《空间直角坐标系中点的坐标》
怎样找空间直角坐标系的坐标
怎样找空间直角坐标系的坐标在空间几何中，我们经常需要利用直角坐标系来描述和定位不同点的位置。
直角坐标系由三个互相垂直的坐标轴组成，分别表示x、y和z方向的坐标。
通过找到空间直角坐标系的坐标，我们可以准确地描述和计算点与点之间的距离、角度以及其他几何信息。
下面将介绍如何找到空间直角坐标系的坐标。
在空间直角坐标系中，我们要找到一个点的坐标，需要确定它在x、y和z轴上的投影长度或坐标值。
下面以一个具体的例子来说明具体的步骤。
假设我们要找到点P的坐标，在已知直角坐标系中，我们首先需要确定一个基准点，这个基准点一般被定义为原点O。
接下来，我们需要确定x、y和z轴的方向和单位长度。
1.确定原点和轴方向：–将我们选定的基准点标记为原点O，在直角坐标系中通常处于空间的中心。
–分别选择三个互相垂直的轴作为x轴、y轴和z轴，并标记它们的正方向。
2.确定轴的单位长度：–由于直角坐标系的单位长度可以自由选择，我们需要确定每个轴的单位长度。
–可以根据具体的要求和情境来选择适当的单位长度。
比如，当我们描述点的物理距离时，可以选择米（m）作为单位长度。
3.量取点P在每个轴上的投影长度：–在找寻点P的坐标时，我们需要测量它在每个轴上的投影长度。
这可以通过测量该点到原点O沿着每个轴的距离来实现。
–为了测量点P到原点O的距离，我们可以使用直尺、尺子或其他测量工具。
4.记录坐标值：–确定了点P在每个轴上的投影长度后，我们可以将它们作为点P的坐标值进行记录。
–然后按照一定的次序表示点P的坐标值，一般以(x, y, z)的形式表示，其中x、y和z分别代表在x轴、y轴和z轴上的坐标值。
通过上述步骤，我们可以找到空间直角坐标系中点P的坐标。
这个坐标可以帮助我们准确地描述和计算点P与其他点之间的距离、角度以及其他几何信息。
在三维空间中，直角坐标系是一种非常有用且常见的坐标系，它在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
总结起来，找到空间直角坐标系的坐标需要确定原点和轴的方向，以及选择适当的轴单位长度。
高等数学《点的坐标与向量的坐标》
aazay称,y ja为z )a向称z k量为a向 的量坐a标的.(坐coo标rd表in示at式es).
若点M的坐标为(x, y, z), 则向径：OM ( x, y, z).
向 量的分 解表达式说明：任何向量可以表 示为 i , j , k 的线性组合，组合系数 ax , ay , az
就是该向量的坐标.
6(cos ,cos ,cos
)
6(1 , 2
2 2
,
1 2
)
(3
,3
2 , 3)
故点 A 的坐标为(3,3 2 ,3).
3. 向量的投影
1) 空间一点在轴上的投影
•A
过点 A 作轴 u 的垂直平面,交点 A 即为点 A 在轴 u 上的投影.
A
u
2) 空间一向量在轴上的投影
A
B
已知向量的起点 A 和终点 B 在
解 设所求点为M (0, y, 0), ∵|MA|= |MB|,
12 (2 y)2 32 22 (3 y)2 22
即 y2 4 y 14 y2 6 y 17, 解得 y 3 , 2
故所求点为M (0, 3 ,0). 2
思考题: (1) 在 xoy 面上求与点A(1,2,3)和点
AB AC , CB 2 AB 2 AC 2 原结论成立.
