圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题沈烨

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MS15斜率和与积的定值问题

圆锥曲线斜率和与积问题(一)圆锥曲线二次方程的两边除以/便可构造出关于上的二次方程，Ao 是这个关于2的方程的两个XX根，当问题涉及或可转化为％八+心8或LMMoB 时，我们便可利用根与系数的关系解题。

∕lf 椭圆斜率互补与垂直的问题2 2 已知点尸(XO ,打)是椭圆三+4=l(">8>0)上的一个定点，A,8是椭圆上的两个动点。

ab~(1)若尸Aj_P8,则直线AB 过定点匕/0，-雪二⅛%];Ia÷b~ cι~÷b~J(2)若直线PAPB 与X 轴围成以点尸为顶点的等腰三角形，则直线AB 的斜率为定值丝∙°%。

证明将椭圆C 按向量而(一%,-X ))平移得椭圆C ：("+：0丫+(>+巫=1ab~又点P(Xo,%)在椭圆二+二=1上，所以-¾~+2%=1,代入上式得=+M^1—^∙x^ι—"y=0①。

ab~ ah~ ah~a~b~椭圆C 上的定点P(x 0,%)和动点A,B 分别对应椭圆C 上的定点O 和动点A',B ,,设直线Aff 的方程为 mx+ny=∖,代入①得~~j+「+(―γx —与y)+=O o 当x≠0时，两边除以一得。

a"ba"b“ 1+2，。

〃∖+(冬+2挈)2+1+2jo”=O 因为点A,B'的坐标满足这个方程,所以左M 次的是这个关b Jr abXa 于上的方程的两个根。

X(1)若PA_LP3,由平移性质知。

4'JLQ 夕，所以ZQNMQ&= 即2〃XOm+2/%〃=_(/+〃)，所以一学移一学[=1。

由此知点(一军工一卫卫]在直线a+b~a+b[a~+b- +h~) mx+ny=∖上，即直线A t B t 过定点∣-⅛⅛--⅛¾∣,从而直线相过定点∖a~+b~a~+h~If 2b 2x 0 2a 2y 0 ) a 2-b 2 a 2-b 2、(2)依题意知直线PAP3的倾斜角互补且斜率存在，由平移性质知，直线04,03'的倾斜角也互补且斜率存在，所以+Z°zr =0,即与+2当”=0,由此得心zr =一%二骂。

圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题【原题】在平面直角坐标系xOy 中,已知点()1F、)212,2F MF MF -=,点M 的轨迹为C .（1）求C 的方程；（2）设点T 在直线12x =上,过T 的两条直线分别交C 于A 、B 两点和P ,Q 两点,且TA TB TP TQ ⋅=⋅,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.【解析】(1)因为12122MF MF F F -=<=所以,轨迹C 是以点1F 、2F 为左、右焦点的双曲线的右支,设轨迹C 的方程为()222210,0x y a b a b-=>>,则22a =,可得1a =,4b ==,所以,轨迹C 的方程为()221116y x x -=≥；（2）设点1,2T t ⎛⎫ ⎪⎝⎭,若过点T 的直线的斜率不存在,此时该直线与曲线C 无公共点,不妨直线AB 的方程为112y t k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即1112y k x t k =+-,联立1122121616y k x t k x y ⎧=+-⎪⎨⎪-=⎩,消去y 并整理可得()()222111111621602k x k t k x t ⎛⎫-+-+-+= ⎪⎝⎭,设点()11,A x y 、()22,B x y ,则112x >且212x >.由韦达定理可得2111221216k k t x x k -+=-,211221116216t k x x k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-,所以,()()()()22122121121122112111111222416t k x x TA TB k x x k x x k +++⎛⎫⋅=+⋅-⋅-=+⋅-+= ⎪-⎝⎭,设直线PQ 的斜率为2k ,同理可得()()2222212116t k TP TQ k ++⋅=-,因为TA TB TP TQ ⋅=⋅,即()()()()22221222121211211616t k t k k k ++++=--,整理可得2212k k =,即()()12120k k k k -+=,显然120k k -≠,故120k k +=.因此,直线AB 与直线PQ 的斜率之和为0.【就题论题】解析几何解答题与导数解答题一般常作为压轴题出现,解析几何解答题一般难在运算量大上,往年解析几何解答题一般考查椭圆与抛物线,今年是第一次在解答题中考查双曲线.【命题意图】本题考查双曲线的定义及直线与圆锥曲线的位置关系,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难【考情分析】解析几何解答题是每年必考题,该题一般分2问,第1问一般考查曲线的方程,第2问一般考查弦长、三角形面积、定点、定值及最值问题.【得分秘籍】1.圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关．2.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题意设条件,得出与代数式参数有关的等式,代入代数式、化简即可得出定值；(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、变形求得；(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式,再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．【易错警示】1.应注意平面内到两个定点F 1,F 2的距离之差等于定长2a (a >0)的点的轨迹不是双曲线；当定长2a <|F 1F 2|时,表示的只是双曲线的一支；当2a ＝|F 1F 2|时,表示的是一条射线；当2a >|F 1F 2|时,点的轨迹不存在．2.设直线的点斜式方程或斜截式方程要先判断斜率是否存在,若有可能不存在,要讨论．（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）解答题1．（2021福建省福建师范大学附属中学高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的虚轴长为4,直线20x y -=为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A 、B ,过点(2,0)T 的直线l ,与双曲线交于两点M 、N ,直线MA 交y 轴于点P ,直线NB 交y 轴于点Q ,记PAT 面积为1S ,QBT △面积为2S ,求证：12S S 为定值．【解析】（1）由题意可知2b =,因为一条渐近线方程为2y x =,所以2b a=,解得1a =,则双曲线方程为2214y x -=；（2）证明：由题意可得(1,0),(1,0)A B --,设直线1122:2,(,),(,)l x ny M x y N x y =+,把直线方程带入双曲线方程整理可得：22(41)16120n y ny -++=,可得1212221612,4141n y y y y n n +=-=--,即有12123()4ny y y y =-+,设直线方程11:(1)1y MA y x x =+-,可得11(0,)1y P x +,设直线22:(1)1y NB y x x =--,可得22(0,)1y Q x -,又3,1AT BT ==,所以111122212231(1)3(3)1y x S y ny S y ny y x ++==+-12112112122121223()3433313339()34y y y ny y y y y ny y y y y y y y -+++-====+-+-++2．（2021福建省福州市高三5月二模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ,B ,O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ,Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时,过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ,N 两点,直线AM ,BN 的斜率分别为1k ,2k ,试判断12k k 是否为定值？若是,求出定值,并加以证明；若不是,请说明理由.【解析】解法一：（1）以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点坐标分别为(,0)B a ,,22a a P ⎫⎛⎪⎝⎭,,22a a Q ⎫⎛- ⎪⎝⎭.因为P ,Q 在椭圆上,所以2222441a a a b ==,所以223a b =,所以22222c a b b =-=,所以椭圆的离心率63ce a ==；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.12k k 为定值13,理由如下：①当直线l 的斜率不存在时,l 的方程为1x =,则(1,1)M ,(1,1)-N ,所以1111121(2)3y k x ===+--,22211212y k x -===--,所以1231kk =.②当直线l 的斜率存在时,设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不妨设210y y <<,且120y y +≠.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.要证1231k k =,只要证明：11221232y x y x +=-,只要证：()()1221322y x y x -=+,只要证：()()1221313y my y my -=+,只要证：()121223my y y y =+,因为120y y +≠,0m ≠,即证121232y y y y m=+,因为12223m y y m +=-+,12233y y m =-+,所以121232y y y y m =+.所以1231k k =成立,综上所述：1231k k =.解法二：（1）同解法一；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不妨设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()22 3230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.所以121223y y m y y +=,即()121223my y y y =+.11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=+()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+.综上所述：1231k k =.解法三：（1）同解法一；（2）当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设l 的方程为1x my =+,0m ≠,设()11,M x y ,()22,N x y ,不防设210y y <<.由22134x my x y =+⎧⎨+=⎩可得()223230m y my ++-=,2Δ16360m =+>,12223m y y m +=-+,12233y y m =-+.因为N 在椭圆上,所以222234x y +=,即2222430x y -+=,所以22221223y y x x ⋅=--+.11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=⋅+1212322y y x x -=⋅++,()()1212333y y my my -=++()1221212339y y m y y m y y -=+++2222333323933m m m m m m ⎫⎛-- ⎪+⎝⎭=⎫⎫⎛⎛-+-+ ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭229132733m m +==+.所以1231k k =.综上所述：1231k k =.解法四：（1）同解法一；当2a =时,3b =,所以椭圆的方程为2234x y +=.设()11,M x y ,()22,N x y ,因为M 在椭圆上,所以221134x y +=,所以11111223y y x x ⋅=-+-.所以111111223y x k x y -==-⋅+,同理222221223y x k x y +==-⋅-.设12k t k =,则()()()()211212212222x y x y t x y x y --==++,所以122211 22tx y ty x y y +=-,①12221122x y y tx y ty -=+,②①+②得122211(1)2(1)(1)2(1)t x y t y t x y t y ++-=++-,当1t =-时得21 y y =,不合题意,舍去.当1t ≠-时,12212(1)2(1)11t t x y x y t t --⎫⎫⎛⎛-=- ⎪ ⎪++⎝⎝⎭⎭,所以直线MN 经过点2(1),01t t -⎫⎛ ⎪+⎝⎭,又MN 过定点(1,0),故2(1)11t t -=+,解得13t =.综上所述：1231k k =.3．（2021福建省三明市高三三模）在平面直角坐标系xOy 中,P 是圆22:2150E x y x ++-=上的动点,已知()1,0F ,且线段PF 的垂直平分线交PE 于Q ,设Q 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程；（2）设直线l 与C 交于A ,B 两点,若31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且ABM 内切圆的圆心在直线FM 上,则直线l 具备以下哪个性质？证明你的结论.①l 恒过定点,②l 的斜率恒为定值,③O 到l 的距离恒为定值.【解析】圆E 的方程化为()22116x y ++=,的：所以圆心()1,0E -,半径4r =.因为Q 在PF 的垂直平分线上,所以QF QP =,所以4QE QF QE QP EP +=+==.又因为2EF =,则2QE QF +>,所以Q 的轨迹是以E ,F 为焦点,长轴长为4的椭圆,由24a =,1c =,得b ==所以C 的方程为22143x y +=.（2）直线l 满足性质②,证明如下：若直线l 的斜率不存在,则//AB FM ,此时ABM 的内切圆圆心不在FM 上,不符合题意.设l 的方程为y kx m =+.联立22,1,43y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得：()22143kx m x ++=,整理得：()2224384120k x kmx m +++-=.设()11,A x y ,()22,B x y ,则11x ≠,21x ≠,且122843km x x k +=-+,212241243m x x k -⋅=+.因为ABM 的内切圆圆心在直线FM 上,所以FM 平分AMB ∠,即直线MA ,MB 关于直线FM 对称.又因为FM x ⊥轴,且直线MA ,MB 的斜率均存在,所以直线MA ,MB 的斜率之和为0,即12123322011y y x x --+=--.化为()()()()121212*********y x x y x x ⎛⎫⎛⎫--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--,又由11y kx m =+,22y kx m =+,整理得()()()12121232322011kx x m k x x m x x ⎛⎫+--++- ⎪⎝⎭=--,所以22241238232043243m km k m k m k k -⎛⎫⎛⎫⋅+---+-= ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭,整理得：()2448230k m k m +--+=.化为()()212230k k m -+-=.若2230k m +-=,则l 过点M ,此时A ,B ,M 共线,不符合题意.所以210k -=,即12k =.所以l 的斜率恒为定值12.4．（2021广东省汕头市高三二模）已知双曲线方程为22221x y a b-=,1F ,2F 为双曲线的左､右焦点,离心率为2,点P 为双曲线在第一象限上的一点,且满足120PF PF ⋅= ,126PF PF =.（1）求双曲线的标准方程；（2）过点2F 作直线l 交双曲线于,A B 两点,则在x 轴上是否存在定点(),0Q m ,使得QA QB ⋅ 为定值,若存在,请求出m 的值和该定值,若不存在,请说明理由.【解析】（1）解法一：由2c e a ==得：2c a =,b ∴==,120PF PF ⋅= ,∴12PF PF ⊥,在12Rt F PF 中,由122PF PF a -=得：222121224PF PF PF PF a +-=,代入222124PF PF c +=,126PF PF =得：224124c a -=解得：23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213yx -=.解法二：由2ce a==得：2c a =,b ∴==,设点()(),0P x y y >,则点P 满足22221x y a b-=…①,120PF PF ⋅= ,()()222,,0c x y c x y x c y ∴---⋅--=-+=,即222x y c +=…②,121211222F PF S PF P y c F ⋅==,即3y c ⋅=…③,则由①②得：2b y c =,代入③得：23b =,21a =,∴双曲线方程为：2213y x -=.（2）解法一：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-；当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()()()()()221212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()()()()22221291223131t t m t m t t -=++-+---,令21QA QB m ⋅=- ,即()()()()222911224531t t m m t +--=--,解得：1m =-,则()1,0Q -,此时0QA QB ⋅=；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=；解法二：当l 斜率为0时,:0l y =,此时()1,0A -,()10B ,,由(),0Q m 得：21QA QB m ⋅=-；当l 斜率不为0时,设:2l x ty =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=,则236360t ∆=+>,1221231t y y t -∴+=-,122931y y t =-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()()()()()221212121222122ty m ty m y y t y y m t y y m =+-+-+=+⋅+-++-()()()()()()2222222121215991222313131t m t t m t m m t t t --+=++-+-=+----,若QA QB ⋅ 为定值,则1215931m -=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；当1m =-,l 斜率为0时,210QA QB m ⋅=-=；综上所述,存在1m =-,使得0QA QB ⋅=；解法三：当l 斜率不存在时,:2l x =,此时()2,3A ,()2,3B -,若()1,0Q -,则0QA QB ⋅=；当l 斜率存在时,设():2l y k x =-,()11,A x y ,()22,B x y ,联立()22233y k x x y ⎧=-⎨-=⎩得()222234430k x k x k -+--=,则236360k ∆=+>,212243k x x k -∴+=-,2122433k x x k--=-,()()()()11221212,,QA QB x m y x m y x m x m y y ∴⋅=-⋅-=--+()()221212121224x x m x x m k x x x x =-+++-++⎡⎤⎣⎦()()()22221212124k x x m k x x m k =+-++++()()2222222243412433k k k m k m k k k ---=+-+++--()2224533m k m k +-=+-若QA QB ⋅ 为定值,则45313m +-=-,1m ∴=-,()1,0Q ∴-,此时0QA QB ⋅= ；综上所述：存在1m =-,使得0QA QB ⋅=.5．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知抛物线2:2(0)C x py p =>上的点到点()0,A p 的距离的最小值为2．（1）求C 的方程；（2）若点F 是C 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线1l ,2l ,1l 与C 交于M ,N 两点,2l 与C 交于P ,Q 两点,线段MN ,PQ 的中点分别是S ,T ,是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长恒为定值？若存在,写出一个定圆的方程；若不存在,说明理由．【解析】（1）设00(,)B x y 是抛物线C 上任意一点,则2002x py =,AB ,因为00≥y ,所以当00y =时min AB p ==,依题意得2p =,所以C 的方程为24x y =.（2）因为F 是C 的焦点,所以(0,1)F ,依题意,直线1l 的斜率k 存在且0k ≠,设1:1l y kx =+,由于12l l ⊥,则21:1y x l k=-+,设1122(,),(,),(',')M x y N x y S x y ,由214y kx x y=+⎧⎨=⎩消去y ,得2440x kx --=,22(4)4(4)16(1)0k k ∆=-⨯-=+>,则124x x k +=,因为21:1y x l k=-+所以2(2,21)S k k +,同理得222(,1)T k k -+则直线ST 的斜率为2222(21)(1)1'22()k k k k k k k+-+-==--则直线ST 的方程为221(21)(2)k y k x k k--+=-得213k y x k-=+所以直线ST 恒过定点(0,3)所以存在定圆222(3)H x y r +-=：（r 为常数,且0r ≠）,使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r .6．（2021衡水金卷河北省高三模拟）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左､右焦点分别为12,F F ,双曲线C 的右顶点A 在圆22:2O x y +=上,且122AF AF →→⋅=-.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）动直线l 与双曲线C 恰有1个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ､N ,问(OMN O 为坐标原点)的面积是否为定值？若为定值,求出该定值；若不为定值,试说明理由.【解析】（1）设双曲线C 的半焦距为c ,由点(,0)A a 在圆22:2O x y +=上,得a =由221((2c c c AF AF →→⋅=-⋅=-=-2,得2c =,所以2222b a c =-=,所以双曲线C 的标准方程为22122x y -=.（2）设直线l 与x 轴相交于点D ,双曲线C 的渐近线方程为y x =±当直线l 的斜率在存在时,直线l为|x OD =|MN ==,得1||||2OMN S MN OD =⋅= 2当直线l 的斜率存在时,设其方程为y kx m =+,显然0k ≠,则,0m D k ⎛⎫-⎪⎝⎭把直线l 的方程与22:2C x y -=联立得()221k x -2220,kmx m +++=由直线l 与轨迹C 有且只有一个公共点,且与双曲线C 的两条渐近线分别相交可知直线l 与双曲线的渐近线不平行,所以210k -≠,且0m ≠,于是得()()22222Δ4412010k m k m k ⎧=--+=⎪⎨-≠⎪⎩,得()22210m k =->,得1k >或1k <-,设()()1122,,,M x y N x y ,由y kx m y x =+⎧⎨=⎩,得11m y k =-,同理得21my k=+,所以121||2OMNS OD y y =- 221 2.2111m m m m k k k k =-==-+-综上,OMN 的面积恒为定值2.7．（河北省保定市高三二模）如图,已知双曲线22:13y C x -=的左右焦点分别为1F 、2F ,若点P 为双曲线C在第一象限上的一点,且满足128PF PF +=,过点P 分别作双曲线C 两条渐近线的平行线PA 、PB 与渐近线的交点分别是A 和B.