信号检测与估计试题及答案
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信号检测与估计试题
1. 一次采样信号表示为 x s n ，信号两种假设：
H 0 : s 2 H1 : s 2
(1). 设代价因子 C00 C11 0, C10 1, C01 2 ， 用极大极小值准则确定检测门限 和检测概率 P D1 H1
P( D1 | H1 )
(1). 若 A 为常数，利用最大似然判决准则确定判决区域 D0 和 D1 。 a) 若 x A, P 1 ( x) 0 判 H 0 为真。 b) 若 x A
P0 ( x)
1 1 1 ,若 ，则一定 P 1 ( x) P 0 ( x) 2 2 2 A
H1 判决为真
限值。 对, :
1
, 0
1
(3). 若 101 ， 102 计算瓦尔特序贯检测的门限值。 同（2） 。 1
1
0.99 0.01 9.9, 0 0.011 0.1 1 0.9
5. 设 X 服从对数正态分布，其概率密度函数为
0 1
接受信号为 x(t ) si (t ) n(t ), i 0,1 。 n(t ) 是均值为 0，功率谱密度为 N0/2 的高斯白噪声，设 P( H 0 ) P( H1 ) 1/ 2 (1). 求检测的平均错误概率 Pe
Байду номын сангаас
Pe erfc(
T ( A0 A1 ) 2 ) 4 N0
2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。 ln 2 3
2
4. 求解下列问题 (1). 什么是序贯检测？
A1 , D1 ( x) A0 , D0 other , more obervation
(2). 对二元检测 P D1 H 0 ， P D0 H1 若，推导瓦尔特序贯检测的门
1 2
x0
e
1 ( x 2)2 2
dx 1 ( x0 2)
(2). 若虚警概率 P D1 H1 P 1 ，用纽曼皮尔逊准则确定检测门限和漏检概率
P D0 H1 。(注：公式表明计算方法即可) 设：
1 ( x) 2
1 e dt , e f c ( x) 2
E[a] ,Var[a] 2 。 nk 是功率为 0，方差为 2 的白噪声。用线性最小误差
ˆ 。说明 a ˆ 是否是无偏估计。 估计 a
ˆ a
1 [ 2 ( x1 x2 ) 2 ] 为无偏估计。 2 2
2
k k
(2). 确定卡尔曼滤波方程的准则是什么？写出准则的表达式。 小均方误差准则
2 ˆ (k ) Pk E[ ek ], ek S (k ) S
Pk P 0, k 0 ak bk
(3). 卡尔曼滤波方程与实际观测值和滤波误差有无关系？在滤波过程中如果 状态方程发生变化，会有什么结果？ 答：与实际观测和滤波器误差无关。若状态方程发生变化，则实际系统 和所用模型不符，滤波性能将变差。 8. 设有随机变量 X 的 2 个观测样本值 xk a nk , k 1, 2 ， a 是待估计量，且
P( x) 1 2 1 exp ln x , x 0 ， X1 , X 2 ,..., X N 是 X 的 N 个样本值。 2 2
(1). 若 为常数，求 的最大似然估计。
ˆ 1 N ln xi N i 1
(2). 判断 的最大似然估计是否是有效估计？ 因为
(2). ˆ 是否无偏
是无偏估计。
7. 求解下列问题。 (1). 什么是卡尔曼滤波，写出卡尔曼滤波的状态方程，观测方程和滤波方程
S (k ) aS (k 1) W (k 1) X (k ) cS (k ) V (k ) ˆ (k ) a S ˆ (k ) b X (k ) S
r
x0
x
t2 2
e
x
t2 2
dt
1 P( D0 | H1 ) 2
e
1 ( x 2)2 2
dx ( x1 2)
2. 利用最大似然准则，设计接收机对下面的两种假设作出判决：
H 0 : s0 (t ) A0 cos(0t ) 0 t T , 2 / 0 T H1 : s1 (t ) A1 cos(1t ) 0 t T , 2 / 1 T
(ln p( x | )) ˆ ) ，所以是有效估计。 2 (
(3). 若 服从 ~ N (m, 2 ) ，求的最大后验估计。
ˆ
2 ln xi m
i 1
N
N 2 1
6. 设观测量为 x(t ) s(t , ) n(t ) ， [1 , 2 ,..., n ]T 是待估参数向量， m(t ) 为 测量噪声，现用 N 个相互独立的观测样本构成向量 x [ x1 , x2 ,..., xn ]T ，线性 估计表示为
1 (2). 若是线性调频信号， 即 s1 (t ) A1 cos(1t t 2 ) 0 t T , 2 / 1 T ， 2
是常数，再求 Pe 结果相同。
3. 设有两种假设分别为：
H 0 : P0 ( x)
x2 1 exp 2 2 2 1 x A, A 0 H1 : P 1 ( x) 2 A 0 x >A
ˆ HX B ，其中 H C M N , B C M 1
(1). 用最小均方误差准则确定矩阵 H , B 。 （用 , x 的一阶和二阶统计量表 示。 ）
H cov( , x ) cov1 ( x , x ) B E ( ) cov( , x ) cov 1 ( x , x ) E ( x)
若
1 1 2 2 A
2 A2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。
当 A ln(
2
(2). 若 A 在[0,3]内均匀分布，且设
