中考数学阅读理解型试题透析
中考数学复习专题3+阅读理解问题
专题三阅读理解问题专题透视■ 典例解析■ 专题实训专题透视阅读理解型问题是通过阅读材料，理解其实质，揭示其方法规律从而解决新问题.既考查学生的阅读能力、自学能力，又考查学生的解题能力和数学应用能力.这类题目能够帮助学生实现从模仿到创造的思维过程，符合学生的认知规律.阅读理解题一般是提供一定的材料，或介绍一个概念，或给出一种解法等，让你在理解材料的基础上，获得探索解决问题的途径，用于解决后面的问题.基本思路是：“阅读f分析一理解-解决问题典例解析一、新概念学习型新概念学习型是指在题目中先构建一个新数学概念（或 定义），然后再根据新概念提出要解决的相关问题.主要目的 是考査学生的自学能力和对新知识的理解与运用能力.解决这 类问题：要求学生准确理解题目中所构建的新概念，将学习 的新概念和已有的知识相结合，并进行运用. nm （2015 -临沂）定义：给定关于x 的函数y,对于该函 数图象；n ；n上任意两点（x p y。
, （x2, y2）.当Xi%时，都Wy1<y2>称该函数为增函数.根据上述定义，可以判断下面所给的函数中，是增函数的有（填上所有正确答案的序号).①y=2x；②y=-x+l； @y=x2 (x>0) ； @y =【分析】结合一次函数、二次函数、反比例函数的性质，严格按照新定义的要求验证即可.【解答】假设点(X1，y T) , (x2, y2)在y=2x上, 当X］〈X2时，y?-y 1=2x2-2xi=2 g-x】)>0.则y=2x是增函数.同理可证y=x2 (x>0)是增函数，y=-x+l不是增函数.y =--在每个象限内是增函数，但当x1<0<x2W,有yi>y2，则v y = -l 不是增函数.1=1【答彙］①③【点评】本题考查了一次函数、二次函数及反比例函数的性质，正确理解增函数的定义是解题的关键.翼②(2014・四川舟山)类比梯形的定义，我们定义：有 一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫作“等对 角四边形”.(1)已知：如图1,四边形ABCD 是“等对角四边形”， /AUNC, ZA=70° , ZB=80° .求NC, ND 的度数.(2)在探究“等对角四边形”性质时：!1! !1! !1! U!①小红画了一个“等对角四边形"ABCD (如图2),其中!1!ZABC=ZADC, AB=AD,此时她发现CB=CD成立.请你证明此结论；②由此小红猜想：“对于任意'等对角四边形'，当一组邻边相等时，另一组邻边也相等”.你认为她的猜想正确吗 ?若正确，请证明；若不正确，请举出反例.在“等对角四边形力ABCD 中，ZDAB=60° , AB=5, AD=4.求对角线AC 的长. (3)已知:ZABC=90°U!【分析】（1）利用“等对角四边形”这个概念来计算.!1!（2）①利用等边对等角和等角对等边来证明；②举例画图.（3）①当ZADC=ZABC=90°时，延长AD, BC相交于点E, 利用勾股定理求解；②当ZBCD=ZDAB=60°时，过点D作DE1AB于点E, DF丄专题三阅读理解问题BC 于点F,求线段利用勾股定理求解.【解答】(1)如图IL.等对角四边形ABCD, ZA^ZC,A ZD=ZB=80° ,A ZC=360° -70° -80° -80° =130° .专题三阅读理解问题①如図Z,连核BD,VAB=AD,•I ZABD=ZADB.•/ ZABC=ZADC,:.Z ABC- ZABD= Z ADC- Z ADB,:.ZCBD=ZCDB,ACB=CD.②不正确,AB=AD,但 CB^CD,反例：如图3, ZA=ZC=90° ，C 图(3)①如图4,当ZADC=ZABC=90°时，延长AD, BC相交于点E, V ZABC=90° , ZDAB=60° ,AB=5,AAE=10,ADE=AE-AD=10-4=6.VZEDC=90° , ZE=30° ,二CD = 2>/3,•I AC = V A D2+CD2=M +(2构2 = 2^7.②如图5,当NBCD二NDAB二60。
中考数学专题复习2：阅读理解题
中考数学专题复习2：阅读理解题Ⅰ、综合问题精讲：阅读理解型问题以内容丰富、构思新颖别致、题样多变为特点．知识的覆盖面较大，它可以是阅读课本原文，也可以是设计一个新的数学情境，让学生在阅读的基础上，理解其中的内容、方法和思想，然后在把握本质，理解实质的基础上作出回答．这类问题的主要题型有：阅读特殊范例，推出一般结论；阅读解题过程，总结解题思路和方法；阅读新知识，研究新问题等．这类试题要求考生能透彻理解课本中的所学内容，善于总结解题规律，并能准确阐述自己的思想和观点，考查学生对数学知识的理解水平、数学方法的运用水平及分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识的迁移能力等．因此，在平时的学习和复习中应透彻理解所学内容．搞清楚知识的来龙去脉，不仅要学会数学知识，更要掌握在研究知识的过程中体现出的数学思想和方法．Ⅱ、典型例题剖析【例1】（，模拟，9分）如图 2－7－1所示，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2 2 和2 ，对角线BD、FH都在直线l上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O在直线l上平移时，正方形 EFH也随之平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．（1）计算：O1D=_______，O2 F=______；（2）当中心O2在直线 l上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1 O2 =_________.（3）随着中心 O2在直线 l上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围．（不必写出计算过程）解：（1）O1D=2，O2 F=1；（2）O1 O2 =3；（2）当O1 O2＞3或0≤O1 O2＜1时，两个正方形无公共点；当O1 O2=1时，两个正方形有无数个公共点；当1＜O1 O2＜3时，两个正方形有2个公共点．点拨：本题实际上考查的知识点是“两圆的位置关系”，但形式有所变化．因此，可以再次经历探索两个圆之间的位置关系，认真分析并总结两圆五种位置关系所对应的圆心距d与半径R和r的数量关系，五种位置关系主要由两个因素确定：①公共点的个数；②一个圆上的点在另一个圆的外部还是内部，按这两个因素为线索来探究位置关系．然后，把这种利用平移实验直观探索方法迁移到研究“两个正方形的位置关系”上来．【例2】（，内江，9分）阅读材料，大数学家高斯在上学读书时曾经研究过这样一个问题：1+2+3+…+100＝？经过研究，这个问题的一般性结论是1+2+3+…+()121+=n n n ，其中ｎ是正整数。
中考数学阅读理解题解析
中考数学阅读理解题解析一、 题目来源：原创题这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，学生通过阅读，将材料所给的信息加以搜集整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答。
本题依据初高中数学在含绝对值的不等式知识的衔接点设计问题。
二、 原题设计：阅读下面的材料：解不等式 ｜x-5｜-｜2x+3｜<1解：x ＝5和x ＝23分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：于是，原不等式变为（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）解（Ⅰ）得 x<-7， 解（Ⅱ）得31<x≤5， 解（Ⅲ）得 x>5；所以（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的解集的公共部分即为原不等式的解集，解集为x<-7或x>31。
同学们，通过对以上材料的阅读，解不等式｜x+3｜+｜x-3｜>8三、 参考答案及评分标准解：x ＝－3和x ＝3分别使上式两个绝对值中代数式的值为零，它们将数轴分成三段：……………………２分于是，原不等式变为（Ⅰ） ⎩⎨⎧>--+--<8)3()3(3x x x或（Ⅱ）⎩⎨⎧>-++-<≤-8)3()3(33x x x或（Ⅲ）⎩⎨⎧>-++≥8)3()3(3x x x ……………………４分 解（Ⅰ）得 x<－4，解（Ⅱ）得无解，解（Ⅲ）得 x>4； ……………………６分所以（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）的解集的公共部分即为原不等式的解集，解集为x<－4或x>4。
……………………８分四、试题解析此阅读理解题含两个绝对值不等式的计算为背景，考查绝对值、不等式组相关的知识；内容包括解题过程新思路、新方法，这主要是考查学生的理解应变能力，同时也提供全新的的阅读材料，介绍新知识，用来考查学生的学以致用的能力。
此题的难点是把绝对值不等式转化为一次不等式(组)来求解。
通过不等式的求解，加强学生的运算能力。
提高学生解决问题过程中熟练运用“数形结合”数学思想的能力。
中考数学复习第五讲《阅读理解型问题》经典题型含答案
中考数学复习专题第五讲阅读理解型问题【要点梳理】阅读理解能力是初中数学课程的主要目标，是改变学生学习方式，实现自主探索主动发展的基础．阅读理解型问题，一般篇幅较长，涉及内容丰富，构思新颖别致．这类问题，主要考查解题者的心理素质，自学能力和阅读理解能力，考查解题者的观察分析能力、判辩是非能力、类比操作能力、抽象概括能力、数学归纳能力以及数学语言表达能力．这就要求同学们在平时的学习活动中，逐步养成爱读书、会学习、善求知、勤动脑、会创新和独立获取新知识的良好习惯．阅读理解题型分类：题型一：考查掌握新知识能力的阅读理解题命题者给定一个陌生的定义或公式或方法，让你去解决新问题，这类考题能考查我们自学能力和阅读理解能力，能考查我们接收、加工和利用信息的能力．题型二：考查解题思维过程的阅读理解题言之有据，言必有据，这是正确解题的关键所在，是提高我们数学水平的前提．数学中的基本定理、公式、法则和数学思想方法都是理解数学、学习数学和应用数学的基础，这类试题就是为了检测我们理解解题过程、掌握基本数学思想方法和辨别是非的能力而设置的．题型三：考查纠正错误挖病根能力的阅读理解题理解知识不是拘泥于形式的死记硬背，而是要把握知识的内涵或实质，理解知识间的相互联系，形成知识脉络，从而整体地获取知识．这类试题意在检测我们对知识的理解以及认识问题和解决问题的能力．题型四：考查归纳、探索规律能力的阅读理解题对材料信息的加工提炼和运用，对规律的归纳和发现能反映出我们的应用数学、发展数学和进行数学创新的意识和能力．这类试题意在检测我们的“数学化”能力以及驾驭数学的创新意识和才能．【学法指导】解决阅读理解问题的基本思路是“阅读→分析→理解→解决问题”，具体做法：①认真阅读材料，把握题意，注意一些数据、关键名词；②全面分析，理解材料所蕴含的基本概念、原理、思想和方法，提取有价值的数学信息；③对有关信息进行归纳、整合，并且和方程、不等式、函数或几何等数学模型结合来解答．【考点解析】阅读新知识，解决新问题（2017深圳）阅读理解：引入新数i，新数i满足分配律，结合律，交换律，已知i2=﹣1，那么（1+i）•（1﹣i）= 2 ．【考点】4F：平方差公式；2C：实数的运算．【分析】根据定义即可求出答案．【解答】解：由题意可知：原式=1﹣i2=1﹣（﹣1）=2故答案为：2阅读解题过程，模仿解题策略（1）阅读理解：如图①，在四边形ABCD中，AB∥DC，E是BC的中点，若AE是∠BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证△AEB≌△FEC，得到AB=FC，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB、AD、DC之间的等量关系为AD=AB+DC ；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，AB∥DC，AF与DC的延长线交于点F，E是BC的中点，若AE是∠BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．（3）问题解决：如图③，AB∥CF，AE与BC交于点E，BE：EC=2：3，点D 在线段AE上，且∠EDF=∠BAE，试判断AB、DF、CF之间的数量关系，并证明你的结论．【考点】SO：相似形综合题．【分析】（1）延长AE交DC的延长线于点F，证明△AEB≌△FEC，根据全等三角形的性质得到AB=FC，根据等腰三角形的判定得到DF=AD，证明结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，利用同（1）相同的方法证明；（3）延长AE交CF的延长线于点G，根据相似三角形的判定定理得到△AEB ∽△GEC，根据相似三角形的性质得到AB=CG，计算即可．【解答】解：（1）如图①，延长AE交DC的延长线于点F，∵AB∥DC，∴∠BAF=∠F，∵E是BC的中点，∴CE=BE，在△AEB和△FEC中，，∴△AEB≌△FEC，∴AB=FC，∵AE是∠BAD的平分线，∴∠DAF=∠BAF，∴∠DAF=∠F，∴DF=AD，∴AD=DC+CF=DC+AB，故答案为：AD=AB+DC；（2）AB=AF+CF，证明：如图②，延长AE交DF的延长线于点G，∵E是BC的中点，∴CE=BE，∵AB∥DC，∴∠BAE=∠G，在△AEB和△GEC中，，∴△AEB≌△GEC，∴AB=GC，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG=∠FAG，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠G，∴∠FAG=∠G，∴FA=FG，∴AB=CG=AF+CF；（3）AB=（CF+DF），证明：如图③，延长AE交CF的延长线于点G，∵AB∥CF，∴△AEB∽△GEC，∴==，即AB=CG，∵AB∥CF，∴∠A=∠G，∵∠EDF=∠BAE，∴∠FDG=∠G，∴FD=FG，∴AB=CG=（CF+DF）．阅读探索规律，推出一般结论（2017内江）观察下列等式：第一个等式：第二个等式：第三个等式：第四个等式：按上述规律，回答下列问题：（1）请写出第六个等式：a6= = ﹣；（2）用含n的代数式表示第n个等式：an= =﹣；（3）a1+a2+a3+a4+a5+a6= （得出最简结果）；（4）计算：a1+a2+…+an．【考点】37：规律型：数字的变化类．【分析】（1）根据已知4个等式可得；（2）根据已知等式得出答案；（3）利用所得等式的规律列出算式，然后两两相消，计算化简后的算式即可得；（4）根据已知等式规律，列项相消求解可得．==﹣，【解答】解：（1）由题意知，a6故答案为：，﹣；（2）a==﹣，n故答案为：，﹣；（3）原式=﹣+﹣+﹣+﹣+﹣+﹣=﹣=，故答案为：；（4）原式=﹣+﹣+…+﹣=﹣=．【真题训练】训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．参考答案：训练一：（2017浙江湖州）对于任意实数a，b，定义关于“⊗”的一种运算如下：a⊗b=2a﹣b．例如：5⊗2=2×5﹣2=8，（﹣3）⊗4=2×（﹣3）﹣4=﹣10．（1）若3⊗x=﹣2011，求x的值；（2）若x⊗3＜5，求x的取值范围．【考点】C6：解一元一次不等式；2C：实数的运算；86：解一元一次方程．【分析】（1）根据新定义列出关于x的方程，解之可得；（2）根据新定义列出关于x的一元一次不等式，解之可得．【解答】解：（1）根据题意，得：2×3﹣x=﹣2011，解得：x=2017；（2）根据题意，得：2x﹣3＜5，解得：x＜4．训练二：（2017日照）阅读材料：在平面直角坐标系xOy中，点P（x0，y）到直线Ax+By+C=0的距离公式为：d=．例如：求点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离．解：由直线4x+3y﹣3=0知，A=4，B=3，C=﹣3，∴点P（0，0）到直线4x+3y﹣3=0的距离为d==．根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P1（3，4）到直线y=﹣x+的距离为 4 ；问题2：已知：⊙C是以点C（2，1）为圆心，1为半径的圆，⊙C与直线y=﹣x+b相切，求实数b的值；问题3：如图，设点P为问题2中⊙C上的任意一点，点A，B为直线3x+4y+5=0上的两点，且AB=2，请求出S△ABP的最大值和最小值．【考点】FI：一次函数综合题．【分析】（1）根据点到直线的距离公式就是即可；（2）根据点到直线的距离公式，列出方程即可解决问题．（3）求出圆心C到直线3x+4y+5=0的距离，求出⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值以及最小值即可解决问题．【解答】解：（1）点P1（3，4）到直线3x+4y﹣5=0的距离d==4，故答案为4．（2）∵⊙C与直线y=﹣x+b相切，⊙C的半径为1，∴C（2，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离d=1，∴=1，解得b=5或15．（3）点C（2，1）到直线3x+4y+5=0的距离d==3，∴⊙C上点P到直线3x+4y+5=0的距离的最大值为4，最小值为2，∴S△ABP 的最大值=×2×4=4，S△ABP的最小值=×2×2=2．训练三：（2017山东临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．【分析】（1）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再得出∠AEC=45°，即可得出等腰直角三角形，即可；（判断∠ADE=∠ABC也可以先判断出点A，B，C，D四点共圆）（2）先判断出∠ADE=∠ABC，即可得出△ACE是等腰三角形，再用三角函数即可得出结论．【解答】解：（1）BC+CD=AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=45°，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=90°，∵∠ACB=∠ACD=45°，∴∠ACB+∠ACD=45°，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=45°，AC=AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE=AC，∵CE=CE+DE=CD+BC，∴BC+CD=AC；（2）BC+CD=2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE=BC，∵∠ABD=∠ADB=α，∴AB=AD，∠BAD=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=180°﹣2α，∵∠ACB=∠ACD=α，∴∠ACB+∠ACD=2α，∴∠BAD+∠BCD=180°，∴∠ABC+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠ADE=180°，∴∠ABC=∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB=∠AED=α，AC=AE，∴∠AEC=α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE=2CF，在Rt△ACF中，∠ACD=α，CF=AC•cos∠ACD=AC•cosα，∴CE=2CF=2AC•cosα，∵CE=CD+DE=CD+BC，∴BC+CD=2AC•cosα．