（1）求四边形OAPB 的面积；（2）若对于更一般的双曲线()2222:10,0x y C a b a b'-=>>,点P '为双曲线C '上任意一点,过点P '分别作双曲线C '两条渐近线的平行线P A ''、P B ''与渐近线的交点分别是A '和B '.请问四边形OA P B '''的面积为定值吗？若是定值,求出该定值（用a 、b 表示该定值）；若不是定值,请说明理由.【解析】（1）因为双曲线22:13y C x -=,由双曲线的定义可得122PF PF -=,又因为128PF PF +=,15PF ∴=,23PF =,因为124F F ==,所以,2222121PF F F PF +=,2PF x ∴⊥轴,∴点P 的横坐标为2P x =,所以,22213P y -=,0P y > ,可得3P y =,即点()2,3P ,过点P且与渐近线y =平行的直线的方程为)32y x -=-,联立)32y y x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩,解得1232x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即点33122B ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭,直线OP 的方程为320x y -=,点B 到直线OP的距离为32d ==,且OP =,因此,四边形OAPB 的面积为322OAPB OBP S S OP d ==⋅= △；（2）四边形OA P B '''的面积为定值12ab ,理由如下：设点()00,P x y ',双曲线22221x ya b-=的渐近线方程为b y x a =±,则直线P B ''的方程为()00by y x x a-=--,联立()00b y y x x a b y x a ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,解得00002222x a x y by b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即点0000,2222x y a b B y x b a ⎛⎫++⎪⎝⎭',直线OP '的方程为0y y x x =,即000y x x y -=,点B '到直线OP '的距离为d =22==,且OP '=因此,22OA P B OB P abS S OP d ''''''==⋅=△（定值）.8．（2021湖北省黄冈市高三下学期第四次模拟）已知抛物线()2:20M y px p =>.（1）设R 为抛物线M 上横坐标为1的定点,S 为圆221:24p N x y ⎫⎛-+= ⎪⎝⎭上的上的动点,若抛物线M 与圆N 无公共点,且RS 的最小值265128p ,求p 的值；（2）设直线AC 交抛物线M 于A ,C 两点,另一条直线BD 交抛物线M 于B ,D 两点,AC 交BD 于点,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且直线AC ,BD 的斜率均存在,2OA OB p ⋅=- （O 为坐标原点）,四边形ABCD 的四条边所在直线都存在斜率,直线CD 的斜率不等于0,求证：12AB CD k k =（AB k ,CD k 分别为直线AB ,CD 的斜率）【解析】（1）据题意,RS 的最小转化为R 到圆心的最小值,根据抛物线定义再转化为到抛物线准线的距离,得2651112822pp +=+,所以813p =-（舍）或85p =.（2）证明：设()11,A x y ,()22,B x y ,()33,C x y ,()44D x y ⋅,又2OA OB p ⋅=-,所以21212x x y y p +=-,所以222221124y y y y p p+=-,所以2122y y p =-,设过点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的直线AC 方程为2AC p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,据222AC p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220AC AC k y py k p --=,所以213y y p =-,设过点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭的直线BD 方程为2BD p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,据222BD p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩得2220BD BD k y py k p --=,可得224y y p =-,所以12123434AB CDy y k x x y y k x x --=--()()()()34122341x x y y x x y y --=--()()()()22341222123412=12y y p py y y y y y ----3412y y y y +=+221212p p y y y y --=+212p y y =-222p p =--12=.9．（2021湖北省武汉市武昌区高三下学期5月质量检测）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2,焦距为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ,B 为椭圆C 上两点,O 为坐标原点,12OA OB k k ⋅=-,点D 在线段AB 上,且13AD AB = ,连接OD 并延长交椭圆C 于E ,试问OEOD是否为定值？若是定值,求出定值；若不是定值,请说明理由.【解析】（1）由已知得22c e a ==且22c =,所以a =,1c =.所以椭圆方程为2212x y +=.（2）设点()11,A x y ,()22,B x y ,()34,D x y ,由13AD AB = ,得1231232323x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩,设OE ODλ=,则结合题意可知OE OD λ=,所以()33,E x y λλ.将点()33,E x y λλ代入椭圆方程,得2223312x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.即212222312322213223x x x y y y λ+⎛⎫⎪+⎛⎫⎝⎭=+=+ ⎪⎝⎭.变形,得22221122111221441929292x x x x y y y y λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭(*)又因为A ,B 均在椭圆上,且12OA OB k k ⋅=-,所以221122221212121212OA OB x y x y y y k k x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪⋅=⋅=-⎪⎩,代入(*)式解得355λ=.所以OE OD是定值,为355λ=.10．（2021湖南省岳阳市高三下学期一模）已知双曲线2222:1x y C a b-=的离心率为2,点(P 在C 上．（1）求双曲线C 的方程；（2）设过点()1,0的直线l 与曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM QN ⋅为常数？若存在,求出Q 点坐标及此常数的值,若不存在,说明理由．【解析】（1）由题意,2222216315,2a b ca abc ⎧-=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩,解得24a =,21b =．∴双曲线方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+,设定点(),0Q t ,联立221,41x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩,得()224230m y my -+-=．∴240m -≠,且()2241240m m =+->△,解得23m >且24m ≠．设()11,M x y ,()22,N x y ,∴12224m y y m +=--,12234y y m =--,∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--,()()()222121212122232111144m m x x my my m y y m y y m m =++=+++=---2224420444m m m +=-=----．∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=-⋅-=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+-+=-++----为常数,与m 无关,∴8230t -=,即238t =,此时27364QM QN ⋅= ．∴在x 轴上存在定点23,08Q ⎛⎫⎪⎝⎭,使得QM QN ⋅ 为常数．11．（2021湖南省长沙市第一中学、广东省深圳实验学校高三下学期联考）已知椭圆2222C :1(0)x y a b a b+=>>的离心率为12,直线1:22l y x =-+与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ,F 两点,记点A 在x 轴上的投影为G ,T 为BG 的中点,直线AE ,AF 与x 轴分别交于M ,N 两点．试探究||||TM TN ⋅是否为定值?若为定值,求出此定值；否则,请说明理由．【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为c ,则12c a =,则224a c =,22223b a c c =-=,所以椭圆C 的方程为：2222143x y c c+=,将椭圆C 的方程与直线l 的方程联立得：222430x x c -+-=,所以244(43)0c ∆=-⨯-=,解得：21c =,所以24a =,23b =,故椭圆C 的方程为22143x y +=,此时将21c =代入222430x x c -+-=得：2210x x -+=,所以1x =,此时32y =.所以A 点坐标为3(1,)2；（2）将0y =直线122y x =-+联立,得到4x =,所以(4,0)B .因为31,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,0)B ,所以5(,0)2T ,①当斜率0EF k =时,(2,0)M -,(2,0)N 或(2,0)N -,(2,0)M ,9||2TM =,1||2TN =或9||2TN =,1||2TM =,此时有9||||4TM TN ⋅=,②当斜率0EF k ≠时,设EF l ：4x ny =+,代入22143x y +=得：22(34)24360n y ny +++=,设11(,)E x y ,22(,)F x y ,所以1222434n y y n -+=+,1223634y y n =+,所以AE l ：11332(1)21y y x x --=--,则113(1)(1,0)23x M y ---,111111113(1)3(1)(66)9(22)3533||12232232(23)223x x n y n y TM y y y y --++++=-+=+==⋅----同理,22(22)33||223n y TN y ++=⋅-,所以1212(22)3(22)39||||42323n y n y TM TN y y ++++⋅=⋅⋅--,对分子：[][]2212121229(31620)(22)3(22)3(22)3(22)()934n n n y n y n y y n y y n ++++++=+++++=+对分母：212121229(31620)(23)(23)46()934n n y y y y y y n ++--=-++=+,所以9||||4TM TN ⋅=.综上,9||||4TM TN ⋅=为定值.12．（202江苏省扬州中学高三下学期最后一模1）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为2,椭圆过点31,2P ⎛⎝⎭（1）求椭圆C 的标准方程:（2）设点A 、B 分别是椭圆C 的左顶点和上顶点,M 、N 为椭圆C 上异于A 、B 的两点,满足//AM BN ,判断OMN 的面积是否为定值,并给出理由.【解析】（1）由题意得22222321314c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩,解得222413a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,则椭圆C 的标准方程:2214x y +=（2）设()11,M x y 、()22,N x y ,由题意得直线AM 、BN 的斜率存在,设直线AM 的方程为()2y k x =+,设直线BN 的方程为1y kx =+,由2214(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222241161640k x k x k +++-=,显然0∆>,212164241k x k --=+,解得2122841k x k -=+,即222284,4141k k M k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,由22141x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()224180k x kx ++=,显然0∆>,解得22841k x k =-+,即222148,4141k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭-,易得OM =,直线OM 的方程为110y x x y -=,所以点N 到直线OM的距离为d =所以2221122222111841428122241414141OMN k k k k S OM d x y x y k k k k ---=⋅=-=⋅-⋅=++++△,所以OMN 的面积为定值1.13．（2021江苏省南京师范大学附属中学高三下学期模拟）在平面直角坐标系xOy 中,已知点E (0,2),以OE 为直径的圆与抛物线C ∶x 2=2py (p >0)交于点M ,N (异于原点O ),MN 恰为该圆的直径,过点E 作直线交抛物线与A ,B 两点,过A ,B 两点分别做拋物线C 的切线交于点P .（1）求证∶点P 的纵坐标为定值；（2）若F 是抛物线C 的焦点,证明∶∠PFA =∠PFB .【解析】（1）以OC 为直径的圆为x 2+(y -1)2=1.由题意可知该圆与抛物线交于一条直径,由对称性可知交点坐标为(1,1),(-1,1)代入抛物线方程可得2p =1.所以抛物线的方程为x 2=y .设A 211(,)x x ,B 222(,)x x ,所以22121212AB x x k x x x x -==+-所以直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-,即1212().y x x x x x =+-因为直线AB 过点C (0,2),所以122x x -=,所以122x x =-①.因为'2y x =,所以直线PA 的斜率为12x ,直线PB 的斜率为22x 直线PA 的方程为21112()y x x x x -=-,即2112y x x x =-,同理直线PB 的方程为2222y x x x =-联立两直线方程,可得P 1212(,)2x x x x +由①可知点P 的纵坐标为定值-2.（2）cos ||||FA FP PFA FA FP ⋅∠=⋅ ,cos ||||FB FP PFA FB FP ⋅∠=⋅ ,注意到两角都在(0,)π内,可知要证PFA PFB ∠=∠,即证(*)||||FA FP FB FP FA FB ⋅⋅= ,2111(,4FA x x =- ,129(,)24x x FP +=- ,所以22212111191777((41)24441616x x FA FP x x x x +⋅=⋅--=--=-+ ,又211||4FA x ==+ ,所以74||FA FP FA ⋅=- ,同理7,(*)4||FB FP FB ⋅=- 式得证.14．（2021江苏省苏锡常镇四市高三3月调研）已知O 为坐标系原点,椭圆2214x C y +=：的右焦点为点F ,右准线为直线n .（1）过点(4,0)的直线交椭圆C 于,D E 两个不同点,且以线段DE 为直径的圆经过原点O ,求该直线的方程；（2）已知直线l 上有且只有一个点到F 的距离与到直线n的距离之比为2.直线l 与直线n 交于点N ,过F 作x 轴的垂线,交直线l 于点M .求证：||||FM FN 为定值.【解析】（1）设过点(4,0)的直线为(4)y k x =-交于椭圆()()1122,,D x y E x y 联立2214(4)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222241326440k x k x k +-+-=()221222121212221223212414164164441k x x k k y y k x x x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎡⎤∴=-++=⎨⎣⎦+-⎪=⎪+⎩又因为以线段DE 为直径的圆经过原点,则21212276419·0,4119k OD OE x x y y k k -=+==∴=±+则所求直线方程(4)19y x =±-（2）已知椭圆2214x y +=的离心率为32,右准线直线n的方程为x =因为直线l 上只有一点到F 的距离与到直线n的距离之比为2,所以直线l 与椭圆相切,设直线l 的方程为y kx m =+,联立2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得到：()222418440k x kmx m +++-=()()2222226444144041k m k m m k =-+-=∴=+ ①联立x x FM m y kx m y kx m ⎧⎧==⎪⎪∴=+∴⎨⎨=+⎪⎪=+⎩⎩点N坐标为m ⎫+⎪⎭得到||FN =222222||31168||33FM k m km FN k m ++=++,由①22||3||3||4||2FM FM FN FN ⇒=⇒=15．（2021山东省泰安肥城市高三三模）已知三点(0,0)(1,2)(1,2)O A B -，，,(,)M x y 为曲线C 上任意一点,满足MA MB + ()2OM OA OB =⋅++ ．（1）求曲线C 的方程；（2）已知点(1,2)P ,,R S 为曲线C 上的不同两点,且PR PS ⊥,PD RS ⊥,D 为垂足,证明：存在定点Q ,使||DQ 为定值．【解析】（1）由(1,2)MA x y =--- ,(1,2)MB x y =-- 可得+(22,2)MA MB x y =--,+MA MB ∴ ,()2(,)(2,0)222OM OA OB x y x ⋅++=⋅+=+ 所以,由已知得2x +,化简得24y x =,所以,曲线C 方程为24y x =.（2）证明：若直线RS y ⊥轴,则直线RS 与曲线C 只有一个交点,不合题意；设直线RS 的方程为x my n =+,联立24x my n y x=+⎧⎨=⎩,得2440y my n --=,则2=16160m n ∆+>,可得20m n +>,设1122(,)(,)R x y S x y ，,则12124,4y y m y y n +==-,21111111(2)(2)(1,2)1,2,244y y y PR x y y y ⎛⎫-+⎛⎫=--=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,同理222(2)(2),24y y PS y -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,因为PR PS ⊥,所以121212(2)(2)(2)(2)+(2)(2)=016y y y y PR PS y y --++⋅=-- ,所以[]1212(2)(2)(2)(2)+16=0y y y y --++,点(1,2)P 在曲线C 上,显然12y ≠且22y ≠,所以121212(2)(2)+16=2()2048+20=0y y y y y y n m +++++=-+,所以=25n m +,所以直线RS 的方程为(2)5x m y =++,因此直线过定点(5,2)M -,所以PM =,且PDM △是以PM 为斜边的直角三角形,所以PM 中点(3,0)Q满足1=2DQ PM 为定值,所以存在(3,0)Q 使DQ 为定值.16．（2021山东省济南市高三二模）已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为22,且经过点(2,1)H．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()3,0P -的直线与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点()2,0G -,若PM PG λ= ,PN PG μ= ,求证：11λμ+为定值．【解析】（1）由题意知22c e a ===,则222a b =,又椭圆C 经过点(2,1)H ,所以22411a b +=；联立解得26a =,23b =,所以椭圆C 的方程为22163x y +=．（2）证明：设直线AB 方程为3x my =-,()11,A x y ,()22,B x y ,由223163x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,联立消x 得()222630m y my +-+=,所以()22361220m m ∆=-+>,12262m y y m +=+,12232y y m =+,由题意知,1y ,2y 均不为1．设(),0M M x ,(),0N N x ,由H ,M ,A 三点共线知AM 与MH 共线,所以()()112M M x x y x -=---,化简得11121M x y x y +=-；由H ,N ,B 三点共线,同理可得22221N x y x y +=-；由PM PG λ= ,得()()3,01,0M x λ+=,即3M x λ=+；由PN PG μ= ,同理可得3N x μ=+；所以11221211111122333311M N x y x y x x y y λμ+=+=+++++++--()()121211221211113311y y y y x y x y m y m y ----=+=+-+-+--2121212122611111222231112m y y y y m m y y m y y m m ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫--++=+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ ⎪+⎝⎭,所以11λμ+为定值．。

