) $f(z) = \frac{1}{z^2+1}$b) $g(z) = \frac{\sin(z)}{z}$c) $h(z) = \frac{1}{\sqrt{z+2}}$4. 计算下列复变函数的Laurent级数展开：a) $f(z) = \frac{1}{z^2(z-1)}$b) $g(z) = \frac{e^z}{z^3}$c) $h(z) = \frac{1}{(z^2-1)^2}$5. 利用残数定理计算下列积分：a) $\int_C \frac{e^z}{z(z-1)^3} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z|=2$ 给出的路径。
b) $\int_C \frac{\ln(z)}{z(z+1)} \, dz$，其中 $C$ 是由圆 $|z-1|=1$ 给出的路径。
c) $\int_C \frac{1}{e^z-1} \, dz$，其中 $C$ 是由直线段 $z=-\pi$ 到$z=\pi$ 给出的路径。
以上是关于复变函数练习题的内容，通过解答这些问题，可以加深对复变函数的理解。
复变函数的积分例题及解析
复变函数的积分例题及解析例题1：计算复变函数 f(z) = z^3 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周。
解析：根据复变函数的积分定义，可以将复变函数积分转化为对参数t的实函数积分。
即∮ γ f(z) dz = ∫ f(γ(t)) γ'(t) dt。
对于本题中的γ(t) = Rcos(t) + iRsin(t)，γ'(t) = -Rsin(t) + iRcos(t)。
因此：∮ γ f(z) dz = ∫ [Rcos(t) + iRsin(t)]^3 [-Rsin(t) +iRcos(t)] dt= ∫[(R^3cos^3(t) + 3Rcos^2(t)iRsin(t) +3Rcos(t)i^2R^2sin^2(t) + i^3R^3sin^3(t))(-Rsin(t) + iRcos(t))]dt= ∫[-R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +3R^2cos(t)sin^3(t) - iR^4cos(t)sin^3(t) + iR^2cos(t)sin^2(t) - iRsin^4(t) + R^4cos^4(t) + 3R^2cos^3(t)sin^2(t) -3R^2cos(t)sin^4(t) + iR^4cos^3(t)sin(t) - iR^2cos^3(t)sin(t) +iR^4cos(t)sin^3(t)] dt= ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t) - 3R^2cos^2(t)sin^2(t) +6R^2cos(t)sin^3(t) - 3R^2cos(t)sin^4(t) + R^4cos^4(t) +6R^2cos^3(t)sin^2(t) + i(R^4cos(t)sin^3(t) - R^2cos(t)sin^2(t) + R^4cos^3(t)sin(t) - R^2cos^3(t)sin(t))] dt对上式分别对t进行积分，积分得到：∮ γ f(z) dz = ∫[-4R^4cos^3(t)sin(t)] dt -∫[3R^2cos^2(t)sin^2(t)] dt + ∫[6R^2cos(t)sin^3(t)] dt -∫[3R^2cos(t)sin^4(t)] dt + ∫[R^4cos^4(t)] dt +∫[6R^2cos^3(t)sin^2(t)] dt + i[∫(R^4cos(t)sin^3(t)) dt -∫(R^2cos(t)sin^2(t)) dt + ∫(R^4cos^3(t)sin(t)) dt -∫(R^2cos^3(t)sin(t)) dt]=0-0+0-0+π*R^4/2+0+i[0-0+0-0]=π*R^4/2因此，复变函数f(z)=z^3在以原点为圆心、半径为R的逆时针方向正向的圆周上的积分值为π*R^4/2例题2：计算复变函数 f(z) = e^z 的积分∮ γ f(z) dz，其中γ为沿单位圆的逆时针方向正向的圆周。
复变函数与积分变换试题及答案9
（2 分）
3．解：原式（2 分）=
∫
| z|=
1 2
1 1 2 ( z − i) z dz dz + ∫ 1 3 | | z − i = z 2 ( z − i)
（4 分） = 2πi ⋅
1 2πi ⎛ 1 ⎞ + ⋅⎜ ⎟ 3 2! ⎝ z ⎠ (−i )
″
z =i
= 2π − 2π = 0
（1 分）
原式（4 分）= 2πi
∑ Re s ⎢ z ( z − i)
k =1
2
⎡ ⎣
1
3
⎤ , zk ⎥ ⎦
z1 = 0, z 2 = i
（3 分）= 2πi⎜ +
⎛1 ⎝i
1 2⎞ ⋅ ⎟ =0 2! i 3 ⎠
7
4．解：∵
1 1 1 = = z i + z −i z −i
1 1+ i z −i
=
1 ∞ 1 (−i) n ∑ z − i m=0 ( z − i) n
