最新第四讲 数学归纳法证明不等式学习资料
合集下载
第四讲数学归纳法证明不等式知识归纳课件人教A选修4-5
[例3] 用数学归纳法证明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整 除．
[证明](1)当n＝1时，1×2×3显然能被6整除． (2)假设n＝k时，命题成立， 即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除． 当n＝k＋1时，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝ 2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1) 因为2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3 ＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即当n＝k＋1时命题 成立． 由(1)、(2)知，对任意n∈N＋原命题成立．
a b1 1bk 1 1
a …a b2 1bk 1 2
bk 1bk 1 k
≤a1·1－bb1k＋1 ＋ a2·1－bb2k＋1 ＋ … ＋
ak·1－bbkk＋1＝a1b1＋a12－b2＋bk＋…1 ＋akbk，
a a a 从而
b1 1
b2 2
……
bk k
a bk 1 k 1
≤(a1b1＋a12－b2＋bk＋…1 ＋akbk)1－bk＋1a
(2)(i)假设{xn}是递增数列．由 x1＝0，得 x2＝c，x3＝－ c2＋2c.
由 x1＜x2＜x3，得 0＜c＜1.
由 xn＜xn＋1＝－x2n＋xn＋c 知，
对任意 n≥1 都有 c，
①
注意到
c－xn＋1＝x2n－xn－c＋ c＝(1－ c－xn)( c－xn)，②
由①式和②式可得 1－ c－xn＞0，即 xn＜1－ c.
b1 1
… b2
2
bk k
≤a1b1＋a2b2＋…
＋akbk.
当 n＝k＋1 时，已知 a1，a2，…，ak，ak＋1 为非负实数，
b1，b2，…，bk，bk＋1 为正有理数，
高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.1 数学归纳法课前导引素材 新人教A版选修45
4.1 数学归纳法
课前导引
情景导入
如果在教室旁边马路上摆上一排砖,那么你有什么办法让这些砖全部倒下?当然,我们可以一块块地把它们放倒(这是完全归纳法),有更好的办法吗?
如果我们放倒第一块,同时保证这排砖相邻两块之间的距离保持在前一块砖倒下能碰倒后一块砖,那么就能使这排砖全部倒下.这实际上就是数学归纳法的基本原理.你能由此得出数学归纳法的原理吗?
知识预览
1.数学归纳法:
证明一个命题对于不小于某正整数n的所有整数n都成立,有以下两个步骤:
(1)证明n=n0时命题成立;
(2)假设n=k(k∈N*,且k≥n0)时命题成立,证明n=k+1时命题也成立.
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0的所有正整数都成立.
2.用数学归纳法证题时应注意的几个问题:
(1)注意奠基步n0是多少;
(2)第二步证明n=k+1时必须用上归纳假设,否则不是数学归纳法.
1。
新教材高中数学第4章4.4数学归纳法课件苏教版选择性必修第一册
【解析】①当 n＝1 时，左边＝1，右边＝1×22 2＝1，等式成立．
②假设当 n＝kk∈N*，k≥1
时等式成立，即 13＋23＋33＋…＋k3＝[ k(k 1)]2 . 2
那么当 n＝k＋1 时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝[ k(k 1)]2 ＋(k＋1)3 2
＝(k＋1)2·k42＋k＋1
＝11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1. 由归纳假设可知 11× 11k+1+122k－1 ＋133×122k－1 能被 133 整除，即11k＋2 ＋
122k＋1 能被 133 整除．所以 n＝k＋1 时结论也成立， 综上，由①②得，11n＋1 ＋122n－1能被 133 整除．
C．3k1＋1
D．3k1＋3
【解析】选 B.当 n＝k(k∈N*)时，所假设的不等式为 1 k＋1
＋1 k＋2
＋…＋31k
5 ≥6
，
当 n＝k＋1 时，要证明的不等式为 1 k＋2
＋1 k＋3
＋……＋31k
＋1 3k＋1
＋1 3k＋2
＋
1 3k＋3
5 ≥6
，
故需添加的项为 1 3k＋1
＋1 3k＋2
(n∈N*) .