圆锥曲线专题——定值问题解析版

圆锥曲线中的定值问题1.平面内动点P(x ，y)与两定点A(-2, 0), B(2,0)连线的斜率之积等于14-，若点P 的轨迹为曲线E ，过点 6(,0)5Q -直线 l 交曲线E 于M ，N 两点．（Ⅰ）求曲线E 的方程，并证明：∠MAN 是一定值；（Ⅰ）若四边形AMBN 的面积为S ，求S 的最大值【答案】（Ⅰ）221(2)4x y x =≠±＋（Ⅰ）16试题解析：（Ⅰ）设动点P 坐标为(,)x y ，当2x ≠±时，由条件得：22y y x x ⋅=-+１－４，化简得221(2)4x y x =≠±＋曲线E 的方程为，221(2)4x y x =≠±＋, 4分（说明：不写2x ≠±的扣1分）由题可设直线的方程为,联立方程组可得,化简得：设,则，（6分）又,则,所以090MAN ∠=,所以的大小为定值（8分）2. 在直角坐标系xOy 中，曲线22y x mx =+-与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为(0,1).当m 变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC ⅠBC 的情况？说明理由；MAN ∠（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值. 【解析】（1）令()1,0A x ，()2,0B x ，C(0，1)，x ，为220x mx +-=的根12122x x m x x ∆>⎧⎪+=-⎨⎪=-⎩，假设AC BC ⊥成立，所以0AC BC ⋅=u u u r u u u r，()1,1AC x =-u u u r ，()2,1BC x =-u u u r ，所以1110AC BC x x ⋅=+≠u u u r u u u r，所以不能出现AC BC ⊥的情况.3.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的120-+=相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）设()4,0A -，过点()3,0R 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，连接,AP AQ 分别交直线163x =于,M N 两点，若直线,MR NR 的斜率分别为12,k k ，试问：12k k 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得2221242c a a b b c a b c ⎧=⎪=⎧⎪⎪=∴=⎨⎪=⎩⎪=+⎪⎩C 的方程为2211612x y +=．（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，直线PQ 的方程为3x my =+，由()2222341821016123x y m y my x my ⎧+⎪∴++-=⎨⎪=+⎩1212221821,3434m y y y y m m --∴+==++，由,,A P M 三点共线可知()1111281643443M M y y y y x x =∴=+++ 同理可得()222834N y y x =+，所以()()121212916161649443333N M N M y y y y y y k k x x =⨯==++--()()()()()2121212124477749x x my my m y y m y y ++=++=+++Q()12122121216127497y y k k m y y m y y ∴==-+++． 4.已知椭圆C ：22221x y a b+=过点A （2,0），B （0,1）两点.（1）求椭圆C 的方程及离心率；（2）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.【解析】（1）由题意得，2a =，1b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=．又c ==c e a ==．令0y =，得001x x y N =--，从而00221xx y N AN =-=+-．所以四边形ABNM 的面积12S =AN ⋅BM 00002121212x y y x ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪--⎝⎭⎝⎭()22000000000044484222x y x y x y x y x y ++--+=--+00000000224422x y x y x y x y --+=--+2=．从而四边形ABNM 的面积为定值．5.已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2 ，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 的椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N. 求证：BM AN ⋅为定值.【解析】（1）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a . 所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （2）由（1）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y xx AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.6. 已知抛物线E ：x 2＝2py (p ＞0)，直线y ＝kx ＋2与E 交于A ，B 两点，且OA →·OB →＝2，其中O为原点．（1）求抛物线E 的方程；（2）点C 坐标为(0，－2)，记直线CA ，CB 的斜率分别为k 1，k 2，证明：k 21＋k 22－2k 2为定值．（2）证明：由(1)知，x 1＋x 2＝k ，x 1x 2＝－2.k 1＝y 1＋2x 1＝x 21＋2x 1＝x 21－x 1x 2x 1＝x 1－x 2，同理k 2＝x 2－x 1，所以k 21＋k 22－2k 2＝2(x 1－x 2)2－2(x 1＋x 2)2＝－8x 1x 2＝16.7.已知抛物线2:2(0)E y px p =>，直线3x my =+与E 交于A ，B 两点，且6OA OB =u u u r u u u rg，其中O 为坐标原点.（1）求抛物线E 的方程；（2）已知点C 的坐标为（-3,0），记直线CA 、CB 的斜率分别为1k ，2k ，证明：22212112m k k +-为定值.（2）因为1111136y y k x my ==++，2222236y y k x my ==++，所以1116m k y =+，2216m k y =+，因此222222121211662()()2m m m m k k y y +-=+++- 222212121111212()36()2m m m y y y y =++++- 222121212221212()2212362y y y y y y m m m y y y y ++-=++-g g 又122y y pm m +==，1263y y p =-=-，所以2222221211622123622439m m m m m m k k -++-==+⨯+⨯-=.即22212112m k k +-为定值. 8.如图，设点,A B的坐标分别为()),，直线,AP BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ，点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点，且满足//,//AP OM BP ON ，求证：MON ∆的面积为定值．【解析】（1）由已知设点P的坐标为(),x y，由题意知(23AP BPk k x==-≠g，化简得P的轨迹方程为(22132x yx+=≠．（2）证明：由题意M N、是椭圆C上非顶点的两点，且//,//ONAP OM BP，则直线,AP BP斜率必存在且不为0，又由已知23AP BPk k=-g．因为//,//AP OM BP ON，所以23OM ONk k=-g．设直线MN的方程为x my t=+，代入椭圆方程2232x y+，得()222324260m y mty t+++-=．．．．Ⅰ设,M N的坐标分别为()()1122,,,x y x y，则2121222426,3232mt ty y y ym m-+=-=++，又()2121222221212122636OM ONy y y y tk kx x m y y mt y y t t m-===+++-g，所以222262363tt m-=--，得22223t m=+，又1212MONS t y y∆=-=所以MONS∆==MON∆的面积为定值29.椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率e＝32，a＋b＝3.(1)求椭圆C的方程；(2)如图所示，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m .证明：2m －k 为定值．[自主解答] (1)因为e ＝32＝c a ，所以a ＝23c ，b ＝13c .代入a ＋b ＝3，得c ＝3，a ＝2，b ＝1.故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明：法一：因为B (2,0)，P 不为椭圆顶点，则直线BP 的方程为y ＝k (x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k ≠0，k ≠±12，①把①代入x24＋y 2＝1，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1.直线AD 的方程为：y ＝12x ＋1.② ①与②联立解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋22k －1，4k 2k －1.由D (0,1)，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2－24k 2＋1，－4k 4k 2＋1，N (x,0)三点共线知－4k 4k 2＋1－18k 2－24k 2＋1－0＝0－1x －0，解得N ⎝⎛⎭⎪⎫4k －22k ＋1，0. 所以MN 的斜率为m ＝4k2k －1－04k ＋22k －1－4k －22k ＋1＝4k (2k ＋1)2(2k ＋1)2－2(2k －1)2＝2k ＋14，则2m －k ＝2k ＋12－k ＝12(定值)．法二：设P (x 0，y 0)(x 0≠0，x 0≠±2)，则k ＝y 0x 0－2，直线AD 的方程为：y ＝12(x ＋2)，直线BP 的方程为：y ＝y 0x 0－2(x －2)，直线DP 的方程为：y －1＝y 0－1x 0x ，令y ＝0，由于y 0≠1，可得N ⎝⎛⎭⎪⎫－x 0y 0－1，0联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12(x ＋2)，y ＝y 0x 0－2(x －2)，解得M ⎝⎛⎭⎪⎫4y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2，4y 02y 0－x 0＋2，因此MN 的斜率为m ＝4y 02y 0－x 0＋24y 0＋2x 0－42y 0－x 0＋2＋x 0y 0－1＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－x 20＋4＝4y 0(y 0－1)4y 20－8y 0＋4x 0y 0－(4－4y 20)＋4＝y 0－12y 0＋x 0－2，所以2m －k ＝2(y 0－1)2y 0＋x 0－2－y 0x 0－2＝2(y 0－1)(x 0－2)－y 0(2y 0＋x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－2y 20－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝2(y 0－1)(x 0－2)－12(4－x 20)－y 0(x 0－2)(2y 0＋x 0－2)(x 0－2)＝12(定值)．。

圆锥曲线的定值最值与定点问题和圆锥曲线中的“定值”问题

探讨圆锥曲线的定值、最值与定点问题圆锥曲线中的最值与定值问题，是解读几何中的综合问题，是一种典型题型，将函数与解读融为一体，要求有较强的综合能力，例析如下。

一、定值问题解决定值问题的方法：将问题涉及的几何式转化为代数式或三角式，证明该式的值与参数无关。

例1 A 、B 是抛物线22y px =<p ＞0）上的两点，且OA⊥OB，求证：<1）A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积分别都是定值；<2）直线AB 经过一个定点。

证明：<1）设A<11,x y ）、B<22,x y ），则2112y px =，2222y px =。

∵22121222y y px px ⋅=⋅=22121244p x x p y y =-，∴2124y y p =-为定值，212124x x y y p =-=也为定值。

<2）∵2221212112()()2()y y y y y y p x x -=+-=-，∵12x x ≠，∴2121122y y p x x y y -=-+∴直线AB 的方程为：211112122y p y y x y y y y y -=-+++2121224p p x y y y y =-++ 122(2)p x p y y =-+，∴直线AB 过定点<2p ，0）。

例2 已知抛物线方程为212y x h =-+，点A 、B 及点P(2，4>都在抛物线上，直线PA 与PB 的倾斜角互补。

<1）试证明直线AB 的斜率为定值；<2）当直线AB 的纵截距为m<m ＞0）时，求△PAB 的面积的最大值。

分析：这类问题一般运算量大，要注意函数与方程、数形结合、分类讨论等思想方法的灵活运用。

解读：<1）证明：把P(2，4>代入212y x h =-+，得h=6。

所以抛物线方程为：y －4=k(x －2>，由24(2)162y k x y x -=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，消去y ，得22440x kx k +--=。

圆锥曲线中定值问题

圆锥曲线中定值问题在圆锥曲线中，有一类曲线系方程，对其参数取不同值时，曲线本身的性质不变；或形态发生某些变化，但其某些固有的共同性质始终保持着，这就是我们所指的定值问题.圆锥曲线中的几何量，有些与参数无关，这就构成了定值问题.它涵盖两类问题，一是动曲线经过定点问题；二是动曲线的某些几何量的斜率、长度、角度、距离、面积等为常数问题. 在几何问题中，有些几何量与参变数无关，即定值问题，这类问题求解策略是通过应用赋值法找到定值，然后将问题转化为代数式的推导、论证定值符合一般情形.1.若探究直线或曲线过定点，则直线或曲线的表示一定含有参变数，即直线系或曲线系，可将其方程变式为0f x y g x y λλ+=（，）（，）（其中为参变数），0.0f x y g x y =⎧⎨=⎩（，）由确定定点坐标（，）例1.(2012湖南理21)在直角坐标系xOy 中，曲线1C 上的点均在圆2C ：22(5)9x y -+=外，且对1C 上任意一点M ，M 到直线2x =-的距离等于该点与圆2C 上点的距离的最小值.(1)求曲线1C 的方程；(2)设000(,)(3)P x y y ≠±为圆2C 外一点，过P 作圆2C 的两条切线，分别与曲线1C 相交于点,A B 和,C D .证明：当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值. 1.（1）解法1 ：设M 的坐标为(,)x y ，由已知得23x +=，易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>，所以5x =+.化简得曲线1C 的方程为`220y x =.解法2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程为220y x =.（2）当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+即040kx y y k -++=.于是3.=整理得2200721890.k y k y ++-= ①设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故001218.724y yk k +=-=- ② 由101240,20,k x y y k y x -++=⎧⎨=⎩得21012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点,,,A B C D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则12,y y 是方程③的两个实根，所以0112120(4).y k y y k +⋅=④同理可得0234220(4).y k y y k +⋅=⑤于是由②，④，⑤三式得010*******400(4)(4)y k y k y y y y k k ++=2012012124004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦=2201212400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=.所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点,,,A B C D 的纵坐标之积为定值6400.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程；第二问设出切线方程，把直线与曲线方程联立，由一元二次方程根与系数的关系得到,,,A B C D 四点纵坐标之积为定值，体现“设而不求”思想.【变式训练1】(2012辽宁理20)如图，椭圆0C ：22221(0x y a b a b +=>>，a ，b 为常数)，动圆22211:C x y t +=，1b t a <<．点12,A A 分别为0C 的左，右顶点，1C 与0C 相交于A ，B ，C ，D 四点．(Ⅰ)求直线1AA 与直线2A B 交点M 的轨迹方程;(Ⅱ)设动圆22222:C x y t +=与0C 相交于,,,A B C D ''''四点，其中2b t a <<， 12t t ≠．若矩形ABCD 与矩形,,,A B C D ''''的面积相等，证明：2212t t +为定值．【点评】本题主要考查圆的性质、椭圆的定义、标准方程及其几何性质、直线方程求解、直线与椭圆的关系和交轨法在求解轨迹方程组的运用。

圆锥曲线中的定值问题

圆锥曲线中的定值问题1．在平面直角坐标系xoy 中,设点(1,0)F ,直线:,点在直线上移动,是线段与轴的交点, .(1) 求动点的轨迹的方程；(2) 记的轨迹的方程为,过点作两条互相垂直的曲线的弦、,设、的中点分别为。