【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定，四边形的内角和，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是构造全等三角形，是一道基础题目．训练四：（2017滨州）观察下列各式： =﹣；=﹣；=﹣；…请利用你所得结论，化简代数式： +++…+（n≥3且n为整数），其结果为．【考点】6B：分式的加减法．【分析】根据所列的等式找到规律=（﹣），由此计算+ ++…+的值．【解答】解：∵ =﹣，=﹣，=﹣，…∴=（﹣），∴+++…+=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=．故答案是：．训练五：（2017山东滨州）根据要求，解答下列问题：①方程x2﹣2x+1=0的解为x1=x2=1 ；②方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2 ；③方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3 ；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为1、8 ；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0 的解为x1=1，x2=n．（3）请用配方法解方程x2﹣9x+8=0，以验证猜想结论的正确性．【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法；A3：一元二次方程的解；A8：解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】（1）利用因式分解法解各方程即可；（2）根据以上方程特征及其解的特征，可判定方程x2﹣9x+8=0的解为1和8；②关于x的方程的解为x1=1，x2=n，则此一元二次方程的二次项系数为1，则一次项系数为1和n的和的相反数，常数项为1和n的积．（3）利用配方法解方程x2﹣9x+8=0可判断猜想结论的正确．【解答】解：（1）①（x﹣1）2=0，解得x1=x2=1，即方程x2﹣2x+1=0的解为x 1=x2=1，；②（x﹣1）（x﹣2）=0，解得x1=1，x2=2，所以方程x2﹣3x+2=0的解为x1=1，x2=2，；③（x﹣1）（x﹣3）=0，解得x1=1，x2=3，方程x2﹣4x+3=0的解为x1=1，x2=3；…（2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：①方程x2﹣9x+8=0的解为x1=1，x2=8；②关于x的方程x2﹣（1+n）x+n=0的解为x1=1，x2=n．（3）x2﹣9x=﹣8，x2﹣9x+=﹣8+，（x﹣）2=x﹣=±，所以x1=1，x2=8；所以猜想正确．故答案为x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2﹣（1+n）x+n=0；。
中考数学复习专题9：阅读理解型问题(含详细参考答案)
中考数学复习专题九：阅读理解型问题一、中考专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、中考考点精讲 考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题例1 （•十堰）阅读材料：例：说明代数式221(3)4x x ++-+的几何意义，并求它的最小值．解：221(3)4x x ++-+=222(0)1(3)2x x -++-+，如图，建立平面直角坐标系，点P （x ，0）是x 轴上一点，则2(0)1x -+可以看成点P 与点A （0，1）的距离， 22(3)2x -+可以看成点P 与点B （3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段PA 与PB 长度之和，它的最小值就是PA+PB 的最小值．设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=PA′，因此，求PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，所以PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度．为此，构造直角三角形A′CB ，因为A′C=3，CB=3，所以A′B=32，即原式的最小值为32．根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）代数式22(1)1(2)9x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B 的距离之和．（填写点B 的坐标）（2）代数式22491237x x x ++-+的最小值为 ．考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质．专题：探究型．解析：（1）先把原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论；（2）先把原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定理得出结论即可．解答：解：（1）∵原式化为222(1)1(2)3x x -++-+的形式， ∴代数式222(1)1(2)3x x -++-+的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （1，1）、点B （2，3）的距离之和，故答案为（2，3）；（2）∵原式化为222(0)7(6)1x x -++-+的形式， ∴所求代数式的值可以看成平面直角坐标系中点P （x ，0）与点A （0，7）、点B （6，1）的距离之和， 如图所示：设点A 关于x 轴的对称点为A′，则PA=P A′，∴PA+PB 的最小值，只需求PA′+PB 的最小值，而点A′、B 间的直线段距离最短，∴PA′+PB 的最小值为线段A′B 的长度，∵A （0，7），B （6，1）∴A′（0，-7），A′C=6，BC=8，∴A′B=222268A C BC '+=+=10，故答案为：10．点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用数形结合求解．考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法例2 （•赤峰）阅读材料：（1）对于任意两个数a 、b 的大小比较，有下面的方法：当a-b ＞0时，一定有a ＞b ；当a-b=0时，一定有a=b ；当a-b ＜0时，一定有a ＜b ．反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．（2）对于比较两个正数a 、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：∵a 2-b 2=（a+b ）（a-b ），a+b ＞0∴（a 2-b 2）与（a-b ）的符号相同当a 2-b 2＞0时，a-b ＞0，得a ＞b当a 2-b 2=0时，a-b=0，得a=b当a 2-b 2＜0时，a-b ＜0，得a ＜b解决下列实际问题：（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x ，每张B5纸的面积为y ，且x ＞y ，张丽同学的用纸总面积为W1，李明同学的用纸总面积为W2．回答下列问题：①W1= （用x、y的式子表示）W2= （用x、y的式子表示）②请你分析谁用的纸面积最大．（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案：方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a1=AB+AP．方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a2=AP+BP．①在方案一中，a1= km（用含x的式子表示）；②在方案二中，a2= km（用含x的式子表示）；③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算．专题：计算题．分析：（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W1-W2=x-y，根据x和y的大小比较即可；（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；③求出a12-a22=6x-39，分别求出6x-39＞0，6x-39=0，6x-39＜0，即可得出答案．解答：（1）解：①W1=3x+7y，W2=2x+8y，故答案为：3x+7y，2x+8y．②解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y，∵x＞y，∴x-y＞0，∴W1-W2＞0，得W1＞W2，所以张丽同学用纸的总面积大．（2）①解：a1=AB+AP=x+3，故答案为：x+3．②解：过B 作BM ⊥AC 于M ，则AM=4-3=1，在△ABM 中，由勾股定理得：BM 2=AB 2-12=x 2-1，在△A′MB 中，由勾股定理得：AP+BP=A′B=22248A M BM x '+=+，故答案为：248x +．③解：a 12-a 22=（x+3）2-（248x +）2=x 2+6x+9-（x 2+48）=6x-39，当a 12-a 22＞0（即a 1-a 2＞0，a 1＞a 2）时，6x-39＞0，解得x ＞6.5，当a 12-a 22=0（即a 1-a 2=0，a 1=a 2）时，6x-39=0，解得x=6.5，当a 12-a 22＜0（即a 1-a 2＜0，a 1＜a 2）时，6x-39＜0，解得x ＜6.5，综上所述当x ＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，当x=6.5时，两种方案一样，当0＜x ＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论例3 （•凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题．如图（1），要在燃气管道l 上修建一个泵站，分别向A 、B 两镇供气．泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？你可以在l 上找几个点试一试，能发现什么规律？聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法．他把管道l 看成一条直线（图（2）），问题就转化为，要在直线l 上找一点P ，使AP 与BP 的和最小．他的做法是这样的：①作点B 关于直线l 的对称点B′．②连接AB′交直线l 于点P ，则点P 为所求．请你参考小华的做法解决下列问题．如图在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为4，请你在BC 边上确定一点P ，使△PDE 得周长最小．（1）在图中作出点P （保留作图痕迹，不写作法）．（2）请直接写出△PDE 周长的最小值： ．考点：轴对称-最短路线问题．分析：（1）根据提供材料DE 不变，只要求出DP+PE 的最小值即可，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）利用中位线性质以及勾股定理得出D′E 的值，即可得出答案．解答：解：（1）如图，作D 点关于BC 的对称点D′，连接D′E ，与BC 交于点P ，P 点即为所求；（2）∵点D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，∴DE 为△ABC 中位线，∵BC=6，BC 边上的高为4，∴DE=3，DD′=4，∴D′E=222234DE DD '+=+=5，∴△PDE 周长的最小值为：DE+D′E=3+5=8，故答案为：8．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求△PDE 周长的最小值，求出DP+PE 的最小值即可是解题关键．考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题例4 （•重庆）已知：如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=2，BC=6，AB=3．E 为BC边上一点，以BE为边作正方形BEFG，使正方形BEFG和梯形ABCD在BC的同侧．（1）当正方形的顶点F恰好落在对角线AC上时，求BE的长；（2）将（1）问中的正方形BEFG沿BC向右平移，记平移中的正方形BEFC为正方形B′EFG，当点E与点C重合时停止平移．设平移的距离为t，正方形B′EFG的边EF与AC交于点M，连接B′D，B′M，DM，是否存在这样的t，使△B′DM是直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B′EFG与△ADC重叠部分的面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式以及自变量t的取值范围．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形．专题：代数几何综合题．分析：（1）首先设正方形BEFG的边长为x，易得△AGF∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长；（2）首先利用△MEC∽△ABC与勾股定理，求得B′M，DM与B′D的平方，然后分别从若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠DB′M=90°，则DM2=B′M2+B′D2，若∠B′DM=90°，则B′M2=B′D2+DM2去分析，即可得到方程，解方程即可求得答案；（3）分别从当0≤t≤43时，当43＜t≤2时，当2＜t≤103时，当103＜t≤4时去分析求解即可求得答案．解答：解：（1）如图①，设正方形BEFG的边长为x，则BE=FG=BG=x，∵AB=3，BC=6，∴AG=AB-BG=3-x，∵GF∥BE，∴△AGF∽△ABC，∴AG GF AB BC=，即336x x -=，解得：x=2，即BE=2；（3）①如图③，当F在CD上时，EF：DH=CE：CH，即2：3=CE：4，∴CE=83，∴t=BB′=BC-B′E-EC=6-2-83=43，∵ME=2-12t，∴FM=12t，当0≤t≤43时，S=S△FMN=12×t×12t=14t2，②如图④，当G在AC上时，t=2，∵EK=EC•tan∠DCB=EC•DHCH=34（4-t）=3-34t，∴FK=2-EK=34t-1，∵NL=23AD=43，∴FL=t-43，∴当43＜t≤2时，S=S△FMN-S△FKL=14t2-12（t-43）（34t-1）=-18t2+t-23；③如图⑤，当G在CD上时，B′C：CH=B′G：DH，即B′C：4=2：3，解得：B′C=83，∴EC=4-t=B′C-2=23，∴t=103，∵B′N=12B′C=12（6-t）=3-12t，∵GN=GB′-B′N=12t-1，∴当2＜t≤103时，S=S梯形GNMF-S△FKL=12×2×（12t-1+12t）-12（t-43）（34t-1）=-38t2+2t-53，④如图⑥，当103＜t≤4时，∵B′L=34B′C=34（6-t），EK=34EC=34（4-t），B′N=12B′C=12（6-t）EM=12EC=12（4-t），S=S梯形MNLK=S梯形B′EKL-S梯形B′EMN=-12t+52．综上所述：当0≤t≤43时，S=14t2，当43＜t≤2时，S=-18t2+t-23；当2＜t≤103时，S=-38t2+2t-53，当103＜t≤4时，S=-12t+52．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，注意辅助线的作法．四、中考真题演练1．（•宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，▱ABCD中，若AB=1，BC=2，则▱ABCD为1阶准菱形．（1）判断与推理：①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把▱ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE．请证明四边形ABFE是菱形．（2）操作、探究与计算：①已知▱ABCD的邻边长分别为1，a（a＞1），且是3阶准菱形，请画出▱ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值；②已知▱ABCD的邻边长分别为a，b（a＞b），满足a=6b+r，b=5r，请写出▱ABCD是几阶准菱形．考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图—应用与设计作图．分析：（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案；②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案；（2）①利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；②根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形．解答：解：（1）①利用邻边长分别为2和3的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为1的菱形，故邻边长分别为2和3的平行四边形是2阶准菱形；故答案为：2；②由折叠知：∠ABE=∠FBE，AB=BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BF，∴∠AEB=∠FBE，∴∠AEB=∠ABE，∴AE=AB，∴AE=BF，∴四边形ABFE是平行四边形，∴四边形ABFE是菱形；（2）①如图所示：，②∵a=6b+r，b=5r，∴a=6×5r+r=31r；如图所示：故▱ABCD是10阶准菱形．点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知n阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解题关键．2．（•淮安）阅读理解如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB1折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”或“不是”）．（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为．应用提升（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此三角形的好角．请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此三角形的好角．考点：翻折变换（折叠问题）．专题：压轴题；规律型．