(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)
2020高考虽然延期，但是每天练习一定要跟上，加油！圆锥曲线一． 选择题：1.（福建卷11)又曲线22221x y a b==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为BA.(1,3)B.(]1,3C.(3,+∞)D.[)3,+∞2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ）A. （41，－1） B. （41，1）C. （1，2）D. （1，－2）3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22c a . 其中正确式子的序号是BA. ①③B. ②③C. ①④D. ②④4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1(0,]2C．(0,2 D．,1)26.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） AB ．3 CD ．927.（全国二9）设1a >，则双曲线22221(1)x y a a -=+的离心率e 的取值范围是（ B ）A． B． C ．(25)， D．(28.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为135，焦点在X 轴上且长轴长为ABCD-26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为A（A ）1342222=-y x (B)15132222=-y x(C)1432222=-y x (D)112132222=-y x9.（陕西卷8）双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ B ）ABC D10.（四川卷12）已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK AF =，则AFK ∆的面积为( B )（Ａ）4 （Ｂ）8 （Ｃ）16 （Ｄ）3211.（天津卷（7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为B（A ）2211216x y += （B ）2211612x y += （C ）2214864x y += （D ）2216448x y += 12.（浙江卷7）若双曲线12222=-by a x 的两个焦点到一条准线的距离之比为3：2,则双曲线的离心率是D（A ）3 （B ）5 （C ）3 （D ）5 13.（浙江卷10）如图，AB 是平面a 的斜线段，A 为斜足，若点P 在平面a 内运动，使得△ABP 的面积为定值，则动点P 的轨迹是B（A ）圆 （B ）椭圆 （C ）一条直线 （D ）两条平行直线14.（重庆卷(8)已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的一条渐近线为y =kx (k ＞0),离心率e 5k ,则双曲线方程为C（A ）22x a －224y a =1(B)222215x y a a -= (C)222214x y b b-=(D)222215x y b b-=二． 填空题：1.（海南卷14）过双曲线221916x y -=的右顶点为A ，右焦点为F 。
2020高考—圆锥曲线(解答+答案)
2020年高考——圆锥曲线1.(20全国Ⅰ文21)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.2.(20全国Ⅰ理20)（12分）已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ． （1）求E 的方程； （2）证明：直线CD 过定点.3.（20全国Ⅱ文19）(12 分)已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴重直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．4.（20全国Ⅱ理19）（12分）已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |． （1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程．5.（20全国Ⅲ文21）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．6.（20全国Ⅲ理20）（12分）已知椭圆222:1(05)25x y C m m+=<<，A ，B 分别为C 的左、右顶点． （1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ △的面积．7.（20新高考Ⅰ22）（12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为2，且过点A （2，1）．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得|DQ |为定值．8.(20天津18)（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O 为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程．9.(20浙江21)（本题满分15分）如图，已知椭圆221:12x C y +=，抛物线22:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于点M （B ，M 不同于A ）． （Ⅰ）若116p =，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值．10.（20江苏18）（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为F 1，F 2，点A在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF 1与椭圆E 相交于另一点B ．（1）求12AF F △的周长；（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相交于点Q ，求OP QP ⋅的最小值；（3）设点M 在椭圆E 上，记OAB △与MAB △的面积分别为S 1，S 2，若213S S =，求点M 的坐标．11.(20北京20)（本小题15分）已知椭圆2222:1x y C a b+=过点(2,1)A --，且2a b =．（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）过点(4,0)B -的直线l 交椭圆C 于点,M N ,直线,MA NA 分别交直线4x =-于点,P Q ．求||||PB BQ 的值．参考答案：1．解：（1）由题设得(,0),(,0),(0,1)A a B a G -．则(,1)AG a =，(,1)GB a =-．由8AG GB ⋅=得218a -=，即3a =．所以E 的方程为2219x y +=．（2）设1122(,),(,),(6,)C x y D x y P t ．若0t ≠，设直线CD 的方程为x my n =+，由题意可知33n -<<． 由于直线PA 的方程为(3)9t y x =+，所以11(3)9ty x =+．直线PB 的方程为(3)3t y x =-，所以22(3)3ty x =-．可得12213(3)(3)y x y x -=+．由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0m y y m n y y n ++++++=．①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290m y mny n +++-=．所以212122229,99mn n y y y y m m -+=-=-++． 代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0m n m n mn n m +--++++=． 解得3n =-（舍去），32n =． 故直线CD 的方程为32x my =+，即直线CD 过定点3(,0)2． 若0t =，则直线CD 的方程为0y =，过点3(,0)2．综上，直线CD 过定点3(,0)2．2．解：（1）由题设得A （–a ，0），B （a ，0），G （0，1）.则(,1)AG a =，GB =（a ，–1）.由AG GB ⋅=8得a 2–1=8，即a =3.所以E 的方程为29x +y 2=1．（2）设C （x 1，y 1），D （x 2，y 2），P （6，t ）.若t ≠0，设直线CD 的方程为x =my +n ，由题意可知–3<n <3. 由于直线PA 的方程为y =9t （x +3），所以y 1=9t （x 1+3）.直线PB 的方程为y =3t （x –3），所以y 2=3t（x 2–3）.可得3y 1（x 2–3）=y 2（x 1+3）.由于222219x y +=，故2222(3)(3)9x x y +-=-，可得121227(3)(3)y y x x =-++， 即221212(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n ++++++=①将x my n =+代入2219xy +=得222(9)290.m y mny n +++-=所以12229mn y y m +=-+，212299n y y m -=+．代入①式得2222(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n mn n m +--++++= 解得n =–3（含去），n =32.故直线CD 的方程为3=2x my +，即直线CD 过定点（32，0）． 若t =0，则直线CD 的方程为y =0，过点（32，0）.综上，直线CD 过定点（32，0）.3．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，)，(0,)，2C 的准线为x c =-. 由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y +=，2C 的标准方程为28y x =.4．解：（1）由已知可设2C 的方程为24y cx =，其中c =不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a -；,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =.由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⨯=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，b =，故22122:143x y C c c+=，设00(,)M x y ，则220022143x y c c +=，2004y cx =，故20024143x x c c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而||5MF =，故05x c =-，代入①得22(5)4(5)143c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.5．解：（1）由题设可得54=，得22516m =，所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >， 由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ，故11APQ △的面积为1522=. 22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q的距离为26，故22AP Q △的面积为152262⨯=. 综上，APQ △的面积为52.6．解：（1）由题设可得54=，得22516m =， 所以C 的方程为221252516x y +=. （2）设(,),(6,)P P Q P x y Q y ，根据对称性可设0Q y >，由题意知0P y >，由已知可得(5,0)B ，直线BP 的方程为1(5)Qy x y =--，所以||BP y =，||BQ =， 因为||||BP BQ =，所以1P y =，将1P y =代入C 的方程，解得3P x =或3-. 由直线BP 的方程得2Q y =或8.所以点,P Q 的坐标分别为1122(3,1),(6,2);(3,1),(6,8)P Q P Q -.11||PQ 11PQ 的方程为13y x =，点(5,0)A -到直线11PQ 的距离为2，故11APQ △的面积为1522=.22||PQ =22P Q 的方程为71093y x =+，点A 到直线22P Q故22AP Q △的面积为1522=. 综上，APQ △的面积为52.7．解：（1）由题设得22411a b +=，22212a b a -=，解得26a =，23b =． 所以C 的方程为22163x y +=． （2）设11(,)M x y ，22(,)N x y ．若直线MN 与x 轴不垂直，设直线MN 的方程为y kx m =+，代入22163x y +=得222(12)4260k x kmx m +++-=． 于是2121222426,1212km m x x x x k k -+=-=++．①由AM AN ⊥知0AM AN ⋅=，故1212(2)(2)(1)(1)0x x y y --+--=， 可得221212(1)(2)()(1)40k x x km k x x m ++--++-+=．将①代入上式可得22222264(1)(2)(1)401212m kmk km k m k k-+---+-+=++．整理得(231)(21)0k m k m +++-=．因为(2,1)A 不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故2310k m ++=，1k ≠．于是MN 的方程为21()(1)33y k x k =--≠. 所以直线MN 过点21(,)33P -. 若直线MN 与x 轴垂直，可得11(,)N x y -.由0AM AN ⋅=得1111(2)(2)(1)(1)0x x y y --+---=. 又2211163x y +=，可得2113840x x -+=.解得12x =（舍去），123x =. 此时直线MN 过点21(,)33P -. 令Q 为AP 的中点，即41(,)33Q . 若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP △的斜边，故1||||2DQ AP ==. 若D 与P 重合，则1||||2DQ AP =. 综上，存在点41(,)33Q ，使得||DQ 为定值.8．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3c b ==．又由222a b c =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为221189x y +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB 和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221k x k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k k k --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =． 所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．9.（Ⅰ）由116p =得2C 的焦点坐标是1(,0)32． （Ⅱ）由题意可设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，点00(,)A x y ．将直线l 的方程代入椭圆221:12x C y +=得222(2)220m y mty t +++-=， 所以点M 的纵坐标22M mt y m =-+． 将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得2220y pmy pt --=，所以02M y y pt =-，解得202(2)p m y m+=， 因此22022(2)p m x m+=． 由220012x y +=得2421224()2()160m m p m m =+++≥，所以当m，t =时，p．10.解：（1）椭圆22:143x y E +=的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ， 则2224,3,1a b c ===.所以12AF F △的周长为226a c +=.（2）椭圆E 的右准线为4x =.设(,0),(4,)P x Q y ，则(,0),(4,)OP x QP x y ==--，2(4)(2)44,OP QP x x x ⋅=-=--≥-在2x =时取等号.所以OP QP ⋅的最小值为4-.（3）因为椭圆22:143x y E +=的左、右焦点分别为12,F F ，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，212AF F F ⊥， 则123(1,0),(1,0),(1,)2F F A -. 所以直线:3430.AB x y -+= 设(,)M x y ，因为213S S =，所以点M 到直线AB 距离等于点O 到直线AB 距离的3倍. 由此得|343||30403|355x y -+⨯-⨯+=⨯， 则34120x y -+=或3460x y --=. 由2234120,143x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得2724320x x ++=，此方程无解； 由223460,143x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩得271240x x --=，所以2x =或27x =-. 代入直线:3460l x y --=，对应分别得0y =或127y =-. 因此点M 的坐标为(2,0)或212(,)77--.11.。
精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线与抛物线22(0)px p y =>的准线分别交于A , B 两点,O 为坐标原点. 若双曲线的离心率为2, △AOB 则p =（ ）A ．1B ．32C ．2D ．32．(2005全国1文)已知双曲线)0( 1222>=-a y a x 的一条准线为23=x ，则该双曲线的离心率为（ ） （A ）23（B ）23 （C ）26（D ）3323．（2007四川文）（5）如果双曲线2422y x -＝1上一点P 到双曲线右焦点的距离是2,那么点P 到y 轴的距离是（ ） (A)364 (B)362 (C)62(D)324．（2005）抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( ) A ． 2B ． 3C ． 4D ． 55．设点P 是椭圆22195x y +=上的一点，点M 、N 分别是两圆：2221(x )y ++=和2221(x )y -+=上的点，则的最小值、最大值分别为( )(A)6，8 (B)2，6(C)4，8 (D)8，12二、填空题6．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，1,B B 分别是双曲线虚轴的上、下端点，,A F分别是双曲线左顶点和坐焦点，若双曲线的离心率为2，则BA 与1B F 夹角的正切值为 ．7． 若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为y =，则它的离心率为 ▲ ．8．已知动圆过定点(0，－1)，且与定直线y ＝1相切，则动圆圆心的轨迹方程为________．9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ．10．.双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________.11．一圆形纸片的圆心为O 点，Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点，把纸片折叠使点A 与点Q 重合，然后抹平纸片，折痕CD 与OA 交于P 点，当点A 运动时点P 的轨迹是__ ____。
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)
2019年高考数学理试题分类汇编：圆锥曲线(含答案)2019年高考数学理试题分类汇编——圆锥曲线一、选择题1.（2019年四川高考）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y=2px(p>0)上任意一点，M是线段PF上的点，且PM=2MF，则直线OM的斜率的最大值为2/3.（答案：C）2.（2019年天津高考）已知双曲线x^2/4 - y^2/9 = 1（b>0），以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A、B、C、D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为x^2/4 - y^2/9 = 1.（答案：D）3.（2019年全国I高考）已知方程x^2/n^2 - y^2/m^2 = 1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(-1,3)。
（答案：A）4.（2019年全国I高考）以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
已知|AB|=42，|DE|=25，则C的焦点到准线的距离为4.（答案：B）5.（2019年全国II高考）圆(x-1)^2 + (y-4)^2 = 13的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1，则a=-2/3.（答案：A）6.（2019年全国II高考）已知F1,F2是双曲线E:x^2/4 -y^2/2 = 1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1=1/3，则E的离心率为2/3.（答案：A）7.（2019年全国III高考）已知O为坐标原点，F是椭圆C:x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1(a>b>0)的左焦点，A、B分别为C的左、右顶点。
P为C上一点，且PF⊥x轴。
过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E。
若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为1/3.（答案：A）8.（2019年浙江高考）已知椭圆 + y^2/(m^2-1) = 1(m>1)与双曲线- y^2/(n^2-1) = 1(n>0)的焦点重合，e1，e2分别为m，n，则e1+e2=3.（答案：C）解析】Ⅰ）由题意可知，椭圆C的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，根据离心率的定义可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中$c$为椭圆的焦距之一，即$2c$为椭圆的长轴长度，$a$为椭圆的半长轴长度，$b$为椭圆的半短轴长度，则有：$$\frac{2c}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ 即：$$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{4}$$ 又因为焦点$F$在椭圆的一个顶点上，所以该顶点的坐标为$(a,0)$，即$2c=2a$，代入上式可得：$$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$$ 又因为椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，代入$\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$可得：$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1$$ 即：$$x^2+4y^2=a^2$$ （Ⅱ）（i）设椭圆C的另一个顶点为$V$，则$OV$为椭圆的长轴，$OF$为椭圆的短轴，且$OV=2a$，$OF=\sqrt{3}a$。
【新】2019-2020学年度新课标Ⅱ高考数学总复习专题09圆锥曲线分项练习含解析文
B．y＝或y＝
C．y＝或y＝
D．y＝或y＝
【答案】：C
设|AM|＝|AF|＝3t(t＞0)，|BN|＝|BF|＝t，|BK|＝x，而|GF|＝2，
在△AMK中，由，得，
解得x＝2t，则cos∠NBK＝，
∴∠NBK＝60°，则∠GFK＝60°，即直线AB的倾斜角为60°.
