2019届江苏省南京市高考模拟周周练数学试卷 (10)
2019年江苏省高考数学模拟试卷共八套含答案
2019年江苏省高考数学模拟试卷共十套 2019年江苏省高考数学全真模拟试卷01一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合}{1,1,2A =-，{}13B x x =-<<，则A B =I ． 2．已知复数12i z =+，其中i 是虚数单位，则z 的模为 ．3．已知一组数据4，3，5，7，1，则该组数据的方差为 ． 4．执行如图所示的伪代码，最后输出的a 的值是 ．5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，则取到的2个数的和大于5的概率为 ．6．已知sin 2cos 0αα+=，则tan 2α= ．7．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线2211x y m -=+的离心率为2，则实数m 的值 是 。
8．在三棱锥S ABC -中，直线SA ⊥平面ABC ，1SA =，ABC ∆的面积为3，若点G 为ABC ∆的重心，则三棱锥S AGB -的体积为 ．9．已知1130,15n n θθθ+=︒=+︒，1sin n n a θ+=，N *n ∈，则224a a += ． 10．在平面直角坐标系xOy 中，若圆2220x y x ay +-+=与曲线220x y -=有2个公共点，则实数a 的值是 ．11．已知定义在区间[2,2]-的函数()f x 满足1(2)()2f x f x +=，当20x -≤<时，2()f x x x =-，则不等式()f x x ≤的解集为 ．12．已知函数11()1,()(())k k f x x f x f f x +=-=，其中N k *∈，且6k ≤，若方程()l n 0k f x x -=恰有两个不相等的实数根，则k 的取值集合为 ． 13.在ABC ∆中，点D ，E 分别在线段AC ，BC 上，DE AB BE AD ⋅=⋅，若,AE BD 相交于点F3=，则=⋅BF BE ．（第4题）14. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2s i n s i n 2s i n C B A =，且3s i n bB a=，则实数m 的最小值是 。
南京市2019届高考全真模拟数学试题
南京市2019届高考全真模拟数学试题 2019.4注 意 事 项一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．1、复数1i1i 2++等于___ ★ ___ 2、函数sin(2)6π=-y x 的最小正周期为___ ★ ___ 3、已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-==24x x y x A ，(]a B ,∞-=，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是___ ★ ___4、为了保证信息安全传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文 密文 密文 明文 已知加密为2-=xa y (x 为明文、y 为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”， 再发送，接受方通过解密得到明文“3”，若接受方接到密文为“14”，则原发的明文 是___ ★ ___5、为了在运行下面的程序之后得到输出y ＝25，键盘输入x 应该是___ ★ ___ Input xIf x<0 theny=(x+1)*(x+1) Elsey=(x-1)*(x-1)End ifPrint y End6、已知向量 1)，θ=a ，(1 cos )，θ=b ，则⋅a b 的最大值为___ ★ ___7、在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数22()2π=+-+f x x ax b 有零解密加密发送点的概率为___ ★ ___8、若函数123+++=mx x x y 是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是___ ★ ___ 9、设0)()(0,,),1(log )(223≥+≥++++=b f a f b a b a x x x x f 是则对任意实数的___ ★ ___条件。
10、已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,OB OA OM βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数），若N （1，0），则||MN 的最小值是___ ★ ___11、若RtΔABC 中两直角边为a 、b,斜边c 上的高为h ，则222111ba h +=， 如图，在正方体的一角上截取三棱锥P-ABC ，PO 为棱锥的高， 记M =21PO, N =222111PC PB PA ++,那么M 、N 的大小关系是 M___ ★ ___N.（填<、>、=、≤、≥中的一种）12、直线l 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线l 分成弧长为2 : 1的两段圆弧，则该双曲线的离心率是___ ★ ___ 13、设x ，y ，z 是正实数，满足()()xy z x z y z +=++，则xyz 的最大值是___ ★ ___ 14、数列{}n a 定义如下：11a =，且当2n ≥时，211,1,n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩当为偶数时，当为奇数时．已知3019n a =，则正整数n 为___ ★ ___二、解答题（本大题6小题，共90分。
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)答案
分2 3 2 ) )) ⎦江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把答案填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．． 4 -π1. [1, 4) 2．23.必要不充分4. 215.6.4 37. 2 8. y 2= 2x9. x = 3或 4x - 3y + 3 = 0 10． 5 71411. (1,2)12.a ≥ 1 413. 4 - 414. (-∞, - ⎤ 二．解答题：本大题共 6 小题，15—17 每小题 14 分，18—20 每小题 16 分，共计 90 分． 请在答．题．卡．指．定．区．域．内．作．答．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15.(1) f (x ) = m ⋅ n + 1 = (2 cos x ,- 3 sin x )(3cos x ,2 cos x ) + 1∴ f (x ) = 6 cos 2 x - 2 3 sin x cos x + 1………………………………2 分∴ f (x ) = 6 1 + cos 2x - 3 sin 2x + 1∴ f (x ) = 2 3( 3 cos 2x - 1sin 2x ) + 42 即 f (x ) = 23 cos(2x + π+ 4 2 2………………………………6 分6 故周期T = 2π= π 2 （2）令 y = kf (x ) - 1 = 0 ,则 1= k………………………………7 分f (x ) ， (k ≠ 0)由（1）得∴ f (x ) = 2 3 cos(2x + π+ 4 60 ≤ x ≤ π，∴π ≤ 2x + π ≤ 7π， ………………………………9 分2 6 6 6∴ -1 ≤ cos(2 x + π ≤ ，∴ 4 - 2 6 2 ≤ f (x ) ≤ 7 ，………………………………12 分 ∴ 4 - 2 ≤ 1 ≤ 7 ，∴ 1 ≤ k ≤ 1 + 3 ………………………………14 分 k 7 216.(1) SA = SB , N 是 AB 中点 ∴ SN ⊥ AB 平面 S AB ⊥平面 A BCD,平面 S AB ⋂ 平面 A BCD =AB , ∴ SN ⊥平面 A BCD AC ⊂平面 A BCDSN ⊂ 平面 S AB ………………………………2 分 ∴SN ⊥A C........................................................................... 6 (2)取 SD 的中点 E,连 EMM 是中点，∴EM//CD,且 EM= 1CD2底面 ABCD 是矩形, N 为 AB 中点∴AN//CD,且 AN= 1CD ，∴ EM //AN2∴四边形 EMNA 是平行四边形1033 34 3 4 3 33 3 h h )) x 2 ⎪ 2∴MN//AE ………………………………10 分 MN ⊄ 平面 S AD ，AE ⊂ 平面 S AD ， 所以 MN//平面 S AD ． ………………………………14 分17.（1）在 ∆ABC 中， ∠CBA = 120 ， ∠CAB = 45，所以∠BCA = 15，由正弦定理，得 AB = CB 10 ………………………………３分sin15 10 sin 45 sin12015 2 +5 6 所以 AB + BC = sin120(sin15 + sin 45 ) = ≈ 11.2 （米） 3答：折断前树的高度11.2米. …………………6 分（2）如图，设∆ABC 的内接矩形 DEFG 的边 DE 在 AC 上且 DE = 2 ,设 DG = EF = h因为∠CAB =θ， ∠CBA = 120 ，所以∠BCA = 60-θ，所以 AD + CE + DE = + + 2 = 10 ，………………………………８分cos θ tan θ cos(60-θ)tan(60-θ)BGF所以 h [sin θ + sin(60 -θ) ] = 8 ， 8sin θsin(60 -θ)h = sin 60=16 ( 3 sin 2θ- 1 - cos 2θ 3 44 = 8 3 sin(2θ+ π - 4 3 3 6 3 ………………………………10 分θ∈π π π 5π因为(0, ), 所以2θ+ ∈ ( , )3 6 6 6 π 1所以sin(2θ+ ) ∈ ( ,1]，所以 h ∈ (0, ] ………………………………12 分6 2 3因为 ≈ 2.3 < 2.5，所以救援车不能从此处通过. ………………………………14 分18.（1）由椭圆定义知 ∆F 2 AB 的周长为 4a ，所以 4a = 8 ，所以a = 2c又离心率 a = ，所以c = ，所以b = 1 2所以椭圆 C 的方程为 2 +y = 1． ……………………4 分 4（2）当l ⊥ x 轴， PB ≠ 2AP所以可设l ： y = kx + 1, A (x , y ) ， B (x , y )21 12 2⎧ y = k x + 1则 ⎨ x 2 2，消去 y 得(1+ 4k 2 ) x 2+ 4kx - 3 = 0⎩⎪4+ y = 1 ⎧⎪ 所以 ⎨x1 + x2 = - 4 k1 + 4 k 2- 3( * )……………………6 分⎩⎪x1 x2 =1+4k215m3m 3 m33m3m ⎨因为 PB = 2AP ，所以 x 2 - 0 = -2x 1 ，即 x 2 = -2x 1 代入(*) 化简得⎪⎧ - x 1= - 4 k 1 + 4 k 23 1 4k 2-3 所 以 = ( )2 ⎩⎪- 2 x 1= 1 + 4 k 22 4k 2 +1 1 + 4k 2解得 k = ±……………………9 分10所以直线l 方程为： y = ± 15x + 1 ，……………………10 分 10 2(3)当 AB x 轴可知 k 1 + k 2 = 0 ，此时存在λ= 1使得 k 1 + λk 2 = 0 成立，……11 分下面证明当λ= 1时 k 1 + λk 2 = 0恒成立kx + 1 - 2 kx + 1 - 2 2kx x - 3(x + x )k + k = y 1 - 2 + y 2 - 2 = 1 2 + 2 2 = 1 2 2 1 21 2 x - 0x - 0 x x …………13 分x x 1 2 1 2 1 23 -3 3 -4k 3因为 2kx 1x 2 - 2 (x 1 + x 2 ) = 2k 1+ 4k 2 - 所以 k 1 + k 2 = 0 恒成立 ( ) = -6k - 4k (- ) = 0 2 1+ 4k 22即存在λ= 1，使得 k 1 + λk 2 = 0恒成立．……………………16 分19．（1） f ' (x ) = -3x 2+ m因为函数 f (x )在x = 1处的切线垂直于直线 x - 2 y +1 = 0所以 f '(1) = -2 ，即 -3 + m = -2 ，所以m = 1；………………………3 分 （2） f '(x ) = -3x 2+ m ，当m ≤ 0 时， f '(x ) ≤ 0 恒成立，所以函数 f (x ) 的单调减区间为(-∞, +∞) ，无增区间；………………………4 分当 m > 0时，由 f '(x ) = -3x 2+ m =0 得 x = ±，列表如下： x (-∞, - m)3- m 3 (- m , m )3 3m 3 ( m, +∞) 3f ' (x ) 0+f (x )递减递增递减所以函数 f (x ) 的单调减区间为： (-∞, -m ) 、( 3 , +∞) ， 3所以单调增区间为： (-, ) ………………………8 分（3）由（2）知 f (x ) 的极小值为 f (-3 ) ，令 x 0 = - 3 设方程 f (x ) = f (x 0 ) 的根为t ，则 -x 03 + mx 0 + 1 = -t 3+ mt + 1 ，即(t - x 0 )(t 2+ tx 0 + x 0 2- m ) = 0 ，………………………10 分 所以t 2+ tx 0 + x 02 - m = 0,因为 f (x ) = f (x 0 ) 有两个相等实根 x 0 ，所以t 2+ tx 0 + x 02- m = 0必有一根为 x 0 ，………………………12 分m2 3m 2 3m 3n -1 n n +1 n -2 n -1 n n ⎭ 设另一个根为t 3 ，则t 3 + x 0 = -x 0 ， 所以t 3 = -2x 0 ，即t 1 = t 2 = x 0 ,t 3 = -2x 0 ，即t 3 =3………………………14 分 因为函数 f (x ) 在区间(- 1, ⎧-1 < - 2 )上的极小值也是 f (x ) 的最小值，⎪ 3 所以 ⎨⎪ ≥ ，解得 ≤ m < 3 2 ⎩⎪ 3 所以实数 m 的取值范围为 ⎡ 3 ,3⎫………………………16 分⎢⎣2 ⎪20. (1)因为 S + S + S = 3n 2 + 2(n ≥ 2,n ∈ N *) ① 所以 S + S + S = 3(n - 1)2+ 2(n ≥ 3) ② ②—①得： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1) ③ ……………………………………2 分因为数列{a n }为等差数列，所以 a n -1 + a n +1 = 2a n 代入③得： a n = 2n -1(n ≥ 3) 所以{a n }是公差为 2 的等差数列， 所以 a 2 = a 3 - 2 = 3 ， a 1 = a 2 - 2 = 1 所以 a n = 2n -1.……………………………………4 分(2)由(1)知： a n -1 + a n + a n +1 = 3(2n - 1)(n ≥ 3) 所以 a n + a n +1 + a n +2 = 3(2n + 1) ④ ④—③ 得： a n +2 - a n -1 = 3(n ≥ 3)……………………………………6 分又b n = a 3n -2 ，所以b n +1 - b n = a 3n +1 - a 3n -2 = 6(n ≥ 2)若数列{b n }为等差数列，则只需 a 4 - a 1 = 6，又 a 1 = 1，所以 a 4 = 7 . 又 S 1 + S 2 + S 3 = 14所以3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 由③知a 2 + a 3 + a 4 = 15所以 a 2 = 3……………………………………8 分所以当b = 3 时，{b n }为等差数列； b ≠ 3时，{b n }不为等差数列.…………………10 分(3) 1当n = 3k +1( k ∈ N *)时：S 3k +1 = a 1 + (a 2 + a 3 + a 4 ) + …+ (a 3 k -1 + a 3 k + a 3 k +1 )= a + 3⨯ (2⨯ 2 + 1) + 3⨯ (2⨯ 5 + 1) + …+ 3[2⨯ (3k -1) + 1]= a + 3⨯k (5 + 6k -1)2= a + 9k 2 + 6k = (3k + 1)2 + a -1所以 S = n 2+ a -1,当 n = 1时也满足. ……………………12 分2 当 n = 3k ( k ∈ N * )时： S 3k = (a 1 + a 2 + a3 ) + (a4 + a5 + a6 )…+ (a 3 k -2 + a 3 k -1 + a 3 k ) 因为3a 1 + 2a 2 + a 3 = 14 所以 a 3 = 14 - 3a - 2b所以 S 3k = (14 - 2a - b ) + 3⨯ (2⨯ 4 +1) + …+ 3[2⨯ (3k - 2) +1]= (14 - 2a - b ) + 3⨯(k -1)(9 + 6k - 3)23m 2n n n n n -1 n n +1 ⎩= (14 - 2a - b ) + 9k 2 - 9 = 9k 2 + 5 - 2a - b所以 S = n 2+ 5 - 2a - b ……………………14 分3 当 n = 3k -1( k ∈ N * )时：因为 S + S + S = 3n 2+ 2(n ≥ 2,n∈ N * ) 所以(n -1)2+ a -1+ S + (n +1)2+ 5 - 2a - b = 3n 2+ 2 所以 S + 2n 2+ 6 - a - b = 3n 2+ 2 所以 S = n 2 + a + b - 4⎧n 2 + a -1, n = 3k - 2⎪ 综上所述： S n = ⎨n 2+ a + b - 4,n = 3k - 1(k ∈ N *) ……………………16 分⎪n 2 + 5 - 2a - b , n = 3k3 4 - 1 4⎩ 1 1 5 江苏省 2019 年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学附加题参考答案与评分标准21A 因为 PA 是圆 O 在点 A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ． 