项目三平面控制网平差计算 - 甘肃工业职业技术学院

Qxx
(BT PB)1
Qxx Qyx
Qxy
Qyy
（3-9）
34
误差椭圆
其中主对角线元素Qxx 、Qyy就是待定点坐标平差值x、y的权 倒数，而 Qxy 、Qyx则是它们的相关权倒数。相关权倒数将在后 面的公式推倒中用到。当平差问题中有多个待定点，例如s 个待定点时，参数的协因数阵为
Q Q
x1x1 y1x1
3
任务一 控制网平差概述
常用的平面控制网有：
三角网、导线网，以及GPS网(三维网)
三角网分为：
测角三角网，测边三角网，边角网
网的基准（必要起算数据） 测角网的基准个数为4，测角网和边角网的
基准个数为3，导线网的基准个数为3 GPS网的基准个数为3
4
任务二 导线及导线网条件平差
导线网，包括单一附合导线、单一闭合导线和结点导线网， 是目前较为常用的控制测量布设方式之一，其观测值有长 度观测值和角度观测值。在本节中我们主要讨论单一附和 导线的平差计算。
Xˆ Xˆ E YˆE Xˆ F YˆF T
（1）计算待定点近似坐标见表3-7
表3-7
24
导线及导线网的间接平差
（2）计算坐标方位角改正数方程的系数及边长改正数方程的系数，见表38中的对应行。
表3-8
（3）确定角度和边长观测值的权。
令角度观测值的权为单位权，即设单位权中误差
0
5"
，各导线边的权
（8）求观测值改正数 将求出的参数代入改正数方程，可计算各观测值改正数，列于表3-3中“v ”列。 （9）计算单位权方差
由公式
ˆ0
V T PV r
V T PV 74
，将观测值改正数代入，即有：
ˆ0
73.69 3
V T PV 5.0" 74
（10）评定待定点坐标平差值精度 点位中误差的公式为：
”列。 p S i
2 0
2 Si
25 0.25Si
（单位：秒2/mm2）。各观测边值的权列于表3-9中的“
p
25
导线及导线网的间接平差
（4）列观测值误差方程 列角度误差方程，列边长误差方程，各误差方程的系数项及常数项列于表39中对应行。 表3-9
26
导线及导线网的间接平差
（5）组成法方程。
根据表3-5中误差方程的系数项、常数项及观测值构成的对角权阵，组成法方程 如下：
yC
yA
n
yˆi 1
yA
n
yi 1
n
1
vyi
命
x y
n
xi 1
n
yi 1
(xC (yC
x
A
)
yA )
则
n
vxi
1
n
vyi
1
x y
0
0
7
导线及导线网条件平差
以微分量代替改正数，可得单一符合导线的纵、横坐标条件方程
n
cosivsi
i 1
1
n
( yC
i 1
yi )vi
（6）解法方程，各待定点坐标近似值的改正数
（7）计算待定点坐标平差值的协因数：
0.383
QXˆXˆ
N
1 BB
0.122 0.344
0.037
0.122 1.469
0.019 0.937
0.344 0.019
0.567 0.052
0.037 0.937
0.052 1.859
27
导线及导线网的间接平差
式中 si 以cm为单位。
由上式算得 ms1 0.96（cm）
ms2 0.82（cm）
ms3 0.79 （cm）
ms4 0.92（cm）
11
导线及导线网条件平差
以角度观测的权为单位权，即 m 3.0
表3-2
12
导线及导线网条件平差
表3-2续
13
导线及导线网条件平差
则边长的权为
p s1
x
0
n
sin ivsi
i 1
1
n
(xC
i 1
xi )vi
y
0
x y
为条件式的不符值
按
x
xA
n
xi 1
xC
xC
xC
y
yA
n
yi 1
yC
yC
yC
求得
计算时 vi 一般以秒为单位，vsi 、x 、y 以cm为单位；若x、y
以m为单位，则
206265 100
2062.65
，从而使全式单位统一。
点位中误差 P，为此，可求出它在两个相互垂直方向上的中
误差，就可由式（3-3）或式（3-6）计算点位中误差。
返回
33
误差椭圆
2 点位误差及其计算
点位方差可用式（5-3）计算，由定权的基本公式可知，
2 y
2 0
1 py
02Qyy，
（3-7）
2 x
2 0
1 px
2 0
Q
x
x
将上式代入式（5-3）可得
