中职数学基础模块下册《点到直线的距离》ppt课件1
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中职数学基础模块下册《点到直线的距离》ppt课件
解：将直线 l1，l2 的方程化为一般式
2 x＋y－5＝0，3 x－1＝0， 由点到直线的距离公式，得
|2(1)25|
d1
2212
Байду номын сангаас
5，
d2
|3(1)1| 3
4． 3
求下列点到直线的距离： （1）O(0，0)，l1：3x＋4y－5＝0； （2）A(2，－3)，l2：x＋y－1＝0．
例 2 求平行线 2 x－7 y＋8＝0 和 2 x－7 y－6＝0 的距离．
y
（3，4） P
4 3
2
l
1
O 1 2 3 4 5x
点到直线的距离公式
一般地，求点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0 的 距离 d 的公式是
问题 3
d| Ax0 By0 C| A2 B2
若点 P 在直线 l 上，点 P 到 l 的距离是多少？ 反之成立吗？
例1 求点 P（－1，2）分别到直线 l1：2 x＋y＝5， l2：3 x＝1 的距离 d1 和 d2 ．
直线
圆
圆
直线
点到直线的距离
点到直线的距离
直线外一点到直线的垂线段的长度， 叫点到直线的距离．
y A
O B
l D
C x
问题 1
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的 方程，如何求点到直线的距离？
问题 2 若 P（3，4），直线 l 的
方程为 x－4＝0 ，你能求出 P 点到直线 l 的距离吗？ 试一试．
解：在直线 2 x－7 y－6＝0 上任取一点，
如取 P(3，0) ，则两条平行线的距离就是
点 P(3，0) 到直线2 x－7 y＋8＝0的距离． y
点到直线的距离 课件
上任意一点，那么|PQ|的最小值是( )பைடு நூலகம்
A．1
B．2
2 C. 2
D. 2
(2)已知点 P 为 x 轴上一点，且点 P 到直线 3x－4y＋
6＝0 的距离为 6，则点 P 的坐标为________．
解析：(1)|PQ|的最小值是点 P(1，1)到直线 x＋y－1
＝0 的距离，
所以|PQ|min＝|1＋121＋－112|＝
2．点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为 0，公式 仍然适用．
3．直线方程 Ax＋By＋C＝0 中，A＝0 或 B＝0 时公 式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也 可用数形结合求解．
类型 2 两条平行直线间的距离 [典例 2] 求与两条平行直线 l1：2x－3y＋4＝0 与 l2： 2x－3y－2＝0 距离相等的直线 l 的方程． 解：设所求直线 l 的方程为 2x－3y＋C＝0， 由直线 l 与两条平行线的距离相等， 得 |C22－＋43|2＝ |C22＋＋23|2， 即|C－4|＝|C＋2|， 解得 C＝1. 故直线 l 的方程为 2x－3y＋1＝0.
即直线 l 过点 B2，－23.(2 分) ①当 l 与 x 轴垂直时，方程为 x＝2，点 A(－3，1)到 l 的距离 d＝|－3－2|＝5，满足题意. (4 分) 失分警示：若忽略对斜率k的讨论，扣去2分. ②当 l 与 x 轴不垂直时，设斜率为 k， 则 l 的方程为 y＋23＝k(x－2)， 即 kx－y－2k－23＝0，(5 分)
2 2.
(2)设 P(a，0)，则有 |33a2－＋4（×－0＋4）6|2＝6，
解得 a＝－12 或 a＝8，
所以点 P 的坐标为(－12，0)或(8，0)．
点到直线的距离PPT教学课件
用于暗反应
水的光解：
2H2O
光 色素
O2+4H++4e-
酶
NADPH的形成： NADP++2e+H+
NADPH
ATP的形成： ADP+Pi + 电能 酶（A活T跃P化学能）
碳反应
二氧化碳还原为糖的一系列反应成为碳 循环，又称卡尔文循环。
(二）碳反应阶段
碳反应总结
场所： 叶绿体的基质中
条件：
多种酶、 [H] 、ATP
)
2ab a 2 b2
A到BC的距离h=( a 2 b2 )
因为|PE|+|PF|=h，所以原命题得证。
点到直线的距离
d Ax0 By0 C A2 B2
1.此公式的作用是求点到直线的距离； 2.此公式是在A、B≠0的前提下推导的； 3.如果A=0或B=0，此公式恰好也成立； 4.如果A=0或B=0，一般不用此公式； 5.用此公式时直线要先化成一般式。
②图中C是[H——] ，它被传递到叶绿体的基——质部位，用于—C—3的。还原
③图中DA是T—P—，在叶绿体中合成D所需的能量来自色—的素—光吸能收 ④图光中反的应H表示——，NAHD为PIH提和供A—T—P
4. 光合作用过程中，产生ADP和消耗ADP的
部位在叶绿体中依次为
(B )
①外膜
②内膜
③基质
能用无机 物制造有
机物
举例 绿色植物 光合细菌
硫细菌 铁细菌 硝化细菌
异养型
摄取的有 机物中储 存的能量
摄取现成 的有机物
人、动物和 营寄生、腐
生的菌类
相同点
都是从外界 摄取物质， 经过极其复 杂的变化， 转变成自身 组成成分， 并且储存能
《点到直线的距离》25张ppt
鼓励学生坚持，培养学生知难而上， 顽强拼搏的意志品质。 鼓励学生另辟蹊径，设问“垂足的坐 标能不能设而不求呢？”希望学生能 探究出教材中推导方法。培养学生的 创新意识。
得到点 P到 l 的距离 d PQ
合作探究 形成新知
问题2 求点 P( x1 , y1 )到直线 l : Ax By C 0的距离.
