第9章数值分析中的误差练习和习题答案(精)
数值分析习题第九章答案
数值分析习题第九章答案数值分析习题第九章答案第一节：引言数值分析是一门研究数值计算方法和算法的学科，广泛应用于科学、工程和金融等领域。
在数值分析的学习过程中，习题是非常重要的一部分，通过解答习题可以加深对理论知识的理解，并提高解决实际问题的能力。
本文将重点讨论数值分析习题第九章的答案，希望能为读者解决一些困惑。
第二节：习题一习题一要求计算给定函数的导数。
根据数值分析中的导数近似计算方法，我们可以使用中心差分公式来估计导数的值。
中心差分公式的表达式为：f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x-h)) / (2h)其中，h为步长，通常取一个较小的值。
根据这个公式，我们可以计算出给定函数在特定点的导数值。
第三节：习题二习题二要求求解给定的非线性方程。
非线性方程的求解是数值分析中的重要问题之一。
常用的求解方法包括二分法、牛顿法、割线法等。
这些方法都是通过迭代来逼近方程的解。
例如，牛顿法是通过迭代的方式逼近方程的根。
具体步骤如下：1. 选择初始近似解x0；2. 根据方程的导数计算出切线的斜率；3. 计算切线与x轴的交点，得到新的近似解x1；4. 重复步骤2和步骤3，直到满足收敛条件为止。
通过牛顿法或其他求解方法，我们可以得到给定非线性方程的近似解。
第四节：习题三习题三要求求解给定的线性方程组。
线性方程组的求解是数值分析中的基本问题之一。
常用的求解方法包括高斯消元法、LU分解法、迭代法等。
例如，高斯消元法是通过逐步消元的方式将线性方程组转化为上三角形式，然后通过回代求解出未知数的值。
LU分解法是将系数矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，然后通过前代和回代求解出未知数的值。
通过这些求解方法，我们可以得到给定线性方程组的解。
第五节：习题四习题四要求求解给定的插值问题。
插值是数值分析中的重要问题之一，常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
例如，拉格朗日插值法是通过构造一个满足给定条件的多项式来逼近原函数。
数值分析题库答案(含详细解题步骤)
第 1 页/共 22 页1. 正方形的边长大约为100cm ，应怎样测量才干使面积误差不超过1cm 22. 已测得某场地长l 的值为110=*l m ，宽d 的值为80=*d m ，已知 2.0≤-*l l m,1.0≤-*d d m, 试求面积ld s =的绝对误差限与相对误差限.3.为使π的相对误差小于0.001%,至少应取几位有效数字？4.设x的相对误差界为δ，求n x的相对误差界.5.设有3个近似数a=2.31，b=1.93，c=2.24，它们都有3位有效数字，试计算p=a+bc的误差界和相对误差界，并问p的计算结果能有几位有效数字？第 3 页/共 22 页6. 已知333487.034.0sin ,314567.032.0sin ==，请用线性插值计算3367.0sin 的值，并预计截断误差.7. 已知sin0.32=0.314567, sin0.34=0.333487, sin0.36= 0.352274,用抛物插值计算sin0.3367的值, 并预计误差.8. 已知16243sin ,sin πππ===请用抛物插值求sin50的值,并预计误差9. . .6,8,7,4,1)(,5,4,3,2,1求四次牛顿插值多项式时设当==i i x f x第 5 页/共 22 页10. 已知4)2(,3)1(,0)1(=-=-=f f f ， 求函数)(x f 过这3点的2次牛顿插 值多项式.11. 设x x f =)(，并已知483240.1)2.2(,449138.1)1.2(,414214.1)0.2(===f f f ，试用二次牛顿插值多项式计算(2.15)f 的近似值，并研究其误差12. 设],[)(b a x f 在上有四阶延续导数，试求满意条件)2,1,0()()(==i x f x P i i 及)()(11x f x P '='的插值多项式及其余项表达式.13. 给定3201219(),,1,,44f x x x x x ====试求()f x 在1944⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的三次埃尔米特插值多项式()P x ,使它满意11()()(0,1,2),()(),i i P x f x i P x f x ''===并写出余项第 7 页/共 22 页表达式.14. 设],1,0[,23)(2∈++=x x x x f 试求)(x f 在]1,0[上关于,,1{,1)(x span x =Φ=ρ}2x 的最佳平方逼近多项式15.已知实验数据如下：用最小二乘法求形如y=a+bx2的拟合曲线，并计算均方误差.16.已知数据表如下第 9 页/共 22 页x i 1 2 3 4 5 y iωi4 4.56 8 8.5 2 1 3 1 1试用最小二乘法求多项式曲线与此数据组拟合17. .1)(},1{span ,1]41[)(的最佳平方逼近多项式中的关于上的在在求==Φ=x x x x f ρ18. 决定求积公式⎰++≈10110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A , 使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度.19. 用复化辛普森公式计算积分⎰=10dx e I x , 问区间[0,1]应分多少等分才干使截断误差不超过?10215-⨯第 11 页/共 22 页20. 利用下表中给出的数据，分离用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算定积分dx x I ln 21⎰=的近似值（要求结果保留到小数点后六位）21. 用复化梯形公式和复化辛甫生公式计算积分⎰=6.28.1)(dx x f I ,函数)(x f 在某些节点上的值如下图：（本题共14分）22. 决定公式⎰+≈101100)()()(x f A x f A dx x f x 的系数1010,,,x x A A ,使其具有最高代数精度23. 决定求积公式⎰++≈1110)1()(32)0()(f A x f f A dx x f 中的待定参数110,,A x A ,使其代数精度尽量高，并指出所决定的求积公式的代数精度第 13 页/共 22 页24.用LU 分解法求解以下方程组 (10分)123123142521831520x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭25.用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛8892121514131615141321x x x26. 用LU 分解法求解以下方程组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛542631531321321x x x27. 设方程组b Ax =，其中⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=220122101A ，Tb ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32,31,21, 已知它有解Tx ⎪⎭⎫⎝⎛-=0,31,21，若右端有小扰动61021-∞⨯=bδ，试预计由此引起的解的相对误差.第 15 页/共 22 页28. 设方程组b Ax =，其中212 1.0001A -⎛⎫= ⎪-⎝⎭，11.0001b -⎛⎫= ⎪⎝⎭,当右端向量b 有误差00.0001δ⎛⎫= ⎪⎝⎭b 时，试预计由此引起的解的相对误差(用∞范数计算)29. 给定b Ax =，其中⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111a a a a a a A 证实：(1) 当121<<-a 时，A 对称正定，从而GS 法收敛. (2) 惟独当2121<<-a 时，J 法收敛.30. 对于线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+=+1242043 16343232121x x x x x x x ，列出求解此方程组的Jacobi 迭代格式，并判断是否收敛。
数值分析课后习题答案
习 题 一 解 答1．取3.14，3.15，227，355113作为π的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。
分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。
求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。
注意，不应先求相对误差再求绝对误差。
有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。
有了定理2后，可以根据定理2更规范地解答。
根据定理2，首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。
解：（1）绝对误差:e(x)=π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…≈0.0016。
相对误差：3()0.0016()0.51103.14r e x e x x -==≈⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.14＝0.314×10，m=1。
而π－3.14＝3.14159265…－3.14＝0.00159…所以│π－3.14│＝0.00159…≤0.005=0.5×10－2＝21311101022--⨯=⨯所以，3.14作为π的近似值有3个有效数字。
（2）绝对误差:e(x)=π－3.15＝3.14159265…－3.14＝－0.008407…≈－0.0085。
相对误差：2()0.0085()0.27103.15r e x e x x --==≈-⨯有效数字：因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10，3.15＝0.315×10，m=1。
而π－3.15＝3.14159265…－3.15＝－0.008407…所以│π－3.15│＝0.008407……≤0.05=0.5×10－1＝11211101022--⨯=⨯所以，3.15作为π的近似值有2个有效数字。
（3）绝对误差:22() 3.141592653.1428571430.0012644930.00137e x π=-=-=-≈-相对误差：3()0.0013()0.4110227r e x e x x--==≈-⨯有效数字： 因为π＝3.14159265…=0.314159265…×10， 223.1428571430.3142857143107==⨯，m=1。
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
数值分析-课后习题答案
证明 (1)A正交,则ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1. (2)A对称正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.
