三棱锥外接球问题

三棱锥外接球专题引理1：每个三角形都有唯一一个外接圆，设ABC D 外接圆圆心为1O ，半径为2sin 2sin 2sin a b Cr A B C ===（正弦定理）正三角形的外接圆心在中心，r=3（a 为边长），直角三角形的外接圆心在斜边中点，2cr =（c 为斜边长），等腰三角形的外接圆圆心在底边的高上，22a r h =（a 为腰长，h 为底边的高）外接球的处理方式-----先确定一三角形设ABC D （以等边和直角居多），找出圆心为1O 和半径r设外接球球心为O,半径为R.在1AO O D内易证1O O =下面对P 点定位，如图设P 在面ABC D 的射影为1P ，高为h，设射影与小圆的距离为11m PO =，我们摘出平面11PO OP，如下图在OPE D，由勾股定理得222(R m h =+-解得2222222m h r R r h+-=+注：如果PABC 都在同一个半球，上述公式有平方，公式仍然不变。

所以我们努力的方向是找到这个截面（截面一般会包含三棱锥的一个顶点）后面就是水到成渠。

如果非要记公式的话可以努力找到h，m 套公式即可。

高中阶段都会有特殊的三角形特殊位置下面简单归类第一类;有线面垂直的---如图PA ABC^面此时m=r，h=PA.22222222h+r 22m h r R r h+-=+=，由此引出补形法，有线面垂直即可补成直三棱柱求解如上右图。

三棱柱不熟也可以用补成长方体（不过要求底面有直角）1.已知ABC △中，90,B DC ∠=︒⊥平面,4,5,3ABC AB BC CD ===，则三棱锥D ABC -的外接球表面积为()A.50π3B.25πC.50πD.1252π3解析：由已知条件可构造一个长方体，长方体的外接球过,,,A B C D 四点，所以长方体的外接球即三棱锥D ABC -的外接球，得外接球直径250R AD ==,外接球表面积为24π50πR =，故选：C.法二：三棱柱中，22222114522350()24r AC R r ==+=+=2.在四面体S ABC -中,SA ⊥平面,120,4,ABC BAC BC SA ∠=︒==则该四面体的外接球的表面积为.(底面无直角补成三棱柱)3.在三棱锥ABC P -中，222==AB AC ，10=BC ，90=∠APC ，平面⊥ABC 平面PAC ，则三棱锥ABC P -外接球的表面积为()找线面垂直补形即可，跟上面一样A.4πB.5πC.8πD.10π3.所以PC ⊥平面PAB ,所以90CPB ∠=︒，故该外接球的半径等于||22BC =，所以球的表面积为224πR 4π(10π2S ==⋅=，故选D。

第二类：射影好找的（有面面垂直或者边长相等射影在中垂线上）---去求m 和h 的值即可4.在三棱锥S ABC -中,4,SB SA AB BC AC SC ======,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是()先按线面垂直解，后面有面面夹角的做法A.40π3B.80π3C.40π9D.80π9解析：4答案：B变式：在三棱锥P ABC -中,2,2,AB AC BC PA PB PC =====则三棱椎P ABC -的外接球的半径为________________________.4.在三棱锥A BCD -中,60,4,ABC ABD BC BD CD AB ∠=∠=︒====则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为()A.10πB.20πC.D.答案解析如下得AD===AC ===所以222222,AC AB BC AD AB BD +=+=故,BAD BAC △△为直角三角形．所以三棱锥A BCD -的外接球的球心在过ACD △的外心E 垂线上,设为点O ,因为22222241cos 23AC AD CDCAD AC AD +-+-∠==-⋅,所以sin 3CAD ∠=,故ACD △外接圆的半径112sin22CDr AE CAD ==⋅=⨯∠,则外接球的半径2222222215222R OA OE AE AB AE ⎛⎫⎛⎛⎫==+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭,故外接球的表面积为4π4π520πR =⨯=,6：在三棱锥P ABC -中,平面PBC ⊥平面ABC ,90,2,1,45ABC AB BC PB PBC∠====∠=,则三棱锥P ABC -外接球的表面积是_________.所以h=2,m=11O P ,在11O CP D 中，余弦定理第二类找法：如图：找两个面的内心12O O ，,和球心O 组成平面扩展交交线于一点E ，易证角12O EO 为二面角平面角，摘出红色平面12O EO O即可。