合作探究 形成新知
探究公式 初探方法
优化解法
合作探究 形成新知
问题1 求点 P (1,1) 到直线 l : x y 4 0 的距离.
渗透由特殊到一般的思想
合作探究 形成新知
问题1 求点 P (1,1) 到直线 l : x y 4 0 的距离.
定 义 法
合作探究 形成新知
x5 2
(3) x 2
实践应用 拓展新知
题组2 （1）求平行线l1 : 3x 4 y 8 0, 与l2 : 3x 4 y 2 0 之间的距离. （2）平行线 l1 : Ax By C1 0, 与l2 : Ax By C2 0之间的距离 为 .并证明.
启发2：我们准备怎么做？即制定计划
启发3：我们已知什么？即梳理条件
PQ l Bx0 x1 A y0 y1 0 Q l Ax0 By0 C 0
启发4：我们如何使用条件以达到 目标呢？即沟通已知与未知的联系
合作探究 形成新知
展示成果 优化思维
解：设Q( x0 , y0 ), PQ l B( x0 x1 ) A( y0 y1 ) 0 (1) 又 Q l , Ax0 By0 C 0 (2) (3)
回顾反思 布置作业
学会了…的知识
掌握了…的方法
点到直线的距离 课件(51张)
1 [d＝|－73－2＋(－422)|＝1．]
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 点到直线的距离
【例 1】 求过点 M(－2，1)且与 A(－1，2)，B(3，0)两点距离 相等的直线的方程．
[解] 当直线的斜率不存在时，直线为 x＝－2，它到 A，B 两点 的距离不相等，故可设直线方程为 y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1 ＝0．
(1)应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若 给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．例如求点 P(x1，y1) 到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，再利用 公式，得 d＝|kx1－k2y＋1＋1 b|．
(2)当点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系．
2若已知直线 l1 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 l1 对称的 直线 l2 上，然后求出直线 l1 上任意一点关于对称轴对称的点，由两点 式写出直线 l2 的方程.
[跟进训练] 3．求直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：3x＋4y－1＝0 对称的直 线 l2 的方程． [解] 法一：解方程组23xx＋ ＋y4－y－4＝ 1＝0，0， 得xy＝ ＝3－，2， 所以直线 l1 与 l 相交，且交点坐标为(3，－2)，故交点也在直线 l2 上． 在直线 l1：2x＋y－4＝0 上取点 A(2，0)，设点 A 关于直线 l 的对 称点为 B(x0，y0)，
3×x＋2x0＋4×y＋2 y0－1＝0， 则有yx－ －yx00＝43，
解得yx00＝＝－7x－2422x52－45y＋7y＋6，8. 因为点 Q(x0，y0)在直线 l1：2x＋y－4＝0 上，所以 2×7x－2254y＋6 ＋－24x2－57y＋8－4＝0，化简得 2x＋11y＋16＝0． 即直线 l2 的方程为 2x＋11y＋16＝0．
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 点到直线的距离
【例 1】 求过点 M(－2，1)且与 A(－1，2)，B(3，0)两点距离 相等的直线的方程．
[解] 当直线的斜率不存在时，直线为 x＝－2，它到 A，B 两点 的距离不相等，故可设直线方程为 y－1＝k(x＋2)，即 kx－y＋2k＋1 ＝0．
(1)应用点到直线的距离公式时，直线方程应为一般式，若 给出其他形式，则先化成一般式再用公式求解．例如求点 P(x1，y1) 到直线 y＝kx＋b 的距离，应先把直线方程化为 kx－y＋b＝0，再利用 公式，得 d＝|kx1－k2y＋1＋1 b|．
(2)当点 P 在直线 l 上时，点到直线的距离为零，公式仍然适用， 故应用公式时不必判定点 P 与直线 l 的位置关系．
2若已知直线 l1 与已知对称轴相交，则交点必在与直线 l1 对称的 直线 l2 上，然后求出直线 l1 上任意一点关于对称轴对称的点，由两点 式写出直线 l2 的方程.