精选课件
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三.习题3 (第75页)
3-2.讨论求解方程组Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收
计算结果如下:
x x 1 2 ( (k k 1 1 ) ) 3 2 1 2 .x 5 2 (x k ) 1 (k 1 )
k
J法x1(k)
0
1.01
1
0.98
2
2.03
3
1.94
4
5.09
5
4.82
6
14.27
J法x2(k) 1.01 0.485 0.53 -1.045 -0.91 -5.635精选课件 -5.23
1.01
1.01
1
0.66
0.995
0.66
1.17
2
0.67
1.17
0.553333
1.223333
3
0.553333
1.165
0.517778
1.241111
4
0.556667
1.223333
0.505926
1.247037
5
0.517778
1.221667
0.501975
1.249012
6
0.518889
3 4精1选 课件
1
1
5
2-5.对矩阵A进行LDLT分解和GGT分解，并求解方程组
Ax=b，其中
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1
《数值分析》练习题及答案解析
《数值分析》练习题及答案解析一、单选题1. 以下误差公式不正确的是（ D ）A ．()1212x x x x ∆-≈∆-∆B ．()1212x x x x ∆+≈∆+∆C ．()122112x x x x x x ∆≈∆+∆D ．1122()x x x x ∆≈∆-∆ 2. 已知等距节点的插值型求积公式()()352kkk f x dx A f x =≈∑⎰，那么3kk A==∑（ C ）A ．1 B. 2 C.3 D. 4 3.辛卜生公式的余项为（ c ）A ．()()32880b a f η-''-B ．()()312b a f η-''-C ．()()()542880b a f η--D ．()()()452880b a f η--4. 用紧凑格式对矩阵4222222312A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦进行的三角分解，则22r ＝（ A ） A ．1 B ．12C ．–1D ．–25. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ D ） A ．()00l x ＝0,()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x =6. 用二分法求方程()0f x =在区间[],a b 上的根，若给定误差限ε，则计算二分次数的公式是n ≥（ D ）A ．ln()ln 1ln 2b a ε-++ B. ln()ln 1ln 2b a ε-+-C.ln()ln 1ln 2b a ε--+ D. ln()ln 1ln 2b a ε--- 7.若用列主元消去法求解下列线性方程组,其主元必定在系数矩阵主对角线上的方程组是（ B )A ．123123123104025261x x x x x x x x x -+=⎧⎪-+=⎨⎪-+=-⎩ B 。
数值分析习题
第一章 绪论习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
（函数误差的计算）7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为%1，问度量半径r 时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算）8 设⎰-=11dx e x eI x n n ，求证： （1）)2,1,0(11 =-=-n nI I n n（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。
（计算方法的比较选择）第二章 插值法习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。
1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ，求)(x f 的拉氏插值多项式。
（拉格朗日插值）2 已知9,4,10===x x x y ，用线性插值求7的近似值。
（拉格朗日线性插值）3 若),...1,0(n j x j =为互异节点，且有)())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------=+-+-试证明),...1,0()(0n k x x l xnj k jk j =≡∑=。
数值分析中的误差
第9章 数值分析中的误差 典型问题解析考试知识点：误差、有效数字。
（6%）学习要点：误差、有效数字。
典型问题解析：一、误差绝对误差e ：e =x －x *（设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差)）。
绝对误差限ε：ε≤-=*x x e（绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界。
）相对误差e r ：***-==x x x x e e r （绝对误差e 与精确值x *的比值，常用x e e r =计算） 相对误差限r ε：r r e ε≤（相对误差e r 绝对值的一个上界），r r x x x x e εε=≤-=||||||***，*xr εε=，常用x ε计算. 绝对误差限的估计式：（四则运算中）)()()(2121x x x x εεε+=± )()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε 二、有效数字有效数字：如果近似值x 的误差限ε 是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.(1)设精确值x *的近似值x ，若m n a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.例1 设x *= π=3.1415926…,若x *的近似值x 为3.14，3.1415，3.143，求x 的有效数字位数.解：若x =3.14＝0.314×101，（m =1）31105.06592001.0-*⨯≤=- x x （l =3）故x =3.14有3位有效数字。
若x =3.1415＝0.31415×101，（m =1）41105.00000926.0-*⨯≤=- x x （l =4）故x =3.1415有4位有效数字。
数值分析习题集及答案[1](精)
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数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -= ( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b c s a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n nn n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj jj x l x x k n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()b aS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差.15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10x e dx-⎰并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰; (3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n n nnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析课后习题部分参考答案.doc
数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1(P10) 5.求厲的近似值x*,使其相对误差不超过0.1%。
解：V2 = 1.4 ••- o设X*有"位有效数字，则le(x*)lV0.5xl0xl(T"。
,*““0.5x10-" 牛(x )1< ] 。
从而，丨<故，若0.5x10-" <0.1%,则满足要求。
解之得，M>4O %* =1.414 O(P10) 7.正方形的边长约100cm ,问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1 cm2 o解：设边长为a ,则a心100cm。
设测量边长时的绝对误差为e,由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:® 2xl00xe…按测量要求，l2xl00xel<l解得，lel< 0.5x10 2 oChapter 2(P47) 5.用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵：‘1 1 -1]A = 2 1 0 。
J j 0丿解：设A1 =(«0 /)=分别求如下线性方程组:先求A的LU分解(利用分解的紧凑格式),气1)1 (1)1 (-D-(2)2(D-1(0)2、⑴1(-1)2 (0) —3,(1 0 0、 ri 1 -1] 即，厶=2 1 0 ,U =0-12 J 2 1丿<0 0-3经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组,1 0Ly =0 和 Ua = v ,得，a = 0J3 2 3 1(P47) 6.分别用平方根法和改进平方根法求解方程组:(1 2 1 -3兀1)2 50 -5兀2 2 10 14 1 x 3 16 、一 -5 1 15丿3解：平方根法：先求系数矩阵4的Cholesky 分解(利用分解的紧凑格式),'(1)1、< 1 0 0 0、(2)2(5)1,即，L =2 1 0 0 (1)1 (0)-2 (14)3 1 -2 3 、(_3) _ 3 (-5)1 (1)2 (15<-31 2 b216 改进平方根Ly = 和 II x = y ,得，x = 先求系数矩阵A 的形如A = LDU 的分解，其中厶-(/y .)4x4为单位下二角矩阵,D = diag{d l ,d 2,d 3,d 4}为对角矩阵。
