数理方程PPT
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数理方程第1讲-课件
x xy y 3
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
M u 2u x 2 2u
x 2
y 2
L 2 3 x xy y3
与
M
2 x2
x2
2 y2
都称为微分算子。
我们定义具有下列性质的算子为线性算子。
(1)常数c可以从算子中提取出来 LcucL u
9
(2) 算子作用于两个函数之和所得的结果等于算子分 别作用于两个函数所得结果之和。
例如： 书中例1.1、1.2
y2u2xy2uu1
x2
y2
(二阶线性偏微分方程)
否则称之为非线性偏微分方程。 书中例1.5
7
4. 半线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数不含 有未知多元函数及其低阶偏导数，则称为半线性偏 微分方程。如书中例1.6
5. 拟线性偏微分方程：若非线性方程中未知多元函 数的所有最高阶偏导数都是线性的，而其系数含有 未知多元函数或其低阶偏导数，则称为拟线性偏微 分方程。如书中例1.8
6. 非齐次项和非齐次方程：在线性偏微分方程中， 不含未知函数及其偏导数的非零项称为非齐次项， 而含有该非齐次项的方程称之为非齐次方程。如书 中例1.1
8
下面简单讨论一下偏微分方程中经常遇到的线性算子。
算子是一种数学法则，把它作用在一个函数上时，便 产生另外一个函数。例如，在下列表达式中：
Lu u 2u 3u
其中 a2 T , f F.
方程(1.4)称为弦的强迫横振动方程。
16
若外力消失F=0，则方程变为
utta2uxx (a2T)
上式称为弦的自由振动方程。
(1.5)
我们虽然称 (1.4)、(1.5)为弦振动方程，但在力学上弹 性杆的纵振动，管道中气体小扰动的传播以及电报方 程等问题，都可以归结为上述偏微分方程的形式。
华科数理方程ppt完整版每章都有
12
上午12时3分
流入的热量导致V 内的温度发生变化 u ( x , y , z , t 1 )u ( x , y , z , t 2 ) ,温度发生变化需要的热量为：
Q2
V
c u ( x , y , z , t 2 ) u ( x , y , z , t1 ) d V
t2
对第一方程两边取旋度， 得：
H ( E ) t
H t
根据矢量运算：
H
2 H ( H ) H
H
2
) 由此得： H ( t t
2
H
2
即：
H
2
t
J D x
式中J称为扩散通量.常用单位是g/(cm2.s)或mol/(cm2.s)； C x 是同一时刻沿轴的浓度梯度；D是比例系数，称为扩散系数。
15
上午12时3分
质量守恒与扩散方程
扩散过程
16
扩散通量J的方向与 浓度降低的方向一致
上午12时3分
质量守恒与扩散方程 如图所示，在扩散方向上取体积元 A x , J x 和 J x x 分 别表示流入和流出体积元的扩散通量，则在Δt 时间内， 体积元中扩散物质的积累量为
ds dx
6 上午12时3分
u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gds m a x x
u ( x, t) u ( x dx, t ) u ( x, t ) T gdx dx 2 x x t
2
u ( x dx, t )
u ( x, t )
a
数理方程 绪论PPT共39页
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
谢谢！
数理方程 绪论
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
21、要知道对好事的称颂过于夸大，毁于随。——韩愈
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
东南大学版《数理方程》课件
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2u 2u 2u ( A B) AB 2 0 2 xy x y
u u u u u A B x x x
y Ax
y Bx
2 2 2u u u u u 2u 2 u 2 u A B A B A 2 AB B 2 2 x x x 2 u u u u u y y y
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1 2
1 x at ( )d b. 只有初始速度时： u ( x, t ) x at 2a 假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间外恒等于0
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
e
( x at ) 2
]
1 2
x at x at
x at
2ase
s 2
ds
( x at ) 1 [ e 2
2
2
e
( x at ) 2
] 1 [ e 2
x atቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx at s 2
e
s 2
ds2
e ( xat )
x at
数学物理方程与特殊函数
数学物理方程与特殊函数
第3章行波法与积分变换法
2 2 u2 u2 2 a f ( x, t ), x , t 0 2 t 2 x u ( x, 0) 0, u2 ( x, 0) 0, x 2 t 利用齐次化原理，若 满足：
数理方程-第1章第2章-研究生ppt课件
张力为 F T(x,t),F T(x d x,t)与x轴夹角为 1 , 2 . 用 表
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
示单位长度弦的质量，则长为dx的一小段弦的质量为
d x。u t t 是弦的加速度，及单位长度弦上所受的外力
大小为F(x,t).