∴斜率k＝tan 60°＝，故直线方程为y＝．
8.【2015新课标2文数】已知双曲线过点,且渐近线方程为,则该双曲线的标准方程为．
【答案】
【解析】
【考点定位】本题主要考查双曲线几何性质及计算能力.
【名师点睛】本题是求双曲线的标准方程,若设标准形式,需先判断焦点是在x轴上,还是在y轴上,而此题解法通过设共渐近线的双曲线的方程,就不需要判断双曲线焦点是在x轴上,还是在y轴上.一般的结论是：以为渐近线的双曲线的方程可设为.
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【解析】双曲线的一条渐近线方程为，与相同，∴，
∴.
5.【2005全国3，文9】已知双曲线的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且则点M到x轴的距离为（）
A．B．C．D．
【答案】C
∴.
6.【2017新课标2，文12】过抛物线的焦点，且斜率为的直线交于点（在的
轴上方），为的准线，点在上且,则到直线的距离为
7.【2016新课标2文数】设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=
（A）（B）1（C）（D）2
【答案】D
【解析】
试题分析：因为是抛物线的焦点，所以，
又因为曲线与交于点，轴，所以，所以，选D.
【考点】抛物线的性质，反比例函数的性质
精选最新2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练考核题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．1 ．（2013年高考四川卷（文））抛物线28y x =的焦点到直线0x -=的距离是（ ）A ．B ．2CD ．12．（2008天津文7）设椭圆22221x y m n+=（0m >，0n >）的右焦点与抛物线28y x =的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为 ( ) A .2211216x y += B .2211612x y += C .2214864x y += D .2216448x y += 3．（2010山东文）已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于,A B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的标准方程为( )A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =-4．（2009浙江文）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B在椭圆上，且BF x ⊥轴，直线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ）DA B ．2 C ．13 D ．125．（2005年高考上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ） A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条 C ．有无穷多条D ．不存在二、填空题6． 已知椭园2222:1x y C a b+= (0)a b >>，(2,0)A 为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC ⋅=，2OB OC BC BA -=-，则其短轴长为7．（3分）在平面直角坐标系中，准线方程为y=4的抛物线标准的方程为 x 2=﹣16y ． =48．椭圆5x 2＋ky 2＝5的一个焦点是(0,2)，那么k 的值为9．如图，在平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若090BAO BFO ∠+∠=，则椭圆的离心率是 ．10．已知双曲线()222210,0x y C a b a b-=>>：的右焦点为F ,过F C于A B 、两点，若4AF FB =,则C 的离心率为____________．11．正方形ABCD 的边AB 在直线y =x +4上，C 、D 两点在抛物线y 2=x 上，则正方形ABCD 的面积为_________12．如图，已知12,F F 是椭圆2222:1x y C a b+= (0)a b >>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段2PF 与圆222x y b += 相切于点Q ，且点Q 为线段2PF 的中点，则椭圆C 的离 心率为 .第11题13．抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) ．若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 ．14．已知椭圆22221(0)y x a b a b +=>>的中心为O ，右焦点为F 、右顶点为A ，右准线与x 轴的交点为H ，则||||FA OH 的最大值为 ▲15．渐近线方程为750x y ±=且过点的双曲线的标准方程是______________16．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y a-=（0a >）的一条渐近线与直线l ：210x y -+= 垂直，则实数=a ★ ；17．设P 是椭圆1162522=+y x 上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点， 则AF PA PF PA ⋅+⋅41的最小值为 ▲ ．18．抛物线24y mx =(0)m >的焦点到双曲线221169x y -=的一条渐近线的距离为3，则此抛物线的方程为 ▲ ．19．设双曲线2222by a x -=1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0），（0，b ）两点.已知原点到直线l 的距离为43c ，则双曲线的离心率为____________三、解答题20． 已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为5x =，离心率e =求该双曲线的方程；（Ⅱ）点A的坐标为(0)，B是圆22(1x y +=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标w.w.k.s.5.u.c.o.m .5.u.c.o.m21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的离心率；（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ． （i）若12AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值． 【答案及解析】（第19题）【点评】本题主要考查椭圆的定义、几何性质以及直线与椭圆的关系．本题注意解题中，待定系数法在求解椭圆的标准方程应用，曲线和方程的关系.在利用条件2621=-BF AF时，需要注意直线1AF 和直线2BF 平行这个条件.本题属于中档题． 22． (本小题满分16分)已知椭圆E 的中心在坐标原点O ，经过两点).55,2(),552,1(-B A 圆C 以点（2，0）为圆心，椭圆的短半轴长为半径。
最新2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二）121.椭圆C 1：()22210x ya b a b +=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为3410.过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2：4 ()()22240x y r r -+=>相切于点N .5 （Ⅰ）求椭圆C 1的方程；6（Ⅱ）若43AN MN =，求直线l 的方程和圆C 2的半径r . 7 8 9 10 11 12 13 1415 2.已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左16 顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x17 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意18 引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，19 若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. 20 （1）求21λ⋅λ的值；21 （2）求证：点Q 在一定直线上.2225 26 27 28 29 3031 3.已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，32 且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 33 为坐标原点），连接EQ .34 （1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切；35 （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由. 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 4647 4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点48 关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上49 移动时，记点M 的轨迹为W . 50 （1）求轨迹W 的方程；51 （2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f . 525356 57 58 59 60 61 6263 5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为64 2d ，且2122d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且65 180OFA OFB ∠+∠=︒.66 （1）求椭圆C 的方程；67 （2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；68 （3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存69 在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由. 70 71 72 73 74 75 76 7778 6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45，A ，B 分79 别为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点． 80 （1）求m 的值及椭圆的准线方程；81 （2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以82 BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明． 838485 86 87 88 89 90 9192 7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b+=>>93 的离心率为12，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接94 AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点. 95 （1）求椭圆的标准方程； 96 （2）若AF FC =，求BFFD的值； 97 （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出98 m 的值；若不存在，请说明理由. 99 100 101 102 103 104 105106 8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点107 6(2,)2. 108 （1）求椭圆E 的方程；109 （2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于110 A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .111①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；112 ②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标. 113 114 115 116 117 118 119 120121 9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交122 C 的准线于P ，Q 两点．123 （1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；124 （2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程. 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134135 10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点在直线l ：330x y --=上，且椭圆上任意两136 个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. 137 （1）求椭圆C 的方程；138 （2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中139 02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存140 在，请说明理由.141144 145 146 147 148 149 150 151152 11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴153 上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.154 （I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；155 （II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <. 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165166 12.已知点C 在圆()22116x y ++=上，A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC 的垂直平167 分线交线段AC 于点M . 168 （1）求点M 的轨迹E 的方程；169 （2）设圆222x y r +=与点M 的轨迹E 交于不同的四个点D ，E ，F ，G ，求四边形DEFG 的170 面积的最大值及相应的四个点的坐标. 171172175 176 177 178 179 180 181 182 18313.已知椭圆C1：2214xy+=，曲线C2上的动点(),M x y满足：18416=.185（1）求曲线C2的方程；186（2）设O为坐标原点，第一象限的点A，B分别在C1和C2上，2OB OA=，求线段|AB|的187长.18818919019119219319419519619719814.已知中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆E过点122⎛⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为.199（1）求椭圆E的方程；200（2）直线l过椭圆E的左焦点F，且与椭圆E交于A，B两点，若△OAB的面积为23，求直201线l 的方程. 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 21221315.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l 与椭214 圆C 交于M ，N 两点.215（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ，求1F MN ∆的周长及216 1F MP ∆的面积；217 （2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在218 定直线上. 219 220 221 222 223 224 225 226 227228 16.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．229 （1）求椭圆C 的方程；230 （2）直线AB ：y =k （x +1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x =m 于点M ，设直线P A 、231PB、PM的斜率依次为k1、k2、k3，问是否存在实数t，使得k1+k2=tk3？若存在，求出实数t 232的值以及直线l的方程；若不存在，请说明理由．23323423523623723823924024124224317.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(1,0),F左顶点为(2,0).A-244（1）求椭圆E的方程；245（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M,N两点.试判断直246线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.247248参考答案249250 1.（Ⅰ）由题意知，c a =，即22234a b a-=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为251 5，∴弦在第一象限的端点的坐标为⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解252得2,1a b ==.∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. 253 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2,0A -，设()()1122,,,M x y N x y ，∵43AN MN =，∴14AM AN =，254∴214y y =，设直线l 的方程为()20x y =-≠λλ，联立22214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩λ，得()22440y y +-=λλ，255 ∴1244y =+λλ；联立()22224x y x y r=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩λ，得()222112360y y r +-+-=λλ，∵0∆=，256∴22361r =+λ，且2261y =+λλ；∴2264414=+⋅+λλλλ，解得245=λ，∴220r =，257∴:5100,l x r ±+==258 259260 2.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 261 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ， 262 又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB PC263同理：由2λ=，得：221λλ++=PAPQ264又23=，所以11123λλ++=PQPA265又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=•λλ266 （2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q267由CQ BC 1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y268 代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，269 整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x270 显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 271 同理：由DA QD 2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y272 代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx273同理可得：96244843020202+-+=x y x λ274 又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+•-+++x y x y x y x 275 整理得：0200=+-y x 276 即点Q 在定直线02=+-y x 上.277278279280 3.