计算机数学基础(2)--误差分析(02-09)
《计算机数学基础(2)》辅导第9章 数值分析中的误差 (2002级(秋季)用) 中央电大 冯 泰 《计算机数学基础》是中央广播电视大学开放本科教育计算机科学与技术专业教学中重要的核心基础课程，它是学习专业理论不可少的数学工具. 通过本课程的学习，要使学生具有现代数学的观点和方法，初步掌握处理离散结构所必须的描述工具和方法以及计算机上常用数值分析的构造思想和计算方法. 同时，也要培养学生抽象思维和慎密概括的能力，使学生具有良好的开拓专业理论的素质和使用所学知识，分析和解决实际问题的能力.本学期讲授数值分析部分，包括数值分析中的误差、线性方程组的数值解法、函数插值和最小二乘拟合、数值积分与微分、方程求根和常微分方程的数值解法. 通过本课程的学习，使学生熟悉数值计算方法的基本原理，掌握常见数值计算的方法. 依据教学大纲，我们对本学期的教学内容，逐章进行辅导，供师生学习参考.第9章 数值分析中的误差一、重点内容绝对误差－设精确值x *的近似值x ， 差e =x －x *称为近似值x 的绝对误差(误差). 绝对误差限―绝对误差限ε是绝对误差e 绝对值的一个上界，即ε≤-=*x x e . 相对误差e r ―绝对误差e 与精确值x *的比值，***-==xx x xe e r .常用xe e r =计算.相对误差限r ε―相对误差e r 绝对值的一个上界，r r e ≥ε，常用xε计算.绝对误差限的估计式：)()()(2121x x x x εεε+=±)()()(122121x x x x x x εεε+≈22122121+=x x x x x x x )()()(εεε相对误差限的估计式：⎪⎪⎭⎫⎝⎛≠-±±≤±21212212121121)()()(x x x x x x x x x x x x x x r r r 时εεε112221)()()(x x x x x x r r r εεε+≤，221121)()()(x x x x x x r r r εεε+≤有效数字―如果近似值x 的绝对误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位. 从这一位起到前面第一个非0数字为止的所有数字称为x 的有效数字.关于有效数字的结论有： (1)设精确值x *的近似值x ，若mn a a a x 10.021⨯±=a 1,a 2,…,a n 是0～9之中的自然数，且a 1≠0，n l x x l m ≤≤110⨯50=≤--,.*ε 则x 有l 位有效数字.(2)设近似值mn a a a x 10.021⨯±= 有l 位有效数字，则其相对误差限111021+-⨯≤l r a ε(3) 设近似值m n a a a x 10.021⨯±= 的相对误差限不大于1110)1(21+-⨯+l a则它至少有l 位有效数字.(4) 要求精确到10－k(k 为正整数)，则该数的近似值应保留k 位小数. 二、实例例1 设x *= π=3.1415926…，求x *的近似值及有效数字.解 若取x *的近似值x =3.14＝0.314×101, 即m =1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有31105.06592001.0-*⨯≤=- x x ，即l =3，故近似值x =3.14有3位有效数字．或x ＝3.14的绝对误差限0.005，它是x *的小数后第2位的半个单位，故近似值x =3.14准确到小数点后第2位，有3位有效数字． 若取近似值x =3.1416，绝对误差是0.0000074…，有5-1*10⨯50≤00000740=-.. x x ，即m =1,l ＝5，故近似值x =3.1416有5位有效数字．或x ＝3.1416的绝对误差限0.00005，它是x *的小数后第4位的半个单位，故近似值x =3.1416准确到小数点后第4位，亦即有4位有效数字．若取近似值x =3.1415，绝对误差是0.0000926…，有 0000926.0=-*x x 41105.0-⨯≤，即m =1,l ＝4，故近似值x =3.1415只有4位有效数字．或x ＝3.1415的绝对误差限0.0005，它是x *的小数后第3位的半个单位，故近似值x =3.1415准确到小数点后第3位．注意：这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字．若末位数不是四舍五入得到的，那末它就不一定有s 位有效数字，必须用其绝对误差限来确定．绝对误差限是哪一位的半个单位，也就是精确到该位，从而确定有效数字． 例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限： 2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解 因为x 1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×101―5，即m =1,l =5,故x =2.000 4有5位有效数字. a 1=2，相对误差限025000.01021511=⨯⨯=-a r εx 2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m =－2，l =3，x 2=－0.002 00有3位有效数字. a 1=2，相对误差限εr =3110221-⨯⨯=0.002 5x 3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m =4, l =4, x 3=9 000有4位有效数字，a =9，相对误差限εr ＝4110921-⨯＝0.000 056x 4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m =4，l =6，x 4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr ＝6110921-⨯＝0.000 000 56由x 3与x 4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3 ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是ε＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以.ln2≈0.693例4 数值x *＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x =2.19722，而不是2.19723．注意：取一个数的近似数，若取5位有效数字，则只看该数第6位数，采取四舍五入的方法处理．与第7位，第8位的数值大小无关．本例取6位有效数字，左起第6个数是2，而第7个数是4，故应舍去，得到x=2.19722．本例第8个数，第9个数都是大于或等于5的数，再入上去，就得到x=2.19723，是不对的． 我们计算一下它们的误差． 取x=2.19722，e=x －x*=－0.000 004 577…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 004 577…<0.000 005=0.5×101－6取x=2.19723，e=x －x*=0.000 005 423…，∣e ∣=∣x －x*∣=0.000 005 423…<0.000 05=0.5×101－5 即x=2.19723只有五位有效数字． 例5 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1x 2)=？解 已知x 1,x 2的绝对误差限，求x 1x 2的绝对误差限．由绝对误差限的传播公式)()()(211221x x x x x x εεε+=＝1221005.005.0)(x x x x +=ε注：该传播公式也可以用于多个数的积， 213312321321)()()()(x x x x x x x x x x x x εεεε++=)(3)(),(2)(232x x x x x x εεεε==等．三、练习题1.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( B ) (A)－2.180 (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.120 2. 数8.000033的5位有效数字的近似值是多少？ 答案：8.000 03. 若误差限为0.5×10－5，那么近似数0.003400有( B )位有效数字. (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 64. 若近似值x 的绝对误差限为ε＝0.5×10－2，那么以下有4位有效数字的x 值是( B ).(A) 0.934 4 (B) 9.344 (C) 93.44 (D)934.4 5. 已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( A )． (A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t6. 已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是多少？答案：0.55×10－2． 7. 设近似值x =－9.73421的相对误差限是0.0005，则x 至少有几位有效数字． 答案：38. 用四舍五入的方法得到近似值x =0.0514，那么x 的绝对误差限和相对误差限各是几？ 答案：0.000 05，0.0019. 设近似值x 1,x 2满足ε(x 1)=0.05，ε(x 2)=0.005，那么ε(x 1+x 2)=？ 答案：0.05510. 设近似值x =±0.a 1a 2…a n ×10m ，具有l 位有效数字，则其相对误差限为( B )．(A) 1110121+-⨯+l a (B)1110)1(21+-⨯+l a(C)111021+-⨯l a (D) la -⨯1021111. 测量长度为x =10m 的正方形，若ε(x )＝0.05m ，则该正方形的面积S 的绝对误差限是多少？答案：1(m)12.数值x*＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x=( B ).(A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.19722513. 将下列各数舍入成三位有效数字，并确定近似值的绝对误差和相对误差. (1) 2.1514 (2) －392.85 (3) 0.00392214. 已知各近似值的相对误差，试确定其绝对误差：(1) 13267 e r=0.1% (2) 0.896 e r=10%四、练习题答案1. B2. 8.000 03. B4. B .5. A6. 0.55×10－2．7. 38. 0.000 05，0.0019. 0.05510. B11. 1(m)12. B13. (1)2.15, e=－0.001 4, e r=－0.000 65；(2) －393 , e=－0.15, e r=－0.00038；(3)0.00392, e=－0.000 002, e r=0.0005114. (1) e=0.13×102 (2) 0.9×10－1。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