2 ，重新完成(1) 2
若 A 在[0,3]内均匀分布，
1 2 1 ，则有 ， 2 2 A 2
当 X ln(
1. 一次采样信号表示为 x s n ，信号两种假设：
H 0 : s 2 H1 : s 2
(1). 设代价因子 C00 C11 0, C10 1, C01 2 ， 用极大极小值准则确定检测门限 和检测概率 P D1 H1
P( D1 | H1 )
(1). 若 A 为常数，利用最大似然判决准则确定判决区域 D0 和 D1 。 a) 若 x A, P 1 ( x) 0 判 H 0 为真。 b) 若 x A
P0 ( x)
1 1 1 ,若 ，则一定 P 1 ( x) P 0 ( x) 2 2 2 A
H1 判决为真
限值。 对, :
1
, 0
1
(3). 若 101 ， 102 计算瓦尔特序贯检测的门限值。 同（2） 。 1
1
0.99 0.01 9.9, 0 0.011 0.1 1 0.9
5. 设 X 服从对数正态分布，其概率密度函数为
0 1
接受信号为 x(t ) si (t ) n(t ), i 0,1 。 n(t ) 是均值为 0，功率谱密度为 N0/2 的高斯白噪声，设 P( H 0 ) P( H1 ) 1/ 2 (1). 求检测的平均错误概率 Pe
Байду номын сангаас
Pe erfc(
T ( A0 A1 ) 2 ) 4 N0
2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。 ln 2 3
2
4. 求解下列问题 (1). 什么是序贯检测？
A1 , D1 ( x) A0 , D0 other , more obervation
(2). 对二元检测 P D1 H 0 ， P D0 H1 若，推导瓦尔特序贯检测的门
1 2
x0
e
1 ( x 2)2 2
dx 1 ( x0 2)
(2). 若虚警概率 P D1 H1 P 1 ，用纽曼皮尔逊准则确定检测门限和漏检概率
P D0 H1 。(注：公式表明计算方法即可) 设：
1 ( x) 2
1 e dt , e f c ( x) 2
E[a] ,Var[a] 2 。 nk 是功率为 0，方差为 2 的白噪声。用线性最小误差
ˆ 。说明 a ˆ 是否是无偏估计。 估计 a
ˆ a
1 [ 2 ( x1 x2 ) 2 ] 为无偏估计。 2 2
2
k k
(2). 确定卡尔曼滤波方程的准则是什么？写出准则的表达式。 小均方误差准则
2 ˆ (k ) Pk E[ ek ], ek S (k ) S
Pk P 0, k 0 ak bk
(3). 卡尔曼滤波方程与实际观测值和滤波误差有无关系？在滤波过程中如果 状态方程发生变化，会有什么结果？ 答：与实际观测和滤波器误差无关。若状态方程发生变化，则实际系统 和所用模型不符，滤波性能将变差。 8. 设有随机变量 X 的 2 个观测样本值 xk a nk , k 1, 2 ， a 是待估计量，且
P( x) 1 2 1 exp ln x , x 0 ， X1 , X 2 ,..., X N 是 X 的 N 个样本值。 2 2
(1). 若 为常数，求 的最大似然估计。
ˆ 1 N ln xi N i 1
(2). 判断 的最大似然估计是否是有效估计？ 因为
(2). ˆ 是否无偏
是无偏估计。
7. 求解下列问题。 (1). 什么是卡尔曼滤波，写出卡尔曼滤波的状态方程，观测方程和滤波方程
S (k ) aS (k 1) W (k 1) X (k ) cS (k ) V (k ) ˆ (k ) a S ˆ (k ) b X (k ) S
r
x0
x
t2 2
e
x
t2 2
dt
1 P( D0 | H1 ) 2
e
1 ( x 2)2 2
dx ( x1 2)
2. 利用最大似然准则，设计接收机对下面的两种假设作出判决：
H 0 : s0 (t ) A0 cos(0t ) 0 t T , 2 / 0 T H1 : s1 (t ) A1 cos(1t ) 0 t T , 2 / 1 T
(ln p( x | )) ˆ ) ，所以是有效估计。 2 (
(3). 若 服从 ~ N (m, 2 ) ，求的最大后验估计。
ˆ
2 ln xi m
i 1
N
N 2 1
6. 设观测量为 x(t ) s(t , ) n(t ) ， [1 , 2 ,..., n ]T 是待估参数向量， m(t ) 为 测量噪声，现用 N 个相互独立的观测样本构成向量 x [ x1 , x2 ,..., xn ]T ，线性 估计表示为
1 (2). 若是线性调频信号， 即 s1 (t ) A1 cos(1t t 2 ) 0 t T , 2 / 1 T ， 2
是常数，再求 Pe 结果相同。
3. 设有两种假设分别为：
H 0 : P0 ( x)
x2 1 exp 2 2 2 1 x A, A 0 H1 : P 1 ( x) 2 A 0 x >A
ˆ HX B ，其中 H C M N , B C M 1
(1). 用最小均方误差准则确定矩阵 H , B 。 （用 , x 的一阶和二阶统计量表 示。 ）
H cov( , x ) cov1 ( x , x ) B E ( ) cov( , x ) cov 1 ( x , x ) E ( x)
若
1 1 2 2 A
2 A2 ) ，做 H1 判决，反之做 H 0 判决。
当 A ln(
2
(2). 若 A 在[0,3]内均匀分布，且设
2 ，重新完成(1) 2
若 A 在[0,3]内均匀分布，
1 2 1 ，则有 ， 2 2 A 2
当 X ln(