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 281 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 282 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 283 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 284 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.285286 （2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，287 由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 288 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y289 20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=290由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 291得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d292 又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d293 所以直线EQ 与圆222=+y x 相切. 294 295296 4.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 297 所以AB 边所在直线与y 轴平行，298 设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 299 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 300 因为3||||=•MB AM ，301 所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 302 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x 303 （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，304 因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 305所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x306 若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 307 若14≥m ，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 308所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f . 309 310311 5.解：设()P x y ，，则1|2|d x =+，2d21d d ==，312 化简得：2212x y +=.313 ∴椭圆C 的方程为：2212x y +=314 （2）解：∵(01)A ，，(10)F -，， 315 ∴1010(1)AF k -==--，180OFA OFB ∠+∠=︒，316 ∴1BF k =-，BF ：1(1)1y x x =-+=--317 代入2212x y +=，得：2340x x +=，318∴0x =，或43x =-，代入1y x =--得01x y =⎧⎨=-⎩（舍），或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩319∴4133B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，32011134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴AB ：112y x =+ 321（3）证明：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设11()A x y ，，322 22()B x y ，，122()B x y -，323 设直线AF 方程：(1)y k x =+，代入2212x y +=，得：222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，3242122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，1212AB y y k x x -=-，AB ：121112()y y y y x x x x --=--，325令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--， 326 11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，327()22222112211212122121212212211(1)(1)22222(1)12212k k k k x y x y x k x x k x x x x x x k y y k x k x x x k -⨯-++-⨯++⨯+++=====--+++++-+328∴直线l 总经过定点(20)M -，329330331332 6.解：（1）因为椭圆的离心率为45．所以16161625m =+，解得9m =． 333 所以椭圆的方程为221259x y += ……3分334 准线方程为254x =±……5分335 （2）由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -，设()00,P x y ．由椭圆的对称性，不妨设00y > 336 ①若04x =，则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PF 方程为4x =， 337 AP 方程为15xy =+，()5,2D 338 以BD 为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF 相切； ……8分339 ②若04x ≠，则AP 方程为()0055y y x x =++ 340令5x =，得00105y y x =+，则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭341以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，半径为0055y x + ……11分 342 直线PF 方程为()0044y y x x =--，即()000440y x x y y ---= 343圆心M 到直线PF 的距离d =……13分344=＝()00002545455x y x x -+=-＝055y x + 345所以圆M 与直线PF 相切 ……15分346 综上所述，当直线AP 绕点A 转动时，以BD 为直径的圆与直线PF 相切．347 …………16分348 349350 7.（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩351解之得：2a b =⎧⎪⎨⎪⎩22143x y +=352 （2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --， 353 此时直线BF 方程为3430x y --=，354 由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），355故1(1)713317BF FD --==-． 356（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，357 直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 358 2220000(156)815240x x y x x ---+=，359因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，360 又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--， 361 同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， 362所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，363即存在53m =，使得2153k k =． 364 365366 8.解：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，且过点2， 367所以223221,1c a b =+=，解得2,a b ==，368 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. 369 （2）①设000(,)(0)P x y y ≠，则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 370 令2x =得004(2,)2y M x +，因为01022y k x =+，因为0202y k x =-， 371所以212202y k k x =-，因为000(,)(0)P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=， 372 所以1232k k =-为定值， 373 ②直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=， 374 则直线m 的方程为1111011112242(2)(2)(1)2x x y x y x y x x y y x y ---=-+=-+=++， 375 所以直线m 过定点(1,0)-. 376 3773789.由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且379 22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 380 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 381 （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 382 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=， 383 所以ARFQ . ......5分384 （2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 385 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 386 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x . 387 设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 388 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 389 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 390 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分 391 392393 10.解：（1）设椭圆焦距为2c （0c >），右焦点 为(0)c ，， 394∵直线l 与x 轴的交点坐标为0)∴c =.395 设椭圆上任意一点()Q x y ，和关于原点对称的两点()M m n ，，()N m n --，，396 则有22221m n a b +=，22221x y a b +=∴2222220x m y n a b --+= 397 又∵14y n y n x m x m -+⋅=--+即222214y n x m -=--∴2214b a = 398 又2223c a b =-=，∴24a =，21b =.399 ∴椭圆的方程为2214x y +=.400 （2）存在04x =符合题意，理由如下：401当直线t 的斜率存在时，设直线t 的方程为(1)y k x =-，设11()A x y ，，22()B x y ，联立22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得402 2222(41)8440k x k x k +-+-=403 2222(8)4(41)(44)0k k k =--+->△恒成立404 2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ 405 不妨设121x x >>，406∴012021||||||1||||1|]A B d PB d PA x x x x x x -=-⋅---⋅-407 001212(1)()2]0x x x x x x =-+++=408 ∴2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++，整理得0280x -=，即04x =满足条件409 当直线t 的斜率不存在时，显然04x =满足条件 410 综上，04x =时符合题意. 411 412413 11.解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y 代入24y x =，得到12y = …………………1分 414 又||2BC =，所以212x x -=，所以23x = …………………2分 415 代入24y x =，得到1y =…………………3分 416所以21211AD y y k x x -===- …………………4分417 （Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+.418 则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………6分 419 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,420所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………8分 421所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=,…………………10分 422 又1204kmy y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+， 423因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………12分 424 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+.425 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=, 426所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………6分 4272221212||1|1|21AD k x x k x x k =+-=+-=+428 点O 到直线AD 的距离为21d k =+, 所以||||211m d AD S ==…………8分 429 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++= …………………10分 430 又1204kmy y =>，所以0,0k m >> 431 因为16160km ∆=->，所以01km << 432 所以12124S m km S y y ==+41<…………………12分 433 434435 12.解：（1）由已知得：4MA MB AC +==，而24AB =<，436所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，437 设(,)M x y ，所以点M 的轨迹E 的方程：22143x y +=．………4分438 （2）由对称性可知，四边形DEFG 为矩形，不妨设()11,D x y 为椭圆E 上第一象限的点， 439 则11=4DEFG S x y 矩形，440 而10x >，10y >，且2211143x y +=，441所以22111111=443243432433DEFG x x y S x y ⎫=⋅≤+=⎪⎭矩形 442 当且仅当1123x =12x =， 162y =时，取“=”， 443所以矩形DEFG的面积的最大值为444四个点的坐标为：,⎭，,⎭，,⎛⎝⎭，,⎛-⎝⎭．………12分44544644713.解：（1）由已知，动点M到点()0,-P，()0,Q的距离之和为8，448且8<PQ，所以动点M的轨迹为椭圆，而4=a，=c，所以2=b，449故椭圆2C的方程为221164y x+=.………3分450（2）解：,A B两点的坐标分别为()(),,,A AB Bx y x y，由2OB OA=及（1）知，,,O A B三点共线且点451,A B不在y轴上，因此可设直线AB的方程为y kx=.452将y kx=代入2214xy+=中，得()22144k x+=，所以22414Axk=+，453将y kx=代入221164y x+=中，得()22416k x+=，所以22164Bxk=+，454又由2OB OA=，得224B Ax x=，即22164414k k=++，455解得21,=易得k A B，456故||==AB分45745845914.解：（1）设椭圆E的方程为：22221x ya b+=(0)a b>>，460由已知：222221261144⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a baa b得：22a=，21b=，461所以，椭圆E的方程为：2212xy+=. ………3分462（2）由已知直线l过左焦点()1,0F-．463①当直线l与x轴垂直时，1,A⎛-⎝⎭，B⎛-⎝⎭，此时AB=464则1122OABS∆==，不满足条件．465②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：()1y k x=+466由()22112=++⎧⎨⎪⎩=⎪y k xxy得()2222124220k x k x k+++-=467所以2122412kx xk+=-+，21222212kx xk-=+，468而12121122OABS OF y y y y∆=⋅-=-，469由已知23OABS∆=得1243y y-=，470所以()22222441612912k kkk+=++，则4220k k+-=，所以1k=±，471所以直线l的方程为：10x y-+=或10x y++=．………12分47247347415.（1）由题设知：12ba⎧==⎩得2a=，∴椭圆C的方程为22143x y+=……2分475∴1F MN∆的周长11122148;F M MN NF F M MF F N NF a=++=+++==……………3分476由12(1,0),(1,0)F F-知直线l的方程为1x+=，得(4,P-，477∴1F MP∆的面积121(2F F=-=分478（2）【证明】设(,),0,(0,),M x y x y Q y c>=且,由题设知：12(,0),(,0)F c F c-. 479由2,,M F Q l∈知22//F M F Q，220(,),(,)F M x c y F Q c y=-=-，则有0()y x c cy-=-；480由11F M FQ⊥知11FM FQ⊥，110(,),(,)FM x c y FQ c y=+=，则有0()0c x c y y++=；481∴两式联立消去y点得(,)M x y满足2()()x c x c y+-=，即222x y c-=；……………9分482又点M 在椭圆C 上，即有12222=+b y a x ， 即222222b x a y a b +=， 483∴两式联立得44222222,a b x y a b a b ==++； 又224a b +=，即22,22a b x y ==………11分 484∴点(,)M x y 满足222a b x y ++=，即点M 在定直线2x y +=上. ……………………12分 48548648716.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c ， 488b 2=a 2﹣c 2=c 2，将P 代椭圆方程：，则，解得：c=1， 489则a=，b=1， 490∴椭圆的方程：； 491（2）由题意可知：k 显然存在且不为0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1）， 492则，整理得：（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0， 493 x 1+x 2=﹣，x 1x 2=， 494当x=m 时，y=k （m+1）， 495则k 1=，k 2=，则k 3=， 496则497k 1+k 2=+==498 =2k+， 499 由k 1+k 2=tk 3，2k+=t×=tk ﹣，则当t=2，m=﹣2， 500∴当直线l ：x=﹣2，存在实数t=2，使得k 1+k 2=tk 3成立．50150250317.解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分） 504所以椭圆E 的方程为22 1.43x y +=…………（4分） 505（2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+ 506联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去 507此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7- …………（6分） 508②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+ 509 联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= 510 设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k --+=-==+++ 511且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分） 512而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+由题意知,,AM AN ⊥ 513 即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+ 514 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分） 515 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为2(,0).7-故直线516MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分） 517518519。
