单一参数正弦交流电路的分析计算小结剖析
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正弦交流电路的分析计算
2. 相位相同
3. 有效值关系：U IR
4. 相量关系：设 U U 0
则 I U 0 或 R
I U
U I R
(3-43)
电阻电路中的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
R
i 2 I sin ( t) u 2U sin ( t)
p u i Ri 2 u 2 / R
则： I2 100 5 j5 10 2 45 A
I1 1090 j10 A I I1 I2 100 A A读数为 10安
R uR 若 i 2Isin t
u L uL 则 u 2IRsin t
C
uC
2I (L) sin(t 90 ) 2I ( 1 ) sin(t 90 )
C
(3-69)
相量模型
I
R U R
U
L U L
C U C
相量方程式：
U U R U L UC
设 I I0（参考相量）
则 U R IR
电感电路中复数形式的 欧姆定律
U I j X L
U U 领先！
其中含有幅度和相位信息
I
u、i 相位不一致 ！
u iL ？
(3-51)
关于感抗的讨论
感抗（XL =ωL ）是频率的函数， 表示电感电路中电
压、电流有效值之间的关系，且只对正弦波有效。
XL
+R
_e L
UL I XL
ω
ω=0时
XL = 0
P UI cos Q UI sin
S UI
S
Q
P
（有助记忆）
(3-82)
R、L、C 串联电路中的功率关系
单一参数正弦交流电路分析
? 平均功率或有功功率 P=0
iut+-p
,
? 无功功率 QC
iQ
C
用无功功率 QC衡量电容元件与外界交换能量的规模，即
无功功率计算式
QC
?
?UI
?
?I 2 XC
?
?
U2 XC
无功功率单位 乏尔（Var）
交换能量过程分析 p ? ui ? ?U Isin2? t
i
u
ωt
i
i
u
u
i
i
u
u
p 放电 P > 0 放电
教学内容 电阻R、电感 L、电容 C元件的电压电流关系，相 量形式的基尔霍夫定律（ KVL、KCL）。
教学要求 1.掌握单一元件的电压电流关系。 2.熟练应用相量形式的 KVL、KCL进行电路分
析。 教学重点和难点
重点： 单一元件的电压电流关系和相量形式的 基尔霍夫定律应用。
难点： 电阻 R、电感 L、电容 C元件电压电流关 系的分析。
【讨论】 指出下列各式中哪些是对的，哪些是错的？
在电阻电路中： 在电感电路中：
在电容电路中：
I?U R
i? U R
i? u R
I? ? U? R
i? u XL
U ? jωL I
I? U ωL
U? I?
?
jX L
U? I?
?
XL u
?
L di dt
i? u ωL
U ? I ?ω C
u ? i ?X C
三、纯电容电路
1.电容元件
定义电容为 C ? q
u
根据电流 i ? dq dt
i ? C duc dt
电工学复习(知识点及练习题)
5.如图，已知Va、Vb ，则支路电路I 应为（ C
）。
Va Vb IR US
A
(Va Vb) US I R
( B) I
US (Va Vb) R
C
I
(Va Vb) U S R
6.电位与参考点有关，是相对的（ √ ），电压与参考点无关， 是绝对的（ √ ）。 7.在直流电路中，电感相当于开路，电容相当于短路（ × ）
13.中线上绝对禁止安装熔断器，但是可以安装开关（ × ）
△ Y 14.三相负载有________ 和_______ 两种连接方式，若各相负 对称负载 。 载的阻抗相等，则该三相负载称为__________
15. 对称三相电路的特点是：相电压、线电压、相电流 对称 。 和线电流都______
16.电路如图所示，电流表的读数为5A、电压表 读数为220V，功率表读数为550W。 求电路中的R 和XL 解：
E 10
6
V
19.
