2019届江苏省南京市高考模拟周周练数学试卷 (10)

周练数学10

注意事项：

1．本试卷共160分、考试时间120分钟．

2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：

棱锥的体积：V ＝1

3

Sh ，其中S 为底面积，h 是棱锥的高．

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝x －1的定义域为A ，集合B ＝{x ∈Z |x ＋6＞0}，则(∁R A )∩B 中的元素个数为

▲ ． 2．已知复数z ＝

3－i

1－2i

，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为▲_________． 3．执行右图算法流程图，则输出的值n 为▲_________．

4．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[100，104)中的树木所占比例为▲_________．

5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，其中x ∈[0，π

2

]，则函数f (x )的最小值为 ▲ ．

6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜0，

bx －1，x ＞0

是奇函数，则不等式f (x )＜0中x 的取值范围为 ▲ ．

7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11．若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为 ▲ ． 8．在集合A ＝{x |0≤x ≤2}中随机取出两个数a ，b ，则a －b ≤1的概率是▲_________．

（第3题图）

(cm)

（第4题）

9．已知θ∈(0，π)，|cos θ|＝－cos θ，若sin θ＝35，则tan(θ＋π

4

)的值为 ▲ ．

10．已知正三角形ABC 的边长为23，O 为△ABC 内一点，若→OA ＋→OB ＋2→OC ＝0，则｜→OA ＋→

OB ｜ ＝▲_________．

11．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，

12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0上有且只有两点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离为1，则实数m 的取值范围为 ▲ ．

13．已知a ＞b ＞0，则a 2＋b 2b (a －b )

的最小值为 ▲ ．

14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－6，0)，A (－3，2)，B (4，4)．直线l 过点P ，且将△AOB

分成面积相等的两部分，则直线l 的方程为 ▲ ．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝2b ，cos A ＝－1

4，求sin C 的值；

（2）若A ＝π

6，且3tan B ＋tan C ＝0，求角B 的度数．

16．(本小题满分14分)

如图，已知P A ⊥矩阵ABCD 所在平面，AD ＝2AB ，E 为线段PD 的中点． （1）求证：PB ∥平面AEC ； （2）求证：BD ⊥CE ．

A

B

C

E

P

（第16题）

17．(本小题满分14分)

如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道（R t △FHE ，H 为直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别在BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝103米，记∠BHE ＝θ．

（1）将污水净化管道长度L 表示为θ的函数；

（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道长度．

18．(本小题满分16分)

已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；

（2）设b n ＝1

a n ，数列{

b n }的前n 项和为T n ．若3T n ＞S n ，求n 的最大值．

19．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为6，且过点(103，31

3)．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设M ，N 是椭圆C 上不同的两点，点P 的坐标为(0，92)，PM →＝λPN →

．

①当λ＝1

2时，求点N 的坐标；②求λ的取值范围．

20．(本小题满分16分)

已知函数f (x )＝ax 2＋1

2bx ，a ≠0，b ＞0．

（1）①讨论函数f (x )的单调性；

②设a ＞0，若x 1，x 2满足|x i |＞1a

(i ＝1，2)，且x 1＋x 2＞0，x 2＞0，求证：f (x 1)＋2f (x 2)＞a b ．

（2）设a ＞0，函数g (x )＝12ax 2－ln x ．若对任意x 1，x 2∈(0，1

a )，x 1≠x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)

－g (x 2)|，求b －a 的最大值．

A

B

C D

H

E

F

（第17题）