分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B=2∠C；（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B-2C=180°①，根据三角形ABC的内角和定理知∠BAC+∠B+∠C=180°②，由①②可以求得∠B=3∠C；利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B=n∠C；（3）利用（2）的结论知∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是88°、88°．解答：解：（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，∵沿∠BAC的平分线AB1折叠，∴∠B=∠AA1B1；又∵将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合，∴∠A1B1C=∠C；∵∠AA1B1=∠C+∠A1B1C（外角定理），∴∠B=2∠C；故答案是：是；（2）∠B=3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B2A2C的平分线A2B3折叠，点B2与点C 重合，则∠BAC是△ABC的好角．证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B=∠AA1B1，∠C=∠A2B2C，∠A1 B1C=∠A1A2B2，∴根据三角形的外角定理知，∠A1A2B2=∠C+∠A2B2C=2∠C；∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA1B1-∠A1 B1C=∠BAC+2∠B-2C=180°，根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C=180°，∴∠B=3∠C；由小丽展示的情形一知，当∠B=∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形二知，当∠B=2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；由小丽展示的情形三知，当∠B=3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为∠B=n∠C；（3）由（2）知，∠B=n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∴∠C=n∠A，∠ABC是△ABC的好角，∠A=n∠B，∠BCA是△ABC的好角，∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．3．（•南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改．题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前侧内墙保留3m 的空地，其他三侧内墙各保留1m的通道，当温室的长与宽各为多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？解：设矩形蔬菜种植区域的宽为xm，则长为2xm，根据题意，得x•2x=288．解这个方程，得x1=-12（不合题意，舍去），x2=12所以温室的长为2×12+3+1=28（m），宽为12+1+1=14（m）答：当温室的长为28m，宽为14m时，矩形蔬菜种植区域的面积是288m2．我的结果也正确！小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？．结果为何正确呢？（1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样…（2）如图，矩形A′B′C′D′在矩形ABCD 的内部，AB ∥A′B′，AD ∥A′D′，且AD ：AB=2：1，设AB 与A′B′、BC 与B′C′、CD 与C′D′、DA 与D′A′之间的距离分别为a 、b 、c 、d ，要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，a 、b 、c 、d 应满足什么条件？请说明理由．考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用．分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，所以应设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ，然后由题意得方程23124112y y y y ---=--- =2，矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1，再利用小明的解法求解即可；（2）由使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ，利用相似多边形的性质，可得A D ADA B AB''=''，即 ()2()1AD a c AB b d -+=-+，然后利用比例的性质，即可求得答案．解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由． 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm ，则长为2xm ．”前补充以下过程： 设温室的宽为ym ，则长为2ym ．则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m ，长为（2y-3-1）m ． ∵23124112y y y y ---=--- =2，∴矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1；（2）要使矩形A′B′C′D′∽矩形ABCD ， 就要A D ADA B AB''=''，即()2()1AD a c AB b d -+=-+， 即2()2()1AB a c AB b d -+=-+，即a cb d++=2． 点评：此题考查了相似多边形的性质．此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键．4．（•鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边OA、OB分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x2-7x+12=0的两根（OA＜OB），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点0运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．（1）求A、B两点的坐标．（2）求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．（3）当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．分析：（1）解一元二次方程，求出OA、OB的长度，从而得到A、B点的坐标；（2）△APQ与△AOB相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示；（3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示．在求M1，M2坐标时，注意到M1，M2与Q点坐标的对应关系，则容易求解；在求M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系．解答：解：（1）解方程x2-7x+12=0，得x1=3，x2=4，∵OA＜OB，∴OA=3，OB=4．∴A（0，3），B（4，0）．（2）在Rt△AOB中，OA=3，OB=4，∴AB=5，∴AP=t，QB=2t，AQ=5-2t．△APQ与△AOB相似，可能有两种情况：（I）△APQ∽△AOB，如图（2）a所示．则有AP AQAO AB=，即5235t t-=，解得t=1511．此时OP=OA-AP=1811，PQ=AP•tanA=2011，∴Q（2011，1811）；（II）△APQ∽△ABO，如图（2）b所示．则有AP AQAB AO=，即5253t t-=，解得t=2513．此时AQ=2513，AH=AQ•cosA=913，HQ=AQ•sinA=1213，OH=OA-AH=3013，∴Q（1213，3013）．综上所述，当t=1511秒或t=2513秒时，△APQ与△AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（2011，1811）或（1213，3013）．（3）结论：存在．如图（3）所示．∵t=2，∴AP=2，AQ=1，OP=1．过Q点作QE⊥y轴于点E，则QE=AQ•sin∠QAP=45，AE=AQ•cos∠QAP=35，∴OE=OA-AE=125，∴Q（45，125）．∵▱APQM1，∴QM1⊥x轴，且QM1=AP=2，∴M1（45，25）；∵▱APQM2，∴QM2⊥x轴，且QM2=AP=2，∴M2（45，225）；如图（3），过M3点作M3F⊥y轴于点F，∵▱AQPM3，∴M3P=AQ，∠QAE=∠M3PF，∴∠PM3F=∠AQE；在△M3PF与△QAE中，∵∠QAE=∠M3PF，M3P=AQ，∠PM3F=∠AQE，∴△M3PF≌△QAE，∴M3F=QE=45，PF=AE=35，∴OF=OP+PF=85，∴M3（-45，85）．∴当t=2时，在坐标平面内，存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形．点M的坐标为：M1（45，25），M2（45，225），M3（-45，85）．点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行四边形等知识点．本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻t和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握．5．（•长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=8cm ，BC=4cm ．D 、E 分别为边AB 、BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD-DE-EB 运动，到点B 停止．点P 在线段AD 上以5cm/s 的速度运动，在折线DE-EB 上以1cm/s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 在线段AQ 上．设点P 的运动时间为t （s ）．（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为 cm （用含t 的代数式表示）． （2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S （cm 2），求S 与t 的函数关系式．（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5cm/s 的速度沿M-N-M 连续做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止往返运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处，直接写出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．考点：相似形综合题．分析：（1）点P 在AD 段的运动时间为2s ，则DP 的长度为（t-2）cm ；（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示．利用运动线段之间的数量关系求出时间t 的值；（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示．分别用时间t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S 梯形AQPD -S △AMF =12（PG+AC ）•PC -12AM•FM”求出面积S 的表达式；（4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点H 、点P 的运动过程：当4＜t ＜6时，此时点P 在线段DE 上运动，如图（4）a 所示．此时点H 将两次落在线段CD 上；当6≤t≤8时，此时点P 在线段EB 上运动，如图（4）b 所示．此时MN 与CD 的交点始终是线段MN 的中点，即点H ．解答：解：（1）∵在Rt △ABC 中，AC=8cm ，BC=4cm ， ∴AB=22228445AC BC +=+=，D 为AB 中点，∴AD=25，∴点P 在AD 段的运动时间为255=2s ． 当点P 在线段DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s ， ∵DE 段运动速度为1cm/s ，∴DP=（t-2）cm ．（2）当点N 落在AB 边上时，有两种情况，如下图所示：①如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．由三角形中位线定理可知，DM=12BC=2，∴DP=DM=2．由（1）知，DP=t-2，∴t-2=2，∴t=4；②如图（2）b，此时点P位于线段EB上．∵DE=12AC=4，∴点P在DE段的运动时间为4s，∴PE=t-6，∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．∵PN∥AC，∴PN：PB=AC：BC=2，∴PN=2PB=16-2t．由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=203．所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=203．（3）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．∵MN∥BC，∴FM：AM=BC：AC=1：2，∴FM=12AM=12t．S=S梯形AQPD-S△AMF=12（DP+AQ）•PQ-12AM•FM=12[（t-2）+（2+t）]×2-12t•12t=-14t2+2t；②当203＜t＜8时，如图（3）b所示．PE=t-6，∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，∴FM=12AM=6-12t，PG=2PB=16-2t，S=S梯形AQPD-S△AMF=12（PG+AC）•PC-12AM•FM=12[（16-2t）+8]×（t-4）-12（12-t）•（6-12t）=-54t2+22t-84．综上所述，S与t的关系式为：S=2212(24)45202284(8)43t t tt t t⎧-+<<⎪⎪⎨⎪-+-<<⎪⎩。
浅谈中考数学阅读理解型试题
浅谈中考数学阅读理解型试题发布时间：2021-06-16T11:47:01.933Z 来源：《现代中小学教育》2021年6月作者：王惠文[导读] 阅读理解题是中考的一种新题型，构思新颖别致，成为近几年全国各地中考数学试题的新热点之一。
这种试题的结构一般包括两大部分：第一部分是阅读材料，第二部分是考查内容。
它可以是阅读课本的原文，也可以是一种新型的数学情境。
泉州台商区东园中学王惠文阅读理解题是中考的一种新题型，构思新颖别致，成为近几年全国各地中考数学试题的新热点之一。
这种试题的结构一般包括两大部分：第一部分是阅读材料，第二部分是考查内容。
它可以是阅读课本的原文，也可以是一种新型的数学情境。
它要求考生在阅读解题过程中，理解解题原理，把握解题思路，提示解题关键，反思解题过程，总结解题方法；在阅读有关材料信息时，理解基本概念，发现新的知识并归纳新的规律。
这类试题能较好地考查学生的阅读理解能力、观察分析能力、抽象概括能力以及综合运用所学知识的能力。
下面仅举几个例子说明。
一、阅读解题过程，把握解题思路。
例1、阅读下题及解答过程。
请回答：（1）得到“第一步”式子的根据是___________________________________；（2）得到“第二步”式子所用的公式是_______________________________；（3）作“第三步”变形的目的是_____________________________________；（4）原例题最后求得的方程是______________________________________。
例2、阅读材料，解答问题。
（1）_______________________的解答是错误的；（2）错误的解答在未能正确运用二次根式的性质：___________________. 二、阅读材料信息，发现、归纳规律。
例4、阅读，归纳，猜想。
例5、问题：你能很快算出19952为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5 的自然数可写成10n+5，即求（10n+5）的值（为自然数）。
中考数学复习考点解密阅读理解型问题含真题带解析
阅读理解型问题一、专题诠释阅读理解型问题在近几年的全国中考试卷中频频“亮相”，特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力的新颖数学题.二、解题策略与解法精讲解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题.三、考点精讲考点一：阅读试卷提供新定义、新定理，解决新问题（2018连云港）某课题研究小组就图形面积问题进行专题研究，他们发现如下结论：（1）有一条边对应相等的两个三角形面积之比等于这条边上的对应高之比；（2）有一个角对应相等的两个三角形面积之比等于夹这个角的两边乘积之比；…现请你继续对下面问题进行探究，探究过程可直接应用上述结论．（S表示面积）问题1：如图1，现有一块三角形纸板ABC，P1，P2三等分边AB，R1，R2三等分边AC．经探究知A AB P1P2AD CBP 1 P 2 P 3 P 4Q 1Q 2 Q 3 Q 4 图3 2121R R P P S 四边形＝13S △ABC ，请证明．问题2：若有另一块三角形纸板，可将其与问题1中的拼合成四边形ABCD ，如图2，Q1，Q2三等分边DC ．请探究2211P Q Q P S四边形与S 四边形ABCD 之间的数量关系．问题3：如图3，P1，P2，P3，P4五等分边AB ，Q1，Q2，Q3，Q4五等分边DC ．若S 四边形ABCD ＝1，求3322P Q Q P S四边形．问题4：如图4，P1，P2，P3四等分边AB ，Q1，Q2，Q3四等分边DC ，P1Q1，P2Q2，P3Q3将四边形ABCD 分成四个部分，面积分别为S1，S2，S3，S4．请直接写出含有S1，S2，S3，S4的一个等式．【分析】问题1：由平行和相似三角形的判定，再由相似三角形面积比是对应边的比的平方的性质可得。
数学阅读理解型问题(专题4)
