可 逆 矩 阵
2.3_可逆矩阵
Aij为行列式 A中元素aij的代数余子式.
a (2) 特别地，对二阶方阵 A c 当 A ad bc 0时，有 d 1 1 A A A ad bc c
1
b d
b a
11
三、可逆矩阵的运算性质 1 1 1 1 若A可逆, 则A 亦可逆, 且A A.
2 若A可逆, 数 0, 则A可逆, 且
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆则AB亦可逆, 且 , 1 AB B 1 A1 .
证明：
ABB1 A1 ABB1 A1 AEA 1 1 1 1 1 AA E , AB B A .
0
A
k
A
. k为正整数
A .
13
当 A 0, , 为整数时, 有 A A A
,
A
A 可逆，则有 A1 1 A 1 . (5) 若 A
1 证明： AA E
A A 1
1
因此 A
1
1 1 A A
14
12
推广
A1 A2 Am1 Am 1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明： A A
可逆矩阵
解
经计算易得
所以
不可逆； 不可逆；
①
当
有为零的数时， 不可逆； 有为零的数时， 不可逆； 均不为零时， 可逆， 均不为零时， 可逆，据矩阵
② 当
的特点， 乘法的定义和矩阵 的特点，作 3 阶矩阵
则
10
， 所以
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
.
由于 ① 当
所以， ， 所以， 不可逆； 时， 不可逆； 可逆， 时， 可逆，
是可逆矩阵， 的逆矩阵唯一. 命题 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵唯一 若 均是 的逆矩阵，则 的逆矩阵，
可逆， 提醒 若 可逆，记其唯一的逆矩阵为
2
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
矩阵可逆的充要条件 定理 设 为 阶方阵 ，则 可逆
可逆时， 当 可逆时， 可逆， 证明 必要性 因 可逆，故存在 使得 故
证明 因
由前面定理推论 知
可逆且
推论 若 们的乘积
均为同阶可逆方阵， 均为同阶可逆方阵，则它 也可逆且
6
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大学邓传现
可逆矩阵的性质 性质4 性质4 若 均为可逆方阵， 均为可逆方阵，那么
也可逆且
注记
由性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵. 性质4显然可得可逆对角矩阵的逆矩阵
例题
设矩阵 其中
满足
求
解答 可逆 显然可见 可逆且 故
20
2010年秋季四川大学邓传现 2010年秋季四川大阵法求阶数较高 的矩阵的可逆矩阵是不现实的. 的矩阵的可逆矩阵是不现实的 伴随矩阵法主要用于理论推导和求 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵. 低阶矩阵以及特殊矩阵的逆矩阵 但从伴随矩阵法可见， 但从伴随矩阵法可见，逆矩阵和伴随 矩阵关系紧密. 所以， 矩阵关系紧密 所以，我们来研究研 究伴随矩阵的性质. 究伴随矩阵的性质
求可逆矩阵的四种方法
求可逆矩阵的四种方法可逆矩阵是线性代数中的重要概念，具有很多应用。
本文将为大家介绍可逆矩阵的四种求解方法，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 列主元素消元法列主元素消元法是一种求解可逆矩阵的常见方法。
这种方法的基本思想是将矩阵的每一列中绝对值最大的元素作为主元素，通过消元达到求解可逆矩阵的目的。
消元的过程中需要遵循一定的规则，如保持主元素所在的列不变等。
2. 求逆矩阵法求逆矩阵法是另一种常用的方法。
这种方法的核心是根据矩阵的伴随矩阵求解矩阵的逆矩阵。
求伴随矩阵的过程需要先求出矩阵的行列式，并计算每个元素的代数余子式。
最后将代数余子式按照矩阵对应位置构成伴随矩阵即可。
逆矩阵的求解需要将伴随矩阵除以矩阵的行列式。
3. 奇异值分解法奇异值分解法也是求解可逆矩阵的重要方法之一。
该方法通过将矩阵进行奇异值分解，从而得到矩阵的逆矩阵。
奇异值分解的过程需要求解矩阵的特征值和特征向量，然后将特征向量组成新的矩阵，再将特征值按照从大到小的顺序排列成对角矩阵。
最后通过逆矩阵的公式求解得到原矩阵的逆矩阵。
