哈尔滨工业大学理论力学第七版第10章 动量定理

i
v
n
m
n
i
v
i
M
C
r V
C
r r p = MV
意义？
C
结论： 系统的动量大小 = 系统的质量与质心速度的乘积
∗ 均质圆轮重Q，半径R，求：动量p
A
O
Q
v C
C
B
p
ω
Q =MV c = Rω g
p =?
Q
O
ω
已知杆长L，重Q， A , ϕ；求：动量p v
A
K
p = MV
Q = V g
B
C
v
A
C
(e)
* 投影式：
Ma = M&& = ∑ F x Ma = M&& = ∑ F y
Cx C Cy C Cz C
( e)
x ( e)
y (e )
Ma = M&& = ∑ F z
* 两类问题：
dv M aC = M = ∑Fτ(e) dt 2 vC n M aC = M = ∑Fn(e)
t
ρ
z
Fb(e) = 0 ∑
a
t C
∑Fn = maC
n
∑F = ma
t
t C
= man = 0 Fox c t = P Lα − Foy + P = ma c 6g
六、质心运动守恒
(e)
r r ∑ 1.当： F = MaC ≡ 0
r V = 常矢
C
* 质心作何种运动 ？
∗若：V （0）= 0，
C
* 质心作何种运动 ？
质心坐标守恒！
ω
2
= Q − mat = Q − mRα Foy c
Q ω=0 ∴ a = 0 1 a = OC ⋅ α = 6 Lα
n
t
α 角速 度为0，角加速度为 ，求此时O的约束力 取杆： 受力分析 2L / 3 L/3 运动分析 FOx o C
A
C
均质杆在图示位置无初速地释放时，
P
α
B
C
F
Oy
据质心运动定理
1，已知质心运动，求外力 2，已知外力，求质心运动
—— 微分 —— 积分
∗ 均质圆轮重Q，半径R，求：O处的约束力
A
取轮：受力分析、运动分析
∑Fn = maC
n
F
Ox
O
a
n C
= man
∑F = ma
t
t C
ω
α
F
Oy
+ Q = mat −FOy c
a
t C
得：
= − man = −mR Fox c
运动分析
ϕ
∑F ≡ 0
(e) x
∴ p = 常量
x
动点：小棱柱 动系：大棱柱
a e
r r r V = V +V
r
v
e
F
N
ϕ
M (−v)+mvax =0
M (−v) + m(v cos ϕ − v) = 0 ve
r
F
N
ϕ
得：
( M + m)v = m cos ϕ v
t 0
S
r
( M + m ) ∫ vdt = m cos ϕ ∫ v dt
—— 积分形式
mv
2
* 投影式
d ( mv ) = F x x dt d ( mv ) = F y y dt d ( mv ) = F z z dt
* 思考：
mv2x − mv1x = I x = ∫ Fxdt
mv2 y − mv1y = I y = ∫ Fy dt mv2z − mv1z = I z = ∫ Fz dt
第十章 动量定理
* 普遍定理之一：
动 量 定 理
* 任务： 动量的改变与力之间的关系， 并研究动量定理的另一重要形式 —— 质心运动定理
一、动量 1，质点 矢量
r r p = mv
瞬时量 绝对量
m
r v
⋅ 单位： kg⋅m/s
v
2，质点系
1
r r p = ∑m v r r p = MV
i
C
m
m
1
V
C
C
Q
ϕ
V
B
ω
A
L
B
求：杆AB的动量
G
p = MV
C
v
C
？
ω
* 轮作纯滚动
O
•
vo
求：轮的动量
R
W
p = MV
O
W = Rω g
vA
求：系统的总动量
E
vr E v ω W
O
l
C
C
2W ϕ
B
vB
2W W + VB g VC g
W
W p= V g
+ E
V = V = V = 2V = rω
B C A E
o
ϕ
m
x
均质杆长2 L，初始铅垂静止，无初速倒下， 地面光滑，求：B点的运动轨迹
取杆
Q
y
∑F x = 0
且初始静止
B
∴xC = 常量
x
y
= L cosϕ B
B
= 2Lsin ϕ
2 2 B 2 B 2
C
x+ y L (2L)
=1
A
ϕ
P
O
x
F
A
B 点的轨迹为一椭圆
ϕ
∑F ≡ 0
(e) x
∴ p = 常量 = 0
x
又：初始静止
∴x = 常量
C
v
e
F
N
ϕ
设大棱柱右移 ∆x
y
质心位置线
* 下滑前
M x + mx x = M +m
A C1
B
ϕ
* 下滑后
xC2 =
M (x + ∆x) + m[ xB + ∆x + (a − b)]
A
M +m
x =x
C1
∆x
b
C2
m(a − b) ∆x = − M +m
t 0 r
∫ vdt = S
t 0
a −b ∫ v dt = cosϕ
t 0 r
m(a − b) ∴S = (M + m)
五、质心运动定理
r r(e) dp = ∑F dt
r r p = MV
C
r r ∑ F = M aC
(e)
质心运动定理 * 结论：内力不能改变质心的运动！
r r ∑ F = M aC
2.当： ∑F x = M
(e)
Cx C
a
Cx
≡0
& V = x = 常量
* 质心作何种运动？
∗若：V （0）= 0，
Cx
* 质心作何种运动？
质心坐标在x方向守恒！
3，守恒现象
* 力偶对物体的作用
M
C
物体的运动状态？
* 大棱柱质量M，小棱柱质量m，水平面光滑。 求：小棱柱滑到大棱柱底部时，大棱柱的位移 （设初始静止） 取系统 受力分析
t2 t1
—— 元冲量 —— 冲 量
r r I = ∫ F • dt
三、动量定理 1，质点 r r dv r Qma = m = F dt
v
1
r ∑F
m
mr
r a
v
r r r )=F dt d r ∴ (mv) = F d (m v dt
—— 微分形式
m
mv
v
I
2
1
r r −m r I = mv 2 v1
t1 t1 t2
t2
t1 t2
能否向自然轴系投影？
2，质点系 任取一质点 m i 应用微分形式：
(e) (i) i i
r r )= F dt + r dt d (mi v i F F r ) = ∑ r ( e ) dt + ∑ r (i ) dt ∑ d ( mi v i Fi Fi r
r r mi F
2x 1x 2y 1y 2z 1z
(e) x (e) y
(e) z
四、动量守恒
r dp 1，当： = dt
r ∑F
(e)
≡0
r p
2，当：
2
r = p = 常矢
1
—— 质系动量守恒
d
p
=
x
dt
2x
= ∑Fx ≡ 0
(e)
p
p
1x
= 常量
—— 质系动量在x方向守恒
* 大棱柱质量M，小棱柱质量m，水平面光滑。 求：小棱柱滑到大棱柱底部时，大棱柱的位移 （设初始静止） 取系统 受力分析
(i ) i
(e)
i
r r r dp = ∑F dt = ∑dI
( e)
r ( e) dp = ∑F dt
r r p − p = ∑I
2 1
—— 微分形式
(e)
—— 积分形式
* 投影式：
d d d
P
dt
x
= = =
∑F ∑F ∑F
(e) x
P
dt
y
(e) y (e) z
P
dt
z
P − P = ∑I P − P = ∑I − P = ∑I P
7W p= 2g
rω
求：系统的总动量