离散数学 第10讲 分配格、有界格与有补格

三、布尔格(布尔代数)
布尔格的定义 如果格<L,∧,∨,0,1>,既是有补格,又是分配格,则称此格为布尔格(或有 补分配格),也叫做布尔代数. 例3 设S是非空有限集合, <ρ(S),∩,∪>为代数格 ∀A,B∈ρ(S)，A≤BA∩B=AA⊆B 由<ρ(S),∩,∪>诱导的偏序格是<ρ(S),⊆>. 说明<ρ(S),⊆>是布尔格. 证明 (1)<ρ(S),⊆>是格; (2)<ρ(S),⊆>是有界格, 因为
一、分配格
例2: 图中钻石格与五角格是分配格吗？
(a) b*(c⊕d)＝b*a＝b
(b) c*(b⊕d)＝c*a＝c
(b*c)⊕(b*d)＝e⊕e＝e
(c*b)⊕(c*d)＝e⊕d=d
所以b*(c⊕d) ≠ (b*c)⊕(b*d)
所以c*(b⊕d) ≠ (c*b)⊕(c*d)
一、分配格
定理1 设<L, ≤ >是偏序格，则<L, ≤ >是分配格当且仅当 (i) 在此格中不存在与钻石格同构的子格; (ii) 且不存在与五角格同构的子格。 推论:设<L, ≤ >是格，|L|<5, 则<L, ≤ >是分配格。
离散数学（二）
1
特殊格:分配格,有界格与有补格
主要内容:
11 分配格 2
有界格和有补格
3
布尔格(布尔代数)
重点和难点:
重点: 分配格,有界格与有补格 难点: 有补格的定义
一、分配格
分配格的定义：
设<L,*,⊕>是一个格, 若对于任何a,b,c∈L,有 a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c) 保交对保联可分配 (1)
二、有界格和有补格
有补格定义: 如果在一个有界格中，每个元素都至少有一个补元,则称这个格为有补格. 上图中(2)和(3)是有补格,而(1)不是有补格.
定理7 在有界格<L,∧,∨,0,1>中, 0 和 1互为补元, 且是唯一的.
证明: ∵0∧1=0，0∨1=1，∴0、1互为补元。设c也是0的补元， ∵0∨c =1， ∴必有c=1，故0的补元唯一。 同理可证1的补元也唯一。 定理8 在分配格中，如果元素a∈L有一个补元a' ，则此补元a'是唯一的. 证明: 设 b,c都是a的补元, 则a∧b=0=a∧c, a∨b=1=a∨c,分配格 满足消去律,可知b=c. 消去律: (即对于任意a,b,c∈L有(a∧b=a∧c)∧ (a∨b=a∨c)⇒b=c)
= b⊕((a*b) ⊕(b*c))
= b⊕(a*c) = b⊕(a*b) =b
二、有界格和有补格
全上/下界定义: 设<L, ≤>是一个格, 若∃a∈L, 对所有x∈L均有x≤a,称a为格<L, ≤>的全上界； 若∃b∈L, 对所有x∈L均有b≤x,称b为格<L, ≤>的全下界。 通常将全上界记为“1”，而将全下界记为“0”。 定理5 对于一个格<L, ≤>,若全上界存在,那么它是唯一的(若全下界 存在,则唯一). Note: 1 有限格必有全上界(全下界) 2 无限格不一定有全上界(全下界) 如<I, ≤ >无全上界. 有界格的定义: 具有全上界和全下界的格称为有界格,记作<L,∧,∨,0,1>.
<X,∧,∨>诱导的偏序格是 <X, >.说明<X, >是布尔格.
证明 (1) <X, >是格， (2) <X, >是有界格, 因为 全上界 T ∀P∈X,有PT 全下界 F ∀P∈X, 有FP. (3) <X, >是有补格，因任取 ∀P∈X, P的补元是┒P
(4) <X,∧,∨>是分配格,因∧和∨运算满足相互分配律，
一、分配格
定理3 设<L,*,⊕>是一个格，若*运算对⊕运算可分配，则⊕对 *也可分配，反之亦然。 证明: 设*运算对⊕运算可分配，即任取a,b,c∈L,满足 a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c), 现要证 a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c). (a⊕b)*(a⊕c) = ((a⊕b) * a)⊕((a⊕b) *c) = a ⊕ [(a*c)⊕(b*c)] = [a⊕(a*c)]⊕(b*c) = a⊕(b*c) 同理可由a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c)推出a*(b⊕c) = (a*b)⊕(a*c).