4. LU分解法LU分解法是一种常用的矩阵分解方法，也可用于求解可逆矩阵。
该方法先将原矩阵分解为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积，然后通过求解分解后的矩阵求解原矩阵的逆矩阵。
LU分解的过程需要使用高斯-约旦消元法将矩阵化为上三角矩阵和下三角矩阵的乘积的形式，然后通过回代求解得到原矩阵的逆矩阵。
综上所述，可逆矩阵的求解方法有很多种。
通过列主元素消元法、求逆矩阵法、奇异值分解法和LU分解法，我们可以得到矩阵的逆矩阵。
这对于线性代数的学习是非常重要的，也为日后的求解问题提供了重要的基础。
2.3 可逆矩阵
0 1 0 1 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1 4 0 1 0 0 1 0 0 1 2 1 0 0 2 1 3 0 0 1 0 0 1 1 0 0 7 5 2 0 1 0 5 4 2 0 0 1 3 2 1 0 0 1 2 7 2 3 7 5 2 1 A 5 4 2 ，BA 1 1 4 ，X 3 3 2 3 2 1 3 5 2 3 2 2 3 2 1
A B B AEij ci k A B B AE(i(k )) ci kc j B AE( j, i(k )) A B
a12 a13 1 0 0 a11 a12 a13 a11 例5 0 1 2 a 21 a 22 a 23 = a 21 2a 31 a 22 2a 32 a 23 2a 33 0 0 1 a a a a a a 31 32 33 31 32 33
2、初等方阵的性质 （1）初等方阵可逆且 其逆矩阵也是初等方阵， 即 1 1 1 1 E ij E ij ，E (i (k )) E (i( ))，E (i, j (k )) E (i, j (k )) k （2）用初等方阵左（右）乘 A， 相当于对 A 作初等行 （列）变换得到的矩阵， 即
3、用初等行变换求逆
行 A 可逆 A E 依据：Th2.3.2 ,
A B1 ( P1 A) B2 ( P2 B1 P2 P1 A)
行 行
行 Bm ( Pm Bm 1 Pm P2 P1 A) 行
A E Pm P2 P1 A E
证明矩阵可逆的9种方法是
证明矩阵可逆的9种方法是矩阵可逆是指一个矩阵存在一个逆矩阵，其乘积等于单位矩阵。
下面将介绍9种证明矩阵可逆的方法。
方法一：行列式法要证明一个矩阵可逆，可以计算其行列式。
如果矩阵的行列式不为零，则矩阵可逆。
方法二：逆矩阵法如果一个矩阵存在一个逆矩阵，且这个逆矩阵满足乘积为单位矩阵，那么这个矩阵可逆。
方法三：初等变换法通过对矩阵进行一系列的初等行变换或初等列变换，能够将矩阵化为行阶梯形或列阶梯形。
如果最终得到的行阶梯形或列阶梯形存在没有零行或零列，那么该矩阵可逆。
方法四：伴随矩阵法对于一个n阶矩阵A，其伴随矩阵记为adj(A)，满足A * adj(A) = adj(A) * A = A * I，其中A 表示A的行列式，I表示单位矩阵。
如果一个矩阵A的伴随矩阵存在，且A 不为零，则A可逆。
方法五：特征值法计算矩阵A的特征值，如果所有特征值都不为零，则矩阵A可逆。
方法六：线性相关法将矩阵A的列向量组看作是一个线性相关的向量组，当且仅当这个向量组的秩等于矩阵的列数时，矩阵可逆。
方法七：投影矩阵法如果一个矩阵A是一个投影矩阵，即A * A = A，则矩阵A可逆。
方法八：正交矩阵法如果一个矩阵A满足A的转置矩阵与A的乘积等于单位矩阵，即A * A^T = I，其中A^T表示A的转置矩阵，则矩阵A可逆。
方法九：哈达玛矩阵法如果一个n阶方阵H满足H的每一个元素的模都是1，且任意两行之间的内积等于0，则矩阵H可逆。
以上是证明矩阵可逆的9种方法。
每种方法都有其独特的思路和侧重点。
可以根据具体情况选择合适的方法进行证明。
§1.5可逆矩阵
1 2 1 1 2 1
0 1 3 0 1 3
A21 A22 A23
求A 1
2.公式法：
A
1
1 * A A
1 1 0 0 1 1 2, 0 1 3
5 3 1 1 * 1 1 A A 3 3 1 . A 2 1 1ห้องสมุดไป่ตู้1
作业：P40 18, 19（1），21，22
三、简单的矩阵方程
其中，A，B，C已知 当A，B可逆时，它们有唯一解 ：
(1) AX B ( 2) XA B ( 3) AXB C
X BA X A CB
X A1 B
1
1
1
例 3 若 A BA C , 求 B ,
1.定义法：
AB I .
