高中数学导数与函数的极值、最值考点及经典例题题型讲解

导数与函数的极值、最值

考纲解读 1.以基本初等函数为背景，求函数的极值或极值点；2.求基本初等函数在闭区间上的最值；3.利用极值、最值、研究不等关系或求参数范围．

[基础梳理]

1．函数的极值与导数的关系 (1)函数的极小值与极小值点：

若函数f (x )在点x ＝a 处的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，则点a 叫作函数的极小值点，f (a )叫作函数的极小值．

(2)函数的极大值与极大值点：

若函数f (x )在点x ＝b 处的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，则点b 叫作函数的极大值点，f (b )叫作函数的极大值．

2．函数的最值与导数的关系 (1)函数f (x )在[a ，b ]上有最值的条件：

如果在区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．

(2)求y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y ＝f (x )在(a ，b )内的极值．

②将函数y ＝f (x )的各极值与端点处的函数值f (a )，f (b )比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．

[三基自测]

1．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

答案：A

2．函数f (x )＝x 33＋x 2

－3x －4在[0,2]上的最小值是( )

A ．－173

B ．－103

C ．－4

D ．－643

答案：A

3．设函数f (x )＝2

x ＋ln x ，则( )

A ．x ＝1

2为f (x )的极大值点

B ．x ＝1

2为f (x )的极小值点

C ．x ＝2为f (x )的极大值点

D ．x ＝2为f (x )的极小值点 答案：D

4．f (x )＝x ＋cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π

2的值域为________． 答案：⎣⎡⎦

⎤1，π

2 5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)函数y ＝x 2＋1

x 的极小值点为__________．

答案：x ＝

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[考点例题]

考点一 利用导数求函数极值问题|易错突破

[例1] (1)设a ∈R ，若函数y ＝e x ＋ax ，x ∈R 有大于零的极值点，则( ) A ．a ＜－1 B ．a ＞－1 C ．a ＞－1

e

D ．a ＜－1

e

(2)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( ) A ．11或18 B ．11 C ．18

D ．17或18

(3)设a ＞0，函数f (x )＝1

2x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )，求f (x )的极值．

[解析] (1)∵y ＝e x ＋ax ，∴y ′＝e x ＋a . ∵函数y ＝e x ＋ax 有大于零的极值点， 则方程y ′＝e x ＋a ＝0有大于零的解， ∵x ＞0时，－e x ＜－1，∴a ＝－e x ＜－1.选A.

(2)∵函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，∴f (1)＝10，且f ′(1)＝0，f ′(x )

＝3x 2＋2ax ＋b ，

即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝3，或⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝4，

b ＝－11. 而当⎩

⎪⎨⎪⎧

a ＝－3，

b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x －1)2，x ∈(－∞，1)，f ′(x )＞0，x ∈(1，

＋∞)，f ′(x )＞0，

故舍去．

∴f (x )＝x 3＋4x 2－11x ＋16，∴f (2)＝18.选C. (3)f ′(x )＝x －(a ＋1)＋a x

＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x

.

①当0＜a ＜1时，若x ∈(0，a )，f ′(x )＞0， 函数f (x )单调递增；

若x ∈(a,1)，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(1，＋∞)，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝a 是f (x )的极大值点，x ＝1是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (a )＝－1

2a 2＋a ln a ，

极小值是f (1)＝－1

2

.

②当a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2

x

＞0，

所以函数f (x )在定义域(0，＋∞)内单调递增， 此时f (x )没有极值点，故无极值．

③当a ＞1时，若x ∈(0,1)，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增； 若x ∈(1，a )，f ′(x )＜0，函数f (x )单调递减； 若x ∈(a ，＋∞)，f ′(x )＞0，函数f (x )单调递增． 此时x ＝1是f (x )的极大值点，x ＝a 是f (x )的极小值点， 函数f (x )的极大值是f (1)＝－1

2，

极小值是f (a )＝－1

2

a 2＋a ln a .

综上，当0＜a ＜1时，f (x )的极大值是－1

2a 2＋a ln a ，

极小值是－1

2

；

当a ＝1时，f (x )没有极值；