1 2 I m ( az + b)(cz + d ) I m ( az + b)(c z + d ) = 2i | cz + d | 2 i | cz + d | 2
8
=
=
ad − bc I m ( z) | cz + d | 2
az + b cz + d
（2 分）
（2 分）
∴所求的映射 w = ∴ ad − bc > 0 ， 三、1．解： f (t ) = 2．解：
a, b, c, d 实数
1 2π
∫
+∞
−∞
复变函数与积分变换练习册参考答案
分析：显然原方程可化简为一个典型的二项方程。
⎛ 1+ z ⎞ 解：由直接验证可知原方程的根 z ≠ 1 。所以原方程可改写为 ⎜ ⎟ = 1。 ⎝ 1− z ⎠
令
5
ω=
1+ z ， ……………(1) 1− z
2π i 5
则 ω = 1 ， ……………………(2)
5
方程(2)的根为 ω = 1, e
(5) lim
z →1
zz + 2 z − z − 2 3 = 。 2 z2 −1 zz + 2 z − z − 2 ( z + 2)( z − 1) z +2 3 = lim = lim = 。 2 z →1 ( z − 1)( z + 1) z →1 z + 1 2 z −1
提示： lim
z →1
(1 − cos α ) 2 + sin 2 α = 4sin 2
α
2
= 2sin
α
2
；因为当 0 < α < π 时，
sin α > 0 ， 1 − cos α > 0 ，则 arg z = arctan
= arctan(tan +i sin
π −α
2
)=
π −α
2 e
π −α i 2
sin α α = arctan(cot ) 1 − cos α 2
。
6、 ( 2)
=e
2 ln 2 − 2kπ
7、方程 sinh z = i 的解为 三、计算和证明 1、试证函数
1 在复平面上任何点都不解析。 z
利用 C-R 条件，即用解析的充要条件判别，即 u =
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基本要求
1． 正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n
k k C k f z dz f z λζ→==∆∑⎰ 2． 掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα
'=++=⎰⎰⎰ 3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =⎰ ，10
10()()()z z f z dz G z G z =-⎰ 4． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分；
1()()C C f z dz f z dz =⎰⎰ ，1()()k
n C C k f z dz f z dz ==∑⎰⎰ 5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式；00
()2()C f z dz if z z z π=-⎰ 6． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。
0102()()()!
n C if z f z dz z z n π+=-⎰ 一、填空题
1．2||122z dz z z ==++⎰ （ ）
； 2．22|1|111z z dz z -=+=-⎰ （ ）
； 3．2||1cos ()z z dz z π==-⎰ （ ）
； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1()
C f z f z dz f z '''++=⎰ （ ）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（ ），且()()n f
z =（ ）。
二、计算下列各题
1．计算积分2(2)C iz dz +⎰，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33
i -+ 2．计算积分22z C e dz z z
+⎰ ，:||2C z =； 22(1).i e π--
3．计算积分||1z
n
z e dz z =⎰，n 为整数； 20,1,2;1.(1)!i n n i n n ππ≤=>-时积分值为0;时积分值为时，积分值为 4．求积分2|2|1
cos z i z dz z -=⎰ ； 0. 5．计算积分
20i z ze dz ⎰，2sin i i zdz ππ-⎰，i i zchzdz ππ-⎰； 112(1);();0.22sh i e ππ-- 三、问||z e 在0||1z z -≤的何处达到最大值？并求此最大值. （最大模原理0Re 1z e
+） 四、计算积分
2C dz z +⎰，其中C 是圆周||1z =，并由此证明：012cos 054cos d πθθθ+=+⎰. 五、计算(21)(2)C zdz I z z =+-⎰ ，其中C 是
(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）1|1|2z -=； （4）||3z =。