A
1
2.公式法：
1 * A . A
AA A A AI 三.
课堂习题
2 1 1. 4 3
1
1
2 0 0 2. 0 3 0 0 0 1
A
1
1 * A . A
3.初等变换法：
2.1节学习
例 1 若方阵 A 可逆，试证 A*也可逆，并求(A*)-1.
A0 解 A* A A I 又 A可逆，
1 两边同除 A，得A A I A
*
1 得 A 可逆，( A ) A. A
*
* 1
1.定义法：
AB I .
例 2 设方阵 A 满足方程 A2 A 2 I 0, 证明
注 1 逆矩阵是一种对称的相互关系；
注 2 逆矩阵是唯一的；
可逆矩阵
AB BA E , B是A的一个逆矩阵.
2014-7-18 兰州商学院信息工程学院
页
几点注意：
（1）可逆矩阵一定是同阶方阵； （2）可逆矩阵的 逆矩阵一定唯一； （3）并不是一切非零方阵都存在逆矩阵。 例如
1 2 A 0 0
不存在逆矩阵.
2014-7-18
Hale Waihona Puke 兰州商学院信息工程学院2014-7-18
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
页
重要性质（结论）
AA A A A E .
证明
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定理1
矩阵 A 可逆的充要条件是 A 0 ，且
1 A A, A
1
其中A 为矩阵A的伴随矩阵.
证明 若 A可逆，即有A1使AA1 E .
A 3 A 10 E 0
2
证明:A和A-4E都可逆,并求其逆阵.
证明:
依题意有
A 3 A 10 E 0
2
则 A( A 3 E ) 10 E , ( A 4 E )( A E ) 6 E , 1 从而 A 10 ( A 3E ) E , ( A 4E ) 1 6 ( A E) E,
A A1 .
1
1
3 若A, B为同阶方阵且均可逆, 则AB亦可逆, 且
4 若A可逆, 则有 A
2014-7-18
AB
1
B 1 A 1 .
1
A .
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1
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例1
1 2 3 求方阵 A 2 2 1 的逆矩阵. 3 4 3 1 2 3 A2 2 1 3 4 3
可逆矩阵
(A )A (A A) I I ,
1 1
(A) (A ).
1 1
性质4
1 1 ( kA ) A ; k
1
高 等 代 数
1 ; 性质5 |A | |A|
1
A、B都是3阶矩阵，若 A 3, B 2 则
(3 A) 1 _______, BA2 B 1 _______
A21 A22 A2 n a12 a22 an 2
An1 An 2 Ann
a1n a2 n ann
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A ; 3 4 1 2 3 (2) B 4 5 6 3 3 3
A21 A22 A2 n
高 等 代 数
a11 a21 * AA an1 A11 A12 * A A A1n
a12 a22 an 2 A21 A22 A2 n
a1n A11 a2 n A12 ann A1n An1 a11 An 2 a21 Ann an1
高 等 代 数
a11 a 21 an1
a11 a21 A an1
a12 a1n x1 b1 x b a22 a2 n 2 2 an 2 ann xn bn
证明
若矩阵可逆，则A的逆矩阵是唯一的.
若B、C都是A的逆矩阵，则
AB BA I , AC CA I .
于是 性质2
可逆矩阵的概念
The Advanced Algebra
Dr. Zhi hui Li
2) Q A = a1a2 L an ,
可逆. ∴ 当 ai ≠ 0 ( i = 1,2,L , n) 时，A可逆. 可逆 且由于
− a1 1 1 a1 −1 1 a2 a2 =E = O O O −1 an 1 an − a1 1 − −1 a2 1 ∴ A = . O − an 1
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四、矩阵方程
1. 线性方程组 .
a11 x1 + L + a1n xn = b1 LLLLLLLLL an1 x1 + L + ann xn = bn
(1)
x1 b1 x2 b2 令 A = (aij )n×n , X = M , B= M x b n n
A −1
( ) 1 d −b = ad − bc ( − c a )
.