二、向量的坐标及向量线性运算的坐标的表示
在空 间直角坐标系下, 任意向量 a 可用向径 OM 表示. 以i , j , k 分别表示沿 x, y, z 轴正向的单位向量,称为
Oxyz 坐标系下的基本单位向量.
z
C
设点 M 的坐标为 M (ax , ay , az), 则
给2.定方a向 (角x,与y,方z) 向0余, a弦与三坐标轴正向所成的
(北师大版)高中数学必修2课件：2.3.1-2空间直角坐标系的建立 空间直角坐标系中点的坐标
数 学 必修2
第二章
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2．(1)在空间直角坐标系中，点 M(－2,1,0)关于原点的对称点 M′的坐标是 ( ) A．(2，－1,0) C．(2,1,0) B．(－2，－1,0) D．(0，－2,1)
(2)已知点 A(2,3－μ，－1＋υ)关于 x 轴的对称点为 A ′(λ，7，－6)，则 λ，μ， υ 的值为( )
c)， 平面的对称点 M2 的坐标为(a， －b， 关于 yOz 平面的对称点 M3 的坐标为(－a， b，c)． 关于 x 轴的对称点 M4 的坐标为(a，－b，－c)， 关于 y 轴的对称点 M5 的坐标为(－a，b，－c)， 关于 z 轴的对称点 M6 的坐标为(－a，－b，c)， 关于原点对称的点 M7 的坐标为(－a，－b，－c)．
2 2 1 1 1 2 2 2 2 DD DF DA DG DC P ， ， | | | | | | | | | | ′ ＝ ， ＝ ＝ ， ＝ ＝ ，所以 点的坐标为 3 3 3 3 3 3 3 3 3，故
选 D.
答案：
(1)D
(2)D
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理解空间直角坐标系的有关概念，会根据坐标描出点的位置，会由点的位置 写出点的坐标．
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空间直角坐标系的建立 (1)空间直角坐标系建立的流程图 平面直角坐标系 ↓
北师版高中数学选择性必修第一册精品课件 第3章 点在空间直角坐标系中的坐标 空间两点间的距离公式
2
2
5+4
9
0 =
= ,
2
2
-7+3
0 = 2 = -2,
∴AB 的中点 C
||=√25 + 1 + 100 = √126=3√14.
1 9
的坐标为(2 , 2,-2).
重难探究·能力素养速提升
探究点一
求空间点的坐标
【例1】 (1)如图,棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AB的中点,F是
自主诊断
1.[人教A版教材习题]先在空间直角坐标系中标出A,B两点,再求它们之间
的距离:
(1)A(2,3,5),B(3,1,4);
(2)A(6,0,1),B(3,5,7).
解 (1)如图所示,标出A(2,3,5).在x轴上取OC=2,在y
轴上取OD=3,在z轴上取OE=5,分别以OC,OD,OE为
解 要作出点M(2,-6,4),只需过x轴上坐标为2的点B作垂直于x轴的平面α,过y
轴上坐标为-6的点D作垂直于y轴的平面β,根据几何知识可以得出:这两个
平面的交线就是经过点M'(2,-6,0)且与z轴平行的直线l.再过z轴上坐标为4
的点A'作垂直于z轴的平面γ,那么直线l与平面γ的交点也是三个平面α,β,γ的
有序实数组(a,b,c).