16
则根据牛顿第二定律，有
dxuttF T,x dxsin2F T,xsin1F (x,t)dx. F T,xdxcos2F T,xcos10.
uyyuxxA2uxB2uyC2uD2,
双曲型方程的第一标准形和第二标准形。
方程 标准形。
uyy A3uxB3uy C3uD3, 称为抛物型方程的
uxx A4uxB4uy C4uD4,
方程 u x x u y y A 5 u x B 5 u y C 5 u D 5 ,称为椭圆型方程的 标准形。
11
2
2i
变量方程（1）化为标准形 u u A u B u C u D ,
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。
13
第三节 经典方程的导出
一、方程的建立 1、弦振动方程（一维）； 2、热传导方程（一维）；
14
弦的振动方程的导出
（考察一根均匀柔软的细弦，平衡时沿ox轴绷紧） 考察一根长为l的细弦，给定弦的一个初始位移和初始 速度，弦作横振动，确定弦上各点的运动规律。
未知函数u的偏导数。
5
定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶 数称为偏微分方程的阶。
定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶 偏导数都是一次的，其系数仅依赖于自变量，就称 为线性偏微分方程。
二阶线性偏微分方程的一般形式：
i,n j1aijx i2 u xj i n1bi x ui cuf(x1, ,xn).
数理方程第3讲.ppt
O x1
x2
x
12
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
20
f1(3x)
9 4
x2
C,
f1 ( x)
1 4
x2
C,
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z
rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1 是球面SrM 上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素,
dS
是
S
M r
上的面
积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都
数理方程中典型方程和定解条件的推导PPT课件
P i di
●
Gdx v dv
x
●
x dx
第16页/共87页
电路准备知识 电容元件：
du
i C C
C
dt
q Cu
i dq d(Cu) C du
dt dt
dt
q idt
电感元件：
uL
L
diL dt
uL
dL dt
L Li
di uL L dt
i
1 L
udt
换路定理: 在换路瞬间，电容上的电压、电感中的电流不能突变。
a2ux x utt
第14页/共87页
一维波动方程
二. 传输线方程(电报方程)的建立
现在考虑电流一来一往的高频传输线，它被当作具有分布参数的导体, 每单位长导线所具有的电阻、电感、电容、电导分别以 R、L、C、G 表示。
对于直流电或低频的交流电,电路的基尔霍夫（Kirchhoff）定律指出, 同一支路中的电流相等。但对于较高频率的电流（指频率还未高到显著 辐射电磁波出去的程度），电路导线中的自感和电容的效应不能被忽视， 因而同一支路中电流呈现瞬态变化。
g)
②一般说来，ut t g ， 将 g 略去，上式变为
T
u x
xdx T
u x
x
ds ut t
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
第12页/共87页
T T
T( u x
u xdx x
x ) d x ut t
T T 指出，即张力不随地点 而异，它在整根弦中取 同一数值。
“今考虑一来一往的高频传输线，每单位长一来一往所具有的电阻，电感，电容， 电漏分别记以 R，L，C，G。于是
数理方程课件
详细描述
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
一阶常微分方程在物理学、工程学、经济学等领域有广泛应用。
一阶常微分方程可以用于描述各种实际问题中变量的变化规律，如物理中的自由落体运动、电路中的电流变化等。在经济学中，一阶常微分方程可以用于描述供求关系的变化、消费和储蓄的动态过程等。在工程学中，一阶常微分方程也广泛应用于控制系统、化学反应动力学等领域。
数理方程可以根据其形式和性质进行分类。
总结词
根据其形式和性质，数理方程可以分为线性与非线性、自治与非自治、常系数与变系数等多种类型。这些分类有助于更好地理解和研究数理方程的性质和应用。
详细描述
数理方程的分类
总结词
数理方程在各个领域都有广泛的应用。
详细描述
数理方程在物理学、工程学、经济学、生物学等许多领域都有重要的应用。例如，在物理学中，描述波动、热传导、引力场等问题的方程都是数理方程。在工程学中，流体动力学、电磁学等领域的问题也都可以通过数理方程来描述和解决。
