1.5正弦函数的学案解析版

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(完整版)1.5正弦型函数的图象(1)导学案

1.5 函数sin()y A x ωφ=+的图象（1）学习目标： 1.熟练运用“五点法”做函数)(sin ϕω+=x A y 的图像，理解图像特征，依据图像正确求出解析式.2.掌握振幅变换，相位变换，周期变换，能熟练地把x y sin =的图像变换为)(sin ϕω+=x A y 的图像.学习过程：一、情景引入正弦函数x y sin =是最基本、最简单的三角函数，在物理中，简谐运动中的单摆对平衡位置的位移y 与时间x 的关系等都是形如)(sin ϕω+=x A y 的函数，我们需要了解它与函数x y sin =的内在联系.A 、、ωϕ是影响函数图像形态的重要参数，对此，我们分别进行探究.二、自我探究1. 函数)sin ϕ+=x y （，x R ∈（其中0≠ϕ）的图象，可以看作是正弦曲线上所有的点_________（当ϕ>0时）或______________（当ϕ<0时）平行移动ϕ个单位长度而得到.2. 函数R x x y ∈=,sin ω（其中ω>0且1ω≠）的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的横坐标______________（当ω>1时）或______________（当0<ω<1时）到原来的倍（纵坐标不变）而得到.3. 函数A R x x A y (,sin ∈=>0且A ≠1)的图象，可以看作是把正弦曲线上所有点的纵坐标___________（当A>1时）或__________（当0<A<1）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到的，函数y=Asinx 的值域为__________.最大值为___________，最小值为______________.三、展示点拨例1.画出函数(1)2sin y x =，R x ∈ (2) 1sin 2y x =,R x ∈ 分析：“五点法”，先画[0，2π]的简图。

小结1： 1．y =Asinx ，x ∈R (A >0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长或缩短到原来的A 倍得到的2．它的值域最大值是 , 最小值是3．若A <0 可先作y =-Asinx 的图象，再以x 轴为对称轴翻折 A 称为振幅，这一变换称为振幅变换例2. 画出函数 (11)sin 2,2)sin2y x y x == x R ∈的简图.小结2：（周期变化，这是由ω的变化引起的）1、函数y =sin ωx , x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩或伸长到原来的ω1倍（纵坐标不变） 2、函数y =sin ωx , x ∈R (ω>0且ω≠1)的周期是3、若ω<0则可用诱导公式将符号“提出”再作图决定了函数的周期，这一变换称为周期变换例3 画出函数y ＝sin (x ＋3π)，x ∈R y ＝sin (x －4π)，x ∈R 的简图小结3：1、函数y ＝sin (x ＋3π)，x ∈R 的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动3π个单位长度而得到2、一般地，函数y ＝sin (x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时)平行移动||ϕ个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)y ＝sin (x ＋ϕ)与y ＝sinx 的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.例4 指出如何由y =sinx 经过变换得出 R x x y ∈++=,2)42sin(21π 函数的图象:四、反馈检测 1判断正误①y ＝A sin ωx 的最大值是A ，最小值是－A ． ( )②y ＝A sin ωx 的周期是ωπ2 ( )③y ＝－3sin4x 的振幅是3，最大值为3，最小值是－3 ( ) 2下列变换中，正确的是（）A 将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象B 将y ＝sin2x 图象上的横坐标变为原来的21倍(纵坐标不变)即可得到y ＝sin x 的图象 C 将y ＝－sin2x 图象上的横坐标变为原来的21倍,纵坐标变为原来的相反数,即得到y ＝sin x 的图象D 将y ＝－3sin2x 图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的31倍，且变为相反数，即得到y ＝sin x 的图象3．最大值为12，周期为23π，初相是6π的函数表达式可能是（） A ．1sin()236x y π=+ B 2sin()26x y π=- C 1sin(3)26y x π=+ D 1sin(3)26y x π=- 4．得到sin(3)4y x π=-的图象，只要将sin3y x =的图象（） A ．向左平移4π个单位 B 向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D 向右平移12π个单位 5 函数y ＝sin （－2x ）的单调减区间是( ) Z ∈++∈++k k k k k k ],243,22B.[],223,22[A.ππππππππZ Z ∈++∈++k k k k k k ],4,4D.[-],23,2[C.ππππππππZ6..作出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（要求用直尺和铅笔规范作图）（1）y =23sinx （2）y =sin 3x （3）y =2sin 31x7. 将y =32sin 2x 的图象向平移个单位，可得y =32sin 2x 2-的图象，所得函数周期为值域为8. 将y =sinx 图象上各点的纵坐标变为原来的 ___且将各点的横坐标变为原来的 ______可得y =3sin 31x 的图象. 9用图象变换的方法在同一坐标系内由y ＝sin x 的图象画出函数y ＝21sin(3x-5π)的图象10. 已知y =a sinx +b 的最大值为23，最小值为21-，求a ，b 的值五、盘点归纳。

高中数学第一章三角函数 1.5.2 正弦函数的性质学案(含解析)北师大版必修4-北师大版高二必修

5．2 正弦函数的性质知识点正弦函数的图像和性质[填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2kπ，2kπ＋π2)(k∈Z)构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如y＝A sin(ωx＋φ)＋k，ω>0的函数，可把ωx＋φ视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，直接写出ωx＋φ的单调区间，再解关于x的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如sin(ωx＋φ)≥a(ω>0)或sin(ωx＋φ)<a(ω>0)的正弦函数不等式，可把ωx＋φ视为一个整体，借助y＝sin x，x∈R的图像和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2kπ，k∈Z，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x的不等式，便可求出x的解．1．对周期函数定义的五点说明 (1)T 是非零常数．(2)任意x ∈D ，都有x ＋T ∈D ，T ≠0，所以周期函数的定义域一定是无界的． (3)任取x ∈D ，就是取遍D 中的每一个x ，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个x 都满足f (x ＋T )＝f (x )成立才行．若只有个别x 满足f (x ＋T )＝f (x )，不能把T 看作周期，如sin(π4＋π2)＝sin π4，但sin(π3＋π2)≠sin π3，所以π2不是y ＝sin x 的周期． (4)周期也可递推，若T 是y ＝f (x )的周期，那么2T 也是y ＝f (x )的周期．这是因为f (2T ＋x )＝f [T ＋(T ＋x )]＝f (T ＋x )＝f (x )，所以若T 是y ＝f (x )的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x )的周期．(5)并不是所有的函数都是周期函数． 2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin 2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x .(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝C ，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.类型一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.【思路探究】 (1)满足2sin x ＋1≥0的x 的取值集合，即满足sin x ≥－12的x 的取值集合．(2)可转化为解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，先将满足两个不等式的x 的范围解出，再借助数轴求交集．【解】 (1)由题意可知2sin x ＋1≥0，故sin x ≥－12.因为在一个周期⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上符合条件的角的范围为⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以该函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z )． (2)根据函数关系式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，∴{2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，－5≤x ≤5.如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．规律方法正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．求函数y ＝2sin x ＋3的定义域．解析：要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32. 如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z .类型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域．(1)y ＝3－3sin x ；(2)y ＝－|sin x|+sin x ；(3)y ＝sin 2x －2sin x ＋1. 【思路探究】充分利用sin x 的有界性及二次函数区间最值求解．【解】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－3≤－3sin x ≤3，∴0≤－3sin x ＋3≤6，∴y ∈[0,6]． (2)当sin x ≥0时，y ＝0，当sin x <0时，y ＝2sin x ， ∴y ∈[－2,0)，∴函数的值域为[－2,0]． (3)y ＝(sin x －1)2，∵sin x ∈[－1,1]，∴sin x －1∈[－2,0]， ∴(sin x －1)2∈[0,4]，∴y ∈[0,4]．规律方法函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 型函数可以通过换元，令t ＝sin x 化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过程中一定要注意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数求最值问题．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，5π6]的值域．解：令t ＝sin x ，因为x ∈[π6，5π6]，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，t ∈[12，1]，且该函数在[12，1]上单调递增．∴f (x )的最小值为f (12)＝1，最大值为f (1)＝72.∴f (x )的值域为[1，72]．类型三求函数的单调区间【例3】求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．【思路探究】设u ＝sin x ，先由sin x >0得出x 的范围，再利用y ＝log 12u 的单调性求解．【解】由sin x >0得2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，∵12<1，∴函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间即为u ＝sin x 的单调递减区间． ∴2k π＋π2≤x <2k π＋π，k ∈Z ，故函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间为：[2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .规律方法求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间．解：∵y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间就是函数u ＝2sin(x －π4)的单调递减区间．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋34π≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间为：[2k π＋34π，2k π＋7π4](k ∈Z )．类型四判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.【思路探究】首先判断所给函数的定义域是否关于原点对称，其次用定义直接判断函数的奇偶性．【解】 (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R .又f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，所以f (x )＝0，x ∈{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，定义域不关于原点对称．所以函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．规律方法判断函数的奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．判断函数f (x )＝x sin(π＋x )的奇偶性．解：∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ，∴f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x .即f (－x )＝f (x )，又f (x )的定义域为R ， ∴f (x )为偶函数．类型五利用正弦函数的单调性比较大小【例5】比较下列各组数的大小． (1)sin π4和sin 2π3；(2)sin(－π18)和sin(－π10)；(3)sin 215π和sin 42π5；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．【解】 (1)sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3.∵0<π4<π3<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.(2)∵－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在区间[－π2，0]上单调递增，∴sin(－π18)>sin(－π10)．(3)sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin42π5＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5. ∵0<π5<2π5<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π5<sin 2π5，即sin 215π<sin 425π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.规律方法比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较．比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1)sin250°与sin260°； (2)sin(－54π7)与sin(－63π8)．解：(1)∵sin250°＝sin 25π18，sin260°＝sin 26π18，y ＝sin x 在(π，3π2)上为减函数，∴sin25π18>sin 26π18，即sin250°>sin260°. (2)sin(－54π7)＝sin(－8π＋2π7)＝sin 2π7，sin(－63π8)＝sin(－8π＋π8)＝sin π8，∵π2>2π7>π8>0，∴sin 2π7>sin π8，即sin(－54π7)>sin(－63π8).——易错警示—— 忽略y ＝sin x 的有界性导致错误【例6】已知sin x ＋sin y ＝13，求sin y －cos 2x 的最大值．【错解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x ，∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112.∵－1≤sin x ≤1，∴当且仅当sin x ＝－1时，sin y －cos 2x 取得最大值43.【正解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .又－1≤sin y ≤1，∴－1≤13－sin x ≤1，又－1≤sin x ≤1，∴－23≤sin x ≤1.∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∴当且仅当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取得最大值49.【错解分析】求三角函数值时，许多三角函数式本身隐含了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．求函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，t ∈[－1,1]，∴t ＝－12，即sin x＝－12，x ＝2k π－π6或2k π－56π(k ∈Z )时，y min ＝－54，当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1.∴原函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1.一、选择题1．函数y ＝2－sin x 的最大值及相应的x 的值为( C )A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z ) D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z ) 解析：当sin x ＝－1时，y 有最大值3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )． 2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( B )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )D ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )解析：y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同．3．下列函数是偶函数的是( D )A ．y ＝sin xB ．y ＝－2sin xC ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x |解析：选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数，对选项D ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，故为偶函数．二、填空题4．函数y ＝1sin x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．解析：要使函数有意义，则须sin x ≠0，所以x ≠k π，k ∈Z .即定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．5．函数y ＝1－2sin x 取最大值时，自变量x 的值组成的集合是{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }．解析：当函数y ＝1－2sin x 取最大值时，sin x ＝－1，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题6．求下列函数的定义域和值域：(1)y＝2＋sin x；(2)y＝－3sin x.解：(1)根据正弦函数y＝sin x的定义域为R，值域为[－1，1]，得所求函数的定义域为R，值域为[1,3]．(2)要使函数y＝－3sin x有意义，必须使－3sin x≥0，即sin x≤0，解得2kπ－π≤x≤2kπ，k∈Z.∵0≤－3sin x≤3，∴0≤y≤ 3.故所求函数的定义域为[2kπ－π，2kπ]，k∈Z；值域为[0，3]．。