如图所示电路中，已知电流表A1、A2、A3的读数都是50A，
解：
求电路中电流表A的读数。
I3
I I1
U
∴电流表A的读数是50A
I2
20 如图所示电路中，已知电压表V1、V2、V3的读数都是60V， 求电路中电压表V的读数。 解：
U2
U U1
I
∴电压表V的读数是60V
（3） i 20sin(t 90)A （4） e 10 2 sin(314t )V
6
u 141.4sin(t )V 3
解： （1） I 100 300 A （2） U 141.4 100 V
《电工技术基础与仿真(Multisim 10)》项目4单相正弦交流电路分析
p
ui
Im
sin tU m
sin(t
2
)
U m I m cos t sin t
UI sin 2t
在电感元件的交流电路中，没有任何能量消耗，只 有电源与电感元件之间的能量交换，其能量交换的 规模用无功功率Q来衡量，它的大小等于瞬时功率 的幅值。
QL UI I 2 X L
4.2.3 纯电容电路
将开关K1闭合，K2和K3断开，分别按给定的频 率值调节信号源的频率，每次在信号发生器中设 置好频率后，打开仿真开关，双击万用表符号， 得到测量数据，
任务3 相量法分析正弦交流电路
4.3.1 RLC串联电路 1．RLC串联电路电压电流关系 (1)瞬时关系 由于电路是串联的，所以流过R、L、C三元
件的电流完全相同
1 Z1
1 Z2
（2）复阻抗并联的分流关系
I1
U Z1
I
Z Z1
I
Z2 Z1 Z2
U
I2
I Z1 Z1 Z2
I I1 I2 Z1 Z2
a）
I
U
Z
b)
4.3.3 功率因数的提高
1．提高功率因数的意义 功率因数愈大，所损耗的功率也就愈小，
输电效率也就愈高。 负载的功率因数 愈高，发电机可提供的有
1．电压与电流的关系 线性电容元件在图所示的关联方向的条件下
iC
C duc dt
i +
u
C
_
i C duc dt
C dUm sin t
dt
U mC cost
U
mC
s
in(t
2
)
据此，可得出电容元件电压与电流关系的结论：
3.3单一参数的正弦交流电路
Um Im sin2 ω t (2) 平均2功率 Ｐ
UI
sin 2 ω t
P 1
T
p dt
T0
1
T
UI sin (2ω t)dt 0
T0
C是非耗 能元件
瞬时功率 ：p i u UI sin2ωt
u,i i u
o
i
+
u
ii
u+
u
-i u
- -++
p
+ p <0 + p <0
i 5 2sin(314t 30)A的电流
求(1)感抗XL;(2)线圈两端的电压u; (3)有功功率和无功功率。
3.3.3 电容元件的交流电路
1.电流与电压的关系
基本关系式： i C du
设：u
dt
2 U sin ω t
i
+
u
C
_
则：i C du 2 UC ω cos ω t 电流与电压
时值表达式不变，电路中的电流的
有效值及无功功率又如何？
解：（1） XL L 3140.1 31.4()
QL UI 2207 1540(var)
I UL 220 7(A) X L 31.4
（2）
i C du dt
U jXC I
相量图
I U
U
I I
U
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 (参考方向) 关系
阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值
有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
i
+
单一参数交流电路的分析计算
R uR
u L uL
C uC
流过各元件的电流相同。
各部分电压瞬时值服从基尔 霍夫电压定律。
uuRuLuCiR Ld dtiC 1idt
若：i 2Isint
u 2IR si nt 2I(L)sin t(90 0) 则： 2I(1c)sin t(90)
1. 相量方程式
U U RU LU C
设：i 2Isint 或 II0
j (XL-XC) :复数阻抗的虚部, 为电 抗。
注：Z 是一个复数，但不是一个正弦交流 相量（ Z上不加 ）；Z 在方程式中只是 一个运算符号。
U IRjX LjX C ZRjXLXC
复数阻抗
Z R j(X L X C )R 2 (X L X C )2 t 1 g X L R X C Z
U
IL
I
4）相量关系式
设：II00
U U900 IL900
I
U IXLej900 I(jXL)
复数形式的
复感抗
欧姆定律
i
i 2Isint u 2Usi nt(900) u
2.电感电路中的功率
1）瞬时功率（p）
i
piuUsIi2n t
p
u t
电感元件的瞬时功率
随时间以 2变化。
能量转换过程可逆！
P >0 P <0 P >0 P <0
UC1滞后 I900 UC1=I XC1 U=滞1后00I450
I1
I
B UAB
I2
U10 20 10 2 01020
3、求解未知量，并将求得的结果转换成瞬时值 表达式。
串并联交流电路的计算
i
例1 分析：
C1 A u R i2 i1
u L uL
C uC
流过各元件的电流相同。
各部分电压瞬时值服从基尔 霍夫电压定律。
uuRuLuCiR Ld dtiC 1idt
若：i 2Isint
u 2IR si nt 2I(L)sin t(90 0) 则： 2I(1c)sin t(90)
1. 相量方程式
U U RU LU C
设：i 2Isint 或 II0
j (XL-XC) :复数阻抗的虚部, 为电 抗。
注：Z 是一个复数，但不是一个正弦交流 相量（ Z上不加 ）；Z 在方程式中只是 一个运算符号。
U IRjX LjX C ZRjXLXC
复数阻抗
Z R j(X L X C )R 2 (X L X C )2 t 1 g X L R X C Z
U
IL
I
4）相量关系式
设：II00
U U900 IL900
I
U IXLej900 I(jXL)
复数形式的
