物理：6.4《万有引力理论的成就》使用

４．万有引力 理论的成就
一.学习目标
1.了解应用万有引力定律解决问 题的基本思路. 2.掌握两种算天体质量的方法 3.会根据条件计算天体的密度. 4.会比较两个行星个物理量的大小
5.了解发现未知天体的基本思路
复习： 万有引力定律
1.内容：自然界中任何两物体都是相互吸 引的，引力的大小跟这两个物体 质量的乘积成正比，跟它们的距 离的二次方成反比 2.公式： F= G m m
①天体质量：M=4π2r3/GT2
②天体密度：ρ=3πr3/GT2R3 若卫星在天体表面运行， 则r=R，而有ρ=3π/GT2。 3.研究天体表面物体重力的应用公式：mg=GMm/R2 4.解决天体问题的两条思路： ①万有引力提供向心力 ：GMm/r2=mv2/r ②重力等于其所受的万有引力：mg=GMm/R2
mr(
m
2

2
GM r
3
3
2
G
Mm r
2
T
2
) T 2
v
GM r
r
GM
v r
max ax
GM r
2
1
3 2 4
解析：1781年3月13日晚，恒星天文学之父— —赫歇耳用自制的大望远镜发现天王星．海王星 是继天王星之后发现的第二颗新行星，但与天王 星不同，海王星的发现是神机妙算的结果．同理， 冥王星也是天文学家分析推算出来的．
课堂小结：
2.测量天体质量M或天体密度：
1.研究天体运动应用公式：F=GMm/r2 (掌握公式的变形)。
－天体质量的计算 方法一. 已知天体的球体半径R和球体 表面重力加速度g.求天体的质量 基本思路 gR Mm G m g M 2 R G
2
二、天体质量的计算 基本思路
G Mm r
2
m r( 4 r
2 3 2
2
T
)
2
M
开普勒第三定律：
GT
r T r T
3 2 3 2
k ， k 是什么？ GM 4
注：在此求不出运动天体本身的质量．
四.应用二－天体密度的计算
基本思路： 根据上面两种方式算出中心天体的质量 M，结合球体体积计算公式 4 3 v R 3 物体的密度计算公式 m 求出中心天体的密度
V
四.应用二－天体密度的计算
M
Hale Waihona Puke v gR G4 3
2
R
3

3g 4 R G
(3)亚当斯和勒维耶的计算及预言——科学推
理. 亚当斯和勒维耶相信未知行星的存在，根据 天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定 律计算出这颗“新”行星的轨道． (4)伽勒的发现——实践检验 1846年，德国科学家伽勒在勒维耶预言的位 置附近发现了海王星，和预言的位置只差1度． 1930年，汤姆根据洛韦尔对海王星轨道异常 的分析，发现了冥王星． 海王星、冥王星的发现，进一步地证明了万 有引力定律的正确性。
2

三、天体密度的计算
M
v
gR G
4 3
2
R
3

3g 4 R G

m V
四.天体密度的计算
M
v
4 r
2 3 2

3
3 r
2
3 3
GT
4 3
GT R
R
当r≈R时

3

m V
GT
2
五、－比较卫星的各个量
基本思路：万有引力充当向心力F引=F向.
mr
mg G mM
2
R 式中M是地球的质量； R是地球的半径，也就是物体到地心的距离。 由此解出
M gR G
2
设甲星球质量为M1、半径为r1、表面重力加速 度为a1；乙星球质量为M2、半径为r2、表面重力加 速度为a2。 若一物体质量为m，在星球表面所受的重力 mg等于星球对该物体的引力：
m g1 G M 1m r1
解： 由 G
Mm r
2
m
v r
2
，M