点P与三元有序实数组是一一对应关系.P↔(a,b,c)
在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用唯一的一个三元有序
实数组(x,y,z)来表示;反之,对于任意给定的一个三元有序实数组(x,y,z),都
可以确定空间中的一个点P.三元有序实数组(x,y,z)叫作点P在此空间直角
过空间任意一点O,作三条两两垂直的直线,并以点O为原点,在三条直线上
空间直角坐标系
一、空间向量的基本概念
平面向量
空间向量
定义
具有大小和方向的量
表示法 几何表示：有向线段 AB 字母表示: a
向量的模
向量的大小 AB a
相等向量 相反向量 单位向量 零向量
长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 模为1的向量，没有规定方向 模为0的向量，与任何向量共线
空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，
( x y z 1)
判断四点共面，或直线平行 于平面
1.下列命题中正确的有：B
(1) p xa yb p 与 a 、b 共面 ; (2) p 与 a 、b 共面 p xa yb ；
(3) MP x MA y MB P、M、A、B共面；
(4) P、M、A、B共面 MP xMA yMB ；
预备知识
数轴Ox上的点M
实数x
O
直角坐标平面上的点M
y
M
x
x
实数对(x，y)
y A(x,y)
Ox
x
一、空间直角坐标系 —Oxyz
z
竖轴
1
纵轴
o
1
1
y
x
右手直角坐标系
横轴
右手直角坐标系：在空间直角坐标系中，让 右手拇指指向 x 轴的正方向，食指指向 y 轴的 正方向，如果中指指向 z 轴的正方向，则称这 个坐标系为右手直角坐标系．
【温故知新】
平面向量基本定理：
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量， 那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有
一对实数1，2，使a＝1e1＋2 e2。
（e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）
五、共面向量
2. 如果两个向量 a,不b 共线，
求空间坐标系点坐标技巧
求空间坐标系点坐标技巧
空间坐标系由三个坐标轴组成：X、Y和Z轴。
每个坐标轴的起点称为原点，坐标轴的每个轴线是无限延伸的。
在空间坐标系中，每个点由三个坐标值表示，分别是x坐标、y坐标和z坐标。
可以使用以下技巧确定空间坐标系中的点坐标：
1. 用三个数值分别表示点的x、y、z坐标值，例如一个点的坐标为(1,2,3)。
2. 如果已知一个点的坐标和它在坐标轴上的投影，可以用勾股定理求出该点坐标。
例如，已知点P在x轴上的投影为a，在y轴上的投影为b，在z轴上的投影为c，那么点P的坐标为(\sqrt{a^2+b^2+c^2},a,b,c)。
3. 如果已知两个点的坐标，可以用向量相减的方法求出它们之间的距离和方向。
例如，已知点P_1和P_2的坐标，它们之间的向量为
\vec{P_1P_2}=\langle{x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1}\rangle。
则两点之间的距离为\vec{P_1P_2} =\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}。
4. 如果已知一个点在空间中的高度，可以用等高线图来确定它的坐标。
例如，在三维空间中，可以用图形表示高度的三个维度来定位一个点的坐标。
5. 在CAD软件中，可以使用鼠标选择点的方式来确定它的坐标。
在创建新对象时，系统会提示用户输入点的坐标，并将在屏幕上显示该点的位置。
3.2空间直角坐标系中点的坐标
2.若本例中的条件变为“正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱长为 10”，试建立适当的空间直角坐标系，写出各顶点的坐标.
解 因为正四棱锥P－ABCD的底面边长为4，侧棱
长为10，
所以正四棱锥的高为2 23 ，
以正四棱锥的底面中心为原点，
平行于BC，AB所在的直线分别为x轴、y轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
答案
达标检测
1.点Q(0,0,2 017)的位置是 A.在x轴上 B.在y轴上
√C.在z轴上
D.在平面xOy上
1 2 34 5
答案
2.点(2，－1，5)与点(2，－1，－5)
A.关于x轴对称
B.关于y轴对称
√C.关于xOy平面对称 D.关于z轴对称
1 2 34 5
答案
3.点A(－1， 3，2)在xOz平面的射影点的坐标为
C－5
2
2，5
2
2，0， D－5
2
2，－5
2
2，0.
解答
引申探究 1.若本例中的正四棱锥建立如图所示的空间直角坐标系，试写出各顶 点的坐标.
解 各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，A(5,0,0)，B(0,5,0)，C(－5,0,0)， D(0，－5,0).
解答
例1 已知正四棱锥P－ABCD的底面边长为5 2，侧棱长为13，建立的空 间直角坐标系如图，写出各顶点的坐标.