求证:直线必过定点(3,0)R 。

解:(1)依题意知,直线的方程为:.点是线段的中点,且⊥,∴是线段的垂直平分线∴是点到直线的距离.∵点在线段的垂直平分线,∴故动点的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线,其方程为:(2) 设,,直线AB 的方程为则(1)—(2)得,即, 代入方程,解得. 所以点M 的坐标为同理可得:的坐标为.直线的斜率为,方程为 ,整理得, 显然,不论为何值,均满足方程,所以直线恒过定点.l 1x =-P l R PF y ,RQ FP PQ l ⊥⊥Q Q E F E AB CD AB CD N M ，MN l 1x =-R FP RQ FP RQ FP PQ Q l Q FP PQ QF =Q E F l 24(0)y x x =>()()B B A A y x B y x A ,,,()()N N M M y x N y x M ,,，)1(-=x k y ⎪⎩⎪⎨⎧==)2(4)1(422B B A A x y x y k y y B A 4=+ky M 2=)1(-=x k y 122+=kx M 222(1,)k k +N 2(21,2)k k +-MN 21k k x x y y k N M N M MN -=--=)12(1222---=+k x kk k y )3()1(2-=-x k k y k (3,0)MN R (3,0)2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到焦点距离的最大值为，最小值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为，（2）设，由得，，.以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点，，，，，解得，且满足. 当时，，直线过定点与已知矛盾；当时，，直线过定点综上可知，直线过定点，定点坐标为 C x C 31C :l y kx m =+C A B A B ，AB C l 22221(0)x y a b a b+=>>3,1a c a c +=-=22,1,3a c b ===221.43x y ∴+=1122(,),(,)A x y B x y 22143y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩222(34)84(3)0k x mkx m +++-=22226416(34)(3)0m k k m ∆=-+->22340k m +->212122284(3),.3434mk m x x x x k k-+=-⋅=++22221212121223(4)()()().34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k -⋅=+⋅+=+++=+ (2,0),D 1AD BD k k ⋅=-1212122y y x x ∴⋅=---1212122()40y y x x x x +-++=2222223(4)4(3)1640343434m k m mk k k k --+++=+++2271640m mk k ++=1222,7k m k m =-=-22340k m +->2m k =-:(2)l y k x =-(2,0),27k m =-2:()7l y k x =-2(,0).7l 2(,0).73．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，其焦点在圆x 2+y 2=1上． (1)求椭圆的方程；(2)设A ，B ，M 是椭圆上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+ ．①求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； ②求OA 2+OB 2．解：(1)依题意，得 c =1．于是，ab =1． ……………………………………2分所以所求椭圆的方程为2212x y +=． ………………………………………………4分 (2) (i)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则221112x y +=①，222212x y +=②．又设M (x ，y )，因cos sin OM OA OB θθ=+ ，故1212cos sin ,cos sin .x x x y y y θθθθ=+⎧⎨=+⎩ …………7分因M 在椭圆上，故221212(cos sin )(cos sin )12x x y y θθθθ+++=．整理得22222212121212()cos ()sin 2()cos sin 1222x x x x y y y y θθθθ+++++=．将①②代入上式，并注意cos sin 0θθ≠，得 121202x x y y +=．所以，121212OA OB y y k k x x ==-为定值． ………………………………………………10分 (ii)2222222222121212121212()()(1)(1)1()222x x x x y y y y y y y y =-=⋅=--=-++，故22121y y +=．又22221212()()222x x y y +++=，故22122x x +=．所以，OA 2+OB 2=22221122x y x y +++=3． …………………………………………16分4．已知抛物线与双曲线有公共焦点，点是曲线在第一象限的交点，且．（1）求双曲线的方程；（2）以双曲线的另一焦点为圆心的圆与直线相切，圆：．过点作互相垂直且分别与圆、圆相交的直线和，设被圆截得的弦长为，被圆截得的弦长为，问：是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．解: （1）∵抛物线的焦点为，∴双曲线的焦点为、，………………………………………………1分设在抛物线上，且，由抛物线的定义得，，∴，∴，∴，…………………………3分∴，………………………………………………4分又∵点在双曲线上，由双曲线定义得：，∴， ∴双曲线的方程为：．………………………………6分（2）为定值．下面给出说明．设圆的方程为：， 5u ∵圆与直线相切，∴圆的半径为，故圆：． ………………………………7分显然当直线的斜率不存在时不符合题意，………………………………………………8分设的方程为，即，设的方程为，即， ∴点到直线的距离为21:8C y x =22222:1(0,0)x y C a b a b -=>>2F A 12,C C 25AF =2C 2C 1F M y =N 22(2)1x y -+=(1P M N 1l 2l 1l M s 2l N t s t21:8C y x =2(2,0)F 2C 1(2,0)F -2(2,0)F 00(,)A x y 21:8C y x =25AF =025x +=03x =2083y =⨯0y =±1||7AF ==A 2C 2|75|2a =-=1a =2C 2213y x -=s tM 222(2)x y r ++=M y =M r ==M 22(2)3x y ++=1l 1l (1)y k x =-0kx y k -=2l 1(1)y x k-=--10x ky +-=1F 1l 1d =点到直线的距离为，………………………………………………10分∴直线被圆截得的弦长11分直线被圆截得的弦长12分 ∴故………………………………14分 2F 2l 2d =1l M s ==2l N t =s t ===s t。

经典圆锥曲线定点,值问题探讨

x1＋x2＝4k，x1x2＝－4a，k1＋k2＝y－x1 b＋y2x－2 b＝ka＋a b， ∴当 b＝－a 时，k1＋k2＝0，∴∠OPM＝∠OPN.
[规范解答] (1)由题设可得 M(2 a，a)，N(－2 a，a)，或 M(－2 a，a)，N(2 a，a)．(2 分) 又 y′＝2x，故 y＝x42在 x＝2 a处的导数值为 a，曲线 C 在点(2 a， a)处的切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)，即 ax－y－a＝0.(4 分)
将其代入 y＝mx－m22，得 y0＝24－m2m＋2 1. 因为yx00＝－41m，所以直线 OD 的方程为 y＝－41mx.
联立方程y＝－41mx， x＝m，
得点 M 的纵坐标 yM＝－14，所以点 M 在定直线 y＝－14上．
2．已知双曲线 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，离心率 e＝ 25，虚轴长为 2. (1)求双曲线 C 的标准方程； (2)若直线 l：y＝kx＋m 与双曲线 C 相交于 A，B 两点(A，B 均异于左、右顶点)，且以 AB 为直径的圆过双曲线 C 的左顶点 D，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．
[考生不规范示例] 解：(1)k＝0，M(2 a，a)，N(－2 a，a)， y′＝2x，∴k1＝ a，k2＝－ a. ∴切线方程为 y－a＝ a(x－2 a)和 y－a＝－ a(x＋2 a)．

(2)假设存在点 P(0，b)，M(x1，y1)N(x2，y2)
y＝kx＋a 由y＝x42
得 x2－4kx－4a＝0.
解：(1)由题意有 a2a－b2＝ 22，a42＋b22＝1，解得 a2＝8，b2＝4.(3 分) 所以 C 的方程为x82＋y42＝1.(4 分) 证明：(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， M(xM，yM)．(5 分) 将 y＝kx＋b 代入x82＋y42＝1，得

圆锥曲线题型技巧--- 斜率定值问题

圆锥曲线题型技巧---斜率定值问题
一、解答题
1．如图，在平面直角坐标系
2
2
中，椭圆 2 + 2 = 1( >
> 0)的右焦点为
(1，0)，离心率为
2．分别过
2
，
的两条弦，相交于点（异于，两点），且 = ．
（1）求椭圆的方程；
（2）求证：直线，的斜率之和为定值．
2
【答案】(1) +
2 = 1;(2)详见解析.
,
④
同理由③得
y2 1 x2 2
4
x2 2
y2 1
,
⑤
由①④⑤得
x1 2
4 y1 1
x2 2
4 y2 1
0
,
化简得 x1y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑥
由①得 x1 y2 x2 y1 x1 x2 2 y1 y2 4 0 , ⑦
4 − 1)
= ⋅ 2( 1 2− 3 4)−( 1+ 2)+( 3+ 4)13 分
( 1− 3)( 2− 4)
= 0． 16 分
=
⋅ 2( 2
−2 2+
1
−
2( 2
( 1−
2 2
− +
1) 1
)
−
0
+
2
3)( 2 − 4)
4
2
2
+1
考点：直线与椭圆的位置关系
点评：主要是考查了直线椭圆的位置关系的运用，属于基础题。
4k 2 1
x2 8kbx 4b2 8 0 ,
(**)
82
则
x1

圆锥曲线中斜率之积(和)为定值问题 ppt课件

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8
主要方法：设而不求整体代入
设而不求-----多个变量
整体代入-----减少变量
关键是消元
含x与y的式子统一消元为只含x或y的式子
含x与y的式子“点差法”消元
对未知数进行化简或整体代换（特别对于含 x1 x2, x1x2型的可用韦达定理来代入
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9
题型二斜率之和为定值
消y
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7
定值问题常用方法：一般是在一些动态的事物（如动点、动直线、动弦、动角、动圆、动三角型等）中寻求不变量.
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关
（2）直接推理，计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值
设而不求思想：
在解决数学问题时，先设定一些未知数，然后把它们当成已知数，根据题目本身的特点，将未知数消去或代换，使问题的解决变得简捷。
消y
x1 x2 , x1x2型
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探究实践、拓展提升
消y
x1 x2 , x1x2型
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11
探究实践、拓展提升
求出坐标
隐含条件
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12
探究实践、拓展提升
隐含条件消y
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13
1.斜率之积（和）为定值问题的解决策略是什么？ 2.这类题的主要思想方法是什么？
3.做好这类题还需要什么？
容
月
容
月
容
月
容
填空21 离心率选15 离心率选14 离心率选14 离心率
解答24
直线与填19 椭圆位置关系
（面积）
抛物线填20 性质
椭圆性填20 质

专题01 圆锥曲线中的定点、定值问题

高中数学︵圆锥曲线︶培优篇定点、定值问题曲线过定点某个量为定值用参数表示曲线方程用参数表示该量令参数系数为0或某值，解出相应的x 、y 的值令参数系数为0或某值化简使该量为定值选参、用参、消参，求出定点或定值高中数学︵圆锥曲线︶培优篇高中数学︵圆锥曲线︶培优篇高中数学︵圆锥曲线︶培优篇高中数学︵圆锥曲线︶培优篇高中数学︵圆锥曲线︶培优篇高中数学︵圆锥曲线︶培优篇 2|||1AF .高中数学︵圆锥曲线︶培优篇方法联立，第一种，假设直线AB 的方程，第二种假设直线P 2A 和P 2B . 满分解答(1) 根据椭圆对称性可得，P 1（1,1），P 4（1，）不可能同时在椭圆上，P 3（–1，），P 4（1，）一定同时在椭圆上，因此可得椭圆经过P 2（0,1），P 3（–1，），P 4（1，）. 把P 2，P 3坐标代入椭圆方程得2221=13141b a b，，解得224,1a b ，故椭圆C 的方程为2214x y ；（2）解1 ①当直线l 的斜率不存在时，设:l x m ，(,),(,)A A A m y B m y ，此时221121A A P A P B y y k k m m m，解得2m ，此时直线l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.②当直线l 的斜率存在时，设:(1)l y kx t t ，1122(,),(,)A x y B x y ，则2214y kx t x y ，，消去y 得 222(14)8440k x tkx t ， 2216(41)k t ，2121222841,1414tk t x x x x k k，此时 22121211P A P B y y k k x x21212112()()x kx t x x kx t x x x21212(1)()(1)(8)224(1)t x x t kt k k x x t. 由于1t ，所以22222111P A P B kt kk k k t t ，即21t k ，此时32(1)t ，存在1t ，使得0 成立，22222高中数学︵圆锥曲线︶培优篇所以直线l 的方程为(2)1y k x ，直线l 必过定点(2,1) .解2 由题意可得直线2P A 与直线2P B 的斜率一定存在，不妨设直线2P A 为1y kx , 则直线2P B 为 11y k x .由22114y kx x y ，，得224180k x kx ，设 11,A x y ， 22,B x y 此时可得：222814,4141k k A k k，同理可得 22281141,411411k k B k k.此时可求得直线l 的斜率为：2222212122141144141181841411ABk k k k y y k k x x k k k ，化简可得2112AB k k，此时满足12k .当12k 时，,A B 两点重合，不合题意.当12k 时，直线方程为： 22221814414112k k y x k k k，即2244112k k x y k，当2x 时，1y ，因此直线恒过定点 2,1 .思路点拨第（1）题只需证明0AC BC.第（2）题要先求圆的方程，令y=0即可求出在y 轴上弦长.求圆方程可以用标准式方程，也可以用一般式方程.当然，本题还可以利用相交弦定理来解.高中数学︵圆锥曲线︶培优篇满分解答(1)设 12,0,,0A x B x ，则12,x x 是方程220x mx 的根，所以1212,2x x m x x ，则 1212,1,112110AC BC x x x x.所以不会能否出现AC ⊥BC 的情况.（2）解1 由于过A ，B ，C 三点的圆的圆心必在线段AB 垂直平分线上，设圆心 00,E x y ，则12022x x mx. 由EA EC得 22221212100+122x x x x x y y，化简得 1201122x x y ，所以圆E 的方程为22221112222m m x y.令0x 得121,2y y ，所以过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为 123 .所以,过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值解2 由于BC 的中点坐标为21(.22x ，可得BC 的中垂线方程为221()22xy x x . 由（1）可得12x x m ，所以AB 的中垂线方程为2mx .联立2221(22m x x y x x ，，又22220x mx ，可得212m x y ，，所以过,,A B C 三点的圆的圆心坐标为1(,)22m，半径2r ，故圆在y 轴上截得的弦长为3 ，即过A B C ，，三点的圆在y 轴上的截得的弦长为定值.解3 设圆的方程为220x y Dx Ey F ，令0y ，得20x Dx F ，由题意,2D m F ，把0,1x y 代入圆的方程，得10E F ，即1E .故圆的方程为：2220x y mx y .高中数学︵圆锥曲线︶培优篇 11令0x ，得220y y ，所以121,2y y ，故12|||1(2)|3y y .所以过,,A B C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值3.解4设过A ，B ，C 三点的圆与y 轴的另一个交点为D ，由122x x 可知原点O 在圆内，由相交弦定理可得122OD OC OA OB x x ，又1OC ，所以2OD ，所以，过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为3OC OD ，为定值.思路点拨第（1）题可以直接求出a、b；第（2）题用参数表示AN BM ，可以设 00,P x y ，用00x y 、做参数，也可以设 2cos ,sin P ，用做参数. 满分解答(1)由已知，1,122c ab a ，又222a b c ，解得2,1,a b c 所以椭圆的方程为2214x y .（2）解1 设椭圆上一点 00,P x y ，则220014x y .由于直线PA 的方程： 0022y y x x ,令0x ，得0022M y y x，所以00212y BM x；直线PB 的方程：0011y y x x ,令0y ，得001N x x y，所以0021x AN y. 因为220014x y ，所以220044x y ，从而高中数学︵圆锥曲线︶培优篇 120000002200000000002222214448422x y x y x y x y x y x y x y x y2200000000004444484=422y y x y x y x y x y .故AN BM 为定值.解2 设椭圆上一点 2cos ,sin P ，则直线P A 的方程: sin 22cos 2y x,令0x ，得sin 1cos M y，所以sin cos 11cos BM；直线PB 的方程:sin 112cos y x,令 0y ，得2cos 1sin N x，所以2sin 2cos 21sin AN.2sin 2cos 2sin cos 11sin 1cos 22sin 2cos 2sin cos 21sin cos sin cos 4AN BM。