[跟进训练] 3．求直线 l1：2x＋y－4＝0 关于直线 l：3x＋4y－1＝0 对称的直 线 l2 的方程． [解] 法一：解方程组23xx＋ ＋y4－y－4＝ 1＝0，0， 得xy＝ ＝3－，2， 所以直线 l1 与 l 相交，且交点坐标为(3，－2)，故交点也在直线 l2 上． 在直线 l1：2x＋y－4＝0 上取点 A(2，0)，设点 A 关于直线 l 的对 称点为 B(x0，y0)，
3×x＋2x0＋4×y＋2 y0－1＝0， 则有yx－ －yx00＝43，
解得yx00＝＝－7x－2422x52－45y＋7y＋6，8. 因为点 Q(x0，y0)在直线 l1：2x＋y－4＝0 上，所以 2×7x－2254y＋6 ＋－24x2－57y＋8－4＝0，化简得 2x＋11y＋16＝0． 即直线 l2 的方程为 2x＋11y＋16＝0．
4.3《点到直线的距离》公开课ppt课件
4、右图是人行横道线。 如果从A点穿过马路， 怎样走路线最短？为什 么？把最短的路线画出 来。
我们都希望自己能有一个知己，从相逢，相识，到相知，到无话不谈的知己，穷尽一生，朋友广而远，知己少而近，友情文章告诉我们，如果遇到这样一个互相懂得的人， 就要好好珍惜。自己是把剑，知己是剑鞘，利剑出鞘，锋芒毕露之时，剑鞘则系在腰间默默守候。一把剑经过一番打打杀杀，江湖缠扯过后，必会五骨通乏，六筋俱困，疲 惫充斥于脏腑之间，这个时候，就需要躺在剑鞘里好好休养了。剑鞘是一把剑最坚实的维修基地，提供最可靠地后勤保障，每当宝剑元气大伤之时，务必要返厂疗伤，作为 知己的剑鞘，定是倾其所有，哪怕是砸了老锅，卖了陈铁，也要肝胆相照，以最大功率输出自己的真气，只为保住这把剑。有人腰缠万贯，有人流落街头，有人名扬四海， 有人一生庸碌，人这一辈子，旅途虽短，路却难走。注定逃不过酸甜苦辣，悲欢离合的音速飞镖，注定要吃尽五颜六色的风霜。若能赐一知己，得之是命，惜之是福，可不 能随意糟蹋。知己就是半个自己，如果自己是左脑，那知己就是右脑，如果自己是左手，那知己就是右手，如果自己是左边的这瓣心，那知己就必须是右边的另一半。若缺 了另一半，就是个死人了，并且还死无全尸，若是挣扎着不死，无异于变异僵尸，理性失效，良心残废，吞噬人血，不带怜悯，岂不更可怕?人，是个对称的生命，什么都有 左右两半，若缺了知己，自己就只剩一半了，不就成了一头怪物了吗?那不就要天天被奥特曼追杀吗?跌倒了，很多人懂得扶你，摔伤了，很多人懂得止血，噎住了，很多人 懂得端杯水。可是，当你内心受伤了，即使是小到纳米级的伤痕，有人能看出来吗，你既没感冒，也没发烧，脸色红润，满面轻风，盖住了内心那瞬间的小小波动，可能不 会有任何震感，也许连自己都找不到震源。而这个时候，偏偏有人感觉到地震了，准确侦测出了震级和震源，只有知己才能扫描出你心房里的病毒，唯有知己才会专门为你 安装一台精密地动仪。知己能读出你心里最深处的悲伤，埋得再深，填得再厚实，也会被掘出来，而这种近乎奇迹的事只有知己才做得到。人生的轨迹既不是常数函数式的 一马平川，也不会是指数函数式的一路腾达，而是正弦曲线式的跌宕起伏，有升有降，有顶峰，有谷底，盛极必衰，摔倒了最低处，再开始爬升。而知己，就是在我们直线 飙升时给我们及时降温，以免过热烧坏了头脑，主机一旦报废了，整台机器随之瘫痪;在我们堕落腐朽时给我们添加柴火，用木棒在雪花缤纷的寒冬里，擦出希望的火花，给 我们解冻，帮我们去潮，重新启动。根据牛顿力学定律，力的作用是相互的，人也是这样，知己是自己的知己，那自己就是知己的知己，互为知己，才是真正的知己。若仅 有单方面的输出，另一方却浑然不知，只能说明，一方作践自己，另一方没心没肺。一个不会珍惜自己，另一个不会珍惜别人，作为知己的这两半，都没有得到精心照顾， 土壤干裂，缺水少肥，杂草丛生，怎么指望这两半茁壮成长呢，将来不是畸形就是异形，怎么能做知己呢?人心不在大小，而在于单人间和双人间的纠葛，纵使心再大，可就 住了你一个人，不觉得空虚寂寞冷吗，就算心再小，可也住下了两个人，那份互为知己的温暖，连上帝都会羡慕的。朋友大薇去北京出差，约了十几年没见的朋友吃饭，大 薇在城东，朋友在城西，两个人耽搁在路上的时间，比见面聊天的时间还长。匆匆吃饭，匆匆告别，大薇苦笑着说，曾经好得睡一个被窝，说要好一辈子的闺蜜，生生被时 间隔在了两岸，再也回不去。每个人都是这样的吧，一路走来，人生的每个阶段，总会有那么几个死党或闺蜜，和你一起疯，一起闹，一起哭，一起笑，在你孤单时给你温 暖，在你受伤时给你安慰，在你受欺负时，为你出头……走着走着，在某个人生的转角说了再见，然后就再也没见到；即使再见，也因为时过境迁，找不到来时的路，无法 再走近。就像席慕蓉说的：回顾所来径，只剩苍苍横着的翠微。只有少数人，会陪你一生。坦然面对友情的得到与失去，不必追，不必挽留，这才是人生常态。人生漫长， 总有一些人来来去去，总有一些人要离去； 也总有一些人，无论风风雨雨，会陪你一辈子。电影《七月与安生》里的七月与安生，是两个截然不同的少女。七月文静乖巧， 有个幸福温暖的家庭，是大家眼里的好孩子；安生叛逆桀骜，父亲去世母女相爱相杀，是个缺爱的女孩。