古希腊数学的发展

1 古希腊数学的发展：

a. 泰勒斯和毕达哥拉斯：

在古希腊论证数学发展史上，泰勒斯（Thales of Miletus，约公元前624～前547年）被称为第一个几何学家，他确立和证实了为人们公认的第一批几何定理：

1、圆为它的任一直径所平分；

2、半圆的圆周角是直角；

3、等腰三角形两底角相等；

4、相似三角形的各对应边成比例；

5、若两三角形两角和一边对应相等则三角形全等。

古希腊论证数学的另一位先驱是毕达哥拉斯（Pythagoras of Samos，约公元前584～前497年）及其学派。在毕达哥拉斯之前，人们并没有清楚认识到几何的证明是要有假设的，几何学所取得的一些结构，大都靠经验得出。至于它们之间的关系，包括相互之间、规律与规律的交互作用等，都未有过说明。是毕达哥拉斯在发展几何的过程中率先制定“公设”或“公理”，然后再经过严格的推导、演绎来进行。把证明引入数学是毕达哥拉斯伟大功绩之一。

毕达哥拉斯的第二个贡献是提出抽象。他把抽象运用到数学上，认为数学上的数、图形都是思维的抽象，已不是实际生活中的数与形。如几何物体，正是舍弃了诸如密度、颜色、重量，唯一所考虑的只是它的空间分布形式。抽象引发了几何的思辨，从实物的数与形，抽象到数学上的数与形，成为早期的几何思想的先驱。

后来，由勾股定理（西方成为毕达哥拉斯定理或百牛定理）引发的有关无理数的第一次数学危机推动了数学上的思想解放。为此作出努力的是柏拉图的学生天文学家欧多克索斯（Eudoxus,约公元前400年～前347年）。他为解释无理数的问题，采用了“比例理论”，这其中就隐含了极限的思想，对后来的欧几里得几何学的产生起到了积极作用。

b.智者（Sophist）学派与古希腊三大难题:

在数学上，智人学派曾提出“三大问题”：

1.三等分任意角；

2.倍立方，求作一立方体，使其体积是已知立方体的二倍；

3.化圆为方，求作一正方形，使其面积等于一已知圆。

这些问题的难处，是作图只许用直尺(没有刻度的尺)和圆规。希腊人的兴趣并不在于图形的实际作出，而是在尺规的限制下从理论上去解决这些问题，这是几何学从实际应用向系统理论过渡所迈出的重要的一步。对这三大难题的研究虽然都得不到实际结果，但对当时数学理论的发展起到很大的推动作用。

这个学派的安提丰提出用“穷竭法”去解决化圆为方问题——先作圆内接正方形，以后每次边数加倍，得8、16、32、…边形，“最后”的多边形与圆的“差”必会“穷竭”。这提供了求圆面积的近似方法，和中国的刘徽的割圆术思想不谋而合，成为近代极限理论的雏形。

c.柏拉图学派与演绎证明：

柏拉图（Plato，约公元前427～前347年）学派认为数学是认识“理念世界”的工具，因此他们特别重视数学的证明方法，竭力主张学习和研究数学。

柏拉图在毕达哥拉斯学派提出的数学概念抽象化的观点基础上，从哲学的角度去探讨数学概念的涵义，为发挥数学抽象思维的能动作用创造了条件，推动了数学的科学化。

另外，柏拉图强调数学研究的演绎证明。归纳以及根据经验作出的一般结论只能给出可能正确的知识，演绎法在前提正确的条件下则能得到绝对正确的结果。柏拉图的这一思想，成为后来公理化方法的发端，对欧几里得几何的公理化演绎体系和推进古希腊数学的发

展具有重要意义，对数学演绎方法的建立和完善作出了重要贡献。

d.欧几里得与几何学：

在欧几里得以前，人们已经积累了许多几何学的知识，然黔这些知识当中，存在一个很大的缺点和不足，就是缺乏系统性。大多数是片断、零碎的知识，公理与公理之问、证明与证明之间并没有什么很强的联系性，更不要说对公式和定理进行严格的逻辑论证和说明。欧几里得通过早期对柏拉图数学思想，尤其是几何学理论系统而周详的研究，已敏锐地察觉到了几何学理论的发展趋势。他在古代丰富的数学知识和数学思想方法的基础上，对客观世界的空间关系进行了高度的抽象而最终完成一部传世之作——《几何原本》，它不仅保存了许多古希腊早期的几何学理论，而且通过欧几里得开创性的系统整理和完整阐述，使这些远古的数学思想发扬光大。几何学正是有了它，不仅第一次实现了系统化、条理化，而且又孕育出一个全新的研究领域——欧几里得几何学，简称“欧氏几何学”。

e.阿波罗尼奥斯与圆锥曲线理论：

阿波罗尼奥斯跟随欧几里得的后继者学习，在前人的基础上做了大量去粗取精，批判继承的工作，同时又提出许多创新的独到见解，从框架结构、内容上以焕然一新的角度写成一部集大成的书——《圆锥曲线论》。该书将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地。《圆锥曲线论》是一部经典巨著，它可以说是代表了希腊几何的最高水平。在书中，阿波罗尼奥斯创造性地以圆锥体底面直径作为横坐标，过顶点的垂点作为纵标，给后世坐标几何的建立以很大的启发。

f. 阿基米德与几何学：

古希腊另一位被人们誉为与牛顿、高斯并列的三个有史以来最伟大的数学家就是阿基米德。他应用穷竭法，研究了一些形状比较复杂的面积和体积的计算方法，如求球体面积、体积与其外切圆柱的面积、体积之比；求抛物线所围面积和弓型面积；求螺线所围面积等。他提出用圆内接多边形与外切多边形边数增多、面积逐渐接近的方法求圆周率，类似于现代微积分中所说的逐步近似求极限的方法。阿基米德还首创了记大数的方法，突破了当时用希腊字母计数不能超过一万的局限，并用它解决了许多数学难题，为古希腊数学的发展提供了一个更广阔的平台。在研究方法上，阿基米德既继承和发扬了古希腊研究抽象数学的科学方法，又使数学的研究与实际应用联系起来，把计算技巧与严格的逻辑证明相结合，对后世数学的发展具有深远的影响。

g. 古希腊后期的数学：

公元前146年以后，在罗马统治下的亚历山大学者仍能继承前人的工作，不断有所发明。海伦(约公元62)、门纳劳斯(约公元100)、帕普斯等人都有重要贡献。天文学家托勒密将喜帕恰斯的工作加以整理发挥，奠定了三角学的基础。

晚期的希腊学者在算术和代数方面也颇有建树，代表人物有尼科马霍斯(约公元100)和丢番图(约250)前者是杰拉什(今约旦北部)地方的人。著有《算术入门》，后者的《算术》是讲数的理论的，而大部分内容可以归入代数的范围。它完全脱离了几何的形式，在希腊数学中独树一帜，对后世影响之大，仅次于《几何原本》。