复感抗
欧姆定律
i
i 2Isint u 2Usi nt(900) u
2.电感电路中的功率
1）瞬时功率（p）
i
piuUsIi2n t
p
u t
电感元件的瞬时功率
随时间以 2变化。
能量转换过程可逆！
P >0 P <0 P >0 P <0
UC1滞后 I900 UC1=I XC1 U=滞1后00I450
I1
I
B UAB
I2
U10 20 10 2 01020
3、求解未知量，并将求得的结果转换成瞬时值 表达式。
串并联交流电路的计算
i
例1 分析：
C1 A u R i2 i1
正弦交流电路的分析—RLC并联电路的分析
分析依据：补偿前后 P、U 不变(已知)。
IC
UC
U
P
cos1
sin 1
U
p
cos
sin
P U
(tan 1
tan )
U
C
P
U
2
(tan 1
tan )
1
I1
I
IC
功率因素的提高
✓ 课堂练习
例：已知一台单相电机接在220V、50Hz的交流电上，吸收1.4kW 的功率，功率因数为0.7，需并联多大的电容，才能将功率因数提高至 0.9？
I
R I2 U I1 jXL jXC
•
I2
••
=0 I U
1
•
•
I1
I2
并联谐振电路
✓ 并联谐振的条件
U IZ
I
R
1
jL
jC
U
R
2
R
L2
j
R2
L
L2
C U
实部
虚部
I
R I2 U I1 jXL jXC
•
I2
••
=0 I U
1
•
•
I1
I2
并联谐振电路
✓ 并联谐振的条件
I
R2
R
解： (已知P=1.4kW，U=220V，cos1=0.7，cos=0.9)
由题意可知： f=50Hz，=2f=100 rad/s
tan1=1，tan=0.5
C
P
U
2
(tan 1
tan )=46 F
功率因素的提高
✓ 小结
功率因数是衡量电气设备效率的参数； 提高功率因数的方法：并联合适电容器。 用并联电容器法提高功率因数时，若原电路的功率因数为cos1 ，补 偿后为cos ，补偿前后负载的P、U不变，则电容C为：
RLC电路
C C
ɺ ɺ ɺ ɺ U = I R + I (j X L ) + I ( − jX C ) 总电压与总电流 的相量关系式 ɺ = I [R + j( X − X )]
L C
ɺ ɺ 根据 U = I [R + j ( X L − X C )]
令 Z = R + j ( X L − XC ) 则 阻抗 复数形式的 欧姆定律
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间, 在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉, 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。 元件进行能量交换。
(2) 平均功率P （有功功率） 平均功率P 有功功率）
1 T P = ∫ pdt T 0 1 T = ∫ [UI cosϕ − UI cos (2 ω t + ϕ )]d t T 0 单位: 单位 W = UI cosϕ cosϕ 称为功率 cosϕ
而是 (3)相量图 相量图
ɺ ɺ ɺ ɺ U = UR +UL +UC
ɺ ɺ UL +UC
(4) P = UI cosϕ = 220 × 4.4 × cos ( −53°)W
= 580.8W
或 P = U R I = I 2 R = 580.8W
ɺ UC
(4) Q = UI sinϕ = 220 × 4.4 × sin ( −53° )var
i = 4.4 2 sin ( 314 t + 73 °)A
(2)
50 X L − XC 40 - 80 ϕ = arctan = arctan = -53 ° R 30
Z
U R = IR = 4.4 × 30V = 132V
uR = 132 2 sin ( 314t + 73° )V
ɺ ɺ ɺ ɺ U = I R + I (j X L ) + I ( − jX C ) 总电压与总电流 的相量关系式 ɺ = I [R + j( X − X )]
L C
ɺ ɺ 根据 U = I [R + j ( X L − X C )]
令 Z = R + j ( X L − XC ) 则 阻抗 复数形式的 欧姆定律
储能元件上 的瞬时功率
在每一瞬间, 在每一瞬间,电源提供的功率一部 分被耗能元件消耗掉, 分被耗能元件消耗掉,一部分与储能 元件进行能量交换。 元件进行能量交换。
(2) 平均功率P （有功功率） 平均功率P 有功功率）
1 T P = ∫ pdt T 0 1 T = ∫ [UI cosϕ − UI cos (2 ω t + ϕ )]d t T 0 单位: 单位 W = UI cosϕ cosϕ 称为功率 cosϕ
而是 (3)相量图 相量图
ɺ ɺ ɺ ɺ U = UR +UL +UC
ɺ ɺ UL +UC
(4) P = UI cosϕ = 220 × 4.4 × cos ( −53°)W
= 580.8W
或 P = U R I = I 2 R = 580.8W
ɺ UC
(4) Q = UI sinϕ = 220 × 4.4 × sin ( −53° )var
i = 4.4 2 sin ( 314 t + 73 °)A
(2)
50 X L − XC 40 - 80 ϕ = arctan = arctan = -53 ° R 30
Z
U R = IR = 4.4 × 30V = 132V
uR = 132 2 sin ( 314t + 73° )V
正弦交流电路的分析—单一元件电路分析
I U
u、 i 同相 U IR
UI
0
纯电阻交流电路
✓ 思考
在电阻R=100Ω的电路中，加上 u=311sin(314t+300)V的电压，求 该电路中电流值及电流的解析式，并 画出电压和电流的相量图。
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
3
解： 电流i(瞬时值)：
