三棱锥外接球问题

三棱锥外接球专题

引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，

设ABC D 外接圆圆心为1

O ，半径为

2sin 2sin 2sin a b C

r A B C =

==

（正弦定理）

正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），

直角三角形的外接圆心在斜边中点，

2c

r =

（c 为斜边长），

等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，

22a r h =

（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1

O 和

半径r

设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D

内易证

1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1

P ，高为h，

设射影与小圆的距离为

11m PO =，我们摘出平面

11PO OP

，如下图

在OPE D

，由勾股定理得222

(R m h =+-解得2

22222

2m h r R r h

+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。

所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到

成渠。如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类

第一类;有线面垂直的---如图

PA ABC

^

面此时m=r，h=PA.

2

2

2222

2

2

h

+r 22

m h r R r h

+-=

+=

，由此引出补形法，有线面垂直即

可补成直三棱柱求解如上右图。三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外

接球表面积为()A.

50π

3

B.25π

C.50π

D.

1252π3

解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接

球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.

法二：三棱柱中，

22222114522

350

()24

r AC R r =

=+=+=

2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的

外接球的表面积为

.(底面无直角补成三棱柱)

3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，

90=∠APC ，平面⊥ABC 平

面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样

A.4π

B.5π

C.8π

D.10π

3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于

||22

BC =

，所以

球的表面积为2

2

4πR 4π(

10π2

S ==⋅=，故选D。第二类：射影好找的（有面面垂直或者边长相等射影在中垂线上）---去求m 和h 的值即可

4.在三棱锥S ABC -中,4,SB SA AB BC AC SC ======,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是()先按线面垂直解，后面有面面夹角的做法

A.40π3

B.80π3

C.

40π9

D.

80π9

解析：4答案：B

变式：在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC =====则三棱椎P ABC -的外

接球的半径为________________________.

4.在三棱锥A BCD -中,

60,4,ABC ABD BC BD CD AB ∠=∠=︒====则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为(

)

A.10π

B.20π

C.

D.

答案解析如下

得

AD

===

AC ==

=所以222222,AC AB BC AD AB BD +

=+=故,BAD BAC △

△为直角三角形．

所以三棱锥A BCD -的外接球的球心在过

ACD △的外心E 垂线上,设为点O ,

因为

22

2

222

41

cos 23

AC AD CD

CAD AC AD +

-+-∠

==

-

⋅,

所以sin 3CAD ∠=

,

故ACD △外接圆的半径

112sin

22

CD

r AE CAD ==

⋅=⨯∠,

则外接球的半径2

2

2

2222

215222R OA OE AE AB AE ⎛⎫⎛⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,

故外接球的表面积为4π4π520πR =⨯=,