因为 PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ．…………………… 10 分λ- 30 21B ．矩阵M 的特征多项式为 f (λ) == λ2- 4λ+ 3 ，……………2 分-1 λ-1令 f (λ) = 0 ，解得λ1 = 1 ,λ2 = 3， ……………4 分（⎧ λ- 3）⋅ x + 0 ⋅ y = 0, 将λ1 =1 代入二元一次方程组⎨-x + (λ-1) y = 0, 解得 x = 0 ，……………6 分⎡0⎤所以矩阵 M 属于特征值 1 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ；……………8 分 ⎣ ⎦ ⎡2⎤同理，矩阵M 属于特征值 3 的一个特征向量为 ⎢ ⎥ ．……………10 分⎣ ⎦21C 曲线 C ： ρ= 4sin θ的直角坐标方程为 x 2+ ( y - 2)2= 4 ， 直线l 的普通方程为 3x - y +1 = 0…………………… 4 分∴圆心到直线的距离d =0 ⨯ -1⨯ 2 +11 =∴ AB = 2 22 = 215…………………… 10 分21D 因为|m|+|n|≥|m －n|，所以| x - 1 + a | + | x - a |≥|x - 1 + a - ( x - a )|=|2a - 1 | ．……………………………… 8 分 又 a ≥2，故|2a -1| ≥3．所以| x -1 + a | + | x - a | ≥3 ．…………………………………… 10 分 22．（1）记恰有 2 个小球与盒子编号相同为事件 A ，将 5 个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有 A 5即 120 种不同的放法，事件 A 共有C 2 ⨯ 2 = 20 种放法，∴ P ( A ) = 20 = 14120 61 答：恰有2 个盒子与小球编号相同的概率为 6（2）随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,5C 1 (2 + 3 + 3 + 3) 44 11 P ( X = 0) = 5= =120 120 30 C 1(3 + 3 + 3) 45 3P ( X = 1) = 5 = =120 120 8 C 2⨯ 2 20 1 P ( X = 2) = 5 = = 120 120 6 …………………… 4 分C 3 10 1P ( X = 3) = 5 = =120 120 12r 2- d 22n-1 P ( X = 5) =1∴ E (x ) = 0⨯+1⨯ + 2⨯ + 3⨯ + 5⨯ = 1 …………………… 10 分 30 8 6 12 12023．(1)从等式左侧看： x n 的系数为C n…………………………1 分 从等式右侧看： (1+ x )n -1 (1+ x )n= (C 0+ C 1x + …+ C n -1 x n -1 )(C 0 + C 1 x + … + C n x n ) n -1n -1n -1nn nx n的系数为C0 ⋅ C n + C 1⋅ C n -1+ … + C n -1⋅ C 1……………………………………3 分n -1 n n -1nn -1n所以C 0⋅ C n + C1⋅ C n -1 + … + C n -1 ⋅ C 1 = C n……………………………………4 分n -1n n -1nn -1n2n -1(2) 当 k ∈ N *时， kC k= k ⋅n ! =n !nk !(n - k )! (k -1)!(n - k )!= n ⋅ (n -1)! (k -1)!(n - k )!k -1n -1……………………………6 分nnn所以(C 1 )2 + 2(C 2 )2 + …+ n (C n )2= ∑[k (C k )2] = ∑(kC k ⋅C k) = ∑(nC k -1 ⋅C k)nnnnnnn -1nk =1n nk =1k =1= n ∑ (C k -1 ⋅ C k ) = n ∑ (C n -k ⋅ C k )……………………………8 分k =1n -1 n n -1 nk =1由(1)知C 0 ⋅ C n+ C1 ⋅ C n -1+ … + C n -1 ⋅ C 1 = C nn -1nn -1nnn -1n2n -1所以 ∑ (Cn -k⋅ C k ) = C nk =1n -1n 2n -1所以(C 1 )2+ 2(C 2 )2+ … + n (C n )2= nCn -1……………………………10 分nnn2n -1= nC。
2019年江苏省普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)及答案
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题（考试时间120分钟，试卷满分160分)注意事项:1．答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上规定的地方．2．答题时，请使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字迹工整，笔迹清楚． 3．请按照题号在答题卡上各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．请保持卡面清洁，不折叠，不破损．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回． 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡．．．相应．．位置上．．．． 1．设集合{}{},,U A x x B x x ==≤≤=<<R 1324，则B A = ▲ ． 2．若复数12i1iz +=-（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．“1<x ”是“x x <2”的 ▲ 条件．(填“充要”， “充分不必要”， “必要不充分”，“既不充分也不必要”) 4．执行如图所示的伪代码，则最后输出的S 的值为 ▲ ．5．设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤1010y x 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点),(y x P ，则满足122≥+y x 的概率为 ▲． 6．已知正三棱锥的底面边长2，侧棱长为321，则它的体积为 ▲ ． 7．已知等差数列{}n a 的公差d 不为0，且731,,a a a 成等比数列，则=da 1▲ ． 8．已知抛物线的准线与双曲线1322=-y x 的左准线重合，则该抛物线的标准方程 为 ▲ ．9．已知直线l 过点)5,3(P ，且被圆04422=--+y x y x 截得的弦长为l 的 方程为 ▲ ．10．已知非零向量b a ,+==与-2夹角的余弦值为 ▲ ． 11．已知函数()y f x =是定义在[4,4]-上的奇函数，当[]0,4x ∈时2()f x x x =-， 则不等式0)1(<-x xf 的解集为 ▲ ．12．若函数ax xxx f -=ln )(在),1(+∞上为单调递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．1While 8223End While Pr int I I S I S ← I ≤ I ←+ ←+（第4题）13．已知1,1x y ≥≥，且5x y +≤，若不等式4(2x y k x +≥恒成立，则实数k 的 最大值为 ▲ ．14．已知实数,x y 满足2241x y +=，若代数式222x y a x y +-++-的值是与,x y 无 关的常数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15．已知向量)sin 3,cos 2(x x m -=，)cos 2,cos 3(x x n =，函数()1f x m n =⋅+． (1)求函数)(x f 的最小正周期； (2)当[0,]2x π∈时，若函数()1,(0)y kf x k =-≠有零点，求实数k 的取值范围．16．如图，在四棱锥S ABCD -中，已知SA SB =，四边形ABCD 是平行四边形，且平 面SAB ⊥平面ABCD ，点M ，N 分别是,SC AB 的中点． (1)求证：MN ∥平面SAD ； (2)求证：SN AC ⊥．17．2016年6月23日下午在江苏盐城突发的龙卷风，风力超过17级．路边一棵参天大BD S树在树干某点B 处被龙卷风折断且形成︒120角，树尖C 着地处与树根A 相距10米， 树根与树尖着地处恰好在路的两侧，设CAB θ∠=（C B A ,,三点所在平面与地面垂 直，树干粗度忽略不计）（参考数据1.731.2.449≈≈≈）． (1)若︒=45θ，求折断前树的高度（结果保留一位小数）；(2)问一辆宽2米，高2.5米的救援车能否从此处通过?并说明理由．18．如图，椭圆2222:+1(0)x y C a b a b =>>，左右焦点分别为12,F F ，过点1(0,)2P 的动直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，当直线l 过1F 时，2F AB ∆的周长为8．(1)求椭圆C 的方程；(2)当2PB AP =时，求直线l 方程；(3)已知点)2,0(Q ，直线QB QA ,的斜率分别为21,k k ．问是否存在实数λ，使得 021=+k k λ恒成立？19．已知函数1)(3++-=mx x x f ，R ∈m ． (1)若函数()y f x =的图象在1x =处的切线垂直于直线210x y -+=，求m 的值；(2)求函数)(x f 的单调区间；(3)若函数)(x f 在()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，求实数m 的取值范围．20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2*1132(2,)n n n S S S n n n N -+++=+≥∈， 1a a =，2a b =(,a b 为常数)．(1)若数列{}n a 为等差数列，求{}n a 的通项公式；(2)若1a =，设32n n b a -=，试判断数列{}n b 是否为等差数列？并说明理由； (3)求n S (用,a b 表示)．江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅱ(附加题)21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4—2 ：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵3011⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =．，求矩阵M 的特征值及其相应的特征向量．B ．[选修4—4 ：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 极坐标方程为4sin ,ρθ=直线l 的参数方程为12(1x t t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数），设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．C ．[选修4—5 ：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知：2a x ∈≥，R ．求证：|1|||x a x a -++-≥3．22．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．(1)求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；(2)设小球的编号与盒子编号相同的情况有X 种，求随机变量X 的分布列与期望．23．已知等式211(1)(1)(1)n n n x x x --+=++．(1)试从等式两侧分别计算n x 的系数，并证明：0111111121n n n n n n n n n n n C C C C C C C ------⋅+⋅++⋅=…；(2)证明：12222121()2()()n n n n n n C C n C nC --+++=…．江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置上．．．．1. [1,4) 2．3.必要不充分4. 215. 44π- 6.S DB33 7. 2 8.22y x = 9. 3x =或4330x y -+= 10．1411. )2,1(12. 14a ≥13.414.(,-∞二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分． 请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤． 15.(1)1)cos 2,cos 3)(sin 3,cos 2(1)(+-=+⋅=x x x x x f1cos sin 32cos 6)(2+-=∴x x x x f ………………………………2分12sin 322cos 16)(+-+=∴x xx f 4)2sin 212cos 23(32)(+-=∴x x x f 即())46f x x π=++ ………………………………6分故周期22T ππ== ………………………………7分 （2）令01)(=-=x kf y ,则)(1x f k=，)0(≠k由（1）得4)62cos(32)(++=∴πx x f20π≤≤x ，67626πππ≤+≤∴x ， ………………………………9分 1cos(2)6x π∴-≤+≤，7)(324≤≤-∴x f ，………………………………12分147k∴-≤≤，23171+≤≤∴k ………………………………14分16.(1)N SB SA ,= 是AB 中点AB SN ⊥∴ ………………………………2分平面S AB ⊥平面A BCD,平面S AB ⋂平面A BCD =AB , ⊂SN 平面S ABSN ∴⊥平面A BCD ⊂AC 平面A BCD∴SN ⊥A C ………………………………6分(2)取SD 的中点E,连EMM 是中点，∴EM//CD,且EM=21CD 底面ABCD 是矩形, N 为AB 中点∴AN//CD,且AN=21CD ，∴//AN ∴四边形EMNA 是平行四边形∴MN//AE ………………………………10分 ⊄MN 平面S AD ，⊂AE 平面S AD ，所以MN//平面S AD ． (14)分17.（1）在ABC ∆中，120CBA ∠=，CAB ∠=45， 所以15BCA ∠=，由正弦定理，得10sin15sin 45sin120AB CB =………………………………３分 所以10152(sin15sin 45)11.2sin120AB BC +=+=≈（米） 答：折断前树的高度11.2米. …………………6分（2）如图，设ABC ∆的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且2DE =,设DG EF h == 因为CAB ∠=θ，120CBA ∠=，所以60BCA θ∠=-，所以210tan tan(60)h h AD CE DE θθ++=++=-，………………………………８分 所以cos cos(60)[]8sin sin(60)h θθθθ-+=-，8sin sin(60)sin 601cos 2(2)44)6h θθθθπθ-=-=-=+………………………………10分因为5(0,),2(,)3666ππππθθ∈+∈所以所以1sin(2)(,1]62πθ+∈，所以(0,3h ∈………………………………12分 因为 2.3 2.53≈<，所以救援车不能从此处通过. ………………………………14分 18.（1）由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ，所以48a =，所以2a =又离心率c a =c =1b =所以椭圆C 的方程为22+14x y =． ……………………4分 AFD BG（2）当l x ⊥轴，2PB AP ≠所以可设l ：1,2y kx =+11(,)A x y ，22(,)B x y 则122214y kx x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得22(14)430k x kx ++-=所以122122414314()kx x k x x k -+=+-=+⎧⎪*⎨⎪⎩……………………6分 因为2PB AP =，所以2102x x -=-，即212x x =-代入()*化简得122124143214kx k x k --=+--=+⎧⎪⎨⎪⎩所以222314()24114k k k=++ 解得10k =±……………………9分 所以直线l 方程为：1102y x =±+，……………………10分 (3)当AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得021=+k k λ成立，……11分下面证明当1λ=时021=+k k λ恒成立1212122200y y k k x x --+=+--1212112222kx kx x x +-+-=+12121232()2kx x x x x x -+=…………13分因为121232()2kx x x x -+223342()14214kk k k--=-++364()02k k =---= 所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得021=+k k λ恒成立．……………………16分19．