可 逆 矩 阵
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解 由A2-A+E=O可得A-A2=E，利用矩阵乘法运算法则可得 A-A2=A（E-A）=（E-A）A=E 由定义2-11可知A可逆，且A-1=E-A.
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
由逆矩阵的定义 AA-1= A-1A=E
可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．
可逆矩阵
性质2-2
设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1． 由矩阵乘法的结合律，得 (AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E (B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E 由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB) -1=B-1A-1． 此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即 如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆， 且
可逆矩阵
定义2-12
对于n阶方阵
设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记
可逆矩阵
显然，可得
可逆矩阵
即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足 以下关系：
AA*=A*A=|A|E 由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必 要条件及A-1的一种求解方法．
可逆矩阵
定理2-1
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－ຫໍສະໝຸດ BaiduA) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
性质2-4
在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得 (AB)B-1=EB-1，即B-1=A．
若有BA=E，同理可证结论成立． 这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆 矩阵，只需验证一个等式AB=E或 BA=E即可， 不必再按照定义2-11验证两个等式．
可逆矩阵
三、 可逆矩阵的性质
性质2-1
设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A1)-1=A．
证明 必要性： 设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得
|AA-1|=|E| 于是
|A||A-1|=1 所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．
可逆矩阵
充分性： 设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得 此式表明A可逆，且A的逆矩阵为 证毕．
可逆矩阵
这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具 体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．
可逆矩阵
可逆矩阵
一、 逆矩阵的概念
定义2-11
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（2-20 那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵． 由定义2-11知： （1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆. （2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵. （3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异 矩阵，否则称为非奇异矩阵．
则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必 要条件是A是非奇异矩阵．
可逆矩阵
【例2-14】
【例2-15】
可逆矩阵
可逆矩阵
一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩 阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求 一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶 行列式．
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|A||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．
可逆矩阵
二、 矩阵可逆的充要条件
在数的运算中，并不是所有的数都有倒数， 只有非零的数才有倒数．类似地，不是所有的n阶 方阵A都存在逆矩阵，如零矩阵就不可逆（因为 任何矩阵与零矩阵的乘积都是零矩阵）．我们接 下来要解决的问题就是：n阶方阵A在什么条件下 可逆？如果可逆，又如何求它的逆矩阵？为此先 介绍一个转置伴随矩阵的概念．
由逆矩阵的定义 AA-1= A-1A=E
可得A-1的逆矩阵(A-1)-1存在，且(A-1)-1=A．
可逆矩阵
性质2-2
设A，B为同阶可逆矩阵，则AB也可逆，且有(AB)-1=B-1A-1． 由矩阵乘法的结合律，得 (AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AEA－1=AA－1=E (B－1A－1)(AB)=B－1(A－1A)B=B－1EB=B－1B=E 由逆矩阵的定义可知，AB可逆，且(AB) -1=B-1A-1． 此性质可推广到多个可逆矩阵相乘的情形，即 如果A1，A2，…，Ak为同阶可逆矩阵，那么A1A2…Ak也可逆， 且
可逆矩阵
定义2-12
对于n阶方阵
设Aij是行列式|A|中元素aij的代数余子式，记
可逆矩阵
显然，可得
可逆矩阵
即任一方阵A与其转置伴随矩阵A*满足 以下关系：
AA*=A*A=|A|E 由此我们可以得到矩阵A可逆的充分必 要条件及A-1的一种求解方法．
可逆矩阵
定理2-1
n阶方阵A可逆的充分必要条件是|A|≠0，且
可逆矩阵
因为如果A有两个逆阵B1和B2，根据定义211，有
AB1=B1A=E，AB2=B2A=E 于是 B1=B1E=B1(AB2)=(B1A)B2=EB2=B2 这说明A的逆矩阵是唯一的，我们规定A的逆 矩阵记作A-1，则有 AA-1=A-1A=E
可逆矩阵
【例2-13】
若方阵A满足等式A2-A+E=O，问A是否可逆，若可逆,求出 其逆阵．
(A1A2…Ak)－1=A－1k…A－12A－11
性质2-3
可逆矩阵
若A可逆，则AT也可逆，且有(AT)-1=(A-1)T． 因为A可逆，所以存在A-1，使AA-1=E，于是根据 矩阵的转置运算规律，有 AT(A－1)T=(A－ຫໍສະໝຸດ BaiduA) T=ET=E 则AT可逆，且(AT)-1 =(A-1)T．
性质2-4
在等式AB=E的两边同时右乘B-1，可得 (AB)B-1=EB-1，即B-1=A．
若有BA=E，同理可证结论成立． 这一结论说明，如果我们要验证B是A的逆 矩阵，只需验证一个等式AB=E或 BA=E即可， 不必再按照定义2-11验证两个等式．
可逆矩阵
三、 可逆矩阵的性质
性质2-1
设矩阵A可逆，则A的逆矩阵A-1也可逆，且有(A1)-1=A．
证明 必要性： 设A可逆，由AA-1=E，两边取行列式，得
|AA-1|=|E| 于是
|A||A-1|=1 所以，若A为可逆矩阵，则|A|≠0．
可逆矩阵
充分性： 设|A|≠0，由AA*=A*A=|A|E得 此式表明A可逆，且A的逆矩阵为 证毕．
可逆矩阵
这个定理既说明了方阵可逆的条件，又具 体给出了利用转置伴随矩阵求逆矩阵的公式．
可逆矩阵
可逆矩阵
一、 逆矩阵的概念
定义2-11
对于n阶方阵A，如果存在一个n阶方阵B，使得 AB=BA=E（2-20 那么称A为可逆矩阵（或矩阵A可逆），称B为A的逆矩阵，简称逆阵． 由定义2-11知： （1）可逆矩阵是对方阵而言的，若A不是方阵，则一定不可逆. （2）如果A是可逆矩阵，那么B也是可逆矩阵．并且A与B互为逆阵. （3）如果A是可逆矩阵，那么它的逆阵是唯一的．
可逆矩阵
性质2-5
可逆矩阵
可逆矩阵
【例2-17】
可逆矩阵
故Λ-1=B．
谢谢聆听
对于n阶方阵A，当|A|=0时，A称为奇异 矩阵，否则称为非奇异矩阵．
则由定理2-1可知：A是可逆矩阵的充分必 要条件是A是非奇异矩阵．
可逆矩阵
【例2-14】
【例2-15】
可逆矩阵
可逆矩阵
一般来说，当矩阵A阶数较高时，利用转置伴随矩 阵求其逆矩阵的方法是比较麻烦的．如【例2-15】，求 一个3阶矩阵的逆矩阵，要计算一个3阶行列式和9个2阶 行列式．
可逆矩阵
【例2-16】
证明：若A，B是同阶方阵，且满足AB=E或BA=E，则 A，B都可逆，且
A-1=B，B-1=A 证明 由A，B是同阶方阵且AB=E可得|AB|=|A||B|=|E|=1． 所以|A|≠0，|B|≠0．由定理2-1知A，B都可逆．
可逆矩阵
在等式AB=E的两边同时左乘A-1，可得A1(AB)=A-1E，即A-1=B．