【解析】①当 n＝1 时，11n＋1 ＋122n－1＝112＋12＝133 能被 133 整除，所以 n＝1 时结 论成立，
②假设当 n＝k(k∈N*) 时，11k＋1 ＋122k－1 能被 133 整除，
那么当 n＝k＋1 时，
11k＋2 ＋122k＋1 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×122 ＝11k＋1 ×11＋122k－1 ×11－122k－1 ×11＋122k－1 ×122
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式4.2用数学归纳法证明不等式课件新人教A版选修4_5
(3)明确用上归纳假设后要证明的不等式应是怎样 的，然后通过运用放缩法、分析法、比较法、综合法等 方法进行证明．
(4)有些不等式先用分析法转化为另一个较为简单的 不等式然后再用数学归纳法证明．
根据(1)和(2)可知对任何 n∈N＋， n2＋n＜n＋1 都成 立．
则对上述证法的说法中： (1)过程全部正确．( ) (2)n＝1 验证不正确．( ) (3)归纳假设不正确．( ) (4)从 n＝k 到 n＝k＋1 的推理不正确．( )
解析：在证明n＝k＋1时没有用到归纳假设故(4)正 确，(1)、(2)、(3)不正确．
时，应推证的目标不等式是_______________________．
解析：把n＝k时的不等式中的k换成k＋1即可．
答案：
1 22
＋
1 32
＋…＋
1 （k＋1）2
＋
1 （k＋2）2
＞
1 2
－
1 k＋3
5．证明n＋2 2<1＋12＋13＋…＋21n<n＋1(n>1)，当n＝ 2时，要证明的式子为____________________．
[变式训练]
若不等式
1 n＋1
＋
1 n＋2
＋
1 n＋3
＋…＋
1 3n＋1
＞
a 24
对一切正整数n都成立，求正整数a的最大
值，并证明你的结论．
解：当n＝1时，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＞2a4，
则2264＞2a4，所以a＜26.
又a∈N＋，所以取a＝25.
下面用数学归纳法证明
1 n＋1
＋
答案：B
3．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整
数学归纳法证明不等式
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平面上有n( n N , n 3)个点, 其中任何三点都不在 同一条直线上, 过这些点中任意两点作 直线, 这样的直线 共有多少条? 证明你的结论.
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
例2.证明不等式sin n n sin ( n N )
例3.证明贝努利不等式: 如果x是实数, 且x 1, x 0, n为大于1的自然数, 那么有 (1 x ) 1 nx
n
注： 事实上， 把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立 . 当 是实数,且 或 0 时 ,有 (1 x ) ≥ 1 x ( x 1) 当 是实数,且 0 1 时 ,有 (1 x ) ≤ 1 x ( x 1)
若 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 都相等 ,则它们都是 1. 其和为 k 1 ,命题成立.
若这 k 1 个正数 a1 , a2 , , ak , ak 1 不全相等 , 则其中 必有大于 1 的数,也有小于 1 的数(否则与 a1a2 ak ak 1 1 矛盾).不妨设 a1 1, a2 1 „„
一.用数学归纳法证明等式问题
通过计算下面的式子, 猜想出 1 3 5 ( 1)n ( 2n 1) 的结果, 并加以证明. 1 3 _____;1 3 5 ______ 1 3 5 7 ______;1 3 5 7 9 _______
第4讲1数学归纳法课件人教新课标
1234
解析 答案
2.用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋2 (n∈N＋，a≠1)，在验 1－a
证n＝1成立时，左边所得的项为
A.1
√ B.1＋a＋a2
C.1＋a
D.1＋a＋a2＋a3
解析 当n＝1时，n＋1＝2，故左边所得的项为1＋a＋a2.
1234
解析 答案
3.用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈N)能被8整除，当n＝k＋1时，34(k ＋ 1) ＋ 1 8＋1×(3542k(＋k 1＋＋52k＋11) )－5＋6×512k＋应1(或25变×(34形k＋1＋为 _5_6_×__3_4_k_＋__1_)________5_2_k_＋__1_)＋_______________________
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
学习目标 1.了解数学归纳法的基本原理. 2.了解数学归纳法的应用范围. 3.会用数学归纳法证明一些简单问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点 数学归纳法
在学校，我们经常会看到这样的一种现象：排成一排的自行车，如果 一个同学将第一辆自行车不谨慎弄倒了，那么整排自行车就会倒下. 思考1 试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？ 答案 ①第一辆自行车倒下； ②任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.
4.用数学归纳法证明1＋3＋…＋(2n－1)＝n2(n∈N＋).
证明 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1，等式成立.