2019-2020年高考数学专题练习——圆锥曲线
该双曲线的离心率为（ ）24.已知抛物线 y 2 4x 的焦点为 F ，准线为 l ，P 是 l 上一点，直线 PF 与抛物线交于 M ，N 两 uuur 点, 若 PF uuuur 3MF，则 MN（）16 A ． 3B ．8C ．16D ．83 35.知双曲线 2x2 a 2b y 2 1(ab0,b 0) ， A 1、A 2 是实轴顶点， F 是右焦点，B （0,b ） 是虚轴端点，若在线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点 P i i 1,2 ，使得 P i A 1A 2 i 1,2 构成 以 A 1A 2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ）2019-2020 年高考数学专题练习圆锥曲线（一）、选择题 2 x 1.设双曲线 C: 2 a 2 y 2 1 a 0,b b 10 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过点 F 1 且斜率为3的直线与双曲线的两渐近线分别交于点 A ，B ，并且 F 2A F 2B ,则双曲线的离心率为A ． 52B ． 2 D ．2 x 2.设 F 1，F 2 分别为双曲线 C ： 2 a 2 b y 2 1(ab 0,b 0） 的左、右焦点， A 为双曲线的左顶点，以 F 1F 2 为直径的圆交双曲线某条渐近线于 M 、N 两点，且满足：MAN 120o ，则 7A ．3B ． 19 321 C ．3D ． 7333.双曲线 2x2a 2y2 1 a 0,bb0 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 作倾斜角为 60°的直线与y 轴和双曲线的右支分别交于 A ， B 两点，若点 A 平分线段F 1B ，则该双曲线的离心率是 A ． 3B ． 2+ 3 C. 2 D ． 2 1B ．( 2, 52 1) 51D ． ( 52 126.已知过抛 物线 y 2 2px(p 0)的 焦点 F 的 直线与 抛物线 交于 A ，B 两点，且 uuur uuurAF 3FB ，抛物线的准线 l 与 x 轴交于点 C ， AA 1 l 于点 A 1，若四边形 AA 1CF 的面积 为12 3 ，则准线 l 的方程为A ． x2 B ． x 2 2 C ． x 2 D ． x 17.定义平面上两条相交直线的夹角为：两条相交直线交成的不超过90 °的正角 .已知双曲线22 E： a x 2 b y 21(a ab0,b 0) ，当其离心率e [ 2,2] 时，对应双曲线的渐近线的夹角的取值范围为( )A ．[0, 6]B ． [ , ]63C ．[ 4, 3]D ．[3, 2]8.已知直角坐标原点22xy O 为椭圆 C ： 2 2ab 1(a b 0) 的中心，F 1，F 2 为左、右焦点，在区间 (0,2)任取一个数 e ，则事件 “以 e 为离心率的椭圆 C 与圆 O ： x 2 y 2 a 2 b 2 没有 交点 ”的概率为( )A ．2442 B ． 4C ．2 2 D ．22 29.已知直线 y 1x 与双曲线 ax 2 by 21(a 0， b 0 )的渐近线交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中点的直线的斜率为3， a则()2b23 A ．3 B ．C ． 93D ． 2327223210.过双曲线 x 22 y1的右焦点且与 x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于 A ，B 两3点，则AB)A．4 33B．2 3 C．6 D．4 311.已知抛物线C：4x的焦点为F，过F的直线交C于A，B 两点，点A在第一象限，P（0,6），O 为坐标原点，则四边形OPAB面积的最小值为（7 A．4 13B．4C．3D．412.若双曲线2x3m1的一条渐近线方程为2x 3y 0 ，则m 的值为（）233C．2213.已知双曲线a x2 b y2 1 的左右焦点分别为F1，F2，O 为双曲线的中心，P 是双曲线的右支上的点，PF1F2的内切圆的圆心为I，且圆I 与x 轴相切于点A，过F2作直线PI 的垂线，垂足为B，若 e 为双曲线的离心率，则（）A．|OB | e|OA| C．|OB| |OA| B．|OA| e|OB|D．|OA|与|OB |关系不确定14.已知 F 是椭圆C：2y1 的左焦点，5P为C上一点，A（1,4），则|PA| |PF |的3最小值为（）10 A．3 11B．3C．4 D．13315.已知F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F1PF2 3，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为A．4 3 B．2 3C．3 D．22216.双曲线x2y21（a a2b2A（. 1，2）b 0）离心率的范围是（）B（. 1，）C（. 2，）D（. 1，22）17.如图，过抛物线 y 2px（p 0）的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A ，B ，交其准线于点8 C ． 3为（ ）2x 2 2 py 的焦点，点 F 2为抛物线 C 的对称轴与其准线的交点，过 F 2 作抛物线 C 的切线，切点为 A ，若点 A 恰好在以 F 1，F 2 为焦点的双曲线上，则双曲线 的离心率为（ ▲ ）两点， MN 中点的横坐标为 1，则此椭圆的方程是（ ）2A ． y32 B． 2 x32 2y1 522yx C. 1 36 92 xD ． 362y1 921. 已知双曲线 C ：2 x 2 ay 2 b 21a 0,b 0 的虚轴长为 8 ，右顶点 （a ，0）到双曲线的一16D ．318.已知过椭圆 2x 2a2y2 1(a b 0)b 2的左焦点且斜率为 a 的直线 l 与椭圆交于 A ，B 两点 .若椭圆上存在一点 P ，满足 OA OB OP 0 （其中点O 为坐标原点），则椭圆的离心率A ． 22B ．C. 321D ．219.已知点 F 1 是抛物线 C ：A ．6 22B ． 2 1C ． 2 1D ．6 2220.已知椭圆中心在原点，且一个焦点为 F(0 ，3 3) ，直线 4x3y 13 0 与其相交于 M 、N34，则 p 为（条渐近线的距离为 12，则双曲线 C 的方程为（2 x A ． 9 2 y 216 x 2C. 25 y 2 16 22. 已知圆C ： x 2 y 2 2x 2 3y 线相切，则双曲线的离心率为（ ） A ． 2 6 3 B ．23323.设双曲线2 x 2 a 2 y b 2 1(a 0， b 0) 2x 2y2 16 92 2xy 216 2522yx2ab 243 F ， 过点 B． D．1(a C ． 的右焦点为0,b 0） 的一条渐近D ． 7 作与 x 轴垂直的直线 l 交 且与双曲线在第一象限的交点为P ， 设 O 为坐标原点，若 uu ur OP uur OA uuur OB( , R)， A ． 23B ． 3 5 35 两渐近线于 A ，B 两点， 2 x 2 y3 16 ，则双曲线的离心率为（ C.3 2 2 9 D ． 8 2 24.设 F 为双曲线 C ： ab 21（a 0,b 0） 的右焦点， O 为坐标原点，以 OF 为直径的圆与圆 x y a 交于 P ，Q 两点.若 PQ OF ，则 C 的离心率为（ A ． 2 B ． 3．C 2）25.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线 22C ： x 2 y 21 |x| y 就是其中之一 （如图） .给出下列三个结论： ① 曲线 C 恰好经过 6 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；② 曲线 C 上任意一点到原点的距离都不超过 2 ； ③ 曲线 C 所围成的 “心形 ”区域的面积小于 3. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ① B. ② C. ①②D.①②③、填空题26.过点Mx20,1 的直线l交椭圆x81于A，B两点，F为椭圆的右焦点，当△ABF的周长最大时，△ABF的面积为27.已知F1，F2 分别为双曲线2C:x242 y12 1的左、右焦点，点P在双曲线C上，G，I 分别为F1PF2的重心、内心，若GI∥x 轴，则F1PF2 的外接圆半径R=2 28.已知点P在离心率为2 的双曲线x2 a2y2 1(a 0,b 0) 上，F1，F2为双曲线的两个buuur 焦点，且PF1uuuurPF20 ，则PF1F2的内切圆半径r 与外接圆半径R之比为29.已知双曲线2C:x2a2yb2 1 a 0,b 0 的实轴长为16，左焦点为F，M 是双曲线 C 的一条渐近线上的点，且OM MF ，O为坐标原点，若S OMF 16 ，则双曲线C的离心率2 x 30.设点M 是椭圆2 a 2 yb2 1(a b 0) 上的点，以点M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F，圆M 与y 轴相交于不同的两点P、Q，若PMQ 为锐角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为2 31. 平面直角坐标系xOy 中，椭圆x2 a2by2 1( a b 0 )的离心率e23，A1，A2分别是椭圆的左、右两个顶点，圆A1的半径为a，过点A2 作圆A1的切线，切点为P，在x 轴的上方交椭圆于点Q.则P P A Q232.如图所示，椭圆中心在坐标原点，为椭圆的右顶点和上顶点，当FB515 1，此类椭圆被称为“黄金椭圆”2算出“黄金双曲线 ”的离心率 e 等于 .22C: x 2 y 21(a b 0)33.已知椭圆 a b，A ，B 是 C 的长轴的两个端点，点 M 是 C 上的一点，满足 MAB 30 , MBA 45 ，设椭圆 C 的离心率为 e ，则 e 2 ________________________ .234.已知抛物线 y 2 2px(p 0)的焦点为 F ，O 为坐标原点，点 M ，N 为抛物线准线上相 异的两点，且 M ，N 两点的纵坐标之积为 - 4，直线 OM ， ON 分别交抛物线于 A ， B 两点，若A ， F ，B 三点共线，则 p ______________ .235.已知抛物线 y 2 8x 上有一条长为 9 的动弦 AB ，则 AB 中点到36.如图：以等边三角形两顶点为焦点且过另两腰中点的椭圆的离心率 e= .等腰三角形，则 M 的坐标为 __________22x 2y 2 139.已知椭圆 9 5 的左焦点为 F ，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，若线段 PF 的中点在以原点 O 为圆心， OF 为半径的圆上，则直线 PF 的斜率是 ________ .240. 设抛物线 y 2px(p 0)的焦点为 F,已知 A ， B 为抛物线上的两个动点，且满足| MN |AFB60,过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN,垂足为 N,则 |AB| 的最大值为41. 已知 F 为抛物线 C: y 2 4x 的焦点， E 为其标准线与 x 轴的交点，过 F 的直线交抛物线37.已知双曲线 C ：2x2 a的两条渐近线分别交于2y21(a 0,b 0) 的左、右焦点分别为 F 1，F 2，过 F 1 的直线与 C buuur uuur uuur uuuurA ，B 两点．若 F 1A AB ， F 1B F 2B 0，则C 的离心率为38.设 F 1，F 2 为椭圆1的两个焦点，M 为 C 上一点且在第一象限 .若△MF 1F2为C:36 20C 于 A ，B 两点， M 为线段 AB 的中点，且 |ME | 20，则|AB|参考答案0,易知F (1,0)，设直线AB : x my 1x my 1 2由 2y 2 4my 4 0, 所以 y 1 y 2 4 y 2y 2 4x易知 f (x) 在 0,1 上为减函数，所以当12. A22双曲线 x y1的一条渐近线方程为 2x 3y 0 ，可得3 m m 1(3 m)(m 1) 0 ，解得 m ( 1,3)，因为 m 1x 3 m y3 解得 m ，故选A.13，内切圆与 x 轴的切点是A ，∵ ，由圆切线长定理有 ， 设内切圆的圆心横坐标为x ，则，即3y 12 4 1 2y 12( y 1 0) y1f (x) 3 x2 1 2 3x3 x 2 24 ( x 1)(3x 24x 4)2 x 2 2x 22x 2设A(x 1, y 1), B(x 2,y 2)且x 1,y 1S OPABS OPASOFA SOFB32 1 2f ( x) x x (x 0)4 2 x4y 1y 1 1时， ( S OPAB )min 13,故选4B0 是双曲线的渐近线方程，所以∴ ，即 A 为右顶点，在中，由条件有，在中，有∴.设椭圆的右焦点为，由，则，根据椭圆的定义可得，所以22e2 ，由焦点三角形面积公式得b12 3b22，即设椭圆离心率e1 ，双曲线离心率a12 3a22 4c2，即1232e12 e22 4 ，设1 12 2 m ,n 即m 3n 4 ，e1 e2由柯西不等式得m n最大值为43 3设的中点，由题意知两式相减得，而，所以所以直线的方程为，联立，解得又因为，所以所以点代入椭圆的方程，得，所以，故选 A.，易得：∴此椭圆的方程是 故选： C∵ |PQ| |OF | c ，∴ POQ 90o , 又|OP| |OQ | a ，∴a 2 a 2 c 2 解得 c 2，即 e 2.a由题意，得 ，设过 的抛物线 的切线方程为 ，联立，令，解得 ， 即 ，不妨设 ，由双曲线的定义得.故选 C.，则该双曲线的离心率为设椭圆方程为联立方程： ，整理得：， ，则，即 ，化简得：1,0),(-1,1)六个整点,结论① 正确.22由x2y21 x y 得,x2y2, 1x y,解得x2点的距离都不超过2 . 结论② 正确.如图所示,易知A 0, 1 ,B 1,0 ,C 1,1, ,D心形”区域的面积大于3,说法③ 错误.由x2y21 x y得,y2x y 1 x2, |x|y234x2 ,1423x2 2 4厔0,x243所以x可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2y21 x y 恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1), (-4 1026.3628.229. 526230.2 , 所以曲线C 上任意一点到原0,1 ,四边形ABCD 的面积S ABCD 11 123,很明显2心形”区域的面积大于2 S ABCD ,即231.37如图所示，设，，椭圆方程为圆的方程为，直线与圆相切，则：，直线是斜率为，直线方程为：联立直线方程与椭圆方程：整理可得：即，由弦长公式可得：，在中，，故5132.2“黄金椭圆”的性质是，可得“黄金双曲线”也满足这个性质．如图，设“黄金双曲线”的方程为，22则，，∵， ∴， ∴， ∴，解得 或 （舍去），∴黄金双曲线 ”的离心率 e 等于1333. 35 35.2易知抛物线 的准线方程为 ，设 ，且 的中点为 ，分别 过点 作直线 的垂线，垂足分别为 ，则 ，由抛物线定义，得 （当且仅当 三点共线时取等号），即 中点 到 轴的最短距离为 .36. 3 1OA 为中位线且 OA BF 1 ，所以 OB OF 1 ，因此 F 1OA BOA ，又根据两渐近线对uuur uuur uuur uuuur由F 1A AB, F 1B F 2B 0知 A 是 BF 1的中点， uuu r F Buuuur F 2B ，又 O 是 F 1, F 2的中点，所称， F 1OA F 2OB ，所以 F 2OB 60 ， e1 (b )21 tan2 60 2.39. 15方法 1：由题意可知 |OF|=|OM |= c = 2，由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4，设 P(x,y)可得 (x 2)2 y 2 16，2联立方程 xy 2519 可解得 x32,x 21 2 (舍)，点 P 在椭圆上且在 x 轴的上方，1515求得 P3, ，所以 k P F 2152 2F 138. (3, 15)22已知椭圆 C ：x y36 20 1可知， a 6，c 4，由 M 为 C 上一点且在第一象限，故等腰三角形 MF 1F 2中 MF 1 F 1F 2 8，MF 2 2a MF 1 4 , sin F 1F 2M4 , y MMF 2 sin F 1F 2 M 15 ，22代入C ：3x6 2y0 1可得 x M3.故 M 的坐标为 (3, 15 ) .82方法 2：焦半径公式应用解析 1：由题意可知 |OF |=|OM |= c= 2 ， 由中位线定理可得 PF 1 2|OM | 4 ，即 aex p 4 x p15求得 P 3, 15 ，所以 k PF215 . 2 2 PF 12F （1，0）为抛物线 C ：y 2=4x 的焦点，E （-1，0）为其准线与 x 轴的交点， 设过F 的直线为 y=k （x-1）， 代入抛物线方程 y 2=4x ，可得 k 2x 2-（ 2k 2+4） x+k 2=0，设 A （ x 1， y 1）， B （x 2，y 2），解得k 2=1，则 x 1+x 2=6，由抛物线的定义可得 |AB|=x 1+x 2+2=8.。
最新精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（2000全国11）过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ） A ．2a B ．a21 C ．4a D ．a4 2．（2006）若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．4-D ．43．在同一坐标系中，方程a 2x 2+b 2y 2=1与ax +b y 2=0（a ＞b ＞0）的曲线大致是（ ）（2003京春文9，理5）二、填空题4．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 是准线上一点，且12PF PF ⊥，124PF PF ab ⋅=，则双曲线的离心率是 ☆5．椭圆5x 2－ky 2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝ ．（2002天津理，14）6． 抛物线过直线 0x y += 与圆 2240x y y ++= 的交点，且关于y 轴对称，则此抛物线的方程为 ．B7．设12F F ，分别是椭圆22221x y a b +=（0a b >>）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P 使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是；分析：椭圆的基本量的应用，利用条件建立不等关系.3.8． 如图，在ABC ∆中， 30=∠=∠CBA CAB ，AC 、BC 边上的高分别为BD 、AE ，则以A 、B 为焦点，且过D 、E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为 ▲ .9．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .10．设双曲线x 2－y 2＝1的两条渐近线与直线x ＝22所围成的三角形区域(包括边界)为E ，P (x ，y )为该区域内的一动点，则目标函数z ＝x －2y 的最小值为________． 解析：由题知，双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0，则其与直线x ＝22的交点为⎝⎛⎭⎫22，22和 ⎝⎛⎭⎫22，－22，所以可求得目标函数z ＝x －2y 的最小值为－22.11．命题p ：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线)0(12222>>=-b a by a x ，1F ，2F 是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过2F 作21PF F ∠的的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值.12．点M 是椭圆12222=+by a x )0(>>b a 上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P,Q ，若△PQM 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是_▲_．13．