《数据结构》最短路径关键路径及其应用

2012年11月3日星期六
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求从源点到其余各点的最短路径
的算法的基本思想:
依最短路径的长度递增的次序求得 各条路径
v1 v2
源点
…
其中，从源点到 顶点v的最短路径 是所有路径中长 度最短者。
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2012年11月3日星期六
给定带权有向图G和源点v, 求从v到G中其余 各顶点的最短路径。
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最短路径、关键路径 及其应用
2012年11月3日星期六
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最短路径问题
所谓最短路径问题是指：如果从图中某一 顶点（称为源点）出发到达另一顶点（称 为终点）的路径可能不止一条，如何找到 一条路径使得沿此路径上各边的权值总和 达到最小。
+ 求从某个源点到其余各点的
最短路径
每一对顶点之间的最短路径
+ 首先运行程序，包括三个选项，
+ a.需要求最短路径请按：1.
+ b.输出有向图G的邻接矩阵：2.
+ c.退出系统请按：3 .
+ 然后可以根据不同的需要选择不同的选项
进行操作 + 最后按3退出程序。
测试丁和己
拓扑排序
问题:
假设以有向图表示一个工程的施 工图或程序的数据流图，则图中不允 许出现回路。
该点(只含一条弧)； 或者是从源点经过顶点 v1，再到达该顶点(由两条弧组成)；或者是 从源点经过顶点v2，再到达该顶点。
其余最短路径的特点： 它或者是直接从源点到该点(只含一条弧 )； 或者是从源点经过已求得最短路径的 顶点，再到达该顶点。
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如何在计算机中 求得最短路径？
D 0 0 1 2 P 0 0 1 2 BA CA 0 6 3
D(-1) 1 4 0 P(-1) 1 AB 2 AC BC BA CA 0 2 11 2 0 0 0 6 3
D(0) 1 4 0 7 P(0) 1 AB 2 AC BC CAB BA CA 0 2 11 2 0 0 0 6 3
D(1) 1 4 0 7 P(1) 1 AB 2 ABC BC CAB BCA CA 0 2 6 2 0 0 0 5 3
4）void Floyd(MGraph g,int v,int endv) //采用弗洛伊 德算法求没对顶点之间的最短 路径
5）int main（） //主函数 + 各程序模块之间的调用关系： + 函数3）可以调用函数2）。 + 函数4）可以调用函数3）。 + 函数5）可以调用函数1）和函数4）。 + （具体程序略）
+ 概要设计 + 对于这样的问题，先假设有四个城市甲乙
丙丁，甲乙相距2千米，且只有从乙到甲的 单程线路。甲丙相距7千米，且只有从甲到 丙的单程线路。甲丁相距4千米，且只有从 甲到丁的单程线路。乙丙相距5千米，且只 有从丙到乙的单程线路。乙丁相距3千米， 且只有从丁到乙的单程线路。丙丁相距3千 米，且只有从丁到丙的单程线路。戊甲相 距6千米，且只有从戊到甲的单程线路。戊 丁相距2千米，且只有从丁到戊的单程线路。 乙己相距8千米，且只有从乙到己的单程线 路。丙己相距6千米，且只有从己到丙的单 程线路。 + 编程出能求出个一点到任一点的最短路经。
V1 V2 V3 V4 V5 Vj
S={V0}
100{V0,5} 100{V0,5}
60{V0,4,3,5} V5
{V0,V2,V4,V3,V5}
V2
{V0,V2}
V4
{V0,V2,V4}
{V0,V2,V4,V3,V5 ,V1}
1）在所有从源点出发的弧中选取一条权 值最小的弧，即为第一条最短路径。
G .arcs [ v 0 ][ k ] V0和k之间存在弧 Dist [ k ] 和k之间不存在弧 INFINITY
其中的最小值即为最短路径的长度。
2）修改其它各顶点的Dist[k]值。
假设求得最短路径的顶点为u， 若 Dist[u]+G.arcs[u][k]<Dist[k] 则将 Dist[k] 改为 Dist[u]+G.arcs[u][k]。
+ + + + +
该程序所做的工作是给司机们提供最佳 路线，来提高能源和时间的合理利用。 此程序规定： 1.把城市交通线路转化为图，从而对图进 行相应的结构存储； 2.程序的输出信息主要为：起始城市 到目的城市的最短路径； 3.程序的功能主要包括：城市之间路径 的存储，最短路径的计算，以及最短路径 和邻接矩阵的输出；
D(2) 1 4 0 7 P(2) 1 AB 2 ABC BC CAB 2 6 2 0
最短路径导航查询系统(图)
+ 设计一个交通导航质询系统，能让旅
客质询从任一个城市顶点到另一个城 市顶点之间的最短路径问题。设计分 为三个部分，一是建立交通网络图的 存储结构；二是解决单源最短路径问 题；最后再实现两个城市顶点之间的 最短路径问题。
