1.5正弦函数的学案解析版

§5正弦函数的图像与性质

5．1正弦函数的图像

2．在函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，

⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫

3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图．

思考2：描点法作函数的图像有哪几个步骤？ [提示] 列表、描点、连线．

1．对于正弦函数y ＝sin x 的图像，下列说法错误的是( ) A ．向左、右无限延展

B ．与y ＝－sin x 的图像形状相同，只是位置不同

C．与x轴有无数个交点

D．关于y轴对称

D[y＝sin x为奇函数，关于原点对称，故D错误．]

2．y＝sin x的图像的大致形状为()

[答案]B

3．用五点法画y＝sin x，x∈[0,2π]的简图时，所描的五个点的横坐标的和是________．

5π[0＋π

2

＋π＋3π

2

＋2π＝5π.]

4．函数y＝sin x在[0,2π]上的单调减区间为________，最大值为________．

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π2，3π2 1 [由正弦函数的图像(图略)可知．]

【例1】 [解] (1)列表：

(2)描点、连线，图像如图．

1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x取0，π

2，π，3π

2，2π，

然后相应求出y值，再作出图像．

2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持光滑，注意凸凹方向．

1．(1)作出函数y＝2sin x(0≤x≤2π)的图像；(2)用五点法画出函数y＝sin 2x(0≤x≤π)的图像．[解](1)列表：

(2)列表：

描点得y＝sin 2x(0≤x≤π)的简图，如图：

【例2】 利用y ＝sin x 的图像，在[0,2π]内求满足sin x ≥－1

2的x 的取值范围．

[解] 列表：

描点，连线如图，同时作出直线y ＝－1

2的图像．

由图像可得sin x ≥－1

2的取值范围为

⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤11π6，2π.

用三角函数图像解三角不等式的方法

(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图像；

(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；

(3)根据图像写出不等式的解集．

2．利用正弦函数的图像，求满足sin x ≥1

2的x 的集合．

[解] 作出正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像，如图所示，由图像可以得到满足条件的x 的集合为⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z .

[

1．若已知函数y ＝f (x )的图像，如何作出函数y ＝|f (x )|的图像？

[提示] 将函数y ＝f (x )的x 轴上方的图像保持不变，将x 轴下方的图像关于x 轴翻折到x 轴上方即可．

2．如何利用函数的图像判断该函数对应方程的解的个数？

[提示] 可以利用函数的图像与x 轴的交点的个数判断．也可以将该函数对应的方程拆分成两个简单函数，利用这两个函数图像交点的个数判断．

【例3】 函数f (x )＝sin x ＋2|sin x |，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，求k 的取值范围．

[思路探究] 在同一坐标系中，作出两个函数图像． [解] y ＝⎩⎪⎨⎪⎧

3sin x ，0≤x ≤π，－sin x ，π

作出图像分析(如图)．

∵f (x )图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同交点． ∴1

1．(变条件，变结论)将例3变为“求方程lg x＝sin x的实数解的个数”应如何求解．

[解]作出y＝lg x，y＝sin x在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数，由图像知方程有三个实根．

2．(变结论)将例3中的函数f(x)不变，求方程“f(x)＝|log2x|”的解的个数，应如何求解．

[解]在同一坐标系内作出f(x)＝sin x＋2|sin x|和g(x)＝|log2x|的图像如图所示，易知f(x)与g(x)的图像有四个交点，故所给方程有四个根．

数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形.利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题.

1．“五点法”是我们画y＝sin x图像的基本方法，在区间[0,2π]上，其横坐

标分别为0，π

2，π，

3π

2，2π的五个点分别是最高点、最低点以及与x轴的交点，

这五个点在确定函数的图像形状时起到关键作用，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，再将曲线向左、向右平行移动(每次移动2π个单位长度)，就得到正弦函数的简图．

2．作图像时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( )

(4)用五点法画函数y ＝sin x 在区间[－π，π]上的简图时，⎝ ⎛⎭⎪⎫

－π2，－1是其中的一个关键点．( )

[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√

2．函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π2，3π2的简图是( )

D [函数y ＝－sin x 与y ＝sin x 的图像关于x 轴对称，故选D.]