圆锥曲线定点定值及其他常用结论(个人整理,已经没错误)

圆锥曲线定点定值及其他常用结论一、直线过定点问题过定点模型：A,B是圆锥曲线上的两动点，M是一定点，其中, 分别为MA,MB的倾斜角，则有下面的结论：uuur uuur①、MA MB 为定值直线AB 恒过定点；直线AB 恒过定点；②、 k MA k MB 为定值③、（0）直线AB 恒过定点.方法：要证明直线y kx m过定点，只需要找到k 与m之间的关系即可.确定定点P（m,n），可以证明 AP, BP, AB任意两个斜率相等即可、定值问题基本思路：转化为与 A, B两点相关的斜率k1与k2的关系式x1 x2,x1x2的关系式代数式形式的定值（多个参数）结论：①若代数式表达式结果为分式，且为定值，则系数对应成比例；cx d c d形如，若，则该式为定值，与x 无关；（注意x是变量，具有任意性，是主元）ax b a b ②若代数式表达式结果为整式，则无关参数的系数为0.1例如：2t 1x 1，当2t 1 0即t 时，该式为定值与x无关. （注意x是变量，具有2任意性，是主元）三、椭圆经典结论2y 21 （ a >0, b >0上任一点 A （ x 0 , y 0 ）任意作两条倾斜角互补的直线交椭 bb 2x圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 k BC2（常数） .（求偏导可得到）（类似结论22x y2 2 2 2 2 3.椭圆 2 21与直线 Ax By C 0 有公共点的充要条件是 A 2a 2B 2b 2C 2ab22xy4. 已知椭圆 2 21（ a >b >0 ），O 为坐标原点， P, Q 为椭圆上两动点，且OP OQ . ab对原点张直角）a 2b2 最小值是a 2b 2 .2 x1、过椭圆 2 a适合于双曲线，抛物线）2x2、设椭圆 2a2y21（ a >b >0）的两个焦点为 F 1、F 2, P （异于长轴端点）为椭圆上任 b意一点，在 PF 1F 2 中，记 F 1PF 2PF 1F 2, F 1F 2P ，则有sin sin sinc e .a 2a 2y 01 1)|OP|2 |OQ |11 a2 b2;2） OP2OQ 2 的最大值224a 2b 2 ; 2 2 ;ab3) S OPQ 的4）直线 PQ 必经过一个定点（ 22aba 2b 2,0)5 ）点 O 到直线 PQ 的距离 d 为定值：ab a2 b22x 5 . 过椭圆 2a2y21（a >b >0）的右焦点 F 作直线交椭圆于 M , N 两点，弦 MN 的垂 b| PF | e 直平分线交 x 轴于 P ，则||M P N F || 2e .直线 AB 恒过定点2x2类比．给定双曲线 C ： a 2对 C 上任意给定的点 P 0（x 0,y 0）, 它的任一直角弦必须经过定点22 22a b ab.(22 x0,22 y 0).a bab8、抛物线中的过定点模型： A, B 是抛物线 y 22px （p 0）上异于D （x 0,y 0）的两动点，分别为 DA,DB 的倾斜角，则可以得到下面充要的结论：（手电筒模型）1 （ a >b >0）上异于长轴端点的任一点 , F 1,F2 为其焦点记2 类比．过双曲线 x 2a 22b y 21（a >0，b >0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M ,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P ，则 |PF | e|MN | 2226．设椭圆 x 2 y 2 a2 b21（a >b >0）, M （ m ， 0）或（ 0， m ）为其对称轴上除中心，顶点外的任点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P 、 Q 两点，则直线 A1P 、 A 2Q （ A 1 , A 2为对称轴上的两顶点）的交点 2N 在直线 l ：x a（或m b m2)上. m用极点与极线直接写出来）7、椭圆中的过定点模型： A,B 是椭圆2x 2 a2 y b 21(a上异于P （ x 0 , y 0）的两动点，其中分别为PA,PB的倾斜角，则可以得到下面几个充要的结论：手电筒模型）PA PB k DA k DBx 0(a 2 b 2)(22 aby 0 (a 2 b 2))a 2b 2 )2b y 21(a b 0)其中DA DB2直线 AB 恒过定点(x 0 2p,y 0)特别地OA OB2直线 AB 恒过定点（2p,0） .22xy 9、设 P点是椭圆 2 2abF 1PF 2acos ,bsin对于y 2px(p 0)抛物线上的动点的坐标可设为 ( y 0, y 0) ，(抛物线独有的一点两设)2p以简化计算 .双曲线的方程与渐近线方程的关系(1 )若双曲线方程为2x 2 a2 yb 22 x1渐近线方程： 2a2 yb 2yb.x. a22(2) 若渐近线方程为yb xx y0 双曲线可设为 x2y2aabab2222 2(3) 若双曲线与x 2y2 x1 有公共渐近线，可设为y2(0 ，焦点在 x 轴a2b 2ab 20 ，焦点在 y 轴上)则 (1) | PF 1 || PF 2 | 2b21 cos(2) SPF 1F 2b 2 tan .22x双曲线 2 a2 y b 21 (a>0,b>0) 中, SF 1PF 2b 2, 其中θ=∠F 1PF 2. )tan2210. 椭圆 x 2a 22 y b2 1(a b 0) 的参数方程是acosbsin，椭圆上的动点可设(4). 双曲线焦点到渐近线的距离总是 b. 顶点到渐近线的距离为ab(5). 双曲线 x 2 y 2a 2 称为等轴双曲线，其渐近线方程为 y x ，离心率 e 2 .抛物线常用2设 AB 为过抛物线 y 2px(p 0) 焦点的弦，A( x 1, y 1) 、B(x 2,y 2)，直线 AB 的倾斜角为，则1.x 1x 2p 24 ,y 1y 22p 2;2 y21 的不平行于对称轴的弦， M （x 0,y 0）为 AB 的中点，则 bb 22-1k OM k AB 2=e -1ab 2x，即 KABb 2x 0。

圆锥曲线之定值定点问题经典例题+题型归纳+解析

又
y1
−
y2
=
k(x1
+
x2
−
4)
=−
8k 1 + 4k2
，
所以直线
PQ
பைடு நூலகம்的斜率
kPQ
=
y1−y2 x1 − x2
=
1 2
，所以直线
PQ
的斜率为定值
，该值为
21 .
方法二设直线 PQ 的方程为 y = kx + b，
点
P(x1,y1),Q(x2,y2)
则
y1
=
kx1
+
b,y2
=
kx2
+
b，所以
kPA
二、例题精讲
题型一: 斜率为定值
例1.
已知椭圆
C
： xa22
+
y2 b2
=
1(a
>
b
>
0)
的离心率为
3 2
，且过点
A(2,1)．若
P
，Q
是椭圆
C
上的两个动
点，且使 ∠PAQ 的角平分线总垂直于 x 轴，试判断直线 PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若
不是，请说明理由．
【解析】方法一：因为椭圆
由
y = kx +
x2 8
+
y2 2
b =
1
得（1
+
4k2)x2
+
8kbx
+
4b2
−
8
=
0
②则
x1
+
x2
=−
8kb 1 + 4k2

圆锥曲线定值,定点

过圆锥曲线上定点和斜率和积为定值直线，则直线过定点（一）一般性推论：过圆锥曲线上一定点产生的两条直线斜率和积为定，则另外两点的连线过定点。

数学表达：若点定一上线曲锥圆为点定过线直值定者或值定⎩⎨⇒⎧∙=+=P k k k k PA PB PA PB AB点定一上线曲锥圆为值定者或值定点定过线直⎩⎨⇒∙=+=⎧P k k k k PA PB PA PB AB 其次法的使用要点：“齐次”即次数相等的意思，例如=++x cy f ax bxy 22)(称为二次齐式，即二次齐次式的意思，因为f x )(中每一项都是关于x 、y 的二次项。

当圆锥曲线遇到斜率之和或者斜率之积的问题，可以先平移图形，将公共点平移到原点，注意平移口诀是“左加右减，上减下加”，注意此处因为是在y 同侧进行加减，故为“上减下加”，而我们以往记的“上加下减”都是在y 的异侧。

例如要证明直线AP 与AQ 的斜率之和或者斜率之积为定值，可将公共点A 平移到原点，设平移后的直线为+=mx ny 1（为什么这样设？因为这样齐次化能更加方便解题），与圆锥曲线方程联立，一次项乘以+mx ny ，常数项乘以+mx ny 2)(，构造++=ay bxy cx 022，然后等式两边同时除以x 2（前面注明x 不等于0），得到⎝⎭⎪++=⎛⎫x x a b c y y 02，化简为++=ak bk c 02，可以直接利用韦达定理得出斜率之和或者斜率之积，即可得出答案，如果是过定点题目，还需要还原直线，之前如何平移，现在就如何反平移回去。

解题的方法步骤为：（1）平移直线；（2）联立方程并齐次化；（3）同除x 2：（4）利用韦达定理证明，如果过定点，还需要还原直线。

优点；大大减小了计算量，提高准确率，缺点：+=mx ny 1不能表示过原点的直线。

一．构造法解整式问题在抛物线中的应用引题：证明：已知直线l 与抛物线２ｐ（ｐ＞０，ｐ为常数）交于点A ，B 两点，若OA ⊥OB,则直线l 恒过定点（2p,0）设,B(x ,y )）x ,y （A 1122，⊥⇒∙=∙=-x x OA OB k k y y OA OB 11212设AB 直线方程为+=mx ny 1（截距式的变形式可以表示任意直线，该种设法可以利用１的妙用，快速制作齐次式）联立⎩=⎨⎧+=y pxmx ny 212第一步：构造齐次式-∙+=⇒--=y px ny pnxy pmx 2(mx )0y 220222易知A ，B 两点不与O 点重合，所以ｘ０令则==y p 0,x 2，所以直线过定点(2p,0) 常规证明方法（略）例1：（2017•新课标Ⅰ文）设A ，B 为曲线C ：y ＝上两点，A 与B 的横坐标之和为4．（1）求直线AB 的斜率；（2）设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．第一步：平移抛物线，将抛物线沿→M O 方向平移，及左移２个单位，下移１个单位，及抛物线方程变为=+-y 4(x 2)112化简得+-x x 42联立方程=0⎩⎧+=-⎨-y y mx m x x 4142第二步：构造齐次式--∙-=⇒+-+=x mxy my 4(x y)m(x y)0(14m)x 840222，第四步平移回去：右２，上１，=-++=+y x x 28171．（2020春•江西月考）过抛物线E：y2＝2px（p＞0）上一点M（1，﹣2）作直线交抛物线E于另一点N．（Ⅰ）若直线MN的斜率为1，求线段|MN|的长；（Ⅱ）不过点M的动直线l交抛物线E于A，B两点，且以AB为直径的圆经过点M，问动直线l是否恒过定点．如果有求定点坐标，如果没有请说明理由．题型拓展：２．（2021•齐齐哈尔一模）已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F是椭圆C2：x2+2y2＝1的一个顶点．（1）求抛物线C1的方程；（2）若点P（1，2），M，N为抛物线C1上的不同两点，且PM⊥PN．求证：直线MN过定点．斜率和积为定值，直线过定点问题在椭圆中的数学模型建立k k PA PB ⋅=定值或者k k PA PB +=定值，直线过定点，P 点坐标之间的转化证明将椭圆C 按向量--x y ,00)(平移得椭圆C x x ay y b'+++=2222:001)()(又点P x y ,00)(在椭圆xa yb+=22221上，所以x a y b +=2222001，代入上式得+++=a b a b x y x y x y 022********①。