数值分析--第9章常微分方程数值解
数值分析--第9章常微分⽅程数值解数值分析--第9章常微分⽅程数值解第九章常微分⽅程数值解法许多实际问题的数学模型是微分⽅程或微分⽅程的定解问题。
如物体运动、电路振荡、化学反映及⽣物群体的变化等。
常微分⽅程可分为线性、⾮线性、⾼阶⽅程与⽅程组等类；线性⽅程包含于⾮线性类中，⾼阶⽅程可化为⼀阶⽅程组。
若⽅程组中的所有未知量视作⼀个向量，则⽅程组可写成向量形式的单个⽅程。
因此研究⼀阶微分⽅程的初值问题=≤≤=0)(),(y a y b x a y x f dx dy ， (9-1)的数值解法具有典型性。
常微分⽅程的解能⽤初等函数、特殊函数或它们的级数与积分表达的很少。
⽤解析⽅法只能求出线性常系数等特殊类型的⽅程的解。
对⾮线性⽅程来说，解析⽅法⼀般是⽆能为⼒的，即使某些解具有解析表达式，这个表达式也可能⾮常复杂⽽不便计算。
因此研究微分⽅程的数值解法是⾮常必要的。
只有保证问题(9-1)的解存在唯⼀的前提下，研究其数值解法或者说寻求其数值解才有意义。
由常微分⽅程的理论知，如果(9-1)中的),(y x f 满⾜条件（1）),(y x f 在区域} ),({+∞<<∞-≤≤=y b x a y x D ，上连续；（2）),(y x f 在D 上关于y 满⾜Lipschitz 条件，即存在常数L ，使得y y L y x f y x f -≤-),(),(则初值问题(9-1)在区间],[b a 上存在惟⼀的连续解)(x y y =。
在下⾯的讨论中，我们总假定⽅程满⾜以上两个条件。
所谓数值解法，就是求问题(9-1)的解)(x y y =在若⼲点b x x x x a N =<<<<= 210处的近似值),,2,1(N n y n =的⽅法。
),,2,1(N n y n =称为问题(9-1)的数值解，n n x x h -=+1称为由n x 到1+n x 的步长。
今后如⽆特别说明，我们总假定步长为常量。
误差测量数值与真实值的差异
误差测量数值与真实值的差异实验误差：测量数值与真实值的差异，叫做误差。
系统误差：由于仪器本身不精确，或实验方法粗略，或实验原理不完善而产生的。
偶然误差：由各种偶然因素对实验者、测量仪器、被测物理量的影响而产生的。
有效数字：测量值的最后一位一般都是估计读数，这位数字是不可靠的，但是仍有意义，要求读出来，这种带有一位不可靠数字的近似数字，叫有效数字。
113.长度的测量。
游标卡尺---游尺10分度---是把9mm 分成10份每小格差0.1mm ； 游尺20分度---是把19mm 分成20份每小格差0.05mm; 游尺50分度---是把49mm 分成50份每小格差0.02mm. 读数时---测量值=主尺准确数+游尺示数（相差的数值）114.研究匀变速直线运动。
会使用打点计时器---交流低压，时间间隔为打点的周期，计数点间的时间间隔为：nT 。
会用纸带法测量加速度---2aT S =∆---21413T S S a -=---22523t S S a -=---23633T S S a -= 23214569)(TS S S S S S a ++-++=会用纸带法测量速度---2Tt 两侧中S v v ==115.探究弹簧力和弹簧伸长量的关系。
关键在于数据的处理---图像方法 F---x ∆图116.验证力的平行四边形定则。
关键：在两次橡皮条形变的效果相同的前提下，以F 1、F 2的图示为邻边的平行四边形的对角线是理论的合力F ；而单个作用力F ’为实际的力。
最后再比较、验证。
117.验证动量守恒定律。
实验装置---轨道末端水平，入射小球的质量必须大于被碰小球的质量，小球应从同一高度无初速度的释放，两小球的半径相同， 原理---因为撞击后是从同一高度平抛，所以：'2'11'2'11////S S S v v v =所以只要满足：'22'1111S m S m S m +=动量就守恒。
数值分析中的误差分析
E ( x) = x − X
*
*
x*
| E ( x) |=| x − x* |<= η
此时，称为近似值的绝对误差限，简称误差限或精度
• 相对误差与相对误差限 E ( x) x − x* Er( x) = = 绝对误差与精度值之比，即称 x X * X 的相对误差．在实际中，由于精确值x一般无 为近似值 x − x* * 法知道，因此往往取 Er ( x) = 作为近似值的相对误差．
x*
类似于绝对误差的情况，若存在 δ ＞０ ，使得 x − x* * | Er ( x) |=| * |<= δ 则称 δ 为近似值 X 的相对误差限， x 相对误差是无量刚的数，通常用百分比表示，称为百分误 差．
• 有效大小，又能表示其精确程度，于是需要引 进有效数字的概念．再实际计算中，当准 确值x有很多位时，我们常按四舍五入得到 的近似值． ｜若近似值的绝对误差限
数值分析中的误差分析
误差与数值计算的误差估计
误差可以分为以下四种 • • • • 模型误差 观测误差 截断误差 舍如误差
误差与有效数字
• 绝对误差与绝对误差限 设某一量的精确值为x，其近似值为 X * ，则称 为近似值 X 的绝对误差，简称误差 当E（x）>0时,称为弱近似值或亏近似值，当E(x)<0时，称 X *为强近似值或盈近似值． 一般的，某一量的精确值x是不知道的，因而E(x)也无法求 出，但往往可以估计出E(x)的上界，即存在，使得
第9章数值分析中的误差综合练习题
计算机数学基础(2)综合练习中央电大师范部数理教研室第9章数值分析中的误差 一、单项选择题1.数值x *＝2.197224577…的六位有效数字的近似值x =( ).(A) 2.19723 (B) 2.19722 (C) 2.19720 (D) 2.1972252.已知准确值x *与其有t 位有效数字的近似值x ＝0.0a 1a 2…a n ×10s (a 1≠0)的绝对误差∣x *－x ∣≤( )．(A) 0.5×10 s －1－t (B) 0.5×10 s －t (C) 0.5×10s ＋1－t (D) 0.5×10 s ＋t3.下列各数中，绝对误差限为0.000 05的有效近似数是( ) (A)－2.180. (B) 2.1200 (C) －123.000 (D) 2.1204. 数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字.(A)21×10－3 (B) 21×10－4 (C) 21×10－5 (D) 21×10－6 5. 以下近似值中，保留四位有效数字，相对误差限为3-10⨯250.的是( )(A) –2.20 (B) 0.2200 (C) 0.01234 (D) –12.34 二、填空题1. 设近似值x =－9.73421的相对误差限是0.0005，则x 至少有 位有效数字．2. 测量长度为x =10cm 的正立方体，若ε(x )＝0.05cm ，则该正立方体的体积V 的绝对误差限ε(V )= cm 33. 用四舍五入的方法得到近似值x =0.0514，那么x 的绝对误差限和相对误差限分别为 ．4. 已知x *1=x 1±0.5×10－3，x *2=x 2±0.5×10－2，那么近似值x 1，x 2之差的误差限是 5. 近似值x =9000.00的相对误差是 ．6. x =1.7321是3的有五位有效数字的近似值，那么x 的相对误差限εr7. 如果近似值x 的绝对误差限它的某一位的 单位，则称x 准确到该位．参考答案一、1.B 2. A 3. B 4. D 5. B二、1. 3 2. 15 3. 0.000 05，0.001 4. 0.55×10－25. 0.000 000 566. ≤0.5×10－47.半个第10章 线性方程组的数值解法一、单项选择题1.用高斯――赛德尔迭代法解线性方程组A X ＝b ，假设已知U L ~,~，D ．则高斯―赛德尔迭代矩阵G ＝( )(A) U L D ~)~(1-+- (B) U L D ~)~(1-+ (C) )~~(1U L D +-- (D) )~~(1U L D +- 2. 设n 阶矩阵A ＝(a ij )n ，若满足( )，称A 为严格对角占优矩阵.∑∑∑∑=≠=≠==>>>>nj ijii nij j ijii nij j ijii nj ijii aa aa aa aa 1111)D ()C ()B ()A (3. 设矩阵A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅可比迭代矩阵为( )(A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡04.02.01.002.01.02.00 (B) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡14.02.01.012.01.02.01(C) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------04.02.01.002.01.02.00(D) ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡021102120 4. 