（1）'2()3f x x m =-+因为函数1)(=x x f 在处的切线垂直于直线210x y -+=所以'(1)2f =-，即32m -+=-，所以1m =；………………………3分（2）'2()3f x x m =-+，当0m ≤时，'()0f x ≤恒成立，所以函数)(x f 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；………………………4分所以单调增区间为：( ………………………8分 （3）由（2）知)(x f的极小值为(f，令0x = 设方程0()()f x f x =的根为t ，则330011x mx t mt -++=-++，即22000()()0t x t tx x m -++-=，………………………10分 所以22000,t tx x m ++-=因为0()()f x f x =有两个相等实根0x ，所以22000t tx x m ++-=必有一根为0x ，………………………12分设另一个根为3t ，则300t x x +=-， 所以302t x =-，即12030,2t t x t x ===-，即3t =………………………14分 因为函数)(x f 在区间()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，所以13⎧-<-⎪⎪≥，解得332m ≤<所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23 ………………………16分20. (1)因为2*1132(2,)n n n S S S n n n N -+++=+≥∈①所以2213(1)2(3)n n n S S S n n --++=-+≥②②—①得：113(21)n n n a a a n -+++=-③ ……………………………………2分因为数列{}n a 为等差数列，所以112n n n a a a -++= 代入③得：21(3)n a n n =-≥ 所以{}n a 是公差为2的等差数列， 所以2323a a =-=，1221a a =-=所以21n a n =-. ……………………………………4分(2)由(1)知：113(21)(3)n n n a a a n n -+++=-≥ 所以123(21)n n n a a a n ++++=+④④—③ 得：213(3)n n a a n +--=≥ ……………………………………6分又32n n b a -=，所以131326(2)n n n n b b a a n ++--=-=≥若数列{}n b 为等差数列，则只需416a a -=，又11a =，所以47a =. 又12314S S S ++= 所以1233214a a a ++=由③知23415a a a ++= 所以23a = ……………………………………8分所以当3b =时，{}n b 为等差数列；3b ≠时，{}n b 不为等差数列.…………………10分(3) 1当31n k =+(*k N ∈)时：31k S +=123431331()()k k k a a a a a a a -++++++++…3(221)3(251)3[2(31)1]a k =+⨯⨯++⨯⨯+++⨯-+…(561)32k k a +-=+⨯2296(31)1a k k k a =++=++-所以21n S n a =+-,当1n =时也满足. ……………………12分2当3n k =(*k N ∈)时：3k S =12345632313()()()k k k a a a a a a a a a --++++++++…因为1233214a a a ++= 所以31432a a b =--所以3(142)3(241)3[2(32)1]k S a b k =--+⨯⨯+++⨯-+…(1)(963)(142)32k k a b -+-=--+⨯22(142)99952a b k k a b =--+-=+--所以252n S n a b =+--……………………14分3当31n k =-(*k N ∈)时：因为2*1132(2,)n n n S S S n n n N -+++=+≥∈所以222(1)1(1)5232n n a S n a b n -+-++++--=+ 所以222632n S n a b n ++--=+ 所以24n S n a b =++-综上所述：22*21,324,31()52,3nn a n kS n a b n k k Nn a b n k⎧+-=-⎪=++-=-∈⎨⎪+--=⎩……………………16分江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学附加题参考答案与评分标准21A 因为P A 是圆O 在点A 处的切线，所以∠P AB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ， 所以∠P AE ＝∠P AB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△P AE ∽△BDE ．…………………… 10分21B ．矩阵M 的特征多项式为230()4311f λλλλλ-==-+--，……………2 分令()0f λ=，解得121,3λλ==， ……………4分将11λ=代入二元一次方程组-300,(1)0,x y x y λλ⋅+⋅=⎧⎨-+-=⎩（）解得0x =，……………6分所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦； ……………8分同理，矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦． ……………10分21C 曲线C ：4sin ρθ=的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线l10y -+= …………………… 4分12d AB ∴==∴===圆心到直线的距离…………………… 10分 21D 因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．……………………………… 8分又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥． (10)分 22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴== 答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16…………………… 4分（2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X +++====15(333)453(1)1201208C P X ++====252201(2)1201206C P X ⨯====35101(3)12012012C P X ====1(5)P X ==()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= …………………… 10分23．(1)从等式左侧看：n x 的系数为21nn C - …………………………1分从等式右侧看：1011101111(1)(1)()()n n n n n nn n n n n n x x C C x C xC C x C x ------++=++++++…… n x 的系数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----⋅+⋅++⋅………………………………………3分所以0111111121n n n nn n n n n n n C C C C C C C ------⋅+⋅++⋅= (4)分(2) 当*k N ∈时，!!!()!(1)!()!kn n n kC k k n k k n k =⋅=---11(1)!(1)!()!k n n n nC k n k ---=⋅=-- ……………………………6分所以12222211111()2()()[()]()()n n n n k k k k kn nnnnnn n k k k C C n C k C kC C nC C --===+++=∑=∑⋅=∑⋅ (1111)1()()nnk k n k kn nn n k k n CC n C C ----===∑⋅=∑⋅ ……………………………8分由(1)知0111111121n n n nn nn n n n n CC CCC C C ------⋅+⋅++⋅=…所以1211()n n kknn n n k C C C ---=∑⋅=所以12222121()2()()n n n n n n C C n C nC --+++=… ……………………………10分。
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)答案
江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学Ⅰ试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.[1,4)2．1023.必要不充分4.215.44π- 6.337.28.22y x =9.3x =或4330x y -+=10．571411.)2,1(12.14a ≥13.42414.(,2-∞二．解答题：本大题共6小题，15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15.(1)1)cos 2,cos 3)(sin 3,cos 2(1)(+-=+⋅=x x x x n m x f 1cos sin 32cos 6)(2+-=∴x x x x f ………………………………2分12sin 322cos 16)(+-+=∴x xx f 4)2sin 212cos 2332)(+-=∴x x x f 即()3)46f x x π=++………………………………6分故周期22T ππ==………………………………7分（2）令01)(=-=x kf y ,则)(1x f k=，)0(≠k 由（1）得4)62cos(32)(++=∴πx x f 20π≤≤x ，67626πππ≤+≤∴x ，………………………………9分31cos(2)62x π∴-≤+≤，7)(324≤≤-∴x f ，………………………………12分1437k ∴-≤≤，23171+≤≤∴k ………………………………14分16.(1)N SB SA ,= 是AB 中点AB SN ⊥∴………………………………2分平面S AB ⊥平面A BCD,平面S AB ⋂平面A BCD =AB ,⊂SN 平面S ABSN ∴⊥平面A BCD ⊂AC 平面A BCD∴SN ⊥A C………………………………6分(2)取SD 的中点E,连EMM 是中点，∴EM//CD,且EM=21CD 底面ABCD 是矩形,N 为AB 中点∴AN//CD,且AN=21CD ，∴EM //AN∴四边形EMNA 是平行四边形∴MN//AE………………………………10分 ⊄MN 平面S AD ，⊂AE 平面S AD ，所以MN//平面S AD ．………………………………14分17.（1）在ABC ∆中，120CBA ∠= ，CAB ∠=45，所以15BCA ∠=，由正弦定理，得10sin15sin 45sin120AB CB =………………………………３分所以10(sin15sin 45)11.2sin1203AB BC +=+=≈（米）答：折断前树的高度11.2米.…………………6分（2）如图，设ABC ∆的内接矩形DEFG 的边DE 在AC 上且2DE =,设DG EF h==因为CAB ∠=θ，120CBA ∠= ，所以60BCA θ∠=-，所以210tan tan(60)h hAD CE DE θθ++=++=- ，………………………………８分所以cos cos(60)[]8sin sin(60)h θθθθ-+=-，8sin sin(60)sin 601cos 22)448343sin(2363h θθθθπθ-=-=-=+- ………………………………10分因为5(0,),2(,)3666ππππθθ∈+∈所以所以1sin(2(,1]62πθ+∈，所以(0,]3h ∈………………………………12分因为 2.3 2.53≈<，所以救援车不能从此处通过.………………………………14分18.（1）由椭圆定义知2F AB ∆的周长为4a ，所以48a =，所以2a =又离心率2c a =，所以c =1b =所以椭圆C 的方程为22+14x y =．……………………4分（2）当l x ⊥轴，2PB AP≠所以可设l ：1,2y kx =+11(,)A x y ，22(,)B x y 则122214y k x x y =++=⎧⎪⎨⎪⎩，消去y 得22(14)430k x kx ++-=所以122122414314()k x x k x x k -+=+-=+⎧⎪*⎨⎪⎩……………………6分AFD ECBG因为2PB AP = ，所以2102x x -=-，即212x x =-代入()*化简得122124143214k x k x k--=+--=+⎧⎪⎨⎪⎩所以222314()24114k k k=++解得10k =±……………………9分所以直线l方程为：1102y x =±+，……………………10分(3)当AB x 轴可知120k k +=，此时存在1λ=使得021=+k k λ成立，……11分下面证明当1λ=时021=+k k λ恒成立1212122200y y k k x x --+=+--1212112222kx kx x x +-+-=+12121232()2kx x x x x x -+=…………13分因为121232()2kx x x x -+223342()14214k k k k --=-++364()02k k =---=所以120k k +=恒成立即存在1λ=，使得021=+k k λ恒成立．……………………16分19．（1）'2()3f x x m=-+因为函数1)(=x x f 在处的切线垂直于直线210x y -+=所以'(1)2f =-，即32m -+=-，所以1m =；………………………3分（2）'2()3f x x m =-+，当0m ≤时，'()0f x ≤恒成立，所以函数)(x f 的单调减区间为(,)-∞+∞，无增区间；………………………4分当m >所以单调增区间为：(………………………8分（3）由（2）知)(x f 的极小值为3(3f -，令033x =-设方程0()()f x f x =的根为t ，则330011x mx t mt -++=-++，即22000()()0t x t tx x m -++-=，………………………10分所以22000,t tx x m ++-=因为0()()f x f x =有两个相等实根0x ，所以22000t tx x m ++-=必有一根为0x ，………………………12分设另一个根为3t ，则300t x x +=-，所以302t x =-，即12030,2t t x t x ===-，即33t =………………………14分因为函数)(x f 在区间()2,1-上的极小值也是)(x f 的最小值，所以133⎧-<-⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，解得332m ≤<所以实数m 的取值范围为⎪⎭⎫⎢⎣⎡3,23………………………16分20.(1)因为2*1132(2,)n n n S S S n n n N -+++=+≥∈①所以2213(1)2(3)n n n S S S n n --++=-+≥②②—①得：113(21)n n n a a a n -+++=-③……………………………………2分因为数列{}n a 为等差数列，所以112n n na a a -++=代入③得：21(3)n a n n =-≥所以{}n a 是公差为2的等差数列，所以2323a a =-=，1221a a =-=所以21n a n =-.……………………………………4分(2)由(1)知：113(21)(3)n n n a a a n n -+++=-≥所以123(21)n n n a a a n ++++=+④④—③得：213(3)n n a a n +--=≥……………………………………6分又32n n b a -=，所以131326(2)n n n n b b a a n ++--=-=≥若数列{}n b 为等差数列，则只需416a a -=，又11a =，所以47a =.又12314S S S ++=所以1233214a a a ++=由③知23415a a a ++=所以23a =……………………………………8分所以当3b =时，{}n b 为等差数列；3b ≠时，{}n b 不为等差数列.…………………10分(3)1当31n k =+(*k N ∈)时：31k S +=123431331()()k k k a a a a a a a -++++++++…3(221)3(251)3[2(31)1]a k =+⨯⨯++⨯⨯+++⨯-+ (561)32k k a +-=+⨯2296(31)1a k k k a =++=++-所以21n S n a =+-,当1n =时也满足.……………………12分2 当3n k =(*k N ∈)时：3k S =12345632313()()()k k k a a a a a a a a a --++++++++…因为1233214a a a ++=所以31432a a b=--所以3(142)3(241)3[2(32)1]k S a b k =--+⨯⨯+++⨯-+…(1)(963)(142)32k k a b -+-=--+⨯22(142)99952a b k k a b=--+-=+--所以252n S n a b =+--……………………14分3 当31n k =-(*k N ∈)时：因为2*1132(2,)n n n S S S n n n N -+++=+≥∈所以222(1)1(1)5232n n a S n a b n -+-++++--=+所以222632n S n a b n ++--=+所以24n S n a b =++-综上所述：22*21,324,31()52,3n n a n k S n a b n k k N n a b n k ⎧+-=-⎪=++-=-∈⎨⎪+--=⎩……………………16分江苏省2019年普通高校招生统一考试数学模拟试题(十)数学附加题参考答案与评分标准21A 因为PA 是圆O 在点A 处的切线，所以∠PAB ＝∠ACB ．因为PD ∥AC ，所以∠EDB ＝∠ACB ，所以∠PAE ＝∠PAB ＝∠ACB ＝∠BDE ．又∠PEA ＝∠BED ，故△PAE ∽△BDE ．……………………10分21B ．矩阵M 的特征多项式为230()4311f λλλλλ-==-+--，……………2分令()0f λ=，解得121,3λλ==，……………4分将11λ=代入二元一次方程组-300,(1)0,x y x y λλ⋅+⋅=⎧⎨-+-=⎩（）解得0x =，……………6分所以矩阵M 属于特征值1的一个特征向量为01⎡⎤⎢⎥⎣⎦；……………8分同理，矩阵M 属于特征值3的一个特征向量为21⎡⎤⎢⎥⎣⎦．