高等数学2综合自测题题目2010

高等数学综合自测题(I) 一、 选择题

1、若3x xy z +=，则

=∂∂+∂∂y

z x z （ ）.

A ．22x y x ++ B.23x y x ++ C. 232x y x ++ D.y x + 2、设积分区域D 是圆环:4122≤+≤y x ,则二重积分=+⎰⎰dxdy y x D

2

2

( ).

A. ⎰⎰1

2

20dr r d πθ B.⎰⎰

4

20r

dr d πθ

C.

dr r d ⎰⎰

2

1

2

20

πθ D.⎰⎰

2

1

20

rdr d πθ

3、曲面积分⎰⎰∑

ds 表示的是( )

A.曲面∑的面积

B.曲面∑在xOy 面上投影D 的面积

C.不是∑的面积,也不是投影D 的面积

D.可能不是∑的面积

4、若级数∑∞

=1

n n a 收敛，则级数（ ）

A ．∑∞

=1

n n a 收敛 B.n n n a ∑∞

=-1

)1(收敛

C.

11

+∞

=∑

n n n a a 收敛 D.∑

∞

=++1

1

2

n n n a a 收敛

5、设有直线1

82

51

1:1+=

--=

-x y x l 与直线⎩

⎨⎧=+=-326

:2z y y x l ,则直线1l 与2l 的夹角为( )

A.

6

π

B.

4

π

C.

3

π

D.

2

π

二、填空题 1、函数)

1ln(42

2

2y x y

x z ---=

的定义域为 ;

2、直线

3

31

12

4-=

+=-z y x 与xOy 面的交点的坐标为_________;

3、曲面z xz

y yz x 8232

2

2

-=+上点（1，2，-1）处的切平面方程为_____.

4、级数∑

∞

=++1

2

)

1ln()

1(2n n

n n n x 的收敛半径为 ;

5、设D 是中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域，则dxdy e D

y

x

⎰⎰--2

2

=

6、的通解为微分方程

0'''''2)

4(=+-y y y

三、解答下列各题

1、求过点(1,0,-1)且与直线l :⎩⎨⎧=+-+=+-0

52302z y x z y x 垂直的平面∏的方程

2、设y x xy z ++=)1(，求.y

z ∂∂

3、设),(22xy

e y x

f z -=，其中f 具有二阶连续偏导数，求.2

y

x z ∂∂∂

4、求函数2

2

)(4),(y x y x y x f ---=的极值. {}⎰⎰<+=+D

y

x y x y x D dxdy e

1||||),(,.5其中计算

6、计算dy y x dx xy x L

)()2(4

2

2

⎰+++，其中L 为由点O(0,0)到B(1,1)的曲线弧2

sin

x

y π=.

7、将函数2

31)(2

++=

x x x f 展开成x+4的幂级数.

8、计算曲面积分⎰⎰∑

xyzdxdy ，其中∑是球面1222=++z y x 外侧在0,0≥≥y x 的部分.

9、 .cos '2''2的通解求微分方程x y y =-

四、在曲面2

242y

x z ++=上求一点，使它到平面132=+-z y x 的距离最近.()8'

五、设圆锥底半径为a ，高为h ，质量分布均匀，其质量为M ，在圆锥体顶点处有一单位质量的质点，求圆锥对此质点的引力.

六、证明：2

1

011

0)(21)()(⎥⎦⎤⎢

⎣⎡=⎰⎰

⎰dx x f dy y f x f dx x

，其中)(x f 在[]1,0上连续.

高等数学综合测试题（II ）

一、 填空题 1、 绕y 轴旋转而成的椭球面13232

22=++z y x 的曲线是________. 2、 二元函数3

3

)(3y x y x z --+=的极值点是 .

3、

设1:2

22≤++Ωz y x ,则=⎰⎰⎰Ω

dv e z

.

4、

设L 是星形线)0(32

3232>=+R R y x ,则曲线积分=+⎰ds y x L

)(34

34 .