用雅可比迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=-12012432132121x x x x x x x x ，构造迭代公式，则雅可比矩阵B 0=( ) (A)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21111005.025.0 (B)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-12101125.005.0 (C)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---021*******.0 (D)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-02110105.00 5. 斯顺序消去法解线性方程组，能进行到底的充分必要条件是( )(A) 系数矩阵各阶顺序主子式不为零 (B) 系数矩阵主对角线元素不为零 (C) 系数矩阵各阶主子式不为零 (D) 系数矩阵各列元素不为零二、填空题1.用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+-=++4438552232132321x x x x x x x x x 第1次选主元a 21=5进行消元后，第2次选主元 .2. 用列主元消去法解线性方程组A X ＝b 时，在第k －1步消元时，在增广矩阵的第k列取主元)1(-k rk a ，使得=-)1(k rka . 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2++321321321x x x x x x x x x 的迭代格式中)1(2+k x ＝ (k =0,1,2,…)4.用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧1-=+3-4-0=9-2+-1=4+-3321321321x x x x x x x x x 第1次消元，选择主元为 5. 用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--=++=++2333220221321321x x x x x x x x 作第1次消元后的第3个方程为 ．三、计算题1. 用高斯顺序消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+21863543462321321321x x x x x x x x x 2. 用列主元消去法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++-=-+-=+-615318153312321321321x x x x x x x x x3. 用雅可比迭代法解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x从初始值(0,0,0)T开始，计算出第3次迭代结果，4. 取初始值(0.300 0, 1.560 0, 2.684 0)T ，用高斯－赛德尔迭代法计算线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-+-=--1052151023210321321321x x x x x x x x x求出迭代2次的结果，要求写出迭代格式．四、证明题1. 证明线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧5=+2+23=++1=2-2+321321321x x x x x x x x x雅可比迭代法收敛,高斯－赛德尔迭代法发散.2. 用多种方法证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=++=+=+3424114124343232121x x x x x x x x x x 的迭代解收敛性. 参考答案一、1. A 2. C 3. A 4. D 5. A二、1. －2.8 2. )1(max -≤≤k ik ni k a 3. ,...)2,1,0(3)(3)1(1=--+k x x k k 4.－4 5. 5.35.1232=+-x x 三、1. X ≈(2.574 1,－0.888 9,－0.796 3)T ；2. X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T.3. X (1)＝(0.3000, 1.5000, 2.0000) T． X (2)＝(0.8000, 1.7600, 2.6600) T．X (3)=(0.918 0，1.926 0，2.864 0) T ．4. X (1)=(0.8804, 1.9445, 2.9539)T ．所求结果为(0.984 3, 1.992 3, 2.993 8)T四、1.系数矩阵为A ＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-122111221. 雅可比迭代矩阵为B 0＝⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--022101220301222122λλλλλλλλ=+-+-+-+=-))([)]()([B I高斯－赛德尔迭代矩阵为G ＝－U L D ~)~(1-+－⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----200320220232022---=-λλλλG I2.提示： 系数矩阵为：A ＝⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡2100141001410012方法1：雅可比迭代法.计算雅可比迭代矩阵其特征根是：21,41,41,214321==-=-=λλλλ方法2：高斯－赛德尔迭代法.计算高斯－赛德尔迭代矩阵G ，其特征根是：0,161,414321==-=-=λλλλ方法3.用定理5.计算迭代格式：X (k +1)＝BX (k )+f 的迭代矩阵. 用定理6(1).验证系数矩阵A 是严格对角占优矩阵.第11章 函数插值与最小二乘拟合一、单项选择题1.过(x 0,y 0),(x 1,y 1)两点的线性插值基函数l 0(x 0),l 1(x 1)满足( )(A) l 0(x 0)＝1, l 1(x 0)=1 (B) l 0(x 1)=0,l 1(x 1)=0(C) l 0(x 0)=1, l 1(x 1)=1 (D) l 0(x 0)=0, l 1(x 1)=02. 已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则f (x 0,x 1,…, x n )=( )(A)∑=n k k k y x l 0)( (B)∑='nk kk kx l y 0)( (C) ∑=n k k k x y 0)(ω (D) ∑='nk k kx y 0)(ω3. 以下命题正确的是( )．(A) 过n +1个互异节点的牛顿插值多项式最高次幂的系数为f (x 0,x 1,…,x n )(此项不为0时) (B) 过节点(x 0,y 0)，(x 1,y 1)，…，(x n ,y n )(n >3)，则均差f (x 3,x 0,x 4)≠f (x 4,x 0,x 3)(C) 过n +1个互异节点的拉格朗日插值多项式一定是n 次多项式(D) 三次样条函数S (x )在每个子区间上是不超过3次的多项式4. 下列条件中，不是分段线性插值函数P (x )必须满足的条件为( ) (A) P (x k )=y k ,(k =0,1,…,n ) (B) P (x )在[a ,b ]上连续 (C) P (x )在各子区间上是线性函数 (D) P (x )在各节点处可导5. 设xa x f -=1)(，x 0,x 1,x 2是异于a 的三个互异节点，则f (x 0,x 1,x 2)=( )(A) 01x a - (B) ))()((1210x a x a x a ---(C) ))()((1011202x x x x x x --- (D) ))()((1210a x a x a x ---6. 已知函数值f (0)=1，f (1)=0.5，f (2)=0.2，则f (x )的分段线性插值函数P (x )=( )．(A) ⎩⎨⎧∈-∈-]2,1[3.08.0]1,0[5.012x x x x (B)⎩⎨⎧∈-∈-]2,1[3.05.0]1,0[5.01x x x x(C) ⎩⎨⎧∈-∈-]2,1[3.08.0]1,0[1x x x x(D)⎩⎨⎧∈-∈-]2,1[3.08.0]1,0[5.01x xx x二、填空题1. 分段线性插值就是将函数f (x )的定义域[a ,b ]用分点a =x 0,x 1,…,x n =b 分割，求一个函数P (x )在[a ,b ]上连续且在每个子区间[x k ,x k +1]上线性的，还要满足2.已知四对互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1), (x 2,y 2), (x 3,y 3)以及各阶均差f (x 0)=12,f (x 0,x 1)=－2, f (x 0,x 1,x 2)=3, f (x 0,x 1,x 2,x 3)=0．则过这些点的牛顿插值多项式N (x )= ．3. 三次样条函数S (x )满足：S (x )在区间[a ,b ]内二阶连续可导，S (x k )=y k (已知)，k =0,1,2,…,n ，且满足S (x )在每个子区间[x k ,x k +1]上是 ．4. 已知函数f (0.4)=0.411, f (0.5)=0.578 , f (0.6)=0.697，用此函数表作牛顿插值多项式，那么插值多项式x 2的系数是 .5. 已知f (1)=1,f (2)=3,那么y =f (x )以x =1，2为节点的拉格朗日线性插值多项式为 .6.已知数据对(1,2),(2,3),(3,5),用直线y =a 0+a 1x 拟合这组数据，那么参数a 0,a 1满足的法方程是三、计算题 1.试用二次插值计算f (11.75)．并回答用线性插值计算f (11.75)，应取哪两个点更好？ 2. 已知函数值f (0)=6，f (1)=10，f (3)=46，f (4)=82，f (6)=212，求函数的四阶均差f (0,1,3,4,6)和二阶均差f (4，1，3)．3. 已知函数y =f (x )的函数值f (2.0)=1.414214 f (2.1)=1.449138, f (2.2)=1.483240, f (2.3)=1.516575 , 试用这4个节点构造f (x )的牛顿插值多项式N n (x )．并求f (2.15)的值．4.试用直线拟合这组数据.5.