附合导线的条件平差方程式
D
B
β2
β4
βn+1
β1 s1 2 s2 β3
A(1)
3
β5
C(n+1)
sn
n
5
导线及导线网条件平差
此导线共有 2n 1 个观测值，有 n1 个未知数，故 则 t 2(n 1) r (2n 1) 2(n 1) 3 。因此，应列出三个条件方程，其中
一个是坐标方位角条件，另两个是纵、横坐标条件。 1、坐标方位角条件
wx xB xB 8748 .204 8746 .155 4.9 cm
wy yB yB 6667 .676 6667 .647 2.9 cm
（3）计算条件方程式系数及权函数式系数列于表3-2中。 （4）组成法方程式并解算。根据表3-2中系数组成法方程系数，然后
填于表3-3中相应行内。法方程式的解算在表3-3中进行。
2 P
2 x
2 y
2 0
(Qxx
Qyy )
（3-8）
可见，只要计算出
Qxx 、 Qyy及单位权方差
2 0
，就可计算出
2 P
。当关以于三Q角xx 网、Q中yy 待的定计点算的问坐题标，作以为间参接数平，差按方间法接概平述差如法下平：
差时，法方程系数阵的逆阵就是参数的协因数阵 Qxx，当平差 问题中只有一个待定点时
ˆ P ˆ 0 QXˆXˆ QYˆYˆ
28
导线及导线网的间接平差
将、点坐标对应的协因数，单位权中误差代入点位中误差公式，即有：
ˆ E 5.0 0.383 1.469 6.8mm
ˆ F 5.0 0.567 1.8，59 7.8mm
29
任务四 误差椭圆
1 点位真误差
在测量中，为了确定待定点的平面直角坐标，通常需进
行一系列观测。由于观测值总是带有观测误差，因而根据观
测值，通过平差计算所获得的是待定点坐标的平差值
而不是待定点坐标的真值 ~x ，~y 。
xˆ
，yˆ ，
如图5-1中，A为已知点，假定其坐标是不带误差的数值。
P为待定点的真位置，P′点为经过平差所得的点位，两者
之距离为△P，称之为点位真误差，简称为真位差。由图可
20
导线及导线网的间接平差
2.边长的误差方程
v jk
ΔX
0 jk
S
0 jk
x j
ΔY
0 jk
S
0 jk
y j
ΔX
0 jk
S
0 jk
xk
ΔY
0 jk
S
0 jk
yk
l jk
l jk
S
0 jk
S jk
21
导线及导线网的间接平差
单一导线的间接平差算例
单一附合导线如图，观测了4个角度和3条边长。已知数据列于表3-1，观测数
3
2）计算边 s3 的中误差。
ms3
1 2.95 0.064 0.75cm
p s3
s3 边边长相对中误
ms3 0.75 1 s3 122942 164000
18
任务三 导线及导线网的间接平差
一、导线网间接平差 1.角度误差方程 （1）坐标方位角改正数方程
jk
Y
0 jk
(
S
0 jk
)
2
(
0 jk
0 jh
)
(3 - 2)
(3- 3)
19
导线及导线网的间接平差
（3）列角度误差方程的步骤： （1）计算待定点的近似坐标（X0，Y0）； （2）由待定点的近似坐标及已知点的坐标计算各待定点的近似边长S0 和近似坐标方位角α0； （3）列出各待定点的坐标方位角改正数方程，并求其系数； （4）按式（3-1）、（3-2）、（3-3）列立误差方程，计算 系数和常数。
6.137
0.660
3.727
0.314
0.660 1.075 0.414 0.540
3.727 0.414
4.030 0.247
0.314dxˆE 18.397
0.540dyˆ E 0.247 dxˆ F
2.358 31.687
0.811dyˆ F 6.242
对中误差。
β4
β2
2
β3
3
s2
s3
3
s4
s1 B(5)
A(1) β5
β1
9
导线及导线网条件平差
表3-1
10
导线及导线网条件平差
解：（1）确定观测值的权。
测角中误差 m 3.0
边长中误差按仪器给定公式为
msi mc2 (si ppm)2 (0.5)2 (5106 si )2 （cm）
对式(3-2)进行误差传播，可得点P真
图3-1
位差的方差△P 为
2 P
2 x
2 y
（3-3）
式中，
2 P
通常定义为点P的点位方差；
为点位中误差。
P