总结词
一阶常微分方程的定义
一阶常微分方程的解法
求解一阶常微分方程的方法主要有分离变量法、积分因子法、常数变易法和线性化法等。
总结词
分离变量法是将方程中的变量分离出来，使方程变为可求解的形式。积分因子法是通过引入一个因子，使方程变为全微分方程，从而简化求解过程。常数变易法适用于形式为y' = f(x)y的方程，通过代入可求解。线性化法则是将非线性方程转化为线性方程，便于求解。
分离变量法
有限差分法
有限元法
变分法
用离散的差分近似代替连续的微分，适用于求解初值问题和边界问题。
将连续的求解区域离散化为有限个小的子区域，适用于求解复杂的几何形状和边界条件。
通过求某个泛函的极值来求解偏微分方程，适用于求解某些特殊类型的方程。
数理方程第3讲PPT课件
13
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
2 u 2 u 2 u u u A x 2 2 B x y C y 2 D x E y F u 0( 3 .1 2 )
15
A 2 u 2 B 2 u C 2 u D u E u F u 0( 3 .1 2 ) x 2 x y y 2 x y
xat
x
11
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
t
决定区域
10
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
O xat
u t t0
(x),x.
(3.7)
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
a f1 f1 ((xx )) fa 2f(2 x ()x ) (x()x ,).
《数理方程》课件
a2
2u x2
f
(x,t)
其中 f (x,t) F
也称上式为一维（非齐次）波动方程
16
二、热传导问题
1. 问题描述 考察均匀且各向同性的导热体内温度分布情况。
2. 模型分析 ➢ 均匀：介质密度相同，为常数； ➢ 各项同性：物体的比热、热传导系数为常数； ➢ 体：三维问题; ➢ 物理规律：能量守恒定律、Fourier热传导实验定律 3. 导出方
❖ Chapter 1
1. PDE基础知识（阶，线性，齐次，分类等）； 2. 定解问题的提法：基本概念，三类边界条件； 3. PDE解的基本性质。
1
❖ Chapter 2
1. ODE及Fourier级数的补充知识； 2. 定解问题的三类基于分离变量的求法：分离变量，特征函数，
边界条件齐次化； 3. Laplace方程的极坐标形式及其分离变量求解。
5
第一章 一些典型方程和定解条件的推导
1. 前言 2. 基本方程的建立 3. 初始条件与边界条件 4. 定解问题的提法
6
1. 前言
1.1 课程特点及其研究对象
数学物理方程，是指从物理学、力学及其他自然科学、 技术科学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的积分 方程，微分积分方程，甚至常微分方程等。
1. Laplace方程边值问题四种提法； 2. 第一、第二Green公式； 3. 调和函数的基本性质； 4. 特殊区域上的Green函数及其求解定解问题。
4
所需知识
高等数学 常微分方程 积分变换
课程评价(Grading Policies)
期末考试成绩 (80%左右)
平时成绩 (20%左右)
x
ds 1 ux 2 dx dx
数理方程复习课件
x x x c1 e xe e dx c1
x e x xe x e x c1 x 1 c1 e
dy x 1 c1 e x dx
y x 1 c1 e x dx
所以原微分方程的通解为
n
性质5的推论常被当做级数发散的充分条件来使用。
即 lim un 0 级数 n 1 2n 1
n 1 因为lim un lim ， n n 2n 1 2
n 所以，级数 是发散的。 n 1 2n 1
三、 常数项级数的敛散性判别法
1、收敛准则：
定理 1 : 正项级数 un 收敛的充分必要条件
2、比较判别法: 定理 2 比较判别法 设 un 与 v n都是
正项级数, 且un v n n 1,2,
则 1) 当级数 v n 收敛时, un 也收敛 ;
2) 当级数 un 发散时, v n 也发散。
则微分方程的通解为 y e P x dx Q x e P x dx dx c
e
1 dx x
1 dx 1 x e dx c ln x
1 x dx c x ln x
三、通过适当的代换求解
dy x y 5 例 求 的通解 . dx x y 2
解
dy du 1 令 x y u, dx dx du u 5 代入原方程 1 dx u 2
解得u 2 14x C ,
2
2 代回u x y, 得 ( x y 2) 14x C1 ,
数理方程重点总结.ppt
据此，解得G( x)
G( x) x2 H (0)
