复变函数积分(练习题)

基本要求

1． 正确理解复变函数积分的概念；01()lim ()n

k k C k f z dz f z λζ→==∆∑⎰ 2． 掌握复变函数积分的一般计算法；()()()(())()C C f z dz u iv dx idy f z t z t dt βα

'=++=⎰⎰⎰ 3． 掌握并能运用柯西—古萨基本定理和牛顿—莱布尼茨公式来计算积分； ()0C f z d z =⎰ ，10

10()()()z z f z dz G z G z =-⎰ 4． 掌握闭路变形定理、复合闭路定理，并能运用其计算积分；

1()()C C f z dz f z dz =⎰⎰ ，1()()k

n C C k f z dz f z dz ==∑⎰⎰ 5． 掌握并能熟练运用柯西积分公式；00

()2()C f z dz if z z z π=-⎰ 6． 掌握解析函数的高阶导数公式，理解解析函数的导数仍是解析函数，会用高阶导数公式计算积分。

0102()()()!

n C if z f z dz z z n π+=-⎰ 一、填空题

1．2||122z dz z z ==++⎰ （ ）

； 2．22|1|111z z dz z -=+=-⎰ （ ）

； 3．2||1cos ()z z dz z π==-⎰ （ ）

； 4．设()f z 在单连通域D 内解析且不为零，C 为D 内任一条简单闭曲线，则()2()1()

C f z f z dz f z '''++=⎰ （ ）； 5．解析函数()f z 的导函数仍为（ ），且()()n f

z =（ ）。

二、计算下列各题

1．计算积分2(2)C iz dz +⎰，C 是由(1,0)A 到(0,1)B 的直线段； 111.33

i -+ 2．计算积分22z C e dz z z

+⎰ ，:||2C z =； 22(1).i e π--

3．计算积分||1z

n

z e dz z =⎰，n 为整数； 20,1,2;1.(1)!i n n i n n ππ≤=>-时积分值为0;时积分值为时，积分值为 4．求积分2|2|1

cos z i z dz z -=⎰ ； 0. 5．计算积分

20i z ze dz ⎰，2sin i i zdz ππ-⎰，i i zchzdz ππ-⎰； 112(1);();0.22sh i e ππ-- 三、问||z e 在0||1z z -≤的何处达到最大值？并求此最大值. （最大模原理0Re 1z e

+） 四、计算积分

2C dz z +⎰，其中C 是圆周||1z =，并由此证明：012cos 054cos d πθθθ+=+⎰. 五、计算(21)(2)C zdz I z z =+-⎰ ，其中C 是

(1) ||1z =; (2) |2|1z -=; （3）1|1|2z -=； （4）||3z =