(2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，
即1＋3＋…＋(2k－1)＝k2，
那么，当n＝k＋1时，
1＋3＋…＋(2k－1)＋[2(k＋1)－1]＝k2＋[2(k＋1)－1]＝k2＋2k＋1＝(k＋
第四讲 数学归纳法证明不等式 章末复习方案 课件(人教A选修4-5)
由 a2＝3，得 a3＝a2－2a2＋1＝4； 2 由 a3＝4，得 a4＝a2－3a3＋1＝5. 3 由此猜想：an＝n＋1(n∈N*)．
(2)①用数学归纳法证明： 当 n＝1 时，a1≥3＝1＋2，不等式成立； 假设当 n＝k 时，不等式成立，即 ak≥k＋2， 那么当 n＝k＋1 时， ak＋1＝a2－kak＋1＝ak(ak－k)＋1 k ≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1 ≥k＋3＝(k＋1)＋2， 也就是说，当 n＝k＋1 时，ak＋1≥(k＋1)＋2. 综上可得，对于所有 n≥1，有 an≥n＋2. ②由 an＋1＝an(an－n)＋1 及①，对 k≥2，有
xk 2 1 则 < ＋ 2 2 2k 1 xk> 1 1 2＋k
①
②
因为①、②不是同向不等式，所以由递推式无法完成 由 k 到(k＋1)的证明， 到此好像“山重水复疑无路”， 证题 思路受到阻碍．
受阻原因分析： xk 1 1 要利用递推式 xk＋1＝ ＋x ，只要找出关系式x <A，才有 2 k k 可能推导下去． 1 因此，只有寻觅出 xk> A 这样一个条件，才可以接通思 路．当注意到前面已证明 xn> 2以后，问题就可以解决了．思 路受阻的原因就在于不会借用前面已经证明的结论．事实上，
1 5 n0＝2 时，1＋ > ，再用数学归纳法证明． 3 2 答案：2
6．若f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，则f(k＋1)与f(k)的递推 关系式是f(k＋1)＝________. 解析：∵f(k)＝12＋22＋…＋(2k)2， ∴f(k＋1)＝12＋22＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2， ∴f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2. 答案：f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
高中数学第四讲用数学归纳法证明不等式一数学归纳法课件新人教A版选修4
用数学归纳法证明几何命题 平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且 每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分 成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆， 则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这 时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立． 根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋212＋13－14＋…＋2k1－1－21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 1＋k＋1 2＋…＋21k＋2k1＋1－2k1＋2 ＝k＋1 2＋k＋1 3＋…＋2k1＋1＋2k1＋2， 即当 n＝k＋1 时等式也成立． 由(1)和(2)知，等式对一切 n≥1，n∈N＋均成立．
(x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋2)2·(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)(x＋1)k＋1＋(x＋1)(x＋2)2k－1－(x＋1)·(x＋2)2k－1＋(x＋ 2)2(x＋2)2k－1 ＝(x＋1)[(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1]＋(x2＋3x＋3)·(x＋2)2k－1.
用数学归纳法证明整除问题的关键点 (1)用数学归纳法证明整除问题的关键是利用增项、减项、拆项、 并项、因式分解等恒等变形的方法去凑假设、凑结论，从而利 用归纳假设使问题获证． (2)与 n 有关的整除问题一般都用数学归纳法证明，其中关键问 题是从 n＝k＋1 时的表达式中分解出 n＝k 时的表达式与一个 含除式的因式或几个含除式的因式．
：数学归纳法证明不等式
第四讲：数学归纳法证明不等式数学归纳法证明不等式是高中选修的重点内容之一，包含数学归纳法的定义和数学归纳法证明基本步骤，用数学归纳法证明不等式。
数学归纳法是高考考查的重点内容之一，在数列推理能力的考查中占有重要的地位。