试求拉格朗日插值多项式．四、证明题1.求证由此构造的牛顿插值多项式的最高次幂的系数为1.2. 证明 已知一组数据(x k ，y k )(k =1,2,…,n )，若用直线01ˆa x a y += 拟合这组数据，要求误差平方和最小，试推导a 1,a 0满足的法方程组．参考答案一、1. C 2. D 3. A 4..D 5. B 6. D二、1. P (x k )=f (x k ) (k =0,1,…,n ) 2. 12－2(x －x 0)＋3(x －x 0)(x －x 1) 3. 3次多项式4.－2.45. 2x －1.6. ⎩⎨⎧23=14+610=6+31010a a a a .三、 1.已知三点作二次插值．P 2(x )=9484.21)13)(11(9397.22)13)(12(⨯---⨯--x x x x9564.22)12)(11(⨯--+x xf (11.75)≈P 2(11.75)=9484.21)135.11)(1175.11(9397.22)1375.11)(1275.11(⨯---⨯--9564.22)1275.11)(1175.11(⨯--+=2.463 8若用线性插值，应取x =11,x =12作线性插值合适． 2. 计算均差列给出．f (0,1,3,4,6)=15f (4, 1, 3)=6N 3(x )=1.414 214＋0.349 24(x －2)－0.0411(x －2) (x －2.1)＋0.009 167(x －2) (x －2.1) (x －2.2) f (2.15))15.2(3N ≈=1.466 2884. 设直线y ＝a 0+a 1x ，那么a 0,a 1满足的法方程组公式为⎪⎩⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑k k k k kk y x x a x a y x a n a 21010代入数据，经计算得到法方程组为⎩⎨⎧=+=+25.1615.9022402261010a a a a 解得a 0=1.229 a 1=1.483 所求直线方程为 y =1.229+1.483x5. 插值基函数分别为)725413(301)61)(41)(31()6)(4)(3()(230-+--=------=x x x x x x x l)243411(61)63)(43)(13()6)(4)(1()(231-+-=------=x x x x x x x l)182710(61)64)(34)(14()6)(3)(1()(232-+--=------=x x x x x x x l)12198(301)46)(36)(16()4)(3)(1()(233-+-=------=x x x x x x x l多项式为P 3(x )=)725413(30723-+-x x x +)243411(6523-+-x x x )182710(6823-+--x x x +)12198(301423-+-x x x =)926913(5123-+-x x x ．四、1. 作均差表因为三阶均差均为常数1，可见该函数表的牛顿插值多项式最高次幂为3次， 且其系数为1. 2 对同一个x k (k =1,2,…,n )，误差为)(ˆ01a x a y yy k k k k +-=-,k =1,2,…,n 总误差平方和 Q (a 1,a 0)=∑=+-nk k ka x a y1201))((a 1,a 0使Q (a 1,a 0)最小，由二元函数极值原理，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂=∂∂0),(0),(101001a a a Q a a a Q 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=---=---∑∑==0)(20)(2101101knk k k nk k k x a x a y a x a y 整理得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+∑∑∑∑∑=====nk k k n k k n k k nk k n k k x y x a x ay x a na 1121101110.第12章 数值积分与微分一、单项选择题 1. 梯形求积公式)]()([2d )(b f a f ab x x f ba+-≈⎰具有( )次的代数精度．(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 32. 等距二点的求导公式是( )(A) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(B) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y hx f(C) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y h x f(D) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+='+-='+++)(1)()(1)(111k k k k k k y y h x f y y hx f3.将积分求积[0，0.5]四等分，有科茨求积公式，它的科茨系数为9032,907)4(1)4(0==C C 那么用科茨求积公式计算定积分⎰5.00)(x f dx 中的系数A 3＝( )．(A)9032 (B)9016 (C)904(D)9012 4. 有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是( )次的. (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 35. 步长为h 的等距节点的插值型求积公式，当n =2时的牛顿－科茨求积公式为( )．(A))]()([2d )(b f a f hx x f ba+≈⎰ (B) )()2(4)([3d )(b f ba f a f h x x fb a +++≈⎰(C))()2()([3d )(b f b a f a f h x x f ba+++≈⎰〕 (D) )]43()2()4()([4d )(a b a f b a f a b a f a f h x x f b a -++++-++≈⎰6. 已知等距节点的插值型求积公式∑⎰=≈3052)(d )(k k k x f A x x f ，那么∑=3k k A ＝( )(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4二、填空题1. 已知函数值f (0.7)=0.343, f (1.1)=1.331, f (1.5)=3.375，用抛物线求积公式计算定积分x x f d )(5.17.0⎰，那么x x f d )(5.17.0⎰≈ .2. 牛顿－科茨求积公式∑⎰=≈n k k k bax f A x x f 0)(d )(，则∑=nk k A 0＝ .3. 高斯―勒让德求积公式⎰-11d )(x x f ≈f (x 0)+f (x 1)，那么节点x 0, x 1分别为 ．4. 牛顿－科茨求积公式中的科茨系数),...,1,0()(n k C n k =满足的两条性质是.5. 用梯形求积公式计算积分≈⎰212d x x6. 已知可微函数的值f (x k +1),f (x k )(h =x k +1－x k ),那么数值微分的二点求导公式， f '(x k )≈ (k =0,1,2,…,n －1) 三、计算题`1. 试确定求积公式)]()0([)]()0([2d )(0h f f a h f f hx x f h'-'++≈⎰中的参数a ，并证明该求积公式具有三次代数精度.2. 将区间[1,9]8等分，试用复化梯形公式求积分x x d 5691⎰-的近似值，计算过程中保留3位小数.3. 取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分⎰+2.102d )1l n (x x4. 已知两个节点的高斯－勒让德求积公式的两个节点是勒让德多项式P (x )＝,...)2,1(d )1(d 2!12=-n x x n nnn n 的零点，求积公式的系数是A 0=A 1=1．用两点高斯－勒让德求积公式计算积分⎰-+112d 1x x5. 如果f (2.7)＝14.8797，f (2.9)=18.1741，求函数f (x )在x =2.9的导数值．试用三点导数公式且已知f (2.8)=16.4446,再次计算f '(2.9) 四、证明题1. 试证明求积公式)2(31)1(34)0(31d )(20f f f x x f ++≈⎰具有3次代数精度.2. 已知区间[a ,b ]上的抛物线求积公式)]()2(4)([6d )(b f ba f a f ab x x f b a +++-=⎰，试证明将区间[a ,b ]n =2m (整数)等分，则复化抛物线求积公式为])...(2)...4[3d )(2224212310m m m ba f f f f f f f f hx x f +++++++++≈--⎰其中f k =f (x k ), k =0,1,2,…,2m , nab h -=3. 证明将求积区间[1,3]二等分，所得到的牛顿――科茨求积公式⎰++≈31210)3()2()1(d )(f A f A f A x x f中的系数A 0=31=A 2,A 1=344. 已知勒让德多项式,...)2,1(d )1(d !21)(2=-=n xx n x P nnn n ，求证3个节点的高斯――勒让德求积公式是)53(5)0(8)53(5(91d )(11f f f x x f ++-≈⎰-) 参考答案一、1. B 2. C 3. B 4. A 5. B 6. C 二、1. 1.206 . 2. b －a 3. 31±≈±0.577354.)()(0)(;1n k n n k nk n k C C C -===∑(或归一性和对称性) 5.256. )]()([k k x f x f h-11+ 三、1.用f (x )=1,x ,x 2代入公式，得到121=a ，再验证f (x )=x 3成立，而f (x )=x 4时不成立. 2.计算列表h =1, 用梯形公式])(2)()([2d 56718091∑⎰=++=-k k x f x f x f hx x (10分))]557.6083.6568.5000.5359.4606.3646.2(271[21++++++++⨯==37.819 3. n =8, h =15.082.1=-,f (x )=ln (1+x 2)计算列表代入抛物线求积公式)](2)(4[3d )1ln(6427531802.102f f f f f f f f f hx x ++++++++=+⎰＝4225.0]987.023961.148920.0[315.0=⨯+⨯+4. 