(完整版)复数的三角形式

复数的三角形式

1、复数的三角形式

(1)复数的幅角：设复数Z=a＋bi对应向量，以x轴的正半轴为始边，向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ，叫做复数Z的辐角，记作ArgZ，其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作argZ．

说明：不等于零的复数Z的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差2π的整数倍．

(2)复数的三角形式：r(cosθ＋isinθ)叫做复数Z=a＋bi的三角形式，其中．

说明：任何一个复数Z=a＋bi均可表示成r(cosθ＋isinθ)的形式．其中r为Z的模，θ为Z的一个辐角．

2、复数的三角形式的运算：

设Z=r(cosθ＋isinθ)，Z1=r1(cosθ1＋isinθ1)，Z2=r2(cosθ2＋isinθ2)．则

3、应用

例1求下列复数的模和辐角主值

（1）i +1 （2）

i -3 解：（1）

211122=+=+i 又

a b tan =θ=1，点（1,1）在第一象限。所以41πθ=+=）（i arg （2）

213322=-+=-）（）（i 有31

-=θtan ，点（

13-，）在第四象限，所以611623π

π

πθ=-=-=）（i arg

想一想：怎样求复数i z 43-=的辐角? 想一想：复数的三角形式有哪些特征？下列各式是复数的三角形式吗？

（1）θθcos sin i + （2）[]）（）（︒-+︒-30302sin i cos

（3））（6655ππsin i cos +

例2 把下列复数转化为三角形式

（1）-1；（2）i 2； （3）

i -3 解：（1）

2201+-=）（r =1，辐角主值为θ=π=-）（1arg ，所以

-1=ππsin i cos +