(完整版)复数的三角形式

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复数的三角形式

1、复数的三角形式

(1)复数的幅角:设复数Z=a+bi对应向量,以x轴的正半轴为始边,向量所在的射线(起点为O)为终边的角θ,叫做复数Z的辐角,记作ArgZ,其中适合0≤θ<2π的辐角θ的值,叫做辐角的主值,记作argZ.

说明:不等于零的复数Z的辐角有无限多个值,这些值中的任意两个相差2π的整数倍.

(2)复数的三角形式:r(cosθ+isinθ)叫做复数Z=a+bi的三角形式,其中.

说明:任何一个复数Z=a+bi均可表示成r(cosθ+isinθ)的形式.其中r为Z的模,θ为Z的一个辐角.

2、复数的三角形式的运算:

设Z=r(cosθ+isinθ),Z1=r1(cosθ1+isinθ1),Z2=r2(cosθ2+isinθ2).则

3、应用

例1求下列复数的模和辐角主值

(1)i +1 (2)

i -3 解:(1)

211122=+=+i 又

a b tan =θ=1,点(1,1)在第一象限。所以41πθ=+=)(i arg (2)

213322=-+=-)()(i 有31

-=θtan ,点(

13-,)在第四象限,所以611623π

π

πθ=-=-=)(i arg

想一想:怎样求复数i z 43-=的辐角? 想一想:复数的三角形式有哪些特征?下列各式是复数的三角形式吗?

(1)θθcos sin i + (2)[])()(︒-+︒-30302sin i cos

(3))(6655ππsin i cos +

例2 把下列复数转化为三角形式

(1)-1;(2)i 2; (3)

i -3 解:(1)

2201+-=)(r =1,辐角主值为θ=π=-)(1arg ,所以

-1=ππsin i cos +

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