两个节点，即P (x )中的n =2，P (x )＝0]412[2!21]12[2!21d )1(d 2!212224222222=-=''+-=-x x x x x 解得31,3110=-=x x 两个节点．于是两个节点的高斯－勒让德求积公式为 )31()31()(11f f dx x f +-≈⎰- 有3095.25774.012)31(1)31(11222112=+⨯=++-+≈+⎰-dx x 5. 二点导数公式为][1)(1--≈'k k k y y hx f 代入数据，有472.16]8797.141741.18[2.01)9.2(=-≈'f 根据三点导数公式，有 118.18]1741.1834446.1648797.14[1.021)9.2(=⨯+⨯-⨯≈'f四、 1. 提示：用f (x )=1,x ,x 2,x 3,…,直至求积公式不能精确成立为止. 2.参考教材复化抛物线公式的推导． 3.过节点x 0=1,x 1=2,x 2=3作插值多项式P 2(x )=)3()23)(13()2)(1()2()32)(12()3)(1()1()31)(21()3)(2(f x x f x x f x x ----+----+----=)3()23(21)2()34()1()65(21222f x x f x x f x x +-++--+-⎰⎰≈31312d )(d )(xx P x x f=⎰+-++--+-31222d )]3()23(21)2()34()1()65(21[x f x x f x x f x x =)3(31)2(34)1(31f f f ++ 所以有A 0=31=A 2, A 1=34．4. 参考教材有关内容. 在nnn n x x n x P d )1(d !21)(2-=，n =3，得到0]72120[481]133[8!31324633=-=-+-⨯x x x x x dx x d 即 0)35(2=-x x ，解得53,0,53210===-=x x x 为三个节点．有公式)53()0()53(d )(21011f A f A f A x x f ++-≈⎰-) 用f (x )=1,x ,x 2代入上式，得到 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=++=)(5332022020210A A A A A A A 解得98,95120===A A A ，于是得到求积公式)53(5)0(8)53(5(91d )(11f f f x x f ++-≈⎰-)第13章 方程求根一、单项选择题1. 用牛顿法求方程f (x )=0的近似根，选择初始值x 0应满足( )． (A) 0)()(00<'x f x f (B) 0)()(00>'x f x f (C) 0)()(00<''x f x f (D) 0)()(00>''x f x f2. 用简单迭代法解方程x =ϕ(x )（ϕ(x )称为迭代函数），迭代函数ϕ(x )在有根区间满足( )，则在有根区间内任取初始值x 0, 用公式x n +1=ϕ(x n )(n =0,1,2,…)所得的解序列收敛．(A) ∣ϕ'(x )∣ ≤r <1 (B) ∣ϕ'(x )∣ <r <1 (C) ∣ϕ'(x )∣ ≤1 (D) ∣ϕ'(x )∣ <13. 用二分法求方程f (x )=0在区间[a ,b ]上的根，那么二分有根区间的次数n ( ) (A) 只与函数f (x )有关(B) 只与有根区间的长度以及误差限有关 (C) 与有根区间的长度、误差限以及函数f (x )有关(D) 只与误差限有关4. 弦截法解方程f (x )=0，是用过曲线f (x )上的点()(,11--k k x f x )，()(,k k x f x )的直线与( )的交点的横坐标作为方程f (x )=0的近似根． (A) x 轴 (B) y 轴 (C) 直线y ＝x (D) y =ϕ(x )二、填空题1. 用二分法求方程x 3－2x －5=0在区间[2，3]内的实根，取区间中点x 0=2.5，那么下一个有根区间是 ．2. .用牛顿法求方程f (x )=0在[a ,b ]内的根，已知f '(x )在[a ,b ]内不为0，f "(x )在[a ,b ]内不变号，那么选择初始值x 0满足 ，则它的迭代解数列一定收敛到方程f (x )=0的根.3. 求方程f (x )＝0的近似根，只有能将f (x )=0表成 (称为迭代函数)的形式时，才可以用迭代法求解．4. 弦截法求方程f (x )=0的迭代计算公式为x n +1= ．三、计算题1. 给定绝对误差限ε=0.05，如果用二分法求方程3x +x x e sin -＝0在区间[0,1]内的近似根，需二分多少次，并求出满足条件的近似根．2. 用简单迭代法求方程 x 2－2x －3＝0的近似根，取x 0=4，要求近似根满足01.01<-+k k x x .3. 用牛顿法求方程01e =-xx 在[0.5，0.6]之间的一个近似根，取初始值0.5或0.6．满足001.01≤-+k k x x ．4. 用弦截法求方程x －sinx －0.5=0在[1.4，1.6]之间的一个近似根，满足01.01≤-+k k x x .四、证明题1. 证明方程1－x －sinx ＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根则至少要迭代14次.2. 设方程f (x )=010423=-+x x 在区间[1,1.5]内有惟一实根，证明迭代公式311021k k x x -=+(k =0,1,2,…)所得迭代解序列收敛到该方程的根．参考答案一、1. D 2. A 3. B 4. A二、1. [2，2.5] 2. . 0)()(00>''x f x f (或f (x 0)与f "(x 0)同号) 3. x =ϕ(x ) 4. ,...2,1),()()()(11=-----n x x x f x f x f x n n n n n n三、1. a =0,b =1,ε=0.05，则二分次数为3.312ln 05.0ln 1ln =--≥n取n =4．a 0=0,b 0=1 f (0)=－1<0，f (1)=1.12>0 5.0210==x ,5.0e 5.0sin 5.03)5.0(-+⨯=f >0令a 1=0，b 1=0.5， (8分)25.025.01==x ,25.0e 25.0sin 25.03)25.0(-+⨯=f <0令a 2=0.25，b 2=0.5， (11分)375.0225.05.02=+=x ,375.0e 375.0sin 375.03)375.0(-+⨯=f >0 令a 3=0.25，b 3=0.375，3125.02375.025.03=+=x ,3125.0e 3125.0sin 3125.03)3125.0(-+⨯=f <0令a 4=0.3125，b 4=0.375，2375.03125.04+=x =0.3438，所求根为 x *≈0.3438 2. 建立迭代格式： 321+=+k k x x 因为]4,2[,1321)(,32)(∈<+='+=x x x x x ϕϕk =0, x 0=4683.0317.3342011=-=+⨯=x x xk =1,213.0104.33317.32122=-=+⨯=x x xk =2,035.33104.323=+⨯=x 23x x -=0.069k =3,023.0012.33035.32344=-=+⨯=x x xk =401.0008.0004.33012.32455<=-=+⨯=x x x于是取 x *≈x 5=3.004 注意：若建立迭代格式：23)3(21121-=-=++k k k k x x x x 或, 在x =4附近不收敛.3. f (x )= 1e -xx , 因为f '(x )= xe +xx e ，f "(x )= xe (2+x )，f (0.5)f "(0.5)=(0.55.0e －1) 5.0e (2+0.5)<0，f (0.6)f "(0.6)=(0.66.0e －1) 6.0e (2+0.6)>0 取x 0=0.6．牛顿法迭代公式x k +1=x k －kx k k k k x x x x f x f k+--='-1e )()((k =0,1,2,…)x 1=0.6－6.01e 6.06.0+--＝0.568 01x 2=0.568 01－=+--01568.01e 56801.001568.0＝0.567 14x 3=0.567 14－14567.01e 14567.014567.0+--＝0.567 14x *≈0.567 144. 设f (x )=x －sinx －0.5，取6.1,4.110==x x ，f (1.4)=－0.085 5<0, f (1.6)=0.100 4>0， 故f (x )=0在[1.4, 1.6]内有根.弦截法的公式为：)()()()(111--+---=n n n n n n n x x x f x f x f x x (n =1,2,…)于是，代入函数f (x )，本题有迭代公式)(s i n s i n 5.0s i n 1111---+-+-----=n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x9491.1)4.16.1(4.1sin 6.1sin 4.16.15.06.1sin 6.16.12=-+-----=x1.012=-x x 08 1，不满足精度要求.当n =2时，4970.1)6.14919.1(6.1sin 4919.1sin 6.14919.15.04919.1sin 4919.14919.13=-+-----=x0051.023=-x x ，满足精度要求. 所求方程的解为x *≈1.4970 四、1. 用二分次数公式.2. 由迭代公式知迭代函数31021)(x x -=ϕ 3210341)(xx x --='ϕ当5.11≤≤x ，175.0431105.14310343)(3232<⨯=-≤--='x x x ϕ满足定理的条件，可知在区间[1,1.5]内取任意值为初始值，迭代公式311021k k x x -=+(k =0,1,2,…) 所得迭代解序列都收敛到原方程的根．第14章 常微分方程的数值解法 一、单项选择题1. 