如果将图3-1中的坐标系旋转某一角度，即以 xoy 为坐
31
误差椭圆
标系（图3-2），则可以看出△P的大小将不受坐标轴的变动
而发生变化，此时 P 2 x2 y2
测量数据处理
甘肃工业职业技术学院 测绘学院
项目内容：
项目一 测量数据的误差分析与精度评定 项目二 高程控制网平差计算 项目三 平面控制网平差计算 项目四 专业平差软件及其应用
2
项目三 平面控制网平差计算
任务一 控制网平差概述 任务二 导线及导线网条件平差 任务三 导线及导线网间接平差 任务四 误差椭圆
15
导线及导线网条件平差
表3-3
16
导线及导线网条件平差
（5）计算改正数和平差值。由法方程解算表解得的联系数和观测边 加相应改正数，即得角度和边长平差值。计算见表3-4。
表3-4
17
导线及导线网条件平差
（6）计算边的精度。 1）单位权中误差，按
[ pvv] 26.080 2.95
r
据见表3-2，已知先验的测角中误差 5"，测边中差 试按间接平差求：
Si 0.5 Si mm
（1）各导线点的坐标平差值及点位精度；
（2）各观测值的平差值；
22
导线及导线网的间接平差
表3-5 表3-6
23
导线及导线网的间接平差
解：本题必要观测数 t 4 ，选择待定点坐标平差值为未知参数，即：
x j
X
0 jk
(
S
0 jk
)
2
y j
Y
0 jk
(
S
0 jk
)2
xk
X
0 jk
(
S
0 jk
)2
yk
jh
Y
0 jh
(
S
0 jh
)
2
x j
X
0 jh
(S
0 jh
)
2
y j
Y
0 jh
(
S
0 jh
)2
xh
X
0 jh
(S
0 jh
)
2
yh
（2）误差方程
(3 -1)
vi jk jh li
li
Li
m
2
m2 ms1
9.76
ps3 14.42
边长权倒数为
ps2 13.38
ps4 10.63
1 0.101 p s1
1 0.070
p s3
1 0.074 ps2
1 0.091
ps4
14
导线及导线网条件平差
（2）计算条件方程式不符值。
wa AB AB 49 3008.4 49 3013.4 5.0
，
仿式(3-3)可得
2 P
2 x
2 y
(3-4)
这说明，尽管点位真误差△P
在不同坐标系的两个坐标轴上的投
影长度不等，但点位方差
2 P
总是等
于两个相互垂直的方向上的坐标方
差之和，即它与坐标系的选择无关。
图3-2
如果再将点P的真位差△P投影于AP方向和垂直于AP的
方向上，则得 s 和 u（见图3-1），s 、u为点的纵向误差和 横向误差，此时有
CD
BA
n1
ˆi
(n 1)180
i 1
n1
vi a 0
i 1
按
式中a —方位角条件的不符值，
a
BA
CD
n1
ˆi
(n 1)180
i 1
6
导线及导线网条件平差
2、纵、横坐标条件 由图可写出以坐标增量平差值表示的纵、横坐标条件。
xC
xA
n
xˆi 1
xA
n
xi 1
n
vxi 1
P2 s 2 u 2 （3-5）
32
误差椭圆
仿式（5-3）又可以写出
2 P
2 s
2 u
（3-6）
通过纵、横向误差来求定点位误差，这在测量工作中也
是一种常用的方法。
上述的 x 和 y 分别为点在x轴和y轴方向上的中误差，或
称 向为和横x轴向和上y的轴位方差向。上为的了位衡差量。待同定样点，的s和精度，是u 一点般在是A求P边出的其纵
8
导线及导线网条件平差
在下图所示附合导线中，A, B 为已知点，其坐标
xA 6556.947 m yA 4101.735 m
xB 8748.155 m
yB 6667 .647 m
方位角
AB
493013.4 ，应用红外测距仪观测导线的转折角和边长列
入下表3-1中。试按条件平差法，求各观测值及平差后边的边长相
知，在待定点的这两对坐标之间存在着误差△x ， △y ，则：
30
误差椭圆
x ~x xˆ
y ~y yˆ
Hale Waihona Puke Baidu
（3-1）
且有
P 2 x 2 y 2 （3-2）
△x ， △y 为真位差在x轴和y轴上两
个位差分量，也可理解为真位差在坐
标轴上的投影。设△x ， △y 的中误
差为 x ， y，考虑△x与△y互相独立，