解 因为|PO|＝ |PB|2－|OB|2＝ 169－25＝12，
所以各顶点的坐标分别为P(0,0,12)，
A5
2
2，－5
2
2，0，
B5
2
2，5
2
2，0，
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
浅谈空间直角坐标系中点坐标的求法
作者：陆海仙
来源：《试题与研究·教学论坛》2015年第05期
高中几何中，用空间向量解决立体几何问题首先是建立适当的空间直角坐标系，接着是正确写出点的坐标，如果点的坐标书写错误，那么后面几乎没有什么分数可言。
本文试图对立体几何中点坐标的求法做一一些归纳和总结，以求能突破在直角坐标系中求点坐标难的问题。
一、直接法
设空间中任一点P到三个面：面zoy、面xoz、面xoy的距离分别为a、b、c，若点P在x 轴的射影在x轴的正半轴，则点P的横坐标为a；若点P在x轴的射影在x轴的负半轴，则点P的横坐标为-a，点P的纵坐标、竖坐标同理可得。
例1：（2008课标全国2，理19）如图1，正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
AA1=2AB=4，点E在上且C1E=3EC。
空间直角坐标系公式
空间直角坐标系公式引言：空间直角坐标系是描述空间中点位置的常用工具，它通过三个相互垂直的坐标轴来确定一个点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的公式及其应用。
一、空间直角坐标系的定义空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成，分别是x轴、y 轴和z轴。
这三个轴的交点被定义为原点O，它们的方向和长度可以任意确定。
二、空间直角坐标系的公式在空间直角坐标系中，每个点的位置可以通过三个坐标值来表示，分别是x坐标、y坐标和z坐标。
假设某点的坐标为(x, y, z)，那么它与坐标轴的关系可以通过以下公式来表示：1. x轴上的投影：P(x, 0, 0)2. y轴上的投影：P(0, y, 0)3. z轴上的投影：P(0, 0, z)4. 坐标原点O：P(0, 0, 0)三、空间直角坐标系的应用空间直角坐标系广泛应用于物理学、几何学和工程学等领域。
下面将介绍一些常见的应用。
1. 点的距离计算在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理来计算。
假设两点分别为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，它们之间的距离d 可以通过以下公式计算：d = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2)2. 点的中点计算在空间直角坐标系中，两点之间的中点坐标可以通过以下公式计算：中点坐标 = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2, (z1 + z2) / 2)3. 点的划分比例计算在空间直角坐标系中，可以通过给定两点和一个比例来计算划分点的坐标。
假设两点为A(x1, y1, z1)和B(x2, y2, z2)，要求划分比例为m:n，划分点的坐标为P(x, y, z)。
可以通过以下公式计算：x = (mx2 + nx1) / (m + n)y = (my2 + ny1) / (m + n)z = (mz2 + nz1) / (m + n)4. 直线的方程计算在空间直角坐标系中，可以通过给定一点和一个方向向量来计算直线的方程。
知识讲解_空间直角坐标系_基础
空间直角坐标系【学习目标】通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置.通过表示特殊长方体(所有棱分别与坐标轴平行)顶点的坐标，探索并得出空间两点间的距离公式.【要点梳理】要点一、空间直角坐标系1.空间直角坐标系从空间某一定点O 引三条互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系Oxyz ，点O 叫做坐标原点，x 轴、y 轴、z 轴叫做坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别是xOy 平面、yOz 平面、zOx 平面.2.右手直角坐标系在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x 轴的正方向，食指指向y 轴的正方向，如果中指指向z 轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.3.