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的中心、右焦点、右顶点分别为O 、F 、A ，右准线与x 轴的交点为H ，则FAOH的最大值为 14．已知直线l 1：4x －3y ＋11＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是15．椭圆x 249＋y 224＝1上一点P 与椭圆的两个焦点F 1，F 2的连线互相垂直，则△PF 1F 2的面积为 2416．椭圆7x 2＋16y 2＝112的焦点坐标是________________.(3,0)±17．已知F 1、F 2是双曲线-y 2=1的两个焦点,P 在双曲线上,当△F 1PF 2的面积为1时,·的值为________________.【答案】 18．1．已知双曲线的左、右焦点分别为、，过点的动直线与双曲线相交于两点.（I ）若动点满足（其中为坐标原点），求点的轨迹方程；（II ）在轴上是否存在定点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.19．命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a (a >0，常数)；命题乙：P 点轨迹是椭圆．则命题甲是命题乙的________条件．20．已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于B A ,两点，且(OA OB O ⊥为坐标原点)，若椭圆的离心率]22,21[∈e ，则a 的最大值为 ． 21．经过点(30)，的直线l 与抛物线22x y =两个交点处的切线相互垂直，则直线l 的斜率k 等于________22．已知点(02)A ，,抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段FA 交抛物线与点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM ⊥MF ，则p =_________23．如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : | BF 2 | : | AF 2 |＝3:4 : 5，则双曲线的离心率为____________24．双曲线22221x y a b-=的渐近线与圆22(2)1x y +-=相切，则双曲线离心率为_________. 三、解答题25．已知椭圆中心在原点，上顶点为(0,1)A ，右焦点为(1,0)F ，右准线为l ，l 与x 轴交于P 点，直线AF 交椭圆与点B ．（1）求椭圆的方程；（2）求证：PF 是APB ∠的平分线；（3）在l 上任意取一点Q ，求证：直线,,AQ FQ BQ 的斜率成等差数列．xy O ABF 1F 2 (第11题第19题图26．在平面直角坐标系xOy 中, 椭圆22221(0)x y a b a b +=>>,右顶点为A ,直线BC 过原点O ,且点B 在x 轴上方,直线AB 与AC 分别交直线:1l x a =+于点,E F .（1）若点B ,求ABC ∆的面积；（2）若点B 为动点,设直线AB 与AC 的斜率分别为12,k k . ①试探究12k k ⋅是否为定值.若为定值，请求出值；若不为定值,请说明理由.②求AEF ∆的面积的最小值.27．（10分）如图，已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F （c ，0），下顶点为A（0，﹣b ），直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，与椭圆的另一个交点为点C ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆的离心率；（2）若FC=，求椭圆的方程．28． （16分）椭圆22221(0)x y a b a y+=>>上一点M 向x 轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点1F ，且它的长轴端点A 及短轴端点B 的连线//AB OM （1）、求椭圆的离心率e ；（2）、设Q 是椭圆上任意一点，2F 是右焦点，1F 是左焦点，求12FQF ∠的取值范围29．(本小题满分14分)已知椭圆1:C 22+=143x y ,其左准线为1l ，右准线为2l ，抛物线2C 以坐标原点O 为顶点，2l 为准线，2C 交1l 于,A B 两点.（1） 求抛物线2C 的标准方程； （2） 求线段AB 的长度.30．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆过(M N 两点； (1）求椭圆的方程；(2）在椭圆上是否存在点P （x,y ）,使P 到定点A （a ,0）(其中9＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及点P 的坐标；若不存在，请给予证明（本小题满分14分）。
精编新版2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考试题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．（1996全国文9）中心在原点，准线方程为x =±4，离心率为21的椭圆方程是（ ） A ．3422y x +＝1 B ．4322y x +＝1C ．42x ＋y 2＝1 D ．x 2＋42y ＝12．椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A 216x +212y =1B 212x +28y =1C 28x +24y =1D 212x +24y =13．(2004安徽春季理)（3）已知F 1、F 2为椭圆22221x y a b+=（0a b >>）的焦点；M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝600，则椭圆的离心率为（ ） （A ）21（B ）22 （C ）33 （D ）234．双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B 、2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C 、,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D 、)二、填空题5．以下四个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=，则动点P 的轨迹为双曲线； ②过定圆C 上动点A 作水平直径所在直线的垂线AB ，垂足为点B ,若1,2AM AB =则点M 的轨迹为椭圆；③方程02522=+-x x 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线13519252222=+=-y x y x 与椭圆有相同的焦点. 其中真命题的序号为 ．6．已知双曲线2222(0)mx my m -=≠的一条准线方程是1y =，则实数m = ．7．（2013年高考湖南卷（理））设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点,P 是C 上一点,若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30,则C 的离心率为___.8．直线x t =过双曲线22221x y a b -=(0,0)a b >>的右焦点且与双曲线的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若原点在以AB 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 ▲ ．9．如图，1F ，2F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 的直线l 与双曲线C 的两支分别交于点A ，B ，若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为 ．10．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一条直线交抛物线于P Q 、两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则=+qp 11 ．11．过抛物线22y x =的焦点F 作直线交抛物线于,A B 两点，若25,,12AB AF BF =<则AF = .12．已知点12,F F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，过1F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，若2ABF ∆是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是 (山东省济南市2011年2月高三教学质量调研理科) 关键字：求离心率的取值范围；特殊法；解不等式 答案.D13．已知曲线C 1方程为x 2－y 28＝1(x ≥0，y ≥0)，圆C 2方程为(x－3)2＋y 2＝1，斜率为k (k >0)的直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于 点B ，AB ＝3，则直线AB 的斜率为________．解析：如图，由题意可知，C 2为双曲线的右焦点，BA 为圆C 2 的切线，于是，AC 2＝1，AB ＝3，所以BC 2＝2，易知B 为双 曲线的右顶点，故可设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，由直线 AB 与圆C 2相切得|3k －k |k 2＋1＝1，又k >0，所以k ＝33.14．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e 满足02e <≤，则长轴长的最大值等于________15．已知椭圆19822=++y a x 的离心率21=e ，则a 的值等于16．设圆过双曲线16922y x -=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 . （1998全国，16）17．双曲线16922y x -＝1的两个焦点为F 1、F 2，点P 在双曲线上，若PF 1⊥PF 2，则点P 到x 轴的距离为 . （2001全国，14）18．直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____.（2003上海春，4）三、解答题19．设椭圆C 1：)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1、F 2，下顶点为A ，线段OA 的中点为B （O 为坐标原点），如图．若抛物线C 2：12-=x y 与y 轴的交点为B ，且经过F 1，F 2点．（Ⅰ）求椭圆C 1的方程； （Ⅱ）设M （0，45-），N 为抛物线C 2上的一动点，过点N 作抛物线C 2的切线交椭圆C 1于P 、Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值．答案: （Ⅰ）22154x y +=（Ⅱ）5试题分析：（Ⅰ）解：由题意可知B （0，-1），则A （0，-2），故b=2． 令y=0得210x -=即1x =±，则F 1(-1，0)，F 2（1，0），故c=1．所以2225a b c =+=．于是椭圆C 1的方程为22154x y +=．…………4分 （Ⅱ）设N （2,1t t -），由于'2y x =知直线PQ 的方程为：2(1)2()y t t x t --=-． 即221y tx t =--．……………………………5分代入椭圆方程整理得：222224(15)20(1)5(1)200t x t t x t +-+++-=,222222400(1)80(15)[(1)4]t t t t ∆=+-++-=4280(183)t t -++,21225(1)15t t x x t ++=+ , 221225(1)204(15)t x x t +-=+,故12PQ x =-==．………………………………7分设点M 到直线PQ 的距离为d，则d ==9分所以，MPQ ∆的面积S 12PQ d =⋅21t +===5≤=………………11分 当3t =±时取到“=”，经检验此时0∆>，满足题意． 综上可知，MPQ ∆．…………………………12分 20．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的焦点为 )0,1(1-F ，)0,1(2F ， 左、右顶点分别为A ，B ，离心率为33，动点P 到1F ，2F 的距离的平方和为6．(1)求动点P 的轨迹方程；(2)若），（3,3C ，），（3,3D -，Q 为椭圆上位于x 轴上方的动点，直线AQ ，BQ分别交直线CD 于点M ，N ． (i)当直线AQ 的斜率为21时，求AMN ∆ 的面积； (ii)求证：对任意的动点Q ，CN DM ⋅为定值．21．（本题满分16分） 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑵ 设(4,0)P ，M 、N 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PN 交椭圆C 于另一点E ，求直线PN 的斜率的取值范围； ⑶ 在⑵的条件下，证明直线ME 与x 轴相交于定点．22．（本题满分15分）椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为21,F F ，点P 在椭圆上，且211F F PF ⊥，314,3421==PF PF . （1）求椭圆的标准方程；（2）若直线l 过圆02422=-++y x y x 的圆心M ，交椭圆于A 、B 两点，且A 、B 关于点M 对称，求直线l 的方程.23．（本题满分14分）已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右顶点为21,A A ，上下顶点为21,B B ， 左右焦点为21,F F ，若211F B F ∆为等腰直角三角形 （1）求椭圆的离心率（2）若211A B A ∆的面积为62，求椭圆的方程24．（2013年高考四川卷（理））已知椭圆C :22221,(0)x y a b a b+=>>的两个焦点分别为12(1,0),(1,0)F F -,且椭圆C 经过点41(,)33P . (Ⅰ)求椭圆C 的离心率;(Ⅱ)设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点,点Q 是线段MN 上的点,且222211||||||AQ AM AN =+,求点Q 的轨迹方程.25．已知焦点在x 轴上，中心在坐标原点的椭圆C 的离心率为45，且过点 （1）求椭圆C 的方程；（2）直线l 分别切椭圆C 与圆222:M x y R +=（其中35R <<）于A 、B 两点，求|AB|的最大值。
新版精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2004重庆理)已知双曲线22221,(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点分别为12,F F ,点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =,则此双曲线的离心率e 的最大值为：( ) A43 B 53 C 2 D 732．（2007浙江文）已知双曲线22221x y a b-= (0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P是准线上一点，且PF 1⊥PF 2，|PF 1|⋅|PF 2 |＝4ab ，则双曲线的离心率是（ ）A B C .2 D .33．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为（ ）()A 2()B ()C 2 ()D4．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为________________.22154x y -= 5．过抛物线y =ax 2（a ＞0）的焦点F 用一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ）A ．2aB ．a21 C ．4a D ．a4（2000全国，11）二、填空题6． 已知抛物线P x y 上的点42=到抛物线的准线距离为d 1，到直线0943=+-y x 的距离为d 2，则d 1+d 2的最小值是 ▲7．中心在坐标原点,一个顶点为(4,0),且以直线y 为渐近线的双曲线方程为_________．8．双曲线221416x y -=的渐近线方程为 。
9．若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 (2011年高考江西卷理科14)10．以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ________________．解析：∵抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，∴满足题意的圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，整理得 x 2＋y 2－2x ＝0.11．若直线y ＝kx ＋1(k ∈R)与椭圆x 25＋y 2m ＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．解析：由于直线y ＝kx ＋1过定点(0,1)，故点(0,1)恒在椭圆内或椭圆上，所以m ∈[1，＋ ∞)．又因为m ≠5，所以实数m 的取值范围应为[1,5)∪(5，＋∞)．12．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0，3)．点P 在抛物线上且满足→AP ＝12→PF ，则P 到该抛物线准线的距离为 ．13．如果椭圆191622=+y x 上一点P 到它的右焦点是3，那么点P 到左焦点的距离为： 关键字：已知椭圆方程；定义14．抛物线22x y -=的准线方程为______▲________15． 已知双曲线的渐近线方程为34y x =±，则双曲线的离心率 ． 16．双曲线221916x y -=的右焦点是抛物线的焦点，则抛物线的标准方程是x y 202= .17．若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为__ ▲. 18．设椭圆的两个焦点分别为F 1、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P.若△F 1F 2P 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为____________．19．如图，设F 2为椭圆12222=+by a x 的右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2的值是 ▲20．过抛物线y 2=2px(p ＞0)的焦点的直线坐标原点)的面积为,则m 6+m 4【答案】【解析】∵直线x-my+m=0过焦点,∴m=.∴直线方程为2x+py-p=0.解方程组消去x,得y 2+p 2y-p 2=0.设A 、B 的纵坐标为y 1、y 2,y 1、y 2为方程的两根,∴｜y 1-y 2｜=.∴S=×｜y 1-y 2｜=.∴p 6+4p 4=16×8.又p=-2m, ∴26m 6+26m 4=27.∴m 6+m 4=2.21．已知,A B 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴的两个端点，D C ,是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线BD AC ,的斜率分别为12,k k ，且12120,||||k k k k ≠+若的最小值为3，则椭圆的离心 率为 .22．如图，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1， B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D ，则双曲线的离心率e ＝ ▲ .23．过点F (1,0)且与直线l ：x ＝－1相切的动圆圆心的轨迹方程是________．y 2＝4x 三、解答题24．（16分）已知椭圆具有性质：若A ，B 是椭圆C ：=1（a ＞b ＞0且a ，b 为常数）上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点，若直线PA 和PB 的斜率都存在，并分别记为k PA ，k PB ，那么k PA 与k PB 之积是与点P 位置无关的定值．试对双曲线=1（a ＞0，b ＞0且a ，b 为常数）写出类似的性质，并加以证明．25．（本题满分10分）如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F （c ，0），下顶点为A (0，－b )，直线AF 与椭圆的右准线交于点B ，若F 恰好为线段AB 的中点． （1）求椭圆C 的离心率；（2）若直线AB 与圆x 2＋y 2＝2相切，求椭圆C 的方程．26．(本小题14分)设命题p ：方程17622=-++a y a x 表示双曲线，命题q ：圆9)1(22=-+y x 与圆16)1()(22=++-y a x 相交． 若“p ⌝且q ”为真命题，求实数a 的取值范围．27．在平面直角坐标系xOy 中，已知三点1(1,0)C -，2(1,0)C，(P -，以1C 、2C 为焦点的椭圆W 经过点P ． （1）求椭圆W 的方程；（2）设,M N 是椭圆W 上的两个不同点,且点M 在第一象限，点N 在第三象限，若 122OM ON OC +=，O 为坐标原点，求直线MN 的斜率k ；（3）过点1(0,)3S -且斜率为k 的动直线．．．l 交椭圆W 于,A B 两点，求证：以AB 为直径的圆 必过y 轴上的一定点（其坐标与k 无关）．28．已知12,F F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左右焦点，过1F 的直线与椭圆相交于,A B 两点，若2ABF 为正三角形，则椭圆的离心率是（第18题）29．在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A （2，2），其焦点F 在x 轴上。