偏偏两个人好得要命，彼此踩着对方的影子，恨不能一辈子在一起， 一起洗澡，一起翘课……15岁那年，她们都喜欢了一个男孩子家明。家明的出现，让七月和安生之间的情感发生了不可言喻的变化，而家明的摇摆不定，也让两个女孩面对 友情与爱情，备受煎熬。最终，安生在确认自己也爱上家明以后，选择把家明让给七月，自己离开小镇，去流浪。她说，在七月与家明之间，她选择七月。七月明白安生的 离开，是成全，但还是任由安生的列车徐徐驶离，爱情在某个时刻，会战胜友情。但是，分开的两个人，仍然彼此牵挂。七月羡慕安生的自由，安生羡慕七月的岁月静好。 再次见面，却又像刺猬一样彼此伤害，然后各自哭泣疗伤。电影结尾，七月难产去世，临终前，将孩子托付给安生。不管我们之间有多少误会和伤害，我还是选择最信任你， 把孩子托付给你。这也许就是最动人的友情。想起《乱世佳人》里梅兰妮和斯嘉丽。一个相貌平平，但是优雅得体、善解人意的贵族小姐，女人中的女人；一个妩媚动人， 任性倔强热情似火的庄园主女儿，女人中的男人。一开始，斯嘉丽便把梅兰妮当作情敌，认为是梅兰妮夺走了自己暗恋的阿希礼。 所以，她心怀嫉恨，处处刁难，把梅兰妮 当作眼中钉。然而，随着美国南北战争的爆发，家园被毁，两个性格截然不同的女性，不得不相依为命。郝思嘉勇敢强韧，为了养活一家人，复兴家业，忍受各种屈辱，冒 着各种危险，梅兰妮则在一边贴心陪伴，护着她，开导她，看着她一天天褪去浮华与虚荣，她们的友情也开始萌芽。哪怕自己的丈夫和郝思嘉的绯闻传得满城风雨，哪怕郝 思嘉的名声在上流社会差到了极点，她都挺身而出，帮她解围。所以，当梅兰妮难产需要照顾，连她的姑妈都抛下她逃跑的危急时刻，斯嘉丽不离不弃，克服内心的恐惧， 照顾她顺利产下儿子小博。如果说这个时候，斯嘉丽还有是为了阿希礼的托付，但是，当她带着一家人逃回被毁的家园，枪杀闯入家园的“北方佬”，胆小如兔的梅兰妮却 勇敢地帮着她处理尸体的那一刻，她们的友谊完成了升华。就像梅兰妮说的那样，她一直羡慕斯嘉丽旺盛的生命力和坚强勇敢的性格。但其实，斯嘉丽也羡慕梅兰妮那种成 熟，识大体，包容的胸怀吧。两个本来是情敌的人，在战争的灾难中，相互取暖，结成了深厚的友情。梅兰妮临死前，把儿子托付了斯嘉丽照顾，并嘱咐她珍惜巴特勒的爱。 梅兰妮比斯嘉丽自己还了解她，她了解她的缺点和不完美，更了解她的能力与骨子里善良，所以，她把儿子托付给她。最好的友情，就是这样吧，你有种种缺点，我还是喜 欢你，信任你，地老天荒。不只女人，男人之间也有这样动人的友情。魏晋时候，同为竹林七贤的嵇康与山涛，是好朋友，他们同另外五个人一起，啸饮山林，自在快活。 但是后来山涛禁不住曹魏朝廷的再三邀请，去做官了，而且很快做到了组织部长的位置。当时曹魏朝廷广揽天下名士，山涛便向朝廷举荐了自己及的好友嵇康。不料，嵇康 勃然大怒，他怎么肯给抢了汉室天下的曹家卖命呢！越想越气，于是写下了那个着名的《与山巨源绝交书》。大概就是说，本来还以为你了解我，原来不是这样，这样的朋 友不要也罢了。山涛也没说啥，还在皇帝面前极力维护，两人的友谊也仿佛到此结束。后来，你去投奔山涛叔叔吧，他肯定会好好照顾你的。果然山涛视其子如己出，亲自 授业解惑，呕心沥血把这个孩子培养成人，引入仕途。对此，史学家说法不一，有的认为嵇康写信是在玩无间道，有的认为山涛对嵇康的死有一定责任并心存愧意。而我， 看到的是友情最好的诠释：两个人志趣相异，选择不同的道路，而这一切却丝毫没有伤害到他们之间的信任。
点到直线的距离PPT课件
芳芳家离公路还有一段距离，她家准备修 一条水泥路连接公路。怎样修才能使修的 路最近呢，请画出路线。
芳芳家
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在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段。
两条平行线之间的垂直线段有无数条， 长度都相等。
平行线间的距离相等。
第13页/共22页
从直线外一点到这条直线所画的垂直线 段最短，它的长度叫做点到直线的距离
第14页/共22页
1.从直线外一点到这条直线所画的（ 垂直线段 ）最短， 它的长度叫做（ 点到直线的距离 ）
2.
● 小明A家
第15页/共22页
● B 小华家
小兔家对面有条河，它想在河上修一
座桥，桥修在哪个位置离它家最近呢？
小
兔
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家
3.在同一平面内，与一条直线相距4厘米的直线
有（ ）条？
从直线外一点到这条直线所画的最短它的长度叫做小明家小华家垂直线段点到直线的距离小兔家对面有条河它想在河上修一座桥桥修在哪个位置离它家最近呢
温故知新：
1.直线、线段、射线的联系和区别？
线段与射线都是直线的一部分。线段有两个端点，不能延伸； 射线有一个端点可以向没有端点的一端无限延伸；直线没有 端点，可以向两端无限延伸。
第4页/共22页
大青虫家门前有条大路，它要到路上去，走哪条小道最近呢?