本讲主要复习数学归纳法的定义、数学归纳法证明基本步骤、用数学归纳法证明不等式的方法：作差比较法、作商比较法、综合法、分析法和放缩法，以及类比与猜想、抽象与概括、从特殊到一般等数学思想方法。
在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、分析； （3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换。
例题精讲例1、用数学归纳法证明n n n n n 212111211214131211+++++=--++-+-分析：该命题意图：本题主要考查数学归纳法定义，证明基本步骤 证明：1︒当n=1时，左边=1-21=21，右边=111+=21，所以等式成立。
2︒假设当n=k 时，等式成立，即k k k k k 212111211214131211+++++=--++-+-。
那么，当n=k+1时，221121211214131211+-++--++-+-k k k k 221121212111+-+++++++=k k k k k )22111(1212131214131211+-+++++++++=++-+-k k k k k k )1(21121213121+++++++++=k k k k k这就是说，当n=k+1时等式也成立。
综上所述，等式对任何自然数n 都成立。
点评：数学归纳法是用于证明某些与自然数有关的命题的一种方法．设要证命题为P （n ）．（1）证明当n 取第一个值n 0时，结论正确，即验证P （n 0）正确；（2）假设n=k （k ∈N 且k≥n 0）时结论正确，证明当n=k+1时，结论也正确，即由P （k ）正确推出P （k+1）正确，根据（1），（2），就可以判定命题P （n ）对于从n 0开始的所有自然数n 都正确．要证明的等式左边共2n 项，而右边共n 项。
第四讲数学归纳法证明不等式
第四讲数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种证明数学命题的方法，尤其适用于证明关于自然数的性质的命题。
在数学归纳法中，我们首先证明当n取一些初始值时命题成立，接着假设当n=k时命题成立，最后通过这个假设证明当n=k+1时命题也成立。
本文将介绍如何使用数学归纳法证明不等式。
首先，不等式是数学中常见的命题形式。
它常用来描述两个数之间的大小关系，比如大于、小于、大于等于、小于等于等。
我们可以使用数学归纳法来证明一些给定的不等式对于所有自然数n都成立。
证明不等式的数学归纳法一般包括以下三个步骤：第一步：证明基础情况。
也就是证明当n取一些初始值时不等式成立。
一般选择n=1或者n=0作为初始值，这样可以直接验证不等式的成立性。
第二步：归纳假设。
假设当n=k时不等式成立，这就是我们的归纳假设。
我们可以利用这个假设来证明当n=k+1时不等式也成立。
第三步：证明递推关系。
利用归纳假设，通过数学推导证明当n=k+1时不等式成立。
下面我们通过一个具体的例子详细说明如何使用数学归纳法证明不等式。
例1：证明对于所有自然数n，都有以下不等式成立：1+2+3+...+n≤n^2首先，我们验证基础情况。
当n=1时，左边的和式等于1，右边的平方等于1，显然1≤1成立，所以基础情况成立。
接下来，我们假设当n=k时不等式成立，即1+2+3+...+k≤k^2然后，我们通过归纳假设证明当n=k+1时不等式也成立。
需要注意的是，在证明不等式时，我们需要根据不等号的方向进行推导。
我们将左边的和式展开，得到1+2+3+...+k+(k+1)。
由于归纳假设，1+2+3+...+k≤k^2，所以左边的和式可以写成k^2+(k+1)。
接下来，我们要证明这个式子小于等于(k+1)^2，即k^2+(k+1)≤(k+1)^2我们展开右边的平方，得到(k+1)^2=k^2+2k+1、显然，右边的(k+1)^2大于等于k^2+(k+1)，所以我们得到了不等式的证明。
高中数学人教A版选修第四讲二用数学归纳法证明不等式课件
情感态度与价值观
培养学生严密的逻辑思维能力 和严运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努利不等式).
难点
灵活运用数学归纳法.
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 四讲 二 用 数 学归 纳法证 明不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
例1 观察下面两个数列，从第几项起an 始终小于bn？证明你的结论. {an=n2}:1,4,9,16,25,36,…; {bn=2n}:2,4,8,16,32,64,…
新课导入
回顾旧知
数学归纳法的步骤： (1)证明当n=n0时命题成立； (2)假设当n=k时命题成立，证明 n=k+1时命题也成立.
教学目标
知识与能力
会运用数学归纳法证明含有任意 正整数n的不等式(包括贝努力不等式).
过程与方法
通过例题的学习，能够证明含有 任意正整数n的不等式(包括贝努力不 等式).