i 10 2 sin (200t+ 2 ) A
3
功率：P=UI=11010=1100W
纯电阻交流电路
✓ 小结
电路图 基本 (正方向) 关系
复数 阻抗
电压、电流关系
功率
瞬时值 有效值 相量图 相量式 有功功率 无功功率
R
i u
u iR
R
u 2U sint
U IR
i 2I sin t
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
01
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
✓ 电阻元件的功率
纯电阻交流电路
✓ 电压与电流关系
交流电路中如果只有线性电阻，这种电路叫做纯电阻电路。
根据 欧姆定律：u=iR
i
设 u 2 U sin t
i
设
U
L
u
u L di jX L i 2I sint U IX L
dt jL u
X L L
I U IjX L
0
2IL sin(t 90)
u领先 i 90°
单相正弦交流电路—单一参数元件的电路
幅角:
i 90o
二、 C元件电路的功率
1. 瞬时功率 p
i
u
i
u
C
2 I sin t
2U sin( t 90 )
p i u U I sin 2 t
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电容元件在电路中的作
用是怎样的呢？
p i u iU I sin2ut
o
U I R
三、 R元件电路的功率
1. 瞬时功率 p：瞬时电压与瞬时电流的乘积
i
u
i I m sin ( t )
u U m sin ( t )
R
U m Im
p u i U m I m sin t
(1 cos 2t )
2
UI (1 cos 2t ) UI UI sin(2t 900 )
U IL
3. 有效值
电压、电流波
形图
u
i
90
定义：
t
X L L 2 fL
则：
U I XL
感抗（Ω）
关于感抗的讨论
感抗（ XL ωL 2πfL）是频率的函数，频率越高,感抗越大,频率越低,感抗越
小。电感有通低频，阻高频的特性。
UL I X L
R
+
_
f=0时
e
L
0.45 / 60o ( A)
R
484
i 0.45 2 sin(314t 60o )( A)
P UI 220 0.45 100(W )
在关联参考方向下，功率有时大于零，有时小于零，电感元件在电路中的作
用是怎样的呢？
电工技术实例教程-4.2 单一参数正弦交流电路的测试和分析
实训流程：
（a）
（b）
图4.26 电感元件交流特性的测试（一）
（1）按图4.26（a）所示画好仿真电路。其中示波器A通道用于观察测试 电感L1两端的电压，而电感L1上的电流则通过电流探针XCP1转变为电压， 由示波器B通道展示出
4.2.2 电感元件的正弦交流电路的测试和分析
实训4-4：电感元件交流特性的测试
瞬时功率的第一部分就是平均功率，它与直流电路中计算电 阻元件的功率完全一样，单位也是瓦特（W）。
通常说用电器（如灯泡）额定电压220V，额定功率40W，就是 指该用电器接有效值220V电压时，它消耗的平均功率是40W。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
【例4-5】一只额定电压为220V，功率为100W的电烙铁，误 接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？是 否安全？
②在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流的 （瞬时值/有效值/最大值）满足欧姆定律。
③在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流在相位关系上电压 的相位 （超前/滞后/相同）电流的相位。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
1. 电阻元件上电压与电流的关系
从实训4-3中，可以看到：在电阻R上加一个正弦电压时， 电阻上会有同频率的正弦电流流过，电压和电流的瞬时值、 有效值和最大值均满足欧姆定律，并且在关联参考方向情况 下电压与电流同相。现理论分析如下。
来。探针输出电压到电流的比率设置为1m V/mA，即通道B图形上的电压 1 m V代表电流1mA。为了只显示交流分量，示波器触发耦合方式采用AC （交流耦合）。
（2）通过示波器面板仿真观察并测量电感L1两端的电压和流过电感L1的 电流，参考图如图4.26（b）所示。根据观察和测量的结果回答下列问题：
（a）
（b）
图4.26 电感元件交流特性的测试（一）
（1）按图4.26（a）所示画好仿真电路。其中示波器A通道用于观察测试 电感L1两端的电压，而电感L1上的电流则通过电流探针XCP1转变为电压， 由示波器B通道展示出
4.2.2 电感元件的正弦交流电路的测试和分析
实训4-4：电感元件交流特性的测试
瞬时功率的第一部分就是平均功率，它与直流电路中计算电 阻元件的功率完全一样，单位也是瓦特（W）。
通常说用电器（如灯泡）额定电压220V，额定功率40W，就是 指该用电器接有效值220V电压时，它消耗的平均功率是40W。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
【例4-5】一只额定电压为220V，功率为100W的电烙铁，误 接在380V的交流电源上，问此时它消耗的功率是多少？是 否安全？
②在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流的 （瞬时值/有效值/最大值）满足欧姆定律。
③在交流电路中，电阻元件两端的电压与流过的电流在相位关系上电压 的相位 （超前/滞后/相同）电流的相位。
4.2.1 电阻元件的正弦交流电路的测试和分析
1. 电阻元件上电压与电流的关系