北师大版数学高一学案 1.5.2 正弦函数的性质

1.5.2正弦函数的性质[学习目标] 1.理解并掌握正弦函数的定义域、值域、周期性、最大(小)值、单调性、奇偶性.2.能熟练运用正弦函数的性质解一些简单问题.知识点一正弦函数的性质函数正弦函数y＝sin x，x∈R图像定义域值域[－1,1]最值当__________(k∈Z)时，y max＝1；当____________(k∈Z)时，y max＝－1周期性是周期函数，周期为__________________，2π是它的最小正周期奇偶性奇函数，图像关于________对称单调性在__________________(k∈Z)上是增函数；在__________________(k∈Z)上是减函数对称轴______________________，k∈Z 对称中心__________，k∈Z思考函数y＝sin x，x∈[－π6，5π6]的值域是[－12，12]吗？题型一与正弦函数有关的值域问题例1求下列函数的值域.(1)y ＝sin(2x －π3)，x ∈[0，π2]； (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2.反思与感悟求关于三角函数值域常用方法有：(1)利用有界性；(2)配方法；(3)换元法.必要时还应分类讨论.跟踪训练1 求下列函数的值域.(1)y ＝2sin(2x ＋π3)，x ∈[－π6，π6]； (2)y ＝sin x －2sin x －1.题型二利用正弦函数的单调性比较大小例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小.(1)sin 196°与cos 156°；(2)sin 1，sin 2，sin 3.反思与感悟用正弦函数的单调性来比较大小时，应先将异名化同名，再将不是同一单调区间的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.跟踪训练2 比较下列各组数的大小.(1)cos 870°，cos 890°；(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π，sin 493π.题型三求正弦型复合函数的单调区间例3 求函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4，x ∈[－4π，4π]的单调减区间.反思与感悟确定正弦函数单调区间的基本思想是整体换元思想.若x 的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.跟踪训练3 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间.题型四正弦函数的奇偶性例4 判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π2； (2)f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )；(3)f (x )＝1＋sin x －cos 2x 1＋sin x.反思与感悟判断函数奇偶性，要先判断函数的定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的前提条件，然后再判断f (－x )与f (x )之间的关系.跟踪训练4 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫32π＋2x ＋x 2sin x ；(2)f (x )＝1－2sin x ＋2sin x －1.例5 求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递减区间. 错解设v ＝－12x ＋π3. ∵y ＝sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋32π， k ∈Z .∴2k π＋π2≤－12x ＋π3≤2k π＋32π，k ∈Z ，∴－4k π－73π≤x ≤－4k π－π3，k ∈Z ， ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－4k π－73π，－4k π－π3， k ∈Z .错因分析在求单调区间时忽视了括号内x 系数中的负号，错将－12x ＋π3代入正弦函数减区间，正确解法应先将x 的系数利用诱导公式化为正数后，再代入相应单调区间求解.正解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 设v ＝12x －π3， ∵y ＝－sin v 的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2k π－π2，2k π＋π2， k ∈Z ，∴2k π－π2≤12x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴4k π－π3≤x ≤4k π＋53π，k ∈Z . ∴函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤4k π－π3，4k π＋53π，k ∈Z . 点评对于正弦函数的单调性问题，应该建立模型意识.一律先研究括号内x 系数是正数的情况，对于x 系数是负数的，先转化成x 系数为正数的情况.跟踪训练5 求y ＝sin(π6－x )的单调递减区间.1.函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的一个递减区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B.[－π，0] C.⎣⎡⎦⎤－23π，23π D.⎣⎡⎦⎤π2，23π2.下列函数中是奇函数的是( )A.y ＝－|sin x |B.y ＝sin(－|x |)C.y ＝sin |x |D.y ＝x sin |x |3.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )A.2－ 3B.0C.－1D.－1－34.求函数y ＝3－2sin 12x 的最值及取到最值时的自变量x 的集合.5.求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域.1.判断函数的奇偶性应坚持“定义域优先”原则，即先求定义域，看它是否关于原点对称.2.比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断.3.求正弦型复合函数的单调区间时，若括号内x的系数为正数时，直接代入函数y＝sin x相应的单调区间求解即可；若系数为负数时，利用诱导公式把x的系数化为正数后再代入相反的单调区间求解，有时还要注意函数定义域的影响.答案精析知识梳理知识点一R x ＝π2＋2k π x ＝－π2＋2k π 2k π(k ∈Z ，k ≠0) 原点 [－π2＋2k π，π2＋2k π] [π2＋2k π，3π2＋2k π] x ＝π2＋k π (k π，0) 思考不是，值域应为[－12，1]，其原因在于函数的最大值并非在x ＝5π6处取得，实际上x ＝π2时，y max ＝1.因此在确定正弦函数值域时，要特别注意其定义域，并结合图像考察函数图像是否越过正弦曲线的波峰和波谷．题型探究例1 解 (1)∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π，－π3≤2x －π3≤2π3，令2x －π3＝t ，则原式转化为y ＝sin t ，t ∈[－π3，2π3]．由y ＝sin t 的图像知－32≤y ≤1， ∴原函数的值域为[－32，1]． (2)y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2＝－2(sin x －54)2＋98. ∵－1≤sin x ≤1，∴y min ＝－2×(－1)2＋5×(－1)－2＝－9，y max ＝－2×12＋5×1－2＝1.故函数y ＝－2sin 2x ＋5sin x －2的值域是[－9,1]．跟踪训练1 解 (1)∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π3. ∴0≤sin(2x ＋π3)≤1，∴0≤2sin(2x ＋π3)≤2， ∴0≤y ≤2.∴函数的值域为[0,2]．(2)由y ＝sin x －2sin x －1，得sin x ＝y －2y －1.又∵sin x ∈[－1,1)，∴y －2y －1∈[－1,1)，即⎩⎪⎨⎪⎧ y －2y －1≥－1，y －2y －1＜1，解得⎩⎪⎨⎪⎧y ≥32或y ＜1，y ＞1， ∴y ≥32.∴函数的值域为[32，＋∞)．例2 解 (1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°， cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°， ∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°.从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.(2)∵1<π2<2<3<π，sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. 0<π－3<1<π－2<π2且y ＝sin x 在⎝⎛⎭⎫0，π2上递增， ∴sin(π－3)<sin 1<sin(π－2)，即sin 3<sin 1<sin 2. 跟踪训练2 解 (1)cos 870°＝cos(2×360°＋150°) ＝cos 150°＝－sin 60°，cos 890°＝cos(2×360°＋170°)＝cos 170°＝－sin 80°， ∵sin 60°<sin 80°，∴－sin 60°>－sin 80°，即cos 870°>cos 890°.(2)sin ⎝⎛⎭⎫－376π＝sin ⎝⎛⎭⎫－6π－π6 ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π6， sin 493π＝sin ⎝⎛⎭⎫16π＋π3＝sin π3， ∵正弦函数y ＝sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝⎛⎭⎫－π6<sin π3，即sin ⎝⎛⎭⎫－376π<sin 493π.例3 解 y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π4＋1.由2k π－π2≤12x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得4k π－π2≤x ≤4k π＋32π(k ∈Z )．令k ＝0时，－π2 ≤x ≤32π；令k ＝－1时，－4π－π2≤x ≤－52π；令k ＝1时，72π≤x ≤4π＋32π.∵－4π≤x ≤4π， ∴函数y ＝1＋sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调减区间为⎣⎡⎦⎤－4π，－52π，⎣⎡⎦⎤－π2，32π，⎣⎡⎦⎤72π，4π. 跟踪训练3 解 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3＝－sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3. 令2k π＋π2≤12x －π3≤2k π＋32π，k ∈Z . ∴4k π＋53π≤x ≤4k π＋113π，k ∈Z . ∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的单调递减区间是⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z ，即函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π3的单调递增区间是 ⎣⎡⎦⎤4k π＋53π，4k π＋113π，k ∈Z . 例4 解 (1)显然x ∈R ，f (x )＝cos 12x ， f (－x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－12x ＝cos 12x ＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x >01＋sin x >0，得－1<sin x <1. 解得定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . ∴f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (x )＝lg(1－sin x )－lg(1＋sin x )∴f (－x )＝lg [1－sin(－x )]－lg [1＋sin(－x )]＝lg(1＋sin x )－lg(1－sin x )＝－f (x )．∴f (x )为奇函数．(3)∵1＋sin x ≠0，∴sin x ≠－1，∴x ∈R 且x ≠2k π－π2，k ∈Z. ∵定义域不关于原点对称，∴该函数是非奇非偶函数．跟踪训练4 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋x 2sin x ，又∵x ∈R ，f (－x )＝sin(－2x )＋(－x )2sin(－x )＝－sin 2x －x 2sin x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧ 1－2sin x ≥02sin x －1≥0，得sin x ＝12. ∴函数f (x )的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2k π＋π6或x ＝2k π＋56π，k ∈Z . ∵f (x )的定义域不关于原点对称．∴f (x )是非奇非偶函数．跟踪训练5 解 y ＝sin(π6－x ) ＝－sin(x －π6)，令z ＝x －π6，则y ＝－sin z ，要求y ＝－sin z 的递减区间，只需求sin z 的递增区间，即2k π－π2≤z ≤2k π＋π2，k ∈Z ， ∴2k π－π2≤x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，∴2k π－π3≤x ≤2k π＋23π，k ∈Z . 故函数y ＝sin(π6－x )的单调递减区间为[2k π－π3，2k π＋23π]，k ∈Z . 当堂检测1．D 2.D 3.A4．解 ∵－1≤sin 12 x ≤1，∴当sin 12x ＝－1，12x ＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝4k π－π，k ∈Z ，y max ＝5，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π－π，k ∈Z }；当sin 12x ＝1，12x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝4k π＋π，k ∈Z 时，y min ＝1，此时自变量x 的集合为{x |x ＝4k π＋π，k ∈Z }．5．解设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)，g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2，开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内， g (t )在[－1,1]上是单调递减的，g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]．。