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（完整版）圆锥曲线知识点+例题+练习含答案（整理）.docx圆锥曲线⼀、椭圆：（ 1）椭圆的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的和等于常数（⼤于| F1 F2 |）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： 2a | F1F2 | 表⽰椭圆；2a | F1F2|表⽰线段F1F2； 2a| F1F 2 |没有轨迹；（2）椭圆的标准⽅程、图象及⼏何性质：中⼼在原点，焦点在x 轴上中⼼在原点，焦点在y 轴上标准⽅程图形x2y2y2x2a2b 21( a b 0)a 2b21(ab 0)yB 2yB 2P F2 PA 1 A 2x A 1xA 2OF1O F21B 1FB 1顶点对称轴焦点焦距离⼼率通径2b2aA1 (a,0), A2 (a,0)A1( b,0), A2 (b,0)B1 (0, b), B2(0, b)B1( 0,a), B2 (0, a) x 轴，y轴；短轴为2b，长轴为2aF1 (c,0), F2(c,0)F1 ( 0,c), F2 (0,c)| F1 F2 | 2c(c 0)c2 a 2 b 2(0 e 1) （离⼼率越⼤，椭圆越扁）a（过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）3．常⽤结论：（1）椭圆x2y21(a b 0) 的两个焦点为F1, F2，过F1的直线交椭圆于A, B两a2 b 2点，则ABF 2的周长=（2）设椭圆x2y2221( a b 0)左、右两个焦点为 F1, F2，过 F1且垂直于对称轴的直线a b交椭圆于 P, Q 两点，则 P, Q 的坐标分别是| PQ |⼆、双曲线：（ 1）双曲线的定义：平⾯内与两个定点F1 , F2的距离的差的绝对值等于常数（⼩于| F1F2 | ）的点的轨迹。
其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。
注意： | PF1 || PF2 | 2a 与 | PF2 | | PF1 |2a （ 2a| F1F2 | ）表⽰双曲线的⼀⽀。
精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含参考答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2006江西理)设O 为坐标原点，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A 是抛物线上一点，若OA F A ∙＝－4则点A 的坐标是（B ）A ．（2，±） B. (1，±2) C.（1，2）D.(2，)2．(2005江苏)抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．0 3．（2010福建文11）若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为（ ）A ．2 B ．3 C ．6 D ．84．（2007陕西文3）抛物线y x =2的准线方程是( )（A ）014=+x（B ）014=+y （C ）012=+x （D ）012=+y 5．已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14 （B ）35 (C)34 (D)456．已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17．1 ．（2012辽宁文）已知P,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P,Q 的横坐标分别为4,-2,过P,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A,则点A 的纵坐标为（ ）A ．1B ．3C ．-4D ．-8二、填空题 8．点A 、B 是双曲线15422=-y x 右支上的两点，AB 中点到y 轴的距离为4，则AB 的最大值为 .9．过椭圆22154x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为______________10．若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为21,F F ，线段21F F 被抛物线bx y 22=的焦点F 分成5﹕3的两段，则此椭圆的离心率为 ．11． 已知21F F 、为椭圆192522=+y x 的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于A 、B 两点,若1222=+B F A F ，则AB =___________.12．若双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，，则其渐近线方程为 ▲ ．13．若动圆M 经过点(3,0)A 且与直线:3l x =-相切，则动圆的圆心M 的轨迹方程是________14． 动点P 到点(2,0)F 的距离与它到直线20x +=的距离相等，则P 的轨迹方程为 28y x =。
精编2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整考题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、填空题1．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线与x 轴的交点为P ，点A 为其短轴的一个端点，若PA 的中点在椭圆C 上，则椭圆的离心率为 ▲ ．2．已知双曲线12222=-y x 的左准线过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左焦点，并与该椭圆交于A 、B 两点，已知AB =3，若该椭圆上的点到直线m x y +=的最小距离为1，则实数m 的值是 ．3．若R k ∈，则3>k 是方程13322=+--k y k x 表示双曲线的 充分不必要 条件。
4．与双曲线12222=-y x 有相同的焦点,且离心率互为倒数的椭圆的方程为 .5．若17222=-y x ，点),(y x P 到点)0,3(-的距离为23，则点P 到点)0,3(的距离为 6．如图2所示，F 为双曲线C:=1的左焦点，双曲线C 上的点P i 与P 7-i(i=1,2,3)关于y 轴对称，则|P 1F|+|P 2F|+|P 3F|-|P 4F|-|P 5F|-|P 6F|的值是图2A.9B.16C.18D.277．已知平面上定点F 1、F 2及动点M ．命题甲：“a MF MF 2||||21=-（a 为常数）”；命题乙：“ M 点轨迹是F 1、F 2为焦点的双曲线”．则甲是乙的 ▲ ．条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中的一个)8．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，12PF F ∆是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为__________________.9．已知P 是椭圆16410022=+y x 上一点，21F F 、为该椭圆的焦点，若321π=∠PF F ，则21PF F ∆的面积为10．已知双曲线)0(1322>=-m y m x 的一条渐近线方程为x y 23=，则m 的值为 .11．已知抛物线C ：()220y px p =>的准线为l ，过点()1,0M l 相 交于点A ，与C 的一个交点为B ，若AM MB =，则p = ．12． P 为椭圆2212516x y +=上一点,12,F F 分别为其左,右焦点,则12PF F ∆周长为 ▲ ．13．已知双曲线032122=+-=-y x ay x 的一条渐近线与直线垂直，则a=14．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的焦点F 1，F 2分别在双曲线x 2b 2－y 2a 2＝1的左、右准线上，则椭圆的离心率e ＝ ▲ ．二、解答题15．（本小题满分16分）已知点M 是圆C ：22(1)8x y ++=上的动点，定点D （1，0），点P 在直线DM 上，点N 在直线CM 上，且满足2DM DP =，NP DM ⋅=0，动点N 的轨迹为曲线E ． （1）求曲线E 的方程；（2）若AB 是曲线E 的长为2的动弦，O 为坐标原点，求△AOB 面积S 的最大值．16．在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线px y 22=横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5。
(完整)2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线(二)
1. 椭圆Ci：.与1 a b 0的离心率为，椭圆Ci截直线y x所得的弦长为.a b 2 5过椭圆Ci的左顶点A作直线I与椭圆交于另一点M，直线I与圆C2：2 2 2 ______________________________x 4 y r r 0相切于点N.(I) 求椭圆Ci的方程；UULT 4 UULU(U)若AN -MN，求直线I的方程和圆C2的半径r .3轴下方，BA连线与左准线l交于点P,过点P任意引一直线与椭圆交于C，D，连结AD, 2019-2020年高考数学大题专题练习圆锥曲线(二)BC交于点Q，若实数1, 2满足：BC(1)求1 2的值；(2)求证：点Q在一定直线上.CQ，QD 2DA.2•已知椭圆C :2x162吉1左焦点F，左顶点A，椭圆上一点B满足BFx轴，且点B在xX 1 23•已知椭圆C : 2y 1(a b 0)上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线I//DF ，且与y 轴交于点P(O,t)，又在直线y t 和椭圆C 上分别取点Q 和点E ,满足OQ OE (O为坐标原点)，连接EQ.(1) 求t 的值，并证明直线AP 与圆x 2 y 2 2相切;(2) 判断直线EQ 与圆x 2 y 2 2是否相切？若相切,证明；若不相切，请说明理由•1 求轨迹W 的方程；2 设P(m,0)为x 轴正半轴上一点，求|PM |的最小值f(m).4.如图，△ AOB 的顶点A 在射线l : y 3x(x0) 上, A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段 AB 上有一点M 满足| AM |?|MB |3，当点A 在I 上移动时，记点M 的轨迹为W.5•已知点P是椭圆C上任一点，点P到直线l i : xd2，且空—.直线I与椭圆C交于不同两点A、B (A、B都在x轴上方),且d12OFA OFB 180 .(1)求椭圆C的方程;(2) 当A为椭圆与y轴正半轴的交点时，求直线I方程；(3) 对于直线I，是否存在一个定点，无论OFA如何变化,直线I总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说2的距离为d i，到点F( 1 , 0)的距离为6•在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：m 1641 (m>0)的离心率为-，A，B分5 别为椭圆的左、右顶点, F是其右焦点，P是椭圆C上异于A、B的动点.明理由•C ，D 两点•（1） 求椭圆的标准方程； （2） 若AF FC ,求变的值；FD（3） 设直线AB , CD 的斜率分别为心也，是否存在实数m , 得k 2，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.（2爭（1） 求椭圆E 的方程；（2） 若点A , B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线I 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于 A , B 的任意一点，直线AP 交I 于点M.① 设直线OM 的斜率为k1,直线BP 的斜率为k2,求证：k1k2为定值； ② 设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.8.如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆2 E ：X2古1（a b0）的焦距为 2，且过点7.如图，在平面直角坐标系xOy ,已知椭圆 2x~2ab 211 a b 0的离心率为-，且过点231,2 F 为椭圆的右焦点,A ,B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接 AF , BF 分别交椭圆于9•已知抛物线C:寸2x的焦点为F,平行于x轴的两条直线11, 12分别交C于AB两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB 上, R是PQ的中点，证明AR// FQ;(2)若厶PQF的面积是厶ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程•2 210. 已知椭圆C:与占1 ( a b 0 )的右焦点在直线I : • 3x y 3 0上，且椭圆上任意两 a b个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为-.4(1)求椭圆C的方程；(2)若直线t经过点p(1,0)，且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线I o : x x o (其中X o 2 )使得A，B到I o的距离d A，d B满足屯旦恒成立？若存在，求出X。
最新版精选2020高考数学《圆锥曲线方程》专题训练完整题(含答案)
2019年高中数学单元测试卷圆锥曲线与方程学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________一、选择题1．(2008陕西理)双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点分别是12F F ，，过1F 作倾斜角为30的直线交双曲线右支于M 点，若2MF 垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）ABCD2．（2002北京文10）已知椭圆222253n y m x +和双曲线222232ny m x -＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（ ）A ．x ＝±y 215B ．y ＝±x 215C ．x ＝±y 43D ．y ＝±x 43二、填空题3．椭圆1422=+m y x 的离心率为21，则m = . 4．如图，B 地在A 地的正东方向4 km 处，C 地在B 地的北偏东30°方向2 km 处，河流的没岸PQ （曲线）上任意一点到A 的距离比到B 的距离远2 km.现要在曲线PQ 上选一处M 建一座码头，向B 、C 两地转运货物.经测算，从M 到B 、M 到C 修建公路的费用分别是a 万元/km 、2a 万元/km ，那么修建这两条公路的总费用最低是____________5．在直角坐标系xOy 中，双曲线2213y x -=的左准线为l ，则以l 为准线的抛物线的标准方程是 。
6．椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则12F PF ∠的大小为 _______________.7．若双曲线经过点，渐近线方程是13y x =±，则这条双曲线的方程是 ▲ .8．设双曲线2221(0)9x y a a -=>的渐近线方程 为320,x y ±=则a 的值为 ．9．已知抛物22(0)y px p =>，过定点(),0p 作两条互相垂直的直线12,l l 若1l 与抛物线交于P 、Q 两点，2l 与抛物线交于M 、N 与两点，1l 的斜率为k ，某同学已正确求得弦PQ 的中点坐标为2,p p p kk ⎛⎫+⎪⎝⎭，请你写出弦MN 的中点坐标：10．如图，设共有一条对称轴PQ 、一个顶点P 和一个焦点F 的2个椭圆和焦距，给出下列判断①1122a c a c +>+ ②1122a c a c ->-③1212c c a a > ④ 1212b b a a < ⑤221212b b a a <2(14题图)11．抛物线24x y =的准线方程为 ▲ ． 12．若椭圆1C ：1212212=+b y a x （011>>b a ）和椭圆2C ：1222222=+b y a x （022>>b a ）的焦点相同且12a a >.给出如下四个结论： ①椭圆1C 和椭圆2C 一定没有公共点； ②1122a b a b >； ③ 22212221b b a a -=-； ④1212a a b b -<-.其中，所有正确结论的序号是___________.13．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的最大面积为1，则长轴长的最小值为 14．6=的化简结果是______________.15．椭圆221x my +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为___▲___．16．双曲线221412x y -=的渐近线方程为 。
2019届高三数学圆锥曲线大题训练
2019届高三数学圆锥曲线大题训练1、设双曲线：13222=-x ay 的焦点为1F ,2F .离心率为. （1）求此双曲线渐近线1l ,2l 的方程；（2）若A ,B 分别为1l ,2l 上的动点，且2215F F AB =,求线段AB 中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
2、抛物线24y x =上有两个定点A 、B 分别在对称轴的上下两侧，F 为抛物线的焦点，并且|FA|=2，|FB|=5，在抛物线AOB 这段曲线上求一点P ，使△PAB 的面积最大，并求这个最大面积.3、如图：直线L ：1y mx =+与椭圆C ：222(0)ax y a +=>交于A 、B 两点，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB 。
（1） 求证：椭圆C ：222(0)ax y a +=>与直线L ：1y mx =+总有两个交点。
（2） 当2a =时，求点P 的轨迹方程。
（3）是否存在直线L ，使OAPB 为矩形？若存在，求出此时直线L 的方程；若不存在，说明理由。
4、已知圆锥曲线1C 的一个焦点为F （1，0），对应这个焦点的准线方程为1x =-，又曲线过(P ，AB 是过F 的此圆锥曲线的弦；圆锥曲线2C中心在原点，其离心率e =，一条准线的方程是1y e=。
（1）求圆锥曲线1C 和2C 的方程。
（2）当AB 不超过8，且此弦所在的直线与圆锥曲线2C 有公共点时，求直线AB 的倾斜角θ的取值范围。
5、正方形的一条边AB 在直线y=x+4上，顶点C 、D 在抛物线y 2=x 上，求正方形的边长.6、如图，已知点(10)F ，， 直线:1l x =-，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且QP QF FP FQ =．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交轨迹C 于A B ，两点，交直线l 于点M ，已知1MA AF λ=，2MB BF λ=，求12λλ+的值；圆锥曲线大题参考答案1、解：（1）由已知双曲线的离心率为2得：232=+aa 解得a 2=1,所以双曲线的方程为 1322=-x y ，所以渐近线L 1,L 2的方程为03=-x y 和3x y +＝0（2）c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2 ，所以4221==c F F ，又2215F F AB =所以AB =10设A 在L 1上，B 在L 2上，设A （x 1 ，)31x ，B(x 2，－)32x所以10)33()(221221=++-x x x x 即10)(31)(221221=++-x x x x设AB 的中点M 的坐标为（x ，y ），则x ＝221x x +，y ＝3221x x - 所以x 1＋x 2＝2x ， x 1－x 2＝23y所以10431)32(22=⨯+x y 整理得：12537522=+y x 所以线段AB 中点M 的轨迹方程为：12537522=+y x ，轨迹是椭圆。
(完整版)圆锥曲线大题20道(含标准答案)