从实训4-3中，可以看到：在电阻R上加一个正弦电压时， 电阻上会有同频率的正弦电流流过，电压和电流的瞬时值、 有效值和最大值均满足欧姆定律，并且在关联参考方向情况 下电压与电流同相。现理论分析如下。
来。探针输出电压到电流的比率设置为1m V/mA，即通道B图形上的电压 1 m V代表电流1mA。为了只显示交流分量，示波器触发耦合方式采用AC （交流耦合）。
（2）通过示波器面板仿真观察并测量电感L1两端的电压和流过电感L1的 电流，参考图如图4.26（b）所示。根据观察和测量的结果回答下列问题：
正弦交流电路_单一参数的正弦交流电路
电压超前于电流90°
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
iL
+
uL
L
−
u 波 形 图0
i
U•
相
t
量 图
I• 0°
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（2）大小关系
uL L Im sin( t 90 ) U m sin( t 90 )
最大值： U m L I m 有效值： U ω L I
定义： X L L ——感抗
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）相量关系 I I 0 U U 9 0 X L I 90 0 X L 90 I 0 jX L I
U jX L I j L I
u
i
0
t
第二章 正弦交流电路
2.功率 （1）瞬时功率
p ui
U m I m s in t s in t 90
（能量的吞吐）。
0
t
p
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
（3）无功功率 为了同电感的无功功率相
p u i UI sin 2t
比较，设电流 i I m s in t
u
i
为参考量，则： u U m sin( t 90 )
p uHale Waihona Puke U I sin 2 t0
t
储放 储放储放 能能 能能能能
p
0
t
u
i
第二章 正弦交流电路
2.2 单一参数的正弦交流电路
2. 功率
平均功率（有功功率） P 1 T pdt U I I 2 R U 2
T0
R
平均功率衡量电路 中所消耗的电能， 也称有功功率。
单一元件的正弦交流电路
1.3单一元件的正弦交流电路
如同直流电路一样，针对交流电路中电流和 电压的方向不断地交变的特点，有必要给它们规 定一个“正方向”，并用箭头表示，如图所示， 应当规定一 致。当电路中电流的实际方向与规定正方向一致 时，电流为正值；当电流的实际方向和规定的正 方向相反时，电流则为负值。这样就可以根据所 规定的正方向与电流值的正负，来判断出交流电 流在某一瞬间的实际方向。在讨论交流电压和交 流电流电动势时， 情况也是一样。
（3）无功率 纯电感电路中瞬时功率的最大值叫做无功率，它表示线圈与 电源之间能量交换规模的大小，用字母QL表示 QL=ILUL=I2XL 式中 QL-电路中的无功功率，单位为乏（Var)或kar UL-线圈两端电压的有效值(v) IL-流过线圈电流的有效值（A) XL-线圈的感抗（Ω ）
1.4电功与电功率
uc与ic变化的关系见图所示
由图知，uc与ic的相位差为 90°，且电流ic超前uc90°，用
Uc Pc 0
ic
t
向量图表示见图
3、纯电容电路中的功率
（1）瞬时功率 瞬时功率等于电压Uc与电流ic乘积，其变化规律见图
Uc
ic
Pc
0
t
（2）有功功率 由图所知，瞬时功率在一个周期内交变两次，两次为正，两 次为负。则表示瞬时功率在一个周期内的平均值为零。它表 明在纯电容电路中，只有电容与电源进行能量交换，面无能 量消耗，所以有功功率为零。它和电感觉元件相似是个储能 元件。
第 2 章 单相交流电路
1.1 正弦交流电的基本概念
1.2 正弦交流电的表示方法 1.3 单一元件的正弦交流电路 1.4 简单正弦交流电路
1.3单一元件的正弦交流电路
前面讨论了交流电的基本概念和正弦量的各种表示法， 下面来分正弦交流电路。 在交流供电系统中，各种电气设备的作用虽然各不相 同，但是从分析电路中的电压、电流和能量转换的角度 来看，除发电机是电源以外，其余设备可归纳为三类元 件：电阻元件、电感元件和电容元件。有些设备可以看 作是单一元件构成的，如白炽灯、电炉是电阻元件；电 抗器和电感线圈是电感元件；电容器是电容元件等。实 际上大部分设备则是由两、三种元件组合而成。如输电 线、变压器和电动机等，可以看成是电阻与电感 元件组 合而成。本节重点讨论单一元件交流电路中的电压与电 流之间的数量关系和相位关系，并分析能量的转换和功 率，为后面分析复杂电路打下基础。
正弦交流电路的分析—RLC串联电路的分析
I
a
I[R j( X L X C )] IZ
UR R
式中：
U
UL jXL
Z R j(XL XC )
UC -jXC
Z称为阻抗，表示RLC串联电路中电阻、电感、电
b
容对电流的阻碍作用，单位：欧姆（Ω）。
RLC串联电路的分析
✓ 电压与电流关系
在正弦交流电路中，物理量用相量表示，元件参数用复数阻抗表示，则电
Z
jXL
Z U I
u i
结论：Ｚ的模为电路总电压和总电流有效值之比，而Ｚ -jXC 的幅角则为总电压和总电流的相位差。
RLC串联电路的分析
✓ 阻抗
阻抗三角形 I
a
UR
U
UL
UC b
Z R j( X L X C ) Z
R
U Z
U L UC
jXL
X XL XC
R
-jXC
U R
RLC串联电路的电压、阻抗三角形
RLC串联电路的分析
✓ 课堂练习
例1：正误判断
在 R-L-C 串联电路中，假设 I I0
U
U
2 R
U
2 L
U
2 C
U I R2 X L X C 2
U IR jX L XC
RLC串联电路的分析
✓ 课堂练习
例2：在 R-L-C 串联电路中，电压u=100sin(100t+600)V，R=20 ， L=0.1H，C=200 F，求：电流I和各元件电压UR、UL、UC.