1.5.2正弦函数的性质导学案

正弦函数的性质使用说明：1.用15分钟左右的时间，阅读课本第26~28页的基础知识，自主高效预习，提升自己的阅读理解能力；2.完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成教材助读设问及自测练习。

3.通过阅读教材，自主学习、思考、交流、讨论和概括，从而更好地完成本节课的学习目标【学习目标】：（1）结合图像，深入理解正弦函数的各个性质；（2）通过对正弦函数的各个性质及图像的学习，利用类比的思想学习余弦函数的性质。

【重点和难点】重点：正弦函数的主要性质（包括周期性、单调性、奇偶性、最值或值域）；深入研究函数性质的思想方法。

难点：正弦函数性质的理解及灵活应用，特别是单调性的理解。

预习案一、知识链接:1.从单位圆能看出正弦函数y=sinx有那些性质？2.利用五点法画正弦函数图像时，起关键作用的点是那五个？3.什么是正弦曲线？并画出它的图像。

二．教材助读画出正弦函数y=sinx 的图像：依据图像回答问题：（1）定义域：（2）值域：（3）最值以及取得最值时对应x的值（4）周期性：（5）单调性：（6）奇偶性：三．预习自测：1.正弦函数在整个定义域内是增函数吗？为什么?2.利用五点法画出函数y=sinx-1的简图，并根据图像讨论它的性质。

3.函数y=2+sinx 在区间-----------------------------上是增加的，在区间-----------------------------上是减少的；当x=-----------------时，y取最大值为--------，；当x=-----------------时，y取最小值为--------。

4..函数y=4sinx 当x∈[ -π，π] 时，在区间----------------------上是增加的，在区间-----------------------------上是减少的；当x=-----------------时，y取最大值为--------，；当x=-----------------时，y取最小值为--------。

数学北师大版必修4课堂导学：1.5正弦函数含解析精品

课堂导学三点剖析1.正弦函数的定义及诱导公式【例1】 sin （-2 010°）的值是（） A.-21 B.23 C.21 D.23- 解析:∵-2 010°=-6×360°+150°， ∴-2 010°的终边与150°角的终边相同. ∴sin （-2 010°）=sin150°=sin （180°-30°） =sin30°=21. 答案：C 友情提示求解任意角的三角函数值时，应先将该任意角化负为正，化大为小（在0°—360°内），再利用诱导公式求值. 各个击破类题演练 1求下列各式的符号：（1）sin(4π-)；(2)sin311π. 解：(1)∵4π-是第四象限角，∴sin(4π-)＜0.(2)∵sin(311π)=sin(2π+35π),而35π是第四象限角， ∴sin311π＜0 变式提升 1已知x ∈［0，6π］，且sinx=2m+1，则m 的取值范围是_____________. 解析:由于0≤x≤6π，且y=sinx 在［0，6π］上为增函数，∴sin0≤sinx≤sin 6π，即0≤sinx≤21.∴0≤2m+1≤21，从而-21≤m≤-41.答案：［-21，-41］2.正弦函数性质的综合应用【例2】判断函数f(x)=lg(sinx+x 2sin 1+)的奇偶性.思路分析:判断函数的奇偶性，主要依据定义，要注意一下两个要点：（1）定义域是否关于原点对称；（2）是否满足f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x). 解:显然f(x)的定义域为R .f(-x)=lg ［sin(-x)+)(sin 12x -+］=lg(-sinx+x 2sin 1+) =lg(xx 2sin 1sin 1++)=-lg(sinx+x 2sin 1+)=-f(x)，∴f(x)为奇函数. 友情提示有些同学容易被函数解析式的复杂性所迷惑，当函数的式子较复杂时，我们可以用变形f(-x)+f(x)=0，则f(x)为奇函数；f(-x)-f(x)=0，则f(x)为偶函数. 类题演练 2求函数y=1sin 2+x 的定义域.解析：由题意知，需2sinx+1≥0,也即需sinx≥21-,① 在一周期［-2π,23π］上符合①的角为［67,6ππ-］,由此可得函数定义域为［2kπ-6π,2kπ+67π］(k ∈Z ). 变式提升 2(2005上海高考) 函数f(x)=sinx+2|sinx|,x ∈［0,2π］的图象与直线y=k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_______.解析：f(x)=⎩⎨⎧∈-∈-]2,(,sin ],,0[,sin 3πππx x x x由图象知1＜k ＜3. 答案：1＜k ＜3 3.正弦函数的图象【例3】作出函数y=-sinx(0≤x≤2π)的图象.解析:利用“五点法”作图，关键是找出五个关键点，所以，最好利用列表整理数据，使问题既清晰又准确.（2）描点作图友情提示由于正弦曲线直观地表现了正弦函数的各种性态，因此要熟悉图象，理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y=sinx 的图象在一个最小正周期内的最高点、最低点和与x 轴的交点.一般地，观察y=sinx 的一个周期，常常是［0，2π］或［-2π，23π］.类题演练 3用“五点法”画函数y=-1+sinx,x ∈［0,2π］的简图.（2）利用正弦函数的性质描点画图变式提升 3对于函数y=|sinx|，作出它的图象，写出它的定义域、值域、单调递增区间，并判断其奇偶性、周期性.解析：y=|sinx|的图象为： y=|sinx|的定义域是R ，值域为［0，1］，单调递增区间：［kπ,kπ+2π］,k ∈Z ,它是偶函数，其周期为π.。