……………10分21C 曲线C ：4sin ρθ=的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，直线l10y -+= (4)分12d AB ∴=∴==圆心到直线的距离……………………10分21D 因为|m|+|n|≥|m －n|，所以|1|||1()21|x a x a x a x a a -++--+---≥||=|．………………………………8分又a ≥2，故21|a -|≥3．所以|1|||3x a x a -++-≥．……………………………………10分22．（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A ，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有55A 即120种不同的放法，事件A 共有24220C ⨯=种放法，201()1206P A ∴==答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为16……………………4分（2）随机变量X 的可能值为0,1,2,3,515(2333)4411(0)12012030C P X +++====15(333)453(1)1201208C P X ++====252201(2)1201206C P X ⨯====35101(3)12012012C P X====1(5)120P X ==x1235P113038161121120113111()012351308612120E x ∴=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=……………………10分23．(1)从等式左侧看：n x 的系数为21nn C -…………………………1分从等式右侧看：1011101111(1)(1)()()n n n n n nn n n n n n x x C C x C xC C x C x ------++=++++++……n x 的系数为01111111n n n n n n n n n C C C C C C -----⋅+⋅++⋅………………………………………3分所以0111111121n n n nn n n n n n n C C C C C C C ------⋅+⋅++⋅=………………………………………4分(2)当*k N ∈时，!!!()!(1)!()!kn n n kC k k n k k n k =⋅=---11(1)!(1)!()!k n n n nC k n k ---=⋅=--……………………………6分所以12222211111()2()()[()]()()n n nn k k k k kn nnnnnn n k k k C C n C k C kC C nC C --===+++=∑=∑⋅=∑⋅ (11111)()()nnk kn k kn nn n k k n CC n C C ----===∑⋅=∑⋅……………………………8分由(1)知0111111121n n n nn n n n n n n C C C C C C C ------⋅+⋅++⋅=…所以1211()nn k k nn n n k C C C ---=∑⋅=所以12222121()2()()n n n n n n C C n C nC --+++=………………………………10分。
2019年高考模拟考试数学试卷(江苏卷)
绝密★启封并使用完毕前试题类型：2019年高考模拟考试数学试卷（江苏卷）文科数学注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的.（1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B =（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7}(2)设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是（A ）13（B ）12（C ）23（D ）56（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知5a =，2c =，2cos 3A =，则b= （A ）2（B ）3（C ）2（D ）3（5）直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（6）若将函数y =2sin (2x +π6)的图像向右平移14个周期后，所得图像对应的函数为（A ）y =2sin(2x +π4) （B ）y =2sin(2x +π3) （C ）y =2sin(2x –π4) （D ）y =2sin(2x –π3)（7）如图，学.科网某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （8）若a>b>0，0<c<1，则（A ）log a c <log b c （B ）log c a <log c b （C ）a c <b c （D ）c a >c b （9）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为（A ）（B ）（C ）（D ）（10）执行右面的程序框图，如果输入的0,1,x y ==n =1,则输出,x y 的值满足（A ）2y x =（B ）3y x = （C ）4y x = （D ）5y x =（11）平面α过正文体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A 11//CB D α平面,ABCD m α=平面，11ABB A n α=平面，则m ，n 所成角的正弦值为 （A ）32（B ）22（C ）33（D ）13（12）若函数1()sin 2sin 3f x x -x a x =+在(),-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是 （A ）[]1,1-（B ）11,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（C ）11,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（D ）11,3⎡⎤--⎢⎥⎣⎦第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）设向量a =(x ，x +1)，b =(1，2)，且a ⊥b ，则x =. （14）已知θ是第四象限角，且sin(θ+π4)=35，则tan(θ–π4)=. （15）设直线y=x +2a 与圆C ：x 2+y 2-2ay -2=0相交于A ，B 两点，若，则圆C 的面积为。
2019年最新江苏省高考数学模拟试卷(十)及答案解析
江苏省高考数学模拟试卷（十）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是．5．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= ．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+= ．12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为．13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．设集合U={1，2，3，4}，A={1，2}，B={2，4}，则∁U（A∩B）等于{1，3，4} ．【考点】补集及其运算．【分析】首先求出A∩B，然后对其进行补集运算．【解答】解：由已知，A∩B={2}，所以∁U（A∩B）={1，3，4}；故答案为：{1，3，4}．2．已知b∈R，若（2+bi）（2﹣i）为纯虚数，则|1+bi|= ．【考点】复数求模．【分析】利用纯虚数的定义、模的计算公式即可得出．【解答】解：（2+bi）（2﹣i）=4+b+（2b﹣2）i为纯虚数，∴，解得b=﹣4．则|1+bi|=|1﹣4i|==．故答案为：．3．学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽出了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60）元的同学有30人，则n的值为100 ．【考点】频率分布直方图．【分析】根据频率直方图的意义，由前三个小组的频率可得样本在[50，60）元的频率，计算可得样本容量．【解答】解：由题意可知：前三个小组的频率之和=（0.01+0.024+0.036）×10=0.7，∴支出在[50，60）元的频率为1﹣0.7=0.3，∴n的值=；故答案100．4．按照程序框图（如图）执行，第3个输出的数是 5 ．【考点】循环结构．【分析】根据所给的循环结构知第一个输出的数字是1，第二个输出的数字是1+2=3，第三个输出的数字是3+2=5．【解答】解：由题意知第一个输出的数字是1第二个输出的数字是1+2=3第三个输出的数字是3+2=5故答案为：55．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，则选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，由此利用对立事件概率计算公式能求出选到的2名同学中至少有1名男同学的概率．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，基本事件总数n==10，选到的2名同学中至少有1名男同学的对立事件是选到两名女同学，∴选到的2名同学中至少有1名男同学的概率：p=1﹣=．故答案为：．6．命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，则实数a的取值范围是[﹣16，0] ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】将条件转化为x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，从而解出实数a的取值范围．【解答】解：命题：“存在x∈R，使x2+ax﹣4a＜0”为假命题，即x2+ax﹣4a≥0恒成立，必须△≤0，即：a2+16a≤0，解得﹣16≤a≤0，故实数a的取值范围为[﹣16，0]．故答案为：[﹣16，0]．7．已知函数y=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的图象如图所示，则该函数的解析式是y=2sin（x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由图可知，A=2，由点（0，1）在函数的图象上，可得sinφ=，利用五点作图法可解得φ，又点（﹣，0）在函数的图象上，可得﹣ω+=kπ，k∈Z，进而解得ω，从而得解该函数的解析式．【解答】解：∵由图知A=2，y=2sin（ωx+φ），∵点（0，1），在函数的图象上，∴2sinφ=1，解得：sinφ=，∴利用五点作图法可得：φ=，∵点（﹣，0），在函数的图象上，可得：2sin（﹣ω+）=0，∴可得：﹣ω+=kπ，k∈Z，解得：ω=﹣，k∈Z，∵ω＞0，∴当k=0时，ω=，∴y=2sin（x+）．故答案为：y=2sin（x+）．8．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，点D在OA的延长线上，且OD=2，点P为△BCD内（含边界）的动点，设=α+β（α，β∈R），则α+β的最大值等于．【考点】简单线性规划；平面向量的基本定理及其意义．【分析】因为是正方形，所以可考虑建立平面直角坐标系：以O为原点，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，这时候可求出，所以设P（x，y），所以根据已知条件可得：（x，y）=（2β，α），所以可用x，y表示α，β，并得到，这样求的最大值即可．而x，y的取值范围便是△BCD上及其内部，所以可想着用线性规划的知识求解．所以设z=，y=，所以z表示直线在y轴上的截距，要求α+β的最大值，只需求截距z的最大值即可，而通过图形可看出当该直线过B点时截距最大，所以将B点坐标带入直线方程，即可得到z的最大值，即α+β的最大值．【解答】解：分别以边OA，OC所在直线为x，y轴建立如图所实施平面直角坐标系；则：，设P（x，y），；∴（x，y）=α（0，1）+β（2，0）=（2β，α）；∴；∴；设z=，则：y=，所以z是直线y=在y轴上的截距；由图形可以看出，当该直线经过B（1，1）点时，它在y轴的截距z最大，最大为；∴α+β的最大值是．故答案为：．9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E﹣A1B1C1D1的体积为V1，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积为V2，则的值是．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】连接B1D1∩A1C1=F，证明以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，利用体积公式，即可得出结论．【解答】解：连接B1D1∩A1C1=F，平面A1BC1∩平面BDD1B1=BF，因为E∈平面A1BC1，E∈平面BDD1B1，所以E∈BF，连接BD，因为F是A1C1的中点，所以BF是中线，又根据B1F平行且等于BD，所以=，所以E是△A1BC1的重心，那么点E到平面A1B1C1D1的距离是BB1的，所以V1=×BB1，而V2=×BB1，所以=．故答案为：．10．若曲线：y=a x+1（a＞0且a≠1）在点（0，2）处的切线与直线x+2y+1=0垂直，则a= e2．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得a的方程，即可解得a．【解答】解：y=a x+1的导数为y′=a x lna，即有曲线在点（0，2）处的切线斜率为k=lna，由于切线与直线x+2y+1=0垂直，则lna•（﹣）=﹣1，解得a=e2，故答案为：e2．11．实数x，y满足4x2﹣5xy+4y2=5，设S=x2+y2，则+= ．【考点】基本不等式．【分析】由2xy≤x2+y2可得5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2），从而可求s的最大值，由x2+y2≥﹣2xy及5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5可得xy的范围，进而可求s的最小值，代入可求【解答】解：∵4x2﹣5xy+4y2=5，∴5xy=4x2+4y2﹣5，又∵2xy≤x2+y2∴5xy=4x2+4y2﹣5≤（x2+y2）设S=x2+y2，4s﹣5≤s∴s即∵x2+y2≥﹣2xy∴5xy=4x2+4y2﹣5≥﹣8xy﹣5∴xy∴﹣xy∴S=x2+y2≥﹣2xy∴∴+==故答案为：12．设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2（f（a））2的a的取值范围为[，+∞）∪{} ．【考点】分段函数的应用．【分析】令f（a）=t，则f（t）=2t2，讨论t＜1，及t≥1时，以及a＜1，a≥1，由分段函数的解析式，解不等式或方程即可得到所求范围．【解答】解：令f（a）=t，则f（t）=2t2，若t＜1时，由f（t）=2t2得3t﹣1=2t2，即2t2﹣3t+1=0，得t=1（舍）或t=，当t≥1时，2t2=2t2成立，即t≥1或t=，若a＜1，由f（a）≥1，即3a﹣1≥1，解得a≥，且a＜1；此时≤a＜1，由f（a）=得3a﹣1=得a=，满足条件，若a≥1，由f（a）≥1，即2a2≥1，∵a≥1，∴此时不等式2a2≥1恒成立，由f（a）=得2a2=得a=±，不满足条件，综上≤a＜1或a≥1．即a≥．综上可得a的范围是a≥或a=．故答案为：[，+∞）∪{}13．已知圆O：x2+y2=1，点C为直线l：2x+y﹣2=0上一点，若圆O存在一条弦AB垂直平分线段OC，则点C的横坐标的取值范围是（0，）．【考点】直线与圆相交的性质．【分析】设C（x0，2﹣2x0），得线段OC的中点坐标，则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，即可确定点C的横坐标的取值范围．【解答】解：设C（x0，2﹣2x0），则线段OC的中点坐标是D（x0，1﹣x0），则只要中点能落在圆的内部，就存在弦AB垂直平分线段OC，所以代入圆的方程，（x0）2+（1﹣x0）2＜1，解得0＜x0＜．故答案为：（0，）．14．各项均为正偶数的数列a1，a2，a3，a4中，前三项依次成公差为d（d＞0）的等差数列，后三项依次成公比为q的等比数列，若a4﹣a1=88，则q的所有可能的值构成的集合为{} ．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】先假设数列的项，利用三项依次成公比为q的等比数列，建立等式，从而可得公差的范围及取值，由此，即可求得结论．【解答】解：设a1，a1+d，a1+2d，a1+88，其中a1，d均为正偶数，则∵后三项依次成公比为q的等比数列∴，整理得，所以（d﹣22）（3d﹣88）＜0，即，则d可能为24，26，28，当d=24时，a1=12，；当d=26时，（舍去）；当d=28时，a1=168，；所以q的所有可能值构成的集合为．故答案为二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．已知α，β均为锐角，且，．（1）求sin（α﹣β）的值；（2）求cosβ的值．【考点】两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．【分析】（1）根据α、β的范围，利用同角三角函数的基本关系，求得sin（α﹣β）的值．（2）由（1）可得，，，根据cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]，利用两角差的余弦公式求得结果．【解答】解：（1）∵，从而．又∵，∴．…利用同角三角函数的基本关系可得sin2（α﹣β）+cos2（α﹣β）=1，且，解得．…（2）由（1）可得，．∵α为锐角，，∴．…∴cosβ=cos[α﹣（α﹣β）]=cosαcos（α﹣β）+sinαsin（α﹣β）…==．…16．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，D，E，F分别为B1A，C1C，BC的中点．（I）求证：DE∥平面ABC；（II）平面AEF⊥平面BCC1B1；求三棱锥A﹣BCB1的体积．