空间点的坐标空间一点A 的坐标可以用有序数组(x ，y ，z)来表示，有序数组(x ，y ，z)叫做点A 的坐标，记作A(x ，y ，z)，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标.要点二、空间直角坐标系中点的坐标1.空间直角坐标系中点的坐标的求法通过该点，作两条轴所确定平面的平行平面，此平面交另一轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点相应的一个坐标.特殊点的坐标：原点()0,0,0；,,x y z 轴上的点的坐标分别为()()(),0,0,0,,0,0,0,x y z ；坐标平面,,xOy yOz xOz 上的点的坐标分别为()()(),,0,0,,,,0,x y y z x z .2.空间直角坐标系中对称点的坐标在空间直角坐标系中，点(),,P x y z ，则有点P 关于原点的对称点是()1,,P x y z ---；点P 关于横轴(x 轴)的对称点是()2,,P x y z --；点P 关于纵轴(y 轴)的对称点是()3,,P x y z --；点P 关于竖轴(z 轴)的对称点是()4,,P x y z --；点P 关于坐标平面xOy 的对称点是()5,,P x y z -；点P 关于坐标平面yOz 的对称点是()6,,P x y z -；点P 关于坐标平面xOz 的对称点是()7,,P x y z -.要点三、空间两点间距离公式1.空间两点间距离公式空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则此两点间的距离||d AB ==特别地，点(),,A x y z 与原点间的距离公式为OA =2.空间线段中点坐标空间中有两点()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则线段AB 的中点C 的坐标为121212,,222x x y y z z +++⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【典型例题】类型一：空间坐标系例1．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BB 1、D 1B 1的中点，棱长为1，建立空间直角坐标系，求点E 、F 的坐标。
空间直角坐标系中点与坐标系的关系
那在空间直角坐标系中，点M（a,b,c）的坐标出了是点与坐标轴垂线交点外， 是否也是代表着一种距离呢？和平面直角坐标系中肯定是不同的，那不同之 处在哪里？大家一起思考下。
Z c a
b M（a,b,c）
通过右图所演示的点的确立过程， 可以得到，空间直角坐标系中的 坐标，同样代表着一种距离信息。 X坐标绝对值表示点到 Y坐标绝对值表示点到
练习：在空间直角坐标系中作出点P(3，-2，4)
思路：现将问题放在平面上看待，即找出点P在平面XOY中的对应 点P`。两个点间就差一个高度4。
Z
P （3，-2,4）
Y （3，-2,0）P` X O
在空间直角坐标系中画出下列点，并思考他们有什么共同之处
A(1，1，0) B(1，2，0) C(1，0，1) D(2，0，1) E(0，1，2) F(0，2，3)
①点 P(a，b，c)关于 x 轴的对称点为 P1(a，－b，－c)； ②点 P(a，b，c)关于 y 轴的对称点为 P2(－a，b，－c)； ③点 P(a，b，c)关于 z 轴的对称点为 P3(－a，－b，c)； ④点 P(a，b，c)关于原点的对称点为 P4(－a，－b，－c)．
Y
YOZ平面 XOZ平面
的距离 的距离 的距离
c
O a
b
Z坐标绝对值表示点到
M` （a,b,0）
XOY平面
X
例题：在空间直角坐标系中，自点M（-4，-2,3）引各坐标平面和 坐标轴垂线。求个垂足的坐标。
M
所以，在X轴垂足坐标为
Z 3
在Y轴垂足坐标为
-4 Y
M`
-2 X O
在Z轴垂足坐标为 到XOY平面距离为 到Y0Z平面距离为 到XOZ平面距离为
空间直角坐标系知识点
空间直角坐标系知识点空间直角坐标系是我们在学习数学、物理等科学领域常常遇到的一个重要概念。
它是一种表示三维空间中点位置的方法，通过三个相互垂直的坐标轴来确定点的位置。
本文将介绍空间直角坐标系的基本概念、坐标轴的方向以及一些常见的知识点。
一、空间直角坐标系的基本概念空间直角坐标系是由三个互相垂直的坐标轴构成的。
我们可以将这三个坐标轴分别标记为X轴、Y轴和Z轴。
在空间直角坐标系中，任意一个点的位置可以通过它在每一个坐标轴上的投影来确定。