01
正弦交流电的三要素
02
正弦交流电的表示
03 单一参数正弦交流电路的分析
04
简单正弦交流电路的分析
单一元件的单相正弦交流电路
电子教案课题单一元件的单相正弦交流电路课时3课时课型新授课教学目标（知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观）应知：1.理解单一元件（纯电阻、纯电感、纯电容）在交流电路中，元件两端电压与流过元件的电流关系特点，理解它们对直流电与交流电的不同阻碍作用。
2.理解电路瞬时功率、有功功率、无功功率的概念及表示方法。
应会：会分析由R、L、C构成的简单电路。
教学重点、难点教学重点：单一元件交流电路中，元件两端电压与流过元件的电流关系特点教学难点：电路瞬时功率、有功功率、无功功率的概念及表示方法。
教学方法实验法、比较法教学手段实验演示、多媒体投影教学过程（教学环节、教师活动、学生活动、教学说明）一、导入新课由日常生活中呈现不同性质（电阻、电感、电容）的电器，以它们在交流电路中的作用是否相同提问，引出本节内容。
二、讲授新课教学环节1：纯电阻电路（一）纯电阻电路电阻两端电压与流过电流关系教师活动：“做中教”，演示纯电阻电路。
学生活动：（1）实验一电路，灯与电阻串联，当双刀双掷开关分别接通直流电源和交流电源（直流电压和交流电压的有效值相等）观察灯的亮度情况，思考电阻对直流电、交流电的阻碍作用。
（2）实验二电路，将交流电压表、交流电流表接入电路，输入端用低频信号发生器加0.5Hz正弦交流电，观察电压表、电流表指针摆动情况。
（3）实验二电路，将输入正弦交流电信号频率变为50 Hz，记录电压表与电流表读数，总结纯电阻两端电压与流过电流之间的关系。
教师总结：（1）实验一，灯的亮度相同，表明电阻对直流电和交流电的阻碍作用相同。
（2）实验二，当输入端加低频交流电时，可以观察电压表与电流表指针摆动步调一致，表明电阻两端电压和流过电阻的电流是同相的。
（3）电压表读数（交流电压有效值）与电流表读数（交流电流有效值）及电阻值之间符合欧姆定律关系。
（二）纯电阻电路的功率教师活动：给出功率曲线，介绍瞬时功率、有功功率的概念及计算公式。
学生活动：掌握功率计算公式，并通过练习巩固。
2-3 单一参数的交流电路解析
T
（3）电容的能量交换作用 波形如图示
iu
iC
uC
0
t
T 4 T 4 T 4 T 4
p
0
+
-
+
-
t
电容元件的 无功功率Q为
Q U C I C sin
2
U C I C QC
（4）电感与电容间的补偿特点 比较Pc和PL
pC
0
pL
+
-
+
-
+
-
+
-
tt
电感（电容）释放（发出）能量时正是电容（电感） 储存（取用）能量的侯。于是电容（电感）就近取用能量。 在实用中常利用这一特点。
I
Ur
UU
N
Ur与I正交 称为 U 的无功分量。
Ua U cos
U
Ua
I I
设二端网络的端口电压超前电流一个角，即感性 U r U sin 电路，其相量图如 2）有功、无功和视在功率
如果将电压分别向电流的方向和垂直电流的方向 复功率的实部为电压的有功分量与电流的乘积，故称为 投影如图 有功功率，用P表示，单位为瓦特（W）， 复功率的虚部为电压的无功分量与电流的乘积，故称为 无功功率，用Q表示，单位为乏（var）， 复功率的模等于电压有效值与电流有效值的乘积，此称 为视在功率，用S表示，其单位为伏安（VA）。
2.电阻电路
pu i
iR=ImRsint uR=UmRsint
0
+ u i
+ t
（1）瞬时功率的变化规率
T
2
pR U Rm I Rm sin t
pR U R I（ R 1 cos2 t）
单一参数正弦交流电路的分析计算小结剖析
无源单口网络功率 1）瞬时功率:
p(t ) u(t )i(t )
p(t ) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
UI cos UI cos(2t u i )
注: 在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
“三要素”的计算
三、时间常数 原则:
的计算:
要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 是一样的)
RC ； 步骤: (1) 对于只含一个R和C的简单电路， 对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其除源网 络的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内 阻的方法相同)。则:
u 5 2 sin( t 126 9 )
I
阻抗三角形
电压三角形 功率三角形
U
Q S
R
U R
U
L C
U L
U C
Z
X L XC
R
U U L C
U R
P
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
2
三相交流电路的小结（1）--三相电源
三相四线制 （Y形联接）
eC
eA
eB
A
N B C
三相电源 一般都是 对称的， 称三相对 称电源
三相三线制（Y形联接） A
eC
eA
三相三线制（Δ形联接） A
eC
eB
eA
B C
p(t ) u(t )i(t )
p(t ) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
UI cos UI cos(2t u i )
注: 在交流电源激励的情况下,要用相量法来求解。
“三要素”的计算
三、时间常数 原则:
的计算:
要由换路后的电路结构和参数计算。 (同一电路中各物理量的 是一样的)
RC ； 步骤: (1) 对于只含一个R和C的简单电路， 对于较复杂的一阶RC电路，将C以外的电 路，视为有源二端网络，然后求其除源网 络的等效内阻 R‘(与戴维宁定理求等效内 阻的方法相同)。则:
u 5 2 sin( t 126 9 )
I
阻抗三角形
电压三角形 功率三角形
U
Q S
R
U R
U
L C
U L
U C
Z
X L XC
R
U U L C
U R
P
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