【考点】平面与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定．【分析】（1）欲证DE∥平面ABC，根据线面平行的判定定理可知，证线线平行，取AB中点G，连DG，CG，只需证DE∥GC即可；（2）欲证平面AEF⊥平面BCC1B1，根据面面垂直的判定定理可知，证AF⊥平面BCC1B1即可，然后再根据体积公式求出三棱锥A﹣BCB1的体积．【解答】解：（I）取AB中点G，连DG，CG在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴BCC1B1是矩形．∵D，E分别为AB1，CC1的中点，∴，∴是平行四边形，∴DE∥GC．∵GC⊂平面ABC，DE⊄平面ABC，∴DE∥平面ABC．（II）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，∴AF⊥CC1∵AB=AC，F为BC中点，∴AF⊥BC又BC∩CC1=C∴AF⊥平面BCC1B1，又AF⊂平面AEF，∴平面AEF⊥平面BCC1B1AF⊥平面BCC1B1，在由已知，RT△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，∴17．如图，有一直径为8米的半圆形空地，现计划种植甲、乙两种水果，已知单位面积种植水果的经济价值是种植乙水果经济价值的5倍，但种植甲水果需要有辅助光照．半圆周上的C处恰有一可旋转光源满足甲水果生产的需要，该光源照射范围是∠ECF=，点E，F的直径AB上，且∠ABC=．（1）若CE=，求AE的长；（2）设∠ACE=α，求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）利用余弦定理，即可求AE的长；（2）设∠ACE=α，求出CF，CE，利用S△CEF=，计算面积，求出最大值，即可求该空地产生最大经济价值时种植甲种水果的面积．【解答】解：（1）由题意，△ACE中，AC=4，∠A=，CE=，∴13=16+AE2﹣2×，∴AE=1或3；（2）由题意，∠ACE=α∈[0，]，∠AFC=π﹣∠A﹣∠ACF=﹣α．在△ACF中，由正弦定理得，∴CF=；在△ACE中，由正弦定理得，∴CE=，该空地产生最大经济价值时，△CEF的面积最大，S△CEF==，∵α∈[0，]，∴0≤sin（2α+）≤1，∴α=时，S△CEF取最大值为4，该空地产生最大经济价值．18．已知椭圆C方程为+=1（a＞n＞0），离心率e=，过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1．（1）求椭圆C方程；（2）D，E，F为曲线C上的三个动点，D在第一象限，E，F关于原点对称，且|DE|=|DF|，问△DEF的面积是否存在最小值？若存在，求出此时D点的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，可得=1，又e==，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得，．可得：|EF|2=4（+）．同理可得：x D，y D．|OD|2．设△DEF的面积=S．可得S2=，化简利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵过焦点且与长轴垂直的直线被椭圆所截得线段长为1，∴=1，又e==，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=．∴椭圆C的方程为=1．（2）设直线EF的方程为：y=kx，则直线OD的方程为：x．（k≠0）．联立，解得=，=．∴|EF|2=4（+）=．同理可得：x D=，y D=．|OD|2=．设△DEF的面积=S．∴S2==××==f（k），令1+k2=t＞1，则f（k）==≥，当且仅当t=8，k=﹣时取等号．∴△DEF的面积存在最小值．此时D．19．设a∈R，函数f（x）=lnx﹣ax．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设F（x）=f（x）+ax2+ax，问F（x）是否存在极值，若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数g（x）=f（x）+ax图象上任意不同的两点，线段AB的中点为C（x0，y0），直线AB的斜率为为k．证明：k＞g′（x0）．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出函数的定义域，求出函数f（x）的导函数，然后分类讨论，当a≤0时，f （x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）首先求出F（x）的导函数，然后分类讨论，当a≥0时，恒有F′（x）＞0，F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ），又，求出g（x）的导函数，然后设出0＜x1＜x2，即证，再设，即证：，再进一步设出k（t），求出k（t）的导函数，则结论可证．【解答】（Ⅰ）解：在区间（0，+∞）上，．（1）当a≤0时，∵x＞0，∴f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞）；（2）当a＞0时，令f′（x）＞0，即，得．∴f（x）的单调增区间为（0，）；综上所述：当a≤0时，f（x）的单调增区间为（﹣∞，+∞），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，）；（Ⅱ）由F（x）=f（x）+ax2+ax=lnx﹣ax+ax2+ax=lnx+ax2得（x＞0），当a≥0时，恒有F′（x）＞0，∴F（x）在（0，+∞）上无极值；当a＜0时，令F′（x）=0，得，x∈（0，），F′（x）＞0，F′（x）单调递增，x∈（，+∞），F′（x）＜0，F′（x）单调递减．∴．F（x）无极小值．综上所述：a≥0时，F（x）无极值，a＜0时，F（x）有极大值，无极小值；（Ⅲ）证明：，又，∴g′（x0）=，要证k＞g′（x0），即证，不妨设0＜x1＜x2，即证，即证，设，即证：，也就是要证：，其中t∈（1，+∞），事实上：设t∈（1，+∞），则=，∴k（t）在（1，+∞）上单调递增，因此k（t）＞k（1）=0，即结论成立．20．对于给定数列{c n}，如果存在实常数p，q，使得c n+1=pc n+q（p≠0）对于任意的n∈N*都成立，我们称这个数列{c n}是“M类数列”．（1）若a n=2n，b n=3•2n，n∈N*，判断数列{a n}，{b n}是否为“M类数列”，并说明理由；（2）若数列{a n}是“M类数列”，则数列{a n+a n+1}、{a n•a n+1}是否一定是“M类数列”，若是的，加以证明；若不是，说明理由；（3）若数列{a n}满足：a1=1，a n+a n+1=3•2n（n∈N*），设数列{a n}的前n项和为S n，求S n 的表达式，并判断{a n}是否是“M类数列”．【考点】数列的应用．【分析】（1）运用M类数列定义判断，（2）{a n}是“M类数列”，得出a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，求解a n+1+a n+2，a n+1a n+2的式子，结合定义判断即可（3）整体运用a n+a n+1=3.2n（n∈N*），分类得出：当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，化简即可得出S n，再运用反证法证明即可．【解答】解：（1）因为a n+1=a n+2，p=1，q=2是“M类数列”，b n+1=2b n，p=2，q=0是“M类数列”．（2）因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1+a n+2=p（a n+1+a n+2）+2q，因此，{a n+a n+1}是“M类数列”．因为{a n}是“M类数列”，所以a n+1=pa n+q，a n+2=pa n+1+q，所以a n+1a n+2=p2（a n a n+1）+pq（a n+a n+1）+q2，当q=0时，是“M类数列”；当q≠0时，不是“M类数列”；（3）当n为偶数时，S n=3（2+23+…+2n﹣1）=2n+1﹣2，当n为奇数时，S n=1+3（22+24+…+2n﹣1）=2n+1﹣3，所以S n=．当n为偶数时a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣2﹣（2n﹣3）=2n+1，当n为奇数时，a n=S n﹣S n﹣1=2n+1﹣3﹣（2n﹣2）=2n﹣1（n≥3），所以a n=假设{a n}是“M类数列”，当n为偶数时，a n+1=2n+1﹣1=pa n+q=p（2n+1）+qp=2，q=﹣3，当n为奇数时，a n+1=2n+1+1=pa n+q=p（2n﹣1）+q，p=2，q=3，得出矛盾，所以{a n}不是“M类数列”．选做题[选修4-1：几何证明选讲](任选两个)21．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2于点D、E，DE与AC相交于点P．（1）求证：AD∥EC；（2）若AD是⊙O2的切线，且CA=8，PC=2，BD=9，求AD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接AB，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角得到∠BAC=∠D，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠BAC=∠E，等量代换得到∠D=∠E，根据内错角相等得到两直线平行即可；（2）根据切割线定理得到PA2=PB•PD，求出PB的长，然后再根据相交弦定理得PA•PC=BP•PE，求出PE，再根据切割线定理得AD2=DB•DE=DB•（PB+PE），代入求出即可．【解答】（1）证明：连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D．又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E．∴AD∥EC．（2）解：如图，∵PA是⊙O1的切线，PD是⊙O1的割线，∴PA2=PB•PD，PA=AC﹣PC=6，即62=PB•（PB+9），∴PB=3．在⊙O2中，PA•PC=BP•PE．∴PE=4．∵AD是⊙O2的切线，DE是⊙O2的割线，且DE=DB+BP+PE=9+3+4=16，∴AD2=DB•DE=9×16，∴AD=12．[选修4-2：矩阵与变换]22．已知线性变换T1是按逆时针方向旋转90°的旋转变换，其对应的矩阵为M，线性变换T2：对应的矩阵为N．（Ⅰ）写出矩阵M、N；（Ⅱ）若直线l在矩阵NM对应的变换作用下得到方程为y=x的直线，求直线l的方程．【考点】几种特殊的矩阵变换．【分析】（Ⅰ）通过变换的特征即得结论；（Ⅱ）由（I）得，通过题意可得，利用x′=y′计算即可．【解答】解：（Ⅰ）通过题意，易得M=，N=；（Ⅱ）由（I）得，由=，得，由题意得x′=y′得3x=﹣2y，∴直线l的方程为3x+2y=0．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t是参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线C的极坐标方程．（Ⅰ）判断直线l与曲线C的位置关系；（Ⅱ）设M为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线的参数方程消去t得直线的直角坐标方程，化圆的极坐标方程为直角坐标方程，再由圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆的位置关系；（Ⅱ）设出曲线C上的点的参数方程，由x+y=sinθ+cosθ，利用两角和的正弦化简后可得x+y 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，消去t得：y=x+．由，得，即，∴，即．化为标准方程得：．圆心坐标为，半径为1，圆心到直线x﹣y+=0的距离d=＞1．∴直线l与曲线C相离；（Ⅱ）由M为曲线C上任意一点，可设，则x+y=sinθ+cosθ=，∴x+y的取值范围是．[选修4-5：不等式选讲]24．设函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|．（1）求不等式f（x）＞2的解集；（2）∀x∈R，使f（x）≥t2﹣t，求实数t的取值范围．【考点】一元二次不等式的应用；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的最值及其几何意义．【分析】（1）根据绝对值的代数意义，去掉函数f（x）=|2x+1|﹣|x﹣2|中的绝对值符号，求解不等式f（x）＞2，（2）由（1）得出函数f（x）的最小值，若∀x∈R，恒成立，只须即可，求出实数t的取值范围．【解答】解：（1）当，∴x＜﹣5当，∴1＜x＜2当x≥2，x+3＞2，x＞﹣1，∴x≥2综上所述{x|x＞1或x＜﹣5}．（2）由（1）得，若∀x∈R，恒成立，则只需，综上所述．解答题25．网上购物逐步走进大学生活，某大学学生宿舍4人积极参加网购，大家约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商场购物，且参加者必须从淘宝和京东商城选择一家购物．（Ⅰ）求这4人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（Ⅱ）用ξ、η分别表示这4人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X的分布列与数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i，则，（i=0，1，2，3，4），由此能求出这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4），P（X=3）=P （A1）+P（A3），P（X=4）=P（A2），由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）依题意，这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东网购物的概率为，设“这4个人中恰有i个人去淘宝网购物”为事件A i（i=0，1，2，3，4），则，（i=0，1，2，3，4），这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率=．（Ⅱ）由已知得X的所有可能取值为0，3，4，P（X=0）=P（A0）+P（A4）==，P（X=3）=P（A1）+P（A3）=+=，P（X=4）=P（A2）==，∴X的分布列为：∴EX==．26．记（1+）（1+）…（1+）的展开式中，x的系数为a n，x2的系数为b n，其中n ∈N*．（1）求a n；（2）是否存在常数p，q（p＜q），使b n=（1+）（1+）对n∈N*，n≥2恒成立？证明你的结论．【考点】数学归纳法．【分析】（1）根据多项式乘法运算法则，可得a n=++…+，利用等比数列的求和公式，可得结论；（2）先计算b2，b3的值，代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1，再用数学归纳法证明．【解答】解：（1）根据多项式乘法运算法则，得a n=++…+=1﹣．…（2）计算得b2=，b3=．代入b n=（1+）（1+），解得p=﹣2，q=﹣1．…下面用数学归纳法证明b n=（1﹣）（1﹣）=﹣+×（n≥2）：①当n=2时，b2=，结论成立．②设n=k时成立，即b k=﹣+×．则当n=k+1时，b k+1=b k +=﹣+×+﹣=﹣+×．由①②可得结论成立． …。
2019届江苏省南京市高三数学(理)模拟试题答案