a⊕(b*c) = (a⊕b)*(a⊕c)
则称<L,*,⊕>是一个分配格。
保联对保交可分配
(2)
Note: 上述定义中(1)和(2)是等价的,只要一个成立,应用吸收律 可推出另外一个。因此,判断一个格是否是分配格只需判断 (1)或(2)其中之一. 例1:S={a,b,c}, <ρ(S),∩,∪>为分配格, 因为任取A,B,C∈ρ(S), (a) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C) (b) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
定理2 每个链都是分配格。
证明: 设<L,≤>是链，则<L,≤>必是格.任取a,b,c∈L,讨论以下 两种情况: (1) a≤b或a≤c; (2) a≥b和a≥c。 对于情况(1)有: a*(b⊕c)=a; (a*b)⊕(a*c)=a⊕a=a. 对于情况(2)有: a*(b⊕c)=b⊕c; (a*b)⊕(a*c)=b⊕c. 因此有a*(b⊕c)=(a*b)⊕(a*c). 所以,每个链都是分配格.
全上界 S
全下界 Ø
∀A∈ρ(S),有A⊆S
∀A∈ρ(S),有Ø⊆A;
(3)<ρ(S),⊆>是有补格, 因任取 A∈ρ(S), A的补元是S-A; (4)<ρ(S),⊆>是分配格, 因∩和∪运算满足相互分配律. 综上可知, <ρ(S),⊆>是一个布尔格。
三、布尔格(布尔代数)
例4 X={A|A是由变元p1,p2,…,pn,﹁,∧,∨,→,构成的合式公式集}。
一、分配格
定理4 设<L,*,⊕>是一个分配格，那么对于任意a,b,c∈L,若有a*b= a*c和a⊕b=a⊕c，则必有b=c。 证明: c = (a*c)⊕c = (a*b)⊕c = (a⊕c) *(b⊕c) = (a⊕b)*(b⊕c) = ((a⊕b)*b)⊕((a⊕b) * c) = b⊕((a*c) ⊕(b*c))
二、有界格和有补格
定理6 设<L, ≤>是一个有界格，则对于∀aA,都有 a∨1=1 a∧1=a (1是∨运算的零元,∧运算的幺元) a∨0=a a∧0=0 (0是∨运算的幺元,∧运算的零元) 证明: (1) 证 a∨1=1 因为a∨1 L且1是全上界，所以 a∨1≤1;又因 为 1 ≤ a∨1，所以 a∨1=1. (2) 证 a∧1=a 因为a ≤ a，a ≤ 1, 所以a ≤ a∧1;又因为 a∧1 ≤ a， 所以a∧1=a. (3)(4)类似可证.
综上可知, <X,>是一个布尔格。
三、布尔格(布尔代数)
由于布尔代数L中的每个元都有唯一的补元.求一个元素的补元素可以 看作一元运算,称为补运算.因此,布尔代数L可记为<L,∧,∨,',0,,其中'表
示求补运算.
定理8 设<L,≤>是布尔格(<L,∧,∨,0,1>)，对于所有a,b∈L,有 (1) (a′)′=a (2) (a∨b)′=a′∧b′ (3) (a∧b)′=a′∨b′ (4) a≤b⇔a∧b′=0⇔a′∨b =1 证明 (1) 由于a∧a′=1, a∨a′=0;根据交换律有, a′∧a=1, a′∨a=0;所以(a′)′=a; (2) (a∨b)∧(a′∧b′)=(a∧a′∧b′)∨(b∧a′∧b′)=0 (a∨b)∨(a′∧b′)=(a∨a′∨b′)∧(b∨a′∨b′)=1 根据补元的唯一性,可得(a∨b)′=a′∧b′
二、有界格和有补格
补元的定义: 设<L,∧,∨,0,1>是有界格a∈L,若存在b∈L使得a∨b=1和a∧b=0,则称 b为a的补元。
(1)中a,b,c都不存在补元,0与1互为补元. (2)中a,b,c中任意两个都互为补元, 0与1互为补元. (3)中a的补元都是b和c,而c的补元是a,0与1互为补元. Note: 在格中有的元素无补元,有的元素有补元,有的元素有多个补元.
作业： P239 习题7.3 9、13
谢谢同学们!
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二、有界格和有补格
例2 (1) S={a,b,c}, 偏序格是 <ρ(S), ⊆>， 全上界 S ∀A∈ρ(S),有A⊆S 全下界 Ø ∀A∈ρ(S), 有Ø⊆A (2) X={A|A是由变元p1,p2,…,pn, ﹁,∧,∨,→, 构成的合式公 式集}。< X, ∧,∨ >诱导的偏序格是 <X, >. 全上界 T ∀P∈X,有PT 全下界 F ∀P∈X, 有FP.