这条线与公路垂直!
第5页/共22页
下面是从直线外一点O，向直线所做的5条线段，你能看出哪条线段 最短吗？
O
0
1
A
B
C
D
E
2
从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。
第6页/共22页
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短, 它的长度叫这点到直线的距离。
点到直线的距离公式PPT课件
第4页/共11页
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
第5页/共11页
例2 若向量 =(2,3), 直角三角形，求k的值.
=(1,k), k∈ R，ΔABC为
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.AΒιβλιοθήκη x第6页/共11页
C
y
B
A
x
第7页/共11页
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则 写出方程.
∥a ,利用向量平行的条件
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x+1,y-2). ∥a
所求直线的方程为
第8页/共11页
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程. 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x-1,y+1).
2利用直线的法向量用两向量垂直的充要条件可求直线方程
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
第1页/共11页
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
例1 求点P(1,2)到直线l：2x+y+1=0的距离。 解 由点到直线的距离公式，得
211 2 1
d
5,
22 12
所以点P(1,2)到直线l的距离为 5.
第5页/共11页
例2 若向量 =(2,3), 直角三角形，求k的值.
=(1,k), k∈ R，ΔABC为
分析：
C
y
B
以A为原点建立直角坐标系， 应该有四个解.AΒιβλιοθήκη x第6页/共11页
C
y
B
A
x
第7页/共11页
例3 求过点A(-1,2),且平行于向量a=(3,1)的直线方程.
分析：在所求直线上任取一点P,则 写出方程.
∥a ,利用向量平行的条件
解:设点P(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x+1,y-2). ∥a
所求直线的方程为
第8页/共11页
练习 求过点P(1,-1),且与向量n=(4,-3)垂直的直线方程. 解:设点Q(x,y)是所求直线上的任意一点,则 =(x-1,y+1).
2利用直线的法向量用两向量垂直的充要条件可求直线方程
若M(x0y0)是平面上一定点,它到直线l:Ax+By+C=0的距离d为
d | Ax0 By0 C | A2 B2
试用向量方法给出简单的证明
第1页/共11页
证明 如图, M(x0,y0) 是直线外一定点,P(x,y)是直线上任意
一点,由直线l:Ax+By+C=0,可以取它的方向向量v=(B,-A). y
设n=(A,B),因为
n·v=(A,B) ·(B,-Aa)
=AB-BA=0
《点到直线的距离》平行和相交PPT课件 (共13张PPT)
A
从直线外一点到这条直线所画的垂直线 段的长度,叫做这点到这条直线的距离.
这条垂直的线段最短
完成书上想想做做第1题
量出A点到已知直线的距离
分别量出A点到对边的距离。
.A .A
完成书上想想做做第2题
在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段.
量一量这些线段，你发现了什么？
河的一边有个A村，村里的人想从 河里挖一条水渠来灌溉农田，怎 么挖最省时省力。
点到直线的距离
教学目标
• 会画出已知直线的垂线，认识点到直线的 距离。 • 让生在学习中进一步发展空间观念及动手 操作能力。
重点难点
• • 画出已知直线的垂线。 画出点到直线的距离
课前复习：
1 在同一平面内两条直线的位置关系 有哪两种? 2 垂直是哪一种位置关系的特殊情况?
特殊在哪里?
游戏规则：
一、本着公平竞赛，所有比赛选手站在同一直线上。
二、每位比赛选手有5个圆圈套环，套中数目最多者
成为冠军。 三、参赛选手的脚不可以离开地面，同学与老师做
裁判。
你能不能把刚才的游戏活动，简单地画出 来。具体人、物可以用简单的符号表示
过 A 点向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直 的线段,量一量这些线段的长度,你有什么发现?
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
从直线外一点到这条直线所画的垂直线 段的长度,叫做这点到这条直线的距离.
这条垂直的线段最短
完成书上想想做做第1题
量出A点到已知直线的距离
分别量出A点到对边的距离。
.A .A
完成书上想想做做第2题
在两条平行线之间画几条与平行线垂直的线段.
量一量这些线段，你发现了什么？
河的一边有个A村，村里的人想从 河里挖一条水渠来灌溉农田，怎 么挖最省时省力。
点到直线的距离
教学目标
• 会画出已知直线的垂线，认识点到直线的 距离。 • 让生在学习中进一步发展空间观念及动手 操作能力。
重点难点
• • 画出已知直线的垂线。 画出点到直线的距离
课前复习：
1 在同一平面内两条直线的位置关系 有哪两种? 2 垂直是哪一种位置关系的特殊情况?
特殊在哪里?
游戏规则：
一、本着公平竞赛，所有比赛选手站在同一直线上。
二、每位比赛选手有5个圆圈套环，套中数目最多者
成为冠军。 三、参赛选手的脚不可以离开地面，同学与老师做
裁判。
你能不能把刚才的游戏活动，简单地画出 来。具体人、物可以用简单的符号表示
过 A 点向已知直线画一条垂直的线段和几条不垂直 的线段,量一量这些线段的长度,你有什么发现?