2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学参考答案及评分标准1. {4，5}2. 四3. 304. 345. －56. 257. 348. 69. －1 10. 2 11. 14 12.57713. 210＋2 14. (－∞，1]15. (1) 证明：由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，得a ＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2RsinC ，代入acos B ＋bcos A ＝ccos Acos C，得(sin Acos B ＋sin Bcos A)cos C ＝sin Ccos A ，(2分)即sin(A ＋B)cos C ＝sin Ccos A.因为A ＋B ＝π－C ，所以sin (A ＋B)＝sin C ，所以sin Ccos C ＝sin Ccos A ．(4分) 因为C 是△ABC 的内角，所以sin C ≠0，所以cos C ＝cos A. 因为A ，C 是△ABC 的内角，所以A ＝C.(6分)(2) 解：由(1)知A ＝C ，所以a ＝c ，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2－2a2.(8分)因为BA →·BC →＝1，所以a 2cos B ＝a 2－2＝1，所以a 2＝3.(10分)所以cos B ＝13.(12分)因为B ∈(0，π)，所以sin B ＝1－cos 2B ＝223.(14分)16.证明：(1) 因为PA ⊥平面ABCD ，AC 平面ABCD ，所以PA ⊥AC.(2分) 因为AB ＝1，BC ＝2，∠ABC ＝60°，由余弦定理， 得AC ＝AB 2＋BC 2－2AB·BCcos ∠ABC ＝12＋22－2×1×2cos 60°＝ 3.(4分) 因为12＋(3)2＝22，即AB 2＋AC 2＝BC 2，所以AC ⊥AB.(6分) 因为AC ⊥PA ，且PA ∩AB ＝A ，PA 平面PAB ，AB平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB. 又AC平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PAB.(8分)(2) 因为BC ∥AD ，AD平面PAD ，BC平面PAD ，所以BC ∥平面PAD.(10分)因为BC 平面PBC ，且平面PBC ∩平面PAD ＝l ，所以BC ∥l.(14分)17. 解：以点B 为坐标原点，BP 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则B(0，0)，Q(45，15)，C(160，75)．过点B 作直线l 与圆Q 相切，与圆C 交于点M ，N ， 设直线l 的方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，则点Q 到l 的距离为|45k －15|k 2＋1＝15，解得k ＝34或k ＝0(舍去)．所以直线l 的方程为y ＝34x ，即3x －4y ＝0.(4分)点C(160，75)到直线l 的距离CH ＝|3×160－4×75|32＋（－4）2＝36.(6分) 在Rt △CHM 中，因为CH ＝36，CM ＝72，所以cos ∠MCH ＝3672＝12.(8分)因为∠MCH ∈(0，π2)，所以∠MCH ＝π3，所以∠MCN ＝2∠MCH ＝2π3，(12分)所以所用时长为30×2π32π＝10 min.(13分)答：该游客能看到点B 的时长为10 min.(14分)18. 解：(1) 因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x22＋y 2＝1.(2分)(2) 由(1)知B(0，－1)，设M(x 0，y 0)，P(x ，y)． 由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)，则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2. 因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0 ①.(4分)因为M 在椭圆C 上，所以x 202＋y 20＝1，将①代入上式，得x 20＝23.(6分) 所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6，所以S △PMA ＝S △PAB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263.(8分)(3) (解法1)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设D(0，m)，0＜m ＜1，M(x 1，y 1)，N(x 2，y2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x ＋m.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0， 所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23. (10分)直线MB 的方程为y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝（y 1＋1）x 2＋（y 2－1）x 1（y 1＋1）x 2－（y 2－1）x 1.(12分)将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m （x 1＋x 2）＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m （x 2－x 1）＝2·2m 2－23－4m 23＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝－43＋（x 2－x 1）－4m 3＋m （x 2－x 1）＝1m.(14分) 所以OD →·OP →＝(0，m)·(x P ，y P )＝my P ＝m·1m＝1.(16分)(解法2)由(1)知，A(0，1)，B(0，－1)．设M(x 0，y 0)，则x 202＋y 20＝1. 因为直线MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为y ＝x －x 0＋y 0，则D(0，y 0－x 0)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0， 所以x N ＋x 0＝4（x 0－y 0）3，(10分)所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1，直线MB 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，联立解得y P ＝2y 20＋x 20＋x 0＋2y 02y 20－x 20－x 0y 0－2x 0＋2y 0.(12分)因为x 202＋y 20＝1， 所以y P ＝2＋x 0＋2y 0（2＋x 0＋2y 0）（y 0－x 0）＝1y 0－x 0，(14分)所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1.(16分)19. 解：(1) f′(x)＝1x －a x 2，则f′(1)＝1－a ＝2，解得a ＝－1，则f(x)＝ln x －1x＋1，此时f(1)＝ln 1－1＋1＝0，则切点坐标为(1，0)，代入切线方程，得b ＝－2， 所以a ＝－1，b ＝－2.(2分)(2) g(x)＝f(x)＋ax ＝ln x ＋a x ＋ax ＋1，g ′(x)＝1x －ax 2＋a ＝ax 2＋x －a x 2.①当a ＝0时，g ′(x)＝1x ＞0，则g(x)在区间(0，12)上为增函数，则g(x)在区间(0，12)上无最小值．(4分)②当a ≠0时，方程ax 2＋x －a ＝0的判别式Δ＝1＋4a 2＞0， 则方程有两个不相等的实数根，设为x 1，x 2，由韦达定理得x 1x 2＝－1，则两根一正一负，不妨设x 1＜0＜x 2. 设函数m(x)＝ax 2＋x －a(x ＞0)， (i) 若a ＞0，当x 2∈(0，12)时，m(0)＝－a ＜0，m(12)＝a 4＋12－a ＞0，解得0＜a ＜23.此时当x ∈(0，x 2)时，m(x)＜0，则g(x)递减；当x ∈(x 2，12)时，m(x)＞0，则g(x)递增，当x ＝x 2时，g(x)取极小值，即为最小值．当x 2≥12时，x ∈(0，12)，m(x)＜0，则g(x)在(0，12)上单调递减，无最小值．(6分)(ii) 若a ＜0，当x ∈(0，x 2)时，m(x)＞0，则g(x)递增； 当x ∈(x 2，＋∞)时，m(x)＜0，则g(x)递减，在区间(0，12)上，g(x)不会有最小值．所以a ＜0不满足条件．综上，当0＜a ＜23时，g(x)在区间(0，12)上有最小值．(8分)(3) 当a ＝0时，由方程f(x)＝bx 2，得ln x ＋1－bx 2＝0.记h(x)＝ln x ＋1－bx 2，x ＞0，则h′(x)＝1x －2bx ＝－2bx 2＋1x.①当b ≤0时，h′(x)＞0恒成立，即h(x)在(0，＋∞)上为增函数，则函数h(x)至多只有一个零点，即方程f(x)＝bx 2至多只有一个实数根， 所以b ≤0不符合题意．(10分) ②当b ＞0时，当x ∈(0，12b )时，h ′(x)＞0，所以函数h(x)递增；当x ∈(12b，＋∞)时，h ′(x)＜0，所以函数h(x)递减，则h(x)max ＝h(12b )＝ln 12b ＋12.要使方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根，则h(12b )＝ln 12b ＋12＞0，解得0＜b ＜e2.(12分)(i) 当0＜b ＜e 2时，h(1e )＝－be2＜0.又(1e )2－(12b )2＝2b －e 22be 2＜0，则1e ＜12b，所以存在唯一的x 1∈(1e ，12b)，使得h(x 1)＝0.(14分)(ii) h(1b )＝ln 1b ＋1－1b ＝－ln b ＋1－1b ，记k(b)＝－ln b ＋1－1b ，0＜b ＜e 2.因为k′(b)＝－1b ＋1b 2＝1－b b 2，则k(b)在(0，1)上为增函数，在(1，e2)上为减函数，则k(b)max ＝k(1)＝0，则h(1b)≤0.又(1b )2－(12b )2＝2－b 2b 2＞0，即1b ＞12b， 所以存在唯一的x 2∈(12b ，1b]，使得h(x 2)＝0.综上，当0＜b ＜e2时，方程f(x)＝bx 2有两个不相等的实数根．(16分)20. (1) 解：因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r.由S r ＝2r ，得3r ＋r （r －1）2d ＝2r.因为r ＞0，所以(r －1)d ＝－2 (*)．由S 2r ＝r ，得6r ＋2r （2r －1）2d ＝r.因为r ＞0，所以(2r －1)d ＝－5 (**)．由(*)和(**)，解得r ＝3，d ＝－1.(2分) (2) ①解：(i) 若q ＝1，则S r ＝ra 1，S t ＝ta 1.因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以ra 1＝2r (*)，2ra 1＝r (**)．由(*)和(**)，得a 1＝2且a 1＝12，矛盾，所以q ≠1.(3分)(ii) 当q ≠1，因为{a n }是M(r ，2r)数列，所以S r ＝2r ，且S 2r ＝r ， 即a 1（1－q r ）1－q ＝2r (*)，a 1（1－q 2r ）1－q＝r (**)．由(*)和(**)，得q r ＝－12.(5分)当r ＝1时，q ＝－12；当r ＝2，4时，无解；当r ＝3时，q ＝－132.综上，q ＝－12或q ＝－132.(6分)②证明：因为{a n }是M(r ，t)数列，q ∈(－1，0)，所以S r ＝t ，且S t ＝r ， 即a 1（1－q r ）1－q ＝t ，且a 1（1－q t ）1－q＝r ，两式作商，得1－q r 1－q t ＝t r，即r(1－q r )＝t(1－q t)．(8分) (i) 若r 为偶数，t 为奇数，则r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )．因为r ＜t ，0＜1－|q|r ＜1，1＋|q|t ＞1，所以r(1－|q|r )＜t(1＋|q|t )， 这与r(1－|q|r )＝t(1＋|q|t )矛盾，所以假设不成立．(10分) (ii) 若r 为偶数，t 为偶数，则r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )． 设函数y ＝x(1－a x )，0＜a ＜1，则y′＝1－a x －xa x ln a.当x ＞0时，1－a x ＞0，－xa x ln a ＞0，所以y ＝x(1－a x )在(0，＋∞)上递增．因为r ＜t ，所以r(1－|q|r )＜t(1－|q|t )，这与r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )矛盾，所以假设不成立．(12分) (iii) 若r 为奇数，t 为奇数，则r(1＋|q|r )＝t(1＋|q|t )． 设函数y ＝x(1＋a x )，0＜a ＜1，则y′＝1＋a x ＋xa x ln a. 设g(x)＝1＋a x ＋xa x ln a ，则g′(x)＝a x ln a(2＋xln a)．令g′(x)＝0，得x ＝－2ln a.因为a x ＞0，ln a ＜0，所以当x ＞－2ln a ，g ′(x)＞0，则g(x)在区间(－2ln a ，＋∞)上递增；当0＜x ＜－2ln a ，g ′(x)＜0，则g(x)在区间(0，－2ln a)上递减，所以g(x)min ＝g(－2ln a )＝1－a －2ln a.因为－2ln a ＞0，所以a －2ln a＜1, 所以g(x)min ＞0，从而g(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，所以y ＝x(1＋a x )，0＜a ＜1在(0，＋∞)上单调递增． 因为r ＜t ，所以r(1＋|q|r )＜t(1＋|q|t )，这与r(1－|q|r )＝t(1－|q|t )矛盾，所以假设不成立．(14分) (iv) 若r 为奇数，t 为偶数．由①知，存在等比数列{a n }为“M(1，2)数列”． 综上，r 为奇数，t 为偶数．(16分)2019届高三模拟考试试卷(南京) 数学附加题参考答案及评分标准21. A. 解：(1) M 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5445.(4分) (2) 矩阵M 的特征多项式为f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－1－1λ－2＝(λ－1)(λ－3)． 令f(λ)＝0，解得M 的特征值为λ1＝1，λ2＝3.(6分)①当λ＝1时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0.令x ＝1，则y ＝－1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1.(8分)②当λ＝3时，⎣⎢⎡⎦⎥⎤2112⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x －y ＝0. 令x ＝1，则y ＝1，于是矩阵M 的一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. 因此，矩阵M 的特征值为1，3，分别对应一个特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.(10分)B. 解：直线l 的直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2分) 曲线C 的普通方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2.(4分)因为圆心C(2，－1)到直线l 的距离d ＝|2＋3－2|1＋3＝32，(6分)所以r ＝d 2＋（AB2）2＝ 3.(10分)C. 解：由柯西不等式，得[x 2＋(2y)2＋(3z)2](12＋12＋22)≥(x ＋2y ＋6z)2.(4分) 因为x 2＋4y 2＋9z 2＝6，所以(x ＋2y ＋6z)2≤36，(6分) 所以－6≤x ＋2y ＋6z ≤6.当且仅当x 1＝2y 1＝3z2时，不等式取等号，此时x ＝1，y ＝12，z ＝23或 x ＝－1，y ＝－12，z ＝－23，(8分)所以x ＋2y ＋6z 的最大值为6.(10分)22. (1) 解：因为l 过M(2，0)，且当l 垂直于x 轴时，AB ＝4，所以抛物线经过点(2，2)，代入抛物线方程，得4＝2p ×2，解得p ＝1.(2分) (2) 证明：设直线l 的方程为y ＝k(x －2)(k ≠0)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝k （x －2），消去x ，得ky 2－2y －4k ＝0，则y 1＋y 2＝2k，y 1y 2＝－4.(4分)因为点C 为AB 中点，所以y C ＝y 1＋y 22＝1k ，则直线l 1的方程为y ＝1k.(6分)因为直线l 2过点M 且与l 垂直，则直线l 2的方程为y ＝－1k(x －2)．联立⎩⎨⎧y ＝1k，y ＝－1k （x －2），(8分)解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1k，即P(1，1k )，所以点P 在定直线x ＝1上．(10分)23. (1) 解：在3位数字符串中，子串“010”在第3位出现有且只有1个，即010， 所以 f(3)＝1.(2分)在4位数字符串中，子串“010”在第4位出现有2个，即0010与1010， 所以 f(4)＝2.(4分)(2) 证明：当n ≥5且n ∈N *时，当最后3位是010时，前n －3个数位上，每个数位上的数字都有两种可能，即0和1，所以共有2n －3种可能．由于当最后3位是010时，若最后5位是01010，且前n －2位形成的字符串中是子串“010”是在第n －2位出现，此时不满足条件．所以 f(n)＝2n －3－f(n －2)，n ≥5且n ∈N *.(6分) 因为f(3)＝1，所以f(5)＝3.下面用数学归纳法证明f(4n ＋1)是3的倍数．①当n＝1时，f(5)＝3是3的倍数；②假设当n＝k(k∈N*)时，f(4k＋1)是3的倍数，那么当n＝k＋1时，f(4(k＋1)＋1)＝f(4k＋5)＝24k＋2－f(4k＋3) ＝24k＋2－[24k－f(4k＋1)]＝3×24k＋f(4k＋1)．(8分)因为f(4k＋1)是3的倍数，且3×24k也是3的倍数，所以f(4k＋5)是3的倍数．这就是说，当n＝k＋1时，f(4(k＋1)＋5)是3的倍数．由①②可知，对任意的正整数n，f(4n＋1)是3的倍数．(10分)。
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(第 4 题)x y PA ⊥ 2019 年高三数学模拟试题1. 已知集合 A = {2, 0,1,7} ，B = {y | y = 7x , x ∈ A } ，则 A B = ．【答案】{0, 7}2. 已知复数( i 为虚数单位)，则z ⋅ z = ．【答案】 143. 一组数据共 40 个，分为 6 组，第 1 组到第 4 组的频数分别为 10，5，7，6，第 5 组的频率为 0.1，则第 6 组的频数为 ．【答案】84. 阅读下列程序，输出的结果为 ．【答案】225. 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为 1，2，3 的3 个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则 1，2 号盒子中各有 1 个球的概率为 ．2 【答案】96.已知实数 x ，y 满足 ，则 的取值范围是 ．【答案】7. 如图所示的四棱锥P - ABCD 中， 底面 是矩形， AB = 2 ， AD = 3 ，点 E 为棱为．上一点，若三棱锥 的体积为 4，则 PA 的长z = i 3 + i⎪x ≤ 3 ⎧ y ≤ x -1 ⎪x + y ≥ 2⎨⎩CD [- 1 , 2] 3 3S ← 0For I from 1 to 10 step 3S ← S + IEnd forP r int SABCD ，底面 ABCD E - PABAEABNl PDBC【答案】48. 从左至右依次站着甲、乙、丙 3 个人，从中随机抽取 2 个人进行位置调换，则经过两次这样的调换后，甲在乙左边的概率是答案：9. 在 ∆ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ，且 a = 2 ，2 2 cos A - b cos C = c cos B ，则 的最大值是答案： 10. 已知圆 C 的方程为(x +1)2+ y 2 = 1 ，过 轴y 正半轴上一点 P (0, 2) 且斜率为 k 的直线 交圆 C 于 A 、B 两点，当△ABC 的面积最大时，直线答案：1 或 7的斜率11. 在棱长为 2 的正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中， M , N 分别是AA 1, CC 1 的中点，给出下列命题：① BN 平面 MND 1 ；②平面 MNA ⊥ 平面 ； ③平面MND 1 截该正方体所得截面的面积为 ；④三棱锥 的体积为VN -ABC= 2 。