V r G
2
故 D 正确
3．下列说法中正确的是( A ) A．天王星偏离根据万有引力计算的轨道，是由于天 王星受到轨道外面其他行星的引力作用 B．只有海王星是人们依据万有引力定律计算轨道而 发现的 C．天王星是人们依据万有引力定律计算轨道而发现 的 D．以上均不正确
1 2 2
r
式中：m1 和m2为两物体的质量 r为两物体的距离 G引力常数为6.67×10-11 N· 2/kg2 m
R
2R
引入新课
万有引力定律揭示了天体运动的规 律，是研究天体运动的重要理论基础。 万有引力定律的发现对天文学的发 展起了很大的推动作用，取得了重大的 成就。 下面我们举例来说明万有引力定律 在天文学上的应用。

m V
四.应用二－天体密度的计算
M
v
4 r
2 3 2

3
3 r
2
3 3
GT
4 3
GT R
R

m V
当r≈R 时 3
GT
2
求中心天体的密度ρ
数学公式提示：球的体积V= R 3 分析与解答： 假设中心天体为质量分布均匀的球体， 并设其半径为R ,体积为V，密度为ρ， 则有：天体质量 M=ρ V= 4 R ρ -------（1）
二.基本思路
1.将行星（或卫星）的运动 看成是匀速圆周运动.
2.万有引力充当向心力F引=F向. 或在球体表面附近F引=G重
二.基本思路
m
v r
2
G
Mm r
2
mr mr( max mg
2
2
T
)
2
三.明确各个物理量
转动天体m
轨道半径r
中心天体M
天体半径R
若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m的 物体所受的重力mg等于地球对物体的引力，即
2
mg
2
G
M 2m r2
2

g1 g2

M 1 r2 M 2 r1
2 2
若M1 M
2
则
g1 g2

r2 r1
2 2
设M为太阳(或某一天体)的质量，m是行星(或 某一卫星)的质量，r是行星(或卫星)的轨道半径， T是行星(或卫星)绕太阳(或天体)公转的周期。 F需=mrω2=mr(
GMm
2
2 T
3 3
4
3
另有天体质量 M=
4 r
2
3
G T
2
--------（2）
3 r
2 3
ρ 由（1）（2）得到： =
G T R
3
当m绕M表面运动时, r=R， 则上式：ρ = 可表示为：ρ =
3 r
2 3
G T R
3
3 G T
2
或者表示为：
ρT2 =
3 G
（为常数）
所以当m绕M表面运动时，只须测出其 运动周期T，就能测出天体的密度ρ。
以地球绕太阳公转为例：
地球绕太阳运转的轨道半径： r =1.5×1011m 公转周期一年： T=3.16 × 107s
代入 M=
4 r
2 3
得：M=
4 3 . 14 ( 1 . 5 10 11 )
2
G T
2
3
6 . 67 10
11
( 3 . 16 10 7 )
2
kg
=2.0× 1030kg
)2
---------------------(1)
而行星运动的向心力由万有引力提供，即： F供= ------------------------------(2)
4 r
2 3
r
M= 由（1）（2）可得：
G T
2
注意： 已知行星（或卫星）的周期公 转周期T、轨道半径r，可求出中 心天体的质量M（但不能求出行 星或卫星的质量m）
1．根据引力常数G和下列各组数据，能计算 出地球质量的是( BCD ) A．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距 离 B．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距 离 C.人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行 周期 D.若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力 加速度
2．2001年10月22日，欧洲航天局由卫星观测发现 银河系中心存在一个超大型黑洞，命名为MCG6-30-15， 由于黑洞的强大引力，周围物质大量掉入黑洞，假定银 河系中心仅此一个黑洞，已知太阳系绕银河系中心匀速 运转，下列哪一组数据可估算该黑洞的质量( D ) A．地球绕太阳公转的周期和速度 B．太阳的质量和运行速度 C．太阳质量和到MCG6-30-15的距离 D．太阳运行速度和到MCG6-30-15的距离
(1)现象——问题的发现 天文学家在用牛顿的引力理论分析天王星运 动时，发现单用大阳和其他行星对它的引力作用， 并不能圆满地作出解释． 用万有引力定律计算出来的天王星的轨道与 实际观测到的结果不相符，发生了偏离． (2)两种观点——猜想与假设 一是万有引力定律不准确； 二是万有引力定律没有问题，只是天王星轨 道外有未知的行星吸引天王星，使其轨道发生偏 离．