高中数学北师大版必修4学案：1.5 正弦函数的图像与性质 Word版含解析汇总

§5 正弦函数的图像与性质 5.1 正弦函数的图像 5.2 正弦函数的性质1．了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法．(重点)2．掌握“五点法”画正弦曲线的方法和步骤，能用“五点法”作出简单的正弦曲线．(难点)3．能用正弦函数的图像理解和记忆正弦函数的性质．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 “五点法”作正弦函数的图像阅读教材P 25～P 27“例1”以上部分，完成下列问题．在函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像上，起着关键作用的有五个关键点：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．描出这五个点后，函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图像就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线顺次将它们连接起来，就得到这个函数的简图．我们称这种画正弦函数曲线的方法为“五点法”．如图1－5－1.图1－5－1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝sin x 在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，只是位置不同．( ) (2)函数y ＝sin x 的图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间．( ) (3)函数y ＝sin x 的图像关于x 轴对称．( ) (4)函数y ＝sin x 的图像与y 轴只有一个交点．( )【解析】由函数y ＝sin x 的图像可知，y ＝sin x 的图像不关于x 轴对称，与y 轴只有一个交点，且图像介于直线y ＝－1和y ＝1之间，在[0,2π]和[4π，6π]上的图像形状相同，而位置不同．【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 教材整理2 正弦函数的性质阅读教材P 28～P 29“例2”以上部分，完成下列问题．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦函数y ＝sin x 的定义域为R .( )(2)正弦函数y ＝sin x 是单调增函数．( ) (3)正弦函数y ＝sin x 是周期函数．( )(4)正弦函数y ＝sin x 的最大值为1，最小值是－1.( )【解析】由正弦函数性质知，(1)(3)(4)均正确，对于(2)，正弦函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )上是单调增函数，在R 上不具有单调性．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________________ 解惑：___________________________________________________________[小组合作型]【精彩点拨】借助于五点作图法按下列次序完成：【自主解答】 (1)列表，如下表所示：(2)描点，连线，如图所示：1．解答本题的关键是要抓住五个关键点．使函数中x 取0，π2，π，3π2，2π，然后相应求出y 值，再作出图像．2．五点法作图是画三角函数的简图的常用方法，作图过程中要注重整体代换思想的运用，特别是在取值、描点上，这五点主要指函数的零点及最大值、最小值点，连线要保持平滑，注意凸凹方向．[再练一题]1．作出函数y ＝－1＋2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．【解】按五个关键点列表：(1)y ＝1－2sin 2 x ； (2)y ＝log 21sin x －1.【精彩点拨】先根据条件，求出sin x 的取值范围，再借助于单位圆或正弦线或正弦函数的图像解决．【自主解答】 (1)为使函数有意义，需满足1－2sin 2x ≥0，即sin 2 x ≤12，解得－22≤sin x ≤22，结合单位圆可知，－π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π或3π4＋2k π≤x ≤5π4＋2k π(k ∈Z )． ∴原函数的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4＋2k π，π4＋2k π∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4＋2k π，5π4＋2k π(k ∈Z )． (2)为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0.正弦函数和单位圆如图所示：∴定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π<x ≤2k π＋π6，k ∈Z ∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z.1．求函数的定义域通常是解不等式组，利用“数形结合”，借助于数轴画线求交集的方法进行．在求解三角函数，特别是综合性较强的三角函数的定义域时，我们同样可以利用“数形结合”，在单位圆中画三角函数线，求表示各三角不等式解集的扇形区域的交集来完成．2．求三角函数的定义域要注意三角函数本身的特征和性质，如在转化为不等式或不等式组后，要注意三角函数的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，要注意三角函数的每一步变形都要保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．[再练一题]2．求函数y ＝ 2 sin x ＋3的定义域.【导学号：66470014】【解】要使函数有意义，只需2 sin x ＋3≥0.即sin x ≥－32，如图所示，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3(k ∈Z )．求下列函数的周期，并判断其奇偶性．(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )；(2)y ＝|sin x |(x ∈R )．【精彩点拨】 (1)利用代换z ＝2x ＋π3，将求原来函数的周期转化为求y ＝sin z 的周期求解，或利用公式求解．(2)作出函数图像观察求解．【自主解答】 (1)法一：令z ＝2x ＋π3，∵x ∈R ，∴z ∈R ，函数y ＝sin z 的最小正周期是2π，就是说变量z 只要且至少要增加到z ＋2π，函数y ＝sin z (z ∈R )的值才能重复取得，而z ＋2π＝2x ＋π3＋2π＝2(x ＋π)＋π3，所以自变量x 只要且至少要增加到x ＋π，函数值才能重复取得，从而函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )的周期是π.法二：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3中，ω＝2， ∴T ＝2π|2|＝π.又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3≠－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3是非奇非偶函数．(2)作出y ＝|sin x |的图像如图：由图像可知，y ＝|sin x |的周期为π.其图像关于y 轴对称，∴y ＝|sin x |是偶函数．1．利用周期函数的定义求三角函数的周期，关键是抓住变量“x ”增加到“x＋T ”，函数值重复出现，T 是函数的一个周期这一理论依据．2．常见三角函数周期的求法(1)对于形如函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，ω≠0的周期求法，通常用定义T ＝2π|ω|来求解；(2)对于形如y ＝|A sin ωx |的周期情况，常结合图像法来解决．[再练一题]3．求下列函数的周期，并判断其奇偶性． (1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6；(2)f (x )＝|sin 2x |.【解】 (1)在f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6中，∵ω＝12，∴T ＝2π12＝4π.又f (－x )≠－f (x )，且f (－x )≠f (x )， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6是非奇非偶函数．(2)作出f (x )＝|sin 2x |的图像如图：由图知，y ＝|sin 2x |的周期为π2，又其图像关于y 轴对称，因而是偶函数．(1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4；②sin 1，sin 2，sin 3，sin 4(由大到小排列)．(2)求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间．【精彩点拨】 (1)将所给角通过诱导公式化到同一单调区间内，然后利用y ＝sin x 的单调性比较大小．(2)将⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 视为z ，利用y ＝sin z 的单调性求解．【自主解答】 (1)①sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5＝－sin 2π5， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4＝－sin π4，sin 2π5>sin π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π5<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π4.②因为sin 2＝sin(π－2)，sin 3＝sin(π－3)，且0<π－3<π－2<π2.函数y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增加的，所以sin(π－2)>sin 1>sin(π－3)>0，即sin2>sin 1>sin 3>sin 4.(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6. 由2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得 2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π，k ∈Z .所以原函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋23π，2k π＋53π，k ∈Z .1．比较sin α与sin β的大小时，可利用诱导公式，把sin α与sin β转化为同一单调区间上的正弦值，再借助于正弦函数的单调性来进行比较．2．比较sin α与cos β的大小，常把cos β转化为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2±β后，再依据单调性进行比较．3．当不能将两角转到同一单调区间上时，还可以借助于图像或值的符号比较．4．在求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx ＋φ”看作一个整体“z ”，即通过求y ＝A sin z 的单调区间求原函数的单调区间．[再练一题]4．比较sin 215π与sin 42π5的大小．【解】 ∵sin 21π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋π5＝sin π5，sin 42π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π＋2π5＝sin 2π5.∵0<π5<2π5<π2.又y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增．∴sin π5<sin 2π5，即sin 21π5<sin 42π5.[探究共研型]探究1 【提示】求解函数值域时首先应看函数的定义域，在函数定义域内来求值域．探究2 对于y ＝A sin 2x ＋B sin x ＋C 型的函数怎样求值域？【提示】利用换元法转化为二次函数求最值．求下列函数的值域． (1)y ＝3－2 sin x ； (2)y ＝－sin 2x ＋3sin x ＋54.【精彩点拨】 (1)利用|sin x |≤1即可求解． (2)配方求解，要注意|sin x |≤1这一情况．【自主解答】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－1≤－sin x ≤1， 1≤3－2 sin x ≤5，∴函数y ＝3－2 sin x 的值域为[1,5]．(2)令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，y ＝－t 2＋3t ＋54＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋2， ∴当t ＝32时，y max ＝2.此时sin x ＝32，即x ＝2k π＋π3或x ＝2k π＋2π3，k ∈Z .当t ＝－1时，y min ＝14－ 3.此时sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .∴函数y ＝－sin 2x ＋ 3 sin x ＋54的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14－3，2.此类求复合函数最大值、最小值问题关键在于依据函数值的计算过程，把原函数转化为两个基本初等函数的最大(小)值问题．解答过程要特别注意：内函数(本例中t ＝sin x )的值域恰好是外函数⎝ ⎛⎭⎪⎫本例中y ＝－t 2＋3t ＋54的定义域．[再练一题]5．求函数y ＝sin 2x －4 sin x －1的值域．【解】 y ＝sin 2x －4 sin x －1＝(sin x －2)2－5.由－1≤sin x ≤1，得当sin x ＝－1时函数的最大值为4，当sin x ＝1时，函数的最小值为－4，所以函数的值域为[－4,4] .[构建·体系]1．正弦函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像上的一条对称轴是( )【导学号：66470015】A ．y 轴B ．x 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π【解析】结合函数y ＝sin x ，x ∈R 的图像可知直线x ＝π2是函数的一条对称轴．【答案】 C2．函数f (x )＝3＋sin x 的最小正周期是( )A ．π2B ．πC ．3π2D ．2π【解析】由3＋sin(2π＋x )＝3＋sin x 知f (x )的最小正周期为2π.【答案】 D3．f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值为________．【解析】 f (x )＝－2 sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减少的，所以f (x )max ＝－2·sin π4＝－ 2. 【答案】－ 24．函数f (x )＝sin 2x ＋1的奇偶性是________．【解析】 f (－x )＝[sin(－x )]2＋1＝sin 2x ＋1＝f (x )，所以f (x )为偶函数．【答案】偶函数5．比较下列各组数的大小．(1)sin 2 016°和cos 160°；(2)sin 74和cos 53.【解】 (1)sin 2 016°＝sin(360°×5＋216°)＝sin 216°＝sin(180°＋36°)＝－sin 36°，cos 160°＝cos(180°－20°)＝－cos 20°＝－sin 70°.∵sin 36°<sin 70°，∴－sin 36°>－sin 70°，即sin 2 016°>cos 160°.(2)cos 53＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53，又π2<34<π2＋53<3π2，y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π2上是减少的， ∴sin 74>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋53＝cos 53，即sin 74>cos 53.我还有这些不足：(1)______________________________________________________________(2)______________________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)______________________________________________________________ (2)______________________________________________________________。