在空间直角坐标系中，我们通常用（x，y，z）来表示一个点的坐标，其中x代表该点在X轴上的位置，y代表该点在Y轴上的位置，z代表该点在Z轴上的位置。
这三个坐标分别是实数。
二、坐标轴的方向在空间直角坐标系中，坐标轴的方向是固定的。
X轴的正方向为从左向右，Y轴的正方向为从下向上，Z轴的正方向为从后向前。
这个规定是为了统一表示、计算和解析几何的方向。
需要注意的是，不同的学科、领域可能对坐标轴的方向有所不同。
在一些物理学或工程学的问题中，X轴的正方向可能定义为从右向左，Y轴的正方向可能定义为从上向下，Z轴的正方向可能定义为从前向后。
因此，在应用空间直角坐标系时，我们需要根据具体问题确定坐标轴的方向。
三、常见的空间直角坐标系知识点1. 距离公式：在空间直角坐标系中，两点之间的距离可以通过勾股定理计算。
设两点分别为A（x1，y1，z1）和B（x2，y2，z2），则AB的距离为√((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)。
2. 坐标轴的平面：由X轴和Y轴组成的平面叫做XY平面，由X轴和Z轴组成的平面叫做XZ平面，由Y轴和Z轴组成的平面叫做YZ平面。
3. 坐标轴上的投影：在空间直角坐标系中，一个点在某个坐标轴上的投影就是它在该坐标轴上的坐标。
例如，一个点的投影坐标为（x，y，0），表示该点在XY平面上。
4. 坐标轴的正向和负向：在一个坐标轴上，正向是指从原点指向无穷大的方向，负向是指从原点指向负无穷大的方向。
§7.2空间直角坐标系及向量运算的坐标表示
1 2 2 2 2 ∴ cos 1cos cos 1( ) ( ) 。 3 3 3
2 2
1 a x a cos 6 2 ， 3 2 a y a cos 6 4 ， 3
2 a z a cos 6( ) 4 ， 3
4 4 , }. 41 41
1 2 cos 例 2.设向 量 a 的 两个方向余弦为 ， cos ， 3 3
又 a 6 ， 求 向 量a 的 坐 标。
1 2 解：∵ cos cos cos 1 ， cos ， cos ， 3 3
2 2
求 分点C 的坐标。
z
M1
C
M2
解：设 分 点C 的坐标为( x, y,z ) ， 则有 M1C CM 2 ，
o
y
x
即 { x x1 , y y1 , z z1 } { x 2 x , y2 y , z 2 z } ，
故有 x x1 ( x2 x ) ， y y1 ( y2 y ) ， z z1 ( z2 z ) ，
§34 空间直角坐标系 及向量运算的坐标表示
7.2.1 空间直角坐标系
一、空间直角坐标系与点的坐标 三个坐标轴的正方向符合 右手系.
z
竖轴
z 轴， 即以右手握住 当右手的四个手指
从正向 x 轴以 角 2 度转向正向 y 轴
时，大拇指的指向 就是z 轴的正向.
定点 o
y 纵轴
横轴 x
空间直角坐标系
非零向量与三条坐标轴的正向的夹角称为方向角.
z
M2 M1
0 ,
0 , 0 .
2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.3空间直角坐标系课件北师大版必修220171016317
������ = 4, ������ = -1, ������ = 0.
故点P关于点A(1,0,2)对称的点P3的坐标为(4,-1,0). 答案:(-2,-1,-4) (-2,1,-4) (4,-1,0)
题型一
题型二
题型三
题型四
(2)关于哪条坐标轴对称 ,哪个坐标不变 ,其余的坐标分量变为原 来的相反数 ,即 P(x,y,z) P(x,y,z) P1(x,-y,-z); P2(-x,y,-z);
P(x,y,z) P3(-x,-y,z). (3)关于原点对称的点 ,三个坐标分量均变为原来的相反数 . P(x,y,z) P1(-x,-y,-z).
【做一做2-3】 如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则 点B1的坐标是( ) A.(1,0,0) B.(1,0,1) C.(1,1,1) D.(1,1,0)
答案:C
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一 由点的坐标确定点的位置
【例1】 在空间直角坐标系中,作出点M(4,-2,5). 解:方法一:依据平移的方法,为了作出点M(4,-2,5),可以按如下步 骤进行: (1)在x轴上取横坐标为4的点M1; (2)将M1在xOy平面内沿与y轴平行的方向 向左平移2个单位长度,得到点M2; (3)将点M2沿与z轴平行的方向向上平移 5个单位长度,即可得到点M,如图所示.