2
三相交流电路的小结（1）--三相电源
三相四线制 （Y形联接）
eC
eA
eB
A
N B C
三相电源 一般都是 对称的， 称三相对 称电源
三相三线制（Y形联接） A
eC
eA
三相三线制（Δ形联接） A
eC
eB
eA
B C
电阻、电感、电容单一参数的正弦交流电路
U 10 I= = ≈ 0.1( A) X L1 99.9
当
f = 200 Hz 时
X L 2 = 2πf 2 L = 2π × 200 × 0.318 ≈ 399.61()
U 10 I= = ≈ 0.025( A) X L 2 399.61
第五章 正弦交流电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
第五章 正弦交流电路 一、纯电阻元件的正弦电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
交流电路中如果只有电阻，这种电路叫做纯电阻电路。 假设加在纯电阻元件 (b) R上的交流电压m sin ω t
如图5-9所示。在纯电 阻电路中，端电压u 和电流i的关系符合欧 姆定律，通过电阻R 的电流瞬时值为
d ( I m sin ω t ) = I m ω L cos ω t dt
比较u和i的表达式可知，在纯电感交流电路中，加在电 感元件两端的电压在相位上比流过电感元件的电流超前 90°。
第五章 正弦交流电路 在（5.13）式中 U m = I mωL 故
Um U = = ωL Im I
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
二、纯电感元件的正弦电路 如果一线圈的电感L很大，而线圈电阻阻值很小，因而 可忽略不计，这种只有电感的电路称为纯电感电路。 纯电感L上的瞬时电压为 di u=L dt 设电流为 i = I m sin ω t
则
u = L
= I m ω L sin( ω t + 90 o ) = U m sin( ω t + 90 o ) （5.13）
L
或写成 U m = jX L I m 式中
U = jX
I
（5.16）
当
f = 200 Hz 时
X L 2 = 2πf 2 L = 2π × 200 × 0.318 ≈ 399.61()
U 10 I= = ≈ 0.025( A) X L 2 399.61
第五章 正弦交流电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
第五章 正弦交流电路 一、纯电阻元件的正弦电路
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
交流电路中如果只有电阻，这种电路叫做纯电阻电路。 假设加在纯电阻元件 (b) R上的交流电压m sin ω t
如图5-9所示。在纯电 阻电路中，端电压u 和电流i的关系符合欧 姆定律，通过电阻R 的电流瞬时值为
d ( I m sin ω t ) = I m ω L cos ω t dt
比较u和i的表达式可知，在纯电感交流电路中，加在电 感元件两端的电压在相位上比流过电感元件的电流超前 90°。
第五章 正弦交流电路 在（5.13）式中 U m = I mωL 故
Um U = = ωL Im I
§5-4 电阻、电感、电容单一 参数的正弦交流电路
二、纯电感元件的正弦电路 如果一线圈的电感L很大，而线圈电阻阻值很小，因而 可忽略不计，这种只有电感的电路称为纯电感电路。 纯电感L上的瞬时电压为 di u=L dt 设电流为 i = I m sin ω t
则
u = L
= I m ω L sin( ω t + 90 o ) = U m sin( ω t + 90 o ) （5.13）
L
或写成 U m = jX L I m 式中
U = jX
I
（5.16）
09 正弦交流电路的分析与计算
. .
1000 rad/s,
且UL超前U 6 0 。试求电路参数R、L、C的值。
+
.
1 j C
IR
I
L
+
U
R
j L
U
_
_
L
.
R 2 6 .3 , L 7 8 .9 m H , C 3 4 .6 μ F
电路 南京理工大学电光学院
习题
3-25：已知U=100V, I1 =5A, I2 =4A, XC =12.5Ω, 且U, I 同相，试求R、RL和XL的值。
R XL R XL R XL
2
2
12 16
I
100 R 3 X L 25
电路
南京理工大学电光学院
习题
例：已知U=100V, I=5A, 且 U 超前 I
5 3 .1
，求R, XL
.
+
I
.
解法2：令 U
R
南京理工大学电光学院
.
电路
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
解：首先画出时域电路对应的相量电路，并采用网孔法：
g
I1
3Ω
g
.
-j2Ω j4Ω
g
g
+ _U s
I2
Ia
Ib
+ g _2 I1
.
I1 I a, I 2 I b
(3 j4 ) I a ( j4 ) I b U S 1 0 0 (3 j4 ) I a j4 I b 1 0 j4 I a ( j4 j2 ) I b 2 I 1 ( 2 j4 ) I a j2 I b 0
1000 rad/s,
且UL超前U 6 0 。试求电路参数R、L、C的值。
+
.
1 j C
IR
I
L
+
U
R
j L
U
_
_
L
.
R 2 6 .3 , L 7 8 .9 m H , C 3 4 .6 μ F
电路 南京理工大学电光学院
习题
3-25：已知U=100V, I1 =5A, I2 =4A, XC =12.5Ω, 且U, I 同相，试求R、RL和XL的值。
R XL R XL R XL
2
2
12 16
I
100 R 3 X L 25
电路
南京理工大学电光学院
习题
例：已知U=100V, I=5A, 且 U 超前 I
5 3 .1
，求R, XL
.
+
I
.
解法2：令 U
R
南京理工大学电光学院
.
电路
3.8 复杂正弦交流电路的分析与计算
解：首先画出时域电路对应的相量电路，并采用网孔法：
g
I1
3Ω
g
.
-j2Ω j4Ω
g
g
+ _U s
I2
Ia
Ib
+ g _2 I1
.