正弦函数优秀教案

正弦函数优秀教案
正弦函数优秀教案
引言
本教案旨在介绍正弦函数的基本概念和性质，帮助学生理解和掌握正弦函数的图像、特点和应用。

通过本课的研究，学生将能够在实际问题中运用正弦函数解决相关计算和建模问题。

教学目标
- 了解正弦函数的定义和性质
- 能够绘制正弦函数的图像，并理解图像的特点
- 掌握正弦函数的周期、振幅和相位差的概念与计算
- 能够应用正弦函数解决简单实际问题
教学内容和步骤
第一步：引入正弦函数的概念（10分钟）
- 通过引导学生观察周期性现象，引出正弦函数的概念和定义- 解释正弦函数的定义和表示方式
第二步：绘制正弦函数的图像（20分钟）
- 讲解正弦函数的图像特点：周期性、振幅和相位差
- 在白板上绘制正弦函数的图像，并解释每个参数的含义
- 引导学生观察不同参数取值对图像的影响，帮助他们理解图像的变化规律
第三步：探究正弦函数的相关概念（15分钟）
- 通过实例和练，帮助学生熟悉正弦函数的周期、振幅和相位差的计算方法
- 引导学生思考正弦函数的特殊取值情况，如最大值、最小值等
第四步：应用正弦函数解决实际问题（15分钟）
- 提供一些实际问题，让学生运用正弦函数解决相关计算和建模问题
- 引导学生分析问题、建立函数模型，并求解问题
教学评价
本课程将通过以下方式评价学生的研究情况：
- 课堂参与：观察学生在课堂上的积极参与程度和提问质量
- 练表现：评估学生在练中的理解和应用能力
- 问题解决：评估学生在应用正弦函数解决实际问题时的表现和解决思路
参考资料
- 高中数学教材
- 正弦函数相关的在线资源和练习题。