阅读理解型问题（专题4）——合情推理【考点透视】阅读理解型问题在近年的全国各地的中考试题中频频出现，特别引人注目，这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜．这些试题中还常常出现新的概念和方法，不仅要求学生理解这些新的概念和方法，而且要灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题．在阅读理解型问题中，除了考查学生的分析分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，即逻辑推理能力外，还经常考查学生的观察、猜想、不完全归纳、类比、联想等合情推理能力，考查学生的直觉思维．因此，这类问题需要学生通过对阅读材料的阅读理解，然后进行合情推理，就其本质进行归纳加工、猜想、类比和联想，作出合情判断和推理， 【典型例题】例1．已知正数a 和b ，有下列命题：（1）a ＋b ＝2，ab ≤1； （2）a ＋b ＝3，ab ≤23； （3）a ＋b ＝6，ab ≤3．根据以上三个命题所提供的规律猜想：若a ＋b ＝9，ab ≤ ．（2000年北京市东城区中考试题）分析：观察（1）、（2）、（3）中的数字规律：不等号右边的数都是等号右边的数的21，由此可以作出猜想．解：ab ≤29． 说明：本题要求直接通过不完全归纳，总结规律，猜想结论． 例2．例2．（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”．①322322=+（ ）；②833833=+（ ）； ③15441544=+（ ）； ④24552455=+（ ）． （2）你判断完以上各题之后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并注明n 的取值范围： ．图4—1AD nB CD 1 D 2D 3E 1 E 2 E 3 E n 图4—2（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性．（2000年江苏省常州市中考试题）分析：判断式子①、②、③、④内在的规律时可以发现：①中3＝2 2－1；②中8＝3 2－1；③中15＝4 2－1；④中24＝5 2－1．这样就可以统一用含n 的式子表示出来．解：（1）①√；②√；③√；④√．（2）12-+n n n ＝n 12-n n．其中n 为大于1的自然数． （3）12-+n n n ＝123-n n ＝122-⋅n n n ＝n 12-n n ． 说明：本题虽然需要说明所写式子的正确性，但本题主要考查学生的合情推理能力，即用含有n 的式子将规律表示出来．例3．下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边（包括两个顶点）有n (n ＞1)盆花，每个图案花盆的总数是S ．按此规律推断，S 和n 的关系式是 ．（2000年山西省中考试题）分析：由正三角形每条边的花盆数n 与花盆的总数S 之间的关系，可以看出S 总是比n 的3倍少3． 解：S ＝3n －3．说明：本题的答案不唯一，其它形式也可以． 例4． 如图4—2所示，在△ABC 中，BC ＝a ，若D 1、E 1分别是AB 、AC 的中点，则D 1E 1＝a 21； 若D 2、E 2分别是D 1B 、E 1C 的中点，则D 2E 2＝a a a 43)2(21=+； 若D 3、E 3分别是D 2B 、E 2C 的中点，则D 3E 3＝a a a 87)43(21=+；…………若D n 、E n 分别是D 1-n B 、E 1-n C 的中点，则D n E n ＝ （n ≥1，且n 为整数）．（2001年山东省济南市中考试题）分析：因为12121=；2221243-=；3321287-=；……，所以D n E n 也可以用含数字2的式子来表示．解：D n E n ＝11212---n n （n ≥1，且n 为整数）．说明：寻找数字规律，应把已给的数写成有规律的一组数．n ＝2，S ＝3 n ＝3，S ＝6 n ＝4，S ＝9例5．问题：你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数为5的自然数的平方．任意一个个位数为5的自然数可写成10•n＋5，即求（10•n＋5）2的值（n为自然数）．你试分析n＝1，n＝2，n＝3，…，这些简单情况，从中探索规律，并归纳、猜想出结论（在下面空格内填上你的探索结果）．（1）通过计算，探索规律：152＝225可写成100×1（1＋1）＋25，252＝625可写成100×2（2＋1）＋25，352＝1225可写成100×3（3＋1）＋25，452＝2025可写成100×4（4＋1）＋25，……752＝5625可写成，852＝7225可写成，……（2）从第（1）的结果，归纳、猜想得：（10n＋5）2＝．（3）根据上面的归纳、猜想，请算出：19952＝．（1999年福建省三明市中考试题）分析：在对这些式子进行规律探索的时候，要找出哪些数是不变的，哪些数是随式子的序号变化而逐步变化的．然后就可以用n来表示这些逐步变化的数．解：（1）100×7（7＋1）＋25；100×8（8＋1）＋25．(2)100n2＋100n＋25100n（n＋1）＋25．(3) 100×199（199＋1）＋25＝3980025．说明：本题不仅要求归纳猜想和探索规律，而且要运用归纳猜想得出的结论解决问题．例6．如图4—3，在平面上，给定了半径为r的圆O，对于任意点P，在射线OP上取一点P＇，使得OP·OP＇＝r 2 ，这种把点P变为点P＇的变换叫做反演变换，点P与点P＇叫做互为反演点．图4—3 图4—4（1） 如图4—4，⊙O 内外各一点A 和B ，它们的反演点分别为A ＇和B ＇．求证：∠A ＇＝∠B ； （2） 如果一个图形上各点经过反演变换得到的反演点组成另一个图形，那么这两个图形叫做互为反演图形．①选择：如果不经过点O 的直线l 与⊙O 相交，那么它关于⊙O 的反演图形是（ ）． (A)一个圆 (B)一条直线 (C)一条线段 (D)两条射线 ②填空：如果直线l 与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是 ，该图形与圆O 的位置关系是 ．（2001年江苏省南京市中考试题）分析：求解本题首先要理解“反演变换”的意义，并理解圆内的点的反演点在圆外，圆上的点的反演点在圆上，圆外的点的反演点在圆内；其次，第（2）题的第①小题，由于直线与圆的交点的反演点是它本身，因此只要在该直线的圆内、圆外部分各取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．另外，第（2）题的第②小题，由于直线与圆的切点的反演点是它本身，因此只要在该直线上取几点，画出反演点，便可推测该直线的反演图形．（1）证明：∵A 、B 的反演点分别是A’、B’，∴OA ·OA’＝r 2，OB ·OB’＝r 2． ∴OA ·OA’＝OB ·OB’，即''OA OBOB OA ． ∵∠O ＝∠O ，∴△ABO ∽△B’A’O ． ∴∠A’＝∠B ．． （2）解：①A ．②圆；内切．说明：本题主要考查学生通过观察、分析，从特殊的点的研究归纳、推测图形形状的合情推理能力．另外，还可以研究下列问题：如果直线⊙O’与⊙O 相切，那么它关于⊙O 的反演图形是什么？该图形与圆O 的位置关系是是什么？例7．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．对于平面图形A ，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这些圆所覆盖．例如：图4—5中的三角形被一个圆所覆盖，图4—6中的四边形被两个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （2）边长为1cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ； （3）长为2cm ，宽为1cm 的矩形被两个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是 cm ， 这两个圆的圆心距是 cm.（2003年江苏省南京市中考试题）图4—5图4—6分析：本题首先要理解图形被圆所覆盖的定义，其次，可以推测正方形、等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 取最小值时，显然这个圆就是正方形、等边三角形的外接圆．而第（3）题可把长为2cm ，宽为1cm 的矩形分割成两个边长为1 cm 的正方形，根据第（1）题，不难得到结论．解：（1）22； （2）33； （3）22，1． 说明：本题的合情推理是建立在空间想象的基础上，并把问题转化为多边形的外接圆问题．另外，还可以研究下列问题：1．如果边长为1cm ，有一个锐角是60°的菱形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？2．如果上低和腰长都是1cm ，下低长是2cm 的梯形被一个半径为r 的圆所覆盖，那么r 的最小值是多少？【习题4】1．观察下列各式，你会发现什么规律？3×5＝15，而15＝42－1； 5×7＝35，而35＝62－1；11×13＝143，而143＝122－1； ……请你猜想到的规律用只含一个字母的式子表示出来： ．（2000年山东省济南市中考试题）2．观察下列顺序排列的等式：9×0＋1＝1， 9×1＋2＝11， 9×2＋3＝21， 9×3＋4＝31， 9×4＋5＝41， ……猜想：第n 个等式（n 为正整数）应为 ．（2003年北京市中考试题）3．观察下列各式： 1×3＝12＋2×1， 2×4＝22＋2×2， 3×5＝32＋2×3，……请你将猜想到的规律用自然数n （n ≥1）表示出来： ．（2003年福建省福州市中考试题）4．观察以下等式：1×2＝31×1×2×3；1×2＋2×3＝31×2×3×4；1×2＋2×3＋3×4＝31×3×4×5；1×2＋2×3＋3×4＋4×5＝31×4×5×6；……根据以上规律，请你猜测：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝ ．（2001年山东省威海市中考试题）5．将正偶数按下表排成5列：第1列 第2列 第3列 第4列 第5列第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 …… …… 28 26根据上面的排列规律，则2000应在（ ）．A ．第125行，第1列B ．第125行，第2列C ．第250行，第1列D ．第250行，第2列（2001年湖北省荆州市中考试题）6．细心观察图形4—7，认真分析各式，然后解答问题． 21,21)1(12==+S ； 22,31)2(22==+S ； 23,41)3(32==+S ； ……（1）请用含有n （n 是正整数）的等式表示上述变化规律； （2）推算出OA 10的长；（3）求出S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2的值．（2003年山东省烟台市中考试题）7．(1)阅读下面材料：点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB |．当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点， 如图4—8，|AB |＝|OB |＝|b |＝|a －b |； 当A 、B 两点都不在原点时，①如图4—9，当点A 、B 都在原点右边时，则 |AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |； ②如图4—10，当点A 、B 都在原点左边时，则O (A ) B图4—8O B A图4—9O A B 图4—10O A 2 A 4A 1 …1 A 5S 3 S 5 S 2S 1 S 41 1 1A 6 A 3…图4—7|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －(－a )＝|a －b |；③如图4—11，当点A 、B 在原点的两边时，则 |AB |＝|OA |+|OB |＝|a |+|b |＝a +(－b )＝|a －b |. 综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |.(2)回答相应问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果|AB |=2，那么x 为 ． ③当代数式|x ＋1|＋|x －2|取最小值时，x 相应的取值范围是 .（2002年江苏省南京市中考试题）8．如图4—12，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，F 是 BA 延长线上一点， AF =21AB ． （1）求证：△ABE ≌△ADF ． （2）阅读下面材料：如图4—13，把△ABC 沿直线BC 平行移动线段BC 的长度，可以变到△ECD 的位置； 如图4—14，以BC 为轴把△ABC 翻折180°，可以变到△DBC 的位置； 如图4—15，以点A 为中心，把△ABC 旋转180°，可以变到△AED 的位置．象这样，其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的．这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换． （3）回答下列问题：①在图4—12中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE 变到 △ADF 的位置？答： ． ②指出图4—12中线段BE 与DF 之间的关系．答： ．（2000年江苏省南京市中考试题）9．在△ABC 中，D 为BC 边的中点，E 为AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O ．某学生研究这一问题时，发现了如下事实．EDCBADCBAEDCA图4—13 图4—14 图4—15FABC D E图4—12OA B a 图4—11图4—16E A B C O D图4—17 B C A D EOB C A 图4—18 D E O C A 图4—19 D F EO①当11121+==AC AE 时，有21232+==AD AO （如图4－16）； ②当21131+==AC AE 时，有22242+==AD AO （如图4－17）； ③当31141+==AC AE 时，有32252+==AD AO （如图4－18）． 在图4－19中，当n AC AE +=11时，参照上述研究结论，请你猜想用n 表示ADAO的一般结论，并给出证明（其中n 是正整数）．（2001年河北省中考试题）10．某厂要制造能装250毫升(1毫升＝1厘米3 )饮料的铝制圆柱形易拉罐，易拉罐的侧壁厚度和底部的厚度都是0.02厘米，顶部厚度是底部厚度的3倍，这是为了防止“呯”的一声打开易拉罐时把整个顶盖撕下来．设一个底面半径是x 厘米的易拉罐的用铝量是y 厘米3． （1）利用用铝量＝底圆面积×底部厚度＋顶圆面积×顶部厚度＋侧面积×侧壁厚度)求y 与x 之间的函数关系式；（2②根据上表推测：要使用铝量y （厘米）的值尽可能小，底面半径x （厘米）的值所在范围是( )．A ．1.6≤x ≤2.4B ．2.4＜x ＜3.2C ．3.2≤x ≤4（2002年江苏省南京市中考试题）11．如图20，正方形ABCD 和正方形EFGH 对角线BD 、FH 都在直线l 上．O 1、O 2 分别是正方形的中心，O 1D ＝2，O 2F ＝1，线段O 1O 2的长叫做两个正方形的中心距．．．．当中心O 2在直线l 上平移时，正方形EFGH 也随之平移，在平移时正方形EFGH 的形状、大小没有改变．（1）当中心O 2在直线l 上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O 1O 2 ＝ ． （2）随着中心O 2在直线l 上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程 ）．（2003年江苏省徐州市中考试题）图4—20【习题4】1．解：（2n －1）（2n ＋1）＝（2n ）2－1． 2．解：9（n －1）＋n ＝10（n －1）＋1． 3．解： n （n ＋2）＝n 2 ＋2n ．4．解：1×2＋2×3＋3×4＋4×5＋…＋n ×（n ＋1）＝31×n ×（n ＋1）×（n ＋2）．5．解：选C ．6．解：（1）2,11)(2nS n n n =+=+． （2）∵OA 1＝1，OA 2＝2，OA 3＝3，…， ∴OA 10＝10．（3）S 1 2＋S 2 2＋S 3 2＋…＋S 10 2＝2)21(＋2)22(＋2)23(＋…＋2)210(＝41（1＋2＋3＋…＋10） ＝455． 7．解：（1）3，3，4；（2）∣x ＋1∣，－3或1； （3）－1≤x ≤2． 8．解：（1）证明：在正方形ABCD 中， ∵ AB=AD ，AD ⊥AB ， ∴∠BAE =∠DAF =90°．∵AE =21AD ，AF =21AB ， ∴AE =AF ．∴△ABE ≌△ADF ．（3）①答：△ABE 绕点A 逆时针旋转90度到△ADF 的位置． ②答：BE =DF ，且BE ⊥DF ．9．解：根据题意，可以猜想：当n AC AE +=11时，有n AD AO +=22成立． 证明：过D 作DF ∥BE 交AC 于点F ．∵D 是BC 的中点， ∴F 是EC 的中点． ∵n AC AE +=11， ∴n EC AE 1=． ∴nEF AE 2=．∴nAF AE +=22． ∵DF ∥BE ， ∴nAF AE AD AO +==22． 10．解：（1）解：222250202.0302.0xx x x y ππππ⋅+⋅⋅+⋅=·0.02 =xx 102522+π． （2）B ．11．解：．（1）2，1． （2）3．（3）①当1＜O 1O 2＜3时，两个正方形有2个公共点；②当O 1O 2＝1时，两个正方形有无数个公共点；③当O 1O 2 ＜1，或O 1O 2＞3时，两个正方形没有公共点．。
中考数学试题分类解析汇编专题17阅读理解型问题试题