【做一做1】 下面表示空间直角坐标系的直观图中,是右手系的 是( )
A.①③ 答案:C
B.③ C.①②
D.①②③
2.空间直角坐标系中点的坐标 在空间直角坐标系中,用一个三元有序数组来刻画空间点的位置. 空间任意一点P的坐标记为(x,y,z),第一个是x坐标,第二个是y坐标, 第三个是z坐标. 在空间直角坐标系中,对于空间任意一点P,都可以用一个三元有 序数组(x,y,z)来表示;反之,任何一个三元有序数组(x,y,z),都可以确 定空间中的一个点P.这样,在空间直角坐标系中,点与三元有序数组 之间就建立了一一对应的关系.
【三维设计】高中数学 第一部分 第二章§3 3.1 空间直角坐标系的建立 3.2 空间直角坐标系中点的坐标 3.3 空
在空间直角坐标系中，点的坐标可用有序实数组(x，y，z)
表示． 问题1：y轴上点的坐标有什么特点？ 提示：可用(0，y,0)表示．
问题2：点(2,0，－1)，(－1,0,3)，(2,0,3)有什么
特征？这些点的位置如何？
提示：这些点纵坐标为零，都在xOz平面上． 问题3：点(2,1,3)关于x轴和xOy平面的对称点坐 标各是什么？ 提示：(2，－1，－3)，(2,1，－3)．
来确定其位置；平面直角坐标平面上的点M可以用一对 有序实数(x，y)来确定其位置．那么，一架空中飞行的 飞机的位置，该怎样确定呢？ 问题1：只给出飞机所在位置的经度和纬度，能确 定飞机位置吗？ 提示：不能具体确定．
问题2：如果不仅给出飞机位置的经度和纬度，再给
出高度，能确定飞机的位置吗？
提示：能确定．
[一点通]
空间对称点的坐标规律
空间对称问题要比平面上的对称问题复杂，除了关于 点对称，直线对称，还有关于平面对称，在解决这一类问 题时，注意依靠x轴、y轴、z轴作为参照直线，坐标平面
为参照面，通过平行、垂直确定出对称点的位置．空间点
关于坐标轴、坐标平面的对称问题，可以参照如下口诀记 忆：“关于谁谁不变，其余的相反”．如关于x轴对称的点x 坐标不变，y坐标、z坐标变为原来的相反数；关于xOy坐 标平面对称的点x、y不变，z坐标相反．特别注意关于原
问题3：点A(3，－1,0)与点B(－1,2,0)的距离为多少？
提示：A、B都在平面xOy上， |AB|＝ 3＋12＋－1－22＝5.
问题4：如果|OP|的长为r，那么x2＋y2＋z2＝r2表示 什么图形？
提示：表示以O为球心，以r为半径的球面．
空间直角坐标系13549资料
x
y
z
x1 x2
2 y1 y2
2 z1 z2
2
例3:已知三角形的三个顶点A(1,5,2)， B(2,3,4)，C(3,1,5)，求: (1)三角形三边的边长；
解: AB 1 22 5 32 2 42 3
BC 2 32 3 12 4 52 6
z
R M
O
Q
y
P
M’
x
例题选讲:
例1在空间直角坐标系作出点（５,４,６）.
分析：
z
Ｏ
从原点出发沿x轴 正方向移动５个单位
Ｐ1
Ｐ1
沿与y轴平行的方向 向右移动４个单位
Ｐ
Ｐ１５ o
2
４
Ｐ
沿与z轴平行的方向 向上移动６个单位
Ｐ
x
2
Ｐ（５,４,６）
６
y
Ｐ2
例题选讲:
例2
如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为 AB=12， AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射 线AB，AD，AA′分别为x轴、y轴和z轴的正半轴，建 立空间直角 坐标系，求长方体各个顶点的坐标。
22
例7:已知 A( 3,3,3 2), B( 3,1, 2) ，在平面 Oyz上是否存在一点C，使 ABC为等边三角 形，如果存在求C坐标，不存在说明理由。
解:假设存在一点C(0,y,z)，满足条件：
AB AC BC
3
3 2 3 12 3 2
2
2
在空间直角坐标系中,点P(x0，y0，z0)到 坐标轴的距离，怎么求？
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.
