数学建模讲义9.2

§9.2合作对策模型
力合作，常常可以获得更大的总收益（或受到更小的总损失）。

本节主要讨论在这种合作中应当如何分配收益（或分摊损失），这一问题如果处理不当，合作显然是无法实现的。

先让我们来分析一个具体实例
例7有三个位于某河流同旁的城镇城1、城2、城3(如图）三城镇的污水必须经过处理后方能排入河中，他们既可以单独建立污水处理厂，也可以通过管道输送联合建厂。

为了讨论方便起见，我们再假设污水只能由上游往下游。

用Q表示污水量，单位为米3/秒，L表示管道长度，单位为公里，则有经验公式：
建厂费用
C
1=730Q0.712（万元）
管道费用
C
2=6.6Q0.51L(万元）
已知三城镇的污水量分别为：
Q 1=5米3/秒，Q
2
=3米3/秒，Q
3
=5米3/秒，问：
三城镇应怎样处理污水方可使总开支最少？每一城镇负担的费用应各为多少？
城一
城二
城三38公里
20公里
分析本问题中三城镇处理污水可以有五种方案：
(1)每城镇各建一个处理厂（单干）。

(2)城1,城2合建一个,城3单独建一个(1、2城合作建于城2处)。

(3)城2,城3合建一个,城1单独建一个(2、3城合作建于城3处)。

(4)城3,城1合建一个,城2单独建一个(1、3城合作建于城3处)。

(5)三城合建一个污水处理厂（建于城3处）城一城二城三
38公里20公里容易计算：方案总投资(：万元)
1620025800
3
59504
623055560以三城合作总投资为最
少
费用怎么分摊呢？
建厂费用按三城污水量之比5：3：5分摊，管道是为城1、城2建的，应由两城协商分摊。

城一城二城三
38公里
20公里建厂处同意城3意见，由城2→城3的管道费用可按污水量之比5：3：5分摊，但城1→城2的管道费用应由城1承担。

分摊方案有道理，但得作一番“可行性论证”，城1的“可行性论证”：联合建厂费：（万元）城1负担：（万元）城1→城2管道费：（万元）全部由城1负担城2→城3管道费：（万元）城1负担：（万元）城1的总负担：约为2457万元
4530)535(730712.0=++⨯17424530135≈⨯3002056.651.0≈⨯⨯72438)35(6.651.0≈⨯+⨯5.42572485=⨯城1自己建厂费用：2300万元合作后城1费用增加！差点做了冤大头！！！
怎样找出一个合理的分摊原则，以保证合作的实现呢？
N 人合作对策模型
设有一个n 人的集合I={1,2,…,n}，其元素是某一合作的可能参加者。

(1)对于每一子集S I ，对应地可以确定一个实数V(S)，此数的实际
意义为如果S 中的人参加此项合作，则此合作的总获利数为V(S)，十分明显，V(S)是定义于I 的一切子集上的一个集合函数。

根据本问题的实际背景，还应要求V(S)满足以下性质:
⊆=0（没有人参加合作则合作获利不能实现）
)(φV 对一切满足的S 1、S 2成立
具有这种性质的集合函数V （S ）称为I 的特征函数。

)()()(2121S V S V S S V +≥ φ=21S S
(2)定义合作结果V （S ）的分配为，其中表示第i 人在这种合作下分配到的获利。

显然，不同的合作应有不同的分配，问题归结为找出一个合理的分配原则来，
被称为合作对策))(,),(()(1V V V N ϕϕϕ =)
(V i ϕ)(V ϕ)(V ϕ年Shapley 采用逻辑建模方法研究了这一问题。

首先，他归纳出了几条合理分配原则应当满足的基本性质（用公理形式表示），进而证明满足这些基本性质的合作对策是唯一存在的，从而妥善地解决了问题。

(V ϕ(V ϕ是否存在合理分配原则)
(V ϕ
Shapley 提出了以下公理：
设V 是I 上的特征函数，
是合作对策，则有)(V ϕ1合作获利对每人的分配与此人的标号无关。

2，即每人分配数的总和等于总获利数。

∑==n
i i
I V V 1)()(ϕ3若对所有包含的i 的子集S 有：V(S-{i})=V(S)，
=0。

)(V i ϕ即若第i 人在他参加的任一合作中均不作出任何贡献，则他不应从合作中获利
4若此n 个人同时进行两项互不影响的合作，则
两项合作的分配也应互不影响，每人的分配
额即两项合作单独进行时应分配数的和。

利用上述公理可以证明满足公理1~4的是唯一存在的(证明略)
)(V ϕ存在的公式吗)(V ϕShapley 指出，
可按下列公式给出：)(V ϕ∑∈--=
i S S i i S V S V S W V })]{()(|)[(|)(ϕ(11.1)i=1,…,n
S i 是I 中包含i 的一切子集所成的集合，
|S|表示集合S 中的元素个数，而
!|)!|()!1|(||)(|n S n S S W --=(11.2)
可视为i 在合作
S 中所作的贡献
W(|S|)可看作这
种贡献的权因子
合作的获利真的不少于他单干时的获利吗对每一i ∈I ，有})({)(i V V i ≥ϕ:
:|S|=K 时，包含i 的子集S 共有个
11--k n C
即个)!()!1()!1K
n K n ---)!()!1()!1(!)!()!1(|)(|||K n K n n K n K S W i S S K S ---⋅--=∑∈=故= 1/n 1|)(|(|)(|||1==∑∑∑∈==∈i i S S K S n K S S S W S W 从而})({}){()(i V i S V S V ≥--又根据性质，有
})]
{()([|)(|)(i S V S V S W V i
S S i --=∑∈ϕ})
({|)(|})({i V S W i V i S S =≥∑∈故有
城1 获利=67+130=197（万元）承担总费用：2300-197=2103（万元）130
0670W(|S|)[V(S)-V(S-{I})]1/31/61/61/3W(|S|)32
21|S|
39004000V(S)-V(S-{I})250000V(S-{I})64004000V(S){1，2，3}{1，3}{1，2}{1}S )(1V 城一城二城三38公里20公里建厂处解决三城镇污水处理问题城1究竟应当承担多少费用首先不难看出：S 1={{1},{1,2},{1,3},{1,2,3}} 计算出与(11.1)式有关的数据并列成表
总投资大于单干总投资，合作不可能实现，合作获利为0
城2和城3应该承担的费用可类似算出
我们应该承担的是2103万元！。