第23讲圆锥曲线中定点定值定直线问题(解析版)_20230722153245

第23讲圆锥曲线中定点定值定直线问题【考点分析】考点一：直线过定点问题①设直线为m kx y +=，根据题目给出的条件找出m 与k 之间的关系即可②求出两点的坐标（一般含参数），再求出直线的斜率，利用点斜式写出直线的方程，再化为()()n m x k f y +-=的形式，即可求出定点。

考点二：定值问题探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.③求斜率，面积等定值问题，把斜率之和，之积，面积化为坐标之间的关系，再用韦达定理带入化简一般即可得到定值考点三：定直线问题①一般设出点的坐标，写出两条直线的方程，两直线的交点及两个直线中的y x ,相同，然后再用韦达定理带入化简即可得y x ,的关系即为定直线【题型目录】题型一：直线圆过定点问题题型二：斜率面积等定值问题题型三：定直线问题【典型例题】题型一：直线过定点问题【例1】已知点()1,1P 在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上，椭圆C 的左右焦点分别为1F ，2F ，12PF F △的面(1)求椭圆C 的方程；(2)设点A ，B 在椭圆C 上，直线PA ，PB 均与圆()222:01O x y r r +=<<相切，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .（i ）证明：121k k =；（ii ）证明：直线AB 过定点.若10m k +-=，则直线():111AB y kx k k x =+-=-+，此时AB 过点P ，舍去.若330m k ++=，则直线():3333AB ykx k k x =--=--，此时AB 恒过点()3,3-，所以直线AB 过定点()3,3-.【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，一个焦点1F 与抛物线2y =-的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线:l y kx m =+交C 于,A B 两点，直线1F A 与1F B 关于x 轴对称，证明：直线l 恒过一定点．【例3】已知椭圆22:1(0)C a b a b+=>>的上顶点为P ，右顶点为Q ，其中POQ △的面积为1（O 为原点），椭圆C(1)求椭圆C 的方程；(2)若不经过点P 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且0PA PB ⋅=，求证：直线l 过定点．【例4】已知椭圆C ：221(0)x y a b a b+=>>过点()2,0A -．右焦点为F ，纵坐标为2的点M 在C 上，且AF ⊥MF ．(1)求C 的方程；(2)设过A 与x 轴垂直的直线为l ，纵坐标不为0的点P 为C 上一动点，过F 作直线PA 的垂线交l 于点Q ，证明：直线PQ 过定点．【点睛】求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明．【例5】已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2，其左､右焦点分别为1F ，2F ，T 为椭圆C 上任意一点，12TF F △面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知()0,1A ，过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【题型专练】1．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的短轴长为A 到右焦点F 的距离为3．(1)求椭圆C 的方程(2)设直线l 与椭圆C 交于不同两点M ，N （不同于A ），且直线AM 和AN 的斜率之积与椭圆的离心率互为相反数，求证：l 经过定点．2.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，且过点()3,1A .(1)求椭圆C 的方程；(2)点M ，N 在椭圆C 上，且AM AN ⊥.证明：直线MN 过定点，并求出该定点坐标.3.已知椭圆22:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，且1F ，2F 与短轴的两个端点恰好为正方形的四个顶点，点2P ⎛ ⎝⎭在E 上.(1)求E 的方程；(2)过点2F 作互相垂直且与x 轴均不重合的两条直线分别交E 于点A ，B 和C ，D ，若M ，N 分别是弦AB ，CD 的中点，证明：直线MN 过定点.4.焦距为2c 的椭圆2222:1x y a bΓ+=（a ＞b ＞0），如果满足“2b =a +c ”，则称此椭圆为“等差椭圆”．(1)如果椭圆2222:1x y a b Γ+=（a ＞b ＞0）是“等差椭圆”，求b a的值；(2)对于焦距为12的“等差椭圆”，点A 为椭圆短轴的上顶点，P 为椭圆上异于A 点的任一点，Q 为P 关于原点O 的对称点（Q 也异于A ），直线AP 、AQ 分别与x 轴交于M 、N 两点，判断以线段MN 为直径的圆是否过定点？说明理由．题型二：斜率面积等定值问题【例1】动点M 与定点(1,0)A 的距离和M 到定直线4x =的距离之比是常数12．(1)求动点M 的轨迹G 的方程；(2)经过定点(2,1)M -的直线l 交曲线G 于A ，B 两点，设(2,0)P ，直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ，求证：12k k +恒为定值．【例2】已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点()0,1Q x 在椭圆上且位于第一象限，12QF F 121QFQF ⋅=-．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若M ，N 是椭圆C 上异于点Q 的两动点，记QM ，QN 的倾斜角分别为α，β，当αβπ+=时，试问直线MN 的斜率是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【例3】已知点()2,1P -在椭圆2222:1(0)x yC a b a b +=>>上，C的长轴长为:l y kx m =+与C 交于,A B 两点，直线,PA PB 的斜率之积为14.(1)求证：k 为定值；(2)若直线l 与x 轴交于点Q ，求22||QA QB +的值.【例4】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的离心率23e =,且椭圆C 的右顶点与抛物线212y x =的焦点重合．(1)求椭圆C 的方程．(2)若椭圆C 的左、右顶点分别为12,A A ,直线():1l y k x =-与椭圆C 交于E ,D 两点,且点E 的纵坐标大于0,直线12,A E A D 与y 轴分别交于()()0,,0,P Q P y Q y 两点,问:P Qy y 的值是否为定值？若是,请求出该定值;若不是,请说明理由．【例5】已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为,A B ，且AB 4=，离心率为12，O 为坐标原点.(1)求椭圆C 的方程；(2)设P 是椭圆C 上不同于,A B 的一点，直线,PA PB 与直线4x =分别交于点,M N .证明：以线段MN 为直径作圆被x 轴截得的弦长为定值，并求出这个定值.【例6】已知P 为圆22:4M x y +=上一动点，过点P 作x 轴的垂线段,PD D 为垂足，若点Q 满足DQ =.(1)求点Q 的轨迹方程；(2)设点Q 的轨迹为曲线C ，过点()1,0N -作曲线C 的两条互相垂直的弦，两条弦的中点分别为E F ､，过点N 作直线EF 的垂线，垂足为点H ，是否存在定点G ，使得GH 为定值？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由..【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.【例7】已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为,F P 在椭圆C 上，PF 的最大值与最小值分别是6和2.(1)求椭圆C 的标准方程.(2)若椭圆C 的左顶点为A ，过点F 的直线l 与椭圆C 交于,B D （异于点A ）两点，直线,AB AD 分别与直线8x =交于,M N 两点，试问MFN ∠是否为定值?若是，求出该定值；若不是，请说明理由.【题型专练】1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.【点睛】方法点睛：探究性问题求解的思路及策略：(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．2．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>过点()2,1D ，且该椭圆长轴长是短轴长的二倍.(1)求椭圆C 的方程；(2)设点D 关于原点对称的点为A ，过点()4,0B -且斜率存在的直线l 交椭圆C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线4x =-于点P ，Q ，求证PBBQ为定值.3．如下图，过抛物线22(0)y px p =>上一定点000(,)(0)P x y y >，作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ．（1）求该抛物线上纵坐标为2p的点到其焦点F 的距离；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12+y y y 的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数．4．如图，椭圆214x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，点()00,P x y 是第一象限内椭圆上的一点，经过三点P ，1F ，2F 的圆与y 轴正半轴交于点()10,A y ，经过点(3,0)B 且与x 轴垂直的直线l 与直线AP 交于点Q ．(1)求证：011y y =．(2)试问：x 轴上是否存在不同于点B 的定点M ，满足当直线MP ，MQ 的斜率存在时，两斜率之积为定值？若存在定点M ，求出点M 的坐标及该定值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)存在点4,03M ⎛⎫⎪⎝⎭，可使得直线MP 与MQ 的斜率之积为定值，该定值为920-．【分析】（1）设()00,P x y 、圆的方程222()(0)x y b r r +-=>，代入()3,0-、()00,x y 及()10,A y 可解得101y y =，即可证；（2）设(,0)(3)M m m ≠，由A ，P ，Q 三点共线AP AQ k k =得Q y ，即可表示出MP MQ k k ⋅讨论定值是否存在.【详解】（1）由2214x y +=可得()13,0F -，()23,0F 设()00,P x y ，则220044x y +=，设圆的方程为2220()(0)+-=>x y b r r ，代入()13,0F -及()00,x y ，得()2202220003b rx y b r⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，两式相减，得22220000000003443113222⎛⎫+--+-===- ⎪⎝⎭x y y y b y y y y ，所以圆的方程为022230+--=x y b y 即22001330x y y y y ⎛⎫++--= ⎪⎝⎭，令0x =，得2001330y y y y ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，由10y >，可得101y y =，即011y y =．5．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，点(1,0)F 为椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且在x 轴上方，PF x ⊥轴，斜率为12的直线l 交C 于,M N 两点，(1)若直线l 过点F ，求PMN 的面积.(2)直线PM 和PN 的斜率分别为1k 和2k ，当直线l 平行移动时，12k k +是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由.6．已知椭圆22Γ:1a b+=()0a b >>的左焦点为()1,0F -，左、右顶点及上顶点分别记为A 、B 、C ，且1CF CB ⋅= .(1)求椭圆Γ的方程；(2)设过F 的直线PQ 交椭圆Γ于P 、Q 两点，若直线PA 、QA 与直线l ：40x +=分别交于M 、N 两点，l 与x 轴的交点为K ，则MK KN ⋅是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由.7．已知平面上一动点P 到()2,0F 的距离与到直线6x =的距离之比为3．(1)求动点P 的轨迹方程C ；(2)曲线C 上的两点()11,A x y ，()22,B x y ，平面上点()2,0E -，连结PE ，PF 并延长，分别交曲线C 于点A ，B ，若1PE EA λ= ，2PF FB λ=，问，12λλ+是否为定值，若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．8．已知椭圆2:14x C y +=，过点0,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭直线1l ，2l 的斜率为1k ，2k ，1l 与椭圆交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，2l 与椭圆交于()33,C x y ，()44,D x y 两点，且A ，B ，C ，D 任意两点的连线都不与坐标轴平行，直线12y =-交直线AC ，BD 于P ，Q .(1)求证：1122341234k x x k x x x x x x =++；(2)PM QM的值是否是定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.【答案】(1)证明见解析9．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,,F F 且离心率为12，椭圆C 的长轴长为4.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设,A B 分别为椭圆的左、右顶点，过点B 作x 轴的垂线1l ，D 为1l 上异于点B 的一点，以线段BD 为直径作圆E ，若过点2F 的直线2l （异于x 轴）与圆E 相切于点H ，且2l 与直线AD 相交于点,P 试判断1PF PH +是否为定值，并说明理由.））可知()()()222,0,2,0,1,0A B F F H -=，112212PF PH PF PF F H PF PF +=+-=+()()2,0,E m m ≠则()2,2,D m 圆E 的半径为则直线AD 直线方程为(2)2my x =+，的方程为1,x ty =+10．已知椭圆()22:10x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为A 、B ，直线AB 与圆22:3O x y +=相切，切点为M ，且2AM MB =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)过圆O 上任意一点P 作圆O 的切线，交椭圆C 于E 、F 两点，试判断：PE PF ⋅是否为定值？若是，求出该值，并证明；若不是，请说明理由.11．已知椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>，左、右焦点分别为()11,0F -、()21,0F ，左、右顶点分别为,A B ，若T 为椭圆上一点，12FTF ∠的最大值为π3，点P 在直线4x =上，直线PA 与椭圆C 的另一个交点为M ，直线PB 与椭圆C 的另一个交点为N ，其中,M N 不与左右顶点重合.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)从点A 向直线MN 作垂线，垂足为Q ，证明：存在点D ，使得DQ 为定值.题型三：定直线问题【例1】已知如图，长为宽为12的矩形ABCD，以为,A B焦点的椭圆2222:1x yMa b+=恰好过,C D两点，(1)求椭圆M的标准方程；(2)根据（1）所得椭圆M的标准方程，若AB是椭圆M的左右顶点，过点(1,0)的动直线l交椭圆M与CD两点，试探究直线AC与BD的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【例2】已知椭圆:C22221x ya b＋＝（0a b>>）的离心率为23，且⎭为C上一点.(1)求C的标准方程；(2)点A，B分别为C的左､右顶点，M，N为C上异于A，B的两点，直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点O，点M关于原点O的对称点为M'，若直线AM'与直线BN相交于点P，直线OP与直线MN相交于点Q，证明：点Q位于定直线上.【例3】已知1F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，直线y =与C 交于A ，B 两点，且1ABF 的周长为4+ 2.(1)求C 的标准方程；(2)若(2,1)P 关于原点的对称点为Q ，不经过点P 且斜率为12的直线l 与C 交于点D ，E ，直线PD 与QE 交于点M ，证明：点M 在定直线上.【答案】(1)22182x y +=(2)证明见解析【分析】（1）将22y b =代入曲线C 的方程中求得||2AB a =，继而由三角形的面积公式得4ab =.再由椭圆的对称性和椭圆的定义得()22442a +=+，由此可求得C 的标准方程；（2）设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，得出直线PD 的方程，直线QE 的方程，联立直线PD 与直线QE 的方程，求得点M 的坐标，继而求得12M M y x =-，可得证.(1)解：将22y b =代入2222:1(0)x y C a b a b +=>>中，解得22x a =±，则||2AB a =，所以1ABF 的面积为1222222ab a b ⨯⨯==，所以4ab =.①设C 的右焦点为2F ，连接2AF ，由椭圆的对称性可知12BF AF =，所以1ABF 的周长为()1112||||22AB AF BF AB AF AF a ++=++=+，所以()22442a +=+，②由①②解得22a =，2b =，所以C 的标准方程为22182x y +=.(2)解：设()11,D x y ，()22,E x y ，直线l 的方程为12y x m =+，0m ≠，联立直线l 与椭圆C 的方程，并消去y 得222240x mx m ++-=，【题型专练】1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2H ⎛ ⎝⎭是C 上一点.(1)求C 的方程.(2)设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点()1,0D 作斜率不为0的直线l ，l 与C 交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点M ，记AP 的斜率为1k ，BQ 的斜率为2k .证明：①1k k 为定值；②点M 在定直线上.2.已知()()1,0,1,0B C -为ABC 的两个顶点，P 为ABC 的重心，边,AC AB 上的两条中线长度之和为6.(1)求点P 的轨迹T 的方程.(2)已知点()()()3,0,2,0,2,0N E F --，直线PN 与曲线T 的另一个公共点为Q ，直线EP 与FQ 交于点M ，试问：当点P 变化时，点M 是否恒在一条定直线上？若是，请证明；若不是，请说明理由.3.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，左顶点为1A ，左焦点为1F ，上顶点为1B ，下顶点为2B ，M 为C 上一动点，11M AF △1.(1)求椭圆C 的方程；(2)过()0,2P 的直线l 交椭圆C 于D ，E 两点（异于点1B ，2B ），直线1B E ，2B D 相交于点Q ，证明：点Q 在一条平行于x 轴的直线上.。