【20套精选试卷合集】江苏省南京市2019-2020学年高考数学模拟试卷含答案
高考模拟数学试卷本试卷分试题卷和答题卡两部分。
试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页；答题卡共6页。
满分为150分，考试时间为120分钟。
考生作答时，请按要求把答案涂、写在答题卡规定的范围内，超出答题框或答在试题卷上的答案无效。
考试结束只交答题卡。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）（1）已知R 为实数集，集合{}x x x A 332|<-=，{}2|≥=x x B ，则=B A Y（A ）{}2|≥x x （B ）{}3|->x x （C ）{}32|<≤x x （D ）R （2）已知22(1)a bi i+=+（,a b ∈R ，i 为虚数单位），则a b+=（A ）7- （B ）7 （C ）4- （D ）4（3）已知变量,x y 满足约束条件211,10x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪-≤⎩则2z x y =-的最大值为（A ）3- （B ）0 （C ）1 （D ）3（4）若xa ⎪⎭⎫ ⎝⎛=32，2x b =，x c 32log =，则当1x >时，,,a b c 的大小关系是（A ）c a b << （B ）c b a << （C ）a b c << （D ）a c b <<（5）在ABC ∆中，已知DC BC 3=，则AD =u u u r（A ）AC AB 3132+ （B ）AC AB 3132- （C ）1233AB AC +u u u r u u u r （D ）1233AB AC -u u ur u u u r（6）已知命题p ：函数11x y a+=+（0a >且1a ≠）的图象恒过(1,2)-点；命题q ：已知平面α∥平面β，则直线m ∥α是直线m ∥β的充要条件. 则下列命题为真命题的是（A ）p q ∧ （B ）p q ⌝∧⌝ （C ）p q ⌝∧（D ）p q ∧⌝（7）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k 的值是（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）函数()cos 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭(∈x R,0>ω)的最小正周期为π，为了得到()f x 的图象，只 ， ，需将函数()sin 3g x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象 （A ）向左平移2π个单位长度 （B ）向右平移2π个单位长度 （C ）向左平移4π个单位长度 （D ）向右平移4π个单位长度 （9）在△ABC 中，已知||4,||1AB AC ==u u u r u u u r，3ABC S ∆=，则AB AC ⋅u u u r u u u r 的值为（A ）2- （B ）2 （C ）4± （D ）2±（10）在递增的等比数列{}n a 中，已知134n a a +=，3264n a a -⋅=，且前n 项和为42n S =，则n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（11）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积大小为（A ）2a π （B ）273a π （C ）2113a π （D ）25a π （12）已知函数3221()13f x x ax b x =+++，若a 是从1,2,3三个数中任取的一个数，b 是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为 （A ）79 （B ）13 （C ）59 （D ）23第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。
2019届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试数学试题Word版含解析
2019届江苏省南京师范大学附属中学高考模拟考试高三数学试题一、填空题1．已知{}{}21,2,3,|9A B x x ==<，则A B ⋂=__________. 【答案】{}1,2【解析】因为{}1,2,3,{|33}A B x x ==-<<，所以{}1,2A B ⋂=，应填答案{}1,2。
2．已知复数()iia z a R +=∈， i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 __________. 【答案】()0+∞， 【解析】因为()1a iz a i i ai i+==-+=-，所以由题意00a a -⇒，应填答案()0,+∞。
3．如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是__________.【答案】27【解析】试题分析：第一次循环， 1,2s n ==，第二次循环， 6,3s n ==，第三次循环， 27,43s n ==>，结束循环，输出27s =. 【考点】循环结构流程图4．从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________. 【答案】12【解析】所有基本事件为()()()()()()2,3,2,4,3,4,3,2,4,2,4,3共六个，满足题设条件的事件有()()()2,3,2,4,3,4共三个，由古典概型的计算公式所求事件的概率3162P ==，应填答案12。
5．随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。
2019年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2019年江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡
相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（?U B）=．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶
数的概率是．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值
为．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集
是．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象
上存在区域D上的点，则a的取值范围是．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：
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2019届江苏省南京市高考模拟周周练数学试卷 (11)
周练数学11一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．设集合A ＝{a ，2}，B ＝{3，1}，若A ∩B ＝{a }，则A ∪B ＝▲_________． 2．复数(1＋2i)2(i 为虚数单位)的模为▲_________．3．从集合A ＝{－1，1，2}中随机选取一个数记为a ，从集合B ＝{－2，2}中随机选取一个数记为b ，则a ＋b ＞0的概率为▲_________．4．已知双曲线x 24－y 2m＝1的一条渐近线方程为y ＝2x ，则双曲线的离心率为▲_________．5．右图是一个算法的流程图，最后输出的k ＝▲_________．6．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 5＝2a 4，a 2＝－1，则数列{a n }的公差d ＝▲_________． 7．已知tan x ＝2，则sin x sin(x ＋π3)的值是▲_________．8．已知函数f (x )＝(x 2－3)e x ，则函数f (x )的单调减区间是▲_________．9．某学校为了解该校600名男生的百米成绩（单位：秒），随机选择了50名学生进行调查，下图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图。
根据样本的频率分布直方图，估计这600名学生百米跑的平均成绩大约是▲_________秒．10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多 面体的体积为▲________．11．已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，C ＝120o ，a ＋c ＝2b ，则cos B 的值为▲_________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线l :y ＝2x 上在第一象限内的点，B (5，0)，以AB 为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若AB →·CD →＝0，则点A 的横坐标为▲________．13．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5．点P ，Q 在△ABC 的边上，若线段PQ 既平分△ABC 的开始k ←1 S ←0S ＜20k ←k ＋2 S ←S ＋kYN 输出k结束 第5题秒1314151617180.10.3 0.4频率组距第9题（第10题）面积又平分△ABC 的周长，则线段PQ 的长为▲_________．14．已知点A (0，a )，点P 是抛物线y ＝2x 2上的动点，若PA 的最小值为12，则实数a 的值的集合为▲_________．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（1）若sin(A －π3)＝35，求sin A 的值；（2）若5b ＝7a ，cos C ＝17，求角B 的度数．16．（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，AD ⊥平面BCD ，M 为AD 中点，P 为BM 中点，点Q 在棱AC 上，且AQ ＝3QC ．（1）若BC ⊥CM ，求证：平面ABC ⊥平面ACD ； （2）求证：PQ ∥平面BCD ．17．（本题满分14分）某金属支架由如图所示的线段AB 和线段CD 组成，根据要求AB 至少长2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，∠BCD ＝60︒，已知建造支架的材料每米的价格为a 元(a 为常数)．设AB ＝x (m )．（1）用含x 的式子表示CD 的长； （2）建造这个支架的成本最低为多少元？QPABC D M第16题 ABCD 地面18．（本题满分16分）设椭圆E ：x 2a 2＋y 28－a 2＝1的左、右焦点F 1，F 2在x 轴上．（1）若椭圆E 的焦距为26，求椭圆E 的方程；（2）设M 是（1）中椭圆上的点，且MF 1⊥MF 2，求点M 到x 轴的距离；（3）设P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线PF 2交y 轴于点Q ，并且PF 1⊥QF 1．证明：当a 变化时，点P 在某定直线上．19．(本小题满分16分)设a 为实数，函数f (x )＝2x 2＋(x －a )|x －a |. （1）若f (0)≥1，求a 的取值范围； （2）求f (x )的最小值；（3）设函数h (x )＝f (x )，x ∈(a ，＋∞)，直接写出．．．．(不需给出演算步骤)不等式h (x )≥1的解集.20．（本题满分16分）已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和． （1）若－5a 1－2a 2，a 2，a 3成等差数列，求数列{a n }的公比；（2）若存在实数m ，使a n ，ma n ＋1，a n ＋4成等差数列，求m 的最小值．（3）设a 1＝2，公比q ＝12时，对任意的正整数n ，关于n 的不等式S n ＋1－c S n －c ＜2(1≤c ＜4)恒成立的c 的取值范围是无数个开区间的并集，这些开区间的长度从大到小记为c 1，c 2，…，c n ，…，若数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n ＜1．[注：开区间(a ，b )]的长度为b －a ]．数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．{1，2，3} 2．5 3．12 4． 5 5．11 6．3 7．8－4 3 8．(－3，1) 9．15.3 10．43 11．1114 12．313．2 3 14．{－12，58}二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)解：（1）因为0＜A ＜π，所以－π3＜A －π3＜2π3．因为sin(A －π3)＝35，所以0＜A －π3＜π2．……………………………………………………………2分 所以cos(A －π3)＝45． ……………………………………………………………4分 所以sin A ＝sin[(A －π3)＋π3]＝sin(A －π3)cos π3＋cos(A －π3)sin π3＝35×12＋45×32＝3＋4310．………………………………………………………………7分（2）因为5b ＝7a ，所以可设a ＝5m ，b ＝7m ．由余弦定理， c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c 2＝25m 2＋49m 2－2·5m ·7m ·17＝64 m 2，………11分 所以c ＝8m ．………3分 所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12．因为0＜B ＜π，所以B ＝π3． ………………………………………………………14分 16．(本小题满分14分)证明：（1）因为AD ⊥平面BCD ，B C ⊂平面BCD ，所以AD ⊥BC ． 因为BC ⊥CM ，AD ∩CM ＝M ，AD ⊂平面ACD ，CM ⊂平面ACD ， 所以BC ⊥平面ACD ．……………………………………3分 因为BC ⊂平面ABC ，所以平面ABC ⊥平面ACD ．……6分 （2）取BD 的中点E ，在CD 上取点F ，使DF ＝3CF ， 连结PE ，QF ，EF ．Q P ABCD M 第16题E F因为PB ＝PM ，所以PE ∥DM ，PE ＝12DM ＝14AD ．…………………………………………8分 因为AQ ＝3QC ，所以CQ CA ＝CF CD ＝14． 又∠QCF ＝∠ACD ，所以△QCF ∽△ACD ． 所以QF AD ＝CF CD ＝14，∠QFC ＝∠ADC ．所以QF ＝14AD ，QF ∥AD ． …………………………………………10分 所以QF ∥PE ，QF ＝PE ．所以四边形PQFE 是平行四边形．所以PQ ∥EF ． …………………………………………12分 因为PQ /⊂平面BCD ，EF ⊂平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．……………………………14分 17．(本小题满分14分)解：（1）在△BCD 中，由余弦定理，得BD 2＝BC 2＋CD 2－2·BC ·CD cos60︒，………3分 即(CD －12)2＝14x 2＋CD 2－12x ·CD ，解得CD ＝x 2－12x －4．即CD ＝x 2－12x －4．…………………………………………………………7分（2）设建造这个支架的成本为y 元，则y ＝a (AB ＋CD )＝a (x ＋x 2－12x －4)，其中x ≥2.8．…9分y ＝a [32(x －2)＋32(x －2)＋4]≥a [232(x －2)·32(x －2)x ＋4]＝7a ，…………………………12分 当且仅当32(x －2)＝32(x －2)，即x ＝3时，取等号．答：建造这个支架的成本最低为7a 元．……………………………………………………14分18．(本小题满分16分)解：（1）由题意，得a 2－(8－a 2)＝6，所以a 2＝7．……………………………………………2分 所以椭圆E 的方程为x 27＋y 2＝1． ……………………………………………4分 （2）设点M (x ，y )．因为MF 1⊥MF 2，所以x 2＋y 2＝6． ……………………………………………6分 又x 27＋y 2＝1，消去x 2得y 2＝16，所以x 2＝356．所以点M 到x 轴的距离为66． ……………………………………………8分 （3）设点P (x 0，y 0)，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c 2＝2a 2－8．①直线PF 2的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．令x ＝0，得点Q 的坐标Q (0，－cy 0x 0－c)．因为PF 1⊥QF 1，所以y 0x 0＋c·－cy 0x 0－c c ＝－1，即x 20－y 20＝c 2．②………………………………12分因为P 为椭圆E 上第一象限内的点，所以x 20a 2＋y 208－a 2＝1，x 0＞0，y 0＞0．③由①②③，得x 0＝24a 2，y 0＝24(8－a 2)． ………………………………14分 当a 变化时，点P 的坐标满足方程x ＋y －22＝0，即点P 在定直线x ＋y －22＝0上． …………………………………16分19．