专题17：阅读理解型问题1. 〔2021年3分〕如图，坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为〔1，t 〕，AB ∥x 轴，矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，点O 为位似中心，点A ′，B ′分别是点A ，B 的对应点，A B k AB''=．关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩〔m ，n 是实数〕无解，在以m ，n 为坐标〔记为〔m ，n 〕〕的所有的点中，假设有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，那么k t ⋅的值等于【 】A. 34B. 1C. 43D. 32【答案】D ．【考点】位似变换；二元一次方程组的解；坐标与图形性质；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系．【分析】∵坐标原点O 为矩形ABCD 的对称中心，顶点A 的坐标为〔1，t 〕，∴点C 的坐标为()1t -，-.∵矩形A B C D ''''与矩形ABCD 是位似图形，A B k AB''=， ∴点A ′的坐标为()k kt ，，点C ′的坐标为()k kt -，-.∵关于x ，y 的二元一次方程2134mnx y n x y +=+⎧⎨+=⎩〔m ，n 是实数〕无解，∴由()323mn x n -=-得mn =3，且32n ≠，即3n m =〔m ≠2〕. ∵以m ，n 为坐标〔记为〔m ，n 〕〕的所有的点中，有且只有一个点落在矩形A B C D ''''的边上，∴反比例函数3n m=的图象只经过点A ′或者C ′. 而根据反比例函数的对称性，反比例函数3n m =的图象同时经过点A ′或者C ′，只有在32,2A ⎛⎫' ⎪⎝⎭ ，32,2C ⎛⎫'-- ⎪⎝⎭ 时反比例函数3n m =的图象只经过点C ′. ∴3322kt kt =-⇒=-. 应选D ．1. 〔2021年3分〕一个函数，当x ＞0时，函数值y 随着x 的增大而减小，请写出这个函数关系式 ▲ (写出一个即可〕．【答案】22y x =--〔答案不唯一〕.【考点】开放型；一次函数、反比例函数和二次函数的性质．【分析】根据一次函数、反比例函数和二次函数的性质写出符合条件的函数关系式即可：如：<0k 的一次函数：1,2,22,2y x y x y x =-=-+=--⋅⋅⋅ ； >0k 的反比例函数：123,,,2y y y x x x===⋅⋅⋅ ； <0,02b a a -≤ 的二次函数：()222,2,211,y x y x y x =-=-+=-++⋅⋅⋅ .等等〔答案不唯一〕.2. 〔2021年2分〕某商场在“五一〞期间举行促销活动，根据顾客按商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①假如不超过500元，那么不予优惠；②假如超过500元，但不超过800元，那么按购物总额给予8折优惠；③假如超过800元，那么其中800元给予8折优惠，超过800元的局部给予6折优惠．促销期间，小红和她母亲分别看中一件商品，假设各自单独付款，那么应分别付款480元和520元；假设合并付款，那么她们总一共只需付款▲ 元．【答案】838或者910．【考点】函数模型的选择与应用；函数思想和分类思想的应用．【分析】由题意知：小红付款单独付款480元，实际标价为480或者480×=600元，小红母亲单独付款520元，实际标价为520×=650元，假如一次购置标价480+650=1130元的商品应付款800×0.8+〔1130﹣800〕×0.6=838元；假如一次购置标价600+650=1250元的商品应付款800×0.8+〔1250﹣800〕×0.6=910元．∴答案为：838或者910．3. 〔2021年3分〕如图，在△ABC与△ADC中，AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需要再添加的一个条件可以是▲ ．【答案】BAC DAC ∠=∠或者BC DC =〔答案不唯一〕.【考点】开放型；全等三角形的断定.【分析】在△ABC 与△ADC 中，AD =AB ，又有公一共边AC =AC ，因此，在不添加任何辅助线的前提下，根据SAS ，添加BAC DAC ∠=∠，可使△ABC ≌△ADC ；根据SSS ，添加BC DC =，可使△ABC ≌△ADC .答案不唯一.4. 〔2021年3分〕如图，△ABC 的三边长为a b c 、、，且<<a b c ，假设平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两局部，设图中的小三角形①、②、③的面积分别为123s s s 、、，那么123s s s 、、的大小关系是 ▲ 〔用“<〞号连接〕.【答案】132<<s s s .【考点】阅读理解型问题；代数几何综合问题；图形的分割；平行的性质；相似三角形的断定和性质；不等式的性质.【分析】设△ABC 的周长为m ，面积为S ，如答图，设,AD x AE y == ，那么,BD c x CE b y =-=- .∵平行于三角形一边的直线l 将△ABC 的周长分成相等的两局部，∴AD AE BD CE BC +=++，即x y c x b y a +=-+-+. ∴()1122x y a b c m +=++=. ∵DC ∥BC ，∴ADE ABC ∆∆∽.∴21s AD S AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭且()122m AD AE AD AE x y m AB AC AB AC c b b c b c ++=====++++. ∴()12s m S b c =+. 同理可得，()22s m S a b =+，()32s m S a c =+. ∵<<a b c ，∴()()()3120<<<<<<<222s s s m m m a b a c b c b c a c b c S S S+++⇒⇒+++. ∴132<<s s s .1. 〔2021年8分〕如图，点E 、F 分别在AB 、CD 上，连接EF ，∠AFE 、∠CFE 的平分线交于点G ，∠BEF 、∠DFE 的平分线交于点H ．〔1〕求证：四边形EGFH 是矩形．〔2〕小明在完成〔1〕的证明后继续进展了探究，过G 作MN ∥EF ，分别交AB 、CD 于点M 、N ，过H 作PQ ∥EF ，分别交AB 、CD 交于点P 、Q ，得到四边形MNQP ．此时，他猜测四边形MNQP 是菱形，请在以下图中补全他的证明思路．【答案】解：〔1〕证明：∵EH 平分∠BEF ，∴12FEH BEF ∠=∠． ∵FH 平分∠DFE ，∴12EFH DFE ∠=∠． ∵AB ∥CD ，∴180BEF DFE ∠+∠=︒ ． ∴11()1809022FEH EFH BEF DFE ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒． 又∵180FEH EFH EHF ∠+∠+∠=︒，∴180()1809090EHF FEH EFH ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒．同理可证，90EGF ∠=︒．∵EG 平分∠AEF ，∴12FEG AEF ∠=∠． ∵EH 平分∠BEF ，∴12FEH BEF ∠=∠． ∵点A 、E 、B 在同一条直线上，∴∠AEB =180°，即∠AEF +∠BEF =180°．∴11()1809022FEG FEH AEF BEF ∠+∠=∠+∠=⨯︒=︒，即 ∠GEH =90°．∴四边形EGFH 是矩形．〔2〕FG 平分∠CFE ；GE =FH ；∠GME =∠HQH ；∠GEF =∠EFH ．【考点】阅读理解型问题；角平分线的定义；平行线的性质；矩形的断定；全等三角形的断定和性质；菱形的断定．【分析】〔1〕利用角平分线的定义和平行线的性质，证明90EHF ∠=︒，90EGF ∠=︒和∠GEH =90°即可证明结论．〔2〕结合全等三角形的断定和性质，根据菱形的断定找出相应的思路．2. 〔2021年14分〕一次函数42-=x y 的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，点P 在该函数图像上， P 到x 轴、y 轴的间隔 分别为1d 、2d .〔1〕当P 为线段AB 的中点时，求21d d +的值；〔2〕直接写出21d d +的范围，并求当321=+d d 时点P 的坐标；〔3〕假设在线段AB 上存在无数个P 点，使421=+ad d 〔a 为常数〕， 求a 的值.【答案】解：〔1〕∵一次函数24y x =-的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，∴()()2,00,4A B - 、.∵P 为线段AB 的中点，∴()1,2P - .∴12123d d +=+=.〔2〕122d d +≥.∵设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-.当<0m 时，12244234d d m m m m m +=+-=-+-=-+，由343m -+=解得13m =，与<0m 不合，舍去. 当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，由43m -+=解得1m =，此时()1,2P -.当2m ≥时，12242434d d m m m m m +=+-=+-=-，由343m -=解得73m =，此时72,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 综上所述，当123d d +=时点P 的坐标为()1,2 -或者72,33⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔3〕设(),24P m m - ，∴1224,d m d m =-= .∵点P 在线段AB 上，∴02m ≤≤.∴124,d m d m =-= .∵124d ad +=，∴424m am -+=.∴()20a m -=∵存在无数个P 点，∴2a =.【考点】阅读理解型问题；一次函数综合题；直线上点的坐标与方程的关系；绝对值的意义；分类思想的应用.【分析】〔1〕根据直线上点的坐标与方程的关系，由一次函数解析式， 可求出点点A 、B 的坐标，从而求出中点P 的坐标，根据定义求出12d d +.〔2〕设(),24P m m - ，.∴1224d d m m +=+-，当<0m 时，122442344d d m m m m m +=+-=-+-=-+≥；当0<2m ≤时，1224424d d m m m m m +=+-=+-=-+，∴由1224d d ≤+≤；当2m ≥时，122424342d d m m m m m +=+-=+-=-≥.综上所述， 12d d +的范围为122d d +≥.同样分类讨论123d d +=时点P 的坐标.〔3〕设(),24P m m - ，那么1224,d m d m =-= ，由点P 在线段AB 上得m 的范围，得到12,d d ，根据124d ad +=求解即可.3. 〔2021年12分〕知识迁移我们知道，函数2()(00,0)y a x m n a m n =-+≠>>，的图像是由二次函数2y ax =的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到.类似地，函数(000)k y n k m n x m =+≠>>-，，的图像是由反比例函数k y x=的图像向右平移m 个单位，再向上平移n 个单位得到，其对称中心坐标为〔m ，n 〕.理解应用函数311y x =+-的图像可以由函数3y x=的图像向右平移 ▲ 个单位，再向上平移▲ 个单位得到，其对称中心坐标为 ▲ ．灵敏运用如图，在平面直角坐标系xOy 中，请根据所给的4y x-=的图像画出函数422y x -=--的图像，并根据该图像指出，当x 在什么范围内变化时，1y ≥-？实际应用x ，发现该生的记忆存留量随x 变化的函数关系为144y x =+；假设在x t =〔t ≥4〕时进展一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍〔复习时间是忽略不计〕，且复习后的记忆存留量随x 变化的函数关系为28y x a=-.假如记忆存留量为12时是复习的“最正确时机点〞，且他第一次复习是在“最正确时机点〞进展的，那么当x 为何值时，是他第二次复习的“最正确时机点〞？【答案】解：理解应用：1；1；〔1，1〕.灵敏运用：函数422y x -=--的图像如答图：由图可知，当1y ≥-时，2<2x -≤.实际应用：当x t =时，144y t =+， ∴由14142y t ==+解得4t =. ∴当4t =进展第一次复习时，复习后的记忆存留量变为1.∴点〔4，1〕在函数28y x a=-的图象上. ∴由814a =-解得4a =-.∴284y x =+. ∴由28142y x ==+解得12x =. ∴当12x =时，是他第二次复习的“最正确时机点〞.【考点】阅读理解型问题；图象的平移；反比例函数的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；数形结合思想和方程思想的应用.【分析】理解应用：根据“知识迁移〞得到双曲线的平移变换的规律：上加下减；右减左加.灵敏运用：根据平移规律性作出图象，并找出函数图象在直线1y =-之上时x 的取值范围.实际应用：先求出第一次复习的“最正确时机点〞〔4，1〕，代入28y x a =-，求出a ，从而求出第二次复习的“最正确时机点〞.4. 〔2021年10分〕平面直角坐标系中，点(),P x y 的横坐标x 的绝对值表示为x ，纵坐标y 的绝对值表示为y ，我们把点),(y x P 的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点(),P x y 的勾股值，记为：P ⎡⎦，即P x y ⎡⎦=+.〔其中的“+〞是四那么运算中的加法〕〔1〕求点()1,3A - ,)2,2B +-的勾股值A ⎡⎦、B ⎡⎦；〔2〕点M 在反比例函数3y x =的图像上，且4M ⎡⎦=，求点M 的坐标； 〔3〕求满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积.【答案】解：〔1〕∵()1,3A - ,)2,2B+-， ∴134A ⎡⎦=-+=，2224B ⎡⎦=+=.〔2〕∵点M 在反比例函数3y x =的图像上，∴可设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭ . ∵4M ⎡⎦=，∴34m m+=. 假设0m >，那么34m m+=，解得121.3m m == .∴()1,3M 或者()3,1M . 假设0m <，那么34m m--=，解得121.3m m =-=- .∴()1,3M - -或者()3,1M - -.综上所述，点M 的坐标为()1,3 或者()3,1 或者()1,3- -或者()3,1- -.〔3〕设(),N x y ，∵3N ⎡⎦=，∴3x y +=.假设0,0x y ≥≥ ，那么3x y +=，即3y x =-+.假设0,0x y ≥< ，那么3x y -=，即3y x =-.假设0,0x y <≥ ，那么3x y -+=，即3y x =+.假设0,0x y << ，那么3x y --=，即3y x =--.∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形是正方形，如答图.∴满足条件3N ⎡⎦=的所有点N 围成的图形的面积为18.【考点】新定义和阅读理解型问题；点的坐标；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想和数形结合思想的应用.【分析】〔1〕直接根据定义求解即可.〔2〕设3,M m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据4M ⎡⎦=得到34m m +=，分0m >和0m <求解即可.〔3〕设(),N x y ，根据3N ⎡⎦=得到3x y +=，由,x y 负分类即可求解.5. 〔2021年10分〕设ω是一个平面图形，假如用直尺和圆规经过有限步作图〔简称尺规作图〕，画出一个正方形与ω的面积相等〔简称等积〕，那么这样的等积转化称为ω的“化方〞．〔1〕阅读填空如图①，矩形ABCD ，延长AD 到E ，使DE =DC ，以AE 为直径作半圆．延长CD 交半圆于点H ，以DH 为边作正方形DFGH ，那么正方形DFGH 与矩形ABCD 等积． 理由：连接A H ，EH ．∵AE 为直径，∴∠AHE =90°，∴∠HAE +∠HEA =90°．∵DH ⊥AE ，∴∠ADH =∠EDH =90°∴∠HAD +∠AHD =90°∴∠AHD =∠HED ，∴△ADH ∽ ▲ ． ∴AD DH DH DE=，即DH 2=AD ×DE ． 又∵DE =DC∴DH 2= ▲ ，即正方形DFGH 与矩形ABCD 等积．〔2〕操作理论平行四边形的“化方〞思路是，先把平行四边形转化为等积的矩形，再把矩形转化为等积的正方形．如图②，请用尺规作图作出与ABCD等积的矩形〔不要求写详细作法，保存作图痕迹〕．〔3〕解决问题三角形的“化方〞思路是：先把三角形转化为等积的▲ 〔填写上图形名称〕，再转化为等积的正方形．如图③，△ABC的顶点在正方形网格的格点上，请作出与△ABC等积的正方形的一条边〔不要求写详细作法，保存作图痕迹，不通过计算△ABC面积作图〕．〔4〕拓展探究n边形〔n＞3〕的“化方〞思路之一是：把n边形转化为等积的n﹣1边形，…，直至转化为等积的三角形，从而可以化方．如图④，四边形ABCD的顶点在正方形网格的格点上，请作出与四边形ABCD等积的三角形〔不要求写详细作法，保存作图痕迹，不通过计算四边形ABCD面积作图〕．【答案】解：〔1〕△HDE；AD×DC.〔2〕如答图1，矩形ANMD即为与ABCD等积的矩形.〔3〕矩形.如答图2，CF为与△ABC等积的正方形的一条边.〔4〕如答图3，△BCE是与四边形ABCD等积的三角形.，【考点】阅读理解型问题；尺规作图〔复杂作图〕；全等、相似三角形的断定和性质；平行四边形的性质；矩形的性质；正方形的性质；圆周角定理；转换思想和数形结合思想的应用．【分析】〔1〕首先根据相似三角形的断定方法，可得△ADH∽△HDE；根据等量代换，可得DH2=AD×DC，据此判断即可．〔2〕过点D 作DM ⊥BC ，交BC 的延长线于点M ，以点M 为圆心，AD 长为半径画弧，交BC 于点N ，连接AN ，那么易证△DCM ≌△ABN ，因此，矩形ANMD 即为与ABCD 等积的矩形.〔3〕三角形的“化方〞思路是：先把三角形转化为等积的矩形，再转化为等积的正方形．首先以三角形的底为矩形的长，以三角形的高的一半为矩形的宽，将△ABC 转化为等积的矩形BCMN ；然后延长BC 到E ，使CE =CM ，以BE 为直径作圆．延长CM 交圆于点F ，那么CF 即为与△ABC 等积的正方形的一条边．〔4〕连接AC ，过点D 作DE ∥AC 交BA 的延长线于点E ，连接CE ，那么△BCE 是与四边形ABCD 等积的三角形.6. 〔2021年12分〕阅读理解：如图①，假如四边形ABCD 满足AB =AD ，CB =CD ，∠B =∠D =900,那么我们把这样的四边形叫做“完美筝形〞.将一张如图①所示的“完美筝形〞纸片ABCD 先折叠成如图②所示的形状，再展开得到图③，其中CE 、CF 为折痕，∠BCD =∠ECF=∠FCD ，点B ′为点B 的对应点，点D ′为点D 的对应点，连接EB ′、FD ′相交于点O .简单应用：〔1〕在平行四边形、矩形、菱形、正方形四种图形中，一定为“完美筝形〞的是 ▲ ；〔2〕当图③中的120BCD ∠=︒时，∠AEB ′＝ ▲ °；〔3〕当图②中的四边形AECF 为菱形时，对应图③中的“完美筝形〞有 ▲ 个〔包含四边形ABCD 〕.拓展提升：当图中的90BCD ∠=︒时，连接AB ′，请探求∠AB ′E 的度数，并说明理由.【答案】解：简单应用：〔1〕正方形.〔2〕80.〔3〕5.拓展提升：45AB E ∠'=︒，理由如下：如答图，连接EF ，∵90B D BCD ∠=∠=∠=︒，且AB =AD ，∴四边形ABCD 是正方形. ∴90A ∠=︒.由折叠对称的性质，得''90EB F EB C ∠=∠=︒，∴点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上.∵由对称性，知AE AF =，∴45AFE ∠=︒.∴45AB E AFE ∠'=∠=︒.【考点】新定义和阅读理解型问题；折叠问题；正方形的断定和性质；折叠对称的性质；圆周角定理；等腰直角三角形的性质.【分析】简单应用：〔1〕根据“完美筝形〞的定义，知只有正方形是“完美筝形〞.〔2〕∵120BCD ∠=︒，∴根据折叠对称的性质，得1403BCE BCD ∠=∠=︒. ∵90B ∠=︒，∴50BEC CEB ∠=∠'=︒. ∴80AEB ∠'=︒.〔3〕根据“完美筝形〞的定义，可知',',,'',EBCB FDCD ABCD CD OB AEOF 是“完美筝形〞.拓展提升：作辅助线“连接EF 〞，由题意断定四边形ABCD 是正方形，从而证明点'A E B F 、、、在以EF 为直径的圆上，即可得出45AB E AFE ∠'=∠=︒.7. 〔2021年8分〕由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程〔组〕解决的问题，并写出这个问题的解答过程．【答案】解：此题之答案不唯一．问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意，得34222623x yx y+=⎧⎨+=⎩，解得42.5xy=⎧⎨=⎩．那么x+y=4+2.5=6.5〔吨〕．