数学建模论文(分配问题)(精编文档).doc

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公平席位的分配

系别：机电工程系模具班学号：1号

摘要：

分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配

关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配

问题的提出：

某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。

如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。

但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？

问题重述

学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。

甲乙丙

总人数

１００６０４０

２００

学生人数比例：100/200 60/200 40/200

按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初

按比例分配席位：甲乙丙共

10 6 4 20

若出现学生转系情况：

甲乙丙总人数

103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200

按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位

按比例分配席位：甲乙丙

10.815 6.615 3.57

按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法.

模型假设

分配席位的情况

单位人数席位数

A单位X n m

B单位Y n。m。

若公平分配，则会出现的情况应当是m=m1，即X/n=Y/m1 当m＞m。时,则对B单位不公平.其不公平值为

R=(m-m。)/m。（１）

当m＜m。时,则对A单位不公平.其不公平值为T=(m。-m)/m

为了使分配达到最公平，则应当使不公平值最接近、最小。因此分配过程中，应当使用使不公平值尽量小的分配方案以达到目的。

假设m＜m。,使分配结果对A不公平,再给A一个席位.则对于m不应当出现下列的情况:

⒈ X/(n+1)＞m。说明还是对A不公平，应当再给A一席

⒉ X/(n+1)＜m。说明给A一个席位，对B是不公平的

⒊ m＞Y/(n。+1) 说明给B一席位后，对A不公平

其不公平值为R=(n。+1)Y/Xn。—1

⒋ m＜Y/(n。+1) 不存在

分析与模型建立

使用使不公平值尽量小的分配方案决定席位分配，则有T＜R，增加的一席应该给A，若T＞R，增加的一席应该给B。

其对应的不等式应该为

X2/n(n+1)＜Y/n(n。+1)

所以使P=Q/n1(n1+1) (Q表示单位X或Y或其他单位)

故所增加的席位的分配应当由P的大小来决定。推广到一般的情况下，有N个组，先按一般分配，剩余的按P是大小来分配，本问题中工分配了19个席位，具体为：

甲10.815 N1=10

乙 6.615 N2=6

丙 3.570 N3=3

第二十席位的分配由上面的公式有:

P1=1032/110=96.4 P2=632/42=94.5 P3=362/12=96.3

所以由上可得第二十席位应当分配给乙组.

所以最后的分配情况应当为:

甲10

乙7

丙 3

模型求解

第二十一席位的分配由上面的公式有:

P1=1032/110=96.4 P2=632/42=94.5 P3=362/12=96.3 所以由上可得第二十一席位应当分配给乙组.

所以最后的分配情况应当为:

甲11

乙 6

丙 4

模型推广

优点：大大降低了不公平值；方法简便易行。

缺点：虽然降低了不公平值，但还不是最公平的。仍有待于进行深入的研究与探索

结语

公平的席位分配是一个实用性很强的问题，它的方法仍有待于进行深入的研究与探索，如何使更多有效的方法在企业管理中得到的充分应用，是每一个对此感兴趣的人都应该给予高度重视的问题.