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0 3 3 练习 已知 A = 1 1 0 , AB = A + 2 B, 求矩阵B． 求矩阵 ． −1 2 3
解：由 AB = A + 2 B ，得 ( A − 2 E ) B = A ，又
1 −1 3 3 −1 ∴ A − 2 E 可逆，且 ( A − 2 E ) = −1 1 3 可逆， 2 1 1 −1 0 3 3 −1 ∴ B = ( A − 2 E ) A = −1 2 3 1 1 0
矩阵 可逆矩阵
9I , 或 ( A − = 2I ) A 9I
1 1 A (A - 2 I) = I, 或 (A - 2 I) A = I 9 9
故 (2)
1 A = ( A − 2 I ). 9
−1
A2 − 2 A = 9I
⇒
A2 − 2 A − 8 I= I
( A − 4 I ) −1 = A + 2I.
( A + 2 I )( A − 4 I ) = I ( A − 4 I )( A + 2 I ) = I
2 1 1 −1 A= , B= − 1 0 −1 1 且 AX = B ，求矩阵X ．
解 在
• 例 设
AX = B
X=A B
−1
等式两端同左乘 A−1 ，得
1 , 求A的逆矩阵 . 0 b 是 A 的逆矩阵, d
则
2 1 a b 1 0 AB = = − 1 0 c d 0 1 2a + c 2b + d 1 0 ⇒ = − b 0 1 −a
0 −1 1 −1 = −1 1 1 2
1 −1 = −1 1
2 1 1 −1 A= , B= − 1 0 −1 1 且 XA = B ，求矩阵X ．
解 在 XA = B 等式两端同右乘 A−1 ，得
Ax = b . A：x → b .
A-1
回顾：y=f(x)的反函数y=f -1(x)满足
f◦f -1 =1, f -1◦ f=1 (1为恒等映射)
定义(可逆矩阵) 方阵 B ,使得
对于 n 阶方阵 A ,若有一个 n 阶
证明可逆矩阵的方法
证明可逆矩阵的方法
证明一个矩阵可逆的一个常用方法是使用行列式的概念。
一个方阵A是可逆的，当且仅当它的行列式不等于0，即det(A) ≠ 0。
证明可逆矩阵的方法可以有多种，以下是一些常见的方法：
1. 行列式方法：如果一个矩阵A是n阶方阵，我们可以计算它的行列式det(A)。
如果det(A) ≠ 0，则矩阵A是可逆的；如果det(A) = 0，则矩阵A是奇异的，即不可逆的。
2. 逆矩阵方法：如果一个矩阵A是可逆的，那么存在一个矩阵B，使得AB = BA = I，其中I是单位矩阵。
这个矩阵B称为A的逆矩阵，记作A^(-1)。
通过计算A的逆矩阵，我们可以证明A是可逆的。
3. 列向量线性无关方法：如果一个矩阵A是可逆的，那么它的所有列向量都是线性无关的。
我们可以通过计算列向量的线性组合并令其等于零，然后证明只有零向量是解，从而证明矩阵A的列向量是线性无关的，进而证明A是可逆的。
4. 初等变换方法：通过一系列的初等变换操作，我们可以将矩阵A 变换为一个上三角矩阵或者一个对角矩阵。
如果我们成功地进行了这样的变换，那么矩阵A是可逆的。
因为上三角矩阵或者对角矩阵的行
列式等于它的对角线上的元素的乘积，且这些元素都不为0。
总结起来，证明一个矩阵可逆的方法有很多种，包括行列式方法、逆矩阵方法、列向量线性无关方法和初等变换方法等。
这些方法有时可以相互结合使用，根据具体问题的要求选择合适的方法进行证明。
1.5可逆矩阵
二. 判别定理 1. 定义 :
(1) 伴随矩阵 : 设 n 阶矩阵 A = (a ij ) , Aij 是 A 中元 a ij 的代数 余子式 ( i , j = 1,2,L , n) . 矩阵 A11 A 12 L A 1n A21 L An1 A22 L An 2 L L L A2n L Ann
例6.