答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．【考点】开放型；二元一次方程组的应用．【分析】1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？根据题意可知，此题中的等量关系是“3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨〞和“2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨〞，列方程组求解即可．8. 〔2021年7分〕活动1：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都一样，充分搅匀，甲、乙、丙三位同学丙→甲→乙的顺序依次从袋中各摸出一个球〔不放回〕，摸到1号球胜出，计算甲胜出的概率．〔注：丙→甲→乙表示丙第一个摸球，甲第二个摸球，乙最后一个摸球〕活动2：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，4的4个小球，这些球除标号外都一样，充分搅匀，请你对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：▲ →▲ →▲ ，他们按这个顺序从袋中各摸出一个球〔不放回〕，摸到1号球胜出，那么第一个摸球的同学胜出的概率等于▲ ，最后一个摸球的同学胜出的概率等于▲ ．猜测：在一只不透明的口袋中装有标号为1，2，3，…，n〔n为正整数〕的n个小球，这些球除标号外都一样，充分搅匀，甲、乙、丙三名同学从袋中各摸出一个球〔不放回〕，摸到1号球胜出，猜测：这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系．你还能得到什么活动经历？〔写出一个即可〕【答案】解：〔1〕画树状图如答图1，∵一共有6种等可能结果，甲摸到1号球的结果有2种，∴甲胜出的概率为：P〔甲胜出〕=21 63 ．〔2〕丙、甲、乙〔答案不唯一〕；14；14.〔3〕这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P〔甲胜出〕=P〔乙胜出〕=P〔丙胜出〕．得到的活动经历为：抽签是公平的，与顺序无关〔答案不唯一〕．【考点】开放型；列表法或者树状图法；概率；探究规律题〔数字的变化类〕．【分析】〔1〕应用树状图法，判断出甲胜出的概率是多少即可．〔2〕首先对甲、乙、丙三名同学规定一个摸球顺序：丙→甲→乙，然后应用树状图法，判断出第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学胜出的概率各等于多少即可：画树状图如答图2：∵一共有24种等可能结果，第一个摸球的丙同学和最后一个摸球的乙同学摸到1号球的结果都各有6种，∴第一个摸球的丙同学胜出的概率：P〔丙胜出〕=61244=；最后一个摸球的乙同学胜出的概率：P〔乙胜出〕=61 244=．〔3〕首先根据〔1〕〔2〕探究出规律，得到这三名同学每人胜出的概率之间的大小关系为：P〔甲胜出〕=P〔乙胜出〕=P〔丙胜出〕=1n；然后总结出得到的活动经历为：抽签是公平的，与顺序无关．9. 〔2021年9分〕【发现】如图∠ACB=∠ADB=90°，那么点D在经过A，B，C三点的圆上〔如图①〕【考虑】如图②，假如∠ACB=∠ADB=α〔α≠90°〕〔点C，D在AB的同侧〕，那么点D还在经过A，B，C三点的圆上吗？请证明点D也不在⊙O内．【应用】利用【发现】和【考虑】中的结论解决问题：假设四边形ABCD中，AD∥BC，∠CAD=90°，点E在边AB上，CE⊥DE．〔1〕作∠ADF=∠AED，交CA的延长线于点F〔如图④〕，求证：DF为Rt△ACD的外接圆的切线；〔2〕如图⑤，点G在BC的延长线上，∠BGE=∠BAC，2sin3AED∠=，AD=1，求DG的长．【答案】解：【考虑】点D还在经过A，B，C三点的圆上.如答图1，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E，连接BE，那么∠AEB=∠ACB，∵∠ADE是△BDE的外角，∴∠ADB＞∠AEB.∴∠ADB＞∠ACB.∴∠ADB＞∠ACB，这与条件∠ACB=∠ADB矛盾.∴点D也不在⊙O内.【应用】〔1〕证明：如答图2，取CD的中点O，那么点O是Rt△ACD的外心，∵∠CAD=∠DEC=90°，∴点E在⊙O上. ∴∠ACD=∠AED.∵∠FDA=∠AED，∴∠ACD=∠FDA.∵∠DAC=90°，∴∠ACD+∠ADC=90°. ∴∠FDA+∠ADC=90°.∴OD⊥DF，∴DF为Rt△ACD的外接圆的切线.〔2〕如答图3，∵∠BGE=∠BAC，∴点G在过C、A、E三点的圆上.又∵过C、A、E三点的圆是Rt△ACD的外接圆，即⊙O，∴点G在⊙O上.∵CD是直径，∴∠DGC=90°.∵AD∥BC，∴∠ADG=90°.∵∠DAC=90°，∴四边形ACGD是矩形. ∴DG=AC.∵2sin3AED∠=，∠A CD=∠AED，∴2sin3ACD∠=.∴在Rt △ACD 中，23AD CD =，∵AD =1，∴32CD =.∴AC ==∴DG AC ==． 【考点】阅读理解型问题；圆的综合题；圆周角定理；三角形的外角性质；矩形的断定和性质；锐角三角函数定义；勾股定理．【分析】【考虑】假设点D 在⊙O 内，利用圆周角定理及三角形外角的性质，可证得与条件相矛盾的结论，从而证得点D 不在⊙O 内.【应用】〔1〕作出Rt △ACD 的外接圆，由发现可得点E 在⊙O 上，那么证得∠ACD =∠FDA ，又因为∠ACD +∠ADC =90°，于是有∠FDA +∠ADC =90°，即可证得DF 是圆的切线；〔2〕根据【发现】和【考虑】可得点G 在过C 、A 、E 三点的圆O上，进而易证四边形AOGD 是矩形，根据条件解直角三角形ACD 可得AC 的长，即DG 的长．10. 〔2021年10分〕如图，二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点〔0，3〕，且当x =1时，y 有最小值2．〔1〕求a ，b ，c 的值；〔2〕设二次函数()()222y k x ax bx c =+-++〔k 为实数〕，它的图象的顶点为D ． ①当k =1时，求二次函数()()222y k x ax bx c =+-++的图象与x 轴的交点坐标；②请在二次函数2y ax bx c =++与()()222y k x ax bx c =+-++的图象上各找出一个点M ，N ，不管k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，直接写出点M ，N 的坐标〔点M 在点N 的上方〕； ③过点M 的一次函数34y x t =-+的图象与二次函数2y ax bx c =++的图象交于另一点P ，当k 为何值时，点D 在∠NMP 的平分线上？④当k 取﹣2，﹣1，0，1，2时，通过计算，得到对应的抛物线()()222y k x ax bx c =+-++的顶点分别为〔﹣1，﹣6，〕，〔0，﹣5〕，〔1，﹣2〕，〔2，3〕，〔3，10〕，请问：顶点的横、纵坐标是变量吗？纵坐标是如何随横坐标的变化而变化的？【答案】解：〔1〕∵二次函数()20y ax bx c a =++≠当x =1时，y 有最小值2，∴可设()212y a x =-+.将〔0，3〕代入，得a =1，∴()221223y x x x =-+=-+.∴a =1，b =﹣2，c =3.〔2〕①当k =1时，241y x x =-+-，令2410y x x =-+-=，解得23x =±，∴图象与x 轴的交点坐标〔23+，0〕，〔23，0〕.②M 〔﹣1，6〕，N 〔﹣1，﹣6〕. ③如答图，设直线34y x t =-+与x 轴交于点A ，MD 与x 轴交于点B ，MN 与x 轴交于点E ，过点B 作BC ⊥AM 于点C ，∵34y x t =-+经过M 〔﹣1，6〕，∴()3614t =-⨯-+，解得214t =. ∴32144y x =-+，那么A 〔7，0〕. ∵MN ⊥x 轴，∴E 点的横坐标为﹣1.∴AE =8.∵ME =6，∴MA =10．∵MD 平分∠NM P ，MN ⊥x 轴，∴BC =BE .设BC =x ，那么AB=8﹣x ，∵△ABC ∽△AME ，∴BC AB ME AM =. ∴8610x x -=，解得x =3. ∴B 〔2，0〕. ∴MD 的函数表达式为24y x =-+．∵()()()22222142y k x ax bx c x k k k =+-++=-⎡-+⎤++-⎣⎦， ∴()21,42D k k k ++- .把()21,42D k k k ++- ，代入24y x =-+，得()242214k k k +-=-++，解得313k =-±.∵1>1k +-，∴313k =--舍去.∴313k =-+.④是．当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小．【考点】阅读理解型问题；二次函数综合题；二次函数的性质；轴对称的性质；曲线上点的坐标与方程的关系；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的断定和性质；方程思想和数形结合思想的应用．【分析】〔1〕利用顶点式的解析式求解即可.〔2〕①当k =1时，241y x x =-+-，令2410y x x =-+-=，解得x 的值，即可得出图象与x 轴的交点坐标.②当x =﹣1时，223y x x =-+与()()22223y k x x x =+--+的图象上点M ，N ，不管k 取何值，这两个点始终关于x 轴对称，可得M 〔﹣1，6〕，N 〔﹣1，﹣6〕. ③由34y x t =-+，经过M 〔﹣1，6〕，可得t 的值，由MN ⊥x 轴，可得E 点的横坐标为﹣1，可得出AE ，ME ，MA 的值．设MD 交AE 于点B ，作BC ⊥AM 于点C ，设BC =x ，那么AB =8﹣x ，由△ABC ∽△AMN 列式，可求出x 的值，即可得出MD 的函数表达式为y=﹣2x+4．再把点D 代入，即可求出k 的值样.④观察可得出当顶点的横坐标大于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而增大，当顶点的横坐标小于﹣1时，纵坐标随横坐标的增大而减小． 励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
中考数学阅读理解题的简析
中考数学阅读理解题的简析近几年，全国各省市的中考试卷上频频出现一种新的题型：阅读理解题。
这些试题不再囿于教材的内容及其方法，以新颖别致的取材、富有层次和创造力的设问独树一帜。
在解答阅读理解题时，往往需要先阅读比较多的文字，要求考生对文字、符号、图形和式子进行概括、分析，对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答。
在阅读题所提供的材料中，常常出现新的概念和方法，因此，不仅要求考生具备较强的阅读理解能力，理解这些新的概念和方法，而且还要求考生具备一定的归纳推理、抽象思维、文字概括、书面表达、自学和应用等诸方面的能力，从而灵活运用这些新的概念和方法去分析、解决一些简单的问题。
阅读理解题的增加符合学生的认知规律，能够帮助学生实现从模仿到创造的思维提升，给能力强、善于观察、善于思考的学生创造了施展才华的机会。
初中数学阅读理解题表述方式大致可分四类：纯文型（全部用文字展示条件和问题）、图文型（用文字和图形结合展示条件和问题）、表文型（用文字和表格结合展示条件和问题）、改错型（条件、问题、解题过程都已展示，但解题过程可能要改正）。
下面就针对考试中出现的几种类型的阅读理解题进行分析。
一、概念型的阅读题这类试题取材于学生所熟悉的知识，通过类比、引申等方法进行给出一个末知的定义、公式、定理、性质或计算法则的概念型中考压轴题。
因为考生都未接触和学习过，在同一基点上考查学生的阅读理解能力、自学能力和应用能力，体现了公平性；同时也有利于减少教师和学生乱猜试题，避免学生死记硬背，把精力放在能力的提高上，从而减轻学生的负担，解这类试题的关键是阅读理解定义的新概念，再应用这些新概念解题。
二、解题思维、方法型阅读题主要介绍某一类题的解题方法，要求考生利用例题中的解题方法且看懂方法的要领，能够模仿例题的解题步骤解答一道与例题类似的问题。
这主要是锻炼同学们的自学能力。
三、图形、图象型的阅读理解题图形、图像阅读题先结合图形、图像，介绍这个图象中某个特殊点的横或纵坐标所包含的实际意义的例题，然后给出一个实际问题，要求考生能够根据给出的试题，模仿例题，作出相应的图象，利用图象上的某个特殊点的横或纵坐标纵的实际意义来解决给出给出的问题。
人教版中考复习数学练习专题二：阅读理解专题含试卷分析答题技巧
专题二阅读理解专题考纲要求阅读理解类问题是近几年中考的新题型，主要目的是考查学生通过阅读，学习新的知识、感悟数学思想和方法．它能较好地体现知识的形式、发展的过程．要求学生理解问题，并对其本质进行概括及迁移发展．阅读题共有三类：(1)图文型(用文字和图形相结合展示条件和问题)；(2)表文型(用文字和表格相结合的形式展示条件和问题)；(3)改错型．无论哪种类型，其解题步骤分为三步：(1)快速阅读，把握大意；(2)仔细阅读，提炼信息或方法；(3)总结方法，建立解决问题的模式．【课堂精讲】例1阅读例题，模拟例题解方程．解方程x2＋|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0即x≥1时，原方程可化为：x2＋x－1－1＝0即x2＋x－2＝0，解得x1＝1，x2＝－2(不合题意，舍去)(2)当x－1＜0即x＜1时，原方程可化为：x2－(x－1)－1＝0即x2－x＝0，解得x3＝0，x4＝1(不合题意，舍去)综合(1)、(2)可知原方程的根是x1＝1，x2＝0.请你模拟以上例题解方程：x2＋|x＋3|－9＝0.解析：(1)当x＋3≥0时，即x≥－3时．原方程可化为：x2＋x－6＝0.解得x1＝2，x2＝－3.(2)当x＋3＜0时，即x＜－3时．原方程可化为：x2－x－12＝0.解得x3＝－3，x4＝4.经检验，x3＝－3，x4＝4都不符合题意，舍去．综合(1)、(2)可知原方程的根为x1＝2，x2＝－3.点评：解决这类题的策略是先理解例题的思想方法，再把这种思想方法迁移到问题中从而得到解决．例2条件：如下图，A、B是直线l同旁的两个定点．问题：在直线l上确定一点P，使PA ＋PB的值最小．方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA＋PB ＝A′B的值最小模型应用：(1)如图1，正方形ABCD边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．则PB＋PE的最小值是______；(2)如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC＝60°，P是OB上一动点，求PA＋PC最小值是______；(3)如图3，∠AOB＝45°，P是∠AOB内一点，PO＝10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值是______．解析：关键在于把握题中的两点：第一是动点在哪条线上运动？这条线就确定为对称轴；第二是画出一个点的对称点，并确定符合条件的动点的位置，再进行解答．(1)在图1中，点B关于AC的对称点是D，连接DE交AC于点P，此时点P就符合条件，再进行计算．(2)在图2中，点A关于OB的对称点是点D，连接DC交OB于点P，点P就是符合条件的点．PA＋PC的最小值是CD，求出CD的长即可．(3)在图3中，作出P关于OB、OA的对称点P′和P″.连接P′P″交OB、OA于R、Q.再连接PR、PQ.则△PRQ的周长最小，此时△PRQ的周长＝P′P″的长．在等腰直角形P′OP″中．求出P′P″的长即可．523102答案：【课堂提升】1．阅读材料，解答问题．用图象法解一元二次不等式，x2－2x－3＞0.解：设y＝x2－2x－3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y＝0时，x2－2x－3＝0.解得x1＝－1，x2＝3.∴由此得抛物线y＝x2－2x－3的大致图象如图所示：观察函数图象可知：当x＜－1或x＞3时，y＞0.∴x 2－2x －3＞0的解集是：x ＜－1或x ＞3.(1)观察图象，直接写出一元二次不等式：x 2-2x-3＜0的解集是________；(2)仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x 2-5x+6＜0的解集.2. 阅读下列材料：解答“已知x ﹣y =2，且x ＞1，y ＜0，试确定x +y 的取值范围”有如下解法：解∵x ﹣y =2，∴x =y +2又∵x ＞1，∵y +2＞1．∴y ＞﹣1．又∵y ＜0，∴﹣1＜y ＜0． …①同理得：1＜x ＜2． …②∴x +y 的取值范围是0＜x +y ＜2请按照上述方法，完成下列问题：（1）已知x ﹣y =3，且x ＞2，y ＜1，则x +y 的取值范围是 ．（2）已知y ＞1，x ＜﹣1，若x ﹣y =a 成立，求x +y 的取值范围（结果用含a 的式子表示）．3.如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（ ）A ． 1，2，3B ． 1，1，C ． 1，1，D ． 1，2，中，任意两点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)的对称中心的坐标为(， )．122x x +122y y +(1)如图，在平面直角坐标系中，若点P1(0，－1)，P2(2,3)的对称中心是点A，则点A的坐标为________；(2)另取两点B(－1.6,2.1)，C(－1,0)．有一电子青蛙从点P1处开始依次关于点A，B，C作循环对称跳动，即第一次跳到点P1关于点A的对称点P2处，接着跳到点P2关于点B的对称点P3处，第三次再跳到点P3关于点C的对称点P4处，第四次再跳到点P4关于点A的对称点P5处，…，则点P3，P8的坐标分别为____、____；(3)求出点P的坐标，并直接写出在x轴上与点P、点C构成等腰三角形的点的坐标．【高效作业本】专题二阅读理解专题1.如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M的坐标变为( )A．(—,2) B．（一，一2）C. (—,—2) D. (—,2)2.定义新运算：对于任意实数a，b都有a△b=ab﹣a﹣b+1，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，例如：2△4=2×4﹣2﹣4+1=8﹣6+1=3，请根据上述知识解决问题：若3△x的值大于5而小于9，求x的取值范围．(2)若关于的方程2＋＋＝0的两个根为1，2，将你发现的结论一般化，并写出来．4．阅读下面的例题：解方程x2－|x|－2＝0解：(1)当x≥0时，原方程化为x2－x－2＝0解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)(2)当x＜0时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2所以原方程的解是x1＝2，x2＝－2请参照例题，解方程：x2－|x－3|－3＝0.【答案】专题二阅读理解专题答案1.分析：（1）观察图象即可写出一元二次不等式：x2-2x-3＜0的解集；（2）先设函数解析式，根据a的值确定抛物线的开口向上，再找出抛物线与x轴相交的两点，就可以画出抛物线，根据y＜0确定一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集．