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 四讲 二 用 数 学归 纳法证 明不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
高 中 数 学 人 教A版选 修4-5 第 四讲 二 用 数 学归 纳法证 明不等 式 课 件 (共3 0张PPT )
证明 (1)当n=1时，左边=右边，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1) 时命题成立,即 有│sinkθ│≤k│sinθ│
证明 (1)当n=2时，由x ≠ 0得 (1+x)2>1+2x,不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立， 即有(1+x)k>1+kx. 当n=k+1时， （1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx） >1+(k+1)x
第四讲 数学归纳法证明不等式
二、用数学归纳法证明不等式
探究：利用例6的结论，考虑n个正数 a1 a2 an , , , n a a a n a a a n a a a 1 2 n 1 2 n 1 2 n (a1 , a 2 , , a n为正数),你能得出n个正数 的均值不等式吗？
二、用数学归纳法证明不等式
1 1 1 n 例7.证明： 1+ + + + n > . 2 3 2 1 2
二、用数学归纳法证明不等式
例3.观察下面两个数列，从第几项起an始终小 于bn？证明你的结论. 4 4 9 8 16 25 16 32 36 64 49 64 81 …
an=n2 1 an=2n 2
128 256 512 …
二、用数学归纳法证明不等式
例4.证明不等式|sinnθ|≤n|sinθ|(
第四讲
数学归纳法证明不等式
+
例2.平面上有n(n N , n 3)点，其中任何 三点都不在同一条线上.过这些点中任意两 点做直线，这样的直线共有多少条？证明 你的结论.
思考：结合上述证明过程，你认为数学归纳法 有什么特殊作用？
练习
用数学归纳法证明下列各题 (1)1+3+5+…+(2n-1)=n2; (2) 32n+2-8n-9对一切正整数n能被64整 除; (3)凸n边形多少条对角线？证明你的结论.
2.3数学归纳法
证题步骤： （1）当n取缔一个值n0时结论正确； （2）假设当n=k（k∈N*，且k≥ n0时结 论正确,证明当n=k+1时结论也正确. 那么，命题对于从 n0时开始的所有正整数 n都成立.
第四讲
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
以采用下面方法来证明其正确性：
1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ；
2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也
成立(归纳递推）.
用上假设，递推才真
由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！
注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
第四讲 数学归纳法证明 不等式
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 好的效果.
例 如:
sinn nsin (nN)
n2 2n(nN,n5) (1x)n 1nx(x 1,nN)
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可
下面用数学归纳法证明 (1)当n3时, f(3)13(33)0.而三角形没有 , 对
2 命题成 . 立 (2)假 设n当k时 命 题 成 ,即立凸 k边 形 的 对 角 线 的 条 数
f(k)1k(k3)(k3)当 . nk1时,k1边 形 是k边 在形 的 基 础 2
增 加 了 一 ,增边加 了 一 个Ak顶 1,增 点加 的 对 角 线 条点数 Ak1是 与顶
即它被前k条 面直线截k成 1段,其中每一段都把的 它所
原区域一分,为 也二 即使原区域数k目1增 . 加
f(k1)f(k)k1k2k2k1 2
k23k4(k1)2(k1)2
2
2
故当 nk1时,命题成 ,由(1立 )(2)可知 ,对任意正 n,命 整题 数成立
练习3：
有n个 圆 ,其 中 每 两 个 圆两 都点 ,并 相且 交每 于三 个 圆 不 相 交 于,同 求一 证 :这点 n个 圆 把 平 面 分 成 f(n)n2n2个部. 分
第二步"证 k到 k明 1",从 左端增加(的 B )项数
Ak .-21 B.2k
C.2k1 D.2k1
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平 面 上 n(n有 N,n3)个 点 ,其 中 任 何 三 点 都 同 一 条 直,过 线这 上些 点 中 任直 意线 两 ,这点 样作 的 直 共有多?少 证条 明你的. 结论
解 :这样 n条 的直线把平域 面数 分 f目 (n成 )为 n的 2n 区 2 2
下面用数学归纳法证明
(1)当 n1时 ,一条直线将平 部面 分 , f(1 分 )2成 ,
n1时命题. 成立
(2)假
设
当 nk(kN)时命题 Nhomakorabea成,即 立有f (k)
k2
k2, 2
当nk1时,第k1条直线与前 k条面直线k有 个不同交, 点
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
练习1: P50习题4.1 题5
解:n凸 边 形 的 对 :f(角 n)线 1n(n条 3)数 n (3). 2