2 1 0 0
1 1 0 0
1 0 5 4
0 1 9 7
−1
2 1 5 9 解: 令 A= , B = 1 1 4 7 则 A
−1
1 − 1 = , −1 2
B
−1
− 7 9 = 4 − 5
称为矩阵 A 的伴随矩阵 , 记作 A∗
注 : 方阵 A 的伴随矩阵 A∗ 满足 : AA∗ = A∗ A = A E
(2) 若 n 阶矩阵 A 的行列式 A ≠ 0, 则称 A 是非奇异的 (非退化的 ). 否则称 A 为奇异矩阵 ( 退化矩阵 ).
2. 定理 : (1)
A 可逆 ⇔ A 非奇异即 A ≠ 0 1 ∗ A A
设 A, B 均为 n 阶可逆矩阵
1. 关于逆矩阵
(1) A−1 可逆, 且 ( A−1 )−1 = A;
1 −1 ( 2) k ≠ 0 时 kA 可逆, 且 ( kA) = A ; k ( 3) AB 可逆, 且 ( AB )−1 = B −1 A−1 ;
−1
( 4) AT 可逆, 且 ( AT )−1 = ( A−1 )T ;
a b 例1. 设 A = , 问 a,b,c,d 满足什么条件时 A 可逆 , 并求 A −1 c d
可逆矩阵的性质
可逆矩阵的性质可逆矩阵（invertible matrix）是在线性代数和数学分析中极为重要的概念，它的性质不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍可逆矩阵的性质，并讨论可逆矩阵的应用。
一、可逆矩阵的定义可逆矩阵是一种复数矩阵，它的定义为：满足其逆矩阵存在的矩阵称为可逆矩阵，记作A，其逆矩阵记作A^(-1)，则A^(-1)A=I，其中I为单位矩阵。
二、可逆矩阵的性质1、矩阵的乘法由于可逆矩阵的定义，因此可逆矩阵的乘法也具有一定的特性，即A^(-1)A=I，A*A^(-1)=I。
这表明，可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，这个特性对于解决复杂的线性方程组非常有用。
2、矩阵的逆可逆矩阵的逆也是一个重要的性质，它表明A^(-1)可以由A求得，也就是说，如果A是可逆矩阵，则存在一个可以由A求得的矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I。
3、矩阵的行列式另外，可逆矩阵的行列式也是一个重要的性质。
如果A是可逆矩阵，则它的行列式必须不为0，反之，如果行列式不为0，则矩阵A也是可逆矩阵。
此外，可逆矩阵的行列式也可以用来计算矩阵A的逆矩阵A^(-1)，即A^(-1)=|A|^(-1)A^(-1)，其中|A|表示矩阵A的行列式。
三、可逆矩阵的应用1、解决线性方程组由于可逆矩阵的乘积是一个单位矩阵，因此可以用可逆矩阵来解决复杂的线性方程组，这是由于可逆矩阵的乘法可以将一个复杂的线性方程组转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性方程组。
2、求解微分方程由于可逆矩阵具有一定的性质，可以用可逆矩阵来求解微分方程，这是由于可逆矩阵的逆可以用来求解微分方程的积分式。
3、解决线性最优化问题可逆矩阵还可以用于解决线性最优化问题，这是由于可逆矩阵的乘积可以将一个复杂的线性最优化问题转换为一个单位矩阵，从而可以解决复杂的线性最优化问题。
四、结论可逆矩阵是一种重要的数学概念，它不仅对线性代数有着深远的影响，而且在其他数学领域也有着重要的应用。
可逆矩阵
§3 可逆矩阵若方阵 A 的逆阵存在，则称 A 为非奇异方阵或可逆方阵。
一、可逆矩阵的定义及性质定义3.1 设A ∈Mn （F ）, 若存在同阶矩阵B ，使AB=BA=E ，则称A 为可逆矩阵，B 为A 的逆矩阵，简称为A 的逆，记为B= A-1 。
如果A 是可逆矩阵，那么A 的逆是唯一的。
这是因为当B ，C 都是A 的逆时，有AB=BA=E=AC=CA ，B=BE=B （AC ）= （BAC=EC=C 。
可逆矩阵的性质：1 、 =A ；2 、如果A 可逆，数λ≠0 ，那么( A)-1= A-1 ；3 、如果A 可逆，那么,A T 也可逆，而且( AT )-1=( A-1)T ；4 、如果A ，B 皆可逆，那么AB 也可逆，且(AB) -1=B-1A-1 。