解：（1）观察图象，可得一元二次不等式x2-2x-3＜0的解集是：-1＜x＜3（2）设y=x2-5x+6，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上．又∵当y=0时，x2-5x+6=0，解得x1=2，x2=3．∴由此得抛物线y=x2-5x+6的大致图象如图所示．观察函数图象可知：当2＜x＜3时，y＜0．∴x2-5x+6＜0的解集是：2＜x＜3点评：本题主要考查在直角坐标系中利用二次函数图象解不等式，可作图利用交点直观求解集．2.解：（1）∵x﹣y=3，∴x=y+3，又∵x＞2，∴y+3＞2，∴y＞﹣1．又∵y＜1，∴﹣1＜y＜1，…①同理得：2＜x＜4，…②解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、∵12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确．故选：D．(2)(－5.2,1.2)；(2,3)(提示：P 1(0，－1)，P 2(2,3)，P 3(－5.2,1.2)，P 4(3.2，－1.2)，P 5(－1.2,3.2)，P 6(－2,1)，P 7(0，－1)，P 8(2,3))(3)∵P 1(0，－1)→P 2(2,3)→P 3(－5.2,1.2)→P 4(3.2，－1.2)→P 5(－1.2,3.2)→P 6(－2,1)→P 7(0，－1)→P 8(2,3)→…，∴P 7的坐标和P 1的坐标相同，P 8的坐标和P 2的坐标相同，即坐标以6为周期循环． ∵÷6＝335…2.∴P 的坐标与P 2的坐标相同，即P (2,3)；在x 轴上与点P ，点C 构成等腰三角形的点的坐标为(－3 －1,0)，(2,0)，(3 －1,0)，(5,0)．【高效作业本】1.分析：首先求出正方形对角线交点坐标分别是（2，2），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的点M 的对应点的坐标，即可得规律．解答：∵正方形ABCD ，点A (1，3)、B (1,1)、C (3,1)．∴M 的坐标变为(2,2)∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2），第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2） 故答案为A ．点评：此题考查了对称与平移的性质．此题难度较大，属于规律性题目，注意得到规律：第n 次变换后的点M 的对应点的坐标为：当n 为奇数时为（2－n ，－2），当n 为偶数时为（2－n ，2）是解此题的关键．2.分析：首先根据运算的定义化简3△x ，则可以得到关于x 的不等式组，即可求解． 解答：3△x=3x ﹣3﹣x+1=2x ﹣2，根据题意得：，解得：＜x ＜．点评：本题考查了一元一次不等式组的解法，正确理解运算的定义是关键．3.(1)－12 －2 －14 －3 143 (2)ax2＋bx ＋c ＝a(x －x1)(x －x2)4.解析：(1)当x －3≥3，原方程为 x 2－(x －3)－3＝0∵x ≥3∴不符合题意，都舍去(2)当x－3＜0时，即x＜3，原方程化为x2＋(x－3)－3＝0解得x2＋(x－3)＝0解得x1＝－3或x2＝2(都符合题意)所以原方程的解是x1＝3或x2＝2.答案：x＝－3或x＝2。
2020年中考数学专题复习和训练：阅读理解型问题例析
2020年中考数学专题复习和训练：阅读理解型问题例析编写： 赵化中学 郑宗平专题透析：阅读理解型问题是近年来各地数学中考的热点题型，常与规律探索型、新定义、图表信息、动态变换以及开放存在性探索等题型结合；自贡市17、18、19年的数学中考试题均有一道10分分值的阅读理解解答题.阅读理解型问题一般都是先提供一个解题思路或介绍一种解题方法或展示一个数学结论的推导过程等文字或图表材料，要求同学们把展示或暗含的规律方法挖掘出来进行迁移，建模解答，阅读理解型问题还容易把高中数学知识来提供阅读材料，下面我精选了一部分阅读理解题进行解析，每个例题大致反映一种类型阅读理解题型，并分题组附有追踪练习，最后的综合提升练习供选练，例习题共有120余道.典例精析：例1.阅读下面材料，然后解答问题： 解方程：()()222x 6x620----=分析：本题实际上一元四次方程。
若展开按常规解答对于同学们来说还是有一定的挑战性；解高次方程的基本方法是“降次”，我发现本方程是以2x 6-为基本结构搭建的，所以我们可以把2x 6-视为一个整体设为另外一个未知数，可以把原方程将次为一元二次方程来继续解答.我们把这种换元解方程的方法叫做换元法.解：设2x 6m -=，则原方程换元为2m m 20--= . ()()m 2m 10-+= 解得：2m 2,m1==- 4=根据上面的解析，解答下列问题： ⑴.换元法的基本思想是 ； ⑵.利用换元法解方程：()--+-=222x 2x 2x 4x 30 ；⑶. 已知()()+-+-=22222a b ab 20，求+22a b 的值.略解： ⑴.转化.⑵.设-=2x 2x m ，则原方程换元为--=2m 2m 30 . ()()-+=m 3m 10 解得：==-12m 3,m 1∴-=2x 2x 3 或 -=-2x 2x 1 解得：==-==1234x 3,x 1,x x 1.⑶.设+=22a b y ，则原方程换元为--=2y y 20 .()()-+=y 2y 10 解得：==-12y 2,y 1即+=22a b 2或+=-22a b 1（不和题意，舍去.） 所以+=22a b 2.点评：本例属于“任务性阅读理解题”；比如本题就是叫你根据提供了 “换元法”解方程的范例；比如⑵问就是通过过“换元”把一元四次方程降次为一元二次方程，再利用开平方的办法降次为一元一次方程，解高次方程的基本思想就是降次转化.追踪练习：1.已知()⋅=+>>222log x y log x log y x 0,y 0，且=2log 21，则log 16 = .2.对于实数a,b 定义运算“◇”：a ◇b=()()≥⎪<⎩a b ab a b ；例如：4◇3 ，因为>43所以4◇3=5，若x,y 满足-=⎧⎨+=⎩4x y 8x 2y 29。
历年浙教版初三数学中考阅读题赏析
中考数学阅读题赏析近年来，阅读型考题相继出现在一些地区的中考之中。
这类题型往往需要先阅读较多的文字，要求考生对文字、符号、图形和式子进行概括、分析，对所提供的材料进行观察、实验、猜想、调整，就其本质进行归纳、加工提炼，然后作出解答。
在所提供的材料中，常常出现新的概念和方法，因此，不仅要求考生具备较强的阅读理解能力，而且还要求考生具备一定的归纳推理、抽象思维、文字概括、书面表达、自学和应用等诸方面的能力。
例1阅读下题和分析过程，并按要求进行证明已知：四边形ABCD中，AB = DC，AC = BD，AD ≠ BC。
求证：四边形ABCD是等腰梯形。
分析：要证四边形ABCD是等腰梯形，因为AB = DC，所以只要证四边形ABCD是梯形即可；又因为AD ≠ BC，故只需证AD∥BC即可；要证AD∥BC，现有下图所示四种添作辅助线的方法，请任选其中两种图形，对原题进行证明。
（2001青海省）解：（略）赏析：所谓梯形，是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形；而等腰梯形是指两腰相等的梯形。
该题中的阅读部分从定义出发，明确提出了考生要解决的问题。
由于此题给考生提供了解题的思路，考生可根据自身的情况灵活选择方法，降低了难度，使一部分基础较差的考生也可进行尝试。
中考毕竟是选拔性的考查，本题虽然降低了难度，但考查的机能仍未减弱。
因为在所给的图形中，只是给考生提供了辅助图形的位置，至于该图形的性质，则需考生根据自身解题的需要来给予界定。
比如图（A）中的AE，我们既可以从“在BC边上取点E，使CE = AD，连结AE”来得到，也可以从“过点A作DC的平行线，交BC于点E ”来得到，还可以从“以A 为圆心、DC 为半径画弧，交BC 于点E ，连结AE ”或是以其它方式来获得。
考生以怎样的方法来构造该辅助图形，反映了考生的思维。
同时，在整个解题过程中，考生是否严格按照“等腰梯形”的定义进行操作、逻辑是否严密等情况，都能较好地反映该考生的基本功。
2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习(附解析)
2024届九年级中考数学第三轮热点题型阅读理解及新定义专项练习热点解读中考数学中阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频 “亮相”，应引起我们特别地重视，这类问题一般文字叙述较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的解题能力，属于新颖数学题。
如果对这类题型了解不清楚的情况下，很多同学直接就选择了放弃，其实其难度并不是特别大部分，分值拿到手还是非常轻松的。
解题思路解决这类问题的关键是要认真仔细地阅读所给的材料，边读边勾画出重要的信息，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出的问题。
所以这类题型并不是像其他题型一样定点考察个别明确的知识点，而是通过材料的阅读。
分析匹配到相对应的基础知识内容，结合题目当中所给的方法来进行解题。
在历年的考题当中，以下的三大类阅读型的题型值得大家在复习当中明确其考查的方式和方法，对于大家对阅读型理解题型的了解迈出重要的一步。
首先，阅读试题所提供的新定义，新定理，解决新问题。
这类题型的解决方法以及做题的规律都从题目当中进行寻找，题目已经给出，只要结合题目中的方法进行简单的推理，那么就可以得到我们解决问题的方法，其中计算的方式是大家比较困难的，所以题目中所给的例子一定要研读清楚，搞清楚其变化的规律，就能掌握其解题的技巧。
针对练习1、（2024·陕西西安·二模）完成下列各题(1)【问题提出】如图1，为的一条弦，点C 在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我AB O AB 们知道的度数______（填“变”或“不变”）；若，则______度．即：若ACB ∠100AOB ∠=︒ACB =∠∵60BE AD A ⊥∠=︒，，∴，315sin 5322BE AB A =⨯=⨯=设经过圆心O 时的线段为，则PC 11PC 1PC∵90BAD BCD ∠=∠=︒∴45CBD CDB ∠=∠=︒∴180BAD BCD ∠+∠=∴四点共圆，A B C D ，，，∴45BAC CDB ∠=∠=︒∴2MON MAN ∠=∠=则ADC PBC ≌，∴90CP CA ACP =∠=，，．∵180BAD BCD ∠+∠=∴180D ABC ∠+∠=︒，∴180ABC CBP ∠+∠=∴三点共线，A B P ，，∴为等腰直角三角形，ACP △，2290,2EAG EG AE ∴∠=︒=∵，2222AE BE DE =+222,EG BE DE ∴=+∴，222EG DG DE =+90,EDG ∴∠=︒∴，180EAG EDG ∠+∠=︒，180AED AGD ∴∠+∠=︒∴，180AED AEB ∠+∠=︒点在对角线上．∴E BD 3、（2024九年级·全国·竞赛）如图，点为等腰直角斜边的中点，与分别相O ABC BC O AB AC 、切于点，交于点的延长线交的延长线于点，已知．D E 、OC F DF ，AC G 8cm AB =(1)求的长；DE (2)求证：；CFG CGF ∠=∠(3)求由和所围成的图形（阴影部分）的面积．D G 、E G DE 【正确答案】(1)2πcm(2)见解析点分别为与的切点，D E 、O AB AC 、，且OD AB OE AC ∴⊥⊥，OD OE =为等腰直角的斜边，BC ABC ，，90A ∴∠=︒45B ∠=︒则1142422DEG S EG OE =⨯⨯=⨯⨯ ()2290π44πcm 360DOE S S ︒=⨯⨯=︒扇形，阴影部分的面积为DEG DOE S S +- 扇形设，则dm EF y =MF =(1)观察猜想如图①，四边形是对补四边形，且对角线平分ABCD BD 关系是________．(2)深入探究如图②，在直角三角形中，，ACB 90ACB ∠=︒60cm AB =于点D ，E 为边上的一点，连接，作与交于点AC DE DF DE ⊥BC【分析】（1）过点作，，通过证明即可求解；D DE AB ⊥DF BC ⊥()AAS DCF DAE ≌（2）①过点D 作于点G ，于点H ，利用全等三角形的判定与性质，求解即可；DG AC ⊥DH BC ⊥②过点D 作，交于点G ，通过证明求解即可；DG AB ⊥BC ()ASA ADE GDF △≌△（3）利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：，理由如下：AD CD =过点作，，如下图：D DE AB ⊥DF BC ⊥则，90DEA DFC ∠=∠=︒由题意可得：，180A BCD ∠+∠=︒180DCF BCD ∠+∠=︒∴，DCF A ∠=∠又∵平分BD ABC∠∴DF DE=∴()AAS DCF DAE ≌∴DA DC=（2）解：①如图②，过点D 作于点G ，于点H ．DG AC ⊥DH BC ⊥又平分，∴．CD ACB ∠DG DH =又∵90ACB ∠=︒∴四边形为矩形，DGCH 又∵CD 平分，，ACB ∠DG AC ⊥DH BC⊥∴DG DH=∴矩形是正方形．DGCH ∵，90ACB EDF ∠=∠=︒∴，．180DEC DFC ∠+∠=︒DEC DEA ∠+∠=180︒∴．DEA DFC ∠=∠又，90DGE DHF ∠=∠=︒∴．DGE DHF ≌∴DGCHCFDE S S =正方形四边形∵，，DG BC ∥:1:3AD AB =∴．:1:3DG BC =设，则，，，，cm DG x =3cm BC x =2cm BH x =cm DH x =40cm BD =在中，，Rt DHB △222DH BH BD +=∴．222(2)40x x +=∴．2320x =∴．2320cm DGCH S =四边形∴．2320cm CFDE S =四边形∴四边形的面积为．CFDE 2320cm ②如图③，过点D 作，交于点G ．DG AB ⊥BC由（1）可知，．DE DF =DEA DFG ∠=∠∵，EDF ∠=90ADG ∠=︒∴．ADE GDF ∠=∠∴．()ASA ADE GDF △≌△【正确答案】图中阴影部分面积的最小值为【分析】设，DM EM a ==BN 有最大值，则图中阴影部分面积有最小值，当CMN S 【详解】解：设与的切点为MN BD∴，AD AE AB ==ADM ∠=∴，Rt Rt ADM AEM ≌△△Rt ∴，，=DM EM BN EN =设，DM EM a ==BN EN =∵，222MC NC MN +=则都是等腰直角三角形，CFM CFN 、△△在正方形中，ABCD AD CD ==∴，424FC =-∴，48322CMN S =-△【正确答案】（1）①；（【分析】（1）求出函数y（2）求出函数y x c =+（1）取，的中点D ，E ，在边上作；AB AC BC MN DE =（2）连接，分别过点D ，N 作，，垂足为G ，H ；EM DG EM ⊥NH EM ⊥（3）将四边形剪下，绕点D 旋转至四边形的位置，将四边形BDGM 180︒ADPQ E 旋转至四边形的位置；180︒AEST （4）延长，交于点F ．PQ ST[任务3]的方法画出示意图如图由【任务2】可得PQ BC ∥过点D 作，垂足为DR BC ⊥在中，Rt DCR sin DCB ∠=∴4sin 95DR CD DCB =⋅∠=⨯(12GEST ABCD S S ==⨯正方形梯形（3）方法迁移：ABCD用正方形纸片折叠出一个2阶奇妙矩形．要求：在图（3）中画出折叠示意图并作简要标注．（4）探究发现：E小明操作发现任一个阶奇妙矩形都可以通过折纸得到．他还发现：如图（4），点为正方形设正方形的边长为，根据折叠的性质，可得2设，则DG x =2AG =-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，52EH =-理由如下，连接，设正方形的边长为GE设，则DG x =4AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC =∴，174EH =-设，则DG x =1AG x=-根据折叠，可得GH GD =在中，Rt BEC △EC EB =∴，211EH m =+-在中，Rt ,Rt AEG GHE(1)若菱形为“可旋四边形”，其面积是，则菱形ABCD 4(2)如图1，四边形为“可旋四边形”，边ABCD AB 的度数；ACB ∠(3)如图2，在四边形中，，与ABCD AC BD =AD 请说明理由．∵四边形为“可旋四边形ABCD ∴，OC OB =∴，OCB OBC ∠=∠由方法1可知，不等式故；23x -<<（2）解：由题意知，故选：D ；（3）解：如图2，作函数由图像可得，的解集为260x x --<综上，的解集为260x x --<2-本题考查了数形结合求一元二次不等式的解集，作二次函数、一次函数、反比例函数的图像．解题∵四边形为平行四边形，若，ABCD ,AB a BC b ==∴，,,AB DC a AD BC AD BC b ====∥∵，，AE BC ⊥DF BC ⊥∴，AE DF =∴，()Rt Rt HL ABE DCF ≌△△∴，BE CF =∴222222AC BD AE CE BF DF+=+++()()()22222AB BE BC BE BC CF DF =-+-+++222222222AB BE BC BC BE BE BC BC BE BE AE =-+-⋅+++⋅++22222AB BC BC BE AE =++++2222AB BC BC AB =+++()222AB BC =+；()222a b =+拓展提升：延长到点C ，使，BO OD BO =∵为的一条中线，BO ABC ∴，OA CO =∴四边形是平行四边形，ABCD ∵．,,AB a BC b AC c ===(1)滑块从点到点的滑动过程中，的值________________；（填“由负到正”或“由正到负”）A B d (2)滑块从点到点的滑动过程中，求与的函数表达式；B A d t (3)在整个往返过程中，若，求的值．18d =t 【正确答案】(1)由负到正(2)12234d t =-+(3)当或时，6t =18t =18d =【分析】（1）根据等式，结合题意，即可求解；12d l l =-（2）设轨道的长为，根据已知条件得出，则，根据当AB n 121l l n ++=12d l l =-181t n =-+和时，与之对应的的两个值互为相反数；则时，，得出，继而求得4.5s t = 5.5s d 5t =0d =91d =滑块返回的速度为，得出，代入，即可求解；()()91115=6m/s -÷()2612l t =-12d l l =-（3）当时，有两种情况，由（2）可得，①当时，②当时，分别令，18d =010t ≤≤1227t ≤≤18d =进而即可求解．【详解】（1）∵，12d l l =-当滑块在点时，，，A 10l =2d l =-0<当滑块在点时，，，B 20l =1d l =0>∴的值由负到正．d 故由负到正．（2）解：设轨道的长为，当滑块从左向右滑动时，AB n ∵，121l l n ++=∴，211l n l =--∴()12111221291181d l l l n l l n t n t n =-=---=-+=⨯-+=-+∴是的一次函数，d t ∵当和时，与之对应的的两个值互为相反数；4.5s t =5.5s d ∴当时，，5t =0d =∴，18510n ⨯-+=∴，91d =∴滑块从点到点所用的时间为，A B ()911910-÷=()s ∵整个过程总用时（含停顿时间）．