1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想 再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。
中职数学基础模块下册《点到直线的距离》ppt课件
求下列点到直线的距离： （1）O(0，0)，l1：3x＋4y－5＝0； （2）A(2，－3)，l2：x＋y－1＝0．
2020/7/30
例 2 求平行线 2 x－7 y＋8＝0 和 2 x－7 y－6＝0 的距离．
解：在直线 2 x－7 y－6＝0 上任取一点，
如取 P(3，0) ，则两条平行线的距离就是
直线
圆
圆
直线
8.2.5点到直线的距离
2020/7/30
点到直线的距离
直线外一点到直线的垂线段的长度， 叫点到直线的距离．
y A
O B
l D
C x
2020/7/30
问题 1
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的 方程，如何求点到直线的距离？
问题 2 若 P（3，4），直线 l 的
方程为 x－4＝0 ，你能求出 P 点到直线 l 的距离吗？ 试一试．
d| A0xB0yC| A2B2
3．两平行直线间的距离．
2020/7/30
必做题：P90 练习 A 组题第 1 题（2）（4）， 第 2 题（2）．
选做题：P90 练习 B 组题第 1 题．
2020/7/30
例1 求点 P（－1，2）分别到直线 l1：2 x＋y＝5， l2：3 x＝1 的距离 d1 和 d2 ．
解：将直线 l1，l2 的方程化为一般式 2 x＋y－5＝0，3 x－1＝0， 由点到直线的距离公式，得
d1|2( 21 2) 12 25| 5， d2|3( 31)1|3 4．
2020/7/30
点 P(3，0) 到直线2 x－7 y＋8＝0的距离． y
因此，
2
d|23708| 22(7)2
1
－4
点到直线的距离 课件
命题方向2 ⇨求两平行直线的距离
直线方程.
求与直线 2x－y－1＝0 平行，且与直线 2x－y－1＝0 的距离为 2 的
[解析] 解法一：由已知，可设所求的直线方程为 2x－y＋C＝0(C≠－1)， 则它到直线 2x－y－1＝0 的距离 d＝ |C22－＋－－11| 2＝|C＋51|＝2， ∴|C＋1|＝2 5，C＝±2 5－1， ∴所求直线的方程为 2x－y＋2 5－1＝0 或 2x－y－2 5－1＝0.
[正解] 当直线 l 过点 A(1,2)且斜率不存在时，直线 l 的方程为 x＝1，原点到 直线 l 的距离为 1，满足题意．
当直线 l 过点 A(1,2)且斜率存在时，由题意设直线 l 的方程为 y－2＝k(x－1)， 即 kx－y－k＋2＝0.因为原点到直线 l 的距离为 1，所以|－kk2＋＋21|＝1，解得 k＝34. 所以所求直线 l 的方程为 y－2＝34(x－1)，即 3x－4y＋5＝0.
(3)点P(x0，y0)到直线y＝a的距离d＝|y0－a|；
(
4
)
点
P
(
x
0
，
y
0)
到
直
线
x
＝b的距源自离d＝|
x
－
0
b
|
.
2．两条平行直线间的距离 (1)定义：夹在两条平行直线间___公__垂__线__段_______的长叫做这两条平行直线间
的距离． (2)求法：转化为求___点__到__直__线________的距离，即在其中任意一条直线上任
二、对称问题(关于 x，y 的二元方程可记作 f(x，y)＝0) 1．中心对称，由中点坐标公式知，点 A(x0，y0)关于点 P(m，n)的对称点坐 标为(2m－x0,2n－y0)，所以曲线(直线)f(x，y)＝0 关于点 P(m，n)对称的曲线(直线) 方程为 f(2m－x,2n－y)＝0，特别地，点 P(x0，y0)关于原点的对称点为(－x0，－y0)．
语文版中职数学基础模块下册8.5《点到直线的距离》ppt课件1
给定平面直角坐标系内一点的坐标和直线的方程， 如何求点到直线的距离？
若 P(3，4)，直线l的方程为 4x+3y–12＝0，
你能求出P点到直线l的距离吗？
y P(3，4) 4 3
一般情形 下
怎样求？
2Q 1
l
O 1 2 3 4 5x
点到直线的距离公式 一般地，点 P(x0，y0) 到直线 l：Ax＋By＋C＝0
的方程 ．
2
解：当直线 l 斜率不存在时，直线 l 方程为x＝–1，
原点到直线 l 的距离为1，不合题意，弃之；
当直线 l 斜率存在时， 设斜率为k，
则 y–2=k(x+1)，即kx–y+k+2=0，
由题意， k 2 2 , 解之，k= –1或k= –7
k2 1 2
故直线 l 为x+y–1=0或7x+y+5=0.
AB边上的高的长度. 解： AB边所在的直线方程为
y 1 1 3 (x 3) 3 1
即x y 4 0.
y
A
h B
设AB边上的高为h,
CO
x
1 0 4 h
5
5
2.
12 12
22
点A(a，6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值.
求过点P(–1，2)，且到原点的距离等于 2 的直线 l
求过点P(5，10)，且到原点的距离等于 5的直线 l 的方程 ．
y P l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q l2
O
x
任意两条平行直线都可以写 成如下形式：
l1 :Ax+By+C1=0
8.4《点到直线的距离》ppt课件
解法二：由平面几何知识知 l∥AB 或 l 过 AB 中点． ∵kAB＝4， 若 l∥AB，则 l 的方程为 4x－y－2＝0. 若 l 过 AB 中点(1，－1)，则直线方程为 x＝1， ∴所求直线方程为：x＝1 或 4x－y－2＝0.