2021学年高中数学1.5.2正弦函数的性质学案含解析北师大版必修4.doc

5．2 正弦函数的性质知识点正弦函数的图像和性质[填一填][答一答]1．“正弦函数在第一象限为增函数”的说法正确吗？为什么？提示：不正确．事实上，“第一象限”是由所有的区间(2k π，2k π＋π2)(k ∈Z )构成的，在这样若干个区间所构成的集合的并集内，显然函数值不是随着x 值的增大而增大的．2．学习正弦函数的单调性有什么作用？提示：(1)比较三角函数值的大小．解决这类问题时，要先把所比较的三角函数值转化成同一单调区间内的角的同名三角函数值，再比较大小；也可以先转化成与锐角的三角函数值相关的形式，再比较大小．(2)求三角函数的单调区间．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k ，ω>0的函数，可把ωx ＋φ视为一个整体，按复合函数单调性的判定方法，结合正弦函数的单调性，直接写出ωx ＋φ的单调区间，再解关于x 的不等式即可．(3)借助正弦函数的图像解三角不等式．对于可化为形如sin(ωx ＋φ)≥a (ω>0)或sin(ωx ＋φ)<a (ω>0)的正弦函数不等式，可把ωx ＋φ视为一个整体，借助y ＝sin x ，x ∈R 的图像和单调性，先在长度为2π的一个周期上找出适合条件的区间，然后两边加上2k π，k ∈Z ，把它扩展到整个定义域上，最后解关于x 的不等式，便可求出x 的解．1．对周期函数定义的五点说明 (1)T 是非零常数．(2)任意x ∈D ，都有x ＋T ∈D ，T ≠0，所以周期函数的定义域一定是无界的． (3)任取x ∈D ，就是取遍D 中的每一个x ，所以周期性是函数在定义域上的整体性质．理解定义时，要抓住每一个x 都满足f (x ＋T )＝f (x )成立才行．若只有个别x 满足f (x ＋T )＝f (x )，不能把T 看作周期，如sin(π4＋π2)＝sin π4，但sin(π3＋π2)≠sin π3，所以π2不是y ＝sin x 的周期． (4)周期也可递推，若T 是y ＝f (x )的周期，那么2T 也是y ＝f (x )的周期．这是因为f (2T ＋x )＝f [T ＋(T ＋x )]＝f (T ＋x )＝f (x )，所以若T 是y ＝f (x )的周期，k ∈Z 且k ≠0，则kT 也是f (x )的周期．(5)并不是所有的函数都是周期函数． 2．对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x 要加上的那个最小正数，这个正数是对x 而言的，如y ＝sin 2x 的最小正周期是π，因为y ＝sin(2x ＋2π)＝sin 2(x ＋π)，即π是使函数值重复出现的自变量x 加上的最小正数，π是对x 而言的，而非2x .(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期，譬如，常数函数f (x )＝C ，任一个正实数都是它的周期，因而不存在最小正周期.类型一求函数的定义域【例1】求下列函数的定义域． (1)y ＝2sin x ＋1；(2)y ＝sin x ＋25－x 2.【思路探究】 (1)满足2sin x ＋1≥0的x 的取值集合，即满足sin x ≥－12的x 的取值集合．(2)可转化为解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，先将满足两个不等式的x 的范围解出，再借助数轴求交集．【解】 (1)由题意可知2sin x ＋1≥0，故sin x ≥－12.因为在一个周期⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上符合条件的角的范围为⎣⎡⎦⎤－π6，7π6，所以该函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋7π6(k ∈Z )． (2)根据函数关系式可得⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，25－x 2≥0，∴{2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，－5≤x ≤5.如图，可得该函数的定义域为[－5，－π]∪[0，π]．规律方法正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，但在求由它们与其他函数复合而成的函数的定义域时，可由关系式有意义得到关于正弦函数的三角不等式(组)．而解三角不等式(组)，可以利用基本三角函数的图像或单位圆中三角函数线．求函数y ＝2sin x ＋3的定义域．解析：要使函数有意义，只需2sin x ＋3≥0，即sin x ≥－32. 如图所示，在区间⎣⎡⎦⎤－π2，3π2上，适合条件的x 的取值范围是－π3≤x ≤4π3.所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 类型二求函数的值域【例2】求下列函数的值域．(1)y ＝3－3sin x ；(2)y ＝－|sin x|+sin x ；(3)y ＝sin 2x －2sin x ＋1. 【思路探究】充分利用sin x 的有界性及二次函数区间最值求解．【解】 (1)∵－1≤sin x ≤1， ∴－3≤－3sin x ≤3，∴0≤－3sin x ＋3≤6，∴y ∈[0,6]． (2)当sin x ≥0时，y ＝0，当sin x <0时，y ＝2sin x ， ∴y ∈[－2,0)，∴函数的值域为[－2,0]． (3)y ＝(sin x －1)2，∵sin x ∈[－1,1]，∴sin x －1∈[－2,0]， ∴(sin x －1)2∈[0,4]，∴y ∈[0,4]．规律方法函数y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 型函数可以通过换元，令t ＝sin x 化为二次函数，用配方法求其值域，但求解过程中一定要注意中间变量的取值范围，是一个有条件的二次函数求最值问题．求函数f (x )＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈[π6，5π6]的值域．解：令t ＝sin x ，因为x ∈[π6，5π6]，所以12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1.∴y ＝2t 2＋2t －12＝2(t ＋12)2－1，t ∈[12，1]，且该函数在[12，1]上单调递增．∴f (x )的最小值为f (12)＝1，最大值为f (1)＝72.∴f (x )的值域为[1，72]．类型三求函数的单调区间【例3】求函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间．【思路探究】设u ＝sin x ，先由sin x >0得出x 的范围，再利用y ＝log 12u 的单调性求解．【解】由sin x >0得2k π<x <2k π＋π，k ∈Z ，∵12<1，∴函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间即为u ＝sin x 的单调递减区间． ∴2k π＋π2≤x <2k π＋π，k ∈Z ，故函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间为：[2k π＋π2，2k π＋π)，k ∈Z .规律方法求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性．求函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间．解：∵y ＝2sin(π4－x )＝－2sin(x －π4)，∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间就是函数u ＝2sin(x －π4)的单调递减区间．∴2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )．得2k π＋34π≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )．∴函数y ＝2sin(π4－x )的单调递增区间为：[2k π＋34π，2k π＋7π4](k ∈Z )．类型四判断函数的奇偶性【例4】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)；(2)f (x )＝1－sin x ＋sin x －1.【思路探究】首先判断所给函数的定义域是否关于原点对称，其次用定义直接判断函数的奇偶性．【解】 (1)f (x )＝sin(3x 4＋3π2)＝－cos 3x4，x ∈R .又f (－x )＝－cos(－3x 4)＝－cos 3x4＝f (x )，所以函数f (x )＝sin(3x 4＋3π2)是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－sin x ≥0，sin x －1≥0，得sin x ＝1，所以f (x )＝0，x ∈{x |x ＝2k π＋π2，k ∈Z }，定义域不关于原点对称．所以函数f (x )＝1－sin x ＋sin x －1是非奇非偶函数．规律方法判断函数的奇偶性时，必须先判断其定义域是否关于原点对称，如果是，再验证f (－x )是否等于－f (x )或f (x )，进而判断函数的奇偶性；如果不是，那么该函数必为非奇非偶函数．判断函数f (x )＝x sin(π＋x )的奇偶性．解：∵f (x )＝x sin(π＋x )＝－x sin x ， ∴f (－x )＝x sin(－x )＝－x sin x .即f (－x )＝f (x )，又f (x )的定义域为R ，∴f (x )为偶函数．类型五利用正弦函数的单调性比较大小【例5】比较下列各组数的大小． (1)sin π4和sin 2π3；(2)sin(－π18)和sin(－π10)；(3)sin 215π和sin 42π5；(4)sin194°和cos160°.【思路探究】变形主要有两种：一是异名函数化为同名函数；二是利用诱导公式将角变换到同一单调区间上．【解】 (1)sin 2π3＝sin(π－π3)＝sin π3.∵0<π4<π3<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π4<sin π3，即sin π4<sin 2π3.(2)∵－π2<－π10<－π18<0，且y ＝sin x 在区间[－π2，0]上单调递增，∴sin(－π18)>sin(－π10)．(3)sin 215π＝sin(4π＋π5)＝sin π5，sin42π5＝sin(8π＋2π5)＝sin 2π5. ∵0<π5<2π5<π2，且y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，∴sin π5<sin 2π5，即sin 215π<sin 425π.(4)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°， cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.∵0°<14°<70°<90°，且y ＝sin x 在[0°，90°]上单调递增，∴sin14°<sin70°，∴－sin14°>－sin70°，即sin194°>cos160°.规律方法比较三角函数值大小的关键是利用诱导公式将三角函数式化成同名函数并将角转化到同一单调区间上，然后利用三角函数的单调性进行比较．比较下列各组中两个三角函数值的大小． (1)sin250°与sin260°；(2)sin(－54π7)与sin(－63π8)．解：(1)∵sin250°＝sin 25π18，sin260°＝sin 26π18，y ＝sin x 在(π，3π2)上为减函数，∴sin25π18>sin 26π18，即sin250°>sin260°. (2)sin(－54π7)＝sin(－8π＋2π7)＝sin 2π7，sin(－63π8)＝sin(－8π＋π8)＝sin π8，∵π2>2π7>π8>0，∴sin 2π7>sin π8，即sin(－54π7)>sin(－63π8).——易错警示—— 忽略y ＝sin x 的有界性导致错误【例6】已知sin x ＋sin y ＝13，求sin y －cos 2x 的最大值．【错解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x ，∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112.∵－1≤sin x ≤1，∴当且仅当sin x ＝－1时，sin y －cos 2x 取得最大值43.【正解】 ∵sin x ＋sin y ＝13，∴sin y ＝13－sin x .又－1≤sin y ≤1，∴－1≤13－sin x ≤1，又－1≤sin x ≤1，∴－23≤sin x ≤1.∴sin y －cos 2x ＝13－sin x －(1－sin 2x )＝sin 2x －sin x －23＝(sin x －12)2－1112，∴当且仅当sin x ＝－23时，sin y －cos 2x 取得最大值49.【错解分析】求三角函数值时，许多三角函数式本身隐含了一些条件，在解题过程中若不挖掘出来，就会出现错误．求函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域．解：令t ＝sin x ，则t ∈[－1,1]，∴y ＝t 2＋t －1＝(t ＋12)2－54，t ∈[－1,1]，∴t ＝－12，即sin x＝－12，x ＝2k π－π6或2k π－56π(k ∈Z )时，y min ＝－54，当t ＝1，即sin x ＝1，x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1.∴原函数的值域为⎣⎡⎦⎤－54，1.一、选择题1．函数y ＝2－sin x 的最大值及相应的x 的值为( C ) A ．y ＝3，x ＝π2B ．y ＝1，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )C ．y ＝3，x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )D ．y ＝3，x ＝π2＋2k π(k ∈Z )解析：当sin x ＝－1时，y 有最大值3，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．2．函数y ＝9－sin x 的单调递增区间是( B ) A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z )B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )C ．[2k π，2k π＋π](k ∈Z )D ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )解析：y ＝9－sin x 的单调递增区间与y ＝sin x 的单调递减区间相同． 3．下列函数是偶函数的是( D ) A ．y ＝sin x B ．y ＝－2sin x C ．y ＝1＋sin xD ．y ＝|sin x |解析：选项A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数，对选项D ，f (－x )＝|sin(－x )|＝|sin x |＝f (x )，故为偶函数．二、填空题4．函数y ＝1sin x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．解析：要使函数有意义，则须sin x ≠0，所以x ≠k π，k ∈Z .即定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π，k ∈Z }．5．函数y ＝1－2sin x 取最大值时，自变量x 的值组成的集合是{x |x ＝－π2＋2k π，k ∈Z }．解析：当函数y ＝1－2sin x 取最大值时，sin x ＝－1，此时x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )．三、解答题6．求下列函数的定义域和值域： (1)y ＝2＋sin x ；(2)y ＝－3sin x .解：(1)根据正弦函数y ＝sin x 的定义域为R ，值域为[－1，1]，得所求函数的定义域为R ，值域为[1,3]．(2)要使函数y ＝－3sin x 有意义，必须使－3sin x ≥0，即sin x ≤0，解得2k π－π≤x ≤2k π，k ∈Z .∵0≤－3sin x ≤3，∴0≤y ≤ 3.故所求函数的定义域为[2k π－π，2k π]，k ∈Z ；值域为[0，3]．。