两个n 阶矩阵A 与B 的乘积AB=E 时，一定有BA=E ，从而A ，B 互为逆矩阵。
二、矩阵的标准形定义3.2 如果矩阵A 经过有限次行（列）初等变换变为矩阵B ，就称A 行（列）等价于 B 。
如果矩阵 A 经过有限次初等变换变为 B ，就称矩阵 A 等价于矩阵 B ，记为。
矩阵的行等价（列等价、等价）满足如下定律：1 自反律；2 对称律如果那么；3 传递律如果，，那么，。
在数学中，把具有上述三条规律的关系称为等价关系。
因此矩阵的等价是一种等价关系。
定义3.3 一个矩阵中每个非零行的首元素（指该行第一个非零元素）出现在上一行首元素的右边，同时，没有一个非零行出现在全零行的下方，这样的矩阵称为阶梯形矩阵。
定理3.2 任何一个矩阵A 都行等价于一个阶梯形矩阵。
定义3.4 一个阶梯形矩阵，如果它的每一非零行的首元素是1 ，且首元素所在列的其余元素全是零，就称为简化阶梯形矩阵。
定理3.3 任何一个矩阵行等价于一个简化阶梯形矩阵。
定理3.4 任何一个非零矩阵A ∈Mm ×n （F ）可经过有限次初等变换化为下面形似的矩阵：= ,1 ≤r ≤min(m,n), 它称为矩阵A 的标准形。
第4节 可逆矩阵
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定义 1 对于 n 阶方阵 A ,如果存在一个 n 阶 矩阵 B ,使得 AB = BA = E ,则称 A 为可逆矩阵, 简称 A 可逆,并称 B 为 A 的逆矩阵.记作 A1 ,即 A1 = B .
注意: 注意
由可逆矩阵定义可知:
(1) A 与 B 互为逆矩阵.即有 A1 = B , B1 = A .
1
1
1
0 6 0 0 1 0 0 1 0 = 6 0 3 0 = 6 0 1 3 0 = 0 2 0 . 0 0 6 0 0 1 6 0 0 1
23
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例 现有甲,乙两种产品销往 A , A2 两地,已知销售 1 量(单位:吨) ,总价值(单位:万元)与总利润 (单位:万元)如下表所示,求甲,乙两种产品的 单位价格与单位利润.
证 :由 2 A 2E = 0, 明 A
得 ( A E) = 2E A
A E A =1 2
1
A E A =E 2
A ≠ 0,
A E . 故 可 , A = A 逆 2
15
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又 A2 A 2E = 0, 由
( A+ 2E)( A 3E) + 4E = 0
1 ( A+ 2E) ( A3E) = E 4 1 A+ 2E 可 逆 . A+ 2E ( A3E) =1, 故 4
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第四节 可逆矩阵
一,可逆矩阵 二,矩阵可逆的条件 三,可逆矩阵的运算性质
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§4 可逆矩阵
一,可逆矩阵的概念
问题的提出:在数的运算中,当数 a ≠ 0 ,总 b = a1 ,使得 ab = ba =1, b 称为 存在唯一的一个数 a 的倒数或逆.
线性代数,可逆矩阵
B A1 , A B 1
说明: 当A,B均为n 阶方阵时 (1)如果 AB E ,指出矩阵 A 是可逆的 并且逆矩阵为 A1 B.
(2) 指出求逆矩阵的一种方法
? ) E A( B 2 例 已知 An , A E , 求 A1 .
解
A2 E ,
A1 A
0 0 1 6 3 7 6
五、小节
逆矩阵的概念
逆矩阵的性质
逆矩阵的计算方法
逆矩阵的定义
An Bn Bn An E ,
定理1 一个矩阵A的逆矩阵是唯一的. 定理2 对于n 阶方阵A、B 若 AB E (或 BA E ), 则 B A1 .
逆矩阵的求法
1
A 2E 且 (A E) 2
1
例6
设方阵A满足 A2 A 2 E 0 , 证明:
A, A 2E 都可逆, 并求它们的逆矩阵.