(5)
因此有
u( x, y) 1 x3 y2 H( y) x2 H (0)
(6)
6
又 依 据 u(1, y) cos y， 代 入 （6） 式 ， 有
cos y 1 y2 H ( y) 1 H (0) 6
据此，解得H( y)
H ( y) cos y 1 y2 1 H (0) 6
泛定方程 边 界 条 件 （ 第 一 类 、 第二 类 ！ ！ ！ ） 初始条件
数学物理方法
第二讲
直接积分法
( Method of Direcit Integration )
另附：直接积分法 解微分方程边值问题
a2
d 2W ( x) d x2
f (x) 0
(5)
W ( x) x0 M（1 常数），W ( x) xl M（2 常数） , t 0
(7)
将 （5） 、 （7） 代 入 （4） 式 ， 即 得 特 解
u( x, y) 1 x3 y2 cos y 1 y2 1 x2
6
6
再另附：直接积分法 求偏微分方程的通解
2u u
t
2 2xt
xt x
解 把方程写成
(t u 2u) 2xt x t
对 x 积分，得
t u 2u x2t F (t) t
T a2T 0 （ 时 间 变 量 的 微 分方 程）
X X 0 （空间变量的微分方程）
二 、 空 间 变 量 常 微 与 边界 条 件 捆 绑 ， 构 成 本 征值 问 题 。 （ 解 本 征 值 问题 ）
X X 0
(1)
u x
u
0,
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2. > .^‡
• (1)1˜aµu|>. = f1;
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∂u • (2)1 aµ ∂n |>. = f2; ∂u • (3)1naµ u + k ∂n | >. = f3.
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~µ Š’(3.1)1Ô K utt = a2 uxx , 0 < x < L, t > 0 u|x=0 = 0, ux|x=L = 0, (7) F0
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T2cos(α2) − T1cos(α1) T2sin(α2) − T1sin(α1) − ρg ds + F ds α1 α1 = 1 − + ··· 2! sin(α1) sin(α2) ≈ tan(α2), tan(α) ds = (dx)2 + (dy )2 =
1
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Ù©lCþ{
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^©lCþ{¦)½)¯K 1.¦ e >Š¯K kŠÚ ’3.113K) (1). (9) )
∂2u ∂t2 u = a2 ∂ + f. ∂x2
2
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~µÅÄ•§
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a11 = 1, a12 = 0, a22 = −a2, = a122 − a11a22 = a2 > 0
~µ9D
u •§ ∂u = a2 ∂ + f. ∂t ∂x2
2
⇒ ÅÄ•§´V-. .
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¥§
R
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(4)
v tt = a2v xx, −∞ < x < +∞, t > 0, a2 = v (x, 0) = ϕ(x), v t(x, 0) = ψ (x).
R
1 . LC
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I(x, t) = e− L tw(x, t)§“\•§>ØI(x, t)•§¥§ wtt = a2wxx, −∞ < x < +∞, t > 0, a2 = w(x, 0) = ϕ(x), wt(x, 0) = ψ (x).
1 . LC
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(5)
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½)^‡ 1. Ð ©^‡ u ĵ
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u(x, 0) = ϕ(x),
9D Щ§ÝÜ©µ
∂u |t=0 = ψ (x). ∂t
u(x, 0) = ϕ(x).