一.用数学归纳法证明等式问题 通 过 计 算 下 ,猜面 想 1的 出 3式 5 子 (1)n(2n1) 的 结 ,并 果 加 以 . 证 明 13____1_3;5______ 1357____ 1_3_;579_______
解:上面四个式子的 别结 是 2,果 3,4分 ,5, 由 : 1 此 3 5 猜 ( 1 ) n ( 2 n 1 ) 想 ( 1 ) n n 下面用数学归纳法证明 : (1)当 n1时 ,式子左右两 1,即 边这 都时 等等 .于
(2)假设n当 k(k1)时等式,成 即立 135(1)k(2k1)(1)kk 当nk1时
例 1证 :n 3 明 5 n (n N )能6 够 整 . 被 除
特别提示: 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
练习.用数学归纳法证明: An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
课堂练习:
1.用 数 学 归 :1纳 aa2法 证 an1(明 a1)在 验
n1时 ,左 端 计 算(C所 ) 得 的 项 为
A.1 B .1 a C .1 aa2 D .1aa2a3
2.用 数 学 归:1纳 1 2 法 1 3 证 2明 n11n(nN,n1)
证明 :(1)当n1时,即一个圆把平个 面部 分分 成二
f(1)2,又n1时,n2n22,命题成立
(2)假设当n k时,命题成立,即k个圆把平面分成 f (k) k2 k 2个部分,那么由题意知第k 1圆 与前k个圆中每个圆交于两,点又无三圆交于同一 点, 于 是 它 与 其 它k交 于2k个 点, 把 它 分 成2k条 弧 而 每条弧把原区域分成 2块,因此这平面的总区域增 加2k块,即f (k 1) k2 k 2 2k (k 1)2 (k 1) 2, 即当n k 1时命题成立. 由(1)(2)可知对任意n N命题成立.
不 相 邻 顶 点 连 线原再 k边加形上的 一 A1A边 k,增 加 的 对 角 线 条
(k2)1k1
f(k1)1k(k3)k11(k2k2)
2
2
1(k1)(k2)1(k1)(k1)3
2
2
故 nk1时 ,命题成 ,由 (1立 ),(2)可知对n 任 N何 ,n3命题成 .
练习2: P50习题4.1 题6
例 2 .证明s不 in n 等 n si式 n (n N )
例3.证 明 贝 努 利 : 不 等 式 如 果 x是 实,且 数 x1,x0,n为 大1的 于自 然 , 那 么 有 (1x)n1nx
注：事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立.
二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两 ,从 个第 数几 列 a项 n始起 终小 bn?于 证明你的 . 结论
ann2 :1,4,9,16,25,36,49,64,81,; bn2n :2,4,8,16,32,64,12,825,651,2.
由数列的前,从 几第 5项 项猜 起 ,an想 bn, 即n22n(nN,n5)
1.验证第一个命题成立(即n＝n0第一个命题对应的 n的值，如n0＝1) (归纳奠基） ；
2.假设当n=k时命题成立，证明当n=k＋1时命题也
成立(归纳递推）.
用上假设，递推才真
由(1)、(2)知，对于一切n≥n0的自然数n都成立！
注意:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.
第四讲 数学归纳法证明 不等式
对于一些与无限多个正整数相关的命题,如果不易用 以前学习过的方法证明,用数学归纳法可能会收到较 好的效果.
例 如:
sinn nsin (nN)
n2 2n(nN,n5) (1x)n 1nx(x 1,nN)
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可
下面用数学归纳法证明 (1)当n3时, f(3)13(33)0.而三角形没有 , 对
2 命题成 . 立 (2)假 设n当k时 命 题 成 ,即立凸 k边 形 的 对 角 线 的 条 数
f(k)1k(k3)(k3)当 . nk1时,k1边 形 是k边 在形 的 基 础 2
增 加 了 一 ,增边加 了 一 个Ak顶 1,增 点加 的 对 角 线 条点数 Ak1是 与顶
即它被前k条 面直线截k成 1段,其中每一段都把的 它所
原区域一分,为 也二 即使原区域数k目1增 . 加
f(k1)f(k)k1k2k2k1 2
k23k4(k1)2(k1)2
2
2
故当 nk1时,命题成 ,由(1立 )(2)可知 ,对任意正 n,命 整题 数成立
练习3：
有n个 圆 ,其 中 每 两 个 圆两 都点 ,并 相且 交每 于三 个 圆 不 相 交 于,同 求一 证 :这点 n个 圆 把 平 面 分 成 f(n)n2n2个部. 分
第二步"证 k到 k明 1",从 左端增加(的 B )项数
Ak .-21 B.2k
C.2k1 D.2k1
二.用数学归纳法证明几何问题
例2.平 面 上 n(n有 N,n3)个 点 ,其 中 任 何 三 点 都 同 一 条 直,过 线这 上些 点 中 任直 意线 两 ,这点 样作 的 直 共有多?少 证条 明你的. 结论
解 :这样 n条 的直线把平域 面数 分 f目 (n成 )为 n的 2n 区 2 2
下面用数学归纳法证明
(1)当 n1时 ,一条直线将平 部面 分 , f(1 分 )2成 ,
n1时命题. 成立
(2)假
设
当 nk(kN)时命题 Nhomakorabea成,即 立有f (k)
k2
k2, 2
当nk1时,第k1条直线与前 k条面直线k有 个不同交, 点
特别提示:
用数学归纳法证几何问题,应特别注意语言叙述正确,清 楚,一定要讲清从n=k到n=k+1时,新增加量是多少.一般 地,证明第二步常用的方法是加一法,即在原来的基础上, 再增加一个,也可以从k+1个中分出一个来,剩下的k个利 用假设.