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究

圆锥曲线中与斜率有关的定值问题研究作者：范贤丽来源：《中学教学参考·理科版》2015年第08期[摘要]主要研究圆锥曲线中因直线运动而产生与斜率有关的定值问题，涉及斜率之和、斜率之差、斜率之积三类定值问题.[关键词]圆锥曲线斜率定值[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2015）230038动和静是物体的两个方面，动是绝对的，静是相对的，动静是辩证地存在的.圆锥曲线是动静结合的典范.以椭圆为例，椭圆的定义为定点F1、F2，定值2a（2a>F1F2），动点P满足PF1+PF2=2a，则P的轨迹是椭圆.“动”是P的运动，“静”是动点P满足PF1+PF2=2a，点P到两个定点的距离和是定值.在运动的过程中，不变的就是静.本文以圆锥曲线为背景，研究与直线的斜率有关的定值问题.一、斜率之和为定值【例1】椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）经过点P（1，32），离心率e=12，直线l的方程为x=4.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）AB是经过右焦点F的任意一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA、PB、PM的斜率分别为k1、k2、k3.问：是否存在常数λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.解析：：（Ⅰ）易求出椭圆C的方程为x24+y23=1.（Ⅱ）设B（x0，y0）（x0≠±1），则直线FB的方程为y（x0-1）=y0（x-1）.令x=4，求得M（4，3y0x0-1），从而直线PM的斜率为k3=2y0-x0+12（x0-1）.直线FB的方程与椭圆方程联立方程组，解得A（5x0-82x0-5，3y02x0-5），则直线PA的斜率为k1=2y0-2x0+52（x0-1），直线PB的斜率为k2=2y0-32（x0-1）.所以k1+k2=2y0-2x0+52（x0-1）+2y0-32（x0-1）=2×2y0-x0+12（x0-1）=2k3.故存在常数λ=2符合题意.点评：过定点F的动直线引出三个动点：与定椭圆的两个交点A、B，与定直线l的交点M，经过定点P（满足PF⊥x轴）的调动，得到kPA+kPB=2kPM，动中有静，静由动生，动静和谐，形式优美.二、斜率之差为定值【例2】已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的离心率e=32，a+b=3，（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C的下顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M.设BP的斜率为k，MN的斜率为m，求证：2m-k为定值.解析：（Ⅰ）易得椭圆C的方程为x24+y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0），D（0，1），P不为椭圆的顶点，设BP的方程为y=k（x-2），k≠0，k≠±12.将之代入椭圆方程，解得P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1）.又直线AD的方程为y=12x+1，与BP的方程联立，解得M（4k+22k-1，4k2k-1）.由D（0，1），P（8k2-24k2+1，-4k4k2+1），N（x，0）三点共线可求得N（4k-22k+1，0）.所以MN的斜率为m=2k+14，故2m-k=12（定值）.点评：定椭圆上的三个定点A、B、D，由椭圆上的动点P引出两个动点M、N，这些点恰好都在定角∠DAB内，两个动直线MB、MN的斜率受定直线MA的斜率制约.三、斜率之积为定值【例3】椭圆C：x24+y23=1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）.A.[12，34]B.[38，34]C.[12，1]D.[34，1]解析：由题意知，A1（-2，0），A2（2，0）.设点P（x0，y0），则kPA1=y0x0+2，kPA2=y0x0-2（x0≠±2），且x204+y203=1.∴kPA1·kPA2=y20x20-4=-34，从而kPA1=-34kPA2，由kPA2∈[-2，-1]得k∈[38，34].故选B.点评：椭圆x2a2+y2b2=1（a>b>0）上不与长轴端点重合的任意一点与两个长轴端点连线的斜率之积是常数-b2a2，反映椭圆上的动点具有不变的特性.（责任编辑钟伟芳）。

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究

高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

圆锥曲线的第三定义的有关结论：1.椭圆方程中有关22b a-的经典结论(1).AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=-.(2).椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,A A 为椭圆的长轴顶点，P 点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a=-(3). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），,B B 为椭圆的短轴顶点，P 点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PB PB b K K a=-(4). 椭圆的方程为22221x y a b+=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PBb K K a=-2.双曲线方程中有关22b a的经典结论(1)AB 是双曲线22221x y a b -=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则22OM ABb k k a⋅=，即2020ABb x K a y =。

(2)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,A A 为双曲线的实轴顶点，P 点是双曲线上异于实轴顶点的任一点，则有1222PA PA b K K a= (3)双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），,B B 为双曲线的虚轴端点，P 点是双曲线上异于虚轴端点的任一点，则有1222PB PB b K K a= (4) 双曲线的方程为22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0），过原点的直线交双曲线于,A B 两点，P点是双曲线上异于,A B 两点的任一点，则有22PA PB b K K a= 典型例题：例1．（2019全国卷2理科数学第21题）已知点A (−2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形；（ii ）求PQG △面积的最大值.例2.已知平行四边形ABCD 内接于椭圆()2222:10x y a b a bΩ+=>>，且AB ， AD 斜率之积的范围为32,43⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆Ω离心率的取值范围是（）A. 12⎛ ⎝⎭B. ⎝⎭C. 14⎛ ⎝⎭D. 11,43⎛⎫⎪⎝⎭例3.设椭圆()012222>>=+b a by a x C ：的左右顶点为A,B.P 是椭圆上不同于A,B 的一点，设直线AP,BP 的斜率分别为m,n ，则当()||ln ||ln 32323n m mnmn b a +++⎪⎭⎫ ⎝⎛-取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A.51B.22C.54D.23例4.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左,右焦点分别为1F ，2F ，12F F =，经过点1F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，△2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）经过椭圆C 上的一点Q 作斜率为1k ，2k （10k ≠，20k ≠）的两条直线分别与椭圆C 相交于异于点Q 的M ，N 两点.若M ，N 关于坐标原点对称，求12k k 的值巩固提升：1．已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4， A ， B 是其长轴顶点， M 是椭圆上异于A ， B 的动点，且34MA MB k k ⋅=-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，若动点R 在直线6x =上，直线AR ， BR 分别交椭圆C 于P ， Q 两点.请问：直线PQ 是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.2.如图,设点,A B 的坐标分别为()),,直线,AP BP 相交于点P ,且它们的斜率之积为23-．（1）求点P 的轨迹方程；（2）设点P 的轨迹为C ,点M N 、是轨迹为C 上不同于,A B 的两点,且满足//,//AP OM BP ON ,求证：MON ∆的面积为定值．3．已知椭圆C：22 221(0)x ya ba b+=>>的短轴长为25，离心率为32，圆E的圆心在椭圆C上，半径为2，直线1y k x=与直线2y k x=为圆E的两条切线．（1）求椭圆C的标准方程；（2）试问：12*k k是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．4．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的离心率为12，右准线的方程为4,x=1,F2F分别为椭圆C的左、右焦点，A，B分别为椭圆C的左、右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过(,0)T t()t a>作斜率为k(0)k<的直线l交椭圆C于M，N两点（点M在点N的左侧），且12//F M F N，设直线AM，BN的斜率分别为1,k2k，求12k k⋅的值．5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>()2,1M 在椭圆上，O 为坐标原点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知A ､B 为椭圆上不同的两点．①设线段AB 的中点为点T ，证明：直线AB ､OT 的斜率之积为定值；②若A ､B 两点满足()0OA OB OM λλ+=≠，当OAB ∆的面积最大时，求λ的值．6．已知椭圆E ：，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．若，点K 在椭圆E 上，、分别为椭圆的两个焦点，求的范围；证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；若l 过点，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．2229(0)x y m m +=>()13m =1F 2F 12KF KF ⋅()2()3,3mm ⎛⎫ ⎪⎝⎭高中数学解析几何圆锥曲线的第三定义与斜率乘积是定值模型问题探究问题与知识提出：圆锥曲线的第三定义：平面内的动点到两定点1,0A a 2,0A a 的斜率乘积等于常数21e 点的轨迹叫做椭圆或双曲线,其中两个定点为椭圆和双曲线的两个顶点.其中如果常数211e时，轨迹为双曲线，如果211,0e 时，轨迹为椭圆。

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题(原卷版)

微专题5 圆锥曲线中斜率定值问题一、背景研究：圆锥曲线是高考的必考知识之一，也是很多学生突破高分中的拦路虎，计算量大，综合性强是圆锥曲线的特点，因此很多学生视其为“眼中钉、肉中刺”。

不过圆锥曲线题目是有规律也寻的，特别是经常会遇到这样一类问题，它不仅仅是“定值”问题，更重要的是证明或者探究直线的斜率为定值问题，只有真正做好练习和巩固，这类问题便可手到擒来。

二、知识回顾：1、斜率反应了直线的倾斜程度，是高考中必考的知识点；2、已知点()11,y x A 和点()22,y x B ，且21x x ≠，则直线AB 的斜率为2121x x y y k AB --=； 3、在出现斜率为定值的问题当中，经常会证明一条直线或者两条直线斜率和，差或者积与商为定值，我们需要先将斜率表示出来。

三、经典例题：【例1】已知抛物线C ：2y =2px 经过点P （1，2）．过点Q （0，1）的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线P A 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N 。

（1）求直线l 的斜率的取值范围；（2）设O 为原点，QM QO λ=u u u u r u u u r ，QN QO μ=u u u r u u u r ，求证：11λμ+为定值。

【例2】如图，椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>经过点()0,1A -，且离心率为22。

（1）求椭圆E 的方程；（2）经过点()1,1，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同两点P ，Q （均异于点A ），证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为定值。

【例3】已知点和动点，以线段为直径的圆内切于圆。

（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，，经过点的直线与动点的轨迹交于，两点，求证：直线与直线的斜率之和为定值。

四、课堂练习：1、如图，直线:210l x y ++=与y 轴交于点A ，与抛物线2:2(0)C x py p =>交于,P Q 点B 与点A 关于x 轴对称，连接,QB BP 并延长分别与x 轴交于点,M N 。

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