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~µ Š’(3.1)1˜ K ½)¯K•µ utt = a2 uxx , 0 < x < L, t > 0 u| = 0, u|x=L = 0, (6) x=0
ut|t=0 = 0, u(x, 0) = ϕ(x).
h (−x L−C h x, 0 C
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Ù¥ϕ(x) =
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≤x≤C + L), C < x ≤ L.
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ên•§Ï"ESKÀù The last class reviews for the last examination of the mathematical equation for physics
October 27, 2014
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∆ = a122 − a11a22 =
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225 + 34 > 0, 4
•§´V- ." dKŒ• •§ A -‚•µ
(8)
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dy dx
2
+ 15
dy − 34 = 0. dx
)ƒ µ
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dy dx dy dx
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²Lz{$Ž §
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>ØÚ>6 •§•µ
uxx − LCutt − (LG + RC )ut − RGu = 0, CR = GL, I xx − LCI tt − (LG + RC )I t − RGI = 0. u(x, t) = e− L tv(x, t)§ “ \ • § > Øu(x, t)• §
u|t=0 =
SY
x, ut|t=0 = 0.
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‡©•§a. éu‡©•§
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ä
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∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u ∂ 2u + a22 2 + b1 + b2 + cu = f . a11 2 + 2a12 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y
e > 0, V-.; 2 = a12 − a11a22 = 0, Ô.; < 0, ý ..
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9D •§ Ñ 3. Ñ!Ÿ…3z˜Ó%¥þ •§" )
§
á¥N
9D
dtž m S Ï LS16 \
¥Š S
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Uþ•
Q1 = −kur (r, t)4πr2dt.
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dtžmSÏLS26\¥Š S Uþ• Q2 = −kur (r + dr, t)4π (r + dr)2dt. dtžmS¥Š Sá UþQ3•
= −17, ⇒ = 2.
17x + y = 0, 2x − y = 0.
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-
ξ = 17x + y, K η = 2x − y, |Q| = ξx ξy 17 1 = = 0. ηx ηy 2 −1
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¤±§k
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a11 a12 a21 a22
= =
17 1 2 −1
1 − 15 2 15 − 2 −34 .
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u(x, t) = f1(17x + y ) + f2(2x − y ).
creen
= 0§éη È©µ ∂u = f (ξ ) " ∂ξ
2éξ È©µ
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u(ξ, η ) =
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f (ξ )dξ + f2(η )
= f 1 ( ξ ) + f 2 (η ).
éª(3)†à^¥Š½n§…-∆x → 0§
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µ
T (x)ux |x = ρutt.
qT = ρg (L − x)§‘\þª¥= u î Ä•§µ
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utt = g [(L − x)ux] |x = g
∂ ∂u ( L − x) ∂x ∂x
.
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dT = −ρg. dx é þ ª ' uxÈ © § ¿ | ^ 3x = 0? § Ü åT T Ð uu g-ρgL§ µ
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T = ρg (L − x).
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3Y²••Ü啵 (2)
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T (x + ∆x)sin(α2) − T (x)sin(α1) = ρ∆xutt.
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qϕ
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sin(α2) ≈ tan(α2) ≈ ux(x + ∆x), α2 → 0, sin(α1) ≈ tan(α1) ≈ ux(x), α1 → 0.
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¤±ª(2)Œ±z•µ
T (x + ∆x)ux(x + ∆x) − T (x)ux(x) = ρ∆xutt. (3) T (x)ux |x+∆x − T (x)ux |x = ρ∆xutt.
17 2 1 −1
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·17 0 53 + 152 ·17 53 + 152 0
? • § Œ ± z { • µ361uξη = 0 ⇒ uξη = 0§ ) ƒ :
u(ξ, η ) = f1(ξ ) + f2(η ).
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òξ, η
Lˆª“\þª¥§
•§ )•µ
⇒ T2 = T1 = T. = ρuttdx. = ρuttdx. = utt. = utt, = utt.
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