13
１画法． ３．运用空间直角坐标系表示空间点的坐标．
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x P(x,0,0)
A(x,y,0)
.
11
1、在空间直角坐标系中描出下列 各点，并说明这些点的位置
A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0）
D（1,0,3）z E（2,2,0） F（1,0,0）
D• •B
1 •A
O•
F• 1
C
•
y
1
•E
x
.
12
如图，长方体OABC – D′A′B′C′中，|OA| = 3，|OC| = 4，|OD′| = 3，A′C′与B′D′相交于点P.分别写出点 C、B′、P的坐标. 答案：C、B′、P 各点的坐标分别是(0，4，0)，(3，4，3)， ( 3 , 2,3)
z • P3
1
•P
y
x
x
•
•o
1 P1
1
• P2y
.
8
3、空间中点的坐标
方法二：过P点作xOy面的垂线，垂足为
P
点。
0
点P
在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的横坐标、
0
纵坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足 P 1在z轴上的坐
标z就是P点的竖坐标。
z
z P1
P
P点坐标为
1
x
•o
1
1
xM
•
yy
N
• P0
3.1 空间直角坐标系的建立
.
1
下图是一个房间的示意图,我们来探讨表示电灯位置的方法.
z
墙
墙 地面
4 3
1
O1
4
x
.
(4,5,3 ) 5y
2
空间直角坐标系
z
从空间某一个定点０引三条互相
垂直且有相同单位长度的数轴，这样
就建立了空间直角坐标系０－xyz．
o
y
x
点Ｏ叫作坐标原点，x，y，z轴统称为坐标轴，这三条
坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为xoy平面、
yoz平面、和 zox平面．
.
3
2、空间直角坐标系的划分
Ⅲ
yz面
Ⅳ
x y面
z zx面
Ⅱ
•O
Ⅰ
y
Ⅶx
Ⅷ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
.
4
右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂
直，并使四指先指向x轴正方向，然后让
四指沿握拳方向旋转 9 0 o 指向y轴正方 向，此时大拇指的指向即为z轴正向.我
们也称这样的坐标系为右手系 ．
z 说明:
☆本书建立的坐标系
都是右手直角坐标系.
o
x
.
y
5
.
6
空间直角坐标系的画法:
z
1.x轴与y轴、x轴与z轴均成135°,
而z轴垂直于y轴．
2.y轴和z轴的单位长度相同，x 1350 o
轴上的单位长度为y轴（或z轴）
1350
y
的单位长度的一半．
x
.
7
3、空间中点的坐标
(x,y,z)
.
9
应用举例
例1．在空间直角坐标系中作出点P(3,-2,4).
解 先确定点P′(3,-2,0)在xOy平面上的位置.
因为点P的z坐标为4, 则|P′P|=4，且点P和z轴的正半轴 在xOy平面的同侧，这样就确定 了点P在空间直角坐标系中的位置, 如右图所示.
.
10
想
在空间直角坐标系中, x轴上的点、xoy
对于空间任意一点P，要求它的坐标
方法一：过P点分别做三个平面分别垂直于x,y,z
轴，平面与三个坐标轴的交点分别为P1、P2、P3，在其 相应轴上的坐标依次为x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的 空间直角坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，数值x,y,z
叫做 P点的横z 坐标、纵坐标、竖坐标。
一 想
坐标平面内的点的坐标各有什么特点？
？ 1．x轴上的点横坐标就是与x轴交点的坐
标，纵坐标和竖坐标都是０．
z
２．xoy坐标平面内的点
R(0,0,z)
B(0,y,z)的竖坐标为０，横坐标
与纵坐标分别是点向两
C(x,o,z)
•M(x,y,z) 轴作垂线交点的坐标．
O(0,0,0) o
y
Q(0,y,0)