I1 I a, I 2 I b
(3 j4 ) I a ( j4 ) I b U S 1 0 0 (3 j4 ) I a j4 I b 1 0 j4 I a ( j4 j2 ) I b 2 I 1 ( 2 j4 ) I a j2 I b 0
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Il IP U l 3 U P 30
三相交流电路的小结(4)--三相功率计算 三相总功率： P P 负载对称时：
A
PB PC
和接法 无关
P 3 U p I p cos
P 3 Ul Il cos
三相三线制接法，用二个功率表测功率(二瓦计法) ：
A
iA
2
三相交流电路的小结（1）--三相电源
三相四线制 （Y形联接）
eC
eA
eB
A
N B C
三相电源 一般都是 对称的， 称三相对 称电源
三相三线制（Y形联接） A
eC
eA
三相三线制（Δ形联接） A
eC
eB
eA
B C
eB
B C
三相交流电路的小结(2)--三相负载
星形负载
A Z N B C Z A Z B C Z
U
I
u领先 i 90°
i
L
u
U IX L di jX L 则 uL X L L dt jL u 2 IL sin(t 90 )
jX C
i 2I sin t
I jX U L
0
UI I2XL
设
i
C
u
du j 1 则 iC C dt 1 i j c
无源单口网络功率 1）瞬时功率:
p(t ) u(t )i(t )
p(t ) 2U cos(t u ) 2I cos(t i )
UI cos(u i ) UI cos(2t u i )
UI cos UI cos(2t u i )
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图 300V ，阻抗Z为多大时取得最大功率， 七、已知 U S 最大功率为多少？（10分）
Z 50 j150
取得最大功率 最大功率的大小为
Pmax
5 2 100 50 0.25W
* W1
*
*
Z A uA
ZB
B
iB
iC
u AC
uBC
三角形负载
Z
Z
三相交流电路的小结(3)--三相电路计算
负载不对称时：各相电压、电流单独计算。 负载对称时：电压对称、电流对称，只需计算一相。
求电表读数时，可只算有效值，不算相位。
三相电路的计算要特别注意相位问题。 负载Y形接法 电源对称时： 负载形接法 对称负载下：
I l 3I P 30 U U l P
功率因数的提高
并联电容值的计算
i
R
P C ( tg tg ) L 2 U
uR
uL
u
C
L
(6)电路本身呈容性不能采用并联电容的 方法提高功率因数。
一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
u 5 2 sin( t 126 9 )
I
阻抗三角形
电压三角形 功率三角形
U
Q S
R
U R
U
L C
U L
U C
Z
X L XC
R
U U L C
U R
P
（二）一般正弦交流电路的解题步骤
1、据原电路图画出相量模型图（电路结构不变）
R R 、 L jX L、 C jX C 、 i I、 e E u U
u 2U sin t
U 2 1
U IX C XC 1
I
UI
I jX U C
C sin(t 90)
C
U
u落后i 90°
0
I 2 XC
符号说明
瞬时值 --- 小写 有效值 --- 大写 最大值 --- 大写+下标
u、i
U、I
Um
复数、相量 --- 大写 + “.”
（恒定分量） （正弦分量：2）
2）平均功率:
1 P T
说明：
p(t )dt UI cos (W )
0
T
1) P = UI cos UI；
2) cos 称作功率因数；
3) —功率因数角 (无源单口网络: = Z):
4) P = P1 + P2 + P3…….；
5) P =I12R1 + I22 R2 + I32R3…….
U
提示
计算相量的相位角时，要注意所在 象限。如：
3 j4 U
u 5 2 sin( t 531 )
3 j4 U
3 j 4 U
3 j 4 U
u 5 2 sin( t 531 )
u 5 2 sin( t 126 9 )
3）无功功率:
Q UI sin (Var)
说明：
1) Q > 0 ( 感性）；Q < 0 (容性）: 2) Q = Q1 + Q2 + Q3…….:
3) Q = I12X1 + I22 X2 + I32X3…….;
4) 反映网络与电源能量交换最大速率。
4）视在功率： 定义： 计算：
S UI (VA)
2、根据相量模型列出相量方程式或画相量图 3、用复数符号法或相量图求解
4、将结果变换成要求的形式
正弦交流电路的功率问题
• 功率本身是标量，电路总的有功等于各个 元件有功功率之和，而不需去考虑电路中 各个元件的连接形式。 • 总的有功于所有电阻的有功功率之和 • 总的无功等于所有元件无功功率之和
正弦稳态电路功率
注意：S S1 + S2 + S3…….
1） S=UI 2 2 S P Q 2)
求取电路功率因数的问题
cos
对于任何无源二端网络总可通过电路的等效变换变为基本的 RLC串联电路
功率因数角是二端网络端口总电压与总电流的夹角
功率因数角可由电压三角形 阻抗三角形 功率三角形求出
由于功率标量的特性对于混联的电路用功率三角形来求取总的功 率因数往往更简单
单一参数正弦交流电路的分析计算小结
电路 电路图 基本 参数 （正方向） 关系
i 复数 阻抗 设 电压、电流关系 瞬时值 有效值 相量图 相量式 功率 有功功率 无功功率
u 2U sin t
I
U IR
U
R
u
u iR
R
则
I R U
UI
0
i 2I sin t
设
u、 i 同相