1.已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2>⋅OB OA （其中O 为原点）. 求k 的取值范围.解：（Ⅰ）设双曲线方程为12222=-by a x ).0,0(>>b a由已知得.1,2,2,32222==+==b b ac a 得再由故双曲线C 的方程为.1322=-y x （Ⅱ）将得代入13222=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.0)1(36)31(36)26(,0312222k k k k即.13122<≠k k 且①设),(),,(B B A A y x B y x A ，则 ,22,319,312622>+>⋅--=-=+B A B A B A B A y y x x OB OA kx x k k x x 得由 而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x.1373231262319)1(22222-+=+-+--+=k k k k k k k于是解此不等式得即,01393,213732222>-+->-+k k k k .3312<<k ② 由①、②得.1312<<k故k 的取值范围为).1,33()33,1(⋃-- 2..已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左．右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ.（Ⅰ）证明：λ＝1－e 2；（Ⅱ）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.（Ⅰ）证法一：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是2222222.,,1,).,0(),0,(b a c c b y c x b y ax a ex y a e a +=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎩⎪⎨⎧=++=-这里得由. 所以点M 的坐标是（a b c 2,-）. 由).,(),(2a eaa b e a c AB AM λλ=+-=得即221e a ab e ac e a-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-λλλ解得证法二：因为A 、B 分别是直线l ：a ex y +=与x 轴、y 轴的交点，所以A 、B 的坐标分别是).,0(),0,(a ea-设M 的坐标是00(,),x y00(,)(,),a aAM AB x y a e eλλ=+=u u u u r u u u r 由得所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=.)1(00a y e a x λλ因为点M 在椭圆上，所以,122220=+by a x即.11)1(,1)()]1([22222222=-+-=+-e e b a a e aλλλλ所以 ,0)1()1(2224=-+--λλe e解得.1122e e -=-=λλ即（Ⅱ）解法一：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|，即.||211c PF = 设点F 1到l 的距离为d ，由,1||1|0)(|||21221c eec a e a c e d PF =+-=+++-==得.1122e ee =+-所以.321,3122=-==e e λ于是即当,32时=λ△PF 1F 2为等腰三角形. 解法二：因为PF 1⊥l ，所以∠PF 1F 2=90°+∠BAF 1为钝角，要使△PF 1F 2为等腰三角形，必有|PF 1|=|F 1F 2|， 设点P 的坐标是),(00y x ，则0000010.22y x ce y x c e a -⎧=-⎪+⎪⎨+-⎪=+⎪⎩，2022023,12(1).1e x c e e a y e ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩解得由|PF 1|=|F 1F 2|得,4]1)1(2[]1)3([2222222c e a e c e c e =+-+++- 两边同时除以4a 2，化简得.1)1(2222e e e =+- 从而.312=e 于是32112=-=e λ 即当32=λ时，△PF 1F 2为等腰三角形. 3.设R y x ∈,，j i ρρ、为直角坐标平面内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，若j y i x b j y i x a ρρρρϖρ)3( ,)3(-+=++=，且4=+b a ϖϖ.（Ⅰ）求点),(y x P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若A 、B 为轨迹C 上的两点，满足MB AM =，其中M （0，3），求线段AB 的长. [启思]4.已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，OB OA +与)1,3(-=a 共线. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值. 解：本小题主要考查直线方程、平面向量及椭圆的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题及推理的能力. 满分12分.（1）解：设椭圆方程为)0,(),0(12222c F b a by a x >>=+ 则直线AB 的方程为c x y -=，代入12222=+b y a x ，化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令A （11,y x ），B 22,(y x ），则.,22222222122221b a b a c a x x b a c a x x +-=+=+ 由OB OA a y y x x OB OA +-=++=+),1,3(),,(2121与共线，得,0)()(32121=+++x x y y 又c x y c x y -=-=2211,，.23,0)()2(3212121c x x x x c x x =+∴=++-+∴ 即232222cba c a =+，所以36.32222a b a c b a =-=∴=， 故离心率.36==a c e （II ）证明：（1）知223b a =，所以椭圆12222=+by a x 可化为.33222b y x =+设),(y x =，由已知得),,(),(),(2211y x y x y x μλ+=⎩⎨⎧+=+=∴.,2121x x y x x x μλμλ),(y x M Θ在椭圆上，.3)(3)(2221221b y y x x =+++∴μλμλ 即.3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ① 由（1）知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ [变式新题型3]抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，准线l 与x 轴相交于点A(–1，0)，过点A 的直线与抛物线相交于P 、Q 两点.（1）求抛物线的方程；（2）若FP •FQ =0，求直线PQ 的方程；（3）设=λAQ （λ>1），点P 关于x 轴的对称点为M ，证明：FM =-λFQ ..6.已知在平面直角坐标系xoy 中，向量32),1,0(的面积为OFP ∆=，且,3OF FP t OM j ⋅==+u u u r u u u r u u u u r u u ur r .（I ）设4t OF FP θ<<u u u r u u u r求向量与 的夹角的取值范围；（II ）设以原点O 为中心，对称轴在坐标轴上，以F 为右焦点的椭圆经过点M ，且||,)13(,||2c t c 当-==取最小值时，求椭圆的方程.7.已知(0,2)M -，点A 在x 轴上，点B 在y 轴的正半轴，点P 在直线AB 上，且满足，AP PB =-u u u r u u u r ，0MA AP ⋅=u u ur u u u r . （Ⅰ）当点A 在x 轴上移动时，求动点P 的轨迹C 方程；（Ⅱ）过(2,0)-的直线l 与轨迹C 交于E 、F 两点，又过E 、F 作轨迹C 的切线1l 、2l ，当12l l ⊥，求直线l 的方程.8.已知点C 为圆8)1(22=++y x 的圆心，点A （1，0），P 是圆上的动点，点Q 在圆的半径CP 上，且.2,0AM AP AP MQ ==⋅（Ⅰ）当点P 在圆上运动时，求点Q 的轨迹方程； （Ⅱ）若直线12++=k kx y 与（Ⅰ）中所求点Q的轨迹交于不同两点F ，H ，O 是坐标原点，且4332≤⋅≤OH OF ，求△FOH 的面积已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过()2,0A -、()2,0B 、31,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭三点．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线l ：()1y k x =-（0k ≠）与椭圆E 交于M 、N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线4x =上．10．如图,过抛物线x 2=4y 的对称轴上任一点P(0,m)(m>0)作直线与抛物线交于A 、B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点。
(完整版)历年圆锥曲线高考题(带答案)
历年高考圆锥曲线2000年：（10）过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直03422=+++x y x 线的方程是（ ）（A ） （B ） （C ）（D ）x y 3=x y 3-=x 33x 33-（11）过抛物线的焦点F 作一条直线交抛物线于P 、Q 两点，若线()02>=a ax y段PF 与FQ 的长分别是、，则等于（ ）p q qp 11+（A ）（B ）（C ） （D ）a 2a21a 4a4（14）椭圆的焦点为、，点P 为其上的动点，当为钝角14922=+y x 1F 2F 21PF F ∠ 时，点P 横坐标的取值范围是________。
（22）（本小题满分14分）如图，已知梯形ABCD 中，点E 分有向线段所成的比为，CD AB 2=AC λ双曲线过C 、D 、E 三点，且以A 、B 为焦点。
当时，求双曲线离心率4332≤≤λ的取值范围。
e 2004年3．过点（－1，3）且垂直于直线的直线方程为（ ）032=+-y x A ．B ．C ．D ．12=-+y x 052=-+y x 052=-+y x 072=+-y x 8．已知圆C 的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆C 相切，则圆x 0443=++y x C 的方程为（ ）A ．B ．03222=--+x y x 0422=++x y x C ．D ．3222=-++x y x 0422=-+x y x 8．（理工类）已知椭圆的中心在原点，离心率，且它的一个焦点与抛物线21=e 的焦点重合，x y 42-= 则此椭圆方程为（ ）A ．B ．13422=+y x 16822=+y x C ．D ．1222=+y x 1422=+y x 22．（本小题满分14分）双曲线的焦距为2c ，直线过点（a ，0）和（0，b ），且点)0,1(12222>>=-b a by a x l （1，0）到直线的距离与点（－1，0）到直线的距离之和求双曲线的离心率e l l .54c s ≥的取值范围.2005年：9．已知双曲线的焦点为，点在双曲线上且则点1222=-y x 12,F F M 120,MF MF ⋅= 到M 轴的距离为（x ）A ．B ．CD435310．设椭圆的两个焦点分别为过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△为12,,F F 2F 12F PF等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（）A B C ．D 2121、（理工类）（本小题满分12分）设，两点在抛物线上，是的垂直平分线。
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2019-2020年高考数学大题专题练习——圆锥曲线（二）1.椭圆C 1：()22210x y a b a b+=>>的离心率为3，椭圆C 1截直线y x =所得的弦长为410.过椭圆C 1的左顶点A 作直线l 与椭圆交于另一点M ，直线l 与圆C 2：()()22240x y r r -+=>相切于点N .（Ⅰ）求椭圆C 1的方程；（Ⅱ）若43AN MN =u u u r u u u u r，求直线l 的方程和圆C 2的半径r .2.已知椭圆C ：1121622=+y x 左焦点F ，左顶点A ，椭圆上一点B 满足x BF ⊥轴，且点B 在x 轴下方，BA 连线与左准线l 交于点P ，过点P 任意引一直线与椭圆交于C ，D ，连结AD ，BC 交于点Q ，若实数21,λλ满足：CQ BC 1λ=，DA QD 2λ=. （1）求21λ⋅λ的值；（2）求证：点Q 在一定直线上.3.已知椭圆C ：)0(12422>>=+b a y x 上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线DF l //，且与y 轴交于点),0(t P ，又在直线t y =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OE OQ ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222=+y x 相切； （2）判断直线EQ 与圆222=+y x 是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.4.如图，△AOB 的顶点A 在射线)0(3:>=x x y l 上，A ，B 两点关于x 轴对称，O 为坐标原点，且线段AB 上有一点M 满足3||||=•MB AM ，当点A 在l 上移动时，记点M 的轨迹为W . （1）求轨迹W 的方程；（2）设)0,(m P 为x 轴正半轴上一点，求||PM 的最小值)(m f .5.已知点P 是椭圆C 上任一点，点P 到直线1l ：2x =-的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d ，且212d d =.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B （A 、B 都在x 轴上方），且180OFA OFB ∠+∠=︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程； （3）对于直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.6.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22116x y m m +=+（m ＞0）的离心率为45，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，F 是其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点． （1）求m 的值及椭圆的准线方程；（2）设过点B 且与x 轴的垂直的直线交AP 于点D ，当直线AP 绕点A 转动时，试判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明．7.如图，在平面直角坐标系xOy ，已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭.F 为椭圆的右焦点，A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF ，BF 分别交椭圆于C ，D 两点.（1）求椭圆的标准方程； （2）若AF FC =，求BFFD的值； （3）设直线AB ，CD 的斜率分别为12,k k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.8.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的焦距为2，且过点6(2,). （1）求椭圆E 的方程；（2）若点A ，B 分别是椭圆E 的左右顶点，直线l 经过点B 且垂直与轴，点P 是椭圆上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点M .①设直线OM 的斜率为k 1，直线BP 的斜率为k 2，求证：k 1k 2为定值；②设过点M 垂直于PB 的直线为m ，求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标.9.已知抛物线C ：22y x =的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于AB 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．（1）若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；（2）若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.10.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的右焦点在直线l30y --=上，且椭圆上任意两个关于原点对称的点与椭圆上任意一点的连线的斜率之积为14-. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线t 经过点(10)P ，，且与椭圆C 有两个交点A ，B ，是否存在直线0l ：0x x =（其中02x >）使得A ，B 到0l 的距离A d ，B d 满足||||A B d PA d PB =恒成立？若存在，求出0x 的值，若不存在，请说明理由.11.已知点11(,)A x y ，22(,)(D x y 其中12)x x <是曲线24(0)y x y =≥上的两点，A ，D 两点在x 轴上的射影分别为点B ，C ，且||2BC =.（I ）当点B 的坐标为(1,0)时，求直线AD 的斜率；（II ）记△OAD 的面积为1S ，梯形ABCD 的面积为2S ，求证：1214S S <.12.已知点C 在圆()22116x y ++=上，A ，B 的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，线段BC 的垂直平分线交线段AC 于点M . （1）求点M 的轨迹E 的方程；（2）设圆222x y r +=与点M 的轨迹E 交于不同的四个点D ，E ，F ，G ，求四边形DEFG 的面积的最大值及相应的四个点的坐标.13.已知椭圆C 1：2214x y +=，曲线C 2上的动点(),M x y 满足：16=.（1）求曲线C 2的方程；（2）设O 为坐标原点，第一象限的点A ，B 分别在C 1和C 2上，2OB OA =u u u v u u u v，求线段|AB |的长.14.已知中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆E 过点12⎫⎪⎪⎝⎭，离心率为2. （1）求椭圆E 的方程；（2）直线l 过椭圆E 的左焦点F ，且与椭圆E 交于A ，B 两点，若△OAB 的面积为23，求直线l 的方程.15.已知椭圆C ：12222=+b y a x （0>>b a ）的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点.（1）已知M ，椭圆C 的离心率为12，直线l 交直线4x =于点P ，求1F MN ∆的周长及1F MP ∆的面积；（2）当224a b +=且点M 在第一象限时，直线l 交y 轴于点Q ，11F M FQ ⊥，证明：点M 在定直线上.16.已知离心率为22的椭圆C ： 22a x +22by =1（a ＞b ＞0）过点P （﹣1，22）．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线AB ：y =k （x +1）交椭圆C 于A 、B 两点，交直线l ：x =m 于点M ，设直线P A 、PB 、PM 的斜率依次为k 1、k 2、k 3，问是否存在实数t ，使得k 1+k 2=tk 3？若存在，求出实数t 的值以及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．17.已知椭圆2222:1(0)x yE a ba b+=>>的右焦点为(1,0),F左顶点为(2,0).A-（1）求椭圆E的方程；（2）过点A作两条相互垂直的直线分别与椭圆E交于（不同于点A的）M,N两点.试判断直线MN与x轴的交点是否为定点,若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由.参考答案1.（Ⅰ）由题意知，c a =，即22234a b a-=，∴224a b =，∵由椭圆1C 截直线y x =所得的弦长为5，∴弦在第一象限的端点的坐标为⎝⎭，∴2244155a b +=，将224a b =代入上式，解得2,1a b ==.∴椭圆1C 的方程为2214x y +=. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()2,0A -，设()()1122,,,M x y N x y ，∵43AN MN =u u u r u u u u r ，∴14AM AN =u u u u r u u u r，∴214y y =，设直线l 的方程为()20x y =-≠λλ，联立22214x y x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩λ，得()22440y y +-=λλ，∴1244y =+λλ；联立()22224x y x y r=-⎧⎪⎨-+=⎪⎩λ，得()222112360y y r +-+-=λλ，∵0∆=，∴22361r =+λ，且2261y =+λλ；∴2264414=+⋅+λλλλ，解得245=λ，∴220r =，∴:5100,l x r ±+==2.