求两平行线间的距离 求两平行线 l1 ：3x ＋4y ＝ 10和l2： 3x ＋ 4y＝15的
8.4 点到直线的距离
在铁路的附近，有一大型仓库。现要修建一条公路与之连 接起来，易知从仓库垂直于铁路方向所修的公路最短。将铁路
看作一条直线L，仓库看作点P，怎样求得仓库到铁路的最短距
离呢？
（一）点到直线的距离公式
（一）点到直线的距离公式
（一）点到直线的距离公式
点到直线的距离公式 求点P(3，－2)到下列直线的距离： (1)3x－4y－1＝0；(2)y＝6；(3)y轴．
[ 点评 ]
要看准公式的结构特征：分子别忘记绝对值符
号，分母别忘记开方，方程要化成一般式．
(2015· 甘肃天水一中高一期末测试)直线 2x＋3y＋1＝0 与 4x＋my＋7＝0 平行，则它们之间的距离为( A．4 5 13 C． 26
[答案] C
)
2 13 B． 13 7 10 D． 20
[ 解析]
[ 解析]
设点 C(x0，y0)，
∵点 C 在直线 3x－y＋3＝0 上， ∴y0＝3x0＋3. ∵A(3,2)、B(－1,5)， ∴|AB|＝ 5－22＋－1－32＝5. 1 设 C 到 AB 的距离为 d，则2d· |AB|＝10，∴d＝4.
y－2 x－3 又直线 AB 的方程为 ＝ ， 5－2 －1－3 即 3x＋4y－17＝0， |3x0＋43x0＋3－17| ∴d＝ 32＋42 |15x0－5| ＝ ＝|3x0－1|＝4. 5 5 ∴3x0－1＝± 4，解得 x0＝－1 或3. 5 当 x0＝－1 时，y0＝0；当 x0＝3时，y0＝8. 5 ∴C 点坐标为(－1,0)或(3，8)．
《点到直线的距离、两条平行直线间的距离》教学课件(18张PPT)
y
l S
o
. P (x0,y0)
0
d
Q
R x
点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： |Ax0+By0+C| d= A2+B2 当直线方程中的A=0时： |d|= 当直线方程中的B=0时： |d|= |By0+C| |B| |Ax0+C| |A|
点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： |Ax0+By0+C| d= A2+B2 求点(-1，2)到直线：3x=2的距离? |3×(-1)-2| 5 解：d= = 3 2 2 3 +0
|RS| =
|P0R|2+|P0S|2 A2+B2
y
l S
= |A||B| |Ax0+By0+C| o
. P (x0 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时：
设|P0Q|=d，由三角形面积公式可得：
d· |RS|=|P0R|· |P0S|
于是得： |P0R|· |P0S| d= |RS| |Ax0+By0+C| = A2+B2
则P0R的方程为y=y0， R的坐标为： ( - By0+C ，y0 ) A
则P0S的方程为x=x0， S的坐标为：( x0 , - Ax0+C ) B
y
l S
o
. P (x ,y )
0
0 0
d
Q R x
当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时： By +C 于是有： |P0R|= - 0 -x0 = |Ax0+By0+C| A |A| Ay +C |P0S|= - 0 -y0 = |Ax0+By0+C| B |B|
l S
o
. P (x0,y0)
0
d
Q
R x
点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： |Ax0+By0+C| d= A2+B2 当直线方程中的A=0时： |d|= 当直线方程中的B=0时： |d|= |By0+C| |B| |Ax0+C| |A|
点P0(x0，y0)到直线l ：Ax+By+C=0的距离公式： |Ax0+By0+C| d= A2+B2 求点(-1，2)到直线：3x=2的距离? |3×(-1)-2| 5 解：d= = 3 2 2 3 +0
|RS| =
|P0R|2+|P0S|2 A2+B2
y
l S
= |A||B| |Ax0+By0+C| o
. P (x0 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时：
设|P0Q|=d，由三角形面积公式可得：
d· |RS|=|P0R|· |P0S|
于是得： |P0R|· |P0S| d= |RS| |Ax0+By0+C| = A2+B2
则P0R的方程为y=y0， R的坐标为： ( - By0+C ，y0 ) A
则P0S的方程为x=x0， S的坐标为：( x0 , - Ax0+C ) B
y
l S
o
. P (x ,y )
0
0 0
d
Q R x
当直线l 的方程Ax+By+C=0中A≠0且B≠0时： By +C 于是有： |P0R|= - 0 -x0 = |Ax0+By0+C| A |A| Ay +C |P0S|= - 0 -y0 = |Ax0+By0+C| B |B|
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PR 2 PS 2 A2 B 2 Ax0 By0 C AB
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
B.0,10
D. ,0 10,
1 3 C. , 3 13
（A ）
4.已知两直线3x 2 y 3 0与6 x my 1 0互相 平行，则它们之间的距 离等于
A.4
2 3 B. 13 5 3 C. 26 7 13 D. 26
（D ）
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
d 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
l
P
M
l1
T
(提示：由 MN 3 2 及两平行线 间的距离 MT =3 知，l 与 l1的夹 角为450，利用夹角公式求得l 的 斜率，进一步得 l 的方程。) (KEY:7x+y-17=0 或x-7y+19=0.)