此类题目一般涉及二面角，折叠问题，并且有等边或者两个全等的三角形。

特别的如果两个有公共斜边的直角三角形，球心一定在斜边的中点上。

7.在菱形ABCD 中，π3A =，AB =ABD △沿BD 折起到PBD △的位置，若二面角P BD C --的大小为2π3，三棱锥P BCD -的外接球心为O ，则三棱锥P BCD -的外接球的表面积为（）（跟上述一样，摘面即可） A.B. C.112πD ．421π3解析：因为四边形ABCD 是菱形，π3A =，所以BCD △是等边三角形；过球心O 作'OO BCD ⊥平面，则'O 为等边BCD △的中心，取BD 的中点为E ，则BD PE ⊥且BD EC ⊥，由二面角P BD C --的大小为2π3，所以2π3PEC ∠=，即π3OEC ∠=；因为AB =，所以6AE EC ==，1'23EO E ==，在'Rt OEO △中，由π3OEC ∠=，可得4OE =；在OEC△中，222=+2cos 28OC OE EC OE EC OEC -⋅⋅∠=，即OC =，设三棱锥P BCD -的外接球的半径为R ，即R =，三棱锥P BCD -的外接球的表面积为24π112πR =，选C ．3：（跟上述第三题一样，安面面求解）在三棱锥S ABC -中,4,SB SA AB BC AC SC ======,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是()A.40π3B.80π3C.40π9D.80π9解析：取AB 的中点D .由SAB △和ABC △都是正三角形,得,SD AB CD AB ⊥⊥,则42SD CD ==⨯=,则222222SD CD SC +=+==.故由勾股定理的逆定理,得90SDC ∠= ,设球心为O ,ABC △和SAB △的中心分别为,E F .由球的性质可知:OE ⊥平面ABC ,OF ⊥平面SAB ,又14233DE DF OE OF ====⨯=,所以由勾股定理,得3OD =所以外接球半径为3R ===.所以外接球的表面积为2280π44π(33S R ===.8.在三棱锥S ABC -中,AB BC ⊥,AB BC ==2SA SC ==．二面角S AC B --的余弦值是3,则该三棱锥外接球的表面积为_____．（找射影也行，不过按面面夹角算也行）答案：6π9.在三棱锥P ABC -中，60ABC ∠=︒，90PBA PCA ∠=∠=︒，PB PC ==点到底面ABC的距离为P ABC -的外接球的表面积为_______.答案：6π解析：解取PA 的中点O ,连接,,90OB OC PBA PCA ∠∠==︒，所以OA OB OC ==，所以O 为外接球的球心，因为PB PC ==,所以PAB PAC ≅△△，所以AB AC =,由60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 为等边三角形，设O '为O 在底面ABC 的投影,则O '为三角形ABC 的中心,连接,OA OO ',点P 到底面ABC的距离为，所以2OO '=,设三角形ABC 的边长为a ,则3O A '=，在三角形PBA 中,PA =,可得OA =，在三角形OO A '中,222OA OO AO =+,即22311423a a +=+,解得a =所以三棱锥P ABC -的外接球的半径2OA =，所以三棱锥P ABC -的外接球的表面积24π6πS R ==，10已知三棱锥A BCD -中，,1,BC CD AB AD BC CD ⊥====，则该三棱锥的外接球的体积为_______.答案：43π（双公边直角三角形，特殊的一类套中点就球心就行）11.在四面体ABCD 中，6,4,5AB CD AC BD AD BC ======，则四面体ABCD 的外接球的表面积等于_____________.（第三题的特例，对于这种对边都相等的补形法最快，如果有一组不相等，只能套上面的两种解法）答案：77π2解析：由题意可采用割补法，考虑到四面体ABCD 的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以6,4,5为三边的三角形作为底面，且以分别为,,x y z ，长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为,,x y z 的长方体，并且22222236,16,25x y x z y z +=+=+=，设球半径为R,则有()2222772R 2x y z =++=，∴2774R 2=，∴球的表面积为2774πR π2S ==故答案为：77π2。