当滑块右端到达点时，滑块停顿，27s B 2s ∴滑块从点到点的滑动时间为，B A 27102=--15s ∴滑块返回的速度为，()()91115=6m/s -÷∴当时，，1227t ≤≤()2612l t =-∴，()12911906121626l l t t =--=--=-∴，()12162661212234l l t t t -=---=-+∴与的函数表达式为；d t 12234d t =-+（3）当时，有两种情况，18d =由（2）可得，①当时，，010t ≤≤1891118t -+=解得：；6t =②当时，，1227t ≤≤1223418t -+=解得：，18t =综上所述，当或时，．6t =18t =18d =本题考查了一次函数的应用，分析得出，并求得往返过程中的解析式是解题的关键．91n =17、（2023·江苏连云港·中考真题试卷）【问题情境 建构函数】（1）如图1，在矩形中，是的中点，，垂足为．设ABCD 4,AB M =CD AE BM ⊥E ，试用含的代数式表示．,BC x AE y ==x y【由数想形新知初探】y x（2）在上述表达式中，与是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图【数形结合深度探究】x（3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：y增大；②函数值的取值范围是∽∽∽在图像上存在四点A B C__________．（写出所有正确结论的序号）（3）根据函数图象可得①函数值②由(1)可得函数值，故函数值的范围为y AB <③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点四边形，故④正确；或缩小，再将所得多边形沿过该点的直线翻折，我们称这种变换为自位似轴对称变换，变换前后的图形成自位似轴对称．例如：如图①，先将以点为位似中心缩小，得到，再将沿过点的直线翻ABC A ADE V ADE V A l 折，得到，则与成自位似轴对称．AFG ABC AFG(1)如图②，在中，，，，垂足为，下列3对三角形：①ABC 90ACB ∠=︒AC BC <CD AB ⊥D 与；②与；③与．其中成自位似轴对称的是ABC ACD BAC BCD △DAC △DCB △________（填写所有符合条件的序号）；(2)如图③，已知经过自位似轴对称变换得到，是上一点，用直尺和圆规作点，ABC ADE V Q DE P 使与是该变换前后的对应点（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）；P Q (3)如图④，在中，是的中点，是内一点，，，连ABC D BC E ABC ABE C ∠=∠BAE CAD ∠=∠接，求证：．DE DE AC ∥【正确答案】(1)①②(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据题中定义作出图形，即可得出结论；②与成自位似轴对称，对称轴为BAC BCD △ ③与不成自位似轴对称，DAC △DCB △故①②；（2）解：如图，1）分别在和上截取AC AB AE '=（3）证明：延长交于点BE AC本题考查位似和轴对称的性质、相似三角形的判定与性质，理解题中所给定义，熟练掌握轴对称性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键．19、（2022·江苏南通·中考真题试卷）定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于。
中考数学阅读理解型题赏析
中考阅读理解型题赏析 易良斌（特级教师）易良斌，任教于某某闸弄口中学．2001年参加国家级骨干教师培训.辅导学生参加全国数学竞赛多次获奖．在全国省级以上教育刊物上发表论文200余篇．阅读理解型题，内容丰富，异于常规. 它源于课本，又高于课本．这类题目的特点是：题中给出一段材料，学生经过阅读，加以理解，在理解的基础上按照题目的要求作出解答．这类题一般有三种类型．一、迁移发展型——从提供的材料中，通过阅读理解其复杂的思想方法，将其概括抽象成数学模型，去解决类似或更高层次的另一个相关问题例1 （2007年·某某）提出问题：如图1，在四边形ABCD 中，P 是AD 边上任意一点，△PBC 的面积与△ABC 和△DBC 的面积之间有什么关系？探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手．（1）当AP=21AD 时（如图2），因为△ABP 和△ABD 可视为高相等，故.S 21S ,S 21S CDA CDP ABD ABP ∆∆∆∆==同理，-=--=--=∴∆∆∆∆∆ABCD CDA ABD ABCD CDP ABP ABCD PBC S S 21S 21S S S S S 四边形四边形四边形.S 21S 21)S S (21)S S (21ABC DBC ABC ABCD DBC ABCD ∆∆∆∆+=---四边形四边形 （2）当AP=AD 31时，试探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程． （3）当AP=61AD 时，S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系为：．（4）一般地，当AP=n1AD （n 表示正整数）时，试探求S △PBC 与S △ABC 和S △DBC 之间的关系，写出求解过程． 解：只要仿照（1）的步骤，就能顺利求解．略．评析：此类问题，常常是先给出问题背景，且在问题背景中蕴含某种变化规律或结论．它要求通过阅读与理解，不仅要归纳、猜想出问题背景所蕴含的规律或结论，还要应用所蕴含的规律或结论去解答后面提出的新问题．通常，通过阅读有关的材料，就能获得解决问题的思路．二、判断概括型——通过阅读理解，对提供的材料进行归纳，加工提炼后，作出解答例2 （2007年·某某）如图3，菱形、矩形与正方形的形状有差异．我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”．（1）设菱形相邻两个内角分别为m °和n °，将菱形的“接近度”定义为|m-n|．于是，|m-n|越小，菱形越接近于正方形．①若菱形的一个内角为70°．则该菱形的“接近度”等于．②当菱形的“接近度”等于时．菱形是正方形．（2）设矩形相邻两边长分别是a 和b ．将矩形的“接近度”定义为｜a-b ｜，于是|a-b|越小，矩形越接近于正方形．这种说法是否合理？若不合理，请给出矩形“接近度”一个合理的定义．解：略．评析：这类题目的结构一般为：给出一段阅读材料，通过阅读，将材料所给的信息加以归纳整理，在此基础上，按照题目的要求进行推理解答.三、方法模拟型——通过阅读理解，模拟提供的材料中所述的方法去解决类似的问题例3 （2007年·某某）已知直角梯形ABCD 中AD ∥BC ，∠C=90°，CD=6cm ，如图4．动点P 、Q 同时从点B 出发．点P 沿B →A →D →C 的路线运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止．两点运动的速度都是lcm/s ．而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C ．经过t s ，△BPQ 的面积为y cm 2（如图5）．分别以t 、y 为横、纵坐标建立直角坐标系．已知点P 在AD 边上从A 运动D 时，y 与t 的函数图象是图6中的线段MN ．（1）分别求出梯形中BA 、AD 的长；（2）写出图6中M 、N 两点的坐标．解：解决问题的关键在于理解图6中线段MN 的几何意义．应用数形结合思想，可使面积、方程、函数有机结合与转化．（1）设动点出发t 's 后，点P 到达点A 且点Q 正好到达点C ，则BC=BA=t 'cm ．由图6，S △BPQ =.306t 21=⨯'⨯故t '=10．则BA=10cm ．自A 点作AE ⊥BC 于E ，则AE=6cm ，由勾股定理，BE=8cm ，从而AD=2cm.（2）可得两点坐标为M （10，30），N （12，30）．评析：应耐心细致地读题．碰到较长的语句，要在重点词、数据下注上一些记号（如加点、划线等），帮助阅读理解．必须弄清每一个名词、概念，分析每一个已知条件和结论的数学意义，挖掘实际问题对结论的限制等隐含条件．为了避免数据处理的混乱，可运用表格（或图形）处理数据，便于寻找数量关系．。
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中考数学阅读理解型试题透析（江苏海门育才中学仇建新）在数学课程改革如火如荼的今天，对学生阅读类题型试题的考查已被列为初中考试的一个热点，同时又是一个重点。
所谓数学阅读是指从数学的文字、符号、图形中获取意义的一个过程。
这一过程非常复杂，包括语言符号（文字、数学符号、术语、公式、图表等）的认知和认读、新概念的同化和顺应、阅读材料的理解和记忆等各种心理活动。
因此，处理阅读理解型试题除了要求具有一定的分析、综合、抽象、概括等演绎推理能力，还要求通过观察、猜想、归纳、联想，最终做出合理的判断和推理。
此类题型不仅可以考查学生的基础知识、基本概念的掌握情况，更能突出考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、书面表达能力、随机应变能力和知识迁移等基本能力。
数学阅读较文科类的阅读更高，它往往是建立在思维基础之上的逻辑性阅读、符号化阅读、图表化阅读等。
笔者结合历年的中考数学阅读类试题特征作一些透析，以利于同学复习时参考。
一、概念型的阅读题这类试题首先给出一个末知的定义、公式、定理、性质或计算法则，然后据此解决题目中提出的问题。
例1（2005南京市中考题）阅读下列材料：对于平面图形A，如果存在一个圆，使图形A上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半经，则称图形A被这个圆覆盖。
对于平面图形A，如果存在两个或两个以上的圆，使图形A 上的任意一点到其中某个圆的圆心的距离都不大于这个圆的半经，则称图形A被这些圆覆盖。
例1、图1的三角形被一个圆覆盖，图2的四边形被两个圆覆盖。
回答下列问题：（1）边长为1cm的正方形被一个半径为r的圆覆盖，则r的最小值是cm（2）边长为1cm的正三角形被一个半径为r的圆覆盖，则r的最小值是cm（3）长2cm，宽为1cm的矩形被两个半径都为r的圆覆盖，则r的最小值是cm，这两个圆的圆心距是cm。
分析：（1）（2）根据覆盖的定义，要使覆盖圆的半径最小，则这个圆为该多边形的外接圆，（3）要使矩形被两个相同圆覆盖，则必须把这个矩形分成两个相同的正方形，然后再用两个相同的圆分别覆盖这两个正方形，这两个圆分别是两个正方形的外接圆。
解（1）22（2）33（3）12二、解题方法型阅读题主要介绍题某一类题的解题方法，要求考生利用例题中的解题方法且能够模仿例题的解题步骤解答一道与例题类似的问题。
例2、（2005湖北）阅读下面的范例，按要求解答问题： 己知实数a ，b ，c 满足a 十b 十2c =1，023622=+++c ba。
求：a ，b ，c 的值。
解法1：由己知得a +b =1-2c (1)()023622=++-+c ab b a (2)将（1）代入（2）整理得0252242=+-+ab c c4522++=∴c cab (3)由（1）（3）可知，a ，b 是关于t 的方程()04522122=+++--c ct c t(4)的两个实数根()()014452421222≥+-=⎪⎭⎫⎝⎛++--=∆∴c c c c即()12≤+c ，而()012≥+c01=+∴c 即c =-1将c =-1代入（4） 得04932=+-t t2321==∴tt即a =b =23∴a =b =23，c =-1解法2：12=++c b a a +b =1-2c 设121222c c a t b t --=+=-， (1)023622=+++c ba()23622=++-+∴c ab b a (2)将（1）代入（2）得()02362212212212=++⎪⎭⎫⎝⎛--⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+---c t c t c c整理得01222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++c ct即()122=++c t∴t =0，c =-1将t ，c 的值同时代入（1）得3322a b ==，∴312a b c ===，以上解法1是构造一元二次方程解决问题，若两实数x 、y 满足x 十y =m ，xy =n 则x 、y 是关于t 的一元二次方程t 2一mt 十n =0的两个实数根，然后利用判别式求解。
以上解法2是采用“均值换元”解决问题，若实数x 、y 满足x 十y =m ，则可设x =2m 十t ，y =2m一t 。
一些问题根据条件，若合理利用这种技巧则能使问题顺利解决。
下面给出两个问题，解答其中任意一题： （1）用另一种方法解答范例中的问题。
（2）选用范例中的一种方法解答下列问题：己知实数a ，b ，c 满足a 十b 十c =0，a 2十b 2十c 2=12求证a =b =c 。
分析：本题范围是己知a ，b ，c 的两个关系式，求a ，b ，c 的值，用了构造一元二次方程法和均值换元法。
这两种解法实质上可以看作关于a 、b 、c 三元方程的特殊消元法。
本例除范例的解法外，还有其它解法，就是第（1）小题的要求，第（2）小题是模仿范例思路，解答同一问题的问题。
（1） 解：将本题看作是解关于a 、b 、c 的方程组：2221(1)360(2)2a b c a b c ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩ 由（1）得 2c =1-a -b将（3）代入（2）得()0231322=+--++b a b a即0232322=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-b a23==∴b a将a ，b 的值同时代入（3）得c =-1 （2） 证明：模拟解法2的思路。
6=++c b a c b a -=+∴6设6622c ca tb t --=+=-，(1) 22212a b c ++=()222120a b ab c ∴+-+-=(2)将(1)代入(2)得()22226621202c c t c ⎡⎤-⎛⎫---+-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦整理，得()223240c t -+=02t c ∴==，将t ，c 的值同时代入（1）得a =2，b =2∴a =b =c =2。
三、图象型的阅读题先结合图形，介绍这个图象中某个特殊点的横或纵坐标所包含的实际意义的例题，然后给出一个实际问题，要求考生能够根据给出的试题，模仿例题，作出相应的图象，利用图象上的某个特殊点的横或纵坐标纵的实际意义来解决给出给出的问题。
例3、（2005大连市）阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练，如图实线表示父亲离家的路程y （米）与时间x （分钟）的关系的函数的图象，虚线表示儿子离家的路程y （米）与时间x （分钟）的关系的函数的图象，由图象可知，他们在出发10分钟时第一次相遇，此离家400米；晨练了30分钟，他们同时到家。
”根据阅读材料给你们启示，利用指定的直角坐标系，如图或用其他方法解答下列问题：一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别是100千米/小时和20千米/小时，巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡运艇调头的时间忽略不计）（1）货轮从A港出发以后直到法B港与巡逻艇一共相遇几次？（2）出发多少时问巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A 港口多少千米？分析：命题人意图在于提示考生模仿例题的图象法解这道考题，因此必须根据题意作出相应的图形。
解：（1）由题意作出图象。
从图形上可以看出货轮从A港出发以后直到B 港口与巡逻艇一共相遇4次。
（2）设OC 所在的直线为y =mx 因为过点C （5，100），所以100=5m ， 所以m =20，所以y =20x 。
设EF 所在的直线为y =kx 十b ， 因为过点E （3，100），F （4，0）所以⎩⎨⎧=+=+100304b k b k ，解得⎩⎨⎧=-=400100b k所以y =-100x +400得方程组⎩⎨⎧+-==40010020x y x y ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3200310y x答：出发310小时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A 港口3200千米。
四、探索研究型阅读理解题探索研究型阅读理解题形式上是阅读题，实际要求更高，一个试题如同一个研究课题。
试题的设计更注重展示研究问题的思维过程，这种试题考查的知识点较多，要求的思想方法较高，这种题目大多以大题或压轴题的形式出现。
例4、（2006南宁）阅读下列南宁中学生研究性学习某课题组的统计材料：材料一：2006年南宁市摩托车全年排放有害污染物一览表：根据上表填空：（1）2006年南宁市区机动车（含摩托车）全年排放有害污染物共吨（保留两个有效数字，用科学记数法表示）：材料二：2006年元月10日，南宁市人民政府下达了停止办理摩托车入户手续的文件，此时市区居民摩托车拥有量乙达32万辆，据统计，每7辆摩托车排放的有害污染物总量等于一辆公交车排放的污染物，而每辆摩托车的运送能力是一辆公交车运交能力的8％根据上述材料解答下列问题：（2）假设从2006年起n年内南宁市的摩托车平均每年退役a万辆，同时增加公交车的数量，使新增公交车的运送能力总量等于退役的摩托车原有的运送能力的总量。
1。
求增加公交车的数量y与时间n（年）之间的函数关系，填空y= （不要求写出n的取值范围）2。
若经过5年，剩余的摩托车与新增的公交车排放污染物的总量等于32万辆摩托车排放污染物总量的60％，试求a 的值（精确到0.1）分析：本题的研究课题取自社会生活，关注的是环保问题，其中（1）不仅要用科学记数法法表示，还要注意精确度。
（2）1、注意等量关系，新增公交车的运送能力总量=退役的摩托车原有的运送能力总量。
2、应注意，排放污染物的总量间的相等关系。
解：（1）（11342+2830+2044）450%31532 3.210(÷=≈⨯吨）（2）1、na any 252%8=⨯=2、设每万辆摩托在每年排放的污染物总量为b ， 依题意得()%603275252532⋅=⨯⨯+-b b a b a化简得11a =648.5≈∴a （万辆）五、联系其它学科的阅读题这类题体现了数学的工具性作用，其它学科为数学提供了创设问题的情境，而数学为学科提供了解决问题的方法与思想。
例5、（2004湖北十堰）先阅读下面的材料，再解答下列问题：现代社会对保密要求越来越高，密码正在成为人们生活的一部分，有一种密码的明文（真实文）按计算机键盘字每排列分解，其中Q 、W 、E 、……、N 、M 这26个字母依次对应1、2、3……、25、26这26个自然数，见下表：给出了一个变换公式()()()'126332'1263131'8126323x x x x x x x x x x x x x x ⎧=≤≤⎪⎪+⎪=≤≤⎨⎪+⎪=+≤≤⎪⎩，是自然数，，被整除是自然数，，被除余是自然数，，被除余 将明文转换成密文：如：19173244=++→即R 变为L ：128311111=++→ 即A 变为S将密文转换成明文：如：()1021721321=--⨯→即X 变为P ()141813313=--⨯→即D 变为F（1）按上述方法将明文NET 译为密文（2）若按上述方法将明文译成的密文为DWN ，请找出他的明文。