Ө N
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
A. 3
（ D）
B. 3
3 C. 3
3 D. 3或 3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
A. 10
B.2 2
（B ）
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线 4 x 3 y 1的距离不大于 3， 则a的取值范围
A.0,10
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
l R
y
P d Q
O
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
x
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0
3 9 3 13 MN (提示：Ｍ( 4 ,0),N(0, 2 ), 4
x-4y+6=0
N
P M
直线MN方程：4x+6y-9=0,
11 P(2,2)到直线MN的距离d= 2 13 ,
o
x
∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN 15 ＝ . 4
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q
l2
x
O
任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例3：一直线经过点P(2,3),且和两平行线3x+4y+8=0与 3x+4y-7=0都相交,且交点间距离为 3 2 ,求直线方程. l2
l 过p作x轴的平行线, 交l与点R x1 , y0 ; R
AB 0, 这时l与x轴, y轴都相交,
y
P
RS
由三角形面积公式可得：
d RS PR PS
d A2 B 2 Ax0 By0 C AB
B.0,10
D. ,0 10,
1 3 C. , 3 13
（A ）
4.已知两直线3x 2 y 3 0与6 x my 1 0互相 平行，则它们之间的距 离等于
A.4
2 3 B. 13 5 3 C. 26 7 13 D. 26
（D ）
法二：P(x0,y0), l:Ax+By+C=0, 设AB≠0,
d 作y轴的平行线, 交l与点S x0 , y2 Q Ax1 By0 C 0, Ax0 By2 C 0 By0 C Ax0 C x x1 , y2 S O A B Ax0 By0 C Ax0 By0 C PR x0 x1 , PS y0 y2 A B
l
P
M
l1
T
(提示：由 MN 3 2 及两平行线 间的距离 MT =3 知，l 与 l1的夹 角为450，利用夹角公式求得l 的 斜率，进一步得 l 的方程。) (KEY:7x+y-17=0 或x-7y+19=0.)
Ө N
反馈练习：
1.点（3，m）到直线 l：x 3 y 4 0的距离等于1， 则m等于
d
y
P(-1,2) O
2 1 1 2 10 2 1
2 2
2 5
②如图，直线3x=2平行于y轴，
2 5 d ( 1) 3 3 x 用公式验证，结果怎样？ l:3x=2
例2： 求平行线2x-7y+8=0与2x-7y-6=0的距离。 y 两平行线间的 l1:2x-7y+8=0 距离处处相等 l2: 2x-7y-6=0 x O P(3,0) 在l2上任取一点，例如P(3,0) P到l1的距离等于l1与l2的距离
A. 3
（ D）
B. 3
3 C. 3
3 D. 3或 3
2.若点P（x，y）在直线x y 4 0上，O是原点， 则 OP的最小值是
A. 10
B.2 2
（B ）
C. 6
D.2
3.若点（4，a）到直线 4 x 3 y 1的距离不大于 3， 则a的取值范围
A.0,10
点到直线的距离
点到直线的距离
l
.P
点到直线的距离
y
l : Ax+By+C=0 Q
. P(x0,y0)
o x
问题：求点P（x0 ,y 0）到直线l：Ax+By+C=0的距离。
P
y l Q P（x0，y0） x l:Ax+By+C=0
O
法一：写出直线PQ的方程，与l 联立求出点Ｑ的坐标， 然后用两点间的距离公式求得 PQ .
l R
y
P d Q
O
Ax0 By0 C Ax0 By0 C . A B
S
x
d
Ax0 By0 C A2 B 2
A=0或B=0，此公式也成立， 但当A=0或B=0时一般不用此 公式计算距离．
注： 在使用该公式前，须将 直线方程化为一般式．
例1:求点P(-1,2)到直线①2x+y-10=0； ②3x=2的距离。 解： ①根据点到直线的距离公式，得
小结：
（1）点到直线距离公式：
d
Ax0 By0 C化为一般式；
（2）两平行直线间的距离：
d
C2 C1 A2 B 2
，
注意用该公式时应先将两平行线的x,y的系数整理 为对应相等的形式。
5、求直线x-4y+6=0和8x+y-18=0与两坐 标轴围成的四边形的面积．
y
8x+y-18=0
3 9 3 13 MN (提示：Ｍ( 4 ,0),N(0, 2 ), 4
x-4y+6=0
N
P M
直线MN方程：4x+6y-9=0,
11 P(2,2)到直线MN的距离d= 2 13 ,
o
x
∴Ｓ四边形OMPN ＝ Ｓ△OMN+Ｓ△PMN 15 ＝ . 4
d
23 70 8 2 ( 7 )
2 2
14 14 53 53 53
❋直线到直线的距离转化为点到直线的距离
y P
l1 思考：任意两条平行线的距离是多少呢？
Q
l2
x
O
任意两条平行直线都可以写 成如下形式： l1 :Ax+By+C1=0 l2 :Ax+By+C2=0
在直线 l1上任取一点P x0 , y0 ,过点P作直线 l2的垂线,垂足为Q Ax0 By0 C2 则点P到直线l2的距离为: PQ A2 B2 点P在直线l1上， Ax0 By0 C1 0
Ax0 By0 C1 PQ C2 C1 2 2
A B
（两平行线间 的距离公式）
注：用两平行线间距离公式须将方程中x、y的系数化为 对应相同的形式。
例3：一直线经过点P(2,3),且和两平行线3x+4y+8=0与 3x+4y-7=0都相交,且交点间距离为 3 2 ,求直线方程. l2