证明 由 A2 A 2 E 0, 又由
A(1 A E ) 2 E
得 A A E 2E
A2 A 2 E 0
二阶可逆矩阵的逆矩阵
具有规律：
A 1
6 4 5 4
2 4 1 4
若是分块对角阵
Ai
可逆
1 1
A diag(1 , 2 ,n )
1
其中
A 1 A
A1 A O
1 1
0 0 3 1 , 求 A 1 . 2 1 0 A1 O , 1 O A2 1
1 2
A1 5,
3 1 A2 , 2 1
1 A ; 5
2.2 可逆矩阵
A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
矩阵可逆的概念
矩阵可逆的概念矩阵可逆是线性代数中一个重要的概念。
在矩阵理论中，可逆矩阵是指一个方阵，它存在一个逆矩阵，使得两者相乘得到单位矩阵。
可逆矩阵也被称为非奇异矩阵或满秩矩阵。
为了更好地理解矩阵可逆的概念，我们首先需要了解一些相关的基本概念。
1. 方阵：方阵是指行数和列数相等的矩阵。
在线性代数中，方阵是最常见的矩阵类型。
2. 单位矩阵：单位矩阵是一个特殊的方阵，它的主对角线上的元素都是1，其余元素都是0。
单位矩阵在矩阵运算中起到类似于数字1的作用。
3. 逆矩阵：对于一个方阵A，如果存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，那么矩阵B就是矩阵A的逆矩阵。
逆矩阵也被称为反矩阵。
有了上述基本概念的铺垫，我们可以进一步探讨矩阵可逆的概念。
一个矩阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零。
行列式是一个方阵的一个标量值，它可以通过一系列运算得到。
如果一个方阵的行列式为零，那么这个方阵就是奇异的，也就是不可逆的。
为了更好地理解这个概念，我们可以通过一个例子来说明。
考虑一个2x2的方阵A，其元素为a、b、c、d。
如果A可逆，那么存在一个逆矩阵B，使得AB=BA=I。
我们可以通过矩阵乘法的定义来解这个方程组：AB = BA = I(a b) (e f) = (1 0)(c d) (g h) (0 1)根据矩阵乘法的定义，我们可以得到以下两个等式：ae + bg = 1af + bh = 0ce + dg = 0cf + dh = 1通过解这个方程组，我们可以得到逆矩阵B的元素：e = d / (ad - bc)f = -b / (ad - bc)g = -c / (ad - bc)h = a / (ad - bc)如果ad - bc = 0，那么逆矩阵B的元素将无法计算，也就是说矩阵A不可逆。
从这个例子可以看出，矩阵可逆的一个必要条件是其行列式不等于零。
但是这个条件并不充分，也就是说行列式不等于零只是矩阵可逆的一个必要条件，而不是充分条件。
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可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－1A) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
性质2-4
由逆矩阵的定义 AA-1= A-1A=E
可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．
可逆矩阵
性质2-2
设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1． 由矩阵乘法的结合律，得 (AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E (B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E 由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB) -1=B-1A-1． 此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即 如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆， 且
可逆矩阵
定义2-12
对于n阶方阵
设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记
可逆矩阵
显然，可得
可逆矩阵
即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足 以下关系：
AA*=A*A=|A|E 由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必 要条件及A-1的一种求解方法．
可逆矩阵
定理2-1
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异 矩阵，否则称为非奇异矩阵．
则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必 要条件是A是非奇异矩阵．
可逆矩阵
【例2-14】
【例2-15】
可逆矩阵
可逆矩阵
一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩 阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求 一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶 行列式．
在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得 (AB)B-1=EB-1，即B-1=A．
若有BA=E，同理可证结论成立． 这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆 矩阵，只需验证一个等式AB=E或 BA=E即可， 不必再按照定义2-11验证两个等式．
可逆矩阵
三、 可逆矩阵的性质
性质2-1
设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A1)-1=A．
证明 必要性： 设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得
|AA-1|=|E| 于是
|A||A-1|=1 所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．
可逆矩阵
充分性： 设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得 此式表明A可逆，且A的逆矩阵为 证毕．
可逆矩阵
这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具 体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．
可逆矩阵
可逆矩阵
一、 逆矩阵的概念
定义2-11
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（2-20 那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵． 由定义2-11知： （1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆. （2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵. （3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．