练习1: P50习题4.1 题5
解:n凸 边 形 的 对 :f(角 n)线 1n(n条 3)数 n (3). 2
一.用数学归纳法证明等式问题 通 过 计 算 下 ,猜面 想 1的 出 3式 5 子 (1)n(2n1) 的 结 ,并 果 加 以 . 证 明 13____1_3;5______ 1357____ 1_3_;579_______
解:上面四个式子的 别结 是 2,果 3,4分 ,5, 由 : 1 此 3 5 猜 ( 1 ) n ( 2 n 1 ) 想 ( 1 ) n n 下面用数学归纳法证明 : (1)当 n1时 ,式子左右两 1,即 边这 都时 等等 .于
(2)假设n当 k(k1)时等式,成 即立 135(1)k(2k1)(1)kk 当nk1时
例 1证 :n 3 明 5 n (n N )能6 够 整 . 被 除
特别提示: 数学归纳法证题的关键是“一凑假设,二凑结论”,在证 题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明 n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件.
练习.用数学归纳法证明: An 5n 2 3n1 1(n N * )
能被 8 整除.
课堂练习:
1.用 数 学 归 :1纳 aa2法 证 an1(明 a1)在 验
n1时 ,左 端 计 算(C所 ) 得 的 项 为
A.1 B .1 a C .1 aa2 D .1aa2a3
2.用 数 学 归:1纳 1 2 法 1 3 证 2明 n11n(nN,n1)
证明 :(1)当n1时,即一个圆把平个 面部 分分 成二
f(1)2,又n1时,n2n22,命题成立
(2)假设当n k时,命题成立,即k个圆把平面分成 f (k) k2 k 2个部分,那么由题意知第k 1圆 与前k个圆中每个圆交于两,点又无三圆交于同一 点, 于 是 它 与 其 它k交 于2k个 点, 把 它 分 成2k条 弧 而 每条弧把原区域分成 2块,因此这平面的总区域增 加2k块,即f (k 1) k2 k 2 2k (k 1)2 (k 1) 2, 即当n k 1时命题成立. 由(1)(2)可知对任意n N命题成立.
不 相 邻 顶 点 连 线原再 k边加形上的 一 A1A边 k,增 加 的 对 角 线 条
(k2)1k1
f(k1)1k(k3)k11(k2k2)
2
2
1(k1)(k2)1(k1)(k1)3
2
2
故 nk1时 ,命题成 ,由 (1立 ),(2)可知对n 任 N何 ,n3命题成 .
练习2: P50习题4.1 题6
例 2 .证明s不 in n 等 n si式 n (n N )
例3.证 明 贝 努 利 : 不 等 式 如 果 x是 实,且 数 x1,x0,n为 大1的 于自 然 , 那 么 有 (1x)n1nx
注：事实上，把贝努利不等式中的正整数 n 改为实数 仍有 类似不等式成立.
二.用数学归纳法证明不等式问题
例1观察下面两 ,从 个第 数几 列 a项 n始起 终小 bn?于 证明你的 . 结论
ann2 :1,4,9,16,25,36,49,64,81,; bn2n :2,4,8,16,32,64,12,825,651,2.
由数列的前,从 几第 5项 项猜 起 ,an想 bn, 即n22n(nN,n5)