北师大版数学必修四：《正弦函数的图像与性质》导学案(含解析)

第5课时正弦函数的图像与性质1.能从单位圆得出正弦函数的性质(定义域、值域、周期性,在[0,2π]上的单调性).2.理解正弦线的含义,能在单位圆中作出角α的正弦线.3.了解正弦曲线的画法,能利用五点法画出正弦函数的简图.4.会利用正弦函数的图像进一步研究和理解正弦函数的性质.如图所示,装满细沙的漏斗在做单摆运动时,沙子落在与单摆运动方向垂直的运动的木板上的曲线轨迹.问题1:如下图,设任意角α的终边与单位圆交于点P(a,b),过点P作x轴的垂线,垂足为M,我们称MP为角α的,如果b>0,把MP看作与y轴,规定此时MP具有正值b;如果b<0,把MP看作与y轴反向,规定此时MP具有负值b,当角α的终边在x轴上时,正弦线变成.问题2:作正弦函数图像的一般方法(1)描点法:列表,描点,连线.(2)几何法:几何法就是利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图像.(3)五点法:正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]中,五个关键点为、、、、.问题3:根据曲线写出正弦函数的一些性质:函数y=sin x性质定义域值域周期性是周期函数,周期为2kπ(k∈Z),最小正周期为最值当时,取得最大值1当时,取得最小值-1 单调性增区间减区间奇偶性对称性对称轴为对称中心为点问题4:《创设情境》中细沙在木板上形成的曲线是的曲线,可采用“五点法”作图画出该曲线的图像.1.y=sin x,x∈[,]的值域为().A.[-1,1]B.[,1]C.[,]D.[,1]2.若sin x=2m+3,且x∈[-,],则m的取值范围为().A.[-,]B.[-,-]C.[-,-]D.[-,]3.用“五点法”作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图像时的五个点分别是、、、、.4.观察正弦函数的图像,求满足sin x>0的x的取值范围.与正弦函数有关的函数的定义域求函数y=的定义域.与正弦函数有关的函数的值域求下列函数的值域.(1)y=(sin x-2)2+1;(2)y=m sin x+n(m≠0).正弦函数性质的运用求函数y=lo sin x的单调递增区间.求下列函数的定义域:(1)y=lg(sin x-1);(2)y=+.求f(x)=2sin2x+2sin x-,x∈[-,]的值域.求函数y=sin(-2x)的单调递增区间.1.点M(,m)在函数y=sin x的图像上,则m的值为().A.B.C.D.12.函数y=sin x的图像的一条对称轴方程可以是().A.x=-B.x=C.x=-D.x=π3.函数y=的定义域为.4.判断方程x+sin x=0的根的个数.(20XX年·江西卷)函数y=sin2x+sin x-1的值域为().A.[-1,1]B.[-,-1]C.[-,1]D.[-1,]考题变式(我来改编):第5课时正弦函数的图像与性质知识体系梳理问题1:有向线段正弦线同向一点问题2:(3)(0,0)(,1)(π,0)(,-1)(2π,0)问题3:R[-1,1]2πx=+2kπ(k∈Z)x=-+2kπ(k∈Z)[-+2kπ,+2kπ](k∈Z) [+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数x=kπ+(kπ,0)问题4:正弦型函数基础学习交流1.B当x=时,y有最大值1,当x=时,y有最小值.2.C∵x∈[-,],∴由y=sin x的图像可知y∈[-,],即-≤2m+3≤,解得-≤m≤-.故m的取值范围为[-,-].3.(0,2)(,3)(π,2)(,1)(2π,2)4.解:如图,观察正弦曲线可得{x|2kπ<x<2kπ+π,k∈Z}.重点难点探究探究一:【解析】由题意知2sin x+1≥0,即sin x≥-.在一周期[-,]内满足的角为x∈[-,π],由此可以得到函数的定义域为[2kπ-,2kπ+π](k∈Z).【小结】此题等价于求解不等式sin x≥-,注意数形结合,利用图像、正弦线可以快速、准确地得到答案.探究二:【解析】(1)设t=sin x,则有y=(t-2)2+1,t∈[-1,1],∴当t=-1时,y=(t-2)2+1取得最大值10;当t=1时,y=(t-2)2+1取得最小值2,∴y=(sin x-2)2+1的值域为[2,10].(2)∵sin x∈[-1,1],且m≠0,∴当m>0时,y=m sin x+n的值域是[n-m,n+m];当m<0时,y=m sin x+n的值域是[n+m,n-m].综上可知,函数y=m sin x+n的值域是[n-|m|,n+|m|].【小结】本题用到换元法,先设t=sin x,得出t的取值范围,从而将问题转化为我们熟悉的一、二次函数的值域问题.探究三:【解析】令u=sin x,则y=lo u,∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,故只需求u=sin x的单调递减区间即可,而u=sin x的单调递减区间为{x|2kπ+≤x≤2kπ+,k∈Z},∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+](k∈Z).[问题]sin x可以小于等于0吗?[结论]sin x不可以小于等于0,因为它是对数函数的真数,故sin x>0.于是,正确解答如下:令u=sin x,则y=lo u,∵∈(0,1),∴y=lo u是关于u的减函数,故只需求u=sin x大于0的减区间即可,而u=sin x的减区间为{x|2kπ+<x≤2kπ+π,k∈Z},∴y=lo sin x的单调递增区间为[2kπ+,2kπ+π)(k∈Z),【小结】解决此题的关键是理解并掌握对数函数和正弦函数的性质.对于复合函数的单调性问题,注意“同增异减”.同时,注意对数函数的真数大于0.思维拓展应用应用一:(1)由sin x-1>0,得sin x>.作如图正弦曲线y=sin x与直线y=,可知所求定义域为(2kπ+,2kπ+)(k∈Z).(2)由得-≤sin x<1,作如图正弦曲线y=sin x与直线y=-,可知所求定义域为[2kπ-,2kπ+)∪(2kπ+,2kπ+](k∈Z).应用二:令t=sin x,则f(t)=2(t+)2-1,又x∈[-,],∴t∈[-1,],∴f(t)max=f()=1+,f(t)min=f(-)=-1,∴f(x)=2sin2x+2sin x-的值域是[-1,1+].应用三:∵y=sin(-2x)=-sin2x,∴只需求sin2x的单调递减区间即可,即2kπ+≤2x≤2kπ+(k∈Z),即kπ+≤x≤kπ+(k∈Z),∴y=sin(-2x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+](k∈Z).基础智能检测1.B将(,m)代入y=sin x中,得m=sin=.2.C函数y=sin x图像的对称轴方程为x=kπ+(k∈Z).3.{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}由+sin x≥0得sin x≥-,由正弦函数图像得{x|2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z}.4.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x,在同一直角坐标系中画出f(x)和g(x)的图像,由图知f(x)和g(x)的图像仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根.全新视角拓展C y=sin2x+sin x-1=(sin x+)2-,∵-1≤sin x≤1,∴-≤y≤1.思维导图构建五点法(kπ,0)(k∈Z)x=kπ+(k∈Z)[-1,1][-+2kπ,+2kπ](k∈Z)[+2kπ,+2kπ](k∈Z)奇函数。