取h =0.2，用欧拉法求初值问题⎩⎨⎧=≤≤='1)0()6.00(y x xy y 在x =0.2，0.4，0.6处的数值解的公式y k +1=( )，k =0,1,2(A) y 0+0.2x k y k (B) (1+0.2x k )y k (C) y k +x k y k (D) (0.2+x k )y k2. 解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是)(211c p k y y y +=+ 那么y p ,y c 分别为( )．(A) ⎩⎨⎧+=+=+),(),(1k k k c k k k p y x hf y y y x hf y y(B) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y(C) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=),(),(p k k c k k k p y x f y y y x f y y (D) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+),(),(1p k k c k k k p y x hf y y y x hf y y3. 解常微分方程初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 的三阶龙格―库塔法的局部截断误差是( )．(A) O (h 2) (B) O (h 3) (C) O (h 4) (D) O (h 5)4. 解微分方程初值问题的改进欧拉法预报－校正值公式是⎪⎩⎪⎨⎧=+=++)(),(11k k k k k y y x hf y y 校正值：预报值：),()B (),()A (11k k k k k k y x hf y y x hf y ++++ ),()D (),()C (1111++++++k k k k k k y x hf y y x hf y5.求初值问题⎩⎨⎧=≤≤='0)()(),(y a y b x a y x f y 的近似解，当取等距节点时的梯形公式为y k +1=( )．(A) )],(),([211++++k k k k k y x f y x f hy (B) )],(),([211++-+k k k k k y x f y x f hy (C) )],(),([211+++-k k k k k y x f y x f hy (D) )],(),([211++--k k k k k y x f y x f hy二、填空题：1. 解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值：),(1k k k k y x hf y y +=+，校正值：y k +1= ． 2. 设初值问题⎩⎨⎧=≤≤+='0)0()10(1y y x y y把区间[0,1]10等分，用欧拉法解该初值问题的公式为 .3. 解常微分方程初值问题的三阶龙格－库塔法的局部截断误差是4.求初值问题⎩⎨⎧=='00)(),(y x y y x f y 在等距节点a =x 0<x 1<x 2<…<x n =b 处的数值解的改进欧拉法预报－校正公式是y k +1=++),([2k k k y x f hy ]三、计算题 1. 用欧拉法求初值问题⎩⎨⎧=≤≤+-='1)0(4.001y x y x y 的数值解，取h =0.1．并将计算结果与精确解x x x y -+=e )(进行比较．2. 用改进的欧拉法平均公式，取步长h =0.1，求解初值问题⎩⎨⎧=≤≤+='1)0()2.00(y x y x y3. 取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题⎩⎨⎧=++='1)0(12y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值．.4. 用四阶龙格－库塔法求解初值问题⎩⎨⎧==+'0)0(1y y y 取h =0.2, 求x =0.2, 0.4时的数值解. 要求写出由h ,x k ,y k 直接计算y k +1的迭代公式.四、证明题1. 证明求解初值问题的梯形公式是y k +1=y k +)],(),([211+++k k k k y x f y x f h , h =x k +1－x k (k =0,1,2,…,n －1)，参考答案一、1. B 2. D 3. C 4. A 5. A二、1. y k +2h[f (x k ,y k )+f (x k ＋1, 1+k y )]． 2. y (x k +1)≈y k +0.1(y k +1)(k =0,1,2,…,n －1),y (0)=y 0 3. O (h 4) 4. )),(,(1k k k k y x hf y x f ++或 ),(11++k k y x f三、1. f (x ,y )=x －y +1，h ＝0.1，有计算公式 y k +1=y k +0.1×(x k －y k +1)=0.1+0.1x k ＋0.9y k (k =0,1,2,3) 当k =0时，y 1= 0.1+0.1×0+0.9×1＝1，y (0.1)=0.1+e －0.1=1.005．∣y 1－y (0.1)∣=0.005当k =1时，y 2= 0.1+0.1×0.1+0.9×1＝1.01，y (0.2)=0.2+e －0.2=1.018．∣y 2－y (0.2)∣=0.008当k =2时，y 3= 0.1+0.1×0.2+0.9×1.01＝1.029，y (0.3)=0.3+e －0.3=1.041．∣y 3－y (0.3)∣=0.012 当k =3时，y 4= 0.1+0.1×0.3+0.9×1.029＝1.056，y (0.4)=0.4+e －0.4=1.070．∣y 4－y (0.4)∣=0.014可以看出，越远离原点，误差越大．2. 首先建立迭代格式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+++++=+=++++=+=++=+=++++k k k c p k kk k p k k c k k k k k p y h h hx x h h y y y x h hx h h y y x hf y y h y hx y x hf y y )21(])1([21][21)1(),()1(),(2112121当k =0时，x 0=0,y 0=1,x 1=0.1,有11.11)21.01.01(]1.01.00)1.01(1.0[2121=⨯+++⨯+⨯+⨯=y当k =1时，x 1=0.1, y 1=1.11, x 2=0.2,有1242.111.1)21.01.01(]2.01.01.0)1.01(1.0[2122=⨯+++⨯+⨯+⨯=y (13分)所求y (0.1)≈1.11; y (0.2)≈1.242 1 3. 预报－校正公式为⎪⎩⎪⎨⎧+++++=++=+++=+=++++++)2(2)],(),([2)1(),(211211121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012.1)101(1.0122121y y h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488.1)227.11.01(1.0227.122222y y所求为y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528 4. κ1=f (x k ,y k )=1－y kκ2=f (x k +12h ，y k +2h κ1)＝1－122.0κ-k y ＝0.9(1－y k )κ3=f (x k +12h ，y k +2h κ2)=222.01κ--k y ＝0.91(1－y k )κ4=f (x k +h ，y k +h κ3)=32.01κ--k y =0.818(1－y k )代入公式)22(643211κκκκ++++=+hy y k k＝)]1(818.0)1(91.02)1(9.021[(62.0k k k k k y y y y y -+-⨯+-⨯+-+＝k k k y y y 819.0181.0)1(181.0+=-+于是有 y (0.1)≈y 1181.00819.0181.0=⨯+= y (0.2)≈y 2181.0819.0181.0⨯+=＝0.329 四、1. 提示：见教材关于梯形公式的推导.。
数值分析试题及答案汇总
数值分析试题及答案汇总一、单项选择题（每题5分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 插值法C. 迭代法D. 泰勒展开法答案：C2. 以下哪个选项是数值分析中用于求解非线性方程的迭代方法？A. 高斯消元法B. 牛顿法C. 多项式插值D. 辛普森积分法答案：B3. 以下哪个选项是数值分析中用于数值积分的方法？A. 牛顿法B. 辛普森积分法C. 牛顿-拉弗森迭代D. 拉格朗日插值答案：B4. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解常微分方程的初值问题？A. 欧拉法B. 牛顿法C. 辛普森积分法D. 高斯消元法答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 插值法中，拉格朗日插值法的插值多项式的阶数是______。
答案：n2. 泰勒展开法中，如果将函数展开到第三阶，那么得到的多项式是______阶多项式。
答案：三3. 在数值分析中，牛顿法求解非线性方程的迭代公式为______。
答案：x_{n+1} = x_n - f(x_n) / f'(x_n)4. 辛普森积分法是将积分区间分为______等分进行近似计算。
答案：偶数三、简答题（每题10分，共30分）1. 请简述数值分析中插值法的基本原理。
答案：插值法的基本原理是根据一组已知的数据点，构造一个多项式函数，使得该函数在给定的数据点上与数据值相等，以此来估计未知数据点的值。
2. 解释数值分析中误差的概念，并说明它们是如何影响数值计算结果的。
答案：数值分析中的误差是指由于计算方法或计算工具的限制，导致计算结果与真实值之间的差异。
误差可以分为舍入误差和截断误差。
舍入误差是由于计算机表示数值的限制而产生的，而截断误差是由于计算方法的近似性质而产生的。
这些误差会影响数值计算结果的准确性和稳定性。
3. 请说明在数值分析中，为什么需要使用迭代法求解线性方程组。
答案：在数值分析中，迭代法用于求解线性方程组是因为对于大规模的方程组，直接方法（如高斯消元法）的计算成本很高，而迭代法可以在较少的计算步骤内得到近似解，并且对于稀疏矩阵特别有效。