（1）因为)0,2(-F ，由x BF ⊥轴，由对称轴不妨设)3,2(--B ，则直线)4(23:+-=x y AB 又左准线8:-=x l ，所以)6,8(-P ， 又CQ BC 1λ=，所以111λλ++=PQPB同理：由2λ=，得：221λλ++=PD又23=，所以11123λλ++=PC又//，比较系数得：12312λλ=，所以2321=•λλ（2）证明：设点),(11y x C ，),(22y x D ，),(00y x Q由CQ BC 1λ=，得101112λλ++-=x x ，11113λλ++-=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)13(4)12(321012101=++-+++-λλλλy x ，整理得：0)962412()4843(100212020=++--+λλy x y x显然01≠λ，所以48439624122020001-+++=y x y x λ 同理：由DA QD 2λ=，得：220214λλ+-=x x ，221λ+=y y代入椭圆方程484322=+y x ，得：48)1(4)14(32202220=+++-λλλyx同理可得：96244843020202+-+=x y x λ又由（1）2321=λλ，所以2396244843484396241202020202000=+-+•-+++x y x y x y x 整理得：0200=+-y x 即点Q 在定直线02=+-y x 上.3.（1）由题设)2,0(D ，)0,2(F ，)0,2(A ， 又DF AP //，所以DF AP k k =，可得：2=t ， 所以122:=+yx AP ，即2=+y x ， 所以22|2|=-=d ，为圆222=+y x 的半径， 所以直线AP 与圆222=+y x 相切.（2）设)2,(0x Q ，),(11y x E ，由OE OQ ⊥，则⊥，可得02110=+y x x ， 而EQ ：0)(2)2()()2(0101011=-+-----x x x y y x x x y20121101201210101)()2(|2|)()2(|)(2)2(-|x x y x x y x x y x x x y d -+--=-+--+-=由02110=+y x x 得1102x y x -=代入上式， 得42))(4(||2)2()2(||221212122121212121212121212121++=+++=++-+=x x y y x x x y y x y x x y d又422121=+y x ，212124y x -=，代入上式得：2=d所以直线EQ 与圆222=+y x 相切.4.（1）因为B A ,两点关于x 轴对称， 所以AB 边所在直线与y 轴平行，设),(y x M ，由题意，得)3,(x x A ，)3,(x x B -， 所以y x AM -=3||，x y MB 3||+=， 因为3||||=•MB AM ，所以3)3)(3(=+-x y y x ，即1322=-y x ， 所以点M 的轨迹W 的方程为1322=-y x )1(≥x （2）设),(y x M ，则22)(||y m x MP +-=，因为点M 在1322=-y x )1(≥x ，所以3322-=x y ， 所以32433)(||2222-+-=-+-=m mx x x m x MP 343)4(422-+-=m m x若14<m，即4<m ，则当1=x 时，|1|||min -=m MP ； 若14≥m ，即4≥m ，则当4m x =时，12321||2min -=m MP 所以，||PM 的最小值⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=4,1232140|,1|)(2m m m m m f .5.解：设()P x y ，，则1|2|d x =+，2d21d d ==，化简得：2212x y +=.∴椭圆C 的方程为：2212x y +=（2）解：∵(01)A ，，(10)F -，， ∴1010(1)AF k -==--，180OFA OFB ∠+∠=︒，∴1BF k =-，BF ：1(1)1y x x =-+=-- 代入2212x y +=，得：2340x x +=，∴0x =，或43x =-，代入1y x =--得01x y =⎧⎨=-⎩（舍），或4313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴4133B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，11134203ABk -==⎛⎫-- ⎪⎝⎭，∴AB ：112y x =+ （3）证明：由于180OFA OFB ∠+∠=︒，所以B 关于x 轴的对称点B 1在直线AF 上.设11()A x y ，，22()B x y ，，122()B x y -，设直线AF 方程：(1)y k x =+，代入2212x y +=，得：222212102k x k x k ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，2122212k x x k +=-+，2122112k x x k -=+，1212AB y y k x x -=-，AB ：121112()y y y y x x x x --=--， 令0y =，得122112111212x x x y x y x x y y y y y --=-=--，11(1)y k x =+，22(1)y k x =+，()22222112211212122121212212211(1)(1)22222(1)12212k k k k x y x y x k x x k x x x x x x k y y k x k x x x k -⨯-++-⨯++⨯+++=====--+++++-+∴直线l 总经过定点(20)M -，6.解：（1）因为椭圆的离心率为45．所以16161625m =+，解得9m =． 所以椭圆的方程为221259x y += ……3分准线方程为254x =±……5分（2）由题可知()()()5,0,5,0,4,0A B F -，设()00,P x y ．由椭圆的对称性，不妨设00y > ①若04x =，则94,5P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，PF 方程为4x =， AP 方程为15xy =+，()5,2D 以BD 为直径的圆的圆心(5,1)，半径为1与直线PF 相切； ……8分②若04x ≠，则AP 方程为()0055y y x x =++ 令5x =，得00105y y x =+，则00105,5y D x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭以BD 为直径的圆的圆心0055,5y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，半径为0055y x + ……11分 直线PF 方程为()0044y y x x =--，即()000440y x x y y ---=圆心M到直线PF的距离d=……13分=＝()002545455x yxx-+=-＝055yx+所以圆M与直线PF相切……15分综上所述，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．…………16分7.（1）设椭圆方程为22221(0)x ya ba b+=>>，由题意知：22121914caa b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解之得：2ab=⎧⎪⎨⎪⎩22143x y+=（2）若AF FC=，由椭圆对称性，知3(1,)2A，所以3(1,)2B--，此时直线BF方程为3430x y--=，由223430,1,43x yx y--=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x--=，解得137x=（1x=-舍去），故1(1)713317BFFD--==-．（3）设00,)A x y（，则00(,)B x y--，直线AF的方程为0(1)1yy xx=--，代入椭圆方程22143x y+=，得2220000(156)815240x x y x x---+=，因为x x=是该方程的一个解，所以C点的横坐标08552Cxxx-=-，又(,)c CC x y在直线0(1)1yy xx=--上，所以00003(1)152C cy yy xx x-=-=--，同理，D点坐标为085(52xx++，03)52yx+，所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =．8.解：（1）由题意椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的焦距为2，且过点， 所以223221,1c a b=+=，解得2,a b ==， 所以椭圆E 的标准方程为22143x y +=. （2）①设000(,)(0)P x y y ≠，则直线AP 的方程为00(2)2y y x x =++， 令2x =得004(2,)2y M x +，因为01022y k x =+，因为0202y k x =-， 所以212202y k k x =-，因为000(,)(0)P x y y ≠在椭圆上，所以2200143x y +=， 所以1232k k =-为定值， ②直线BP 的斜率为1212y k x =-，直线m 的斜率为112m x k y -=， 则直线m 的方程为1111011112242(2)(2)(1)2x x y x y x y x x y y x y ---=-+=-+=++， 所以直线m 过定点(1,0)-.9.由题设)0,21(F .设b y l a y l ==:,:21，则0≠ab ，且22111(,),(,),(,),(,),(,)222222a b a b A a B b P a Q b R +---. 记过B A ,两点的直线为l ，则l 的方程为0)(2=++-ab y b a x . .....3分 （1）由于F 在线段AB 上，故01=+ab . 记AR 的斜率为1k ，FQ 的斜率为2k ，则222111k b aaba ab a b a a b a k =-=-==--=+-=，所以AR FQ P . ......5分（2）设l 与x 轴的交点为)0,(1x D ， 则2,2121211b a S x a b FD a b S PQF ABF -=--=-=∆∆. 由题设可得221211ba x ab -=--，所以01=x （舍去），11=x .设满足条件的AB 的中点为),(y x E . 当AB 与x 轴不垂直时，由DE AB k k =可得)1(12≠-=+x x yb a . 而y ba =+2，所以)1(12≠-=x x y . 当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，所以，所求轨迹方程为12-=x y . ....12分10.解：（1）设椭圆焦距为2c （0c >），右焦点 为(0)c ，，∵直线l 与x 轴的交点坐标为0)∴c =.设椭圆上任意一点()Q x y ，和关于原点对称的两点()M m n ，，()N m n --，， 则有22221m n a b +=，22221x y a b +=∴2222220x m y n a b --+=又∵14y n y n x m x m -+⋅=--+即222214y n x m -=--∴2214b a = 又2223c a b =-=，∴24a =，21b =.∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）存在04x =符合题意，理由如下：当直线t 的斜率存在时，设直线t 的方程为(1)y k x =-，设11()A x y ，，22()B x y ，联立22(1)44y k x x y =-⎧⎨+=⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=2222(8)4(41)(44)0k k k =--+->△恒成立2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+ 不妨设121x x >>，∴012021||||||1||||1|]A B d PB d PA x x x x x x -=-⋅---⋅-001212(1)()2]0x x x x x x =-+++=∴2200228(1)8(1)204141x k k x k k +--+=++，整理得0280x -=，即04x =满足条件当直线t 的斜率不存在时，显然04x =满足条件 综上，04x =时符合题意.11.解：（Ⅰ）因为(1,0)B ，所以1(1,),A y 代入24y x =，得到12y = …………………1分 又||2BC =，所以212x x -=，所以23x = …………………2分 代入24y x =，得到123y = …………………3分 所以212123231AD y y k x x --===-- …………………4分（Ⅱ）法一：设直线AD 的方程为y kx m =+.则1211|()|||.2OMD OMA S S S m x x m ∆∆=-=-=…………………6分 由24y kx my x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++=,…………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >>，所以12124S m km S y y ==+， 因为16160km ∆=->，所以01km <<,所以12144S km S =<.…………………12分 法二：设直线AD 的方程为y kx m =+. 由24y kx m y x=+⎧⎨=⎩, 得222(24)0k x km x m +-+=,所以2221222122(24)41616042km k m km km x x k m x x k ⎧⎪∆=--=->⎪-⎪+=⎨⎪⎪=⎪⎩…………………6分 2221212||1|1|21AD k x x k x x k =+-=+-=+点O 到直线AD 的距离为d =, 所以||||211m d AD S ==…………8分 所以21221121214()()2S y y x x y y kx m kx m k =+-=+=+++= …………………10分 又1204kmy y =>，所以0,0k m >> 因为16160km ∆=->，所以01km << 所以12124S m km S y y ==+41<…………………12分12.解：（1）由已知得：4MA MB AC +==，而24AB =<，所以点M 的轨迹是以A ，B 为焦点，长轴长24a =的椭圆，设(,)M x y ，所以点M 的轨迹E 的方程：22143x y +=．………4分（2）由对称性可知，四边形DEFG 为矩形，不妨设()11,D x y 为椭圆E 上第一象限的点， 则11=4DEFG S x y 矩形，而10x >，10y >，且2211143x y +=，所以2211111=42243DEFG x x y S x y ⎫=⋅≤+=⎪⎭矩形当且仅当12x =1x =， 1y =“=”，所以矩形DEFG 的面积的最大值为四个点的坐标为：,⎭，,⎭，,⎛ ⎝⎭，,⎛- ⎝⎭．………12分13.解：（1）由已知，动点M 到点()0,-P，()0,Q 的距离之和为8，且8<PQ ，所以动点M 的轨迹为椭圆，而4=a ，=c ，所以2=b ，故椭圆2C 的方程为221164y x +=.………3分（2）解：,A B 两点的坐标分别为()(),,,A A B B x y x y ，由2OB OA =u u u v u u u v及（1）知，,,O A B 三点共线且点,A B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y kx =.将y kx =代入2214x y +=中，得()22144k x +=，所以22414A x k =+， 将y kx =代入221164y x +=中，得()22416k x +=，所以22164B x k =+， 又由2OB OA =u u u v u u u v ，得224B A x x =，即22164414k k=++，解得21,=易得k A B ，故||==AB 分14.解：（1）设椭圆E 的方程为：22221x y a b +=(0)a b >>， 由已知：222221261144⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩a b a a b 得：22a =，21b =，所以，椭圆E 的方程为：2212x y +=. ………3分（2）由已知直线l 过左焦点()1,0F -．①当直线l 与x轴垂直时，1,2A ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，1,2B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，此时AB =则112OAB S ∆==②当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为：()1y k x =+由()22112=++⎧⎨⎪⎩=⎪y k x x y 得()2222124220k x k x k +++-=所以2122412k x x k +=-+，21222212k x x k-=+， 而12121122OAB S OF y y y y ∆=⋅-=-， 由已知23OAB S ∆=得1243y y -=，所以()22222441612912k k k k +=++，则4220k k +-=，所以1k =±， 所以直线l 的方程为：10x y -+=或10x y ++=．………12分15.（1）由题设知：22312b a b a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩得2a =，∴椭圆C 的方程为22143x y +=……2分∴1F MN ∆的周长11122148;F M MN NF F M MF F N NF a =++=+++==……………3分由12(1,0),(1,0)F F -知直线l 的方程为13x +=，得(4,33)P -， ∴1F MP ∆的面积1213(33)432F F =--=.………………………………………6分（2）【证明】设220(,),0,(0,),M x y x y Q y c a b >=-且,由题设知：12(,0),(,0)F c F c -.由2,,M F Q l ∈知22//F M F Q u u u u r u u u u r ，220(,),(,)F M x c y F Q c y =-=-u u u u r u u u u r ，则有0()y x c cy -=-；由11F M FQ ⊥知11FM FQ ⊥u u u u r u u u r ，110(,),(,)FM x c y FQ c y =+=u u u u r u u u r ，则有0()0c x c y y ++=； ∴两式联立消去0y 点得(,)M x y 满足2()()x c x c y +-=，即222x y c -=； ……………9分又点M 在椭圆C 上，即有12222=+by a x ， 即222222b x a y a b +=， ∴两式联立得44222222,a b x y a b a b ==++； 又224a b +=，即22,22a b x y ==………11分 ∴点(,)M x y 满足222a b x y ++=，即点M 在定直线2x y +=上. ……………………12分16.解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=c ， b 2=a 2﹣c 2=c 2，将P 代椭圆方程：，则，解得：c=1， 则a=，b=1，∴椭圆的方程：； （2）由题意可知：k 显然存在且不为0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），y 1=k （x 1+1），y 2=k （x 2+1），则，整理得：（1+2k 2）x 2+4k 2x+2k 2﹣2=0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，当x=m 时，y=k （m+1），则k 1=，k 2=，则k 3=，则k 1+k 2=+===2k+，由k 1+k 2=tk 3，2k+=t×=tk ﹣，则当t=2，m=﹣2，∴当直线l ：x=﹣2，存在实数t=2，使得k 1+k 2=tk 3成立．17.解：（1）由已知得1,2,c a ==222 3.b a c =-=…………（3分）所以椭圆E 的方程为221.43x y +=…………（4分） （2）①当直线MN 与x 轴垂直时,直线AM 的方程为2,y x =+联立2223412y x x y =+⎧⎨+=⎩得271640,x x ++=解得22().7x x =-=-或舍去 此时直线MN 的方程为2.7x =-直线MN 与x 轴的交点为2(,0).7- …………（6分）②当直线MN 不垂直于x 轴时,设直线MN 的方程为.y kx m =+ 联立223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩得222(43)84120.k x kmx m +++-= 设1122(,),(,),M x y N x y 则2221212122228412312,,,434334km m m k x x x x y y k k k--+=-==+++ 且222(8)4(43)(412)0,km k m ∆=-+->即224 3.m k <+…………（8分）而1122(2,),(2,),AM x y AN x y =+=+u u u u r u u u r 由题意知,,AM AN ⊥u u u u r u u u r 即22121212271642()40,43m km k AM AN x x x x y y k -+⋅=++++==+u u u u r u u u r 解得27m k =或2().m k =舍去…………（10分） 当27m k =时,满足224 3.m k <+直线MN 的方程为2(),7y k x =+此时与x 轴的交点为2(,0).7-故直线MN 与x 轴的交点是定点,坐标为2(,0).7-…………（12分）。