检查有向图中是否存在回路的方法
之一，是对有向图进行拓扑排序。
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何谓“拓扑排序”？
对有向图进行如下操作：
按照有向图给出的次序关系，将图中 顶点排成一个线性序列，对于有向图中 没有限定次序关系的顶点，则可以人为 加上任意的次序关系。AOV（Activity On
Vertex）网:就是顶点代表活动，边（狐）表示 活动的优先关系的有向图。
可见，D(1)[i][j]就是从vi到vj的中间顶点的序号不大于1的 最短路径的长度; D(k)[i][j]就是从vi到vj的中间顶点的序号不大于k的 最短路径的长度;
D(n-1)[i][j]就是从vi到vj的最短路径的长度。
最短路径弗洛伊德举例
各顶点间的最短路径及其路径长度
0 4 11 6 0 2 3 ∞ 0
求最短路径的迪杰斯特拉算法： 设置辅助数组Dist，其中每个分量
Dist[k] 表示 当前所求得的从源点到其余各 顶点 k 的最短路径。
一般情况下， Dist[k] = <源点到顶点 k 的弧上的权值> 或者 = <源点到其它顶点的路径长度> + <其它顶点到顶点 k 的弧上的权值>。
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V5
10
60
V0 V1
5
30
始点 终点
D[i]
∞
最短路径
(V0, V2)
V4
20
10
V0
V1 V2 V3 V4 V5
10
50 60 ∞ 30 100 60 90
(V0, 0, 4, 2)3) (V V V V
(V0, 0, 2, 4)3) (V V4 V V (V0, 0V4, 4V3, (V , V ) (V0, V,5V5)5) (V0 4, V V)
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求每一对顶点之间的最短路径
弗洛伊德算法的基本思想是：
从 vi 到 vj 的所有可能存在的 路径中，选出一条长度最短的路径。
2012年11月3日星期六
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若<vi,vj>存在，则存在路径{vi,vj} // 路径中不含其它顶点 若<vi,v1>,<v1,vj>存在，则存在路径{vi,v1,vj} // 路径中所含顶点序号不大于1 若{vi,…,v2}, {v2,…,vj}存在， 则存在一条路径{vi, …, v2, …vj} // 路径中所含顶点序号不大于2
则图G的邻接矩阵为：
+
+ + + + + + + + + + +
甲 乙 丙 丁 戊 己 甲 ∞ ∞ 7 4 ∞ ∞ 乙 2 丙 ∞ 丁 ∞ 戊 6 己 ∞ ∞ 5 3 ∞ ∞ ∞ ∞ 3 ∞ 6 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ 2 8 ∞ ∞
∞ ∞ ∞ ∞
系统用到的数据有： int which; int v ; int endv; 用到的主要函数： 1）void DispMat(MGraph g) //输出邻接矩 阵g 2）void ppath(int path[][MAXV],int v,int endv) //输出相应选择的起点和终点的最短路 3）void DisPath(int A[][MAXV],int path[][MAXV],int n,int v,int endv)//由path计 算最短 路径
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例如：对于下列有向图
B
A
C
D
可求得拓扑有序序列：
ABCD
2012年11月3日星期六
或 ACBD
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反之，对于下列有向图
B
A C D
不能求得它的拓扑有序序列。 因为图中存在一个回路 {B, C, D}
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AOV网(Activity on vertex network) 一个有向图可用来表示一个施工流程图、一个产品 生产流程图、或一个程序框图等。如图：
弗洛伊德算法思想：
假设求从顶点Vi到Vj的最短路径。如果从Vi到 Vj有弧，则从Vi到Vj存在一条长度为a[i][j]的路 径，该路径不一定是最短路径，尚需进行n次试探 。
首先考虑路径（Vi,V0,Vj）是否存在（即判别 （Vi,V0）、（V0,Vj）是否存在）。如存在，则比 较（Vi,Vj）和（Vi,V0,Vj）的路径长度，取长度较 短者为从 Vi到Vj 的中间顶点的序号不大于0 的最 短路径。假如在路径上再增加一个顶点 V1，…依 次类推。可同时求得各对顶点间的最短路径。
定义一个n阶方阵序列
D(-1),D(0),D(1),D(2),…,D(k),…,D(n-1) 其中：