高中数学第一章三角函数 1.5 正弦函数的性质与图像导学案北师大版必修4

1.5 正弦函数的性质与图像问题导学1．正弦函数的图像活动与探究1(1)用“五点法”作y ＝2－sin x 的图像时，首先描出的五个点的纵坐标是( )． A ．0,1,0，－1,0 B ．0,2,0，－2,0 C ．2,1,2,3,2 D ．2,3,2，－3,2(2)用“五点法”作函数y ＝－1＋sin x (x ∈[0,2π])的简图．迁移与应用1．正弦函数y ＝sin x (x ∈R )的图像的一条对称轴是( )． A ．x 轴 B ．y 轴C ．直线x ＝π2D ．直线x ＝π2．用“五点法”作出y ＝2sin x ，x ∈[0,2π]的简图．作函数y ＝a sin x ＋b 的图像的步骤2．正弦函数的定义域问题活动与探究2求函数y ＝log 21sin x－1的定义域．迁移与应用求下列函数的定义域： (1)y ＝1－2sin x ； (2)y ＝log 2sin x ；(3)y ＝log 122sin x －1．含正弦函数的复合函数的定义域的求法： (1)常见的限制条件有①分式的分母不等于0；②对数的真数大于0；③二次根式的被开方数大于等于0．(2)列出含正弦函数的不等式组，化简为含sin x 的不等式，利用数形结合，在正弦曲线或单位圆中表示，然后取各部分的交集．3．正弦函数的值域、最值问题活动与探究3求下列函数的值域： (1)y ＝3－2sin 2x ；(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4．迁移与应用求函数y ＝74＋sin x －sin 2x (x ∈R )的值域．有关正弦函数的值域或最值的常见类型及求法：(1)形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的求最值或值域问题，利用正弦函数的有界性，即|sin x |≤1；(2)形如y ＝p sin 2x ＋q sin x ＋r (p ≠0)的函数求最值或值域问题，通过换元法转化为给定区间[m ，n ]上的二次函数的最值问题，必要时要分区间讨论转化成常见的“轴变区间定”或“轴定区间变”问题求解；(3)形如y ＝a sin x ＋bc sin x ＋d的函数求最值或值域问题，可化为sin x ＝f (y )的形式，通过|f (y )|≤1求解，或利用分离常数法求解．4．正弦函数的单调性及应用活动与探究4利用正弦函数的单调性，比较下列各对正弦值的大小． (1)sin 190°与sin 200°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11； (3)sin 15π8与sin 10π9．迁移与应用不通过求值，指出下列各式大于零还是小于零． (1)s in 135°－sin 144°；(2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π5－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－17π4．1．对正弦函数单调性的理解：(1)正弦函数在定义域R 上不是单调函数．(2)因为正弦函数是周期函数，周期为2π，所以研究正弦函数的单调性，只要研究一个周期内(如[0,2π])的单调性即可．2．利用单调性比较三角函数值的大小的步骤： (1)异名函数化为同名函数．(2)利用诱导公式把角化到同一单调区间上． (3)利用函数的单调性比较大小．3．求函数的单调区间时，要充分利用正弦函数的递增、递减区间．在求复合函数的单调区间时，要先求定义域，同时还要注意内层、外层函数的单调性． 5．三角函数的奇偶性问题活动与探究5判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x sin(π＋x )； (2)f (x )＝2sin x －1；(3)f (x )＝lg(sin x ＋1＋sin 2x )．迁移与应用已知f (x )＝ax ＋b sin 3x ＋1(a ，b 为常数)． (1)若g (x )＝f (x )－1，试证明g (x )为奇函数； (2)若f (5)＝7，求f (－5)．(1)判断函数奇偶性的方法特别提醒：对于正弦函数要注意诱导公式sin(－x )＝－sin x 的应用．(2)正弦函数的奇偶性问题的求解方法是：首先在所求的区间上设自变量，然后转化到已知条件上来解决．当堂检测1．函数f (x )＝1＋sin x 的最小正周期是( )． A ．π2 B ．π C ．3π2D ．2π2．函数y ＝sin x3的定义域是( )．A ．RB ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 D ．[－3,3] 3．函数y ＝sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6≤x ≤2π3的值域是( )．A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 4．函数f (x )＝sin x －x3x是( )．A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数5．令a ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18，b ＝sin 1110π，则a 与b 的大小关系是__________． 6．用五点法作出函数y ＝sin x －2在x ∈[－2π，2π]上的图像．答案：课前预习导学【预习导引】1．(2)(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1 (π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1 (2π，0) 预习交流1 略预习交流2(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2和⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 －π2 1 π2 －1(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋2k π，k ∈Z[－2,4] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2(k ∈Z )课堂合作探究【问题导学】活动与探究1 (1)C (2)略迁移与应用 1．C 2活动与探究2 解：为使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧log 21sin x －1≥0，sin x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤12，sin x >0，由正弦函数的图像(见图(1))或单位圆(见图(2))可得，如图所示．所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧x ⎪⎪⎪ 2k π<x ≤2k π＋π6或⎭⎪⎬⎪⎫2k π＋5π6≤x <2k π＋π，k ∈Z. 迁移与应用解：(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π－7π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z(2){x |2k π＜x ＜2k π＋π，k ∈Z }(3)⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫2k π＋π6<x <2k π＋5π6，k ∈Z .活动与探究3 解：(1)∵－1≤sin 2x ≤1，∴－2≤－2sin 2x ≤2.∴1≤3－2sin 2x ≤5. ∴函数的值域为[1,5]．(2)y ＝sin 2x －sin x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫sin x －122＋34.设t ＝sin x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，3π4，∴由正弦函数的图像知22≤t ≤1. 而函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋34在⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1上单调递增， ∴当t ＝22，即x ＝3π4时，y min ＝3－22，当t ＝1，即x ＝π2时，y max ＝1.∴函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤3－22，1.迁移与应用解：设sin x ＝t ，则t ∈[－1,1]． ∴y ＝－t 2＋t ＋74＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋2.∴当t ＝－1时，y min ＝－14；当t ＝12时，y max ＝2.∴所求函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2. 活动与探究4 解：(1)sin 190°＝sin(180°＋10°)＝－sin 10°， sin 200°＝sin(180°＋20°)＝－sin 20°. ∵y ＝sin x 在(0°，90°)上单调递增， ∴sin 10°＜sin 20°，从而－sin 10°＞－sin 20°， ∴sin 190°＞sin 200°.(2)∵y ＝sin x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，且－π2＜－π10＜－π11＜π2，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π11. (3)sin 15π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π8＝－sin π8，sin 10π9＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π9 ＝－sin π9，∵π2＞π8＞π9＞0， ∴sin π8＞sin π9.∴－sin π8＜－sin π9.∴sin 15π8＜sin 10π9.迁移与应用 (1)＞0 (2)＞0 (3)＜0活动与探究5 解：(1)f (x )＝－x ·sin x ，定义域为R . ∵f (－x )＝x ·sin(－x )＝－x ·sin x ＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．(2)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π6，2k π＋5π6 (k ∈Z )．定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(3)∵1＋sin 2x ＞|sin x |≥－sin x ，∴sin x ＋1＋sin 2x ＞0.∴函数的定义域为R ，关于原点对称．又f (－x )＋f (x )＝lg(－sin x ＋1＋sin 2x )＋lg(sin x ＋1＋sin 2x )＝lg[(－sin x ＋1＋sin 2x )(sin x ＋1＋sin 2x )]＝lg(1＋sin 2x －sin 2x ) ＝lg 1＝0，∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )为奇函数．迁移与应用 (1)略 (2)－5 【当堂检测】1．D 2．A 3．B 4．B 5．b ＜a 6．略。

正弦函数导学案(全章)

正弦函数导学案(全章)
1. 引言
本导学案将介绍正弦函数的基本概念、性质和应用。

正弦函数
是数学中重要的三角函数之一，广泛应用于物理、工程等领域。

通
过研究本章内容，我们将能够深入了解和掌握正弦函数的定义、图像、周期性和幅度等特点。

2. 正弦函数的定义和图像
- 正弦函数是以角度为自变量的周期函数。

它的定义域是所有
实数，值域是[-1, 1]。

- 正弦函数的图像具有周期性，每个周期内有一个完整的波形。

- 正弦函数的图像呈现出波浪形态，通过观察图像可以推断函
数的特点和变化规律。

3. 正弦函数的周期性和幅度
- 正弦函数的周期性是指函数在一定角度范围内重复的特性。

对于正弦函数来说，它的周期是360度或2π弧度。

- 正弦函数的幅度是指函数图像在垂直方向上的最大偏移量。

对于正弦函数来说，它的幅度是1。

4. 正弦函数的性质和应用
- 正弦函数具有奇偶性，即sin(x) = -sin(-x)。

- 正弦函数可以表示物理振动的变化规律，例如弹簧振动、声波等。

- 正弦函数在信号处理、电路分析等领域有广泛应用。

5. 总结
正弦函数是数学中重要的三角函数，具有周期性、波浪形态和幅度等特点。

通过研究正弦函数的定义、图像、周期性和幅度等内容，我们能够更好地理解和应用正弦函数在物理和工程问题中的作用。

掌握正弦函数的性质和应用可以帮助我们解决实际问题，并提高数学和科学的应用能力。