(本小题满分16分)解（1）若f (0)≥1，则－a |a |≥1⇔⎩⎨⎧a ＜0，a 2≥1，解得a ≤－1．……………………………………2分（2）当x ≥a 时，f (x )＝3x 2－2ax ＋a 2，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧f (a )，a ≥0，f (a 3)，a ＜0，＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0． …………4分当x ≤a 时，f (x )＝x 2＋2ax －a 2，f (x )min ＝⎩⎨⎧f (－a )，a ≥0，f (a )，a ＜0，＝⎩⎨⎧－2a 2，a ≥0，2a 2，a ＜0．………6分综上f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a ≥0，2a 23，a ＜0．……………………………………………………………8分（3）当x ∈(a ，＋∞)时，h (x )≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0．①当a ≤－62或a ＞22时，h (x )≥1的解集为(a ，＋∞)； …………………………………10分 ②当－22≤a ≤22时，h (x )≥1的解集为[a ＋3－2a 23，＋∞)； …………………………13分 ③当－62＜a ≤－22时，h (x )≥1的解集为(a ，a －3－2a 23]∪[a ＋3－2a 23，＋∞)．…16分 20．(本小题满分16分) 解：（1）设数列的{a n }公比为q ．由题意，得2a 1q ＝(－5a 1－2a 1q )＋a 1q 2，解得q ＝－1或q ＝5．因为a n ＞0，所以q ＝5． ……………………………………3分 （2）设数列的{a n }公比为q ．因为a n ，ma n ＋1，a n ＋4成等差数列，所以2ma n ＋1＝a n ＋a n ＋4，即2m ＝1q ＋q 3(q ＞0)．…5分令f (q )＝1q ＋q 3(q ＞0)．f′(q )＝－1q 2＋3q 2＝3q 4－1q 2．当q ＞413 时，f′(q )＞0，函数f (q )为增函数，当0＜q ＜413 时，f′(q )＜0，函数f (q )为减函数，所以2m ≥f (413 )，即m 的最小值为243 3． ……………………………………8分（3）因为a 1＝2，q ＝12，所以S n ＝4－42n ，S n ＋1＝4－22n ．……………………………10分 不等式S n ＋1－c S n －c＜2可化为62n ＋c －442n ＋c －4＞0，解得12n ＞4－c 4或12n ＜4－c6恒成立．当1≤c ＜4时，要使对任意n ∈N *，12n ＞4－c 4或12n ＜4－c6恒成立，只要存在k (k ∈N *)，4－c 4＜12k 且4－c 6＞12k ＋1． ……………………………14分解得4－42k ＜c ＜4－32k (k ∈N *)，故c n ＝(4－32n )－(4－42n )＝12n ．所以T n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n ＜1． ……………………………16分。
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周练数学10注意事项：1．本试卷共160分、考试时间120分钟．2．答题前，考生务必将自己的学校、姓名、考试号写在答题卡上．考试结束后，交回答题卡． 参考公式：棱锥的体积：V ＝13Sh ，其中S 为底面积，h 是棱锥的高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．记函数f (x )＝x －1的定义域为A ，集合B ＝{x ∈Z |x ＋6＞0}，则(∁R A )∩B 中的元素个数为▲ ． 2．已知复数z ＝3－i1－2i，其中i 为虚数单位，则复数z 的虚部为▲_________． 3．执行右图算法流程图，则输出的值n 为▲_________．4．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中若干株树木的底部周长(单位：cm)，其数据绘制的频率分布直方图如图，则估计该片经济林中底部周长在[100，104)中的树木所占比例为▲_________．5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，其中x ∈[0，π2]，则函数f (x )的最小值为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x ＜0，bx －1，x ＞0是奇函数，则不等式f (x )＜0中x 的取值范围为 ▲ ．7．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋pn ，a 7＝11．若a k ＋a k ＋1＞12，则正整数k 的最小值为 ▲ ． 8．在集合A ＝{x |0≤x ≤2}中随机取出两个数a ，b ，则a －b ≤1的概率是▲_________．（第3题图）(cm)（第4题）9．已知θ∈(0，π)，|cos θ|＝－cos θ，若sin θ＝35，则tan(θ＋π4)的值为 ▲ ．10．已知正三角形ABC 的边长为23，O 为△ABC 内一点，若→OA ＋→OB ＋2→OC ＝0，则｜→OA ＋→OB ｜ ＝▲_________．11．如图，是一个四棱锥的平面展开图，其中中间是边长为2的正方形，上面三角形是等边三角形，12．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＝0上有且只有两点到直线l ：3x ＋4y ＋m ＝0的距离为1，则实数m 的取值范围为 ▲ ．13．已知a ＞b ＞0，则a 2＋b 2b (a －b )的最小值为 ▲ ．14．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (－6，0)，A (－3，2)，B (4，4)．直线l 过点P ，且将△AOB分成面积相等的两部分，则直线l 的方程为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝2b ，cos A ＝－14，求sin C 的值；（2）若A ＝π6，且3tan B ＋tan C ＝0，求角B 的度数．16．(本小题满分14分)如图，已知P A ⊥矩阵ABCD 所在平面，AD ＝2AB ，E 为线段PD 的中点． （1）求证：PB ∥平面AEC ； （2）求证：BD ⊥CE ．ABCEP（第16题）17．(本小题满分14分)如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池(ABCD )的池底水平铺设污水净化管道（R t △FHE ，H 为直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H 是AB 的中点，E ，F 分别在BC ，AD 上．已知AB ＝20米，AD ＝103米，记∠BHE ＝θ．（1）将污水净化管道长度L 表示为θ的函数；（2）当θ为何值时，污水净化效果最好，并求此时管道长度．18．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且2a n ＋1＝S n ＋2(n ∈N *)． （1）求a 2，a 3的值，并求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ．若3T n ＞S n ，求n 的最大值．19．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦距为6，且过点(103，313)．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上不同的两点，点P 的坐标为(0，92)，PM →＝λPN →．①当λ＝12时，求点N 的坐标；②求λ的取值范围．20．(本小题满分16分)已知函数f (x )＝ax 2＋12bx ，a ≠0，b ＞0．（1）①讨论函数f (x )的单调性；②设a ＞0，若x 1，x 2满足|x i |＞1a(i ＝1，2)，且x 1＋x 2＞0，x 2＞0，求证：f (x 1)＋2f (x 2)＞a b ．（2）设a ＞0，函数g (x )＝12ax 2－ln x ．若对任意x 1，x 2∈(0，1a )，x 1≠x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|，求b －a 的最大值．ABC DHEF（第17题）数学参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上． 1．6 2．1 3．4 4．55% 5．－ 2 6．(－∞，－12)∪(0，12) 7．68．78 9．17 10．3 11．433 12．(－13，7) 13．22＋2 14．y ＝13x ＋2 二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． （1）若a ＝2b ，cos A ＝－14，求sin C 的值；（2）若A ＝π6，且3tan B ＋tan C ＝0，求角B 的度数．解：（1）由余弦定理， a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A 得4b 2＝b 2＋c 2＋12bc ，解得c ＝32b ．………3分所以cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝1116．因为0＜C ＜π，所以sin C ＝31516．………………………………………………………7分 （2）因为A ＝π6，3tan B ＋tan C ＝0，所以3tan(5π6－C )＋tan C ＝0，即3(tan 5π6－tan C )1＋tan 5π6tan C＋tan C ＝0．……………………………10分化简，得tan 2C ＋23tan C ＋3＝0，解得tan C ＝－3，…………………………………12分 因为0＜C ＜π，所以C ＝2π3，所以B ＝π6． ………………………………………………14分16．(本小题满分14分)证明：（1）设AC ，BD 的交点为O ，连接EO ． 因为ABCD 是矩形，所以OB ＝OD ．因为EP ＝ED ，所以EO 是△PBD 的中位线，所以PB ∥EO ， ………………3分ABCDEF P（第16题）OPB /⊂平面AEC ，EO ⊂平面AEC ，所以PB ∥平面AEC ． …………………6分 （2）取AD 中点F ，连接EF ，FC ．因为PE ＝DE ，所以EF 为△P AD 的中位线，所以P A ∥EF ．因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥BD ，所以BD ⊥EF ．①…………………9分因为ABCD 是矩形，AD ＝2AB ，E 为PD 的中点， 所以tan ∠DCF ＝DF DC ＝22，tan ∠DBC ＝DC BC ＝22， 所以∠DCF ＝∠DBC ．因为∠DBC ＋∠BDC ＝90°，所以∠DCF ＋∠BDC ＝90°，即BD ⊥CF ．②…………………12分因为EF ∩CF ＝F ，所以BD ⊥平面CEF ，CE ⊂平面CEF ，所以BD ⊥CE ． ………14分 17．(本小题满分14分)解：（1）EH ＝10cos θ，FH ＝10sin θ，所以EF ＝EH 2＋FH 2＝10sin θcos θ． …………………4分所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ，其中θ的取值范围为[π6，π3]． …………………6分说明：不写定义域扣1分．（2）令sin θ＋cos θ＝t ，所以sin θcos θ＝t 2－12．因为θ∈[π6，π3]，所以t ∈[3＋12，2]．………………………………………………………8分所以L ＝10cos θ＋10sin θ＋10sin θcos θ＝10(sin θ＋cos θ＋1)sin θcos θ＝10(t ＋1)t 2－12＝20t －1． …………………11分因为函数L ＝20t －1在上是减函数，所以当t ＝3＋12，即θ＝π3时，L 最大＝20(3＋1)．答：当θ＝π3或π6时，污水净化效果最好，此时管道长度为20(3＋1)米． …………………14分说明：不下结论，或得到最大值没有说明理由，扣1分．ABC DHEF （第17题）18．(本小题满分16分)解：（1）因为2a 2＝S 1＋2＝a 1＋2＝3，所以a 2＝32．因为2a 3＝S 2＋2＝a 1＋a 2＋2＝92，所以a 3＝94．……………………………………………2分因为2a n ＋1＝S n ＋2，所以2a n ＝S n －1＋2(n ≥2)，两式相减，得2a n ＋1－2a n ＝S n －S n －1，即2a n ＋1－2a n ＝a n ，所以a n ＋1＝32a n (n ≥2)． ……………………………………………………………………4分因为a 2＝32a 1，所以a n ＋1＝32a n (n ∈N *)，a 1＝1．所以数列{a n }为等比数列，所以a n ＝(32)n －1．………………………………………………7分（2）b n ＝1a n ＝(23)n －1，所以数列{1a n }是首项为1，公比为23等比数列．……………………………………………9分所以T n ＝1－(23)n1－23＝3－3×(23)n ．又S n ＝1－(32)n1－32＝2×(32)n －2．………………………………………………………………11分当n ≥5时，3T n ＜9，S n ≥9，所以3T n ＞S n 中的n ≤4．…………………………………14分 因为n ＝4时，3T n ＜S n ，当n ＝1，2，3时，3T n ＞S n ，所以n 的最大值为3．……………………………………………………………………16分 19．(本小题满分16分)解：（1）由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，1009a 2＋319b 2＝1，a 2－b 2＝c 2．…………………………3分 解得a 2＝18，b 2＝9，c ＝3．所以椭圆C 的方程为x 218＋y 29＝1． …………………………5分（2）①设N (x 1，y 1)，因为点P 的坐标为(0，92)，且PM →＝12PN →，所以点M 的坐标为(12x 1，12y 1＋94)．因为点M ，N 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2118＋y 219＝1，(12x 1)218＋(12y 1＋94)29＝1，…………………………7分解得x 1＝±304，y 1＝34． 所以点N 的坐标为(±304，34)．…………………………………………………………9分 ②设N (x 1，y 1)，因为点P 的坐标为(0，92)，且PM →＝λPN →，所以点M 的坐标为(λx 1，λy 1＋92(1－λ))． ……………………………11分因为点M ，N 都在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2118＋y 219＝1，(λx 1)218＋[λy 1＋92(1－λ)]29＝1， ②－①×λ2，得19×[2λy 1·92(1－λ)＋814(1－λ)2]＝1－λ2． …………………13分因为λ≠1时，所以上式可化为y 1＝13λ－54λ．因为点N 在椭圆上，所以|y 1|≤3，即|13λ－54λ|≤3，解得15≤λ≤5．所以实数λ的取值范围为[15，1)∪(1，5]． ………………………………16分20．(本小题满分16分) 解：（1）①f ′ (x )＝ax 2－12bx 2．当a ＜0时，因为b ＞0，所以f ′ (x )＜0，所以f (x )在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数． ………………………………1分 当a ＞0时，解f ′ (x )＜0，得－1a ＜x ＜0或0＜x ＜1a ，解f ′ (x )＞0，得x ＜－1a 或x ＞1a， 所以f (x )在区间(－1a ，0)和(0，1a )上为减函数，在区间(－∞，－1a )和(1a，＋∞)上是增函数． ……………………………………3分 ②因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 1＞0，或x 1＜0． 若x 1＞0，因为|x i |＞1a (i ＝1，2)，所以x 1＞1a ，x 2＞1a， 由①，知f (x )在(1a ，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (1a )＋2f (1a)＝3a b ＞a b ．① ②………………………………………5分 若x 1＜0，由|x 1|＞1a ，得x 1＜－1a， 因为x 1＋x 2＞0，x 2＞0，所以x 2＞－x 1＞1a， 由①，知f (x )在(1a，＋∞)上是增函数，所以f (x 1)＋2f (x 2)＞f (x 1)＋2f (－x 1)＝f (－x 1)＝a b ．综上，f (x 1)＋2f (x 2)＞ab． ………………………………………8分 （2）g ′ (x )＝ax －1x ＝ax 2－1x ，x ∈(0，1a )，所以g ′ (x )＜0，所以函数g (x )在(0，1a)上是减函数．不妨假设x 1＜x 2． 由（1），知f (x ) 在(0，1a)上是减函数， 所以不等式|f (x 1)－f (x 2)|＞|g (x 1)－g (x 2)|等价于f (x 1)－f (x 2)＞g (x 1)－g (x 2)，……………10分 即[f (x 1)－g (x 1)]－[f (x 2)－g (x 2)]＞0． 令M (x )＝f (x )－g (x )，x ∈(0，1a)，则M (x )为减函数． 因为M ′ (x )＝f ′ (x )－g ′ (x )＝ax 2－12bx 2－ax ＋1x ＝(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2，所以(ax 2－1)(1－2bx )2bx 2≤0在区间(0，1a )上恒成立，即1－2bx ≥0在区间(0，1a )上恒成立， 所以1－2b a≥0，即b ≤a2． ……………………………14分所以b －a ≤a 2－a ＝－(a －14)2＋116≤116． 所以b －a 的最大值为116． ……………………………………16分。